Сингулярные интегральные уравнения со сложной особенностью в ядре, алгоритмы их численного решения и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПЛЕЩИНСКИЙ Николай Борисович

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СЛОЖНОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ В ЯДРЕ, АЛГОРИТМЫ ИХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Казанского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Б.Г.Габдулхаев, доктор физико-математических наук, профессор А.И.Голованов, доктор физико-математических наук, профессор А.С.Ильинский.

Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского.

Защита состоится 26 июня 1997 г. в 14.30 на заседании диссертационного совета Д 053.29.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 17, НИЕММ, ауд, 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 23 мая 1997 г.

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного сов канд. физ.-мат. наук, доцент

Общая характеристика работы;

Интегральные уравнения используются в качестве основы математических моделей широкого круга прикладных задач (электродинамики, теории упругости, гидро- и аэродинамики), методом интегральных уравнений могут быть исследованы такзе многие фундаментальные задачи математической физики.

В диссертации исследуются линейные сингулярные интегральные уравнения (СИУ) на кусочно-гладких линиях

(1) + ] <р(т)К(г, <)</г = /(*), * 6 (I),

ь

ядра которых имеют особенности сильного и слабого (логарифмического, степенного и более сложного) типов в различных сочетаниях. Исследования прозодятся в трех направлениях: теория разрешимости, методы построения решений, приложения. Основное внимание уделяется разработке алгоритмов численного решения СИУ- В качестве области применения теории и методов решения СИУ выбраны граничные задачи плоско!! теории упругости.

Актуальность темы. Общая теория одномерных сингулярных интегральных уравнений на кусочно-гладких линиях в гельдеровскнх классах и в классах функций, интегрируемых по Лебегу с весом, изложена в известных монографиях Ф.Д.Гахова, Н.И.Мусхелишвнли, Н.Ц.Гохберга и Н.Я.Крупника, а также Б.В.Хведелидзе и З.Пресдорфа.

Классическая теория СИУ с ядром Коши основана преадз всего на свойствах характеристического уравнения с ядром Коши. Если регулярная часть сингулярного оператора является вполне непрерывным оператором в рассматриваемых пространствах функций, то уравнение подчиняется теории Нетера, что дает возможность сделать выводы об условиях и характере его разрешимости.

Актуальной проблемой является исследование уравнений вида (1) в гех случаях, когда регулярная часть интегрального оператора не будет вполне непрерывным оператором.

Первые систематические исследования интегральных уравнений 1-го :юда со слабой особенностью в ядре методами, близкими к используемым

в теории СИУ с ядром Кошм, проводились начиная примерно с 1960 г. в работах Ф.Д.Гахова, К.Д.Сакалюка, Ф.В.Чуыакова и С.Г.Самко. Интерес к теоретическому исследованию интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами и к разработке методов их решения был обусловлен в значительной степени их приложениями.

С.Г.Самко предложил метод интегральных тождеств, позволяющий представить интегральный оператор 1-го рода с логарифмическим или степенным ядром в виде композиции двух интегральных операторов, один из которых - характеристический оператор с ядром Коши. В работах

A.А.Килбаса, Б.С.Рубина, С.Г.Самко исследованы на нетеровость различные классы сингулярных интегральных уравнений 1-го рода с логарифмическими, стеленными и степенно-логарифмическими ядрами. Также были выделены случаи, когда решения СИУ со слабой особэнностью в ядре могут быть записаны в замкнутой форме.

Следующим этапом в изучении интегральных уравнений 1-го рода явились исследования систем таких уравнений и многомерных интегральных уравнений со слабой особенностью в ядре, при этом использованы некоторые результаты теории одномерных уравнений. Этим занимались С.Г.Самко, Б.С.Рубин, А.А.Килбас, И.Л.Васильев, И.Н.Забелло,

B.А.Ногин, А.В.Скориков, С.И.Василец и другие авторы.

В работах Л.Й.Чибриковой и автора диссертации были рассмотрены СИУ 1-го рода на кусочно-гладких линиях, ядра которых представимы в виде интегралов типа Коши с переменным пределом (логарифмические ядра) или в виде показательных функций от таких интегралов (обобщенные степенные ядра). Эти уравнения также оказались эквивалентными характеристическому СИУ.

Хотя общая теория одномерных сингулярных интегральных уравнений в целом считается завершенной, остается много нерешенных проблем, связанным прежде всего с исследованием конкретных уравнений. Далеко не полон еще перечень известных классов СИУ, разрешаемых в замкнутой форме.

Интегральные уравнения как частный случай функциональных уравнений, представляющих собой необходимое условие экстремума в задачах минимизации функционалов, рассматривал В.Вольтерра. При постановке задач оптимизации исследуемых процессов во многих случаях ин-

тегральные операторы более удобны, чем дифференциальные. Поэтому актуальным является исследование вариационных задач, в которых вместо дифференциальных операторов, примененных к искомым функциям, использованы интегральные операторы. Особый интерес представляет обр&тная задача: найти функционал, для которого необходимым условием экстремума является данное интегральное уравнение. Основой для исследований в данном направлении может служить цикл работ Л. фон Вольферодорфа, М.Гебеля, Х.Бенкера, Ф.Трельчаи др., посвященных задачам оптимального управления операторными и, как частный случай, интегральными уравнениями.

В связи с приложениями большое значение имеют разработка и теоретическое обоснование численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. Даже в тех немногих случаях, когда СИУ, в том числе со сложной особенностью в ядре, может быть решено в замкнутой форме, вычисление значений его решения остается серьезной проблемой в связи с трудностями, возникающими при вычислении сингулярных интегралов. Численным методам решения СИУ посвящены монограг фии Б.Г.Габдулхаева, В.В.Иванова, З.Пресдорфа, С.М.Белоцерковского и И.К.Лифанова, С.Г.Михлина, Г.М.Вайникко и многочисленные статьи. Несмотря на значительный прогресс, в этой области остается еще много нерешенных вопросов. СИУ со сложной особенностью в ядре в этом смысле мало исследованы.

В абстрактной теории приближенных методов можно выделить два основных направления. В общей теории приближенных методов Л.В.Канторовича и ее модификации, предложенной Б.Г.Габдулхаевым, основное внимание уделяется условиями, при которых разрешимость аппроксимирующего уравнения следует из разрешимости точного уравнения. Другое направление основано на понятии устойчивости последовательности операторов, аппроксимирующих заданный оператор. В рамках абстрактной приближенной схемы В.А.Треногина теория разностных схем, приближенные методы типа Галеркина и некоторые другие задачи рассматриваются с единой точки зрения. Представляется актуальным объединить оба направления в единую теорию.

Первые попытки применения метода интегральных уравнений при

исследовании задач теории упругости были предприняты сразу после появления теории Фредгольма. Общие принципы метода интегральных уравнений в теории упругости изложены в монографиях Н.И.Мус-хелншвили, В.Д.Купрадзе, В.З.Партона и П.И.Перлина, В.А.Бабешко, И.И.Воровича, В.М.Александрова и других математиков и механиков. В плоской теории улругости выделим два важных направления, где наиболее эффективно используется метод сингулярных интегральных уравнений: контактные задами теории упругости и задачи для тел с дефектами (трещинами). Систематические исследования в первом направлении проводились в работах И.Я.Штаермана, Д.И.Шермана, Л.А.Галина, Г.Я.Попова и других авторов (полная библиография дана в коллективной монографии "Развитие теории контактных задач в СССР"). Одна из актуальных проблем - выбор ядра линейно-деформируемого основания (ЛДО) в соответствии с принятыми гипотезами о свойствах контактиру-емых тел.

Граничные задачи для тел с дефектами вдоль гладких дуг рассматривались в монографиях Н.Й.Мусхзлишвили, Г.Я.Попове», В.В.Панасюка, М.П.Саврука и их коллег. В основе теории - интегральные представления комплексных потенциалов, через которые по формулам Колосова-Мусхелишвили выражаются компоненты тензоров напряжения и деформации. В настоящее время получены решения многих задач для упругих тел различной формы с трещинами, включениями и другими дефектами. Для практического использования теории важно иметь простые и устойчивые расчетные алгоритмы, а также соответствующие программные средства.

Цель работы. Основное внимание сосредоточено на следующих направлениях исследований:

изучить сингулярные интегральные операторы 1-го рода, которые не являются вполне непрерывными в выбранных пространствах функций;

рассмотреть СИУ, ядра которых имеют одновременно сильную и слабую особенности различных типов;

исследовать экстремальные задачи, в которых необходимые условия экстремума могут быть записаны в форме интегральных уравнений;

разработать и исследовать алгоритмы численного решения СИУ со сложной особенностью в ядре;

рассмотреть особенности применения метода интегральных уравнений при решении контактных задач теории упругости играничных задач для упругих тел с трещинами.

Методика исследования. Бри исследовании СИУ со сложной особенностью в ядре используется в основном метод интегральных тождеств. Доказательство интегральных тождеств и вычисление сингулярных интегралов проводится методами теории функций комплексного переменного. Методы теории обыкяовенных дифференциальных уравнений применяются при исследовании интегральных уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами и СИУ, порожденным дифференциальными равенствами. Необходимые условия экстремума в задачах интегрального вариационного исчисления выводятся классическим методом Лагранжа решения вариационных задач. Алгоритмы численного решения СИУ основаны на глобальном выделении особенностей из сингулярных интегралов и сравнении поведения левой и правой частей уравнения в окрестности концов линии интегрирования. При разработке абстрактной теории приближенных методов решения линейных операторных уравнений использована общая теория линейных операторов функционального анализа, Исследоваг ние контактных задач плоской теории упругости проводится в рамках концепции линейно-деформируемого основания. Интегральные уравнения в задачах для тел с трещинами получены с помощью метода задачи сопряжения Н.И.Мусхелишвили. Программная реализация алгоритмов численного решения СИУ основана на идеологии и средствах объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна. В диссертации получены новые научные результаты:

!. Установлена эквивалентность между классами решений СИУ с логарифмическими, степенными и более сложными ядрами и классами решений характеристического уравнения с ядром Коши. Построены в замкнутой форме решения СИУ с логарифмическими и степенными особенностями в ядре.

2. Получены интегральные тождества, устанавливающие связи между интегральными операторами с обобщенными степенными ядрами, сингу-тярным оператором с ядром Коши и оператором интегрирования. Пока-

зана эквивалентность метода интегральных тождеств и метода аналитического продолжения.

3. Рассмотрены дифференциальные равенства, порождающие пары обращающих друг друга интегральных уравнений. Исследованы интегральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром.

4. Изучены сингулярные интегральные уравнения, ядра которых имеют одновременно полярную и логарифмические или степенные особенности, содержащиеся в интегралах типа Коши с переменными пределами. Исследована возможность аппроксимации произвольных ядер СИУ ква-знвырожденными логарифмическими или степенными ядрами.

5. Поставлены и исследованы основные задачи интегрального вариационного исчисления (простейшая задача, задача Больца и изопериме-трическая задача). Найдены условия, при которых необходимое условие экстремума в общей экстремальной задаче может быть записано в форме интегрального уравнения.

6. Предложены и исследованы эффективные алгоритмы численного решения различных классов сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых дугах.

7. Разработан вариант абстрактной теории приближенных методов решения линейных операторных уравнений для теоретического обоснования алгоритмов численного решения интегральных уравнений.

8. Предложена новая форма записи ядра основания в контактных задачах плоской теории упругости в виде квазивырожденного логарифмического или степенного ядра.

9. Получены СИУ с логарифмической особенностью в ядре, к которым приводятся основные граничные задачи плоской теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги.

10. Разработана объектно-ориентированная технология программной реализации алгоритмов вычислительного типа. Подготовлен комплекс библиотечных модулей для численного решения СИУ со сложной особенностью в ядре.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации развита теория СИУ со сложной особенностью в ядре, построены и исследованы новые классы уравнений, решения которых или могут быть записаны в замкнутой форме, или могут быть получены при последователь-

ном обращении двух других интегральных уравнений, одно из которых -характеристическое уравнение с ядром Коши. Разработана теория экстремальных задач (интегральное вариационное исчисление), в которых необходимое условие экстремума может быть залисано в форме интегрального уравнения. Предложены эффективные алгоритмы численного решения СИУ, основанные на глобальном выделении особенностей из сингулярного интеграла, и технология программной реализации алгоритмов. Построен вариант абстрактной теории приближенных методов решения линейных операторных уравнений. Исследована новая модель ядра основания в контактных задачах плоской теории упругости, позволяющая учитывать касательные перемещения граничных точек взаимодействующих тел, ползучесть и трение. Основные граничные задачи теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги сведены к СИУ с логарифмической особенностью в ядре. Разработаны программные средства для численного решения СИУ на разомкнутых контурах, основанные на идеологии объектно-ориентированного и абстрактного программирования.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Школе-семинаре по уравнениям неклассического типа (г. Новосибирск,

1981 г.), на научных конференциях Куйбышевского политехнического института (г. Куйбышев, 1979,1981 и 1982 гг.), на III республиканском симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям (г. Одесса,

1982 г.), на Школе-семинаре "Проблемы гидродинамики больших скоростей и краевых задач" (г. Геленджик, 1982 г.), на Куйбышевском межвузовском научном совещании-семинаре "Дифференциальные уравнения (математическая физика)" (г. Куйбышев. 1984 г.), на Школе-семинаре по применению методов функционального анализа в уравнениях математической физики (г. Улан-Удэ, 1985 г.), на всесоюзной научной конференции "Классические и некласснческие краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения" (г. Куйбышев, 1987 г.), на Республиканской конференции "Дифференциальные и интегральные сравнения и их приложения" (г. Одесса, 1987 г.), на Расширенных заеданиях семинара Института прикладной математики имени И.Н.Векуа г. Тбилиси, 1988 г.), на Северо-Кавказской школе-конференции "Функ-

циолальные пространства, сингулярные операторы и их приложения" (г. Теберда, 1988 г.), на Пятой Международной конференции по комплескно-му анализу (г. Галле, ГДР, 3988 г.), на Северо-Кавказской региональной конференции "Линейные операторы в функциональных пространствах" (г. Грозный, 1989 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения* (г. Гуанчжоу, КНР, 1989 г.), на II Межрегиональном семинар по объектно-ориентированному программированию (г. Минск, 1992 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (г. Самара, 1992 г.), на VI Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачам математической физики" (г. Харьков, Украина, 1993 г.), на Международно® конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-леткю со дня рожд. Е.Г.Чеботарева (г. Казань, 1994 г.), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики" (г. Новосибирск, 1995 г.), на Международной конференции "Краевые задачи специальные функции и дробное исчисление" (г. Минск, Беларусь, 199( г.), на Международной конференции, посвященной 175-летию со дня ро ждения П.Л.Чебышева (г. Москва, 1996 г.), а также на научных седеина рах Московского государственного университета "Вычислительная элек тродин&мика" (рук. проф. Свешников А.Г. и проф. Ильинский A.C.) i "Методы решения экстремальных задач" (рук. проф. Васильев Ф.П.), hj научных семинарах секции математики Университета Мартина Лютер! (г. Галле, ГДР, рук. проф. В.Тучке), секции математики Фрайбергско] Горной Академии (г.Фрайберг, ГДР, рук. проф. Л. фон Вольферсдорф] математического факультета Университета имени Сун Ятсена (г. Гуан чжоу, КНР, рук. проф. Лин Вэй), математического факультета Пекин схого Нормального Университета (г. Пекин, КНР, рук. проф. Чжа Чжень) и неоднократно на научных семинарах и на Итоговых научны конференциях Казанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 работах, их список приведен в конце автореферата. В диссертацию вклк чены некоторые из результатов работ [1, 2, 7, 21, 22], которые получен; совместно с Л.И.Чибрнковой, Р.Р.Тагировым и П.А.Чумараевым и npj надлежат в равных долях их авторам. В тексте диссертации имеютс

ссылки еще на 8 работ автора (из них три совместных), посвященных в основном приложениям теории СИУ, не рассматриваемым в диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и шести глав, общий объем - 230 страниц (МцХ, 12р<-, а4). В списке литературы указано 200 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении сформулированы цели диссертации и кратко перечислены основные результат!»!. В начале каждой из шести глав имеется обзор публикаций по соответствующему направлению исследований и дано введение в рассматриваемые задачи.

В главе I изложены необходимые в дальнейшем основные факты классической теории СИУ с ядром Коши на кусочно-гладких линиях.

В §1.1 описаны принятые в работе терминология и обозначения, а также рассмотрены основные классы функций, используемые в теории СЙУ.

Введено понятие верхнего показателя Гелъдера функции /(•) на множестве, верхнего показателя Гельдера функции в точке и верхнего функционального показателя Гельдера. Рассмотрены примеры функций, имеющих заданные верхние показатели Гельдера, отличные от единицы. При ггом использован пример Вейерштрасса непрерывной, но не дифференцируемой функции.

В §1.2 рассмотрены некоторые свойства сингулярного интеграла с ядром Коши и характеристического СИУ с ядром Коши. Одна из особенностей изложения состоит в том, что используются ветви многозначных логарифмической и степенной функции, не имеющих точек ветвления на бесконечности,

аЬ

/Ь — t\oi¿ef г . b — t■\ Г а<1г

(г^) - ехРИс = ехрУ 7^1' '6 (а6)>

о4

здесь аЬ - гладкая разомкнутая дуга и а - комплексное число.

Введены подклассы класса Б* Н. И.Мусхелишвили¡ позволяющие более точно описывать особенности функций на концах дуги. Класс функций, принадлежащих Яд(аб) и обращающихся в нуль в точках а и Ь, обозначим Яд(об). Будем говорить, что /(•) 6 Н[(аЬ), если

3/,(-),/оО € Яд(о*) | №=f¡(t)lnÍ^ + /0(t) Ví6(a6)

í — о

и /(•) 6 H'¿m(ab), т= 1,2,..., если

ЗДт(-) € Яд(аб), /0(.) е Я^Чаб) |

здесь Н'^(аЬ) = Я^(аб). Будем говорить, что /(•) € #J[cv, /3](аЬ), 0 < Rea < 1, 0 < Re,0 < 1, если

э/а(-Ш-)еЯл(а&) I ШФО, /б(*)*0,

т = ++л(о vt € и,

где или /о( ) € Яд(аЬ), или имеет логарифмические особенности на концах дуги, или /о(-) 6 Я£[а0,/?o](a¿>)> Rea0 < Rea, Re Д, < Re/?. Для классов функций, имеющих на концах дуги степенно-логарифмичесхсие особенности, приняты обозначения Ef'm[a, /9](aí>).

Уточнены необходимые и достаточные условия, при которых характеристическое СИУ с ядром Коши

(2) (KM)(í) У A{tMt) + B(t)J^^ = f(i), í6(¿)

L

имеет решения, принадлежащие одному из перечисленных выше классов.

Глава II посвящена СИУ 1-го рода на гладкой разомкнутой дуге аб. ядра которых лредставимы в виде интегралов с ядром Коши с переменным пределом (логарифмические ядра)

LaJt, т) = У г, t е аЬ, <р{-) £ Н{аЬ), <p{t) ¿ 0 Vt G ab

ат

или в виде показательных функций от таких интегралов (обобщенные степенные ядра)

Т) = ехр[- / , Pa,,,o(i, г) = ¿РаЖ Л

ат

В §2.1 установлено, что СИУ с логарифмическим ядром (3) (Ca,rv)(t) AitMt)fu(r)dr + B(t)fv(T)L^(ttr)dT = m

tb ab

и характеристическое СИУ с ядром Коти эквивалентны, при этом их решения связаны равенством

<p(t) j v{f)dr = n(t), t € ab. tb

Отсюда следует, что '

1. Пусть p >1, A = (p - i)/p, A(-), £(■),<?(■) € Яд (ab). Если u{-) 6 Lp(ab) - решение уравнения (3), то /(•) = {Ca<vv){-) G ff[(ab).

2. Если /j( ) - решение характеристического уравнения, удовлетворяющее условиям

1) ц{Ь) = 0;

2) функция

v(t) = jt^eLp(ab), р> 1 (или L(ab)),

то f(-) - решение уравнения (3) класса Lf(ab)t р > 1 (или L(ab)).

Рассмотрены различные варианты формул дифференцирования сингулярных интегралов. В частности, пусть уи(-) 6 Ap(ab), р > 1, Q{ ) -полином. Тогда

at J г — t J т — t

ab ab

+ in[r)\Q'(r) - ^)-Q(t)] dr , Q(b)p(b) __ Q(aMa); J L т — t J т — t t — b t — a

В §2.2 получены формулы обращения СИУ с логарифмическими периодическими ядрами

в случае, когда Г = [«i, /?i] U... U [<xu, 0и] ~ совокупность отрезков вещественной оси, причем Г С [0, тг].

В §2.3 построены группы интегральных тождеств, связывающих операторы с обобщенными степенными ядрами

№«0(0 - вш Mt) j Нг)РаА*>т)^

at

^ sin'r<p(t) f v(r)PaiV(t,T)dr, tb

транспонированные операторы, сингулярный оператор с ядром Коши к оператор интегрирования:

•7SVO - sin М-) 0(.) - сое »<*(•) ^ЧО - ánM-)Sab

jfrM-) = - COS **>(•) jÍf'V(-) + sin

(4) • i y [sin 7/ r)ár] -i_peil.„(e> t)d£ = -J v{r)dT,

' tí ib tó

i J[sinMZ) I r)dr\t)d£ = I v(j)dr,

at at

где

^ Cv(, 4 J v{r)dr.

ab ab

Из тождества (4) следует, что если f(-) - решение интегрального уравнения

sin 7Tcjo(í) j u(r)Pa^(t, r)dr = /j(t), t e (ab) tb

(обобщение уравнения Абеля), то

tb s

Если !/(•) € AC(ab), то уравнение

tb

имеет решение

¡j{t) = sin 7Tip(t) J р'{т)Ра>¥,{Ь,т)<1т. tb

В §2.4 доказано, что СИУ со степенным ядром

(5) (т>„)0 У A(-)jT°v(-) + B(-№°v(-) = f(-)

эквивалентно характеристическому СИУ и их решения связаны равенством

(6) (j^°v)(t)=»(t), te (об).

Исследованы свойства операторов с обобщенными степенными ядрами. Показано, что если в окрестности точки а

v(T) = va{r)(^^-)a, !/.(•) 6 Я, рл{а)ф О

чг — а'

и Ха = h(i'a(-), а) - верхний показатель Гельдера функции va{-) в точке а, то функция (Jib^X') имеет в точке а степенную особенность порядка не выше, чем Rea — Re9?(a) — \а -Ь s, где е > 0 - достаточно малсе число. Если в окрестности точки Ь

V{r)=н(т)(^у, 6 Я, vb(b)*Q

и Аъ — h(vb{ ), Ь) - верхний показатель Гельдера функции уь(-) в точке Ь, то функция v){-) имеет в точке Ь степенную особенность порядка не выше, чем

max{Re/9 + Re <p{b) — 1, Re/9 - Аь + ï},

где £ > 0 - достаточно малое число. Следовательно, оператор понижает порядки степенных особенностей функций на концах дуги аЬ.

Сформулированы необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений (5) и (6).

В главе III построены и исследованы СИУ, ядра которых содержат как слагаемые с сильной особенностью типа ядра Коши, так и слагаемые с особенностями слабого типа. При этом решение СИУ сводится к последовательному решению двух других интегральных уравнений, одно из которых - характеристическое СИУ с ядром Коши.

В §3.1 рассмотрел случай, когда интегральные уравнения, эквивалентные характеристическому уравнению с ядром Коши, порождаются дифференциальными равенствами. Рассмотрены дифференциальные связи 1-го и 2-го порядка в форме задачи Коши

Pi{x)ß" + Pi(c)/ + Po(s)/i = 92ОУ + Чх(ф' + ÇoOK r0^(a) = s0f(a), n//(a) = Sif'(a), и в форме краевой задачи

?2{x)ß" -f Pi(x)m' + Po(x)ß - q2(x)i>"-+ Çi(®)i>'+ qo(x)i/,

rUfi'(a) + r12ß(a) = snv'(a) + snv{a) = 0,

ГЦ1Ц'(Ь) + r22l"(i) = S2iv'(b) + S22v(b) = 0.

Это позволило получить пару взаимно обратных интегральных операторов Вольтерра специального вида и, используя их, рассмотреть СИУ, ядра которых имеют одновременно сильную и слабую (логарифмического типа) особенности.

Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром 1-го и 2-го рода, а также более общее уравнение

ПО х. п

j = 1 a j=n.o+l

исследованы в §3.2. Найдены условия их разрешимости и получены формулы, определяющие структуру решений. Эти результаты получены совместно с Р.Р.Тагировым.

В §3.3 рассмотрена общая схема построения новых СИУ со сложной особенностью в ядре, эквивалентных характеристическому СИУ с ядром Коши.

(я) /c,(t)v{t)dt - ф)

Доказано, что сингулярное интегральное уравнение

(7) с(*М®) + J х)<% = f{x), х € (ab)

rb

эквивалентно характеристическому СИУ и уравнению а{х)и{х) + J J/(i)fc(&®)d? = M(z).

ab

тогда и только тогда, когда

1) А(х)а(х) = с(г) и

2) функция х) является решением уравнения

Л(*)А(£, х) + В{х) J = Щ, х) - х € К) U (£6).

ab Х Х

Показано, что СИУ с квазивырожденными логарифмическими и степенными ядрами

J = 1 £Ъ J=rb0+1 ef

ЛО П

J2х)Рь„,оЫ) + Е Ш О

3 = 1 J=n.0+1

эквивалентны характеристическому СИУ с ядром Коши. Исследована возможность аппроксимации ядра сингулярного интегрального оператора общего вида квазивырожденными ядрами.

Задачи поиска экстремумов интегральных функционалов, у которых стоящие под знаком интеграла выражения зависят от одной или нескольких искомых функций и примененных к ним интегральных операторов, будем называть задачами интегрального вариационного исчисления (ИВИ). Исследование основных задач ИВИ проведено в главе IV. Как и ожидалось, необходимые условия экстремума получены в форме интегральных уравнений.

В §4.1 исследованы простейшая и изопериметрическая задачи И В И в пространстве непрерывных функций.

Пусть функция к(т,1,х) и ее производная дк/дх, функция /(£, х,у) и ее производные дf/дxtд}|дy непрерывны по совокупности переменных. Если функция х( ) доставляет локальный экстремум функционалу

ь ь

1[х{-)] = (1Сх)(Ь) = I к{т,г,х(т))с[г, [а, 6],

а а

то она удовлетворяет интегральному уравнению

(АС *)(*))10,г,г(0)^(г,а;(г))(ха;)(г)Мг = 01 ¿еМ].

Б качестве примеров изопериметрических задач рассмотрены задачи об оптимальном распределении нагрузки вдоль упругой струны и по мембране.

Исследована связь между задачами классического вариационного исчисления и задачами ИВИ. Установлено, что задачи классического вариационного исчисления приводятся к задачам ИВИ с дополнительным изоперпметрическим условием. Рассмотрены различные способы задания окрестностей в пространстве искомых функций, соответствующие понятиям слабого и силыюго экстремума в классическом вариационном исчислении.

Аналог задачи Больца

(8) *(*()) = х(*(.)) + 7(в(-))-ех1г)

ь ь

а а

tJ 6 [а, 6], ] = 1..п - некоторые точки отрезка, фиксированные или свободные, интересный своими частными случаями, рассмотрен в §4.2.

В §4.3 записано необходимое условие экстремума 1-го порядка в общей экстремальной задаче и найдены условия, при которых это условие может быть получено в форме интегрального уравнения. Исследована также возможность представления дифференцируемого оператора или дифференцируемого функционала в интегральной форме.

Пусть К5,,//), (Т, Еу, и) - пространства с мерами, X, У - произвольные банаховы пространства, X, "У - банаховы пространства отображений

z(-) : S ~* X и y(-) : S —+Y соответственно. Далее, пусть отображение к : X -+ ii(T, Еу, и, У) дифференцируемо по Гато-или Фреше и отображение / : X х Ч —► Li(S, £s, ¡л, R1) дифференцируемо по Фреше и имеет непрерывные частные производные.

Если сопряженный оператор К'(г0)* является интегральным, то необходимое условие экстремума функционала

*(*(•)) = //(*(•),л (*(■)))(*)№), к (х(-)) = /k(*(-)Xt)eW-

S т

может быть записано в формэ интегрального уравнения.

Пусть (5, Е, /i) - пространство с мерой, X, Y - банахоаы пространства вещественнозначных функций на S.

Пусть любой линейный непрерывный оператор, действующий из X в Y С Li(S, Е, /1, R1) является интегральным. Дифференцируемый по Гаг то или Фреше оператор является интегральным, если его производная радиальчо непрерывна.

В §4.4 рассмотрена простейшая задача ИВИ при условиях, что рассматриваемые функции являются комплекснозначными и используются сингулярные интегральные операторы по кусочно-гладким линиям. Показано, что необходимое условие экстремума в задаче ИВИ

Re J f(t, z(i), J X^T)dt extr, г г

f{t, x, у) = A{t)x2 + 2B(i)®y + C{t)y3 - 2D(t)x - 2E(t)y имеет вид

Ax + BSrx - Sr(Bx) - Sr(CSrx) = D - SrE,

но ядро этого уравнения не содержит сильной особенности.

Поставлена и исследована обратная задача ИВИ: найти функционал, для которого необходимым условием экстремума является данное интегральное урав1'г>ние. Найдены простые условия, при которых интегральное уравнение Урысона

x(t) - j K(t, т, x(r))dr = О

является необходимым условием экстремума интегрального функционала.

Глава V посвящена разработке и теоретическому обоснованию алгоритмов численного решения СИУ на разомкнутых дугах.

В §5.1 построены алгоритмы численного решения СИУ с ядром Коши в гельдеровских классах функций, основанные на глобальном выделении особенностей в левой и правой частях уравнения. При этом значения искомой функции на концах отрезка или находятся из асимптотических формул, или к системе уравнений, приближающих точное уравнение, добавляются асимптотические равенства, содержащие эти значения. В тех случаях, когда решение СИУ с ядром Коши имеет особенности на концах разомкнутой дуги, предлагается выделять из искомой функции слагаемые с особенностями степенно-логарифмического, степенного или логарифмического типа. Тогда часть искомой функции, не содержащая особенностей, будет решением СЙУ с теми же коэффициентами, но с другой правой частью. В конце параграфа приведены примеры, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов, и описаны некоторые явления, обнаруженные при численных расчетах.

В §5.2 рассмотрены алгоритмы численного решения СИУ с логарифмическими и степенными ядрами, а также со сложной особенностью в ядре. В соответствии с развитой в главах II и III теорией, решение СИУ со сложной особенностью в ядре сводится к последовательному решению двух других уравнений, одно из которых - сингулярное уравнение с ядром Коши. Поэтому главное внимание уделено методам решения уравнений, связывающих решения исходных СИУ и эквивалентных им СЙУ с ядром Коши. Показано (на примере задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе), что во многих случаях достаточно получить только решение СИУ с ядром Коши.

Абстрактная теория приближенных методов решения линейных операторных уравнений, позволяющая на единой основе получить основные утверждения общей теории приближенных методов и теории абстрактных приближенных схем, построена в §5.3. Рассмотрены точное и аппроксимирующее уравнения

(9) Ах = у, хеХ,уеУ) Ах = у, х€Х,уе¥,

где X, Y, X, Y - нормированные пространства, А : X Y, А : ~Х Y ~ линейные операторы и 7* и Ту — операторы аппроксимации, ^х и S'y -операторы интерполяции.

Получены априорные оценки погрешьостн приближенного решения вида

(9) ||г - 5Л21|* < ^{II^VII ||Туу - y\\y + \\SY\\ ||(3-

+||(5уТу-/)Л(г-5хг)||к}

без предположений об обратимости операторов. На их основе сформулированы условия, при которых из единственности решения одного из уравнений (9) следует единственность решения другого.

Например, пусть 5*2" 6 D(A) Yx € -О(Л), операторы 5у и 7* ограничены. Пусть оператор А имеет ограниченный левый обратный, т.е.

3то>0 | ||Лаг|| > то|И Vx е D(A)t

и выполняются условия

\\(— TyASx)x\\y< Wi||s|| У5ГеЛ(Л),

||(5y7V - /)Л5*й||у < m2||x|| Vk G D(Â), причем постоянные mi и m2 не зависят от х . Если

(miljSrll + m2) < глг0,

то оператор А имеет ограниченный левый обратный. Эти } тверждения дополняют известные результаты Б.Г.Габдулхаева.

Получены оценки невязки точного уравнения на приближенном решении х = 5*5", что дает возможность рассматривать аппроксимирующее уравнение как некорректную задачу. Указано условие непрерывной обратимости точного оператора.

Рассмотрены последовательности аппроксимирующих пространств тКп) гК") -г(п) -тКп) лЛп)

л , Y , операторов А : Л —* Y , аппроксимирующих уравнений л<п)2<п> = у(п\ 5<n) е Т00,^") € Y(n\ операторов аппроксима-*ии и операторов интерполяции Исследована сходи-

мость приближенного метода и оценена скорость сходимости. Эти результаты близки к полученным в теории абстрактных приближенных схем З.А.Треногина.

В §5.4 показано, что при численном решении СИУ с ядром Коши условия разрешимости уравнений, аппроксимирующих точные, могут быть получены как частный случай общих утверждений из предыдущего параграфа. Основное внимание уделено построению пространств, аппроксимирующих точные.

В главе VI рассматриваются приложения теории и методов численного решения СИУ со сложной особенностью в ядре, изложенных в предыдущих главах, к задачам плоской теории упругости. Выбраны два направления: контактные задачи теории упругости (задачи о вдавливании штампов в линейно-деформируемое основание) и основные граничные задачи для упругих тел с трещинами (с дефектом вдоль гладкой разомкнутой дуги).

В §6.1 рассмотрены интегральные уравнения плоских контактных задач теории упругости, в том числе, с учетом ползучести и сил трения. На примере известных уравнений с логарифмическим и степенным ядром показаны особенности применения изложенной в диссертации теории СИУ со сложной особенностью в ядре. В рамках концепции линейно-деформируемого основания предложены новые формы записи ядер основания в виде квазивырожденных логарифмических и степенных ядер, которые могут быть использованы при аппроксимации более сложных ядер. Наиболее подробно рассмотрен случай, когда ядро основания записано в виде

X) = -С1(0 / ^ М € [Л, 5],

J Г — X } Т — X

А 4

где 61(01 М-), с1( )> сг( ) - заданные функции. Если С1(.) = 1, Сз(-) = 1, =

то

... . х— А , х — А В—хлВ—х

Приведены результаты расчетов для задач о давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость при различных предположениях об условиях

их взаимодействия, построены графики распределения давления вдоль линии контакта.

В §6.2 получены и исследованы сингулярные интегральные уравнения основных задач теории упругости в плоскости с разрезами или тонкими включениями. При выводе интегральных уравнений используются комплексные потенциалы, дающие решение вспомогательной задачи, когда на берегах разреза заданы скачки напряжений и перемещений. Одно из существенных отличий от методики, принятой в математической теории трещин В.В.Паиасюка, М.П.Саврука, состоит в том, что вместо интегралов типа Коши при решении задач о скачке используются интегралы с логарифмическими ядрами в виде интегралов типа Коши с переменным пределом. Поэтому н сингулярные уравнения в математических моделях плоскости с дефектом имеют в ядре не полярную особенность, а особенности логарифмического типа.

В §6.3 рассмотрены более сложные задачи, когда дефект вдоль гладкой дуги имеется в упругой полуплоскости или в упругом круге. При этом используются полученные з §6.2 комплексные потенциалы в виде криволинейных интегралов по дефекту и метод Н.И.Мусхелишвилн сведения к задаче сопряжения (продолжения через границу). Для двух частных случаев (вертикальная трещина в полуплоскости и горизонтальная трещина в круге) приведены результаты расчетов но алгоритмам из главы V.

В §6.4 дано описание объектно-ориентированной технологии разра-Зотки компьютерных программ, эффективной при численном решении 1ак сингулярных интегральных уравнений, так и других задач вычислительного типа. Предложены три принципа абстрактного программиро-зания: специализация объектов, наложение задач и абстракция данных л операций.

Публикации по теме диссертации

1. Чибрикова Л.И., Плещинский Н.Б. Об интегральных уравнениях с обобщенными логарифмическими и степенными ядрами // Изв. вузов. Мат. - 1976. - N6. - С.91-104. - 1977. - N10. -С.150-162. - 1978. - N6. -С. 129-146. - 1979. - N9. - С.62-74. - 1979. - N10. - С.74-87.

2. Чибрикова Л.И., Плещинский Н.Б. Сингулярные интегральные уравнения с авгоморфпыми а квазиавтоморфными логарифмическими и степенными ядрам, I // Тр. семинара по краевым задачам, вып. 17. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1980. - С.210-247.

3. Плещинский Н.Б. О сингулярных интегральных уравнениях с обобщенными логарифмическими и степеннными ядрами // Неклассические задачи уравнений матом, физики. - Новосибирск, 1982. - С.132-134.

4. Плещинский Н.Б. Некоторые свойстга обобщенных операторов Абеля и сингулярные интегральные уравнения со степенными ядрами // Третий респ. симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям. Тезисы докладов. 1-3 июня 19S2. - Одесса, 1982. - С. 189-190.

5. Плещинский Н.Б. Некоторые тождестса доя интегральных операторов с обобщенным степенным ядром // Изв. вузов. Мат. - 1984. - N4.

- С.47-51.

6. Плещинский Н.Б. О построении функций, удовлетворяющих условию Гельдера с заданным показателем // Изв. вузов. Мат. - 1984. - N8.

- С.74-77.

7. Chibrikova L.I., Pleshchinskii N.B. Intégral equation with generalized power kernel and its application to the theory of boundary value problems for the generalized Tricomi equation // Mixed typs equations / edit, by John M. Rassias. (Teubner-Texte zur Mathematik; 90) - Leipzig: BSB Teubner, 1986.

- S.84-104.

8. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. - 160 с. '

9. Плещинский Н.Б. О представлении в виде интегрального уравнения необходимого условия экстремума одного дифференцируемого функционала // Классические и неклассические краевые задачи для диф. уравнений с части, произв., спец. функции, интегральные уравнения и их приложения. Тезисы докл. Всесоюз. науч. конф., 25-29 апреля 1987. —

Куйбышев, 1987 - С. 116.

10. Плещинский Н.Б. Об одном классе интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форме // Респ. науч. коиф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения", 22-24 сентября 1987. Тезисы докл. - Одесса, 1987. - С.61-62.

11. Pleshchinskii N.B. Zur Optimierung einer Klasse von Integralfunc-tionalen im Raum der stetigen Punktionen // Math. Nachr.- 1988. - B.I36-S.69-79.

12. Плещинский Н.Б. О некоторых классах интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форме // Ред.ж. "Дифференц. уравнения". -Минск, 1988. - 13 с. (Деп. в ВИНИТИ 25.05.1938, N4018-B83).

13. Fleshcliinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable n the closed form with a weak singularity in kernel // 5th conference on Complex Analysis. Abstracts. Dec. 12-17 1988. Halle, 1988. - S.67.

14. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения как необходимое усло-зие экстремума интегральных функционалов // Вести. Моск. ун-та. Вышел. мат. и кибериет. - 1988. - N4. - С.63-64.

15. Плещинский Н.Б. Два интегральных уравнения с логарифмическими периодическими ядрами, разрешимые в замкнутой форме // Докл. >асшир. засед. семинарамн-таприкл. матем. им. И.Н.Векуа. -Тбилиси: 1зд-во Тбилисск. ун-та, 1988. - Т.З. - N1. - С. 154-157.

16. Плещинский Н.Б. О некоторых классах интегральных уравнений, >азрешимых в замкнутой форме // Диффференц. уравнения - 1989. -Г.25. - N3. - С.533-534.

17. Плещинский Н.Б. Об одном аналоге задачи Больца // Вестн. Лоск, ун-та. Вычисл. мат. и кибернет, - 1989. - N2. - С.18-23.

18. Плещинский Н.Б. Численные методы решения сингулярных инте-ральных уравнений, основанные на методах построения явных формул бращения // Линейные операторы в функциональных пространствах. лезисы докл. Сев.-Кавказ, per. конф. - Грозный, 1989.-С.121-122.

19. Плещинский Н.Б. Пакет программ для решения сингулярных итегральных уравнений на персональных компьютерах семейства IBM 'С // Матем. моделирование и вычисл. эксперимент. Тезисы докл. -1., 1991.- С.40-41.

20. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable

in a closed form and their applications // Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific & Technical. - V.256. - P.246-256.

21. Плещинский Н.Б., Тапиров P.P. О структуре решений интегральных уравнений Вольтерра с вырожденным ядром // Исслед. но прикладной матем , вып. 19. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 19S2. - С.101-110.

22. Плещинский Н.Б., Чумараев П.А. К решению сингулярных интегральных уравнений с автоморфными ядрами методом механических квадратур // Исслед. по прикладной матем., вып. 19. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992. - С. 111-120.

23. Плещинский Н.Б. Объектно-ориентированное программирование в системе Turbo Pascal. Учебно-методическая разработка. - Казанский гос. университет, 1994. - 44 с.

24. Pleshchinskii N.B. Object-Oriented Technology of Development of Software for Solving Problems of Calculating Type // Advanced Mathematics, Computations and Applications (AMCA-95). Abstracts of International conference (Novosibirsk, June 20-24, 1995). - P.265-266.

25. Плещинский Н.Б. Абстрактная схема приближенных методов решения линейных операторных уравнений // Материалы Междунар. конф. и Чебышевских чтений, поев. 175-летию со дня рожд. П.Л.Че-бышева. Т. 2. - М.: Изд-во мгханико-математич. ф-та МГУ, 1996, - с. 289-292.

26. Pleshchinskii N.B. Singular integral Equations with Compound Singularity in the Kernel // Международная конф. Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление, поев. 90-летию со дня рожд. акад. Ф.Д.Гахова. - Мьнск, Беларусь, 16-20 февр. 1996 г. - с.153.

27. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги. - Препринт 97-1. Казанское матем. общество. - Казань, 1997. - 22 с.