Локальные оценки операторов типа потенциала тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ростовский государственный университет

Специализированный совот К 0G3.52.T3 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

РШЗКУРГ Анна Ильинична

ЛОКАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА ОТ.01.01.-математический онгимз

АВТОРЕФЕРАТ, диссертации' на соискание ученой стшюни кандидата физико-мятематических наук

Ростов-на-Дону - 1904

Работа выполнена в Ростовском государственном университет!

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ-

доктор физико-математических наук, профессор Н.К.Кврапетянц

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Пилиди,

кандидат (¡[мзико-математическшс наук, доцент А.В.Скориков

ВВДУЩАЯ ОРГАНИЗАВДЯ-

Беларусский государственный унивэрситот

Защита состоится " " " ямёс^рл- " 1995г. в 1 в часов на заседании специализированного совета К 063.52.13 'по физнко-митематическим наукам в РГУ по адресу: 344104 г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге,5. мохмат.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (у л.Пушкинока я, 148)

Автореферат разослан -/Т.- м&адр 1994г.

Ученый секротарь

специализированного совета, доцент

В.Д.Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Цель (заботы. Изучение локальных свойств дробных интегралов

х Ь

а X

и потенциалов Рисса на отрезке и в конечной области И14.

Актуальность. Интегральные операторы с ядрами типа потенциала имешт приложения в теории упругости, ползучести, аэромеханике и привлекают внимание многих математиков. Хорошо изучены глобальные свойства дробных интегралов и потенциалов Рисса в Ьр пространствах, в гельдеровских и обобщенных гельдеровских пространствах. Эти?™ вопросами начинали заниматься еще Б.Риман и Ж.Ли-увилль. Подробную библиографии и истории можно найти в монографии С.Г.Самко, А.А.Килбаса, О.И.Маричева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" (Минск, Наука и тех1шка 1987г.). Связь мезду гладкостью образа и гладкостьи прообраза изучалась еще Г.Харди и Д.Литтлвудом, которые показали, что дробный интеграл устанавливает изоморфизм между пространствами гельдеровских функций Н*1а,Ы н Н^*а1а,Ь] . В последние

I • * , •

годы стали появляться работы;" связанный с изучением локального а

поведения операторов в гельдеровских и Ьр пространствах в

я

терминах локальных характеристик (1^,-с) и в терминах переменной гладкости в случае гельдеровских пространств. Интерес к последним задачам настолько был актуален, что их рошоние было

одновременно начато в США (Б.Росс и С.Г.Самко) и автором (совместно с Н.К.Карапетянцем). В атих работах удалось показать, что дробныэ интегралы могут сохранять гельдеровские классы переменного порядка. Здесь эще важно от метить, что ранее было известно, что сингулярные интегральные операторы этим свойством нэ обладают.

Методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные представления, дробное дифференцирование и интегрирование по параметру, сингулярные интегралы. .В многомерном случае, при изучении действия потенциалов Рисса в ВМ0(В4), где В - единичный шар в йп, пришлось разрабатывать свой подход, так как свойства вольтерровских сверток, которые существенно помогает в случае п=1, отсутствуют.

Научная новизна и практическая значимость. 1)Рвшэна задача об изоморфизме, осуществляемом дробным интегралом в гельдеровсюй пространствах переменной гладкости. 2)Показано, чтс потенциал Рисса , заданный в п-мориом единичном шаре, повышает глрдкость гэльдеровского пространства переменного порядка, ' 3)Получены оценки средней осцилляции операторов вольторровской ; свертки с' плотностью из Ьр(а,Ь), рй1. 4)Доказано, что сингулярны! * интеграл огреничен в гвльдеровском пространстве перемешюй гладкости (при определенных" ограничениях на порядок гладкости). 5) Доказаны .локальные оценки для дробных интегралов со степвнно-лог&рлфлическим ядром в 1 [ОД] и потенциалов Рисса в

Ъ (В,).

Полученные результаты новы, они могут быть использованы дд

рэшоиия различных задач математики и механики.

Апробация и публикации- Основные результаты диссертации докладывались -на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Ульяновск, сентябрь 1ЭЭ0г.), на моздународной конференции "Днффорвициалышэ и интегральше уравнения. Математическая физика я специальные фушсции" (г.Самара, май 1992г.), на VI Международном симпозиуме "Мотодй дискретных особешгастей в математической физике" (Г.Харьков, май 1993г.) и неоднократно на семинаре профессора С.Г.Самко ■ "Линейные операторы и функциональные пространства" (Г.Ростов-на-Дону, РГУ).

Содержание диссертации опубликовано в работах [I]-С8]. Работа Ш-[Г>1 выполнены совмэстно с научним руководителем, работа [5] выполнена совмэстно с Б.С.Рубшмм и их результаты принадлежат каждому из авторов в равной мере.

Структура и обвей работы. Диссертация изложена на 130 страницах, состоит из введения и грех £лвв, разбитых на II параграфов и списка литературы. Библиография насчитывает 48 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение ■ Во введении дается общая характеристика работы, .. обзор тематики , а тшско обзор результатов по главам.

Свойства функций, прэдставимых дробными интегралами

^имана-Лиувилля с плотностями из Ь (а.Ь). изучались многими

р ■*

авторами. Эти работы посвящены изучении глобальных свойств дроб-шх интегралов и потенциалов в различных пространствах (I , гвль-

деровских, обобщенных гельдеровских, Лорвнця). В данной же диссертации изучавтся локальные свойства зшх операторов в Ьр пространствах и гвльдвровских пространствах переменной гладкости в окрестности произвольной точки конечной области.

Глава I посвящена изучению локальных свойств дробных интегралов и потенциалов Риссв на отрезке.

В изучении глобальных свойств операторов типа потенциала важную роль играет результат Г.Харда, Д.Литтлвуда, которые доказали теорему о том, что оператор дробного интегрирования порядка а, о< « <1, непрерывно действует из пространства Ьр, в пространство гдз К р < р +■ -а. Это утверздение известно под названием теоремы Харда-Литтлвуда с пределышм показателем.

Эта теорема была распространена теми же авторами в 1932г. на пространства Нр аналитических в круге функций и С.Л.Соболевым в 1938г. на многомерный случай. Такие теоремы с предельным показателем существенно повлияли на развитие не только дробного шггвгродафферешцфрвапия, но и вообще теории функций и функционального анализа.

Логическим продолжением была работы Д.Рое1ге и Н.Ы.Ие1тап1, Т.Нус1шег, где было показано, что риссоВ'потенциал 1°*> является ограниченным оператором из I (Лп) в ВМ0(1Г) при 3 . Отсада

р у

сразу следовало предположение, что аналогичный потенциал по

конечному отрезку 1а,Ь1 ограниченно действует из Ър(а,Ь) в ВМО(а.Ь)

1

Для дробных интегралов их ограниченность из Ьр(а,Ь) в ВМО(а.Ь) доказана Н.К.Карапэтянцвм и Б.С.Рубиным.

-7В 5 1 приводшш ОбОЗНаЧОНИЯ, определения, некоторые известно и вспомогательные результаты.

В 5 2 докязнвяются оценки сродней осцилляции вольторровских сверток

к

К*<=| к(х-у)*>(у)с1у, 0<х<1 .

о

На ядро к(х) приходится накладывать некоторые ограничения, но и частности, к(х)=хс<~' и к(х)= им удовлетворяют.

Определение. Обозначим, через ВМО(о.Ь), класс

функций Пх), принадлежащих Ъ (я,Ъ)^ для которых

1П.ЫО» 3иР ^ < .

1СС а.Ь>

где

«.г= тп |||аг.

I

и уц ||Г(х)с1х - среднее значение I(х) на интервале

1

Основная. тоорема 52 - это ■ тоорома об оценке сродной осцилляции для К»>. ' .

Тедаю 2^1. Пусть ядро К(х) удовлетворяет слвдузпщим условиям:

1) к(х) - вв возрастает и к(х)>0;

2) |к*(х)| £ г J^Q,

тогда сиро подлиза оценка

Ь- а

jBir<CSpIp(b--a)"1/"rJ k(z)dx,

О

где 1= (a.b)'-(Qf1), t«p<«>, г>О.

йз этой т&ореми сразу получаем» что 1ф'л выполнении условия

с

sup k(2)ds <

£><t J

О

одоратор К*> действует из L (0,1) в ШО(ОП)-Обозначим класса

■а+£

ШО*(а.Ь)=СГ:Х«ВМО(а,Ь). А= sup r(x)dx| <о°),

»Hi : о

d)

(а.Ь)=СГ:ГеВМО(аги), B= stip f r(x)dx| <«>>.

bo c J

ь1

BKO*(a,b)=BM0*(a,b) n BM0'(a,b).

В атом «a параграфе доказывается ограниченность К*> и: L (а,Ь) в ЕМО'(а.Ь) при определенных условиях на k(t), и нвпостредствонно из птого утворвдания получаем условие ограниченности дробного интеграла и потенциала Рисса из Lp(a,b) i BMQ° и ВМ0° соответственно.

f3 посвящоп исследовятш дробяых интегралов со с те пш н ю - ло гя р жЕмлч о с :отм ядрам Изучением таких интегралов

занимались С.Г. Самка, A.A. Килбас, B.C. Рубин.

В первой часта §3 рассматривается как частный случай

вольтеропской сшртки. и к "применяются результаты, получен-шю п §2- Спраподливо следующее утверждение

Tpogern Для интеграла 1=1."'-lV, р е Lp(a,b), 1 ip<<», 0<u<1 справедлива оценка

аир in'1* -Ar^lsCM ,

ICIO.-Ь > I I

где для l><0.

Аналогичный факт верен для i"'1" и .для la v. Вторая часть 53 посвящена изучению локального поведения Г^" с помощью локальной характеристики вща

х (Г,1)=(-Д- J|fcx)|rdx>'"r.

I

I (n.t>). lir£®, которая была введена Н.К. Карапетянцвм и B.C. Рубиннм. Изучаотся ее ассимптотика при |1|-»0.

В 54 доказывается теоремы' о сужении, продолжении и склеивании образов операторов свертки со степенно-логарифмическим ядром на коночном отрезке. Метод исследования основан на применении операция усеченного дифференцирования по параметру a . Сформулируом здесь итоговув теорему о "склеивании".

п

Теорема 4.6. Пусть la,bl= U lat t, aj, a=aQ<..<an=b,

i = j

К * К " ^ Тог,Аа функция 1(х), заданная на 1а, М

слодуицим образом: ХСх)=Г1 (х). х«(а 1=1,2...П), продсто-

вима в виде

Г(х)=1'(х)+се,1(х>,

(Ьр(а,Ь)), в функция с'1' ^ (х) определяется равенство»

«■>'< ^ ВСШ а< Р* °'> Р' я'х<а<'

С (X) ^ ^ V л. о

( Е ^а1*1«' ,)(Я,> 1). если о 1,а <х«,, 1=1,...п-

Глава II посвящена изучении свойств гольдоровских пространств и поведения дробных интегралов в них.

Связь между гладкостью оОрапе и глодкостью 1грообриза — важш задачя теории интегральных операторов. В частности, для дробш интегралов , задатшх пр отрезке 1а,Ы,, она полност:

изучена Харда Г. и Д.Литтлвудом. Ими показано, что оператор Г" ограниченно действует из Н^(а,Ь] в Н^*^ [а,Ы, где 0<м, И то, что ♦> е означает что %> е и *>(а)=0 . На самом деле справедливо еще более сильное утворждение, доказанное птими авторами, о том, что дробнай интеграл устананяшш

изоморфизм между этими классами. Позже эти результаты бы. распространены на ввсовыо классы, обобщенные классы Гельдер пространстве Босова.

Рассмотрению подобных вопросов в пространствах Гвльдора перомегеюй гладкостью посвящена II глава дошюй работы (случ

п=1) и 512 (многомерный случай). Было известно, что сингулярный интеграл но сохраняет класс функций, швпщх везде порядок гвльдэровости и, а в точке хоимеш!ш порядок гельдоро-вости Возник иопрос: сохраняет ли локальную гельдеровость

дробный интеграл. В работз даотся положительный ответ на этот вопрос.

В диссертации показано, что можно ввести некоторое

ограничение на показатель гольдаровости при котором справедливы

теоррмы об изоморфизмо для дробного интеграла, а сюггулярный

интеграл при атом условии ограничен в атом пространство.

Распространение изоморфизма на случай а>1 заставляет вводить

пространства Гельдера ,Ы с большим показателем и(х),

к- порядок коночной разности в определении пространства.

В §5 доказываются основные свойства пространства Нм""'1с[0,11,

приводятся некоторые примеры.

Определение. Обозначим червз Нм<,1с[0,1 ] класс функций таких,

ЧТО Х(Х)еС[0,1) и .

Г)(*)| й А.|Ь1М<"1 . X а [0,11.

Здесь д* Г обозначает конечную разность порядка к с шагом 11.

В 56 доказывается, что при дополнительном ограничении на гладкость м(х)

МХ+Й)-А|(Х)^С|1П11Г\ 0<«<1, 0<]к1/2, (2)

дробный интограл осуществляет изоморфизм между

пространствами НМ""Ш,1] и ^""'"Ю,! ] для малых м(х), т.е.

зир р(х)<1. Метод доказательства основан на непосредственном х<=<0,1>

изучении разности | *>)(х+Ь)-(1^»>) (х) |, аналогично тому, как это делалось в случав постоянного показателя гельдеровости.

В §7 на основании свойств пространств нм""'кш,1 ]. полученных в 55 доказывается, что дробный интеграл осуществляет изоморфизм в Н^""'кЮ, 1 ] для любых а. (Функция принадлежит пространству Нм"",1с[0,11 если еэ конечная разность к-ого порядка принадлежит Я""" [0,1] ). Доказательство проводится в два этапа: для сиеИ и ««Ш. Важное место занимают вспомогательные леммы, которыэ приведены в начале параграфа. Например

Лемма 7.3. Если *>(х)еНм"",к[0,1 ], то при выполнении условия глвдкости (2) справедлива оценка

аир | (<Р)(г)|<с|ь|^"".

Условно гладкости (2), как и в §5 играет существенную роль ■ для доказательства теоромы об изоморфизма, а именно, теорема о действии дробной производной в 11^<х>,к[0,1 ] справедлива

только при выполнении условия (2 ) на гладкость р(х).

В §8 условие (2) опять сохраняет свои значимость. При ого выполнении .оказывается, что сингулярный интеграл сохраняет пространство Н^<х>(1). где Ь гладкий замкнутый контур. Результат получается путем анализа доказательства соответствующей теоремы в гвльдеровских пространствах с постоянным показателем, приведенной в книге Н.И. Мусхалишвили . Этот факт вожен, так как сингулярные интегралы участвуют в формулах перехода от правосторонних к левосторонним дробным интегралам. Также из доказанной в {8 теоремы немедленно следует, что кровная задачи Ршаиа можот решаться в классе Нм<>"(1>). Это обстоятэльстю основана

I -

на том, что в банаховой алгебре ^""(Ь) теорвмн Винера, Винера-Лови справедливы и возможна факторизация через канонические функции.

Глава III посвящена изучении свойств потенциалов Рисса в шаре в й". •

§9 посвящен получению оценок средней осцилляции потенциалов Рисса в шаре в Rn (случай п=1 см.§2).

с г

Такая оценка для о= ™ показывает сразу зга ограниченность из Ър(В1) в BMO(Bt). В отличив от случая п=1 основная трудность заключается в том, что в этом случае нет возможности воспользоваться волътерровосгъю оператора, и пришлось разработать иной подход.

Аналогично (■/), вводятся пространства ВМО" (В4 )cBM0(Bt), в котором, при выполнении условия

аир (1лИ)(а)«о,

потенциал Рисса также ограничен. Доказывается, что принадлежность фунтами .классу ВМО"(В1) является необходимым и достаточным для трго, чтобы функцию из BMO(Bt) mojkho билр продолжить во все К" с

I

сохранением' класса.'

510 - ато обобщение локалышх оценок для дробных интегрален, получвшшх в }3 на- многомерный случай. Изучаются локальные свойства потенциалов Рисса, заданных в n-мерной области о. И с помощьи локальной характеристики вида

|х-е|<с

изучается поЕвдениэ потенциала Рисса 1"<р в окрестности произвольной точки с. Отметим, что точка с может быть как внутри Т8К и вне области и в оценке Хгс(Г,£) участвует рс= (с,<>л).

Наконец, в §11 изучается действие потенциала Рисса 1ир зада! ного в единичном, шарв В , в гельдеровских классах переменного порядка н^""*1 (В1) (случай п=1 см. §6). Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема ПЛ.- Пусть р(х)еНм<'"''(В1) и *>(х)=0 для всех X е 0ф_, 1. Тогда

Автор выражавет глубокую благодарность научному руководителю профессору Н.К.Карадетшщу за руководство, постояшгао внимание, помоир> и поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Карапетянц Н.К.,Гинзбург А.И. Локальные оценки потенциалов Рисс! в шаре. Ростов н/Д ,РГУ, 1992. 26с. Деп. в ВИНИТИ 26.07.92,

N 2385-В92. •

2.Карапетянц Н.К., Гинзбург А.И. Локальные оцвнки операторов типа потенциала //Тезисы докл. междунар. научн. конф. Диф. и инт. уравнения. Мат. физ. и спец. функ. Самара,1992. с. 120-121:..

3.Карапатянц U.K., Гинзбург А:И. Оценки средней осцилляции операторов вольторровской свертки // СО. научн. трудов. Диффвренц., ицтегр. уравн. и комплексный анализ. Элиста. 1993. с.57-66.

4.Карапатянц Н.К., Гинзбург А.И. Дробные интегралы в предельном случае // ДАН. 1993. т.333. N2. с.136-137.

5.Катареtynnta N.K. and СInлburg A.I. Fractional integrals and slii^illor Integrals In the Holder classes ol variable order // Integral Тгапз/оппз and Special Function. 1994. Vol.2.NL',pp.91 -10G.

6.Линкор А.И.,РуОин B.C. Теоремы о сужении, продолжении и склеивании образов операторов свертки со степешга-логариф-мическими ядраии но конечном отрезка. Ростов н/Д, РГУ, 1981. 12с. Дои. в ВИНИТИ И.ОВ.ЙГ, N2919.

7.Гинзбург А. И. Локальные свойства дробных интегралов со стапонно-логврлфмичнеким яд}юм. Ростов н/Д, РГУ, 1991. 30с.Доп. В ВИШТИ 6.05.91, N1833.

8.Гинзбург А.И. Об язомор|измо, осуществляемом дробным интегралом в гольдвровских классах пвремошюго порядка. Ростов

, Н/Д, PIT, 1994. ¿40. Доп. п ВИНИТИ 30.05.94, NI335-B94.

ПодписансГк печати ГбТгбТЙГ'Формат 60хЙ7ТбТ Бумага тип И 3. Объем 2,0 уол.п.л.,0,9 уч.-изд.л.. Заказ 163. Тира» 100.

Ростовский ЦНГИ