Свертки интегральных преобразований и обобщенная н-функция тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ5 04

На правах рукописи УДК 517.38 + 517.444

НГУЕН СУАН ТХАО

СВЕРТКИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОБОБЩЕННАЯ н-ФУНКЦИЯ

01.01.01 - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995 '

Работа выполнена на кафедре теоретической и специальной физики Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Какичев В.А. . Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Широков H.A. - кандидат физико-математических наук, доцент Щенкович В.М. Ведущая организация - Математический институт РАН имени

В.А.Стеклова

Защита состоится "28 " 1995 г, в 161S на

заседании Специализированного Совета К.113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук ' при Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена ^ 191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корпус 1, ауд. 209/.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый. се1ф8тарь Специализированного Совета _ И.Б. Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ • Актуальность темы. В 1941 г. ашгсын r. v. tu определил, портки ляя преобразования Фурье и для синус- и косинус-реобразования Фурьо. Как известно, свертки находят приложения ри решении задач математической физики izi, для вычисления ягегралов i3-sj и суммирования рядов tej. Они голлыси нтегральными прво5риоо5йимши и к-ní объектом исследовании <ь, i. Z iOuiiiw ялряироь.-шных колец умножение элементов кольца акже часто вводится посредством операции свертывания tsi. равнение типа свертки нашло много приложений и их исследова-ию посвящена обширная литература te-in. в 1967 г. свертка

т.

*wg,c весом i введена Какичевым В.А. с 12, i3j. озтому представляет интерес построения сверток интегральных реобрззований, связанных со специальными функциями, в том

. Churchill R. V. Fourier series and Boundary value problems, ev York , 1041 , p. 58.

. Снеддон И. Преобразования Фурье, м. И*Л, 1955, 668 с.

Мартев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных ункцш (теория и таблицы формул). Минск: Наука и техника. та. 31 и с.

Прудников A.n., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Вычисление нтегралов и преобразование Меллина. --v Итоги науки и техники ат. анализ. М.: ВИШИ, 1989. т. 27. с. 3-146.

Брычков Ю.А., Глеске Х.-Ю. Маричев О.И. Факторизация нтегрэльных преобразований типа свертки // Итоги науки, и ехн. мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1983, т. 21. с. 3-41. . Рыко B.C. Дискретное преобразование Меллина // Изв. вузов, атематика. 1991. n 8. с. 65-68.

Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразования типа свертки. .Л. 1958.

Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные армированные кольца. М. Гос, из-ство, 1960, 316 с. . Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: остехиздат, 1948. 480 С.

числе и разичных н-преобразований.

Введенное нами определение обобщенной н-функции одного переменного является естественным расширением определения н-функции Fox с. [143. Теория н-функции, основы которой были заложены в работах cis-i73, находят в настоящее время применение в математическом анализе сз-si. н-функции Fox двух переменных и их некоторые свойства были изучены в cia-eoi.

ю. Маричев О.И. Некоторые интегральные уравнения типа свертки Меллина, содержащие в ядрах специальные функции. Редколегия ж. "Изв. АН БССР. сер. физ.-мат. н." Минск, 1976. 84 с.

11. Yakubovich S. В. and Yurii F. Luchko. The hypergecjnetr ic approach to integral transforms and convolutions. Kluwer Academic publishers, mala 287. ISBN 0-7623-3856-6.1994.

is. Какичев В.А. О свертках для интегральных преобразований // Изв. АН БССР, физ.-матем. наук. 1967. н 2, с. 48-57.

13. Какичев В.А. О матричном свертывании степенных рядов ^ Изв. вузов, математика, 1990. и 2, с. 53-62.

14. Fox С. The G and' H-functions as symmetrical Fourie: kernels. 1961. Tran. Amer. Math. Soc. 98, 395-429.

15. Braaksma B.L.J. Asymptotic expansions and analytic continuations for a class of Barnes-integrals. 1963. Compositio Math. 15. 339-341..

16. Mathai A.M. and Saxena R. K. Generalized hypergeometric function with Applications in statistic and physical sciences. 1973. Springer-Verlag lecture notes N 348, Heildedilerg.

17. Srivastava H. M. , Gupta К. C. and Goyal S. P. The H-functions of one and two variables with applications. 1982, South Asian publishers, India. 304 p.

18. Bora S. L. and Kali a S. L. Some results involving generalizes function of two variables. 1970, Kyungpook Math. J. Ю. 133140.

19. Verma R. U. Ьn the H-function of two variables. II. 1971: An. Sti. Univ. "Al. I. Сига" Iasi Sect. I a Mat. CN.S5 17, p. ЮЗ-109.

Другие варианты теории н-функции двух переменных рассмотрены в работах с21, газ. н-функции многих переменных введены в ггзз. В [3] построены факторизации одномерных преобразований типа Меллина через простейшие операторы. Естественно возникает актуальная задача построения факторизации двумерных и многомерных преобразований типа Меллина. Эта задача рассматривается в данной диссертации.•

¿. работы. 'Построены свертки- большого количества инте-. хральных преобразований со специальными функциями в ядрах, а также многомерных интегральных преобразований:обобщенное н-преобразование и преобразования типа Меллина, изучены их свойства и даны некоторые приложения.

3. Общая методика. В работе используются методы функционального анализа, коммутативное нормированное кольцо и теория специальных функций.

4. Научная новизна. Построены свертки интегральных преобразований, ядра которых в содержании специальных функций: Макдо-нальда, Гамма-функции, о-функции Мейера, Уиттекера,' Куммера, Трикоми, параболического цилиндра (Вебера - Эрмита). Построены свертки для обобщенных н-преобразований одномерных и многомерных и изучены их свойства. Построеные свертки двумерных интегральных преобразований типа Меллина сведены в таблицу. Приведены формулы факторизации интегральных преобразований типа

20. Mittal P.K. and Gupta K. C. An integral involving generalized function of two variables. 1972. Proc. Indian. Acad. Sci. Sect. A75, 117-123.

21. Buschraan R. G. H-function of two variables, I. 1978. Indian J. Math. 20, 105-116.

32. Nguyen Thanh Hai and S. B. Yakubovich. The Doable Mellin-Barnes type.integrals and their applications to convolution theory // World Inter. Sci. Publ. , Singapore - Hongkong - New - Jersey - London. 1932.

23. Buschman R. G. H-function of N-variables. "1979. Ranchi. Univ. Math. J. lO, p. 81-88.

Меллина через простейшие двумерные операторы. Дано определение обобщенной н-функции одной и многих переменных и определены множества параметров ее существования. Получены следующие формулы для обобщенной н-функции двух переменных: представление ее .через н-функции одного переменного, также чере; н-функЦии двух переменных. Найдены интегральные связи дш обобщенных н-функций многих переменных. ■

5. Практическая и теоретическая ценность. Рассмотренный i работе круг вопросов найдет приложение в современно! теоретической и математической физике, в теории специальны) функций, коммутативных нормированных колец и в теорга интегральных уравнений типа свертки.

6. Апробация работы. Результаты диссертации докладывзлись ш научных конференциях НГПИ (1993 г.), НовГУ (1994 г.), на семинарах кафедры математического анализа НГПИ (руководитель семинара - профессор Какичев В.А.) в 1991-93 годах, на семинара? кафедры теоретической и специальной физики НовГУ (руководител! семинара - профессор Рэдциг Ю.Ю.) в 1994-95 г., а тзкже математическом институте РАН имени В.А.Стеклова (руководитель семинара - академик Владимиров B.C.) в 1995 г.

7. Публикации. По теме диссертации депонировано 7 работ ь опубликовано две статьи, одна из них в соавторстве с нзучньт руководителем.

8. Структура и объем работы. Диссертация изложена на 131 странице, состоит из введения и трех глав, разбитых на десять параграфов. Библиография содержит 212 названий.

. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор и обзор предшествующих исследований по теме диссертации, изложено содержание выполненной работы.

В первой главе построены свертки интегральных преобразований, ядрами которых являются функции: Мавдонэльда, Гамма -функцией, g - функцией Мейера, Уиттекерэ. Куммера, Трикоми, Вебера - Эрмита. Изучены соответствующие алгебры Банаха и дань

е

их некоторые приложения.

§1 посвящен изучению' сверток в пространстве оригиналов для интегральных преобразований с 241 с функциэг Макдональда в ядрах. ■ "

/

<К/)СхЭ = - I J expj^g signyj К^С |у|Э /СуЗ dy

—00 ' . . И ' С1Э

+СО

/ з (К_17)СуЭ = I ®*р[ Щ sig" У ) К.ХС |у|Э х /СхЗ dx .

-со

Дусть р(х,а) - | sign xj ^cjxja . а > О ,

LCp3 = L (R;pCx.CO )

Определение 1. Свертка преобразования ci3 с весом * в пространстве оригиналов имеет вид:

С/ * дЭС$Э = | QMCx.y.s3 /СхЭ дСуЭ dx dy , C2i

где

. пх ~2

лСхЗ =

chnx

1 ( |ху| |х5( |уэ|

0 Сх.у.З^ « - ехр<--- - - - I <рСх, y,j3 ■

пS I alst 2|у| 2|х| J

42|8|J U|y|J l2|x|JJ

6ns l 2|s{ 2|y| 2|x| гПхуГ*

pCx,y,i3 в * Cx,y.s3+* Cx.y

!|У|

+

*'Сх,у,8Э » х!дпх + э!дпу + signS ± э1дпх я!дпу э1дп4 .

еггес« - интеграл вероятности.

24. Ву Ким Туан. Интегральные преобразования и их композиционная структура. Дисс. на соиск. учен. степ, докт." физ.-мат. наук. Минск, 1987. 322 с.

ТЕОРЕМА 1. Пусть /Сзо, дсхэ е ьсрз, тогда с/ 1« дз существует и принадлежит пространству ьсРз, причем имеет место неравенство

I/ » о| * |/| |эЯ

В силу этой теоремы и определения 1 пространство ирз с фиксированным а является коммутативным банаховым кольцом со сверточной операцией в качестве умножения элементов.

Аналогичные результаты получены дом интегральных преобразований, ядрами которых являются функции: Гамма - функция в §2, с - функцией Мегера в §3 и в §4 Уитгекера. Куммера, Трикоми, Вебера - Эрмита.

Во второй главе введена обобщенная н-функция многих переменных и изучены ее свойства.

Обобщенная н-функция двух переменных введена интегралом (§5) .

нсх.уэ <=- | Г есв.о х-5 аз с«,. сзз

СЙпО1 J J

чч •

с ядром

Р п,

ВСя.ЬЭ = П г Саг + а^з + ЬЛЗ . 1=1

Следующая теорема определит множество параметров, при которых существует обобщенная функция двух переменных. ТЕОРЕМА 2. Пусть о ссо не меняет знак при всех а в и ■, а ин-. + ' ' тервалы хкса>, 1ксоо соответственно заменяются на с-®. оз ,

со, +ооз. если.оксаэ > о , с е и .

Тогда справедливы утверждения: 1°3 Пусть ЕкСеО * О , ДЛЯ ВС6Х к , 1 £ к < р Ц ВС6Х с ИЗ и. . существуют числа к, г такие, что Ексоз е^со < о , V о- « и , тогда интеграл саз сходится при любом а, принадлежащем интервалу 1Са. ЬЭ и Сс, аээ п ^ •

Если существует ко такое, что Ек ел = о , о е и , то.

о

гфи дополнительном условии оксегэ > о . с« и интеграл с гз сходится при любом с, принадлежащем интервалу с а. ьз п •

aV Если Ekc»D ^ о , v к ,k = i,p, v » e и . то интеграл

сгэ сходится при любом а, принадлежащем интервалу

р

си i* > n V

Первый случай . сохраняется и тогда, когда при некотором *0 выполняется условие:

СиЗ = О . П, С=г? > О . V с е U . к к 1 о о

В этом параграфе получены также формулы для представления обобщенной н-функции двух переменных через н-функции одного или двух переменных.

§6 посвящен определению обобщенной н-функции многих переменных и изучению ее свойств.

Обобщенную н-функцию п переменных введем равенством-.

нс хз = - f ц п 1 _ _ iVs jxds, с 43

СЕгтО" J k = i J. m ,а ,а I t- Ч

, k j. j, j. , J

L k k k i6j.

s k

в котором:

v э n и = Pj j - фиксированные натуральные числа, k i' ' ' k

jk=<:ji,jz.....Jk> - упорядочный набор (картеж) натуральных

чисел:

1 < j < j < . . . < j, < n . J г k

iDmsm s < m ,.m m > =

I J. J . , j, J . . J, , 1 j . . j, , £ J . . J, , p

k » k i k » k » k j . . j,

l k

pj pj

к к

sim . , m m > ~ <m , >. =<m ,>, -

J, , 1 J, , 2 J, , p J . . J, . 1 1 =i j, , 1 1 =i

k k k » k k k

- вектор целых чисел размерности р, . ' k

а и а - аналогичным образом устроены векторы соответ-

k к

ственно с комплексными и вещественными координатами.

I ) х " Сх , ... , х 5 , х. 1« О С1 = 1,п) , а 1 п I

х* «= П хЛ . - П , Ь = X . х Ц х ... х Ь

1-1 1 1-1 1 в ®1 . ,'ап

ц. - некоторые бесконечные контуры.

I

I > Параметры а, , а удовлетворяют условию: полюса интегра-к . к

. ла сзз - простые, если | = 1 .

1 ^ »

1вэ Мнимая ось должна отделять полюса функции при а > о и

к

«, < О При и, > О . 'к \

н - функцию сзз будем обозначать следующим образом: . р-

НСхЗ 5> Н(Сх, 3. ) 5 Н(Сх, 3.

■ Н(Сх в Н(Сх 3? | Х./" _ _ Г У ■ 1 )

к к к 1е,,к

3 Н(Сх 3 | р . ■ . а . в ) з к к к к

р,

X Св .3 1

»у а л '"а

X ' л г

Л 1 . а ■V*

. л. . . Г1

х_

гп ■ 1. Л . Л. п 'V

п

х_

т . 1. ... П 1 . . . п

J = 1 ,п

Ся Э , 1 < а < J < п

— ] ^ 12 ,а_ 1 г

]Ь]

,л « 1 ,г>

Н

где л означает^пропуск индекса ТЕОРЕМА 3. Справедливо равенство.

N

Г П Н(Сх. г . Л X. Э. _ I р' ,т^ ,а"* ,аi ) сЗХ =

К"

=н

Сх1 ♦пС^-О3 д = 1

Здесь

Iм"1 ]]

N-1

n Г"7"ТГТ м--. м ГГ.

I- , 1 -Са +к а Э, а )| ) )Сз.:5|

'к "'к 'к ак ■ ''к I-/- * J

х ч , ■ = 1 • ; = 1 > п пСЫ-О + а

О. = <1,Е, ... , I. > ,

ь 1 п * _

Па * О , р С1.....Э > О , = 1.Ы .

к = » к

/с

, .'. . ,1, 3 > - 1с1е1[агд х'.с/ ,. . . .а } I , с - 1 .N-1 ' 1 с—1 П 1 "I I

1 П-1

агд х' = С агд х ., „ 3 а а I +пС ¿-О

V е О.

1=1 1=» Результаты этой теоремы позволяют вводить и вычислять многомерные н-функции меньшего числа переменных.

В §7 дано определение -обобщенных н-прзобразований и триводены некоторые результаты к;им относящиеся.'

Определение 2. Обобщенное н - преобразование введем равенством 1 р р

СН/ЗСхЗ = - J X___Cs3 /*Cs3 x~s ds , х > О , С5:

, £m' J in, а, а

а

предполагая, что

с = < s, Re s .= | ) ,

Се. +13 > C2 Re а-13 sign а." , i=l,р j J J*

Определение 3. Пару чисел р

С = - V m.la.l

j-i р

- } m. Csign a.-a,3 - Relj С1-а.Э E L. J ' i J

p p

г = — ) m. Csign ot.-a,3 - Rei l Cl-а.Э signCm.a.3

° г L. J J i J "

будем называть характеристической. Определение 4. сгзз. Пусть с,\у е к и

2 sign с + sign с i О .

Через ю~| обозначим пространство фукнций, представимых в виде интеграла:

/(х) = - Г /*Cs3 x~s ds ,

2ni J

с

где /*cs3 - преобразование Меллина функции /с*з и

|s|r As3 enclsl е LCo-3 .

Определение 5. Свертка преобразования (5) в пространстве оригиналов определяется равенством:

2S. самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 687 с.

С/ * gDCj}

- J N

Cj.s.O /CsD gCO ds dt

С6Э

"ДЭ

в С i, s, tD du = н

«st

S's

S't

p, m,a,a p» m» a,a

С 73

- обобщенная н-фушщия двух переменных.

:ЕОРЕМА 4. Сверггка .свз, С7Э существует в пространстве м^си

1 том и только том случав, когда выполняются следующие гсловия:

2 signC + signCy+65 > О , 4signCC+C Э + si.gn(Zy*Br +13 > О .

о о

siga С + signCC+Co> + 2. sLgn{rg + Ву + <5 + 1. ) > О .

I ЭТОМ случае С/ * дЗСхЭ в Ж CL3

rf = min£

где

г + б , гу+г + <5

[алее, если существует пара с с». э такая, что с/ * дэс>о е

tc; со при всех /СхЗ, дСхЭ

Я-' CLD . то

с ♦ у

т сю с и , .со .

Свертка свз,с7з как правило существует либо в прострвнстве ригиналов, либо в пространстве изобраяопиа. Однако можно одрбрать весовые функции так, что будет иметь место свертки и ригиналов и изображений.

В третьей главе изучаются двумерные преобразования типа еллина, их факторизация и свертки.

§8 посвящен изучению двумерных преобразований типа еллина и некоторых их свойств:

(Кр)Сх,уУ э | К (ахауЬ + (Ьссуа) } р е { К(2) } р ^

s Jк(а СF3 сF3 [;J

где: а, ß e R+ , a, Ь, c, d e.K >

Д = ad - bc * О , a* + с2 * O, bZ + d2 * О .

к - функция одного переменного. Заметим, что (8) не является произведением одномерных преобразования Меллина.

В §9 изучаются, факторизации двумерных преобразований типа Меллина.

ТЕОРЕМА Б. Пусть

к , к. - одараторы свертки Меллина 17з - Тогда справедливо ,фа|сторизащонное равенство:

а. а. -а. -а.

^ I. у _v _

{ч _ / \П~» . ( £d Sa 2d . 2а- \

к} = мп~'{ло} £{* 'у 'Kt- '^ 1} •

где -

^ а. а. -а. -et

_i _i j_i ._-v

г £d ' 2a £d 2a ч ..

к | , х 1 у 1 к. х 1 у 1 - двумерные преобразования

типа Меллина, а | до | - обратное двумерное преобразование

Меллина Бета-функции.

С помощью теоремы Б построены факторизации ряда преобразовании Меллина, являющихся аналогами соответствующих преобразований свертки Меллина в с51, В свою .очередь это позволило получить различные тождества, связывающие двумерные интегральные преобразования типа Меллина.

§10 посвящен изучению сверток двумерных преобразований типа Меллина в пространстве оригиналов и изображений. Получена таблица 218 ядер сверток, причем ядра является обобщенными н-функциями четырех переменных.

___Аналогичные результаты имеют место и для п-мерных (п > ::)

интегральных преобразований типа Меллина.

Ь диссертационной работе, как указано выше i. Построены свертки интегральных преобразований с функцией Чпкаопэльда, Гзммэ - функцией, о - функцией Мейера, Уиттекерз, Кумморл, Трикоми, Небера - Эрмита. Описана их алгебра и получены приложения к решению интегралы»«* yr^sncsiii а л

У,, "ой-; oiij-fделение обобщенной н-функции одной и многих переменных и исследованы некоторые ее свойства. Получены новые Формулы для представления обобщенных н-функций двух переменных через н-функции одного и двух переменных. Определены множества параметров, при которых существует н-функции. Найдены интегральные связи.для обобщенных н-функций многих переменных,

3. Введены обобщенные одно и многомерные н-преобразования, построены их свертки и изучены некоторые свойства.

4. Приведены таблицы сверток двумерных интегральных преобразований типа Меллина, их свойства и факторизации через простейшие двумерные операторы.

В заключении автор выражает глубокую благодарность про-;*?ссору, доктору наук Какичеву В.А. за постановку задач, постоянное снимание и ряд советов по диссертации.

Основные результаты опубликованы в следующих рабстзх: . Нгуен Суан Тхао. К вопросу об определениях обобщенной [функции с помощью интеграла Меллина-Бзрнса, Новгородск. гос. И Т. Ковород, 1993. 27 с. Деп. В ВИНИТИ 18.02.1992, N Б56-В92 РШМат., 1992, 8Б19 Дел.).

Нгуен Суан Тхао. Об интегральной связи обобщенных н-функций ■азличного числа переменных. Новгородск. гос. ун-т. Ксвгород. ЭДН. 15 с. Деп. в БИМТИ 08.07.92 N 2190-В92. (РЯМат., 1993, Б11, Деп.).

. Нгуен Суан Тхао, 0 свертках для интегральных преобразований функцией Макдональда в • ядрах. Новгородск. гос. ун-т.

Новгород, 1992. 14 с. Двп. В ВИНИТИ 17.06.92, n 1988-В92. (РЖМат., 1993, 1Б10, Деп.).

4. Нгуен Суан. Тхао. О свертках для интегральных преобразовании с g-функцией Мейера в ядрах. Новгородск. гос. ун-т. Новгород, 1993. 10 с. Jten. В ВИНИТИ 15.07.93, N 2003-В93. (ЙКМат., 1993, 11Б6, Дзп.). '•

5. Нгуен Суан Тхао. О свертках дад интегральных преобразований с вырожденными гипергеометрическими функциями в ядрах. Новгородск. гос. ун-т. Новгород, 1994. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 17.06.94, N 1529-В94.

6. Нгуен Суан Тхао. Двумерные интегральные преобразования типа Медлина, их факторизация, обращение и свертки. Новгородск. гос. ун-т. Новгород, 1993. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 31.01.94, N 270-В94. (РЖМат., 1994, 5Б14, Деп.).

7. Нгуен Суан "Тхао. О свертках двумерных интегральных преобразований типа Меллина. Новгородск. гос. ун-т. Новгород, 1994. 64 с. Деп. в ВИНИТИ 30.06.94, N 1629-В94.

8. Нгуен Суан Тхао. О свертках для интегральных преобразований с Гамма-функцией в ядрах. В сб. "Прикладная математика", "г. Новгород. Изд-во Новгородск. ун-та, 1994., выпуск 1, с.35- 41.

9. Какичев В.А. и Нгуен Суан Тхао. Свертки обобщенных н-преобразований. Изв. вузов, математика. 1994. n 8. с. 21-28.