Интегральные преобразования по индексу и сверточный метод тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Якубович, Семен Борисович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Минск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1996
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
' " БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
- 3 ОМ 1996
УДК 517.3, 517.444
ЯКУБОВИЧ СЕМЕН БОРИСОВИЧ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПО ИНДЕКСУ
И
ОБЕРТОЧНЫЙ МЕТОД
01.01.01-матемагический анализ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Минск 1996 г.
Работа выполнена, в Белорусском государственной университете
Официальные оппоненты: доктор физихо-матема-тичнских наук,
профессор АНТОНЕВИЧ Анатолий Борисович
доктор физико-математических наук, профессор ВИРЧЕНКО Нина Афанасьевна
доктор физико-математических наук, профессор КАКИЧЕВ Валентин Андреевич
Ведущая организация: Институт Математики АН Беларуси
Зыцита состоится 1998 года в часов на заседании совет)
защите диссертаций Л 02.01.07 в Белгосуниверситете по адресу: 220050, г. Ми пр. Ф.Скорины 4, Еелгосуниверситет.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета.
Автореферат разослав "_"_1996 года.
Ученый секретарь совета по зыците диссертаций профессор
В.И.Корзюк
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Настоящее исследование относится к теории интегральных преобразований, которая в последнее время особенно интенсивно находит свое развитие в математическом анализе. Интерес к ней обусловлен широкими применениями интегральных преобразований как в самой математике, так и за ее пределами.
Однако крут исследований в настоящей работе ограничен построением теории так называемых интегральных преобразований по индексу (параметру) специальной функции ядра и разработкой сверточного метода, позволяющего как эффективно изучать классические свертки, так и конструировать новые операторы сверточного типа для многих известных интегральных преобразований.
Использование интегральных преобразований в теории дифференциальных и интегральных уравнений, операционном: исчислении, теории краевых задач позволяет находить их решения в замкнутой форме и изучать их структурные свойства. В то время как наиболее изученные интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля, Гильберта, Стилтьеса, операторы дробного интегро-дифферендирования Римана - Лиувилля находят свое успешное применение в различных областях математики, теория интегральных преобразований по индексу и их приложения находятся на стадии становления и развития.
Свое начало данная тематика берет из работ F.G. Mehler, В.А. Фока, Н.Н.Лебедева, М.И. Конторовича, М.Н. Олевского, где были введены интегральные преобразования по индексу специальных функций математической физики, а именно функций Лежандра, Бесселя и гипергеометрической функции Гаусса. Впоследствии введенные операторы были названы преобразованиями Мелера- Фока, Кон-горовича - Лебедева и Олевского. Для них рассматривались вопросы описания пространств образов, асимптотических разложений, применений к различным задачам математической физики, решений интегральных уравнений и вычислений индексных интегралов. Это, в частности, относится и к работам H.A. Беловой,
H.-J, Glaeske, Н.Я, Виленкина, H.A. Вирченко, И.П. Вовкодава, А.Т. Улитко, By Ким Туана, A.M. Гомилко, В.А. Литкияа, А.Г. Земаняна, A.C. Зильберглейта, Л.В. Исаевой, А.И.Мошинского, С.Б.Якубовича, Ю.М.Раппопорта, И.П.Скаль-:кой, М.В. Федорюка, Я.С. Уфлянда, M.M.Crum, D.S.Jones, N.Hayek, J.S. Lowndes, f.Wimp и др. В некоторых работах предпринимались попытки обобщения интегральных преобразований по индексу на общие специальные функции гипергеоме-грического типа, такие как G - функция Мейера и И - функция Фокса.
Что касается исследований в области свергочных операторов и преобразо-»аний, а также их приложений к задачам операционного исчисления и теории пггегро- дифференциальных уравнений, то наряду с классическими исследованиями Н.И.Хиршмана, Д.В.Уиддера, J.Mikusmski, N. Wiener, И.Ц.Гохберга, М.Г.Крей-ia, Н.И.Ахиезера упомянем работы М.М.Джрбашяна, В.А.Диткина, А.П. Пруд-гикова, В.А. Какичева, Нгуен Тхань Хая, О,И. Маричева, A.A. Килбаса, Ю.Ф. 1учко, L. Berg, LH. Dimovski, N. Bozhinov, B.L.J. Braaksma, A. Schuitman, M. Saigo,
I. Gorenflo, P.G. Rooney, H.M. Srivastava, R.G. Buschman, R. Wong и др.
Полученные результаты применимы только к отдельным интегральным опера-
тарам и не дают полной картины рассматриваемых проблем. Поэтому одной из
актуальных задач теории интегральных преобразований по индексу является создание методов, которые позволят изучать в совокупности различные индексные преобразования несверточного типа и строить для них общие сверточные алгебры в различных функциональных пространствах.
Связь работы с крупными научными темами. Диссертационная работа выполнена в научно-исследовательской лаборатории "Прикладных методов математического анализа" при кафедре теории функций Белгосуниверситета в рамках научно-исследовательских тем Министерства Образования и Науки Республики Беларусь "Краевые задачи комплексного анализа: линейные, нелинейные, для обобщенных функций, с бесконечным индексом. Специальные функции, свертки, интегральные и дифференциальные операторы и их реализация методами компьютерной алгебры", "Специальные и обобщенные функции и операторные уравнения" и "Нелинейные проблемы теории обобщенных функций".
Цель и задачи исследования. Разработка структурных и композиционных свойств интегральных преобразований по индексам специальных функций. Описание образов весовых Ьр- пространств преобразований Конторовича - Лебедева, Мелера - Фока, Лебедева - Скальской. Локазательство аналога теоремы Пали - Винера для преобразования Конторовича-Лебедева в банаховых пространствах аналитических функций. Разработка метода построения интегральных сверток для преобразований меллшювского типа в виде двойных интегралов Меллина -Барнса и композиционных интегральных сверток для индексных преобразований. Введение сверточных гильбертовых пространств, построение операционного исчисления типа Минусинского для оператора свертки Конторовича - Лебедева и его применение для получения явных решений одного класса интегральных уравнений типа свертки первого и второго рода с неподвижной особенностью на конце промежутка интегрирования.
Научная новизна. На основе предлагаемых алгоритмов впервые получены описания пространств образов весовых £р- пространств преобразований Конторовича- Лебедева, Мелера - Фока и Лебедева - Скальской. Композиционная структура преобразований по индексу и свойства их ядер как функций гипергеометрн-ческого типа позволили вывести общие формулы их ядер и сверток и, тем самым существенно расширить класс индексных преобразований. Впервые удалось систематизировать и обобщить ранее известные результаты, предложив метод исследования совокупности интегральных преобразований по индексу в различных функциональных пространствах. Разработан метод построения интегральных сверток в виде двойных интегралов Меллина - Барнса и композиционных сверток для преобразований по индексу. Установлен аналог теоремы Пели - Винера в банаховых пространствах аналитических функций для преобразования Конторовича - Лебедева, Построено операционное исчисление типа Микусинского для свертки типа Конторовича - Лебедева и получены явные решения одного класса сверточных уравнений с неподвижной особенностью.
Практическая значимость. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как интегральные преобразования, свертки, операционное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении интегральных, дифференциальных уравнений, уравнений типа свертки, а также при решении конкретных задач математической физики, в частности задач диффракции для клиновидных
эластей, теории теплопроводности, краевых задач теории потенциала для полу-ространства в теории упругости.
Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, задающихся исследованиями в областях интегральных преобразований, специаяь-ых функций, операционного исчисления в Вычислительном центре РАН, в Бе-эрусском, Новгородском, Казанском, Красноярском университетах, в Киевском элитехническом институте, в Санкт-Петербургском институте теоретической фи-оси РАН, в Самарском педагогическом институте.
Некоторые идеи, метода и результаты диссертации уже нашли отражение в онографиях (Нгуен Тхань Хай, С.Б.Якубович [33], С.Б.Якубович, Ю.Ф.Лучко 4], С.Б.Якубович [36]) и использованы в отдельных работах по интегральным зеобразованиям, сверткам и их приложениям.
Основные положения, выносимые на защиту.
Применяемые в диссертации метода позволили решить некоторые задачи тео-¡ш интегральных преобразований и специальных функций, а также на базе новых зерток построить операционное исчисление типа Минусинского. Таким образом 1 защиту выносятся следующие результаты:
- получены теоремы типа Планшереля и найдены композиционная структура формулы обращения общих интегральных и дискретных преобразований по ив-гксу; композиционный метод успешно применен и для известных преобразований онторовича-Лебедев а, Мелера- Фока и Лебедева-Скаль ской;
-даны описания пространств образов весовых /^-пространств индексных пре-эразований. В банаховых пространствах аналитических функций доказан аналог юремы П эли-Винер а для преобразования Конгоровича-Лебедева;
-дано описание классов сверток для преобразований по индексу. Введены свер->чные гильбертовы пространства, построено операционное исчисление типа Ми-Ясинского для свертки типа Конторовича-Лебедева. На основе сверточного ме-)да даны решения в замкнутой форме одного класса уравнений типа свертки со гениальными функциями и неподвижной особенностью на конце промежутка нитрирования;
- дано описание класса сверток в терминах двойных интегралов Меллина-арнса для преобразований меллиновского типа. Для ядер гипергеометрического ша установлены теоремы существования и действия введенных сверточных коа-:рукций и их связь со специальными функциями двух переменных.
Апробация результатов. Отдельные части диссертации докладывались на сесоюзной конференции "Классические и неклассические краевые задачи для 1фференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, ггегральные уравнения и их приложения" (Куйбышев, 1987 г.), на Междунаг здной конференции "Символическое и алгебраическое исчисление", (Германия, онн, 1991), на Международной конференции "Методыпреобразований и специаль-лх функций", (Болгария, Варна, 1991 г.), на Международной конференции "Диф-зренциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные дикции" (Самара, 1992 г.), на конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992 ), на научно-технической конференции "Памяти академика М.П.Кравчука" (Украга, Киев, 1992 г.), на Международной конференции "Различные аспекты диффе-¡нцируемости", (Польша, Варшава, 1993), на конференции Японского математи-:ского общества (Япония, Кобе, Токио, 1994 г.), на Международной конференций,
посвященной 90-летию академика Ф.Д.Гахова (Беларусь, Минск, 1996 г,).
С сообщениями о результатах диссертации автор выступал на семинаре Б> лорусского математического общества (руководитель- академик И.В.Гайшун), 8 семинаре по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям (руке водители - профессора А.Б.Антоневич, П.П.Забрейко, Я.В.Радыно). Результат: диссертации многократно докладывались и обсуждались на Минском городско семинаре по краевым задачам имени академика Ф.Д.Гахова (руководитель- прс фессор Э.И.Зверович).
Опубликованность результатов и личный вклад. Основные результаты ди< сертации опубликованы в работах [1]-[35] и отражены в трех монографиях [33]-[35 Часть результатов пл. 1.2, 3.3, 4.2-4.3 получены в совместных работах [3], [14], [20 [26]-[27], [30]-[31] и в равной мере принадлежит автору диссертации и соавторам.
Структура в объем работы. Диссертация состоит из введения, общей ха рактеристики работы, четырех глав, включающих 13 разделов, выводов и списк использованных источников. Объем диссертации - 198 страниц машинописног текста, Список использованных источников на 18 страницах содержит 256 найме новаций, при атом работы автора по теме диссертации приведены в конце списке
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводятся основные объекты исследований диссертации, очер чивается круг рассматриваемых проблем и описываются основные классы суще етвующих интегральных преобразований и сверток. Так, интегральные оператор! вида
д(х)= [ К(г,у)/Шу, (1
./п
с ядром К(х,у) и интегралом в смысле Лебега по некоторому подмножеству I или Иа могут рассматриваться в зависимости от структуры ядра, являющегося вообще говоря, некоторой специальной функцией. Это относится, например, к ис следованию одномерных операторов преобразований, имеющих структуру сверти Меллина, а именно
= (2
Здесь ядро представляет собой элементарную или специальную функцию, зави сящую от одного аргумента г — ху. В частности, к этим преобразованиям отно сятся преобразования Лапласа, Хаакеля, Стилтьеса, Мейера, синус- и косинус преобразования Фурье, преобразования с наиболее общими специальными фувк циями гипергеометрического типа- <7-функциями Мейера и Я-функциями Фокса. I ним также приводятся с помощью замен переменной дробные интегралы и произ водные Римана-Лиувилля .
Одним из наиболее аффективных инструментов для изучения преобразований типа свертки (2) является равенство Парсеваля
где к*(а), /*(з)-преобразования Меллина функций к, /. Так для ядер гипергеометрического типа справедливо свойство иметь своим преобразованием Меллина отношение произведений гамма-функций Эйлера, асимптотика которых в соответствии с формулой Стерлинга имеет степенно-экспоненциальный характер. Это, в свою очередь, позволйет изучать в совокупности данный класс интегральных преобразований в пространствах £р11 < р < 2 со степенно-экспоненциальным весом и получать формулы обращения непосредственно исходя из равенства (3) и сверточной структуры класса преобразований (2).
Аналогичные методы применимы для операторов типа свертки Фурье
. *(*) = Г к(х - у)!{у)йу, (4)
У-во
а также для операторов типа свертки Лапласа
д{х)= /"*(»-у)Ду)<*у. (5)
В диссертации мы имеем дело с качественно отличными по структуре интегральными преобразованиями, относящимися к типу несверточных, для которых требуется разработка принципиально новых методов исследования. До недавнего времени такой подход отсутствовал и каждое интегральное преобразование по индексу исследовалось самостоятельно, используя различные интегральные представления ядер и их асимптотику. В данной работе предложен метод описания одного класса индексных преобразований, связанных с известным преобразованием Конторовичаг Лебедева
*-х[/]= ГкшШЬМ (б)
Jo
по индексу функции Макдональда К,х(у). Последняя, как известно, является одним из линейно независимых решений и(у) дифференциального уравнения Бесселя
.Г+гЧ1-?)*1-0' (7)
Как было установлено автором настоящей диссертации, все известные в литературе преобразования по индексу композиционно связаны с преобразованием (б) в силу универсальности структуры их ядер, относящихся к гипергеометрическим функциям. Это, в свою очередь, позволило дагь описание пространств образов весовых банаховых пространств как для преобразования (6), так и для других известных интегральных преобразований - для преобразования Мелера-Фока по индексу функции Лежандра в ядре и для преобразований ЛебедевагСкальской с цилиндрическими функциями е ядрах. Приведенные общие формулы преобразований типа Конторовича-Лебедева позволили получить ряд новых примеров операторов и описать их образы. Преобразования по индексу весьма эффективно находят свои приложения в математической физике, позволяя дагь решения ряда задач, связанных с интегрированием уравнения Лапласа, Пуассона и Гельмгольца для областей различного вида. Так, например, преобразование Конгоровича-Лебедева (6) и его
различные модификации встречаются в приложениях в связи с задачей интегри] вания этих уравнений при граничных условиях, заданных на поверхности кону при решении проблем теории дифракции. Преобразование Мелера-Фока ветре' ется при решении задач теории упругости, именно - при решении смешанных кр вых задач теории потенциала, когда линией раздела граничных условий являем окружность, путем интегрирования уравнения Лапласа в тороидальных коор; натах. Как видно из структуры ядра преобразования (6), исследование даннс класса преобразований представляет собой грудную задачу, благодаря сложи зависимости от переменной, входящей в индекс функции Макдональда. Та же п] блема прослеживается и для других преобразований по индексу, ядра котор представляют собой комбинации гипергеометрических функций, зависящих от I раметров. Систематическое же развитие методов теории преобразований даннс класса в настоящей диссертации доводит ее до современного уровня исследован интегральных операторов в банаховых пространствах со специальными функция в ядрах.
Приведем здесь известные в литературе ивтегралъные разложения произво] ных функций, записанные в виде аналогов интеграла Фурье. Данные представ, ния порождают пары индексных преобразований, причем интегрирование в одв из формул осуществляется по индексу специальной функции, входящей в ядро. Т| например, установлены разложения по индексу функций Бесселя и Ганкеля
/(*) = Г Щя)Л Г '
1 Зч У
функции Макдональда
^ -ОС
/{¡г)=-г/ / е^Кц^аЖу^у, а > 0; I
" >/-« </-00
линейной комбинации функций Бесселя
= 5 Г /><"> +
Вышеупомянутое преобразование Конторовича - Лебедева (6) порождено раз; жевием вида
«/(*) = А Г1 "пЬ(««)^а(г)Л Г Ыу)!{у)<1у, (]
"" У о Уо
или его модификацией с функцией /¡(у)
№ = 3 Г'°° Г (]
Ja-¡оо Уо У
Преобразование Мелера-Фока по индексу функции Лежандра выводится из еле; ющего разложения
Однако наиболее общее из разложений по индексу, включающее в себя все вышеперечисленные интегралы имеет в ядре С? - функцию Мейера
1 Г 2 /I /Л-й, -К+1), -(<*»)
Л
Г
с гл, п + 2 Р + 2,д
зависящую от параметров.
Остановимся кратко ка понятии обобщенной свертки и задаче построения сверток для различных интегральных преобразований. Обычно концепция свертки и сверточных операторов ассоциируется с преобразованиями вида (4), (5). Для них получены различные результаты, как то исследованы вопросы действия в различных пространствах, построено операционное исчисление, рассмотрены классы интегральных уравнений типа свертки, разработаны методы вычисления соответствующих интегралов . Подразумевая под сверткой (/ * д) двух функций / и д операцию умножения в некоторой алгебре, с помощью действия соответствующего интегрального оператора А на свертку приходим к обычному умножению образов, определенному факторизационным равенством вида
т*д)](х) = [АП(х)1Ад}(х). (15)
Если при некоторых условиях имеет смысл обратный оператор от произведения функций, то мы можем определить свертку в некотором пространстве равенством Парсеваля
(/*«)(*) = А-Ц[АП[Ав]М. (16)
При построении операционного исчисления свертку можно связать с некоторым линейным оператором В на основе равенства
[я(/*г)](*) = ([яЛ*5)М. <17)
В настоящей работе особое внимание уделено понятию свертки для преобразования Ковторовича-Лебедева, которую можно определить следующим двойным интегралом , .
j /(и)д{у)Л^у, г > 0. (18)
Как показано в работе, свертка (18) образует банахову алгебру в специальном кольце Винера Ьа = ¿¡(И^.; Ка(х)) и удовлетворяет факторизационному равенству вида
ад/*?)](1Э)
где представляет собой преобразование Конторовича - Лебедева (6). Свертка (18) определяет класс интегральных уравнений первого и второго рода, разрешимых в данном кольце. Ядро уравнения получено вычислевием внутреннего интеграла в (18) для каждой конкретной функции д. В качестве примеров выступают как известные интегральные уравнения Лебедева с неподвижной особенностью
на конце промежутка интегрирования, так и новые уравнения, разрешимые в 31 мкнутой форме.
Чтобы описать класс сверток для преобразований меллиновского типа (2), а] тором была предложена конструкция в виде двойного интеграла типа Меллши Барнса следующего вида
<' ^ '*•> = (2^1 £ * >
где контуры интегрирования £,,!{, вообще говоря, описываются вертикальным прямыми в комплексных плоскостях переменных з к ( соответственно, к'(в)- пр< образование Меллина ядра к оператора (2), а /",д" обозначают преобразовани Меллина функций Кал известно, для функций гипергеометрического тип
их преобразования Меллина представляют собой отношения произведений гамм: функций Эйлера. Данное обстоятельство приводит к эквивалентной конструкии свертки с ядром в виде специальной функции двух переменных, как следует при не которых условиях из равенства Меллина-Парсеваля для кратного преобразовани Меллина.
Свертка (20) удовлетворяет факторизационному равенству
= (21
где [К/\ имеет вид оператора (2). Более того, абстрагируясь от понятия обыч ной свертки несложно получить обобщение оператора (20), беря различные ядр к,, (' == 1,2,3. В результате приходим к выражению в виде двойного интеграла тип. Меллина-Барнса
<"■')<■> = (¿г 11 > (22
и факторизационному равенству
№(/**)](*) = (23
В данном случае мы имеем обобщенную свертку, где могут не выполняться некото рые алгебраические свойства (коммутативность, ассоциативность), Тем не менее можно факторизовать данную свертку посредством равенства (23).
В Главе 1 приведены основные сведения, касающиеся теории пространств и ин тегралов Лебега, специальных функций гипергеометрического типа и некоторые факты из теории преобразований Фурье и Меллина. Продемонстрирован мето; обращения преобразований типа свертки Меллина в ¿з(11+), даны несколько при меров ядер Фурье. В разделе 1.3 получены асимптотические формулы разложений на бесконечности функций Макдональда, Лежандра, Уиттекера, гилергеометриче ской функции Гаусса по их параметрам (индексам), основанные на классическо] формуле Стирливга асимптотики гамма - функции Эйлера. В заключительном раз деле 1.4 излагается понятие интегральных преобразований по индексу, обосновы вается выбор направления исследования и дается обзор литературы в указанны: направлениях и анализ известных результатов.
Глава 2 диссертации посвящена исследованию композиционных свойств и во-росам действия операторов преобразований Конгоровича-Лебедева и Лебедева-¡кальской в весовых Lf- пространствах. В п. 2.1.1 устанавливается композицион-ая структура видоизмененного преобразования Конторовича - Лебедева в форме нтеграла
д(т) = ^«пЬ(тг/2) НкЛуЖу)^ (24)
f Jo уУ
пространстве посредством композиции синус- и косинус- преобразований Фу-ье. Основной результат содержится в теореме типа Планшереля для этого слу-ая.
Теорема 2.1. Преобразование Конторовича - Лебедева (24) изоморфно и изо-:етрично отображает пространство на пространство I3(R+; х coth(7rr/2)).
)братный оператор в этом случае определен формулой
Дат) = - Г тссвЦтгг/У^Щйд^г, (25)
Т Jo V1
равенство норм дается формулой Парсеваля
f\coth(*T/2)|g(r)|=ir = ГШГЪ- (26)
Ус Уо
¡роме того, почти всюду на R+ справедливы двойственные формулы
= K(r,y)f(y)dy, (27)
f(*)=~J" k(T,z)^g(r)dr, (28)
де г
К (г, у) = 4= / v^smh(Tru/2)ir,u(y)du, (29)
у/У Jo
k(r, х) = v/FcoSh(7rr/2) Г Kir{v)%, (30)
J о Vf
оответственно.
В п. 2.1.2 рассматривается преобразование Конторовича - Лебедева (б), когда ' £ Zi,iP(B.+), где v < 1 ,р> 1, а норма определяется интегралом
ll/lkP = (£ }T-l\fW*ufh • (31)
Зоказаны следующие основные свойства оператора (S).
Лемма 2.3. Оператор Л",-т[/] ограничен из произвольного пространства £„j,(R+) : параметрами v < 1, р > 1 в пространство L, (R+), г > 1, причем параметры р, г шляются независимыми.
Однако, как установлено, оператор Конторовича - Лебедева обладает свойствами гладкости, а нижеследующая лемма утверждает и его компактность.
Лемма 2.4. Оператор (6), действующий из L„,,,(R+), 1<р<оо,1><1в j,(R+), q = р/(р — 1) является вполне непрерывным.
На основании втого, определив пространство образов KL(LVlP) оператора (в) функций из I„|P(R+), уместно дать его описание в терминах регуляризирующе оператора, задаияог формулой
('.¡Ж*) = -7ЧТ7 Г г-Ш»«* - c)T)KiT(x)s(,r)dT, О
т ® J о
где е 6 (0,7г).
Теорема 2.3. Пусть р(г) = #.>[/], f(y) £ I„j>(R+), 0 < у < 1, 1 < p < oo. Тогд
Дг ) = (1д)(х), (г
где (Iff) (г) понимается как предел по норме 1KP(R+)
(Ig)(x) = \im(l,g)(x), х>0 (!
«—.о
Кроме того, предел в (34) существует также и почти всюду на R+.
Теорема 2.4. Для того, чтобы д(г) € KL(LVlP), 0 < р < 1, 1 < р < оо, необходм и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия
д{т) еХг(Л+),1 <г<оо, (2
1пп(;,г) 61„,г(я+). (а
Более точное описание получается в случае гильбертова пространства / ¿1,з(В-+) с предельным значением V — 1. Здесь срабатывает теорема типа Планп реля для оператора (6).
Теорема 2.5. Оператор преобразования Конторовича - Лебедева (б), действ ющий из пространства Х^Вн-) со сходимостью интеграла по норме весового пр стракства
Ь3 , (3
изоморфно и изометрично отображает пространство ¿1(з(Н+) на пространство (3' причем обратный оператор описан соотношением
/(*) = 4" Г гипЬ(1тт)^г(*)#г№г (з
я'х Уо
со сходимостью интеграла по соответствующей норме. Более того, имеет мес равенство Парсеваля вида
Г уШ\чу = Г "ЬЦ^ади^г. (г
JQ К* Jo
В п. 2.1.4 преобразование Конторовича - Лебедева обобщено на случай ядре функцией Макдональда К^(ху) трех независимых переменных х,у,гв виде
КЩ](г,х)=д(т,х)= Г К^ШШу, (4
Уо
и определено как индексно - свергочное преобразование Конторовича-Лебе; ва. Преобразование (40) представляет собой функцию д(т, х) двух перемени]
г, г) € R+ X R+ и отображает функции из пространства Лебега одной размерности | пространство Лебега размерности два. Обозначим посредством Xi,j,(R+ х R+), де р > 1, V 6 R пространство Лебега измеримых функций двух переменных с нор-гой
аоо \ 1/р
J x^\g(r,x)jrdrdxj . (41)
1оказано. что оператор (40) ограничен из пространства ii_„ll(R+),i/ > 0 в про-транство (41). Определив пространство образов KL[L\~vj\ преобразований (40) >ункций из Zi-i/,i(R+) и введя регуляризирующий оператор по формуле
(1.д)(з) = —-j— / / усовЦ(я-с)гЖт(ху)д(т,у)с!тс1у, (42)
я J о Jo
риведем теорему обращения иядексно - сверточного преобразования (40).
Теорема 2.7. Пусть д(т,х) - Kl[f](r,x) и /(г) G 1 < v < 2. Тогда
(г) = (1д)(х), где (Ig)(г) понимается как предел
(Ig)(x)= lim(Itg)(x), х>0 (43)
о норме в Lj_Vil(R+). Кроме того предел в (43) существует почти всюду на R+.
Оператор преобразования Конторовича - Лебедева определен в п. 2.1.5 и для роизвольного комплексного индекса г по формуле
K.[f]= f K,(y)f(y)dy. (44)
'становленные свойства гладкости оператора (6) на положительной полуоси до-олняются здесь свойством аналитичности в полосе следующим фактом.
Теорема 2.9. Преобразование Конторовича-Лебедева K,[f] функции / 6 LVJ> с араметрами пространства у < 1, 1 < р < оо является аналитической функцией з ткрытой вертикальной полосе |Не(г)| < 1 — v.
Следствие 2.2. Преобразование Конторовича-Лебедева (44) произвольного омплексного индекса г функции /(¡г) 6 LVtT{R+), р > 1, v < 1 может быть пред-тавлено в полосе |Re(z)| < 1 — v через композицию
ЛИ = 5-М ([£/](! (< + 7));«) (45)
реобразования Меллина и Лапласа, вычисленное в точке
h(t) = l(t + Г1). Опре-елим теперь так называемое сверточное гильбертово пространство Як,с
= \£°(/*Ш*)Кт.(*)<Ь, И < 1 - и, (46)
ак пополнение соответствующего предгильбертова пространства со скалярным роизведением (46). Здесь - функция Макдональда индекса 2<г, а свертка
нутри интеграла есть свертка Лапласа вида (5). Неравенство
Г Г К^(х + yMx)f(y)\dxdy < 00, (47)
J о J о
обеспечивает условие принадлежности J данному пространству. Как мы уже установили, преобразование Конторовича-Лебедева (44) функций / 6 Xj(R+) в форме F(z) = K,[f], z = х + iy, является аналитической функцией в симметричной полосе {Si/j : |3?z] < 1/2}. Однако в силу четности функции Макдональда по индексу, т.е. F(z) = F(—z), мы получаем подпространство таких функций в данной полосе. Обозначим через Ек пространство (46) при а — 1/2 со скалярным произведением
</, 9) я« = 11*1°° + (48)
и нормой Ц/Цяк = V(nK- Нами доказано, что пространство Л к. содержит Хз( R+).
В случае произвольной функции F(z) = F{—z), аналитической в полосе |Не(дг)| < 1/2 и принадлежащей пространству Cere с нормой
||ЛР= sup ±- Г \F(x+iy)fdyi (49)
0<i<1/2
имеет место аналог теоремы Пали-Винера.
Теорема 2.10. Произвольная функция F(z) переменной z = х + iy, удовлетворяющая свойству F(z) = F(—г) и аналитическая в симметричной полосе |Re(z)| <1/2 принадлежит пространству Cere (49) тогда и только тогда, когда она имеет вид преобразования Конторовича - Лебедева (44) от некоторой функции / 6 Нк- ¡Заг ключительный раздел Главы 2 посвящен преобразованиям Лебедева - Скальской, в частности, Re - преобразованию вида
[Re/](r) = - cosh(jrr/2) Г EeK1/3+ir(y)f(y)dy, (60)
1Г J о
и его обращению
Построена теория Планшереля для преобразования (60), где показано, что Re -преобразование осуществляет изоморфизм пространств и ¿з ^Re; ^X^rji)}'
причем имеет место равенство Парсеваля
[ \М№ = [ ¿jf^MWI'dr. (62)
Результаты распространены и на пространства Lvj,(R+), как и в случае преобразования Конторовича - Лебедева.
В Главе 3 на основе формул преобразований Меллнна для гипергеометрических функций и структуры их ядер вводится семейство индексных преобразований, охватывающее в качестве частных случаев все известные преобразования по индексу, в том числе и рассмотренные выше. Действительно, определим оператор следующего вида
д(х) = Г г*£(г)/(т)«*т, с > 0, (53)
J-00
где
где ядро выражается следующим контурным интегралом типа обратного преобраг зования Меллина
™ = 55С"Г(, + т)г('-т)^",л- (54)
В частности, если <р(з) = 1, то с учетом интегрального представления функции Макдональда по формуле
=Ъ /Гг (л+Юг (а - ?) (55)
приходим к соответствующему оператору (53) типа обратного преобразования Конторовича - Лебедева. Нами доказано, что оператор (53) ограниченно действует из пространства £Г(Н.) в пространство £„,,(11+), и, более того, предел по норме в ХР(Я) или почти всюду регуляризирующего оператора вида
(1,9){т) = Ц Г У'-'^ЛУЬШУ, (56)
т 3 о
^■¿Г'Ы'Ый*
когда г —► 0, приводит к выражению
= (58)
Отдельно в п. 3.1.2 выделен класс ядер, допускающих построение операторов, изоморфно отображающих два весовых Хз - пространства. Для этого предполагается, что ядра (54) и (57) с е = 0 представляют собой действительнозначные функции для всех г € П.+ , х > 0, удовлетворяющие функциональному соотношению
&(») = в(гЖх)^(»), (59)
где 9, ф - некоторые действительнозначные положительные непрерывные функции. Предполагая, что
Шу (бо)
вводится интегральное преобразование по индексу вида
1 Г"
д(х) = 1ш1 — I гяшЬ()гт)в(г)*£(а)/(г)е*г (61)
ЛГ-00 7Г JJ|„
со сходимостью интеграла по норме Ф(х) Iх)- Доказана теорема Планшереля
и равенство Парсеваля в форме
Г —= 1 Г гвтк(*гЩтМт)\Чт. (62)
Уо х ж Уо
Беря конкретные функции, получаем примеры как известных, так и новых пар индексных преобразований. Так, положив ¡р(з) = Г(1/2 - а), в результате получим
(63]
Сопряженное ядро в этом случае имеет вид
Итак, в силу соотношения (59) в{т) = тг-1 совЬ(7Гг/2), а ф(х) = . Таким образом мы пришли к видоизмененной паре преобразований Конторовича-Лебедева вида
= *>0, (65)
(66)
Равенство Парсеваля немедленно следует из (62), а именно
Г ~\9(х)\2<1х = 4 Г ™ЬЖ(;гт) со8Ь(5гг/2)|/(г)|5£/г. (67)
Зо х я Зс
В качестве еще одного примера преобразований по индексу получим пару двойственных формул обобщенного преобразования МелерагФоко. Пусть <р(а) = Г(1/2— ц — з)/Г(1/2 + з), ц е И. Тогда значение ядра (54) в этом случае выражается через присоединенную функцию Лежандра первого рода. Действительно, имеем
п{я) е Ц1/2-,-^(1/2-^^/2)^ + ^^ ^ + ^ (б8) Двойственное ядро вычисляется и дает результат
= + (И • («Ч
Весовые функции из (59) принимают следующие значения
7Г
= созЬ(я-г/2)Г(1/2 -м- «г/2)Г(1/2 - ц + .г/2)' (70)
а ф(х) = (14- г)-14. Отсюда несложно выписать пару обобщенных преобразований Мелера-Фока
,(') = *>'" 0 +1) ДгМг, (71)
/м = го/»-,-»дао/»£(|+,)г(«)л, (та)
и равенство Парсеваля
I = Г(1/2 — м~ т/2)Г(1/2 — ¡л + ¿г/2) <73>
Случай ¡л = 0 соответствует обычному преобразованию Мелера-Фока, теория которого рассматривается в разделе 3.3.
Пусть ^(а) = Г(«)/Г(1/2+ «). Тогда имеем пару взаимнообратных формул преобразования Лебедева по индексу модифицированных функций Весселя
д{х) = 7ЬГ (74)
/(Г) = 2^ф) Г Ш [М^ + (?5)
Пара преобразований с функциями Бесселя возникает при <р(з) = Г(з)Г(1/2 — л). Действительно, находим
»(*) = & [ г вшЬ (£) + ЫЩ Н^г, (76)
/(Т) = й И'/^7-"/^) + '-¡г/а^Жг/»^] (77)
Приведем еще один пример преобразований по индексу с функциями Лежандра, полагая ¡р(з) = [Г(«)Г(1/2 4-а)]"1. Тогда после вычисления ядер получим формулы (О < х < 1)
(1 _ -Л-1 /2 /■<»
гМ = ] -,-т) + /Г(-\/1^)3 Дг)йг, (78)
'<*> = I! +а - г1"*)* <">
Замечание 3.2. Отметим, что с помощью базовой таблицы преобразований Меллина, беря соответствующие значения <р(з) и вычисляя ядра как интегралы Меллина-Барнса, получаются все известные формулы преобразований по индексу, асимптотические свойства ядер которых рассмотрены в Главе 1.
В разделе 3.2 мы акцентируем внимание на класс дискретных преобразований, операторы которых заданы посредством бесконечных матриц в пространствах числовых последовательностей. Рассматривается оператор у = Ах, сопоставляющий числовой последовательности х = числовую последовательность У — определяемый посредством матрицы {ап*}™*=1 бесконечной системой равенств
во
уп = л = 1,2,--------(80)
Уравнение (3.92) можно трактовать как дискретное преобразование последовательностей I = в у = Наша задача - исследовать операторы (80) в различных пространствах последовательностей, причем ядра апи - специального
вида, конструкции которых основаны на скалярных произведениях компоненте двух различных оргонормировавных систем.
Пусть {VnlíLi, - две ортонормированные системы в пространствах Н\
Н3 с соответствующими скалярными произведениями (, )i и (, )j. Обозначим чер| || ||j, || ||г нормы в соответствующих гильбертовых пространствах П\ и Hj, а чер( Ф и Ф - векторы следующего вида
Ф = (1Ыа,|ЫЬ,...,1Ы|2,...), (8
« = (||^l|i,Wb,...,IW|i,...)- (8:
В дальнейшем будем предполагать, что векторы Ф и Ф подчинены нормам || ||з || ||t соответственно, т.е. выполняются условия
H^IIj <«>,11^11! < 00,«= 1,2,.... (8;
Элементам числовой последовательности {г*}, к = 1,2..... сопоставим вектор
с координатами х = (xi, хз,.). Беря различные ортонормированные систем] удается установить пары взаимно обратных дискретных преобразований в форы
во
Avix = ук = ^('РЬ Mixm, (8'
m= 1
00
-xn = ^2(ipni (81
*=i oo
= Ук = <Рт)\Хт, (81
т=1 со
A^v = *n = (8'
к=1
Теорема 3.7. Пусть Ф € 13. Тогда оператор (84) является дискретным опер; тором ГильбертагШмидта с нормой, равной ||Ф||, где знак || || обозначает норму i».
Замечание 3.3. Оператор Аявляется сопряженным в пространстве /3 к оп ратору Арф. Следовательно, для него также справедлива теорема 3.7, приче
к, II = ||®||.
Теорема 3.8. (Обобщенное равенство Парсеваля). При выполнении услов» теоремы 3.7 справедливо равенство
аэ ОС
Л WS = J2 W™' (8
nal m,l=l
Замечание 3.4. Если - о.н.с. в пространстве Н\, то равенство (88) прин мает вид обычного равенства Парсеваля.
Рассмотрим теперь дискретный оператор А^ двух ортонормированных систе одного пространства В:
оо
А^х = ук= к = 1,2,.... (8
3 частности, если ¡рп=фл, п = 1,2..то А^ - тождественный оператор. Теорема 3.9. Оператор (89) ограничен в /з и является унитарным. Следствие 3.1. Обратный оператор А~ф также удовлетворяет вышеперечи-:ленным свойствам, причем А~^х = Аф^х, х 6 ¡¡.
В качестве примера унитарного дискретного оператора вида (89) в ia, где В = jj[—1,1], а системы {(0*} и {ip„} имеют вид тригонометрической
cos(Trf), sm(7rt), cos(27rf),,.., (90)
г многочленов Лежаядра
H^î^-1^»31-3..........(")
соответственно, рассмотрим следующее преобразование:
оо
î/^E^'^b.!»., п = 1,2,.... (92)
гл=1
коэффициенты (v>„, V'mjtj имеют вид
(*»т =0. n-2k,m= 2(1 + 1); п = 2к - 1, m = 21 +1;
(<fin,i>m)L, = 1, n = 1, m = 1;
(V., Wfa = 2(m - l/2)1'î(-l),"-1>/a/«-i/a (y) . n = 2Л, m = 2/ + 1;
(^.^»atm-l/a)1^-!)«""-1)/...,/,^^), n = 2fc-l,m = 2(/ + l),
чде к = 1,2,..., J = 0,1...... Аналогично комбинируя другие известные орто-
юрмированные системы, можно строить новые дискретные преобразования и их обращения.
Последний раздел 3.3 Главы 3 посвящен детальному рассмотрению преобразо-зания Мелера-Фока по индексу функции Лежандра
Mi[/](r) = | J™ P(lr_1)/2(2у3 + 1 )f(y)dy, (93)
когда / £ if(R+). Предварительно исследована композиционная структура преобразования Мелера - Фока и показано, что оно является композицией преобра-юваний Конторовича - Лебедева и Ханкеля. Для описания пространства образов MF(Lp) оператора Мелера - Фока функций из L, вводится аппроксимирующий оператор по формуле
мм=? Г х > (94)
Основной результат сформулирован следующей теоремой.
Теорема- 3.14. Для того, чтобы д(г) £ MFiL,), 1 < р < со, необходимо i достаточно выполнения следующих условий:
lim(/,?)(i)eL,(R+), (96
i—0
<; (г) £ lT( R+;e~ar), a > О, 1 < г < оо в необходимой части, р(г) £ -tr(R+), 1 < г < °< в достаточной части.
В заключительной Главе 4 изложен сверточный метод для индексных преобра зований и операторов со структурой свертки Меллина. Исходя из композиционно! структуры преобразований по индексу, свертки для них основаны на конструв ции свергочного оператора для преобразования Конторовича - Лебедева, которо} посвящен раздел 4.1. Рассмотрим билинейный оператор свертки, определенны} следующим двойным интегралом
(/*»)(«) = jH«P [~\ [7. + ?+ у]) х > 0, (96)
где fag- две измеримые свертываемые функции из соответствующего пространства Лебега. Как видно из определения свертки, она коммутативна и более того, при соответствующих условиях на функции, будет следовать ее ассоциативность. Обозначив для некоторой фиксированной функции д внутренний интеграл в (96) через
= *'и>0' (97>
получим довольно общий сверточный оператор вида
(JCf)(x)= Г JC,(*,u)f(u)du. (98)
J о
Теорема 4.1. Пусть f(x), g(x) £ Lf(R+), где 1 < р < оо. Тогда свёртка (96) существует и принадлежит пространству LViq(R+), q = р/(р — 1), v > 1 /р. Более того, справедлива оценка норм
ll(/*i)lk,<qblUI/ll„ (99)
где С > 0 - абсолютная консганга.
Следствие 4.1. Сверточный оператор (98) ограничен из пространства £P(R+), ; 1 в пространство L»,,(R+), q = р/(р - 1), и > 1/р при условии д € Ip(R+), где j(z) -характеристическая функция ядра (97).
В п. 4.1.2 устанавливается связь между сверткой (96) и преобразованием Конторовича-Лебедева (6) путем действия его на оператор свертки (96).
Теорема 4.2. Пусть /, д £ Lr(R+), для 1/р < v < 1, р > 1. Тогда преобразование Кояторовича-Лебедева (6) свертки (/ * д)(х) функций / и д существует и равно произведению преобразований Конторовича-Лебедева втих функций. Другими словами, имеет место факгориз&ционное свойство
Kirl(f*g)] = Kir[f]KiT{g\. (100)
Кроме этого, для любого х > 0 справедливо равенство Парсеваля
U *Я)(*) = 4 Г (101)
* Jo х
Введем теперь специальное весовое пространство для свертки (96)
£"= ¿(й+! Ка(х)), <х>0.
ожно доказать, что данное пространство суммируемых функций на В.+ с весовой дикцией Макдональда Ка({) индекса о является банаховой алгеброй относитель-> нормы
Шь'=1~К,т(№<<х>' (102)
Теорема 4.3. Пусть /, д из пространства I". Тогда свертка (96) существует и .кже принадлежит Ь". Более того,
||/*?11х.<!1/МЫи- (юз)
Теорема 4.4. Пусть /, д из пространства Ь". Тогда преобразование Конторо-1ча - Лебедева (6) свертки (/*д){х) существует и равно произведению преобразо-ший Конторовича- Лебедева свертываемых функций, т.е. имеет место формула 00).
Для дальнейших целей введем подпространство пространства Ьобозначив •о через ш £1(К+-,Ка{/Зх)), а > 0, 0 < р < 1.
Теорема 4.5. Пусть /, д из пространства г/3 < 6 < ж/2, Тогда справед-
;гао равенство Парсеваля (101).
Равенство (101) может быть продолжено для функций из 1а на операторы К,[/] индексом а = р 4- %т из полосы |м| < с». Рассматривая вопрос взаимной однознач-зсти соответствия функции из пространства Ь" её преобразованию Копторовича-ебедева К,[/], установлен следующий факт.
Теорема 4.6. Если оператор К,[/], з = ц 4- ¿г на функциях / из Ь", а > есть эждественный нуль, тогда / равна нулю почти всюду на 11+.
Приведем езде аналог теоремы Титчмарша для свертки (96) об отсутствии деятелей нуля в кольце 1".
Теорема 4.7. Пусть функции /, д £1" и (/ * д)(х) г О, х > 0. Тогда, по крайней ере, одна из функций j(x) и д(х) равна нулю почти всюду на
В п. 4.1.3, проводя параллель со сверткой Лапласа (б), определим сверточ-ое гильбертово пространство, пополняя соответствующее предгильбертово про-гранство со скалярным произведением в виде свертки (96).
Теорема 4.8. Пусть /, д из пространства Щ, 0 < /? < 1, а > 0. Тогда свёртка 36) существует и принадлежит пространству более того
||/^|и;<С>||/|Ц-||»|и;, (104)
де Ср - положительная константа, зависящая только от /3,
Пусть и(х), х в И.+ - произвольная положительная функция, удовлетворяющая словиям
ш(х) е ¿1 ^(0,1);> Ц1)€£1((1,оо);е-^),0<^<1. (105)
'ассмотрим весовую функцию вида
?(Г) = , г>0. (106)
Беря две комплекснозначные функции f(x) и д(х) из пространства
С L", jt/3 < 6 < 7Г/2, а > О, (ЮТ)
на основании теоремы 4.8 свёртка (/ * у)(г) существует и принадлежит пространству L°mS. Более того, имеет место факторизационное свойство (100) и равенство Парсеваля (101), Кроме »того, имеем
Г(f * g){x)u(x)dx = 4 Г Г т ^b(irr)KiT(x)KiT[f]KiT[s}dr. (108)
У о Т Уо х Уо
Его можно записать и в виде
Г и * f)(*M*) Jat = 4 Г Tsmh(Tr)9(r)tfir[/]tflr[s]d,-, (109)
Jo Т Уо
где весовая функция д(т) определена формулой (106). Обозначим левую часть (109) посредством
J™(f*g)(xMx)dx=(f,g). (110)
Из равенства (110) и теоремы 4.6 следует, что {/, д) обладает всеми свойствами скалярного произведения. С этим скалярным произведением множество функций _£"0>< становится предгильбертовым пространством. Его пополнение будем называть свёрточным гильбертовым пространством и обозначать через Sq. Итак, для любых / £ St, д € Sq определено скалярное произведение (/, у) равно как и норма 11/115 = VW). Если / 6 J£.„ S е тогда
^-jfW«,»-if^f-H^?*?])
= Г Г &(«, у)ЯиШ<!ис1у, (111)
Уо Уо
Если Да;) удовлетворяет условию
Г Г Su(u, y)|/(u)/(y)|A«fy < оо, (113)
Уо Уо
то ||/||s < оо и /■ 6 5, D С другой стороны, если / и д удовлетворяют (113),
тогда в силу неравенства Коши-Буняковского-Шварца
|(/,г>1< 11/11*. (П4)
и, следовательно, интеграл
Г Г Su(u,y)\f(u)g(y)\dudy (115)
Уо У о
сходится и справедливо равенство (111).
где
Обозначим через Hq = ¿¡(R-ti ^r BÍnh(7rr)g(r)) весовое гильбертово простран-;тво функций h(r) с нормой
\\h\\„, = ^ QH г emh^íMI/Kr)!2^ 1/3 , (116)
'де д(г) весовая функция (106). Как следует из (109), оператор (6) отображает фостранство в Я, и, более того,
\\ып\\\ = ~ Г т*\пЦътш\к„т\Чт
ж J О
=[u*j){*)*{*)d*=ms. (U7)
За основании теоремы Банаха 1.5 продолжим по непрерывности оператор (6) на ¡се / £ 5,. Итак, преобразование Конторовича-Лебедева определено для всех f £ 5,, его область значений KL(Sq) принадлежит П, и для любого / € 5,
11/11« = Н-МЛК, KlÁñ = о, - / = 0. (118)
Гаким образом существует обратный ограниченный оператор ÜT,^1^]. Скалярное троизведение двух элементов ip, ф в пространстве Я, естественно определено формулой
2 Гж _
(*Р,Ф) = — гатЬ(1гг)9(г)р(т)^(г)^г. (119)
т Уо
Теорема 4.10. Область значений преобразования Конторовича-Лебедева KL(Sq) ювпадает с пространством Ея.
В разделе 4.2 построены конкретные примеры сверток для преобразований типа Конторовича-Лебедева путем введения обобщенной свертки вида
(/*в)(«) = х:[/:даМ](«). (12°)
•де К, Ki, t' = l,2 некоторые интегральные операторы. Например, равенство юзволяет построить свертку для преобразования Мелера-Фока с ядром
(12!»
:де D = х3 + у1 +t3 — 1 — 2xyt и берутся главные значения корня квадратного и логарифма.
В п. 4.2.2 реализована идея построения композиционной свертки, обобщающей сверточный оператор (96). Данный объект связан с преобразованиями типа Конторовича-Лебедева, которые являются композициями операторов (2) и (6) и определены формулой
КЛЯЛ = Ш) ■ (123)
г
Таким образом, при условиях существования композиции (123) мы получаем некоторый индексный оператор [ГД/] от функции /
{Х^} = I" Ыт, (124)
с ядром 2), (г, г) в форме интеграла
Щг,х) = Г Кт(и)к(х «)(&. (125)
J о
Как уже отмечалось, данный достаточно широкий класс операторов по индексу включает в себя все известные случаи преобразований, в том числе рассмотренных в предыдущих разделах диссертации.
Итак, мы вправе рассмотреть свертку (96) двух операторов вида (2) К^, 1=1,2 с ядрами А;,, i = 1,2 в виде ([К]/}»[А'г5])(г) и подействовать на нее оператором К с ядром к(х). В результате получаем обобщенную композиционную свертку в форме
(/*р)(в) = [ЩКгП* [**])](*). (126)
Теорема 4.15. Пусть 1 < р < оо, V < 1/2, /, д € , а ядра
к, кх,к2 £ 1,^(11+), где д = р/(р — 1). Тогда композиционная свертка (126) существует и представима в виде
(/**)(«) = Г Г J^zl У,*)ЛУ)9ШУ<1*, (127)
иа Уо
где ядро свертки выражается через интеграл по формуле
, г ! м и л
I I ехрЬ1т+т+1г)]
Хк{хи)к^)к2(гш)^^-. (128)
и
Предположим теперь, что для ядра к(х) существует сопряженное ядро к(х) 6 оператора, обратного к (2).
Теорема 4.16. При выполнении условий теоремы 4.15 и существовании сопряженного ядра к(х) 6 Е.-+) оказывается справедливым факторизационное свойство композиционной свертки (126)
¡1.>(/^)] = [!.>/] №я] • (129)
В разделе 4,3 сверточный метод применяется при исследовании одного класса интегральных уравнений с ядрами вида (97), Для етого известная в операционном исчислении схема Минусинского распространяется на оператор свертки (96) Кк} 3 Л* / с некоторой фиксированной функцией Л из кольца Ь". Как было показано, кольцо V с операцией умножения в виде свертки коммутативно относительно операций сложения и умножения и является нормированным кольцом в смысле неравенства (103), Более того, в силу фавторизационного свойства (100) и теоремы
8 несложно доказать свойство ассоциативности (/ *д) * Л = / *(д » А) для свертки 6) в кольце L". Отсюда получаем следующее равенство для оператора Кн
Kk(f*g)=(Khf)*g,f,geLa. (130)
ледуя процедуре Микусинского, кольцо L" расширим до поля частных М" = L" X {0})/ ~ с элементами вида f /д, где отношение эквивалентности ~ понимается Зычным образом
f/g ~ fi/gi <=> / * gi = 9 * h, (131)
операции сложения и умножения определяются равенствами
f/g + /l/ffi = (/ * 01 + 9 * fi)/(g * gi), fla ■ fi/gi = if * h)/(d * л). ("2)
Будем говорить об элементах кольца L" и поля комплексных чисел С как эле-гнтах поля М", подразумевая при атом естественные вложения
/ - (/ * h)lh, fzL'.heL"- {0}, (133)
7 yh/h,~ieC,h£Q. (134)
Определение 4.1. Алгебраическим обратным к оператору K^f назовем эле-ент S\ £ М", который является обратным к элементу h в поле М", т.е. S\ — I/h, le I - единичный элемент поля М°.
Лалее рассматриваются вопросы о принадлежности кольцу L° некоторых функ-яональных рядов и вычисляется резольвента оператора К\, Полученные резуль-1ты использованы в подразделе 4.3.2 для исследования разрешимости иптеграль-эго уравнения второго рода
/(г) - А Г ICk(x, y)f(y)dy = д(х), х > 0, (135)
J о
ie X 6 С - некоторый параметр, h, д € L" - известные функции, и решение / ищется кольце L". Приведенная схема Микусинского позволяет решать и более сложные равнения полиномиального вида (135) с композицией оператора (130)
/+Е c>Kifе с' Kif=П м- <136)
у=1 ¡=1
[ерез P(z) = 1 + ciz' обозначим полином m-ro порядка в (136) и рассмотрим анное уравнение в кольце L". Ввиду определения 4.1 его несложно свести к соответствующему уравнению в поле М"
(137)
[олученное алгебраическое уравнение (137) безусловно разрешимо в поле М" и меет единственное решение для любого <7 € в виде
Г-5/р{Ть)-з? + ... + ст-9- + ...+С (138)
Исследуем вопрос о принадлежности решения (138) исходному кольцу L". Ответ дает следующая
Теорема 4.19. При выполнении условий | Aj | \\h\\ < 1, где определены разложением рациональной дроби в (138) на простейшие
решение интегрального уравнения (136) существует в кольце L" , единственно и представимо в виде
f = g- Rh*g, (139)
где „ „
m m*
а г^д (®) - соответствующие резольвенты.
В качестве примера получено единственное решение в кольце уравнения
которое имеет вид
/(*) = »(*) +à
+ Kv+l(x))Kv(y) - у(К^(у) + КМу))КЛ*) (141)
Заключительный раздел 4.4 диссертации посвящен описанию одного класса сверток, связанных с операторами вида (2). На основании свойств преобразовал ния Меллина и его свертки удаегся построить класс обобщенных сверток в виде двойных интегралов Меллина-Бариса. Гипергеометрическая структура специальных функций в качестве ядер операторов меллиновского типа приводит к структуре сверток для них в терминах специальных функций двух переменных (О- и Я-функций), Простейшей моделью реализации данного метода явилась модификация свертки Лапласа вида (5)
(142)
Теорема 4.20. Пусть 1 < р < 2, Яе(^) < 1, { = 1,2 /,д 6 £,,¡,,(11+) соответственно, а их преобразования Меллина /*(з),д*(з) 6 — ¿оо,^ + ¿оо), I = 1, 2. Тогда свертка Лапласа (Б) функций /,д существует, принадлежит пространству где 7 = 1/1 + — 1, представима в виде (142) и удовлетворяет факторизационному свойству
[Щ*а)Ь) = М(*Ш(*), (143)
где [£/] - оператор преобразования Лапласа.
Теперь можно обобщить свертку (142) на операторы меллиновского типа. Известно, что основу ядер таких операторов составляют специальные функции гипергеометрического типа, а именно, частные случаи СУ- и Я- функций. Преобразования
[еллина таких ядер k"(¡) имеет вид отношений произведений гамма-функций, обо-1ачаяих соответственно fc*(í) = Ф(л), либо к'(я) = Ф(а). .Далее, в силу равенства 'арсеваля (3), оператор (2) записывается по формуле
1 fli+iao
#/](*) = Л / k-(s)r(s)x-ds. (144)
2т» Л-.оо
)тсюда возникли понятия Q- и Я-преобразований, задаваемых равенствами
i /•►+¡00
[<?/](*) = Л / «МЛФ-Л. (145)
■¿14 Л-ioo
[Я/1(г) = ¿X Ф(«)Г(-)а-'Л- (146)
'ак как наиболее общим является оператор Я-преобразования (146), то соответ-твующие свертки естественно называть Я-свертками.
Определение 4.2. Обобщенной сверткой (Я-сверткой) двух измеримых функ-ий /, g из пространств LViiP(R+), t = 1,2 будем называть следующий двойной инте-рал
Ядром свертки (147) будем называть отношение
Н(г, t) = (в, <) 6 П з (i* - ¿oo, иг + ¿oo) х («* - ioo, + too). (148)
J случае = Фа = Ф, как, например, для свертки Лапласа (142) (Ф(а) = Г(1 - ¿)) неложно установить основные алгебраические свойства полученного объекта. Если >(а) = 1, то с учетом равенства (146) свертка (147) принимает вид произведения ЕГ1/](г)[#зз](х) Я-преобразований (146).
Интересные примеры ядер (148) доставляют тождества на основе кратного пре->бразования Меллина
MHifc-(S + í) = J" к{х + у)*'-1 y^dxdy, (149)
l±íjfc-(e+t) = Г Гk(Ba*(*>v))*'~1vt~ld*dv> (15°)
et Jo J о
де k"(s)-преобразование Меллина ядра к(х). Ланные тождества вычисляются не-юсредственно при Re(s) = fj, Re(<) = v2 > 0, к € X1/,+VJli(R+).
Теорема 4.21. Пусть 1 < р < 2, /, g € LVilP(R.+ ) соответственно, а их феобразования Меллина ¡'(з),д'(з) 6 L-¿v¡ — ¿oo, i/, + ¿oo). Пусть далее Ф;(«) 6 rjp(vi - too, 4- ¿oo), ¿ = 1,2, Ф(а) 6 Lp{i - ¿00,7 4- too), 7 = 1/1 + Тогда если щро (148) равномерно ограничено как функция двух комплексных переменных а, i, :о свертка (147) существует, принадлежит пространству i1iP(R-+) и удовлетворяет |>акторизационному свойству
[Я(/ *g)](*) = [H1j) («)[Яа»](х), (161)
где [Hf\, [Hif], i = 1,2- операторы Я-преобразований (146) с соответствующими ядрами. Если же кроме того H(s, t) € ip(fl), го свертка (147) представима в виде
и выражается в терминах специальных функций двух переменных.
В качестве примеров получены конструкции сверток с функциями Аппеля двух переменных из списка Горна.
ВЫВОДЫ
В диссертационной работе развиты и усовершенствованы композиционные методы исследования операторов по индексу специальных функций и разработан сверточный метод, позволивший решить ряд актуальных задач в теории интегральных преобразований, операционном исчислении и теории интегральных уравнений. На этом пути получены следующие результаты.
1. Установлены формулы асимптотических разложений некоторых специальных функций по их параметрам. Исследованы композиционные свойства и вопросы действия операторов преобразований Конторовича-Лебедева и Лебедева-Скальской в весовых Ьр- пространствах. На основе обобщенного неравенства Минковского получены необходимые оценки и доказана ограниченность операторов преобразований по индексу в пространствах £„1Р(Н.+), а также вполне непрерывность оператора Конторовича-Лебедева. С помощью построенных регуляризирующих операторов доказаны теоремы обращения указанных индексных преобразований и даны необходимые и достаточные условия принадлежности функций пространствам образов. Особое внимание уделено теории Планшереля в гильбертовых пространствах, где установлен их изоморфизм и изометричность посредством равенств Парсеваля. Доказаны теоремы типа Планшереля и построен явный вид обратных операторов.
2. Введены интегральные операторы по индексу общего типа, ядра которых содержат все известные частные случаи и позволяют выписывать новые операторы данного класса и исследовать их свойства в 1Р. Наряду с интегральными операторами рассмотрен класс дискретных преобразований по индексу со специальными конструкциями ядер в виде бесконечных матриц. Также детально исследуется композиционная структура и вопросы действия преобразования Мелера-Фока. Дано описание преобразования Мелера-Фока от функций из 1Г, доказан аналог теоремы Винера-Пэли, соответствующий одному интегралу Мелера-Фока в комплексной области.
3. Разработан свергочный композиционный метод построения сверток как для индексных преобразований, так и для операторов типа свертки Меллина. Исследована свертка для преобразования Конторовича-Лебедева - ключевая свертка
;аняого класса операторов. Для нее доказаны равенство Парсеваля, факториза-ионное свойство, получены оценки в весовых ¿^-пространствах, определены свер-очные гильбертовы пространства. Введены композиционные свертки, позволяющие строить свертки для преобразования Мелера-Фока, Лебедева-Скальской и ;р. Известная схема построения операционного исчисления Микусинского приме-ена к свертке для преобразования Конторовкча-Лебедева, позволяющая исследо-ать соответствующий класс интегральных уравнений типа свертки. Рассмотрены верточные конструкции в виде двойных интегралов Меллина-Барнса, описываю-1ие классы сверток .для операторов меллиновского типа. В качестве примеров риведены свертки с ядрами в виде функций Аппеля двух переменных из списка 'орна.
Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических сследованиях в таких математических дисциплинах как интегральные преобра-овалия, операционное исчисление, интегральные уравнения, дробное исчисление, пециальные функции, при исследовании свойств интегральных операторов, зави-ящих от параметров специальных функций и вычислении индексных интегралов, ¡веденные объекты могут быть применены при решении конкретных задач мате-гатической физики, в частности, задач теории дифракции, распределении елек-ричества, теории теплопроводности, краевых задач теории потенциала для полу-ространства в теории упругости.
РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
, Якубович С.Б. Об одном конструктивном методе построения интегральных верток // Докл. АН БССР,- 1990.- Т. 34, N 7.- С. 588-591.
. Якубович С.Б. Об интегральных свертках типа Лапласа для G - преобразова-ий // Весщ АН БССР.- 1991,- N б,- С. 11-16.
. Якубович С.Б., Нгуен Тхань Хай. Интегральные свертки для H - преобразова-ий // Изв. вузов. Математика.- 1991.- N 8,- С. 72-79.
. Якубович С.Б., Лучко Ю.Ф. Обобщения правила Лейбница на интегральные вертки // Докл. АН БССР. Сер. физ.мат. наук. - 1991,- Т. 35, N 2,- С. 111-115. . Якубович С.Б. О классе преобразований Уимпа // Тез. научн. конф. 70-летия >ГУ.- 1991.- С. 76.
. Якубович С.Б. О некоторых классах дискретных преобразований, порожденных гатричными линейными операторами // Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук.-992.- N 1.- С. 20-25.
. Якубович С,Б. Об одном классе интегральных сверток // Весщ АН Беларусь -992.- N 3-4.- С. 27-33.
. Якубович С.Б. О некоторых обобщениях свертки Лапласа //В сб.: Матем. )из. и нелинейн. мех.- 1992,- Вып. 17.- С. 8-12.
. Якубович С.Б. Преобразования типа Конторовича-Лебедева и их свертки // Гез. межд. научн. конф, Самара.- 1992.- С. 280.
0. Лучко Ю.Ф., Якубович С.Б. Операционное исчисление обобщенных опера-оров дробного интегрирования // Тез, межд. научн. конф. Самара.- 1992,- С. 55.
1, Якубович С.Б. Композиционные теоремы типа Планшереля для некоторых шдексных преобразований//Тез. YI научной конф. математиков Беларуси,- 1992,1 150.
12. Якубович С.Б., Мопшнский А.И. Интегральные уравнения и свертки, связанные с преобразованиями типа Конторовича- Лебедева // Лифференц. уравнения,-1993- Т. 29, N 7,- С. 1272-1284.
13. Якубович С.Б. К вопросу построения интегральных преобразований композиционным методом // Изв. вузов. Математика.- 1993.- N 9.- С. 71-79.
14. Якубович С.Б., Лучко Ю.Ф. Операционные свойства свертки для преобразования Конторовича-Лебедева // Докл. АН Беларуси.- 1994,- Т. 38, N 4.- С. 19-23.
15. Якубович С.Б. Композиционные теоремы типа Плашпереля для индексных преобразований // Докл. АН Беларуси.- 1994.- Т. 38, N 6,- С. 29-32.
16. Якубович С.Б. Интегральные преобразования по индексу и сверточный метод. Тез. Межд. Конференции, посвященной 90-летию академика Ф.Д.Гахова. Минск.-1996. С. 115.
17. Yakubovich S.B. On the new approach to convolution constructions // Abstr. of the Intern. Conf. on Compl. Anal, and Appl. Varna.- 1991.- P. 45.
18. Yakubovich S.B., Luchko Yu.F. The convolutional method for the constructing of integral analog of Leibniz rules//In Proc. of Int. Conf. Constr. Func. Theory. Varna' 91.-1992,- P. 307.
19. Yakubovich S.B. The Kontorovich-Lebedev type transforms and their convolutions // In Proc. Int. Conf. Compl. Anal, and Gener. Func.: РнЫ. House of Bulg. Acad. ofSci, 1933.- P. 348-360.
20. Yakubovich S.B., Kalla S.L. On the new approach to convolution constructions // Int. J. of Math, and Math. Sci.-1993.- Vol. 16, N 3,- P. 435-448.
21. Yakubovich S.B. On the Mehler-Fock integral transform in Z,,-space // Extracta Mathematical - 1993,- Vol. 8, N 2-3,- P. 162-164.
22. Yakubovich S.B., Fisher B. On the theory of the Kontorovich-Lebedev transformation on distributions // Proc. of the Amer. Math. Soc.- 1994,- Vol. 122, N 3.- P. 773-777.
23. Yakubovich S.B. On the index-convolution Kontorovich-Lebedev transform // Integr. Trans. Special Func.- 1994,- Vol. 2, N 1.- P. 77-80.
24. Yakubovich S.B., Saigo M., Lemeshevskaya N.P. On the class of Lebedev-Skalskaya type index transforms // Fukuoka Sci. Reports.- 1994.- Vol. 24, N 2.- P. 67-81.
25. Yakubovich S.B., Saigo M. On the Mehler-Fock index transform in Z^-space // In Proc. Inst, of Math. Sci. Kyoto Univ.- 1994,- Vol. 8,- P. 130-144.
26. Yakubovich S.B., Saigo M. The Kontorovich-Lebedev transform and its convolution // In Proc. Inst, of Math. Sci. Kyoto Univ.- 1994.- Vol. 12,- P. 84-119.
27. Yakubovich S.B., Saigo M. The Kontorovich-Lebedev and the Mehler-Fock transforms in Xp-space//Abstr. of the Conf. of Math. Soc. of Japan. Section Theory of Func, Tokyo, Sept. 25-28. 1994.- P.9.
28. Yakubovich S.B. On the new approach to constructions of the index transforms // Diss. Mathem.- 1995.- Vol. 340.- P. 321-335.
29. Yakubovich S.B. About a new class of integral transforms in Hilbert space // Math. Balkanica.- 1995.- Vol, 9,
30. Yakubovich S.B., Saigo M. On the general index transforms in ip-space // In Proc. Inst, of Math. Sci. Kyoto Univ.- 1995,- Vol. 7,- P. 60-71.
31. Yakubovich S.B., Saigo M. On the Lp-theorems for index transforms // In Proc. Inst, of Math. Sci. Kyoto Univ.- 1995.- Vol. 7.- P. 72-83.
32. Yakubovich S.B. On some new properties of the Kontorovich-Lebedev like integral transforms // Rev. Tec. Ing. Univ. Zulia.- 1905. - Vol. 18, N 3.- P. 291-299.
). Nguyen Thanh Hai, Yaiubovich S.B, The double Mellin-Barnes integrals and their ^plications to convolution theory.- Singapore, etc.: World Scientific, 1992.- 295 pp. I. Yakubovich S.B., Luchko Yu.F. The hypergeometric approach to integral transforms id convolutions.- Dordrecht, etc.: Kluwer Academic Publishers. Math, and its Appl., >94.-336 pp.
>. Yakubovich S.B. Index transforms.- Singapore, etc.: World Scientific, 1996.- 258 pp.
РЕЗЮМЕ
ЯКУБОВИЧ СЕМЕН БОРИСОВИЧ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПО ИНДЕКСУ И ОБЕРТОЧНЫЙ МЕТОД
Ключевые слова. Интегральные преобразования по индексу, свертки, сп циальные функции гипергеометрического типа, операционное исчисление, те рия Планшереля, преобразование Конторовича - Лебедева, интегралы Меллш - Барнса.
Объекты исследования. Операторы преобразований по индексу, интеграл: ные уравнения сверточного типа, свертки со специальными функциями.
Цепь работы. Разработка структурных и композиционных свойств интеграл] ных преобразований по индексам специальных функций. Описание образов вес< вых Ьр- пространств преобразований Конторовича - Лебедева, Мелера - Фока, Л1 бедева- Скальской. Доказательство аналога теоремы Пели - Винера для преобр! зования Конторовича-Лебедев а в банаховых пространствах аналитических фуво ций. Разработка метода построения интегральных сверток для преобразовани меллиновского типа в виде двойных интегралов Меллина - Барнса и композицио: ных интегральных сверток для индексных преобразований. Введение сверточны гильбертовых пространств, построение операционного исчисления типа Микусш ского для оператора свертки Конторовича - Лебедева и его применение для полз чения явных решений одного класса интегральных уравнений типа свертки первог и второго рода с неподвижной особенностью на конце промежутка интегрированш
Методаг исследования. Разработанные в диссертации методы основаны н композиционной структуре рассматриваемых операторов, сверток и асимптотиче ских свойствах специальных функций в качестве их ядер.
Полученные результаты я их новизна. На основе предлагаемых алгоритме впервые получены описания пространств образов весовых Ьр- пространств пр« образований Конторовича- Лебедева, Мелера - Фока и Лебедева - Скальской. Коы позиционная структура преобразований по индексу и свойства их ядер как фунгада гипергеометрического типа позволили вывести общие формулы их ядер и сверто и, тем самым существенно расширить класс индексных преобразований. Впервы удалось систематизировать и обобщить ранее известные результаты, предложи метод исследования совокупности интегральных преобразований по индексу в раз личных функциональных пространствах. Разработан метод построения интеграль ных сверток в виде двойных интегралов Меллина - Барнса и композиционных свер ток для преобразований по индексу. Установлен аналог теоремы Пели - Винер;
■ банаховых пространствах аналитических функций для преобразования Конто-ювича - Лебедева. Построено операционное исчисление типа Минусинского для ¡вертки типа Конторовича - Лебедева и получены явные решения одного класса :верточных уравнений с неподвижной особенностью.
Степень использования. Некоторые идеи, методы и результаты отражены в юнографиях и использованы в отдельных работах.
Области применения. Методы и результаты диссертации могут быть исполь-ованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как мтегральные преобразования, свертки, операционное исчисление, дифференци-■льные и интегральные уравнения, а также при решении конкретных задач ма-емагической физики, в частности задач диффракции и теории потенциала.
РЭЗЮМЭ
ЯКУБОВ1Ч СЯМЕН БАРЫСАВ1Ч
ШТЭГРАЛЬНЫЯ ПЕРА^ТВАРЭНШ ПА 1НЛЭКСУ I ЗГОРТАЧНЫ МЕТАЛ
Кшочавыя словы. 1нтегральныя пераутваранш па шдвксу, згортга, спецыяль-ыя функцьп гшергеаметрычнага тылу, аперыцыйнае злгченне, тэорыя Планшэрв-я, пераутварэнне Кантаров^ча - Лебядзева, штэгралы Мелша - Барнса.
Аб'екты даследавання. Аператары пераутварэнняу па ¡ндэксу, штвгральныя ауяант згортачнага тылу, згортга са спецыяльным! функциям!.
Мета работы. Распрацоука структурных и кампазщыйных уласщвасцей шт-гральных пераутварвнняу па шдвксам спецыяльных функцый. Ашсанне воб-азау вагавых Ьр- прасторау пераутварвнняу Кантаров1ча - Лебядзева, Меля-а - Фока, Лебядзева - Скаль екай. Локаз аналага тэарвмы Пэл1 - Венера для ераутварэння Кантаров^ча-Лебядзева у банахавых прасторах аналогичных функ-ый, Распрацоука метада пабудовы штэгральных згортак для пераутварвнняу елшаускага тыпу у вщзе двайных штэгралау Мелша - Барнса 1 кампазщыйных [твгральных згортак для шдэксных пераутварэнняу. Азначэнне згортачных пль-ертавых прасторау, пабудова аперацыйнага зл1чэння тыпу Мжусшскага для апе-атара згортю Кантаров1ча - Лебядзева 1 яго прымяненне для атрымання яуных ашенняу аднаго класа штэгральных раунанняу тыпу згортк! першага 1 другога ода з нерухомай асаблшасцю на канцы прамежка шгэгравання.
Метады доследования. Метады, ягая распрацаваны у дысертацьп, заснаваны на кампазщыйнай структуры разглядаемых аператарау, згортак i аамптатычных уласщвасцях спецыялькых функций у якасщ ядзер.
Атрьшаньш Bbndidi нав!зна. На аснове прапанаваных алгарытмау упершыню атрыманы ашсання прасторау вобразау вагавых Lp - прасторау пераутваранняу KaHTapoB¡4&- Лебядзева, Меляра - Фока i Лебядзева - Скальскай. Кампазщый-ная структура пераутваранняу па шдэксу i уласщвасщ ядзер як функцый rineprea-метрычнага тылу дазволш! атрымаць агульныя формулы ядзер i згортак, i тым самым icTOTHa папшрыць клас шдэксных пераутваранняу. Упершыню удалась астэМатызаваць i абагульнщь вядомыя вьхшш, прапанаваушы метад даследаван-ня мноства штэгральных пераутваранняу па шдэксу у розных функцыянальных прасторау. Распрацаваны метад пабудовы штегральных згортак у выглядзе двай-ных штвгралау Мелена - Барнса i кампазщыйных згортак для пераутваранняу па шдэксу. Атрыман аналаг тэарэмы üani - BÍHepa у банахавых прасторах анал1тыч-ных функцый дляпераутварання Кантаров1ча - Лебядзева. Пабудавана аперацый-нае зл!чэнне тылу М1кус1нскага для згоргш тылу Кантаровьча - Лебядзева i атрыманы яуныя рашвнш аднаго класа згоргачных раунанняу з нерухомай асабл1васцю.
Ступень карыстаннд. Некаторыя 1ДЭ1, метады i вынЫ адлюстраваны у мана-граф!ях i выкарыстаны у асобных артикулах.
Гаяша прымянення. Метады i вытга дысергацьп могуць быць выкарыстаны у тэарвтычных даследаваннях у тамх матаматычных дысцыплшах, як штегральныя пераутварвшп, згортю, аперацыйнае зл!чэкне, дыферэнцыяльныя i штегральныя раунанш, а таксама пры рашанж канкрэтных задач матгматычнай ф!з1к1, задач дыфракцьп i тэорьц патэнцыялу.
SUMMARY YAKUBOVICH SEMEN BORISOVICH
INDEX TRANSFORMS AND CONVOLUTION METHOD
Keywords. Index transforms, convolutions, special functions of the hypergeometric type, operational calculus, Plancherel's theory, the Kontorovich - Lebedev transform, the Mellin - Barnes integrals.
Objects of research. Operators of the index transforms, convolution integral equations, convolutions with special functions as the kernels.
A purpose of work. The development of structural and composition properties of the integral transforms by indices of special functions. A description of images of the weighted Lf- spaces of the Kontorovich - Lebedev, Mehler - Fock, Lebedev - Skalskaya transforms. A
3of of an analog of the Paley - Wiener theorem for the Koatorovich - Lebedev transform banach spaces of analytic functions. The development of one method of building of egral convolutions for the Mellin convolution type transforms in terms of the double :llin-Barnes integrals and composition convolutions for the index transforms. Introduction the convolution Hilbert spaces, a construction of the Mikusinski type operational calculus the Kontorovich - Lebedev convolution and its application for the obtaining of explicit utions of the convolution integral equations of the firist and second kind with an immovable gularity at the end of the segment of integration.
Methods of research. The methods developed in dissertation are based on the nposition structure of the considered operators and convolutions, and also depend upon 'mptotic properties of Bpecial functions in the kernels.
The obtained results and novelty. Basing on the proposed algorithms for the first íe the descriptions of the spaces of images of the weighted Lp - spaces of the Kontorich - Lebedev, Mehler - Fock and Lebedev - Skalskaya transforms are exhibited. The nposition structure of the index transforms and properties of them kernels allowed to luce general formulae of the kernels and convolutions and , in turn essentially extend a ss of index transforms. For the first time it was succeeded in a systematization of the jwn results and in a generalization of these transforms by the proposed method of the estigation of a variety index transforms in functional Bpaces. The method of building integral convolutions in terms of the double Mellin - Barnes integrals and composition ivolutions for the index transforms is worked out. An analog of the Poley - Wiener orem in banach spaces of analytic functions is established for the Kontorovich - Le bedev nsform. An operational calculus of the Mikusinski type is constructed for the Kontoroh. - Lebedev convolution and explicit solutions of the class of convolution equations with immovable singularity is obtained.
The use. Some ideas, methods and results are presented in monographs and papers.
Fields of application. Methods and results can be used in theoretical investigations such mathematical fields as integral transforms, convolutions, operational calculus, erential and integral equations and also in solving the mathematical physics problems h as in particular, the problems of the diffraction and the potential theory.
