Некоторые операторные соотношения для Н-преобразований и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

~4руесКйИ 5дш ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи . УДК 517.444

ЛУЧКО ЮРИИ ФЕДОРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Н-ПРЕОБРАЗОВАНШ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций механико-математического факультета Белорусского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета, г. Минск.

Научный руководитель : кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник С.Б.Якубович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Я.В.Радыно

доктор Физико-математических наук, старший научный сотрудник В.А.Добрушкин

Ведущая организация: Киевский политехнический институт, г. Киев

Защита состоится " ^ 1993 г. в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Белгосуниверси-тете по адресу: 220080, г. Минск, проспект Ф.Скорины, 4, Белгос-университет, главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета

Автореферат разослан " " 1992 г.

Учёный секретарь специализированного Совсзта, кандидат физико-математических наук, доцент . П.Н.Князев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория интегральных преобразований берет свое начало в работах Фурье, посвященных распространению тепла, где он ввел преобразование, названное впоследствии его именем. Другие выдающиеся математики - Лаплас. Стилтьес, Риман. Лиувилль, Меллин, Эйлер, Гильберт - также изучали интегральные преобразования в связи с решением различных задач анализа. Благодаря работам этих математиков и их последователей, интегральные преобразования становятся одним из наиболее мошных инструментов при решении задач математической физики и других разделов математики. Теории интегральных преобразований и ее приложениям посвящена огромная литература, ориентирование в которой весьма затруднительно в силу существования большого количества интегральных преобразований. В этой связи плодотворной оказалась идея рассматривать интегральные преобразования, в качестве ядер которых берутся специальные функции, зависящие от некоторых параметров и сводящиеся в частных случаях к ядрам известных преобразований. Как известно, в классе функций гипергеометрического типа наибольшей общностью обладает Н-Функция Фокса. В силу этого обстоятельства исследование интегральных преобразований с Н-Функцией в ядре, которое предпринято в диссертации, представляет собой весьма актуальную задачу, имеющую приложения в математической физике, интегральных и дифференциальных уравнениях.

ГЬль работы. Исследовать интегральное преобразование типа свертки Меллина с Н-функцией Фокса в ядре (Н-преобразование) и связанные с ним объекты: порождавшие операторы и свертки. Используя свертки для Н-преобразований. построить операционное исчисление типа Микусинского для кратной производной Эрдейи-Кобера и получить правила Лейбница и их интегральные аналоги для некоторых частных случаев Н-преобразований.

Методы исследования. При исследовании указанных вопросов широко применяются методы теории интегральных преобразований, специальных Функций, комплексного и функционального анализа. В параграфах 8- 10 используются результаты обшей теории операционного исчисления.

Научная новизна. Работа дает систематический подход к изучению теории Н-преобразования и его приложениям к различным задачам

анализа. Устанавливаются операторные соотношения для Н-преобразо-ваний, позволяющие решать уравнения с дробными интегро-дифферен-циальными операторами Эрдейи-Кобера. Другой подход к решению таких уравнений, рассмотренный в диссертации, основывается на построении операционного исчисления типа Микусинского.

В диссертации решены следующие задачи:

1. Доказана теорема обращения Н-преобразования в некотором функциональном пространстве.

2. Построен порождающий оператор обобщенного Н-преобразования и изучены его свойства.

3. Построены свертки в смысле Димовского для порождающих операторов обобщенного Н-преобразования.

4. Построены правила Лейбница, их модификации и интегральные аналоги для некоторых частных случаев Н-преобразований.

5. Построено операционное исчисление для кратной производной Эрдейи-Кобера и дано его применение к решению задачи Коши для уравнения с кратной производной Эрдейи-Кобера.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Ценность полученных в работе результатов определяется теоретическим значением проведенных исследований, являющихся определенным вкладом в разработку теории интегральных преобразований и операционного исчисления. Результаты диссертации могут быть использованы при решении дифференциальных, интегро-дифференшальных, интегральных уравнений и уравнений в частных производных гипербесселевого типа.

Апробации. Основные результаты диссертации докладывались на международном совещании по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях (Дубна, май 1990г.), на международном симпозиуме по символьным и алгебраическим вычислениям (Токио, август 1990г.), на международном симпозиуме по символьным и алгебраическим вычислениям (Бонн, июль 1991г.), на международной конференции по комплексному анализу и его приложениям (Варна, сентябрь 1991г.), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, май 1992г.), на конференции математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992г.), на семинаре. "Функциональный анализ и дифференциальные уравнения" в Белгооуниверсите те (Минск, ноябрь 1992г.) (руководители - профессорн.А.Б.Антоне

вич. П.П.Забрейко, Н.А.Лукашевич. Я.В.Радыно. Н.И.Юэчук) и. неоднократно, на Минском городском семинаре по краевым задачам им. академика АН БССР Ф.Д.Гахова в Белгосуниверситете (руководитель - профессор Э.И.Зверович).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ. которые перечислены в конце автореферата. В них отражено основное содержание диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и включает 122 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 142 наименования

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, обозначается главные направления исследований, дается краткая аннотация всех разделов диссертационной работы.

В первой главе исследуется Н-преобразоваше. порождающие операторы и свертки для него и некоторые их свойства. В § 1 Н-преобразование 00

[Hf](х) = BU) = ÎC"fxu|(ap'ap) ]f(uMu.: (l)

J Р'<Н hРч.ъч) J

о

[|<в ,а ) 1

г р р - Н-функция Фокса, рассматривается в бана-

'('VV j

ховом пространстве функций, введенном в работах By Ким Туана, О.И.Маричева, С.Б.Якубовича.

Определение 1. Пусть о, г - действительные числа, такие что

2sgn(c) + sgn(r) 2 0. (2)

Обозначим через'nf1 <ю пространство функций.f(x>. *>о. предста-

»

вимых в виде обратного преобразования Меллина от функции t (s)

f(x) - ^^"(sjx'^ds, (3)

a

где f*<s)|s|?Vc,Ins,e L(O-), or = {я :e C: Re(s) = l/2}.

Ямоет место • '

Теорема 1. Пусть f(x) е w CÍ,(L) и

ь. а.

Re(íV + > О, l<j£m; 1 - ReC«.)--^ > О, láj<n. (4)

Тогда Н-преобразоваше (1) существует при условиях

2sgn(*) + sgn(íJ-l) >0; (Б)

2sgn(c + *) + sgn(r + fj) > 0, (6)

где

.fon р q

• " = Ebi + Е ai " Е ai " Е b¡ ' (7) I J«1 j = » j«n+t J«B+»

M = Reí E - Е/5,1 + 1 Ea.-E b¡ - -Eía-. (8)

» ' j = i JJ 4i = » J 1=« ') .

и, более того, при этих условиях

g(x) = [Hf](x)> (9)

Если выполнены еще условия

а, Ь.

Re(a.)+-j!- > о, n+lSj<p; 1-Re(^.)- > 0, m+lSj<q, (Ю)

то Н-преобразование (1) изоморфно отображает пространство

на пространство и допускает следующие

Формы обращения:.

а) В случае *=о, *j>1:

00 Л

f(x) = [Hg](x)=-4(11) dxb J p+1,q+1 L ><'v.-lv.) У

Где k e IN, k > м + 1, (%+t,ap+i) = {(O.D.U-cet-ai.ai)^, (l-eH-aLaj"}, {p^.b^^ui-fli-bi.bol^ai-pi-bi.bi^.i-k, 1)}.

б) В случае * > о-.

— „

f(

х> = [fig](x> -- Ii» (¿зт хкл(гх ' -у

00 АЛ

V Q +1' q»l J

q»l

P"

где r e IN, г > 2«, (ар.ар) = а-оч-а^а^),

(3q+t,bqtJ) = {(0,r), (1-^-bubJ^. (1-^-bubi)™}. . ИЗ)

Далее в § 1 с использованием теоремы 1 изучается дробные интегралы Эрдейи-Кобера

х

= rf§j х^^/сх"- uVy(,-tl>-lf<u)da. (14)

о

• 00 <Кр,аП(х) ГГ& *ßT x'?)a-1u-WT+a-1')-1f(u)du. (15)

где ft>o. Re<<s)>0, йб<а)>о. Для <s=o. соответственно, «=о зш операторы считаются тождественными: i^'0 = Е, . s е. Формулы обращения операторов (14), (15) имеют вид

CD^gXx) S (I^'^eKx),

где n = (tRe<5]+1' если <5«z, I <5, если <s«2.'

(Р^вХх) * flVj-icgjL) (K^'^CX), (17)

j=o

где n . itRea] + 1, если a e Z,

I a, если a e 2. '

В § 2 вводится в рассмотрение обобщенное Н-лреобразование, которое сводится при некоторых условиях к Н-лреобразованию (1). Определение 2. Обобщенным Н-преобразованием функции f(u),.

(16)

u>o, в точке х называется значение следующего интеграла

i(s)f*(s)x~°ds. (18) где о - (s е С, Re(s) "= 1/2} , 0 í t < q, 0 < n < р,

п r<í?.+ b.s) П rd-c.-a.s)

«(в) = -4ii-iii---(19)

П Г(а цз) П r(i-p-b s)

j=n+l j=m+l

и функция f"(s) такова, что f(u) является обратным преобразованием Меллина (3) этой функции.

Основным результатом этого параграфа является построение порождающего оператора обобщенного Н-преобразования (18) на некотором подпространстве пространства га"1 (м.

, Q tf

Определение 3. Пусть ^о и с>о, г^к таковы, что 2sgn(c) + sen(>-)2o. Обозначим через пространство функций f(x), х>о, представимых в Форме

f(x)=5^I Jf*(s)x"ds, х>0,

a<í) (20)

„ • -Г -nc|Im(s)|

f (s)=|j + iln(s)| e F ( s),

где o(t):(T6C, Re(T)=t} И, если |Re(s)~ jfSX. то выполняются следующие условия:

1) J|F( s)ds|sc, с - абсолютная константа,

c(Re(s) )

2) F(b)—0 при Pb>(s)—оо равномерно по Re(s).

3) f*(s) является голоморфной в этой полосе функцией.

Определение 4. Пусть f(x) е . Оператор вида

<V)(*> = ''f+^x-ds. , . (21)

где |т)|<х, р1- <п< рь- р'ь< ± $(5) определяется формулой (19),

назьшается порождающим оператором для обобщенного Н-преобразования (18).

Основное свойство порождающего оператора выражает

Теорема 2. Пусть £<*> « <ь,,г)(*) есть порождающий

оператор обобщенного Н-преобразования (18) и выполнены следующие условия:

2звп<о)+зяп(ггу^0, 2нвп(с+*)+звп(к»гэ)>0. 2|Г)|5Х, (24)

(25)

1 i ph-

р 4

Еаг Ebj

j = «

где гг = г»я( Е а - £ ь.), j= 1 J ¿ = i J

*2=min{*.-7>,x+i?}, к, f определены формулами (7), С8), Pt, ph -Формулой (22). р,, р^ - формулой (23).

Тогда имеет место следующее соотношение:

HCL^f)(х) = xn(Hf)(x), (26)

то есть обобщенное Н-преобразование является преобразованием подобия, переводящим порождающий оператор (L^tXx) в оператор

умножения на степенную функцию

В § 3 изучается однопараметрическое семейство сверток для обобщенного Н-преобразования.

Определение Б. Пусть f(x), g(x) е . Н-<верткой этих

Функций называется значение следующего интеграла

■« Г Г 5(3)5(t) . ' .

(f®g)(x)=—-—-I -f (S)g (t)x dsdt, (27)

<2ii) j J 5(s+t-a)

где = {тес-. Re(T)=i/4+a/2], $<т) определяется формулой (19) и функции f*(s), g*ct) таковы, что fCx) и g(x), соответственно.

являются их обратными преобразованиями Меллина (3). Доказывается следующая

Теорема 3. Пусть f(x), g(x) е , aeR и выполнены условия |а- i|<2X, X<min{Ph- \ -Pt}, xt<min{p;- j -p{ } , (28) 2sgn(o) + sgn(r2)>0, assgnCc^ + sgnCrOSO, (29)

где o^o+x, ri=r+tj-x

p q E a E ь

p я

E V Eb;

J = 1

, XjzminfX- f + i, x+ | - i},

pt, ph дакггся формулой (22),

р{, - формулой (23), «ир- формулами (7), (8).

Тогда Н-свертка (^)(х) принадлежит пространству х"1!,, и

2

имеет место следующее соотношение

(Н(г%))(х) =, ха(нехх)(ненх), (30)

где (Нр)(х) - обобщенное Н-преобразование (18).

На основании определения 5 и свойств Г-функции Эйлера в § 3 получены различные представления сверток для классических преобразований. В частности, свертка для обобщенного преобразования Обрешкова, которая используется в главе III при построении операционного исчисления типа минусинского. имеет вид

к

где

11

^г п п г»

... гки.а-и^г^сх п п а-ио*4)^,.. .аип

^ I - 1 V - 1 1-1

о а

у &

И (1^' *>)(х) есть дробный интеграл Эрдейи-Кобера (14).

В § 4 рассмотрены свертки для порождающих операторов (21) обобщенных Н-преобразований в смысле следующего определения, данного в работах И.Х.Димовского.

Определение 6. Пусть эе является линейным векторным пространством и «зе - линейный оператор. Билинейная, коммутативная и ассоциативная операция называется сверткой для линей-

ного оператора ь. если соотношение

Ь(х*у) = <Ьх)*у (32)

выполняется для всех х, у е ж.

Отметим здесь, что такое определение свертки более удобно при построении операционного исчисления типа Минусинского, которое может быть развито на основании свертки в смысле определения 6 для оператора, являющегося левым обратным к оператору ь.

Верна следующая

Теорема 4. Пусть х- . Тогда Н-свертка (27) является сверткой в смысле Димовского для порождающего оператора (21) при условиях

| а- \<т1п1рь-~, \ -р[),

*

-Р^Ъ.Р^-Ъ- ; Ь 288п(о)+зап(гг)20, (33)

»

2sgn(c1) + sgn(r1)í0, 2эёп(с)+зйп(гэ)-0, 2згп(с)+аап(?-4)г0, где >ч=т1п{^- § + 7, £ - = 1)!п{Х.-г), с1=с+*,

г1-г+н-*

г

Ч

Е а.-'Е Ь , Еа - Е Ь. ,

" р ч 1 Г р <з 1

гэ=?-г+г) Е а. - Е ь1, г^г+г»! Е а. -ЕМ, рь дается

формулой (22) . р[ . ру, - формулой (23), * и р - формулами (7), (8).

Вторая глава посвящена получению правил Лейбница, их модификаций и интегральных аналогов для различных частных случаев Н-преобразования (1) и. обобщенного Н-преобразования (18). Как выяснилось, такого рода правила порождается теоремами суммирования . обобщенных гипергеометрических рядов, интегральными предс?авле-ниями Г-функиии Эйлера и конструкцией обобщенной свертки, введенной в работах С.Б.Якубовича.

В § 5 изучается правила Лейбница, порожденные теоремами суммирования обобщенных гипергеометрических рядов. В частности, на основании известной теоремы суммирования Гаусса

аР,(а.Ъ;с;1) = Ке(е-а-Ъ»0,

(34)

где, для удобства, принято обозначение г

Г(а )■••Г(а > 1 р

« р

ь ,..., ь

г(ь )• • г<ь ) и ^»(а.ь^^) - гипергеометрическая функция

* я

Гаусса,получено несколько правил Лейбница. Приведем одно из них. Теорема 5. Пусть ?(х)~е яГ'^а). б(х) е яГ'^а). Тогда при

условиях

ве(а-р) > 1 -1, с > -1

имеет место следующее правило Лейбница

к =0

' 4 ' I =о

кго

у £

Здесь и далее в этой главе под оператором с)(х) понимается дробная производная Эрдейи-Кобера (16), если ¿>о. тождественный

оператор, если <5го и дробный интеграл Эрдейи-Кобера )(х)

(14), если <5<0.

Параграф заключает описание алгоритма вычисления рядов, где суммирование ведется по индексам специальных функций (индексных рядов), построенный на полученных в нем правилах Лейбница.

В § 6 рассматриваются модификации правил Лейбница, в которых суммирование ведется по всем целым индексам. Они порождаются формулой Дуголла

г>» +00

У гГа+п,Ь+п1 _ _ п*_ гГс+с1-а-Ь-1 1

(36)

Ке(а+Ь-с-а)<-1; а,Ь « 2.

В частности, верна

Теорема 6. Пусть Их) .= яГ-^а). в<х> е иГ'^ю. Тогда при услопиях

Re(ó+r>-a-|3) > - -1, Re(a)■ « Z, Re(f?)+ — «r Z,

л 2a

Re(r>-cO > —--1, RB(ó-f¡) > o > -i

2a 2a 2o

имеет место следующая модификация правила Лейбница (35)

б п *w

(Da" fg)(x) = J (Í^)(D^n-a-nf)<x)(D¡/5-n'<5+ng)(x). (37)

ns - CD

Параграф 7 посвяшен построению интегральных аналогов правил Лейбница, которые основаны на различных интегральных представлениях Г-функции Эйлера. Одно из используемых представлений имеет вид

♦ со

J r[a+T,b+T,c-T,d-r]dT = r[a+c-l,a+d-l,b+c-l,b*d-l]' (38)

-00

Re(a+b+c+d)>3.

На нем основана

Теорема 7. Пусть fu> е g(x> е Тогда при

условиях

Re(a+f?+ónj) > - -1, Re(c+77) > —-1, Re(f5+<5) > —-1, с > —

ei 2<х 2а 2а

имеет место следующий интегральный аналог правила Лейбница (37)

+ CD

<Da

fg)(x) = г-<5~тГ)(х)(0^Т'в+Т 8)(x)dr. (39)

В третьей главе результаты главы первой применяются для построения операционного исчисления типа Микусинского для кратной производной Эрдейи-Кобера.

В § 8 вводятся в рассмотрение операторы кратного интегрирования и дифференцирования Эрдейи-Кобера.

Определение 7. Пусть р>о, а^о, «ч«®, т^п. Композицию п операторов дробного интегрирования Эрдейи-Кобера (14) с весом х14

L

ц

'/а„ I van., '• • I i/a, J/4

ж- Г* • -ч ^ Г П , .. ча,; и-1 -С*:

о о

г»

хГ(Х П и^ми,.. .<3ип, 1 = 1

будем называть кратным интегралом Эрдейи-Кобера, а оператор Р^х) = х~м П[к-^-а^+а^Д П11/а. ^(х) (41)

где г>с=Чесли а^еш, _ Кратн0й производной Эрдейи-Кобера. I а^, если а^«^,

Отметим важные частные случаи оператора (41):

1) Пусть 17^=1, , и-р. Тогда

0^(х) 3 в?(Х) Э П + (42)

есть гипербесселев дифференциальный оператор.

2) Пусть «1=1. а4=1. «4=0. Ч1=(^]+1.всли Тог.да

I и, если а«^ .

омг<х) = 0<х). (43)

где ^ г(х) - дробная производная Римана-Лиувилля:

0<*> - ГагГ«1»:"'^». если ^

1с1х-' . ^ и, если

К

с. \а-1

'в г (и )с!и - дробный интеграл Римана-Лиувилля.

Дальнейшие исследования связаны с функциональным пространст-

вом с*.

Определение 8. Обозначим через са, ом=ге, к=о,1,... пространство функций г(х>, х>о, представимых в форме Г(х)=хрМх), где р>« и Мх) есть к раз непрерывно-дифференцируемая на [о,®)

о

функция.

Очевидно, пространство с* является линейным векторным пространством. Пространство с° будем в дальнейшем обозначать са. Имеют место следующие результаты:

Теорема 8. Пусть <*= тах | }. Тогда кратный интеграл 1<1<гЛ )

Эрдейи-Кобера (41) есть линейное отображение пространства са в себя:

I. : С —С сС .

р а а

Теорема 9. Пусть где пах | | и й(х)

= Тогда оператор ^(х) является правым обратным к опера-

тору т.е. 0^ЬмГ(х)=0^(х) = Г(х>.

Теорема 10. Пусть выполнены условия

«= тах ( }, ^ тах ( ^ ). (44)

Тогда операция

(^)(х)=хХ(п1;;^'а^аЛ-(Г.в)(х)), (45)

где (

е-в)(х) = Г... Г П(и1(1-и1>)"°'1г<х П..и!1)е(х П а-и1>в1)<1и1...аип

J J V = 1 1=1 1 = !

О О

является сверткой в смысле Димовского без делителей нуля для кратного интеграла Эрдейи-Кобера ь^(х) в пространстве са.

Как легко проверить, операции * и обычного сложения обладакгг свойством дистрибутивности. Этот факт и теорема 10 означают.

что пространство са с операциями * и + образует коммутативное .кольцо без делителей нуля.

Важную роль в построении операционного исчисления играет Теорема 11. Пусть выполняются условия (44) и

Тогда кратный интеграл Эрдейи-Кобера ь *<х) в пространстве са

имеет сверточное представление вида

X ^

ьме(х)=<ь(х>»г<х))и>, ь<х)=—---. (47)

Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что условия (44) и (46) выполнены.

Следствие 1. Для оператора ь™= Пь^ имеет место равенство

Ь^(х) = Ь<х>& ... (х) = Ьт(х)»1> (х), (48)

где ь (х)з—--^-.

В § 9, следуя известной процедуре Минусинского, кольцо (СаА + ) расширяется до так называемого поля сверточных частных ма=со<х(со1-{0})/~. где отношение эквивалентности понимается обыч-

ным образом

а,бЫ^е,) «-» (49)

С(х), г^х) « са, х), а4(х) е са-{0}. При этом исходное кольцо

(Са,»,+> и поле комплексных чисел <с вкладывается в поле иа.

Сущность операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в сведении их к алгебраическим уравнениям в соответствующем поле. Следовательно, для приложений необходимо прежде всего установить соотношение между кратной производной Эрдейи -Кобера о^Г(х) и элементами поля ив.

Определение 9. Алгебраическим обратным к оператору (*) назовем элемент БеНа, который является обратным к элементу Ь(х> в поле ма, то есть з-1/ь(х>, где I - единичный элемент поля на.

Введем в рассмотрение пространство .

Определение 10. Пространство функций, принадлежащих св, для которых композиция и операторов кратной производной Эрдейи-

т

Кобера (41) о"= По существует и также принадлежит са. обозначим через «"(Са).

Связь между кратной производной Эрдейи-Кобера °,/(х> и алгебраическим обратным к оператору (х) выражает следующая

Теорема 13. Пусть Их)ео™<са). Тогда справедливо равенство

0™Г(х) = ЗтГ(х)-^"кР0'1Г<х>. (50)

где оператор есть проектор оператора Е - тож-

дественный оператор.

Имеют место следующие результаты:

Теорема 13. Пусть степенной ряд с комплексными коэффициентами

сходится в точке го*0, то есть А в с.

1 = 0

Тогда функциональный ряд

да

Уь.ьЧх), ' (51)

1=1 1

где ьЧх) задается равенством (48), определяет элемент кольца са.

Следствие 2. Из теоремы 13 получим следующие операционные соотношения

1 - Ь = Ь(Х + + а2Ь2 +. . . )

Б-а 1-0.(1

г ^____<«хМ)

I:

к = о Пг(1-с^+а1(я-М+а1мк) 1=1

Из (52) с помощью непосредственных вычислений получим

Г^у, = хмт~Х £-(■0„(«Х,У-_ (53)

к=о к! П Г( 1-а1 + а1(мт-Х) + а1мк)

с - 1

Следствие 3. Для оператора дробной производной Римана-Лиувилля (43) и формула (52) примет вид

СЕ)

= хМ-1 V = ХМ-1Е ^ (54)

где Е1а Л г) - обобщенная функция Миттаг-Лефлера.

При условии г-1<гг<.. .<^</-1+1 и имеем для гипербессе-

лева дифференциального оператора (42) следующее равенство

1Ьг =■.,-* Х " (55)

Пг(1+У1-,-„■>

где рНч(г) есть обобщенная гипергеометрическая функция.

В § 10 исследуется задача Коши для уравнения с кратной производной Эрдейи-Кобера (41). Приведем ее постановку.

Пусть р(г) = ) с.21 есть полином степени ю с комплексными

I -о

коэффициентами.

Определение И. Задачей Коши для оператора кратной производной Эрдейи-Кобера ^(х) будем называть следующую задачу

Р(Б )у(х)=Г(х),

(56)

го^ у(х)=гк(х), к=0,1,...,ю-1, Ук(х)екег

где е=е-ь о •- проектор оператора ь^Г(х), Нх)еса и решение у(х) ищется в пространстве

Явный вид проектора и оператора ь^г(х) такхе получен в параграфе 10. Здесь приведем его лишь для частных случаев (42), (43) оператора о^(х).

Следствие 4. В случаях дробной производной Римана-Лиу-вилля (43) и гипербесселева дифференциального оператора (42) . проектор V имеет, соответственно, вид

Ру(х)= 5 х"^1/?1-" П (гт)1ИвГх^'1 П (^+х^)у(х)1, (58)

если Г1<Гг<- • -<Гп<Г1+1- '

Решение задачи (56) дает

Теорема 14. Решение задачи Коши (56) в пространстве п™(Са) существует, единственно и может быть представлено в форме

т т_ * О /С \ т"к

у(х)=_рЬт ИБ) где Рк(£;)= .£ (59)

Отметим, что конкретный вид решения задачи (56) в пространстве о™(Са) получается из формулы (59) с учетом разложений рациональных функций на простейшие дроби и операционных соотношений (52) -< 53).

Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для оператора дробной производной Римана-Лиувилля (43)

^у(х)-ау(х)=Г(х),

м-к • С6Ш

Решение задачи (60) в силу теоремы 14, операционного соотношения (54) и равенства (57) запишется в виде .

х '

у (х) = ^х-ю'^е^саи-^жьэсп (61)

о

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши для гипербесселева дифференциального оператора (42) в случае г1<гх< • ■ ■ <гг,<г1+1

Ву(х)-ау(х)=Г(х),

(62)

Нд Вку(х)=Ь](, ЬкеС, к=1,2,...п,

где Вку(х)=х^к П у(х).

j = k+ 1

Из операционного соотношения (55) и равенства (58) после некоторых вычислений будем иметь решение в виде

1 1

х'^оКп^Гаоч-г^Т^х^ПиЛ п ^/р л

X-^rf---rid-U,) )du1...dun| (63)

П r(i+rtvn) i = 1

V = i

+ ^"Xx'^oFn-ifa+^-r,)^;^] П (n-n)"1.

. J j = i +1

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1. Лучко Ю.Ф. Об операционном исчислении для кратной производной Эрдейи-Кобера Тез. докл. конференций матем. Беларуси. Гродно. 1992. С. 101.

2'. Лучко Ю.Ф., Якубович С.Б. Порождающие операторы и свертки для некоторых интегральных преобразований ДАН БССР. 1991. Т.35. if 9. С. 773-776.

3. Лучко Ю.Ф., Якубович С.Б. Операционное исчисление для обобщенного дробного дифференциального оператора // Тез. докл. международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции.". Самара. 1992. С. 155-156.

4. Адамчик B.C., Лучко Ю.Ф.. Маричев О.И. Вычисление интегралов от функций гипергеометрического типа // Тез. докл. 4 международного совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях. Дубна. 1990. С.74.

5. Якубович С.Б., Лучко Ю.Ф. Обобщения правил Лейбница на интегральные свертки ^ ДАН БССР. 1991. Т.35, М2. С.111-115.

6. Luchko Yu.F., Yakubovich S.В. Convolutions of the generalized fractional integration operators // Summaries of 5-th Intern. Conf. Complex Analysis and Appl.'91. Varna. 1991. P.23.

7. Luchko Yu.F., Yakubovich S.B. Operational calculus for the generalized fractional differential operator and applications // Math. Balkanika. 1993. V 7.

8. Adamchik V.S., Luchko Yu.F., Marichev O.I. The evaluation of4integrals of hypergeoinetric functions // Summaries of second international joint conference of ISSAC-90, AAECC-8. Tokyo. 1990. P.90

9. Yakubovich S.B., Luohko Yu.F. The evaluation of integrals and series with respect to indices(parameters) of hypergeo-inetric functions // Proo. Intern. Symp. on Symbolic and Algebraic Comp. ISSAC'91. Bonn. 1991. P.271-280.

10. Yakubovich S.B., Luchko Yu.F. The generalizations of integral analog of the Leibniz rule on the G-convolutions // Extracta Mathematicae. 1991. V.6, N 2-3. P. 119-122.

J

Подписано к печати 2.12.1992 Объем Л п.л.

Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ Отпечатано на ротапринте БГУ