Операторы дробного интегрирования. Асимптотические и композиционные свойства и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Килбас, Анатолий Александрович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Минск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ
г I а • 0«
УДК 517. 3. 517. 9.
КИЛБАС АНАТОЛИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
ОПЕРАТОРЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И
ПРИЛОЖЕНИЯ
01. 01. 01. - математический анализ. 01. 01. 02. - дифференциальные уравнения.
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.
Минск - 1995г.
Работа выполнена в Белорусском государственном университете
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор КАРАПЕТЯНЦ Николай Карапетович
доктор физико-математических наук, профессор ПРУДНИКОВ Анатолий Платонович
доктор физико-математических наук, профессор ЮРЧУК Николай Иосифович
Ведущая организация: Математический институт
имени В. А. Стеклова РАН
Зашита состоится " " лГ^Ху 1995 года в
часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова, И, Институт математики АН Беларуси.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.
Автореферат разослан ^ " Се^г/ $ Го 1995 года.
Ученый секретарь совета по защите диссертаций старший научный сотрудник
А.И.Астровский
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Теория дробного интегро-дифференцирования. или дробного исчисления, является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математического анализа. Основными объектами теории являются классические дробные интегралы и производные' Рима-на-Лиувилля, их различные обобщения и модиФикациии и многомерные дробные интегралы и производные (потенциалы Рисса и Бесселя, гиперсингулярные ИНТАГГ»ЛЫ И пр ^ . Ubrnm.» дробного "с" 1"cz£"17z "üIpCJCG
используются н теории даФЯсрапкаялйк и интегральных уравнений, теории интегральных преобразований и других науках.
Асимптотические и композиционные методы играют важную роль в математике и, в частности, в указанных направлениях. Они позволяют найти асимптотические разложения интегралов, получить явные решения отдельных типов интегральных и дифференциальных уравнений и исследовать асимптотику решений таких уравнений, изучить структурные свойства интегральных преобразований. Асимптотическое поведение на бесконечности одномерных дробных интегралов исследовали
N.Berger, R.к.Handelasan, J.P.McClure, R.Wong; приложение ЭТИХ ро-
зультатов к нахождению первых членов асимптотики решения нелинейного интегрального уравнения теории теплопроводности дали R.A.Han-
delsman, W.E.Olmstead, В.Hong,
Композиционные методы, заключающиеся в представлении операторов в виде композиций операторов дробного исчисления с известными интегральными и дифференциальными операторами, с интегральными преобразованиями, элементарными и специальными функциями, применяли в.вольтерра, N.Zeilon, С.Г.СаМКО, L.von Wolfersdorf, Б.С.РубИН, А.А.Килбас и др. для решения одномерных интегральных уравнений первого рода со степенными и логарифмическими ядрами; Н.Н.Лебедев.
Е.Т. Copson, A.Erdelyi, I.N.Sneddon, R.G.Buschman, H.И.БаКИевИЧ, E.R.Love, T.R.Frehhakar, О.Н.МаричеЗ, J.S.Lcwndcs, М.М.СмИрНОВ И др. - для решения одномерных интегральных уравнений первого рода со специальными функциями в ядрах; Е.т. Copson, Н.Н.Ростовцев, С.Г.Самко, Ch.s.Kahane, Н.К.Каралетянц, Б.С.Рубин, С.М.Умархаджи-ев, В.А.Ногин, С.И.Василец и др. - для решения многомерных интегральных уравнений со степенным ядром: J.Liouville, Hj.Holmgren, A.B.Летников, П.А.Некрасов, J.H.Barrett. A.Erdelyi, M.A.Al-Bassam, М.М.ДжрбаШЯН, А.Б.БерсесЯН, А.М.Нахушев, S.L.Kalla, A.C.McBride.
J.S.Lowndes, M.Saigo, В.Ф.Волкодавов, О.А.РепИН, K.Nishimoto, K.S. Miller, B.Ross и др. - для решения дифференциальных уравнений;
H.Kober, G. Doetsch, D.V.Widder, A.Erdelyi, I.K. Sneddon, А.П.ПруДНИКОВ, S.L. Kalla, S.L.Bora, R.К.Saxena,В.Martic, К.J.Srivastava, V.M.Bhise, S.L.Mathur, S.L.Rakesh, B.Singh, О.И. Маричев, P.G. Rooney, A.C.McBride, H.-J.Glaeske, H.M.Srivastava, M.Saigo,
I.H.Dimovski, V.Kiryakova, Ю.А.БРЫЧКОВ, By КИМ ТуаН, С.Б. ЯкубОВИЧ и др. - для исследования интегральных преобразований и специальных функций.
Полученные результаты применимы только к отдельным классам интегральных и дифференциальных уравнений и интегральных преобразований и не дают полной картины рассматриваемых проблем, в том числе новых, возникающих в приложениях. Поэтому одной из актуальных проблем в теории дробного исчисления является разработка асимптотических и композиционных методов, позволяющих получить новые результаты как в самой теории дробного интегро-дифференцирования, так и в области дифференциальных и интегральных уравнений и интегральных преобразований и их приложений.
Связь работы с крупными научными темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре теории функций Белгосуниверситета в рамках научно-исследовательских тем Министерства Образования и Науки Республики Беларусь "Краевые задачи комплексного анализа: линейные, нелинейные, для обобщенных функций, с бесконечным индексом. Специальные функции, свертки, интегральные и дифференциальные операторы и их реализация методами компьютерной алгебры", "Специальные и ообобшенные функции и операторные уравнения" и "Композиционные и асимптотические свойства интегральных операторов и решение особых интегральных уравнений и краевых задач".
Цель и задачи исследования. Разработка асимптотических и композиционных методов для операторов дробного интегрирования и дифференцирования, методов асимптотического и явного решения одномерных и многомерных интегральных уравнений первого и второго рода, дифференциальных уравнений дробного порядка и обыкновенных дифференциальных уравнений, структурных и композиционных свойств интегральных преобразований со специальными функциями Фокса, типа Бесселя и гипергеометрической функцией Гаусса в ядрах.
Научная новизна. На основе предлагаемых алгоритмов вперв! найдены полные асимптотические разложения на бесконечности и в ну-
ле одномерных и многомерных дробных интегралов, формулы композиций операторов дробного интегрирования и дифференцирования со специальной функцией типа Миттаг-Леффлера, операторам интегрального преобразования типа Бесселя и дифференциальным операторам осесиммет-рической теории потенциала и интегральные представления многомерных дробных интегралов. Полученные результаты применены для нахождения решения в замкнутой форме новых классов линейных и нелинейных интегральных уравнений, дифференциальных уравнений дробного и целого порядков и явных формул асимптотик решений интегральных уравнений. Существовавшие до исследований диссертанта алгоритмы позволяли рассматривать отдельна частные случаи ;; получать в основном нерным члени асшлптитик решении уравнений. В специальных пространствах основных и обобщенных функций дано дальнейшее развитие структурных и композиционных свойств оператора интегрального преобразования типа Бесселя, операторов обобщенного дробного интегрирования с н-функцией Фокса и операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса.^'
Практическая значимость. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, интегральные преобразования, теория потенциала при исследовании свойств операторов, сводящихся к операторам дробного интегро-дифференцирования, при решении интегральных, дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также при решении конкретных задач математической физики и механики, в частности, задач механики сплошной среды и контактной теории упругости, теории теплопроводности, теории распространения волн, теории течения воды и теории полярографии.
Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями в областях дробного исчисления, интегральных и дифференциальных уравнений, интегральных преобразований и их приложений в Математическом институте РЖ Вычислительном центре РАН, в Белорусском, Ростовском, Одесском и Казанском университетах, в Минском педагогическом университете, в Брестском, Витебском и Самарском педагогических институтах, в Самарском экономическом институте.
Некоторые идеи, методы и результаты диссертации уже наши отражение в монографиях (С.Г.Самко, А. А.Килбас, О.И.Маричев [14],
[29]; К.S. Miller and В. Ross: V.Kiryakova) И ИСПОЛЬЗОВЭНЫ В ОТДельных работах по дробному исчислению и его приложениям.
Основные положения, выносимые на зашту.
Применяемые в диссертации методы позволили решить задачи дробного исчисления, связанные с асимптотическими и композиционными свойствами классических и обобщенных операторов дробного интегрирования и дифференцирования, получить асимптотические и явные решения одномерных и многомерных интегральных уравнений первого t второго рода, решить в замкнутой форме дифференциальные уравнения дробного и целого порядков, а также изучить структурные и композиционные свойства интегральных преобразований со специальными функциями Фокса, типа Бесселя и гипергеометрической функцией Гаусса:
- на основе модифицированного метода последовательных разложений даны явные формулы степенных или степенно-логарифмически} представлений на бесконечности и в нуле одномерных дробных интегралов типа Эрдейи-Кобера и Римана-Лиувилля в случае обшей степенной асимптотики плотности на бесконечности и в нуле; с их помошью построены асимптотические разложения на бесконечности многомерных дробных интегралов и решений краевых задач для дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу; предложенный способ позволяет найти все члены разложений и дать оценки для их остаточных членов;
- на базе асимптотических разложений дробных интегралов получены явные формулы асимптотики в нуле и на бесконечности решений встречающихся в приложениях нелинейных и линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра, у которых известные функции имеют степенные асимптотики в нуле и на бесконечности;
- даны условия, при которых асимптотические разложения решений отдельных классов нелинейных и линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра совпадают с их явными решениями и изучены вопросы единственности решения таких уравнений;
- введена специальная целая функция, обобщающая классические функции Миттаг-Леффлера; получены формулы ее композиций с операторами дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля; на основе найденных соотношений дано решение в замкнутой форме новых классов линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра, дифференциальных уравнений дробного порядка и обыкновенных дифференциальных уравнений и соответствующих задач типа Коти и Коши;
- в специальных пространствах основных и обобщенных функций
исследованы структурные свойства интегрального преобразования типа Бесселя; доказаны формулы композиций оператора такого преобразования с операторами дробного интегрирования и дифференцирования Ри-мана-Лиувилля, с линейным дифференциальным оператором второго порядка, с операторами осесимметрической теории потенцила и углового момента; даны приложения к решению дифференциальных уравнений;
- введены операторы обобщенного дробного интегрирования с н-функцией Фокса, обобщающие классические интегральные операторы дробного исчисления; изучены их структурные и композиционные свойства в специальных пргу^радстйэх пстгопппх ;; сСобйКшыл йункиий: япкя^янь! Форели композит";"! сгтератсрсв üCoCiuuHHoi и дроониги интегрирования с н-функцией Фокса и операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса с дифференциальным оператором осесимметрической теории потенциала;
- даны достаточные условия, при которых многомерные операторы типа потенциала с достаточно обшими ядрами действуют из пространства p-суммируемых функций в пространства гладких (гельдеровс-ких или липшицевских) функций;
- получены композиционные представления многомерных дробных интегралов по шаровому слою; с их помощью изучены необходимые и достаточные условия разрешимости и построены явные формулы решений многомерных интегральных уравнений первого рода со степенным и логарифмическим ядрами по шаровому слою в случаях произвольной и радиальной плотности при четных значениях параметра.
Апробация результатов. Отдельные части диссертации докладывались на Международном математическом Конгрессе (Польша, Варшава, 1982 г.), на Всесоюзной конференции "Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения" (Куйбышев, 1987 г.), на Республиканской конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" (Одесса. 1987 г.), в школе по теории функций и теории операторов (Теберда. 1988 г.) , на Международной конференции по дробному исчислению и его приложениям (Япония, Токио. 1989 г.), на конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (Алма-Ата, 1991 г.), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, 1992 г.), на конференции математиков Беларуси (Гродно,
1992 г.), на конференции Японского математического общества (Япония, Осака, 1993 г.), на Международной конференции "Методы преобразований и специальных функций" (Болгария, София, 1994 г.), на Международном Симпозиуме "Методы и приложения анализа" (Гонконг, 1994 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, 1995 г.).
С сообщениями о результатах диссертации автор выступал на семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета (руководитель - профессор С.Г. Самко), на семинаре отдела теории функции Математического института им. В.А.Стеклова РАН (руководители - академик С.М.Никольский и чл.-корр. Л.Д.Кудрявцев), на семинаре Белорусского математического общества (руководитель - академик И.В. Гайшун).
Результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались на Минском городском семинаре по краевым задачам имени академика Ф.Д.Гахова (руководитель - профессор Э.Й.Зверович) .
Опубликованность результатов и личный вклад. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[13], [15]-[28] и отражены в монографиях [14], [29]. Часть результатов пп. 3.1-3.4, 4.1-4.4, 5.2, 5.4, 6.1-6.5, 7.2-7.6 получена в совместных работах [б]-[13], [20]- [28] и в равной мере принадлежит автору диссертации и соавторам.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, обшей характеристики работы, семи глав, включающих зз раздела, выводов, списка использованных источников и восьми приложений. Объем диссертации - 243 страницы машинописного текста. Список использованных источников на 19 страницах содержит 252 наименования, при этом работы автора по теме диссертации приведены в конце списка. Объем приложений - 24 страницы машинописи.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении вводятся основные объекты исследований диссертации: дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля
<0><*>= &]Са]+1 г™ / т^Рт
(Dp)(x)
О 1+1
Г<1-{аП J" it_x>{«}
(pffidt
( x>0; a>0)
(2)
([«] и (а) означают целую и дробную части действительного числа с); дробные интегралы типа Эрдейи-Кобера
(I
о*;р,а
-р(сг+а) .роч-р-1 ... Г(а' J (xp-tp>1-a
О
(3)
-.p.w i iu) J .do. l-a -
И Л i
обобщенные дробные интегралы с н-функцией Фокса н^<г)
/Tm,n 1 р тп/
(I 9?)(х) = -I Н
Г ,q XJ Г ,q
(а. ,a. ) t I V l,r
X'<b.,ii.)i.q,
<p( t )dt (x>0),
(4)
<K™>><*> = I J С
X J rv
, (a. ,c<. )
X1 v i i.r Cb ,ft. >l,q
.1 J
Pft)dt (x>0);
и многомерные дробные интегралы, или потенциалы Рисса
(I Г
p(f)dt I x-t|
с = -—==--—-—, I р =1 1р (5)
m.aJ , .m-а ю.а а т/2 —
2 п Г(а/2)
R
(хеП£0? ; 0<а<т).
(l'"p)(x)=c flog I x-t (<р( t )dt CxeOaR7"), с ------, (б)
ft ¡a. nJ 1 1 m.m rn-'zr-/ /оч
q ^ i m m/z >
в m-мерном евклидовом пространстве Rm (mil}; дробные интегралы от
функции по степенной функции хр:
р rt_p(t)dt , та р rt
р_ft p(t)dt,
P.i-a
-х*)
(?)
<х>0; <=(>0, р>0);
и обобщенные дробные интегралы и производные с гипергеометрической
функцией Гаусса 2Ft(a,b;c;z): Л *
(la'l3-1}<p)(x)=-- f('x-t)C<"'1F (ct+ft, -7); а; 1~—"1 <о( t. )dt (а>0; ft, т?еС .
(8)
Г(сО
-ос-/?
(Ia,i?,7>p)(x)=^-f(t-x)c< h U+р,-Г);«;!-$]t *><t)dt <а>0; (3С)
Г (а 2 Н У
(х>0; а>0; i?,7><=C);
(0^>Ггр)<х> = [уП(Са-/3-П-С^7?-П^)(х) (х>0; О0, п=[а1+1; р.чеС)
(9
= (х>0; а>0, п=[а] + 1; /?.„еС>.
Отмечается, что такие операции широко используются в математике, математической физике и других науках.
Далее охарактеризовывается тематика диссертации, связанная с рассматриваемыми конструкциями дробного интегро-дифференцирования и их приложениями к дифференциальным и интегральным уравнениям и интегральным преобразованиям со специальными функциями в ядрах. Дается обзор литературы в указанных направлениях и анализ известных результатов, обосновывается выбор направления исследования и формулируются решаемые задачи. Здесь же излагаются разрабатываемые в работе методы, приводится краткое содержание полученных результатов и дается их сравнение с известными ранее.
Глава 2 диссертации посвяшена исследованию асимптотическогс поведения на бесконечности левосторонних дробных интегралов типа
Эрдейи-Кобера 1о+:р,0г> в (3)> в частности дробных интегралов Рима-
на-Лиувилля в (1) и от функции по степенной функции хр р
в (?), в предположении, что плотность *><о имеет на бесконечности обшую степеннную асимптотику вида
оо -у
Р^) а^ к о <Н_п+1< ■ • ■ ■ Ив п>0) при ъ-и-со, (10)
к = -п к->+оо
где {ак) - заданная числовая последовательность, и приложению полученных результатов к нахождению асимптотических разложений на бесконечности потенциала Рисса и решений и(х,у) задачи Коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу
| Лсьу). 2£ ММ) , о, и(х,0)=Р(х), а1)
ь=о <3хк у с!у с1у
в евклидовом полупространстве К™+1 = {(х,у): хе®'", у>0, т-1} и задачи Дирихле для эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в к*
£М|лХ>+ 2р *1<х,у) = 0_ и<х>0)=р(х)> ^и(х,0)_д (12)
<3х у dy с!у
Для получения асимптотики дробного интеграла типа Эрдейи-Кобера I. р _ а'р мы используем модификацию метода последовательных р'
зложенйй, предложенного А.Н.Тихоновым, А.А.Самарским для нахождения асимптотики интеграла ^(х^соць при х-»+<п в предположении,
о
что вШ,*><ч> имеют простейшую степпнн'/ю асимптотику с 1. ю > с р, -
к.
к+1. Этот способ заключается в отнимании на каждом шагу одного члена асимптотического ряда для обеспечения сходимости интегралов, через которые вычисляются коэффициенты получашдася разложений. Применяемая нами модификация заключается в том, что на каждом шагу мы отнимаем не один, а несколько членов асимптотического ряда для обеспечения схплимгагги г^тл^^л?»««™™ '/'ггсгролст. ДзапЛ оЛГО'^.м гк.«ро.яо»т лчть полнн»? степенные """ стспатс ^¿.-^фмичвекие разложения дробных интегралов и вычислить явно остаточные члены этих разложений.
В п. 2.1 мы применяем модифицированный метод последовательных разложений для доказательства основных теорем о степенных или степенно-логарифмических представлениях дробных интегралов . р гур в
предположении асимптотики осп, Обозначим через множество целых неотрицательных чисел, через 1„„<'3,«» класс локально интегрируемых на > о,<«' Функция и считаем, что если я-:.к , ®.к«2 >
Теорема ¿л.л. Пусть Функция i><5^ < о,^'. имеет асимптотику
< 10 > с ^ <р{о-+1><и при п>0 И рс ОЧ-1 при п=о, причем ик*
яи при каких 1Н0. Тогда для левостороннего дробного
интеграла типа Эрдеии-Кобера в О) при любом натуральном N имеет место нредстзплснис
N Г Г 1 + ,-/- ( и /г> >1 м
" А ГЦ+ъ+о-Си/рП Л +
N V1 р(-Г/Ь.. -р(о-+д + 1) \4 ГТгТ^^Г * + Р.^/х),
(13)
где
кИ, ¡-V
к- 1
N с-Г ц /р")
о
и - 1
г- С г- р(0Ч-3 + 1)-м -1 .
- 1а ттВл <и)х
« (1-а). .
J=o
00 р<о-+а + 1)-и -1
ь = Г р.ст йг, к.ое N ;
]к -Л Я. О
О
^=^ = 0- ^СО^/р)-»] ([ ] - целая часть), ЫМо;
V1
<ро(0=р(1;)- 2 акЬ ПРИ п>0 И *>0<0=р<1:) при п-0, и
Теорема 2.1.2. Пусть функция »><и«£11ов(о,оо> имеет асимптотику (Ю) с р_1^р(о'+1)<м0 при п>о и р(с+1)<р0 при п=о, причем для некоторых существуют такие числа , что мк=р(с+лк-и>. Тогда при любом натуральном N имеет место представление
у< 1 > г к г к гч г > V
к- 1
N -и
£ скх + Е1м(х), (15)
где суммирование в ^Г1'берется по тем ке»<о, для которых существуют такие что рк=р(о,+а1с+1), в £<2>- по тем к<^о,для которых мк*р(о-+л+1) ни при каких Здесь н/х>, ьк, ъ>к и Рк(Ю даются теми же соотношениями, что в теореме 2.1.1;
р(о'+ак+1)-/-'к_1-1
ак= / ркап +
о
-1 а.
г -1 ак -I
ГС1+о-(мк/р)]ак
" - » х --------- к^Н .
В п. 2.2 устанавливаются оценки для остаточных членов (х), даваемых (14), в полученных представлений (13) и (15) и на основании этого выводятся асимптотические разложения соответственно
0 N r[l+o-(^/p>3ak N V"1 p(-l>jbjk -РСО-+Л + П
1о*-р,О-'р ^Z^rïi+ci+D--^^ /р>7 x irca-j rx
и
p(-l)Jk -P(»Kjk+l)
_1 ' Г 1 / „ -, П * .1
k, pb k( - 1) - p(c-f.j + 1 4
при х-»+ш.
HU MnCiUUt ICT> p гтгт V 1 _ V y , Í. ,-лт™. ^-.^r,.-., ,, • ' c
логарифмический характер в зависимости от того, что Mk*p(c+j+i) ни при каких k,detNo или же существует по крайней мере одна пара таких чисел k,je(No, что pfc=p(o'+ó+i). В частности, данный алгоритм позволяет дать полные асимптотические разложения дробного интеграла от
функции по степенной функции i^.^p р в (7) и вычислить явно остаточные члены разложений. Отсюда при р=1 выводятся соответствующие асимптотические оценки для дробного интеграла Римана-Лиувилля в (i)• Доказанные утверждения обобщают известные результаты для
дробных интегралов р и О10' полученные N.Berger. R. А . H an-
de lsaan и J.P.McCiure, R.Wong другими методами. Кроме того, в пп. 2.1-2.2 приводятся соответствующие результаты для простейшей степенной асимптотики <ю> с а«ь=р( k+rn (ü<,e<i>, а также доказываются более простые асимптотические разложения для правосторонних дроб-
пых интеграл™ l_ p. I ач> и *> в • 1/. и м >. а приложениях 1-2 показывается, что предложенный алгоритм можно использовать для нахождения асимптотических разложений в нуле дробных
та та _с( ,
интегралов i_ р, i. р, 1_ хр р в предположении обшей степенной
асимптотики в нуле плотности р вида (17). Результаты п. 2.1-2.2 применяются в п. 2.3 для получения полных асимптотических разложе-
жений при потенциала Рисса 1°р по к™ в (5> с радиальной
плотностью p(|t| ), имещей асимптотику
V к
P(|t|)~> sl^ j t J (AJ_n</J_n4.1<-. - ■ liB n2r0) ПРИ t-»+œ,
k = -n k-»+oo
a в пп. 2.4-2.5 - полных асимптотических разложений решений и(х,у)
краевых задач (li). <12) при у-+® в предположениях соответственно
® -R
И (х, у; ра (х)у (м <А<_ПЧ.<---- Ii» при у-+®,
где м <x,y;p>- г(Г p(x+yt>da(t) - сферическое среднее от р. и 2л s
tr.- 1 ® -и
Re[p(x+iy)]~ S ak(x)y k < . ■ . . lim Як=а>) при y-*+o°.
к = - n к -мю
Глава з посвяшена исследованию асимптотики решения <р(х) нелинейного (линейного при m=i) интегрального уравнения Вольтерра
X
р(х) = ft—v Г ff t)'[t(t)-.clt (0<x<d<®, a>0, в*0,-1,-2,...) (16)
Г(с° J (x-t)1 о
в нуле и на бесконечности в предположении соответственно асимптот»
f(t) ~ > я t (М0<М < . . . , lim Mk = 00) при t-+0 (17)
к = о +СО
и (10), изучению асимптотики решения р(х) уравнения
X
+ f<x> <0<x<d<», соО, m*0,-l,-2,...) (18)
r<ö)^(x-t)1"£X
в нуле при условиях специальных степенных асимптотик в нуле функций &(х) и f<x), а также выяснению условий, при которых асимптоти-чекие решения совпадают с явными решениями уравнений и изучению вопросов единственности решения уравнения (18).
Уравнения вида С16), (18) возникают в задачах теории теплопроводности, теории распространения волн, нелинейной теории течения воды. Эти уравнения являются интегральными уравнениями Абеля и поэтому их называют уравнениями Абеля-Вольтерра. R.A.Handeisiaan и M.E.oiastead нашли первые члены асимптотики решения р(х) уравнения (16) при «=1/2 в нуле и на бесконечности при условиях (17) и (Ю). Нелинейные уравнения вида (18) со сверточным ядром k(x-t) вместо (x-t)a/r(а),и>о изучали P.J.Bushell, ».okrasinski, Н.К.Карапетянц, С.Н.Асхабов, А.Я.Якубов, М.А.Бетилгиреев и другие. Разрешимость такого уравнения различна при т>1 и o<m<i. В первом случае соответствующее однородное уравнение (f(x)=0) может иметь нетривиальное решение, которое впервые нашел w.R.Schneider, и исследования указанных авторов были посвяшены изучению вопросов существования и
единственности решения р(х) неоднородного уравнения, а также устойчивости этого решения и методу последовательных приближений для его получения. Случай o<m<i изучен меньше. Вопросы асимптотики решения <р уравнения (18) ранее не рассматривались.
В п. 3.1 ми используем результаты пп. 2.1-2.?. для нахождения асимптотик при х*+о и х*+® решения р(х) уравнения (16ч в случаях, когда f(t) удовлетворяет (17) и осп соответственно. Этот алгоритм позволяет найти несколько членов асимптотики ро.) и обобщить результаты R.A.Handelsman, W . Е.Glmstead. В П. 3.2 изучается асИМптотика в нуле решения р(х) нелинейного (п#1) уравнения <1:16) в
V р
а(х) - харШ У (р=-1,0,1,..leZ; а_,#0) ПРИ Х-+0, (19)
к У- I
00
f(x) ~ харю £ fkxa <р = -1,0,1,...: neZ; f_n*0) ПРИХ-+0, (20)
^ари V Р vak ki1-
и доказывается, что решение имеет асимптотику того же типа:
Р(х) ~ У РЛак (qeZ, Р *0) при t-+0, (21)
где коэффициенты <йк выражаются через ак и fk по рекуррентными формулам. Такие асимптотические разложения мы называем асимптотическими решениями. Результаты уточняются в п. з.з для уравнения (i.ie)
с а(х)-ах г и показывается, что в некоторых случаях асимптотическое решение такого уравнения дает его явное решение. Обозначим через в1осго,.:П класс функций, локально ограниченных на [o.d).
Теорема з.э.6. Пусть «>о, р>-1 (р*о) и i (1+«*о, i+a+p*о) -
действительные числа. Если уравнение
£ +а)//3 _ ах -Ь = 0 (a.b. R; а*0)
разрешимо и с - его решение, то нелинейное интегральное уравнение
1 + -7Г- 1 u ct+ß+l
fp(x)] Р = w^T Г—— +bx ( Q<x<d£a>; со 0; а#0) "-"'^(x-t)1^
разрешимо в ilo=to.d) при -i<ft<o и в BlocC°--d"> при ß>o, и его решение дается формулой ß
р(х) = сх .
Соответствующее однородное уравнение
|I+а 1 х
[р(х)3 + & = <0<х<сК«>; ООО; а*0)
Г(с° (х-О1 а
о
всегда разрешимо в указанных пространствах и его решение имеет вид
В п. 3.4 строятся асимптотические и явные решения линейного уравнения (18> (и=1) при условиях (19), (20) с В п. 3.5 на основании обобщенного неравенства Гронуолла исследуются вопросы единственности решения р(х) уравнения (18) с о<ю<1 и ограниченным коэффициентом а<х) в пространствах непрерывных и локально ограниченных функций на го,сп. Результаты пп. з.1, з.з-з.5 иллюстрируются на примерах в приложениях 3-7. В п 3.4.6 указываются приложения к решению краевых задач для обыкновенных нелинейных и линейных дифференциальных уравнений.
Глава 4 посвящена изучению композиций операторов дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля (1)-(2) со специальной функцией типа Миттаг-Леффлера и приложению полученных результатов к решению в замкнутой форме линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра
X 00
-<*>= гёу I *>(*)= ^ / (21)
0 (х-Ъ) Х (1-х)
(0<х«15со, а>0, а*0) (05<1<х<со, соО, /ЗеК, а*0)
и дифференциальных уравнений дробного порядка
(О^рКх) = ах/?*>(х)+ССх) (0<х<а<оо, а>0, а*0), (22)
= аЛ(х) + г(х) (0£с1<х<оо, а>0, /зеян, а*0) (23)
с дробными производными (2), и в частности (при «=1,2,...) обыкновенных дифференциальных уравнений. Первое интегральное уравнение в (21) есть уравнение вида (18), к дифференциальным уравнениям (22)-(23) приводят многие прикладные задачи. Пример такого уравнения дает уравнение теории полярографии
(0^гр)(х)=:ах%х)+х"1''2, х>0, -1/2<^<0. (24)
При /"3=0 интегральные уравнения (21) являются уравнениями типа
свертки и для нахождения их явного решения можно применить прямое
и обратное преобразования Лапласа. E.Hille, J.D.Tamarkin впервые применили этот метод для первого из уравнений в (21) и выразили его решение через первую из функций Миттаг-Леффлера
СО г. ОС г>
Ea<z>= J ---, г><2)= 2----—- (cs>0. tf>0). (25)
п = 0 Г(0!Г1-Ь1) " n-n r(ctli-ifi)
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо извест -на Развитие теории диФФеронциальных уравнений дробного порядка положили L.о'Shaughnessv и Б.ъ.Post с дискуссии о явных решениях простейших однородных уравнений (22W23) вида (d*'zp)(x)= <о(х)/х
i и 1' х ' - '/-М х (rx 1 мг и ».-iMki fviijfc»r*'rwf 1UUUMQ м р пмиг^гоаиипгтн рг»тттл_.
нии задачи ноши для нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка доказывали Е.Pitcher. W.E.Sewell, М.А.Al-Bassam, A.Z. А1-Abedeen, H.L.Arora, А.Z.-А.М .Tazalli, Н. II. СеменЧУК, Л.П. ГриНЬКО и другие. Решение задачи Коши для линейных уравнений исследовали J.H.Barrett, М.М.Джрбашян, А.Б.Нерсесян. Задачу Дирихле для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными изучали М.М.Джрбашян, А.М.Нахушев и Т.С.Алероев. В.К.Вебер и М.И. йманадиев рассматривали системы линейных уравнений дробного порядка. Полученные результаты носят в основном качественный характер. 'Явные же решения известны только для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений дробного поряжа.
Предлагаемый нами алгоритм решения уравнений <"Z.i>-« 23> основан на формулах композиции операторов дробного интегро-дифференци-рования (iw2> с вводимой нами специальной функцией
I-. = О 1 - о
с ю>и. i«£K При а=1 она с точностью' до множителя совпадает со второй функцией Миттаг-Леффлера в (25): е^jlil<z)=r(ai+i)Ea>al + 1<z) и
поэтому мы называем ее функцией типа Миттаг-Леффлера.
В п. 4.1 доказываются формулы композиции дробных интегралов (1) и дробных производных (2 ) с функцией Еа L(z).
Теорема 4.1.2. Пусть а>о, m>o, i>~i/a, а^к (а*0) и - левосторонний дробный интеграл в (1). Тогда справедлива формула
a(C[ta2Ec<ilajl(atön)])(x)=x0,a-m+1)[Ec(jmil(axc<ln)-l] (а*0). (27)
Аналогичная формула доказывается для дробного интеграла i"p-
Теорема 4.1.4. Пусть «>о, ю>о и г - такие действительные числа, ЧТО a<im+t)*-1,~2,.. . () , 1>т-1-1/а, аеК И - леВОСТО ронняя дробная производная в (2). Тогда справедлива формула
- г 1)4-13 а (1-И) al fax«1", , (28
~ г[а(1-ю)+1] х + ax а,и,i } <2в
В частности, если a(t-m) = -о для некоторого 0 = 1,2... . .-[-otj, то
<D0l.[t Еа ш ¿(at )])(х)=ах Еа щ ¿(ах ) (а*0). (28)
При натуральном a=n=i,2,... теорема 4.1.4 упрощается:
Теорема 4.1.5. Если n=i,2,..., m>o, а*о и i - такие действительные ЧИСЛа, ЧТО n(i«+l)i -1,-2,-----n (i=0,1,2,...), то
[d 1ПГ nii-m+l),, , птЛ " г ,, ч, ., n(l-m) ni., , пи,
EJ [X En,rc,i<ax >J=.n Cn(I-m)+j]x + ax Еп>и,1<ах ■
J 1 (30) В частности, если n(i-m)=-o при некотором ¿=1,2.....п, то
Cd 1ПГ nit-n+l),, , _ niт, , пи.
j— Ix E„ ,(ax )I - ax E ,(ax ). (31)
dxj L n,m,l j n,m,l
Теорема 4.1.6. Пусть «>о, и>о и i - такие действительные числа, ЧТО i >»-({«} )/а, аеК и Djp - ПраВОСТОрОННЯЯ ДРОбНЭЯ ПРОИЗВОДная в (2). Тогда справедлива формула
с*. c<(in-l )-1 ~с<т-.л/ ч
(D [t Е , (at )]<х) =
а.и.1 (32>
= L£5LLa±i2±il x«(®-l-D-l+ (ах_ош) (а*0)
В пп. 4.2-4.3 соотношения (27), (28), (32) применяются ДЛЯ решения в замкнутой форме неоднородных интегральных и дифференциальных уравнений (2i)-(23) с квазиполиномииальным свободным членом f; в частности, уравнения (24). В п. 4.3 на основании формулы (29) находятся полные системы линейно-независимых решений соответствующего (22) однородного уравнения (f=0). В п. 4.4 равенства (30)-(32) используются для решения в квадратурах однородных и неоднородных дифференциальных уравнений (22>-(23) целого порядка <=<=1,2,... В п. 4.5 дается приложение полученных результатов к решению задачи типа Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка (22)-(23), а в 4.6 - задачи Коши для соответствующих дифференциальных уравнений целого порядка. Результаты иллюстрируются на примерах.
Глава 5 посвящена исследованию композиций операторов дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля (1)-(2>, линей-
ного дифференциального оператора второго порядка
<La р)<х) = + 2 ¿21*1 + (L = о гс.^о (33)
cix х dx у"
и его важных частных случаев - оператора осесимметрической теории потенциала, или оператора Еесселя
dx х dx
и оператора углового момента
(Н Jí)f_d +iílPÍX)=dV(20 _ Wܱ1>
i.-"-- "i с-" J..-
с оператором интегрального преобразования вида
00 сю
(Kp*>)<x>=JZpíxt)p<t)dt, Z^(u)=Jr""1exp[-rp-HjdT <р>0. «<=С), (36)
о о
а также приложению полученных результатов к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка (33)-(35).
Оператор (34) играет важную роль в осесимметрической теории потенциала, оператор <35>- в квантовой механике. A.Erdciyi первым исследовал композиции операторов дробного интегрирования Зрдейи-Кобера Lr¡ и \ cf^--,z,r)'p ÍCM- <3>) и соответствующих
операторов дробного дифференцирования с оператором (34) и дал приложения к решению краевых задач для дифференциальных уравнений. Его результаты обобщил J.s. i.owndess, рассмотревший композиции операторов обобщенного дробного интегрирования с функциями бесселева типа с оператором (34). Композиции операторов дробного интегрирования Лушмана-Ордейи 114. § 35.?.] с оператором (35) изучат С.М. Ситник. Интегральное преобразование (36> называется преобразованием типа Бесселя в связи с тем, что при р-1, и=хг/4 z"(xz/4) = 2<х/2)сикь>(х)1 где Krí(x>- модифицированная функция Бесселя третьего рода, или функция Макдональда. Его ввел E.Kratzei. который нашел формулу его обращения, построил свертку и дал приложения к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. J. Rodrigues, J.J. Ti-uáilio И М. Rivera ПОЛУЧИЛИ форМУЛУ КОМПОЗИЦИИ оператора (36) с
оператором, связанным с дробной производной Djp в (2), и выразили через этот оператор решение одного дифференциального уравнения дробного порядка бесселева типа.
Мы изучаем композиции операторов дробного интегро-дифференци-рования т-(2) с оператором в (36) и специальных пространствах основных Fp ^ и обобщенных функций F^ ^ МакБрайда. Для l^pSoo. ^ес пространство Fp ^ определяется следующим образом:
F ^еС^СК ): I (К ), ReN =С0 ,1,2 , . . . >1 (1<р<оо),
р^ Г + dx р + ° )
k (37)
F ): xk -^r<x_AVbO ПРИ х->+0, x-«D, кеШ 1 (р=со),
00I dx 0->
Здесь с> - пространство бесконечно дифференцируемых функций на
к^=< о, оо); w®^ - пространство измеримых по Лебегу р-суммируемых
функций р на Fp м ~ соответствующее Fp ^ пространство обобщен-ых функций, при этом запись <f,«p) означает значение обобщенной функции EeFp>fJ как функционала над основной функцией psFp Пространства Fp>/J и также используемые в главе 6, удобны при исследовании функциональных свойств операторов дробного исчисления, так как позволяют рассматривать одновременно операторы интегрирования и дифференцирования. В пространствах Fp и и свойства
операторов дробного интегрирования (1). (3) и (7) изучали A.Erde-lyi, A.c.McBride, а операторов обобщенного дробного интегрирования с гипергеометрической функцией Гаусса (8) - H.Saigo, н.-J.Giaeske. В п.5.1 приводятся сведения из теории пространств Fp м и f^ ^
и факты о действии операторов дробного интегро-дифферениирования в
них, а также изучаются свойства оператора интегрального преобразования Бесселя (36) в этих пространствах. Условия существования оператора к^ в Fp ^ дает следующее утверждение.
Теорема 5.1.12. Если isp<co (i/p+i/p'=i), у&с, р>о, ««с и
Re<fj)>-i/p'-min[0,Re<")], то оператор непрерывно действует из пространства Fp ^ в пространство Fp 2/p-u-i-
На основании формулы интегрирования по частям, доказанной в теореме 5.1.14, для обобщенной функции feFp>A, оператор определяется равенством <K^f,p) = (f,к^р), )2/p-u-i• и из теоремы 5.1.12 вытекает соответствующий результат для пространства F'
Р > Н
Теорема 5.1.15. При l^pi®, /uöC,p>0, coeC., Re<M)<^+Ein[0,Re(^)3 оператор к^ непрерывно действует из Fp р в Fp 2/p-.u-i •
В п. 5.2 устанавливаются следующие формулы композиций операторов дробного исчисления 1", в" («>сп в <1)-(2) с оператором к™ <р>о, ыеС) в пространстве ц: _
КРСР = -- М < .У „ X г> р < Р<=г Р Р 1 при Ве( м >- 1 -'г 1Г! (0 , Ре( ю)+а! ; ' 38 >
к»ъа Р = р о*^ х К р < р > при (ц)>а-1/р'-И1П[0,]; (39)
« 1_КрР = „¡.о+а -а , _ К х р (реК р р..и ) при йе(АО>-1/р '-п1п [-'-«, Е<е(« >]; (40)
о"кыР -- р „си-а а _ р х р при ) ^-1/р '-в\гп[ {а }-1, В.е(ы) ] . (41)
В частности при п-1 ?, .. —.т. спе^¿ы^н ¡Ж'^г^чциг^г'гл;" п раз к"опр = хпК."~пр (рег > при >>п-1/р'-ю1п[0,йе(и>] . (42)
Р Р Р .»А*
°Г'Крр =<-1>ПКр"ПхГ'р при )>-1/р'-щз.п[0, Не(со)] . (43)
В п. 5.3 соотношения (38)-(43) переносятся на функции ^ ^ ■ Равенства (42)-(43) применяются в пп. 5.4-5.5 для нахождения в пространствах соответственно ^ и и (формул композиций линейных
дифференциальных операторов второго порядка общего вида ьа ^ в (33), операторов осесимметрической теории потенциала и углового
момента I в (34>-(35) с оператором Здесь же даются приложения к решению дифференциальных уравнений <33)-(35>: по известным решениям <р дифференциальных уравнений , в^р^о и ъир=о при одних
значениях параметров а. /з, V и м находятся решения этих уравнений при других значениях параметров.
Гласа е посвящена исследованию свойств операторов обобщенного дробного интегрирования с н-функцией Фокса (4 > и нахождению композиций этих операторов и операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса (8)-<9> с дифференциальным оператором осесимметрической теории потенциала <34) в пространствах ?р и и Рр определенных в (37).
Обобщенные дробные интегралы (4) принадлежат к классу интегральных преобразований с н-функцией Фокса, или н-преобразований
00
(Нр)(х)= Г Нт'п(х<:>р(1:^ (х>0). (44)
т , <1
О
Эти преобразования обсбшактг интегральные преобразования с о-функ-
цией Мейера или G-преобразовашя, интегральное преобразование типа Бесселя <36), модифицированные преобразования Лапласа и Ханкеля, обобщенные преобразования типа Зрдейи-Кобера и с гипергеометрической функцией Гаусса и другие [14, §§ 9, 23, 39]. н-преобразование (44> ввел c.Fox при исследовании G- и Н-преобразований как симметричных ядер Фурье. Его различные свойства изучали R.N. Kesarvani, R.K.Saxena, K.C.Gupta, Р.К.Mittal, R.Singh, S.L.Kalla, R.G.Busch-man, H.H.Srivastava, R.K.Kumbhat, C.Nasiis, V.P.Saxena, V.M. Bhise, M.Dighe, ВУ КИМ TyaH, V.Kiryakova, R.K.Raina, M.Saigo, А.А.КилбаС, С.А.Жлапаков, A.c. HcBride, w.J. Spratt и другие.
Свойства н-преобразования (44) зависят от свойств н-функции Фокса которая при m,n,q,re!No = {0,1,2, .. Л (0<n<q, 0<n£r);
а, , Ь.еС; «. , 0,<*>) (i=l,...,r; j=l,...,q) определяется ИН-
тегралом Меллина-Барнса
тп п
п г( b Л ft . s ) п г( 1-а. -a. s) . il м i у.
H"1'" í z)=Hm'"
r,q r,q
(a. ,a. )
V t l,r
(b ,/Э.) j j 1-q-1
_ 1 Г _l=i_„ - s .
z~—r\-2 as
2rt 1 j T q
L п Г(a.+a. s) pi r(l-b-/?.s)
i=n+l ^ V j=m+l 3 } (45)
со специально выбранным замкнутым контуром ¡-, проходящим через бесконечно удаленную точку и разделяющим полюса функций r(b.+/3.s)
(j=i,... ,m) и г(î-a.-«.s") <i=i.....г,). Свойства операторов (4)
зависят от свойств н-функции (45) и во многом определяются асимптотическим поведением fÇ'^Cs) в нуле и на бесконечности, зависящим от следующих чисел, выражающихся через параметры fti и ai,
b. (i=l, . .., г ; 0 = 1.....<з):
S «Л "Г ibriv
1 = 1 i=r>-n j=l j=m+i j=l 1=1 J = i 1 = 1
(46)
b.l.J.Braaksna разработал основанный на теории вычетов метод для нахождения указанных асимптотик, первые члены которых в некоторых случаях даны В книгах A.H.Mathai, R.K.Saxena; H.И.Srivastava, К.С. Gupta, s.P.Goyai и А.П.Прудникова, Ю.А.Брычкова и О.Й.Маричева и имеют степенной характер. Первые члены более сложной степенно-логарифмической асимптотики получены A.H.Mathai, R.K.Saxena ТОЛЬКО
для частных случаев: н-функций ¡С'°(2' и Hm'°(z)
Пп. 6.1-6.2 посвящены исследованию свойств обобщенных дробных интегралов (4) с н-функцией Фокса н™'^(z) в пространстве Fp
Сначала в п. 6.1 приводятся некоторые используемые в дальнейшем свойства этой функции и, в частности, ее степенная или степенно-логарифмическая асимптотика в нуле:
* .4
„р.
!.ГЙ г / ,
где
. ПРИ А2:0 И А<П, ч*>0,
Не(Ъ У
(47)
Г . Г 1 1 + гг . г д Л * „
Ьё^т!--Тз---{'-Д--)' ш1п ПРИ Л<0- а
в случае, если полюсы гамма-функций г<ь3+/^з> и-1,..,в) не совпадают; если некоторые из укаяэндау по-г^сп сс^^аки .-<>
Г с : \ 1 { 2>0 ,
агй г\<в),
где I - порядок полюса гамма-функции г(ь.+/?.з), у которой для ь. и /г достигается 1:!?1§то [Не(ьг)/^].
В п. 6.1 на основе указанной выше асимптотики даются условия существования обобщенных дробных интегралов (4),
Теорема в. 1,г. Пусть ( 1/р+1/р' = 1 ), ш.п.т.д^^
■,г; ,
(05 щ<ц, 0£п<г); а . Ь.вЕ : «0? -(О ,ол\ ,'1=1
^ 1 .1 +
о
. , Я ):
-.гп.п -
I *> и \ *р ~ операторы обобщенного дробного интегрирования с
н - функцией Фокса а > в (4). Р дается <46>~С47).
Если Ке(м) > -р- з/р' ■ то оператор 1™'^' непрерывно действует в пространстве и и для . -^с справедливо равенство
хЧ"
(а , гч >
V V 1 Р г
11 » - Ч-1
Г"
г . Я
( а - , а.
А Ь -Х/3 .,/?.) 01 л л .>
к
X Р.
Если Ве(икр-1/р', то оператор непрерывно действует в пространстве ?р ы и для и< верно равенство
Х тП.Г!
X К
г.Ч
(а. ,.с<. )
ъ г. 1 , г
(Ь . ,0. )
.1 .1 1 . т
(О = К
(а. +Ха. ,а. )
I 1. I 1 , г
гкр .р.-, ] 1 1 ' 1 .4
X
X р.
Далее в п. 6.1 устанавливаются формулы преобразования Меллина и интегрирования по частям. П. е.2 посвящен изучению аналогичных вопросов для обобщенных дробных интегралов в (4) с н-функцией Фокса н™^(2>. Здесь же изучаются вопросы представимости таких операторов в виде композиций операторов типа Зрдейи-Кобера (з), на основании этого проводится расширение области значений параметров таких обобщенных дробных интегралов и рассматриваются их компози-
г , ч
ционные свойства. Полученные в п. 6.2 утверждения дополняют результаты V.Kiryakova, S.L.Kala, R.K.Raina, h.Saigo. ЙСПОЛЬЗУЯ резу-зультаты пп. 6.1-6.2, в п. 6-3 определяются операторы обобщенного дробного интегрирования с н-функцией Фокса (4) в Fp_M:
если
I^feFp(A< ПРИ Ке<м)<Р+1/р И
(a. )
V V l,r
(b ,ß.)< ■ J J 1.4
f ,P
( a ,c* )
i V L X,T
j j j i,<r*
p I , peF
Р-Н'
feF' ПРИ Re(p)>-p+-l/p и feF.
'P.P (a. ,a. V
t V l,r
3 j i.qJ
f ,9
f,l
P.AJ (a. -<=«. ,a. )
если
î>eF
P.M
и доказывается аналог теоремы 6л.г.
П. 6.4 посвяшен изучению композиций операторов (4) с дифференциальным оператором осесимметрической теории потенциала в <34) в пространствах н и
Теорема е.4.1. Пусть 12Р<<» (1/р+1/р'=1), р,г>,хес; ю.п.г^ев^
0£п£г); а. ,Ь.«гС; а. =(0 ,со) ( 1=1_____г; 0-1.....Ч > ;
\ 3 V J +
С^ч и К'я ~ операторы обобщенного дробного интегрирования (4):
- дифференциальный оператор <34) и р дается <4б)-<47). Если йе(р)>-р-1/р'. то для и справедлива формула
Х+и'
X I Р + Х(Х+2г->>Х 1 Р = Х I X L, р (peF ).
Если Re(A<><p-i/p', то для psFp ^ верна формула
2г -\„то,г, . - -x„rn,n
х L, х К p + X(X+2v)x 5 p
-Х„тл,п 2_ , .
Аналогичные утверждения справедливы для функций р«Ер р
и в
качестве следствий - для операторов с н-функцией Фокса и,
как отмечено в п. 6.5 - для операторов обобщенного дробного интегрирования с гипергеометрической фукцией Гаусса г' в (8). В п. 6.5 в пространствах Рр>и и также доказываются формулы композиций операторов обобщенного дробного дифференцирования
С^'11- в <9> с оператором ь ■
О -г Л. -tis
при Re(p>+min[Re(73),0, Re(r>}, Re<a+/?-n? ) ] > - 1/р ' И
na,/î,rj 2+X-/Î -Х+fî r zT 4_ria,ß,7) , _
D^ x p =tx V-X<X+2^)3D^ V (P^Fp M>
ПРИ Re<M)<siinCRe<-rî),0,Re(T)-^),Re(a+i7)] + l/p; и аНЭЛОГИЧНО В F^
Глава 7 посвящена исследованию вопросов гладкости интегральных операторов
(к рУух}- / К(х, Ь )р( ь )dt схе-п£п?гл, е>1 > (48)
О
с достаточно общим ядром КСх.О И ПЛОТНОСТЬЮ реЬ (ПНКр^оо) , в частности, операторов типа потенциала и многомерных дробных интегралов I;-/' в (0)-<б), получению композиционных представлений для
по шаровому слою (1|<ь, 05а<ь<®> и приложению полученных
результатов к решению многомерных интегральных уравнений первого рода со степенным и логарифмическим ядрами
1 _ „/..< --- • , г.
Л - 7т-п --г- •
0
1 1ов|х-1;|р<1:><П = Г(х) (П£Кгп, и>2). (50) о
В связи с решением интегральных уравнений первого рода, в частности уравнений (49)-(50), и исследованием дифференциальных свойств функций многих переменных возникает задача описания классов функций, прсдставимых интегральными операторами <48>. Изучение свойств Функций, предстэвимых операторами типа потенциала, начали «.н.иаыу, л ,е .ьпииоос). исследовавшие эту проблему для одномерных дробньг/ интегралов (1) с плотностью р из классов гедьдеровских
нл к р-суммируемых функций ь . Непрерывность многомерных дробных интегралов (5) с рвь (О), Осок». при р>Ц в случае ограниченной области ое»т впервые указана С. Л. Соболевым. Результаты такого рода получили В.П.Ильин, .т.ткага^а, ц.аахег, Г.Вайникко, А.Педас,
П.Уба и другие. N. <1« Р1евэгз доказал гладкость потенциала Рисса
(Х<Чр;чх) В (¡1): при 0«'.а, I К'" 1 Ж,п > , <т/а)<р<(в/г»)+1,
(х^рХх+ю-( 1ар)(х)=о(| н}^и!/р) ^ равномерно при |ь|-+о. '
К.Со Из г . К.Рапгопе . К.О'МеИ, К.5. БтсЬаги обОбШИЛИ ЭТО утверждение . Согласно классической теореме Харди-Литттлвуда-Соболева
[14, с. 385] потенциал Рисса I'* при 1<р'.т/<* ограничен из ь <9?"") в
, а в предельном случае р-и/а £ач«=вио(Кгп). Последнее утверждение впервые получил .т.Рее^е; Н.К.Карапетянц и'Б.С.Рубин получили другое описание пространств функций, представимых дробными интегралами 1°+р с реь1/а<од> [14, § 4.2].
Интегральные уравнения (49)-(50) играют существенную роль в механике и поэтомы важными являются проблемы разрешимости этих уравнений в различных функциональных пространствах и нахождения и: решений в замкнутой форме. Много работ посвяшено одномерным (в=1) интегральным уравнениям такого вида, их различным обобщениям и мо дификациям. Многомерный случай <«£2) изучен меньше. В случае обращение уравнений (49) и <50) хорошо известно. Применение преоб разования Фурье г к 1ар=£ (0<а<м > в смысле обобщенных функций ведет к формальному решению этих уравнений с о<и<п.
Если « не совпадает с к™. то исследование разрешимости уравнений (49>-(50) усложняется из-за изучения условий на свободна член £ на границе области о. Результаты здесь получены только для шаровых областей. Е.т.Сорзоп рассмотрел двумерное уравнение (49 на круге 1*р=£ (В={Чев2: ¡11 <ь>, о<ь<®>, возникающее в теории пластичности, и получил его формальное решение в виде ряда Фурье, коэффициенты которого находятся из интегральных уравнений абелева типа. Я.Н.Ростовцев применил такой же метод для решения двумерного
уравнения ^|<1}) с любым и нашел представ-
ление для в виде интеграла с гипергеометрической функцией Гаусса гР1(а,ь;с;2>. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах сь.э.каьапе, доказавшего сходимость полученных Е.т.Сораоп и Н.Н.Ростовцевым рядов Фурье к суммируемому решению р(х> и получившего такого же типа результаты для интегрального уравнения (49) по шару 1"р=£ = | <1} , т>3)при 0<а<2. СИ.5. КаЬапе постро-
ил решение р в виде ряда Фурье-Лапласа
к ^о 1
(х'=(х(/х) по системе сферических гармоник Ук х') • козффицинты Фурье-Лапласа *>к > которого связаны с соответствующими коэффициентами <|х| ) свободного члена £(х) уравнениями абелева типа, записал это решение в более простой форме и дал достаточные условия для существования по крайне мере одного такого решения при ?еСг(В). Б.С. Рубин исследовал условия разрешимости уравнений (49) по шару (В={Ь5£Г:|^<1},ш&з) с о<«<в и по внешности шара в
весовых пространствах р-суммируемых функций и построил их решения р в виде композиции операторов, обратных так называемым сферическим дробным интегралам. С.И.Василец изучил уравнение (50) по шару и шаровому слою в нечетномерном пространстве к"1, т-2п+1.
В главе 7 мы продолжаем разработку указанных результатов с помошью методов теории функций и гармонического анализа. В п. 7.1 даются достаточные условия на ядро K(x,t), при которых интегралы
(48) с fmsl <£}) (os (rm, кр<00> ЯВЛЯЮТСЯ ГЛЭДКИМИ ФУНКЦИЯМИ.
Пусть « - ограниченное множество в к'": x.heo, пь-{Хе0:Х+тЬе0. 0£r<i>. Для х-п+с.о. где п-целое неотрицательное число, о«?<1, и обозначим через с"(о> пространство п раз непрерывно дифференцируемых Функций f на с;, через нхпространство обобщенных гельдеровских функций f. таких, что f«=crVo> и
| D^fi x+io-D'^f (х) ¡-А( hj^la^'i 1/ j hj > (0<|h|<l/2) ДЛЯ |/?|=п, ГПЙ t/?f=»»l/il ff^fi, . . .¿xf... чскОТЬЬЯ ■и.)И--'"РДНЗ_'7 .....P„r MVJIK-
тииндекс, .. ■+/5ТП- постоянная A>o не зависит от х и h;
„ »„ v, , id^f (x+hz-d^f (x)l Hf!l у =шах > I D f (х>|+ max sup ->--——--*—
(fi|=n xeOh,0<|h|<l/2 |h|°V(l/|h|>
Теорема 7.i.i. Пусть ^o, i<p£®, cob/p, функция K(x,t) определена на о'={(x, t)<=пхС1: xs't} и удовлетворяет условию
(DfK(x,t>t<H!x-t|a"m"l/3ilnlJ[j^ri-] , <x,t)eO', y>d= ma|<en[x-t|,
до порядка/?, (^j =o-m/p] + i; K=K(K,f3,mV'0. Тогда интегральный оператор к р (48) ограниченно действует из ь <о> в н0,-И/Р,"<о> при
о-ш/р/1 Л,... И в Н0,"В/р'1,+ 1/о (О) при «~и/р=1,2.....
Теорема 7.1.1 обобщает известные результаты.
ro+l m+1
пусть x=(xt,----х^««"1; у>0, Py(x")-rp!ii-jft 2 у< |х|г+у*> 2 ,
u(x,y)=P т£(L)fytx-t>dt - ядро Пуассона и интеграл Пуассона.
{R
Пусть 1--р£а>. /?>о , п- наименьшее целое число, больнее Р; л* (Rm> и пространства дмпшицовых функций:
- if. Г"Ц<*'У)| SAy~n+i?, у>о| (А>0) ; V ¡1 <?уп II р J
ft \ p lr ft ft.P P v>o(/ I dyn j|pJ/
Теорема 7.-1.4. Пусть 1<р^<». i/p+i/p' = i, «>»/р и к - оператор (48) С 0=D?m (,В>1) И ядром KCx.t), УДОВЛЕТВОРЯЮЩИМ УСЛОВИЮ
ess sup if |K(x-t.r)-K(x,t) |р'с1т] ^Bltl а~и/р (B>0).
Тогда если 'P<sLp(IRm'>, TO ^^Z-m/p' ^ ' а если
г о' ч1'?'
ess sup If 1К(х, t) | dt <00,
то оператор к ограниченно действует из Lp(tRm) в л™_ш/р<кТП) ■
Отсюда выводятся аналогичные утверждения для потенциалов Рисса <5)-(8) и потенциалов Бесселя.
П. 7.2 посвяшен нахождению композиционных представлений многомерных дробных интегралов С 5) - с 6) по шаровому слою o=n siteo?™:
а<111 <ь, О<а<ь<оо]. Пусть mew, o<a<m, sm_i - единичная сфера в к™,
-2г"1 сш/2)-площадь ее поверхности; при х', о<? <i
Р(х',?у')=<о~* Г——- -l] - ядро Пуассона для единичного шара; ""^(х'Чу'Г J
С" =rB e * <M^MX>(y)dy, в>=г „ ' <М'-1»Г>%,Т)<|„
а+ ш, с* ^ , ,т о— ш, Сх _ , . т
О х-у Г! У-Х
ах 11 х Ь ' 1
г t^^г-1 (с ^-односторонние шаровые потенциалы [14, §29].
Пусть .. .+е/эх* - оператор Лапласа; cl<sm_1^ (ldf|) -
класс таких функций f(x') <x'esmi), что <5l/zfeC(Srn_i>, где 6=|х|2а -оператор Бельтрами-Лапласа, и cVsm_i) при нечетном * понимается как замыкание c00<sin_i) по норме ¡ifiic,+ii<sb'zfiic, где
b) - пространство ограниченных на функций f таких, что
функции <5Jf(rx'> (j=o,l,...,г/2) имеют непрерывные производные до
порядка N по радиальной переменной r= | х| :<ак/агк)б>£<.тх.')ес(.аа ь)
(l<k<N; 0=0,... ,1/2) И <aN/arN)f(rx')eCl(Srn_l) при любом ге[а,Ь]. Пусть
ItV S 2 Bj |y| ВЬГ v,
2 гг (a/z ) oir'-r')1"""- aip'-r')1-"'^ s
Tn- 1
й> С Ь 1
I3V®-g- / P v(p)dp / (1-t ) ln(r -2rpt+p >dt.
a - 1
Теорема 7.2.1. Если p(x)eC(n . > (i<p<co),
—-— —— —a,b
po(x)-po(lxl >=tVi s iP( !xjx')dc(x'), p^fx) = p(x)-p0(x),
Sm-1
то для потенциала Рисса в (6) верно представление
P>(x) = (1;>,)(х) + (I/.Kx) + (I>0)(x). (52)
a, b
Теорема 7.2.2. Если p(x)eC(Qa>b) (i<P<oo), o<a<m, то для потенциала Рисса в (5) верно представление
*>)(х) = (l"<e)(x) + (l"p)(x). (53)
а., ь 2
Формула (53) обобщает результат Б.С.Рубина для шара ь ■
Представления (52>-(53) применяются в пп. 7.3-7.5 для нахож-цения явных формул решений и условий разрешимости интегральных /равнении первого рода (49)-(50) по шаровому слою °-nab с четным я, o<a<m, в пространстве непрерывных функций С(г^ц>. Метод решетил этих урзпнек"" сскопоп па представлении сьобидно! и члена fix) з виде ряда Фурье-Лапласа
d < к >
СО ГЛ
°^ 1 m-l
по системе сферических гармоник Yk <x"> и нахождении их решений в виде такого же ряда (51), после чего представления <52>-<53> приводят к системам интегральных уравнений абелева типа для нахождения неизвестных коэффициентов Рк (|х|) в (51). В п. 7.3 исследуется интегральное уравнение <49) со степенным ядром.
Теорема 7.JL2. Пусть n^b={xeRm: a<jxj<b) <o-sa<b<a>) -шаровой
СЛОЙ В к'"; п-1,2.....[ ( ю- 1) / 2 j ; ГеС"(П V N22n , L > ( Зт/2 ) + 2п-2 .
I а,Ь
Для разрешимости уравнения (49) в пространстве С(°оЬ' необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты Фурье-Лапласа
(k=o,1,...; .....Функции f удовлетворяли 2п условиям
n-i , I
) <1 d-'d f ( ! х I . , = I™"" 'f, <lxi)l, : ;
L > kji 1 1 jjx|=a 11 k,,u ' • |jxj=s
W^kSW'Im* -- 0 (
1=0,1.....n-1),
- 1 d „ 2 ( п-к + 1 )-ш_л чик-2
О = — -Г—, о = Г о г
Г dr п.тп.к
. _ ( -1 ) г__Г[( Ш/2 )+П + к-1-.)~ 1 1 т+2<г,>
> " Г(п-1-1)Г(п-о)Ге(ю72)-п+к]Г(2п-1-.1-1) *
(1,Л = 0,1.....п-1).
При выполнении этих условий единственное решение уравнения (49) дается формулой
р(х) = (-1)" 1 Ук (x'>ix|V4>
У,. .,(х' ) !хI d d , f, ..( 1x1 ), (54
k,fj
причем ряд Фурье-Лапласа (54) сходится абсолютно и равномерно.
/
В пп. 7.4-7.5 доказываются аналогичные утверждения для интег рального уравнения <50) с логарифмическим ядром соответственно с радиальной и произвольной плотностями. В п.7.6 показы
вается, что полученные в виде ряда фурье-Лалласа решение (54) ин тегрального уравнения <49> со степенным ядром и решение уравнения (50) с логарифмическим ядром выражаются через оператор Лапласа:
р(х) = (-л ■у"''2 ¡(х) .
Приложение 8 содержит доказательства вспомогательных лемм.
ВЫВОДУ
В диссертационной работе развиты и усовершенствованы асимптотические.;-и композиционные методы исследования операторов дробногс интегрирования и дифференцирования, позволившие решить ряд актуальных задач как в самой теории дробного исчисления, так и в теории интегральных и дифферециальных уравнений и теории интегральных преобразований. На этом пути получены следующие результаты.
1. Разработан модифицированный метод последовательных разложений для нахождения асимптотических представлений дробных интегралов в случае обшей степенной асимптотики плотности на бесконечности и в нуле. С помошью этого способа получены полные степенные или степенно-логарифмические асимптотические разложения на бесконечности и в нуле дробных интегралов типа Эрдейи-Кобера, дробных интегралов Римана-Лиувилля и дробных интегралов от функции по степенной функции. Даны приложения к построению полных асимптотических разложений на бесконечности многомерных дробных интегралов с радиальной плотностью и решений краевых задач для дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу.
2. На основе асимптотических разложений дробных интегралов предложен алгоритм для нахождения асимптотики решений нелинейных и линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтерра. На базе этого алгоритма получены явные формулы асимптотики в нуле и на бесконечности решений отдельных классов нелинейных и линейных интегральных уравнений, у которых известные функции имеют специальные степенные асимптотики в нуле и на бесконечности. Выделены случаи, когда асимптотические решения таких уравнений совпадают с их явными решениями и изучены вопросы единственности их решения.
3. Введена новая специальная целая функция, обобщающая классические функции Миттаг-Леффлера, и получены формулы ее композиций с операторами дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля. На основе найденных соотношений дано решение в замкнутой
форме новых классов линейных интегральных уравнений Абеля-Вольтер-ра, линейных дифференциальных уравнений дробного и целого порядка. Даны приложения к получению явных формул для решений задачи типа Коыи для дифференциальных уравнений дробного порядка и задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений,
4. В специальных пространствах основных и обобщенных функций исследованы структурные свойства (условия существования, формулы преобразования Меллина и интегрирования по частям) интегрального преобразования со специальной функцией в ядре, обобщающей функцию
ГССССЛЛ. Дс.чй^и*'!7!« фиьгжглы лОМ^О.тИийИ 1н)ну&тог1н М1Г1
ния типа Пестеля с инерашрами дрооного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля и с линейным дифференциальным оператором второго порядка, в частности с операторами осесимметрической теории потенциала и углового момента. Приведены приложения к решению линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
5. Введены операторы обобщенного дробного интегрирования с н-функцией Фокса, обобщающие известные интегральные операторы дробного исчисления. Па основании асимптотики в нуле н-функции Фокса изучены структурные и композиционные свойства таких операторов в специальных пространствах основных и обобщенных функций. Доказаны формулы композиций операторов обобщенного дробного интегрирования с н-функцией Фокса и операторов обобщенного дробного интегрирования и дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса с дифференциальным оператором осесимметрической теории потенциала.
6. Даны достаточные условия, при которых многомерные операторы типа потенциала с достаточно общими ядрами действуют из пространства р-суммируемых функций в пространства гладких (гельдеровс-ких или липшицевских) функций. Получены новые композиционные представления многомерных дробных интегралов по шаровому слою в многомерном евклидовым пространстве. На их основе изучены необходимые и достаточные условия разрешимости и построены явные формулы решений многомерных интегральных уравнений первого рода со степенным и логарифмическим ядрами по шаровому слою в случаях произвольной и радиальной плотности при четных значениях параметра.
Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, интегральные преобразования, теория потенциала при исследовании сво-
йств операторов, сводящихся к операторам дробного интегро-диффере нцирования, при решении интегральных, дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также при решении конкретных задач математической физики и механики, в частности, задач механик] сплошной среды и контактной теории упругости, теории теплопроводности, теории распространения волн, теории течения воды и теорш полярографии.
РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ Ш ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Килбас A.A. 0 гладкости многомерных операторов типа потенциала по ограниченной области // Изв. высш. учеб. заведений. Мат. -1983, N 6,- С.58-61.
2. Килбас A.A. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическими ядрами/,/ Сб. Научные труды Юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 75-летию со дня рождения академика АН БССР Ф.Д. Гахова. - Минск: Университетское.- 1985.- с. ise-iei.
3. Килбас A.A. 0 действии потенциала Рисса из Lp(Rn) и гладкости интегральных операторов // Доклады АН БССР. - 1987. - т. 31,
N 2. - С. 108-111.
4. Килбас A.A. Асимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения.-
1988. - Т. 24, N 1. - С. 1764-1778.
5. Килбас A.A. Асимптотические представления дробных интегралов л/ Изв. высш. учеб. заведений. Мат. - 1990, и 6. - с. 30-40.
6. Килбас A.A., Василец С.И. О решении многомерного интегрального уравнения с логарифмическим ядром с радиальной плотностью Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23. к г. - с.321- 328.
7. Килбас A.A., Сайго М. Дробные интегралы и производные от функций типа Миттаг-Леффлера// Доклады АН Беларуси. - 1995. - Т.
39, N 4.
8. Килбас A.A., Сайго М., Жук В.А. О композиции операторов обобщенного дробного интегрирования с дифференциальным оператором осесимметрической теории потенциала // Дифференц. уравнения. -1991. - т. 27, N 9. - С. 1840-1642.
9. Килбас A.A., Саыко С.Г. О гладкости функций, представимых логарифмическими интегралами// Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1, физ.,
Мат., мех. - 1978, К 1. - С. 73-75. ю. Килбас A.A., Силла Бубакар. О гладкости интегральных операто-
ров со степенно-логарифмическими ядрами,'/ Доклады АН БССР.
1991. - Т. 35. N 10. - С. 872-875.
11- Килбас А.А., Шлапаков С.А. Об интегральном преобразовании типа Бесселя и его композиции с интегральными и дифференциальными операторами/^Доклада АН Беларуси. - 1993. - Т. 37. N
Р. 10-14.
12. Килбас А.А., Шлапаков С.А. О композиции интегрального оператора типа Бесселя с операторами дробного интегродифференциро-вания и решении дифференциальных уравнений // Дифференц.уравнения. - 1994. - Т. 30, N 2. - С. 256-268.
13. Басилоц С.И.. Кильис А А о решении юггсграялок уравнений по рвого рода со слабыми особенностями в n-мерном шаровом слое //
ДОКЛ. АН СССР. - 1991. - Т. 321, N 5. - С. 880-884.
14. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Щука и техника, 1987. - 688 с.
15. Kilbas A.A. On the Holder conditions of the multidimensional
potential-type operators /V ICM-82. Section 9: Real and functional analysis. Short communications (Abstracts). Part I. (ICM, tfarszawa, 1982). - Warszawa, 1982. - P, 39.
16. Kilbas A.A. Asymptotic expansions for fractional integrals and their applications// Fractional Calculus and its Applications (Proe. Intern Conf . , Tokyo, 1989). Tokyo: Nihon Univ. -1990. - P. 70-79.
17. Kilbas A.A. On fractional calculus operators and solution of integral and differential equations// Absracts of Workshop on Transform Methods and Special Functions (Sofia, August 1994).-Sofia, 1994. - P.17 .
18. Kilbas A.A. A nonlinear Volterra integral equation with a weak singularity // Вестник Российского университета дружбы народов. - 1995, - Т. 2. - С, 210-224.
19. Kilbas A.A. Fractional integration operators and Bessel type integral operators on spaces Fp ц and f^ ^ // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Тезисы докладов Международной конференции (Москва, 27 апреля-3 мая 1995 Г.). - Москва, 1995. - С. 333-334.
20. Kilbas A.A., Saigo М. On Mittag-Leffler type function, fractional calculus operators and explicit solutions of integral
and differential equations// Abstracts of Conference of Mathe matical Society of Japan. Section Theory Functions (Univ. of Osaka Prefecture, Sept. 27-30, 1993).- Osaka, 1993. - P. 3-4.
21. Kilbas A.A., Saigo M. On asymptotic solutions of nonlinear anc linear Abel-Volterra integral equations //Surikaisekikenkyushi Kokyuroku (Research Institute for Mathematical Sciences), Kyoto University, Kyoto, Japan.- 1994. - Vol. 881.- P. 91-111,
22. Kilbas A.A., Saigo M. On asymptotic and exact solutions of Abel-Volterra nonlinear and linear integral equations // Abstracts of International Symposium on Methods and Aplications of Analysis (City University of Hong Kong, December 16-19, 1994). Hong Kong, 1994.- P.25.
23. Kilbas A.A., Saigo M. On solution of integral equation of Abel-Volterra type // Differential and Integral Equations. An International Journal for Theory & Applications. - 1995. Vol. 8, N 5. - P. 993-1011.
24. Kilbas A.A., Saigo M. On asymptotics of Fox's H-function at zero and infinity // Transforms Methods and Special Functions (Proc. Intern. Workshop, Sofia, August 12-17, 1994). Science Culture Techn. Publ. : Singapore. - 1995.
25. Kilbas A.A., Vasilets S.I. On solutions of multidimensional integral equations with weak singularities // Fukuoka Univ. Sei. Rep. - 1994. - Vol. 24, N 1. - P. 1-12.
26. Gorenflo R., Kilbas A.A. Asymptotic solution of a nonlinear Abel-Volterra integral equation of second kind // Freie Universität Berlin. - Berlin, 1993. - 18 p. - Preprint No. A-6/93.
27. Saigo M., Kilbas A.A. On asymptotic solutions of nonlinear and linear Abel-Volterra integral equations II //Surikaisekikenky-usho Kokyuroku (Research Institute for Mathematical Sciences), Kyoto University, Kyoto, Japan.- 1994. - Vol. 881.-P. 112-129.
28. Saigo M. , Raina R.K. , Kilbas A.A. On generalized fractional calculus operators and their compositions with axisymmetric differntial operators of the potential theory on spaces Fpfj and F' ,,// Fukuoka Univ. Sei. Rep. - 1993. - Vol. 23, N 2. -
P.M
P. 133-154.
29. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev 0.1. Fractional integrals and derivatives. Theory and applications. - New York, etc.: Gordon and Breach, 1993. - 1012 p.
РЕЗЮМЕ
КИЛБАС АНАТОЛИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
ОПЕРАТОРЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ
Ключевые слова. Дробные интегралы и производные, асимптотические представления, композиции операторов, решение интегральных и дифференциальных уравнений, интегральные преобразования, спгашялинии Фу н к (¡и и .
Оъекты исследования. Операторы дробного интегрирования и дифференцирования, интегральные и дифференциальные уравнения, интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах.
Рель работы. Разработка асимптотических и композиционных методов для операторов дробного интегрирования и дифференцирования, методов асимптотического и явного решения интегральных уравнений и
дифференциальных уравнений дробного и целого порядков, композиционных и структурных свойств интегральных преобразований со специальными функциями в ядрах.
Методы исследования. Разработанные в диссертации методы основаны на асимптотических, композиционных и структурных свойствах классических и обобщенных операторов дробного интегрирования и дифференцирования.
Полученные результаты и их новизна. Впервые найдены полные асимптотические разложения на бесконечности и в нуле одномерных и многомерных дробных интегралов, формулы композиций операторов дробного интегрирования и дифференцирования со специальной функцией типа Миттаг-Леффлера, с оператором интегрального преобразования типа Бесселя и с дифференциальным оператором осесимметрической теории потенциала и интегральные представления многомерных дробных интегралов. Получены решения в замкнутой форме новых классов линейных и нелинейных интегральных уравнений, дифференциальных уравнений дробного и целого порядков и явные формулы асимптотик решений интегральных уравнений вблизи нуля и бесконечности. Разработаны структурные и композиционные свойства операторов интегральных преобразований со специальными функциями Фокса,типа Бесселя и с гипергеометрической функцией Гаусса.
Степень использования. Некоторые идеи, методы и результат: отражены в монографиях и использованы в отдельных работах.
Области применения. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, интегральные преобразования, теория потенциала, а также при решении прикладных задач механики и физики.
РЭЗЮМЭ
К1ЛЕАС АНАТОЛЬ АЛЯКСАНДРАВ1Ч
АПЕРАТАРЫ ДРОБАВАГА 1НГЭГРАВАННЯ АС1МПГАТЫЧНЫЯ X КАМПА31ЦЫЙНЫЯ Й1АСЦ1ВАСЦ1 I ПРЫМЯНЕНН1
Ключавыя словы. Дробавыя интзгралы х вьггворныя, асхмптатычныя уяуленн 1. кампазх.цых аператарау, ражзнне жтэгральных 1 дыферзнцы-яльных раунанняу, 1нтзгральныя пераутварэннз., спецыяльныя функцу!-
Аб 'екты даследавання. Аператары дробавага жтзгравання 1 ды-ферзнцыравання, хнтэгральныя х дыферзнцыяльныя раунаннх, хнтэгра-льныя пераутварэннх з спецыяльньш функцыямх у ядрах.
Мзта работы. Распрацоука асхмптатычных х кампаз 1.цыйных мета-дау для аператарау дробавага Жтэгравання 1 дыферзнцыравання, ме-тадау асхмптатычнага 1 яунага рашзнняу хнтзгральных раунанняу 1 дыферэнцыяльных раунанняу дробавага х целага парадкау, кампазхцый-ных 1 структурных улаоивасцей жтзгральных пераутварзнняу з спе-цыяльным 1 функцыямх у ядрах.
Метады даследавання. Метады, як1я распрацаваны у дысертацых. заснаваны на ас1мптатычных, кампазхцыйных 1 структурных уласцхвас-цях клас1чных х абагульненых аператарау дробавага Жтэгравання х дыферзнцыравання.
Атрыманыя вын1кх х нав хзна. Упершыню адшуканы поуныя асхмпта-тычныя раскладанн! на бесканечнасцх х у нулх аднамерных х мнагаме-рных дробавых хнтегралау, формулы кампазидый аператарау дробавага хнтэгравання з спецыяльнай функцыяй Мхтаг-Лефлера, з аператарам Штэгральнага пераутварзння тылу Веселя 1 з дыферэнцыяльным апера-
тарам восес¿метрычнай тэорьа патзнцыялу 1 штзгральныя з'яулеши мнагамерных дробавых адтэгралау. Атрыманы ралюнн! у замкнутая форме новых класау лжейных 1 нелинейных штэгральных раунанняу, ды-ферзнцыяльных раунанняу дробавага х цэлага парадкау 1 яуныя формулы асимптотик рашзнняу штзгральных раунанняу каля нуля х бескане-чнасц1. Распрадаваны структурныя 1 камлаз^цыйныя улаоиваон апе-ратарау ^нтэгральных пераутварзнняу з спецыяльным! функциям 1 Фокса, тыпу Беселя 1 гШергеаметрычнай функцыяй Гауса.
Ступень карыстання. Некатарыя 1дэ1. метады 1 вынад! адлюстра-вгны у мглктргя^ях Еьп-сарпстапи у ассбных артикулах.
Галина прымянення. Метады 1 вын ад 1 дысертацьи могуць быць вы-карыстаны у тэарэтычных даследаваннях у так1х матэматычных дысцып-лшах, як дробавае зл1чэнне, жтзгральныя 1 дыферэнцыяльныя рауна-нн1. жтэгральныя пераутварзнн1, тзорыя патзнцыялу, а таксама пры рашэнн1 прыкладных задач механШ 1 ф1з1К1.
SUMMARY
KILBAS ANATOLY ALEKSANDROVICH
FRACTIONAL INTEGRATION OPERATORS ASYMPTOTIC AND COMPOSITION PROPERTIES AND APPLICATIONS
Keywords. Fractional integrals and derivatives, asymptotic
representations, compositions of operators, solution of integral and differential equations, integral transforms, special functions.
Objects of research. Fractional integration and differentiation operators, integral and differential equations, integral transforms with special functions in kernels.
A purpose of work. The development of asymptotic and composition methods for the fractional integration and differentiation operators, methods of asymptotic and explicit solutions of integral and differential equations of fractional and integer order, composition and structural properties for the integral transforms with special functions as kernels.
Methods of research. The methods developed in dissertation are based on asymptotic, composition and structural properties of the classical and generalized fractional integration and differentiation operators.
The results obtained and novelty. For the first time the full asymptotic expansions of one- and many-dimensional fractional integrals at infinity and zero are obtained, composition relations of fractional integration and differentiation operators with the Mittag-Leff1er type function, with the operator of Bessel type integral transform and with the differential operator in potential theory are proved and the integral representations for the many-dimensional fractional integrals are constructed. Solutions in closed form of new linear and nonlinear integral equations and differential equations of fractional and integer order are proved and the explicit relations for the asymptotic behaviour of the solutions of integral equations near zero and infinity are presented. Structural and composition properties of the operators of integral transforms with special functions by Fox and Bessel type and with the Gauss hypergeometric functions are developed.
The use. Some ideas, methods and results are presented in monographs and papers.
Fields of applications. Methods and results can be used in theoretical investigations in such mathematical fields as fractional calculus, integral and differential equations, integral transforms and potential theory as well as in solving the practical problems in mechanics' and physics.
