Многомерные сингулярные интегральные уравнения в пространствах Гельдера с весом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

'6 од

3 ДНК 1995

%

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

МАМЕДОВ АДШ1 САШ ОГЛЫ

УДК 517.948.3

МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА С ВЕСОМ

01.01.01- Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических назк

БАКУ - 1995

Работа ¡выполнена на кафедре математического анализа /:ЛШ0ОТ0 ГОСУДАРСТВЕННОГО ШВЕРСИТЕТА им. ;Л.Э.РА0УЛ-ЗАДЕ

Научный руконаздталь:

-доктор 'йлзико-катаматичвских наук,профессор С.К.АБДШ1АЕВ

Официальное опоненты: -доктор гиз'лко-матоиатпчеоках наук, профессор Б.А.ИОХЕНДЕРОЗ (fffi АН Азербайджанской Республики)

-кандидат Тазгжо-штецатичвсглх: наук,доцент Р.М.РЗАЕЗ (ДзербаЧитннский Государственный Экрно?.:лч8с-'ИГ! Иясти тут)

Ведущая организация -АзэрбаЧггхзнски-': ^инэрг:о-5гролгольнк* " Унлвере:

Завдта тиссертают состоится"

1996 сода в часов :-:я заседании. сде*па:к;з:у?о~а2Ш>го совета

Д 004,01.01« ло япаоущз'ст ученой 'отвае:^ "a.*: дана та ":пз:1:со-::ата::а-тнческпх "наук е Иногляугг иатеиз^шп я иеханпка АН Азербз-*т5?.яс::о1 Рвспубли ки по адресу? 3706:02,Бзку,ул.;>,АГА!Ш,9,квартал 553.

О дассер?ацаей - мо*но. озаокогг:ться.'. в -.научноЯ б?.бл.пЬтекв !I.t.! АН Азэрба

_ 3 -

ОЕОЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теки. Метода сингулярных интегральных уравнений я операторов являются одним пз мощных средств решения задач совромеиной математика, математической физики, прикладной математика и механики.

Хорошо разработанная теория аналитических функций и одномерных сингулярных иитогралышх уравнений с ядром типа Копа послужили основой для решения широкого класса плоских задач иатематичосхой флэши и подтвердили необходимость разработки теории многомерных сингулярных интегральных уравнена*-Основополагавдее значение в данной проблеме имеют исслэдока-ния Ф.Трикоми» "£.Ниро, С.Г.Мяхлина, А.В.Бицадзе, Т.Г.Геголиа, М.И.Вишика, Г.И.Эсккяа* И.Б.Спмонешсо, М.С.Аграновича, А.С.Д.7-нина, Р.Стш, Р.В.Дудучавн и др.

■ . Отметим, что содержательной теория шогомеркнх сингулярных уравнений по многообразиям с краем в пространствах непрерывных функций- (за пекл очешем работ Абдуллаева С. К., в которой рассматривается случай пространств Гельдера с весом) но существовало. Как извостно, пространства Гольдера являются более подходящими для получения классических решений аадач математической физики. Поэтому, дальнейшие исследования в этой области являются актуальные.

Поль работа. Основной цель» работы является построение теории многомерных сингулярных .интегральных уравнений в шкале пространств Геладера с весом дифференциальных функций, изучение структурных свойств м.с.и.о. получение условий непрерывности многомерных сингулярных интегральных операторов

- 4 -

и построение явного вида регуляризатора в случае обобщениях пространств Гольдера с весом.

Обучая методика исследований. Утверждения основных теорем получены о помощью разработанного в диссертации математического аппарата о использование« шгодов £укхцкопального анализа, облай теория линейных уравнений в банаховых пространствах и тоораи краевых задач аналитических функций.

Научная новизна. Кован: являются следующие результаты диссертационной работа:

1) Разработана теория многомерных сингулярных интегральных уравнений в пространствах Гельдера с весом (вкроздащды-ся на компактных лагаацевых подмногообразиях меньшей размерности) да<1ферекцируешх функций).

2) Получены достаточнее условия для ограниченности многомерного сингулярного интегрального оператора в обобщенных пространствах Гельдера с весом, вщюздаэдился как на компактном, так е на некомпактных многообразиях меньшей размерности.

3) В тарти;ах символа построен явный вид обратного оператора в случае сингулярного оператора без полиса по полупространству в обобщенных пространствах Гельдера с весом.

Теоретическая в практическая ценность. Результаты работы, связанные о нахоздениеьз условий нетеровости и построением регуляризатора, носят,б основном, теоретический характер и могут найти применение в исследовании прикладных задач, в частности, теории упк гости и математической теории дафрак-цяи, в лраблнЕзнноу решении многомерных сишулярши. интегральных уравнений и др.

- 5 - .

Аптобатая работ». Основные результаты диссертации докладывались на кон^оретдо. аспирантов и юных исследователей (г.Баку, 1994). яа конференции посвященной 75-летлго Бакинского Государственного Университета (г.Баку, 1994), неоднократно на семинаре проф.А.А.Бабаева ШГ/).

Публикации. По теме диссертации опу&пжоаано 3 райотк, список которых приводятся в конце автора£ерзга.

05"é.vi Работ» и ее структура, Диссертация изложена на 120 страницах глитлоппсного текста, состоит из вЕвдеиия.трэх глав, разбитых ка параграфов, и списка литература вклэтак-"-'п

наименования.

СОДЕРЖАНКЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткий обзор литература по теме дис- . сертации, обосновывается круг рассматриваема вопросов и обсуждаются метода их исследования. Ддлео приводятся.основные результаты диссертации.

Пеовля глава посвящена построению.двустороннего pesy-ляразатора м.с.и.о. w

(d¿ií)(x) ~a0(x)u[x) +¡ f(x'9)=

n Jl'

Km

• л,

в пространствах Гольдэра с весом дафЬарегздируещх функций Hflpíürn^r) и состоит из 4 параграфов.

В §1 вводятся некоторые обозначения. По определению

- 6 -

а[х,9) е С {кт х принадлежит классу .

О </& ^ 1 , вся» конечна полуножа

Кр {а) =5ир\а.{х,9) -а{х,б,М-д,\

р

О, (я, $) принадлежит классу ^ Нр • если ЗГ^Т в) е , УД ЦП«^ и конечна полунорма

р Я 2

^ г* зир $ир (и а(*,в) а[у,еЛ -ЛД

ЪУеЯт Ир Чг у

где

1, £ >¿7 . 8т

пространство числовых последовательностей а^^а^^П <=0,1>... ; К - с норкой

¡4 -{Iа^+яЛ^ф**.

- С^^'Пр - пространство последовательностей функции

= (где » для любых П,К ) рас-

сматриваемых как функции от Х£ со значениями в ¡1/ • Дяя функции Ое £ введется полунорма

[а н

' - s«P (fcffl^-arW

№) IS!«* л.уе^ ' V ' ■

Вводятся пространства Гельдора с весом дж£ференцируег.шх функций

tell llifll < + oo}

"оф Hcip,

i

В §2 изучаются основные свойства пространств.

и C^h^ . доказывается следушая

ЛША 1. При " if > , cf Hp является кольцом и ¿ S ' 1

его лщкишалышй вдеал есть совокупность всех функций из

я

¡j[ , обращащихс.; в нуль в какой-либо точке мнохест"*1

Пусть | Упу. (9)} - полная ортонормировашая система П -мерных сферических функций порядка п в Н0 =* LS »

(¿¡¡¡¿(х) ~ I Нх>ШПк(.в)4$ - хоэ&йцпентн •Sypbe фунадяи / . 5я»-* р

ТЕОРЕМА I. Условие /fcfijeA.f// эквивалентно уело/ Ь f г / •»

вию Й £е) s /7^ , гдо ЙчФ - последова-

тельность коэ^фщиентоз "2урьо функции .

Е §3 рассматривается вопрос ограниченности СИО Ыаглдна-Кадьдерона-З&гыувда

в пространствах Н^ ( )

я) Нумерация формул, теорем и лемм в автореферате не совпадает с нумерацией в днссортадаошюй работе.

- 8 -

Рассматриваются сшгулярщ/е операторы вида

Отгравиш пунктом в этой главе является

дша 2. Пусть и е И. ^ ¿еШ, 0<.У<1, у<сб<(т-к)+у, о<р+)><П).

Тогда для любого щльхшидвкса Е

Основной результат этого параграфа смодулирован в следующей теорема

ТЕОРШ 2, Пусть Г - кошактное множество располове-ко К (0<К4Ш~1) ыерноц лишшдевом шогообразии. Если 0<У<1, 0<£+У<т, У<сс< (т-к)+У, при некоторой & и ^ » /е/1/ ,-го

оператор ограничена Н^ и

«У 1/Й « „■)+

+(«*.«и.

В §4 доказывается существование двустороннего регуляриза-тора м.с.и.о.

4 ■ И (4и) (с) « 0,(х)Ы(х) + ($^и)(х) .

в дространотве //«¿^

В п.I этого параграфа вводится понятно символа оператора

а

Пусть /((к,9) разлагается в ряд по системе {У^у (0,)]• ( {У»*(в)} - полная ортонормярованная система Ш -?/аригх сферических функций порядка Ц ъ И0 '

- 212 к, -

Тогда, как известно символом ( иро-Мяхлина) сингулярного оператора Л называют функция

, 00 Кп

.П т/2

где Гп~1Ят/2Г(±)/г(Щ1):

ТЕОРША 3. Сямвол ф„(х,$) оператора Л тогда и '

г _ у

только тогда принадлежат ¡-{р ($ ) • когда харак-

теристика 9) этого оператора принадлежат

и при этом

X

где постояннее эквивалентности нё зависят от фд , / и <7, .

Как известно, эта теорема существенна пра построении регуляризатора в тертая ах символа.

В п.2 четвертого параграфа для сингулярного оператора , используя свойство обратимости элляптачеокого сингулярного оператора без полюса (т.е. Ф^(х,В)фО, (х,в)^Ф(б) ) строится регуляризущий оператор % (как известно, это спя-

- 10 -

гуляркиЯ оператор о символом б) )•'

•К л

где ¿7 - единичный оператор. При это!.: доказывается теоремы о вполне кспрорнвлостл коммутаторов сингулярных операторов л, в частности, операторов и , явный вид которых

указываются в работе.

Основным результатом §4 является

ÏE0ÏS1A 4. Пусть- 0„[г)е с/ / еcL Hf> Л с///у ,0<V<

VjZ Cf ОС 12

<U1, ¿f>^ 4 ———— -r-jU' К/и<1, le. AI.

Если iïïf \ >0 , то оператор <Л допускает дву-

стороннюю регуляризацию в пространстве И^ Г) ■.

Бтопзя глат'а посвящена изучению ограниченности м.с.п.о. в обобщенных пространствах Гельдера с весом б состоит из 5 параграфов.

Пусть Г - компактное шокество расположенное на некотором а -мерпои лишицевом многообразии qMciR^ ,

Б §1 главы Д вводится обобщенное весовое Гельдеровое пространство О : '

Л

йт (ри)/гО =о, lm ÇptOIx) ^ о,

Р->Хг€Г J ■ ■ )X\~i>i>bJ

Н& ад ' Ш(х,Ю) .

- II -

где d(x,y) = —Líl^!- , pfa) - весовая функция и

7 (1-Hai)(i+ UM) ■ СО - модуль иепрернвности (м.н.). Пусть й) - м.н. а

( tr(x) расстояние ог точки ОС до Р ). До определений (fiJ,jD)e К . если:

1) функции j>¡(l) и J>2(í)' палояигельнне;

2) V^Rm\PA JO(х)^)я)

3) VxeRm\r *VS€lllx'

Вводятся классы: . -

- дочтя убывает. $

почти возрастает; i

? I -Г ■ до v' JO«; с Ч"

Будем говорить, что , если:

i) 1 YxeRm\r

з) « fttfM(Щ-dz\),

где функции СО/ и 0}2 удовлетворяют следующим условиям:

к) a(cc)x¿[x) это означает, что Q(x)-<¿(x) (a¡x)^cé(oc) и /i(?-)> $fe) (i(х) ^calx)).

а)

[ю, (\х |)+и)2 со(!р{х]) . 0 И* 0)

Основяой результат этого параграфа сформулирован в сле-духяей теории

ТЕОРЕМА 5. Пусть Ш -мл.. р(х) + \х\)'

-р'Хн^гЬг))' весовая Функция и , Х£ .

/е 6(0,0/, й>а) . Если: +оо

р Ц'г) ¿г п ( оМа) \'

и ] тяпл

а

С л" гл( ^ Л ^ <0(1) <¿1 (М

5) ; ть) .ь ~

^•ОО /

сф> йг л / со (а)

4) : ¿тн \

а \ ДО/а) а7

то с.и.о. действует в //^(Я/Л^ и ограничен.

В §2 рассматривается случай Г = К . , Пусть СО - м.н. и р[х) весовая

функция. Вводится обобщенное весовое Гельдарово прос^анство

Ни 0?о?\ &П1-1)

йщ (ир)(х)^0 , ?№ сир)(х) — О и

45м.-.) 1

Будем говорить, что /£ » рели

I) ! =0, ухе^ХЙ^,

о •

э) (—

где функции в ¿¿)2 удовлетворяют следующим условиям:

Доказывается

ТЕОРЕМА 6. Пусть О) - м.н. ,у?/г) =

весовая функция в

Тогда при условиях теоремы 5 ы.с.и.о. действует в

^wC^iA^/»-/) н ограничен. .

По определению, сое. ф (класс Бари-Стечкана), если удовлетворятся условия:

D Im QU) =0 6

¡¿) са(Ь) I

3) J jMdi + ulS)

4) Ц

В

В §3 вводятся индексное числа

щ = гир !п] (ш сфА)/а)а)| , Ма = Ы !п] Ит (оШшСк)\ /¿I.

функции ¿оеф , где 0 <

: По определению, сое Ф называется уравновешенной ы.н., если М^^Щ^У ..

Отыеиш, что функция а>(ь)*=

есть ураадове-

а

шекяое м.н.

Ддя ОС^-0 введем класса:

.+<»))' ф)*

' при Об >1 ,{*'*<?({){ } ' .

Пуоть ,<Х<0 . По определена», уВУЦа ,. если

- 15 -

ТЕОРЕМА 7. Пусть сое ф, (оС>0), Р2е (ре £)

,ти2>Мы . Всяи Ми<<*<^+та,р + п>со>о, +Р < т действует а

и ограничен.

В §4 найдены необходимые й достаточные условия для ограниченности м. с. и. о. Щ в

ТЕОРЕМ 8. Пусть Сд - .уравновешенный модуль непрерывности, Де И/С (ЯУО) , . Для того, чтобы

У/е СИО бш: ограниченным в//^(^Х^)

необходимо и достаточно, чтобы У< ог<)Н I, о <р> +У < №

В частном случае, когда и рг[х) = X

р2 + ¡х|) = ^ -(. это теорема доказана в работах Аб-

дуллаева С.К.

Центральное место в решении задача о нетеровости ад.и.о. Л в пространствах ' /-¡^ С^т^^-г) занимает вопрос обратимости простейшего сингулярного оператора без полюса.

•+■ р

по полупространству в пространствах //¿о (/?+) .

В главе Л решается этот вопрос. Откетим, что в пространстве Гольде ра с весом это било сделано в работах Абдуллаева С.К.

В §2 показано, что вопрос обратимости оператора К^щ в И[0 • сводится к задаче обратимости оператора КР+ -1- ЗЯ. в Н& Ъ-О ^ на* более общего оператора КР^+МЯ.

в случае, когда К и М простейшие эллиптические сингулярные операторы вида (I) и

i l*_¿/r

с символами соответственно {<5к =j=(}} б"Л1 =ф ü) здась

Р+ и - прое&уорл.

Следуя Гахову, множество всех больших полукругов, соединявших точки £'=• (gb... Вт = 1 nS=ö .

1 обозя-лается через Ь . В случае Ш>2. все полукруги из ¿¡ гомотопны кежцу- собою, а приращение аргумента Функции

вдоль пути

не зависят от С и обозначается .В случав т~2 L сос-

тоит из двух полуокружностей t , и тогда определено

. d%) '

Пусть )(0, - /) = (бк /е..) [о, 1) • .

TEOPEviA 9. Пусть простерли si сингулярный оператор <Я опрэделен формулой

и удовлетворяет условиям:

a) Í Шс1в =0

ó> i /ОД. -/fe)l < -ö2l)

, где С02бф .

Если символ 'ö fg) оператора Л ■ удовлетворяет условиям: '

I) бС§)«М VgeS*"'

2) б(о,...,о,0=ф,- -,о,-0

3) d{z)~0 .при т>2 И с1~(б)~0 .при 7П =2 •

о Р

то оператор P+dP + обратим в пространстве //щ (7?f ) -

яра + Mw+J3><9 '."

В §4 рассмотрен случай <5(0, -?) =j= . Если

G (o,—f) ^ (o/i) > т0 заДача обратимости оператора

КР^.^МР- сводится к задача обратимости з случае <о (0,-])= — б[о,^ . Используя работы Абдуллаева С.К., для применения этого метода необходимо решись вопрос об ограниченности оператора

из пространства h£(R™) в пространство Н

ТЕОРША Ю. Пусть - зсомплэхсное число такоеj что \ZtyUl a Ci6$J(p,€ Vl/J(oi>0) t J>a BW/( Р&Ю

Тогда оператор ограниченно действует из Н^ (РЩ)

П H^CRJ?) , вали

+JB- ты -№¿>{>0. _

б) , /=/=0 .

Итак, доказывается следующая ТЕОРЕМА IX. Пусть

I) J f(e)de -О

сш-;

3) 6(g)фо,

4) oi(e) =ö , при и d^iß)^ . при

5) +

где g(s,,i>),6(E:sM)(8;'ile''

Тогда оператор обратим в Н^ ) , если

выполняется условие а) или 6} теореш!б.

В заключении выражая благодарность своему научному руководителю проф. С.К.Абдуллаеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Абдуллаев С.К., Ыамедов A.C. Многомерные сишулярные интегральные уравнения в пространствах Гельдера с весом дифференцируемых функций. - Вестник Бакинского Университета, ISS3, И. с.68-74,

2. Маивдов A.C. Ой ограниченности многомерного сингулярного интегрального оператора в обобщенных пространствах Гельдера с весом. - Конференция посвященная 75-лети» ЕГУ. Баку-1994, с.68.

3. Абдуллаев С.К., Мамадов A.C. Об ограниченности шогомер-ного сингулярного интегрального оператора в обобщенных пространствах Гельдера о весом. Научная конференция аспирантов .и юных исследователей. БГУ, 1994.

Mammedov Adish Sakit oglu Multidimensional singular integral equations in the Udder's spaces with the weight

RESUME

In dissertation the problem of regularization of the multidimensional singular integral operators is considered in the generalized Udder's. weighted spaces. In particular, the theory of the multidimensional singular integral equations is developed in the weighted Udder's spaces of differentiate functions, the structural properties of (lie multidimensional singular operators is studied in the generalized Helder's spaccs with the weight which is degenerate both on compact and uncompact mani folds of smaller dimension.

In terms of symbol (he explicit form of the inverse operator is constructed ia case when singular operator without poie on semi-spaces in the generalized Helder's weighted spaces.

Л\еммэдов Ад'ЛШ Сакнт оглу Чакнлн Ьолдср фэгаларыпда чохолчулу ciuiry.ijap интеграл тэиликлэр.

ХУЛАСЭ

Дкссертпеиз'зда чохоячулу сищул]ар тгпхрал' оператору« умумзЕгошмиш чекили Ьолтр фэзаларында pery.njapioactija иэсо.тзсшго бахылыр. Хусуси Ьагдз дифферексиаллаиан фу(геси]атаргл1 чакилк -Ьолдср фозатарында чохелчулу синтул]ар интеграл тенликлэр нэзг>риЦэси гуруямуш. Ием компакт, Ьэм до rejpH-коипакт кичих алчулу чохобразлылар узрэ сикгул^ар гяпеграл оператору« умумклешмнш »юкили Ьолдср фэзаларывда структур хассодэри ©¿ренилмишдир.

Символ тсруппш ила ]арымфоза узрэ то jmt олунмуш пол_]усдан аслъг олмарч сигаулд'ар интеграл оперзггорун уиумилэшмипг токили Ьолдср фозаларьшда терси операторун ашкар шок ли гурулмушдур.