Плоские задачи томографии и А-аналитические функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Российская академия наук Сибирское отделение Институт математики им. С. Л. Соболева

С Л

' ; тъ-г На правах рукописи

Казанцев Сергей Гаврилович

Плоские задачи томографии и А-аналитические функции

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1997

Работа выполнена в Отделе условно-корректных задач Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наух,

профессор А. Л. Бухгейм

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А. А. Шваб

кандидат физико-математических наук В. И. Добринский

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН

Защита состоится «2.0» 199 7- г. в Ь часов на заседа-

нии диссертационного совета К 063.98.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пиро-гова 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ. Автореферат разослан « СЬыц^л % 199 *7* г.

Ученый секретарь у/'/¿7

диссертационного совета В. В. Шелухин

доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Классическая задача интегральной геометрии (томографии) — задача определения неизвестной функции, если известны ее интегралы по всем прямым — была сформулирована и решена И. Радоном в 1917 году. Интегральная геометрия тесно связана с обратными задачами для уравнений переноса, которые заключается в определении решения уравнения и какого-нибудь коэффициента или правой части уравнения из условий, составляющих прямую задачу и некоторого дополнительного условия. Исследования в этом направлении отражены в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е. Аниконова, A. JI. Бухгейма, F. Natterer и др., в которых изучались вопросы единственности, (условной) устойчивости, получены формулы и алгоритмы решений различных постановок таких обратных задач. Задачи интегральной геометрии, эмиссионной томографии в частности, исследовались И. М. Гель-фандом, В. П. Паламодовым, В. А. Шарафутдиновым, Р. Г. Мухомето-вым, Н. Г. Преображенским, В. В. Пикаловым, A. Markoe, О. Tretiak, P. Kuchment, Н. Tuy, D. Finch и др..

В данной работе изучаются плоские задачи томографии (задача Радона и задача эмиссионной томографии в веерной постановке), которые интерпретируются как краевые задачи для бесконечномерного аналога эллиптических систем первого порядка с операторными коэффициентами следующего вида

и- - Аиг + Li(z)Bu = 0. (1)

Здесь u(z) -— функция комплексной переменной г со значениями в комплексном банаховом пространстве X, А и В — линейные операторы в X. По аналогии со скалярным случаем уравнение (1) будем называть обобщенным уравнением типа Бельтрами, а оператор В — возмущающим оператором.

Предлагаемый метод изучения задач томографии позволяет получать новые формулы обращения и создавать численные алгоритмы, учитывающие свойства среды и излучения. Повышенный интерес к таким задачам томографии связан с использованием методов компьютерной томографии в различных областях науки, техники и медицине.

Целью работы является изучение двумерных задач томографии и обратных задач для уравнения переноса на плоскости с помощью теории решений бесконечномерных аналогов уравнения Бельтрами (теория Л-аналитических функций).

Системы вида (1) возникают либо при применении к исходным задачам метода сферических гармоник [3] и в двумерном случае это соответствует разложению в обычные ряды Фурье, либо при разложении решения прямой задачи в ряд Тейлора [1]. В первом случае задача редуцируется к бесконечной системе дифференциальных уравнений, котор ую удается записать в компактном (операторном) виде (1), удобном для дальнейшего исследования. Исследования конечномерных систем эллиптического типа вида (1) проводились ранеее при различных ограничениях на матрицу А. Так А. Бо^Ив рассматривал аналог теории аналитических функций для случая, когда матрица А — нильпотентна (теория гипер-аналитических функций). Позже Б. Боярский ввел понятие ф— голоморфного вектора, т.е. решения уравнения (1) в случае, когда матрица С} = А имеет квазидиагональный вид и все ее собственные числа меньше единицы. В данной работе рассматривается случай, важный для приложений, когда спектральнай радиус оператора А в банаховом пространстве X равен 1. Это ограничение на оператор А приводит к использованию шкалы банаховых пространств. В работе используются методы теории функций комплексного переменного, функциональгого анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными.

В работе получены следующие результаты:

- предложен новый подход к изучению обратных задач для уравнения переноса на плоскости, с помощью которого исходная задача редуцируется к граничной задаче для операторного уравнения типа Бельтрами;

- сформулированы и доказаны основные теоремы теории Л-анали-тических функций;

- получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Радона в классе гладких функций и формула обращения для пре-

образования Радона в веерной постановке;

- в задаче эмиссионной томографии получены два варианта формулы обращения: первая формула используется в случае, если коэффициент поглощения есть вещественная аналитическая функция, а вторая — когда коэффициент поглощения имеет конечную гладкость.

Работа носит теоретический характер. Полученные формулы обращения могут использоваться при численном решении задачи эмиссионной томографии. Методы, используемые в работ«, могут применяться в дальнейшем при решении обратных задач для уравнения переноса на плоскости с учетом неизотропного рассеяния.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях: 4-ый Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии (Ташкент, 1989 г.), Условно-корректные задачи математической физики и анализа (Новосибирск, 1992 г.), International Symposium on Computerized Tomography (Новосибирск, 1993 г.), Сибирская конференция по неклассическим уравнениям матфизики (Новосибирск, 1995 г.), Обратные задачи геофизики (Новосибирск, 1996 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа оформлена в системе TgX с использованием макропакета AMS-Т^Х и занимает 79 страниц печатного текста.

Содержание работы

Во введении дан обзор понятий и результатов, относящихся к содержанию работы, а также изложены основные полученные результаты.

В диссертации используется комплексная интерпретация задач интегральной геометрии. Обозначим г = i + ¡у 6 С и в дальнейшем функции от г и у (а(х,у)) будем записывать как функции от г (a(z)), не предполагая зависимость аналитической.

Перейдем к задаче Радона в веерной постановке. Пусть заранее зафиксирована замкнутая, ограниченная область П, которой принадлежит носитель искомой функции a(z). Определим для каждой точки г строго выпуклой области Q и направления e'v функцию t = у (г, <р), так что t есть точка пересечения луча, выпущенного из точки z в направлении —ег<р. В качестве параметров, определяющих прямую, по которой

ведется интегрирование, берутся точка < границы Г области (I и направление прямой

Тогда веерное преобразование Радона [5] запишем в виде

«

(£>а)(*,^) = I а(С)К1 = /(*,*>), (2)

а веерное преобразование Радона с учетом поглощения //(г) —

<

7(<,¥>)

В случае ц — 0 имеем £>° =

Задача определения функции а(г) в уравнении (3) называется задачей эмиссионной томографии.

/ , \

Функция и(г,<р) = / а(()ехр I — {р(г])\(1г]\ I |с?С| будет решени-7(*,¥>) \ С /

ем уравнения переноса в комплексной форме

иф,<р)е-^+иг(г,<р)е^+ф)и(г,<р)^а(г), (г, ф) 6 О х [-тг, тг] (4)

и удовлетворять граничному условию

«|е = 23 = Г х [-эг.эг]. (5)

Здесь использованы формальные частные производные по переменным г и 1

_ ди _ 1 {ди ,ди\ _ ди _ 1 / ди ,ди\

Таким образом, при решении задачи (3), возникает Обратная задача 1. Определить правую часть а(г) в уравнении переноса (4), если ¡¡(г) — известная вещественная функции в строго выпуклой области П с гладкой границей Г, а вещественнозначное 2тг-периодическое по <р решение и(г, <р) задано на многообразии Е = Г х

[-7Г, 7г]

«Ы = /(*,¥>). (6)

Для задачи интегральной геометрии в области fI, когда в качестве семейства кривых, по которым известны интегралы от функции a(z), используются окружности постоянного радиуса г = 1/к, приходим к обратной задаче 2.

Обратная задача 2. Определить правую часть a(z) в уравнении переноса

uj(z, v?)e-,v> + u2(z, <p)e,ip + ku^z, ip) = a(z), (z, y?) € Q x [-jr, jr],

где П —■ выпуклая область с гладкой границей Г, к — const, а веще-ственнозначное 2тг-периодическое по <р решение u(z,<p) задано на многообразии Е = Г х [—тг, 7г]

u|s = f(t,<p)-

В обоих случаях f(-y(t, <р), <р) = 0, что означает отсутствие внешнего излучения на область Q.

Разложим функции u(z,<p) и f(z,<p) в ряды Фурье

оо

u(z, у?) = u0(z) + 2 Re{^ uk(z)e-ilv), lmu0(z) = О, t=i

оо

f(z, <р) = fo(z) + 2 Re{^2fk(z)e-^}, Im/„<*) = 0. k=1

Тогда из уравнения (5) для коэффициентов Фурье {ujt(2)} получим счетную систему дифференциальных уравнений

(uk)T+(vt+2)z +Mk+i =0, k = 0,1,2,..., (7)

a(z) = 2Re{(ui),} + M*)«o(z). (8)

Запишем систему (7) в операторном виде

u-+ U'U'иг + ftU'n = 0, Imuo = 0, (9)

где u(z) = {u0(z),ui(.z),...}, U* : {x0,xi,x2...} — {хьх2,...} — оператор сдвига.

Граничное условие (6) принимает вид

и|г= ад = Ш*),/!(*),...}. (10)

В случае обратной задачи 2 метод разложения в ряды Фурье приводит к граничной задаче

иг+ и*и*иг — ¡кБи = 0, и|г=£(0 (И)

и формуле обращения

а(г) = 2Ее{(и1)г}, (12)

где £): {жо,Х1,...} —» {х1,2х2, Зяз,...} — оператор взвешенного сдвига (неограничен в /г).

Таким образом, при решении обратных задач 1, 2 сначала решаются соответствующие граничные задачи для бесконечных систем дифференциальных уравнений первого порядка, после чего неизвестная функция а(г) определяется по формулам (8) или (12).

Уравнения (9) и (11) представляют собой частные случаи уравнения (1) при А = —(7*С/*. При 5 = 0 мы получаем операторный аналог уравнения Бельтрами

дАи = ит- Аиг = 0, (13)

которое изучается в главе 1. В главе 2 результаты первой главы используются для задачи Радона. В главе 3 рассматривается уравнение (1) и его приложения к двумерным задачам томографии.

Глава 1 (§§ 1-3) посвящена элементам теории ^-аналитических функций. В ней изучается уравнение (13) с операторным коэффициентом А и формулируется основное требование на класс операторов А в шкале банаховых пространств (условие А). Для решений уравнения (13) (А-аналитических функций) имеют место аналоги интегральной теоремы Коши, интегральной формулы Коши, теоремы Морера и формул Сохоцкого-Племеля.

Пусть задана дискретная шкала банаховых пространств{Хт}, т.е. X есть комплексное банахово пространство и для любого целого т ^ 0 имеется цепочка плотно вложенных в X банаховых пространств Хт : с Хт С Х° = X;

1|х||х» = ||х||ш ^ ||х||т+1 Ухе*т+1; ||х||о = |М1-

В § 1 формулируется основное условие (А) на класс операторных коэффициентов А в шкале банаховых пространств {Хт }.

Условие А. Пусть А 6 Ь(Хт) для каждого т ^ 0, оператор А\х- имеет спектральный радиус р(А\х^) = 1 и пусть резольвента Я(А) = (АЕ — А)~1 продолжается по сильной непрерывности в Хт на окружность |А| = 1 как оператор из Ь(Хт+1 ,Хт).

Далее рассматривается операторное решение К(г) уравнения (13). Условие А позволяет корректно определить при г ф 0 операторную функцию

К (г) = (г)-1Д(-е2'^) = (г)~\А + е2{*Е)~1 = (гЕ+ 7А)~\ <р = агд(г)

со значениями в пространстве £(Хт+1,Хт).

Свойства операторной функции /\ (г) сформулированы в теореме

1.1.

Теорема 1.1. При выполнена и условия (А) для операторнознач-ной функции К(г) имеют место следующие утверждения

1) К (г) £ ЦХт+*,Хт), ||А-(г)|Ь(л-+.,л-) ^ г ф 0;

2) К{г1)К{22) = К(22)К(г1) € Ь(Хт+1,Хт), ф г2;

3) К{г1)К{г2) = К(г2 - [Л'Ы - К(х2)\, гг ф г2;

4) При г ф 0 существуют сильно непрерывные производные Кт, Кг £ Ь(Хт+2,Хт) и выполняется равенство

КГ-АК, = 0,

т.е. К (г) есть операторное решение уравнения (13). Кроме этого, при г ф 0 старшие производные имеют вид

К= (-1)"п!/Г,+1) 4П) = (—1)"п!ЛпЛ'п+1 € ЦХт+п+1,Хт).

В § 2 приводится определение Л-аналитических функций.

Определение. Функция и(г) 6 С1^! X) называется Л-анали-тической в области П, если для всех г £ О выполнено уравнение (20). Множество всех ^-аналитических функций и(г) : П —► Хт обозначим через Л(П;Хт).

Для Л-аналитических функций имеет место аналог интегральной формулы типа Коши.

Теорема 1.4. Пусть и(г) € С(П;Хт+1) Г) А(П;Хт). Тогда для всех С € ^

»(С) = / - 0(* + АЛгНг). (14)

г

В § 3 изучается интеграл типа Коши

И(0 = / к(* - + АсЯЩ2), С £ Г, (15)

г

где Г — замкнутый контур на комплексной плоскости С, f(t) — заданная на Г функция со значениями в банаховом пространстве X.

Пусть плотность !:(*) € С°-а(Г;Хт+1), 0 < а ^ 1. Тогда и«) будет А-аналитической функцией вне Г, и £ А(С\Г; Хт). Если ^ £Т, то интеграл

5г£(<о) = ¿7 / ~ <о)(<*2 + *о£Г (16)

г

понимается в смысле главного значения по Коши. Далее приводятся условия существования интеграла (16).

Теорема 1.5. Пусть Г - гладкий замкнутый контур на котором задана функция {(<) 6 С0'о(Г;Хт+1), 0 < а < 1. Тогда сингулярный интеграл (16) существует.

Предельными значениями интеграла типа Коши (15) в точке < контура Г слева и справа будем называть следующие сильные пределы

и+(<) = йши(:), г 6 < € Г; и~(<) = /¿ти(г), гей", Ь € Г

(и+ — предел слева, и- — предел справа), где и £2- есть соответственно внутренняя и внешняя области относительно замкнутого контура Г. Тогда справедлив аналог теоремы Сохоцкого-Племеля.

Теорема 1.6. Пусть Г € С1 — гладкий замкнутый контур и ОД € С0,"(Г; Хт+2), 0 < а ^ 1. Тогда интеграл Коши (15) имеет предельные значения и±(<) на Г слева и справа по норме пространства Хгп л выполняются аналоги формул Сохоцкого-Племеля

и±(1) = ЗгЩ±\т,1€ Г. (17)

Из формул (17) следует теорема 1.7.

Теорема 1.7. Пусть на гладком замкнутом контуре Г задана функция из класса Са-°(Г; Хт+2). Условие

^(0 = ¿гОД = М-1 J К (г - *)(<** + А0г)£(г), I £ Г

г

является необходимым и достаточным для того, чтобы функция {(1) была граничным значением А-аиалитическоп функции и(г) из класса С(П+;Хт)ПА(П+;Хт).

Во второй главе для задачи Радона на плоскости применяются результаты главы 1.

В случае задачи Радона ( /л = 0) система уравнений ( 7) распадается на две системы отдельно для четных и нечетных гармоник. Полагая для нечетных гармоник и = {и^ к3,...}, Г = {/ь/з, •••}, мы приходим к граничной задаче

иг+СГиг =0, и|г = Щ (18)

и формуле обращения

а(г)/2 = (щ),. (19)

Если решение задачи (18) представимо в виде интеграла Коши

и(С) = (20) эп

- И -

то неизвестная функция a(z) определяется по формуле (19).

Пусть I™ — пространство комплексных последовательностей х = {x0,xi, Х2, ...} с нормой

00

IMI^1 = D1 + i)2mla:;l2' "» = 0,1,2,....

j=о

Для обратной задачи 1 эта шкала естественным образом связана с гладкостью решения u(z,ip) и его следа f(t,<p) по угловой переменной. В § 1 использование оператора сдвига U* и шкалы гильбертовых пространств обосновывается в теореме 2.1.

Теорема 2.1. Резольвента R(А) = ({/* — АЕ)-1 продолжается с внешности единичного круга |А| > 1 на единичную окружность, как линейный ограниченный оператор из в I™, m > —1/2, причем

при m > 1/2 она сильно непрерывна по А.

В § 2 предполагается, что функция a(z) определена в единичном круге и обладает радиальной сиимметрией. В таком случае имеет место разложение в ряд Фурье

оо

/(<, а) = ас + £aktk(eika + e~ika), |i| = 1, t=i

причем все коэффициенты а* € R и не зависят от t. Вычисляя интеграл Коши (20) с плотностью f(i) = {ai<, аз<3,...} и используя (19), получаем формулу обращения в виде ряда

оо

a(z) = a(|z|) = 2^fl2Hi(2i + l)ft(l - 2|z|2), k=0

где Pk(x) — полиномы Лежандра порядка k.

В § 2 с помощью интеграла типа Коши (20) для выпуклой области Q получена формула обращения преобразование Радона (2) в веерной постановке

2тг

a(z) = 2 J[S(/-(t,a))] (t,<p)\tsn(,lip+,)d>p, (21)

о

где /"(*, а) = (/(*, «)-/(<,« + т))/2, 5 = + ¿Г),

2т V

2т

[Г/~](<, = — // —-—¿а — преобразование Гильберта,

о

Если определить функцию ш(з,<р) из соотношения ы(8ш(а — <р),<р) = [Г/~] (<, <р), < = е'а, то приходим к формуле

2т

о

полученной Л. Н. Пестовым для круга в [2].

Основной результат § 2 приводится в теореме 2.2

Теорема 2.2. Функция (¿, представима в виде интеграла (по ориентированной прямой)

7(«,У+т)

Г(1,<р) = \ I «)№,

7(«,¥>)

где а(г) Е С°° (П) тогда и только тогда, когда е С°° (Г х [—тг, л-])

л выполнены условия

(1) г(«1*о = 2В<£/2*+1(Ое-<2*+1^); (2) + _____

-и

о

2* г *

1р=о

¿у, ¿о € Г;

г

Функция а(г) определяется по формуле (21).

В третьей главе (§ § 1-2) изучается связь обобщенных Л-анали-тических функций с А-аналитическими функциями.

Определение. Обобщенной А-аналитической функцией в области О будем называть функцию и(г) 6 С1 (П;Хт), удовлетворяющую в П уравнению (1).

Для решений уравнения (1) приведены представления в виде интеграла типа Коши с обобщенным операторным ядром, которые порождают формулы обращения для двумерной задачи эмиссионной томографии с переменным коэффициентом поглощения. Отдельно рассмотрен случай неограниченного оператора возмущения В.

В § 1 предполагается выполнение условия А, а возмущающий оператор В ограничен в X и удовлетворяет условию В.

Условие В. Пусть оператор В £ Ь(Хт) для т = 0,1,... и [А, В] = АВ-ВА- 0.

Если уравнение (1) имеет решение и(г) £ С1(П; Хт), то функция

есть ^-аналитическая в области П, а операторная функция С(г) удовлетворяет уравнению

Для обобщенных А-аналитических функциий представление (22) будет операторным аналогом представления для обычных обобщенных аналитических функций [4].

В следующих теоремах формулируются достаточные условия для существования операторного решения С {г) уравнения (23) и указываются способы их нахождения.

Теорема 3.1. Пусть точка го есть середина диаметра области О, сИатп(П) < 2Я, (1 € С°°(О) — вещественная аналитическая функция и для всех г = I + ¿у £ Й выполняется оценка

у(г) = ехр(в) и(г),

(22)

вт- Авг +р.{г)В = 0.

(23)

Тогда операторная функция

ад = - ¿ ^- ^"(-длГ-^В) е СЩ L(Xm))

TI.

n = l

удовлетворяет операторному уравнению (23).

Теорема 3.2. Пусть выпуклая область Q имеет гладкую границу Г класса С2, а вещественнозначная функция ц € С2(С1). Тогда операторная функция

оо

ад = -2BY,m2k+1(z)(-A)2k £ C\U-,L(Xm)) k=0

удовлетворяет уравнению (23).

Здесь функция m(z, ip) = mke~,k4> есть решение прямой

задачи для уравнения переноса в области Q

e~'vm¡ + eivm, = p(z),

с граничным условием

m(7(t, у), у) = 0, (t, <р) е Г х [-7Г, тг].

Эти теоремы позволяют переносить свойства Л-аналнтических фу-нк ций на решения уравнения (1). В частности, в теореме 3.3 показано,что для решений уравнения (1) иеет место интегральная формула с обобщенным ядром Коши.

Теорема 3.3. Пусть выполняются условия теорем 3.1 или 3.2. Если u(z) € П C(fi;Xra+1) есть решение уравнения (1), то

справедлива интегральная формула с обобщенным ядром типа Коши

Ц(0 = ¿ / KB(z,Q(dz + Adz)u(z), С € fi, an

где

KB{z,Q = K{z-QeaW>

— непрерывная по обеим переменным при г ф (,, € ^ операторная функция со значениями в Ь(Хт+1; Хт).

В § 2 для уравнения

иг-Лиг + Ви = 0, (24)

где возмущающий оператор В неограничен в X получено решение в виде интеграла типа Коши с обобщенным операторным ядром.

Пусть задана непрерывная шкала банаховых пространств }, т.е. X есть комплексное банахово пространство и для любого 5 6 (0, оо) имеется цепочка плотно вложенных в X банаховых пространств Х} : при 0 ^ I ^ в X, С Хг С Х0 = Х\

Цх||а', = ||х||«< ||*||. Vx€X(; ||х||о= ||х||.

Относительно операторов А и В в шкале {X,} предполагается выполнение условий А1, Вх и АВ.

Условие А\. Пусть А £ Ь(Х,) для каждого в > 0 и оператор А\х, имеет спектральный радиус р(А\х,) < 1.

Условие Вх. Пусть оператор В неограничен в X, однако для 0 ^ {< б В\х, £ Ь(Х1, Х() и выполняется оценка

\\В\\ь{х.,х,) ^

Условие АВ. Определим индуктивно последовательность операторов А0 = А, Ак+1 = [Ак, В], к = О,1,2,... . Пусть Ак € Ь(Х,) для в ^ О, [А, А{\ — 0, а для операторной аналитической функции <3д(г) = ИТ=о IТ-А-к с радиусом сходимости Н(в) при \г\, < г < Д(в), г ф С, выполняется неравенство

г

<

где М, = тах||(АЯ- Л)_1||..

Теорема 3.5. Пусть условия А\, В\ и АВ выполняются в области С Ог/2 = {И < г/2}> а уравнение (24) имеет решение и(г) £

С(£2; Х1+Гь) П С^П;^) (< < й + гЬ), тогда имеет место интегральная формула

и«) = ¿ - / КвЫ)(<1г + и(г), С € П,

г

с обобщенным ядром типа Кошп

= ! ЯА[т)йт]-\ (25)

о

Далее теорема 3.5 применяется для решения краевой задачи (11). Банахово пространство X, определяется как пространство последовательностей комплексных чисел х = {хо, ...} с нормой

оо ;=0

После проверки условий , Вх и Л В получаем, что

Кв(г, 0 =

= [Е + (С-г)1Г] [(С - г)Е + |С - г\211* + (С -1)114]*) ~1

есть обобщенное ядро Коши для интегрального представления решений краевой задачи (11).

Публикации автора по теме диссертации

1. Бухгейм А. Л., Казанцев С. Г. Задачи томографии и эллиптические системы типа Бельтрами //4 Всесоюзный сим. по вычислит, томографии. Тез. док. ч.1, Ташкент, 1989.

2. Казанцев С. Г. Условия разрешимости задачи Радона для кривых постоянной кривизны //4 Всесоюзный сим. по вычислит, томографии. Тез. док. ч.1, Ташкент, 1989.

3. Бухгейм А. Л., Казанцев С. Г. Эллиптические системы типа Бельтрами и задачи томографии //Докл. АН СССР, 1990. Т. 315, N 1. С. 15-19.

Казанцев С. Г., Кардаков В. Б. Об использовании метода граничных элементов в томографии // 5 Всесоюз. сим. по вычислительной томографии. Тез. докл. Москва, 1991.

5. Бухгейм А. Л., Казанцев С. Г. Уравнения в частных производных с операторными коэффициентами и их приложения к обратным задачам // Численные методы оптимизации и анализа. Новосибирск: Наука Сиб. отделение, 1992. С. 97-111.

6. Kazantsev S. G. Tomography and the theory of A-analitic functions //International Symposium of Computerized Tomography, Novosibirsk, 1993, P. 71.

7. Казанцев С. Г. Обобщенные А-аналитические функции // Методы оптимизации и их приложения. Тез. докл. 10 Байкальская школа-семинар, Иркутск,1995. С. 263-265.

8. Казанцев С. Г. Интегральные формулы типа Коши для обобщенных А-аналитических функций // Групповые и метрические свойства отображений. Новосибирск: Из-во НГУ, 1995. С. 126-141.

9. Kazantsev S. G. The integral Cauchy's formula for the generized equation of Beltrami type //Обратные и некорректно поставленные задачи. Тез. докл. межд. конф. Москва, 1996. С. 91.

10. Казанцев С. Г. Эмиссионная томография в среде с переменным поглощением и теория обобщеных А-аналитических функций //Обратные задачи геофизики. Труды международного семинара. Новосибирск, 1996. С. 103-105.

Список цитируемой литературы

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука Сиб. отделение, 1978.

2. Аниконов Ю. Е., Пестов Jl. Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии - Новосибирск: Из-во НГУ, 1990.

3. Бухгейм A. JI. Введение в теорию обратных задач - Новосибирск: Наука Сиб. отделение, 1988. -С. 184.

4. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. - М.: Наука, 1988.

5. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии М.: Мир, 1990. С.273.