Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАЗИРИШИ ЭНВЕР ОСМАНОВИЧ

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСОБЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 •АП 2009

Казань-2009

003471247

Работа выполнена на кафедре математического анализа Адыгейского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Габдулхаев Билсур Габдулхаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Габбасов Назим Салихович

доктор физико-математических наук, профессор Кац Борис Александрович

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный центр

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (НИВЦ МГУ)

Защита состоится 18 июня 2009 г. в 17 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд. 324

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 8 " мая 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

Липачёв Е.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность темы. Многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, физики и других областей приводят к различным классам сингулярных интегральных и сингулярных интегро-дифференциальных уравнений (кратко: СИУ и СИДУ) с интегралами Гильберта и Коши, понимаемыми в смысле главного значения по Коши-Лебегу.

Из теории для таких уравнений известно, что найти решение точно, т.е. в замкнутой форме, удается лишь в очень редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо вычислять соответствующие сингулярные интегралы. Поэтому для теории и, в особенности, для приложений важное значение имеет разработка приближенных методов решения СИУ и СИДУ с соответствующим теоретико-функциональным обоснованием, а также приближенных методов вычисления участвующих в уравнениях сингулярных интегралов.

За последние десятилетия в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс, в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов. Подробный обзор полученных в этой области результатов можно найти в специальных обзорных работах Б.Г. Габдулхаева (1980 г.), В.В. Иванова (1965 г.), И.К. Лифанова и Е.Е. Тыртышникова (1990 г.), В.А. Цецохо (1983 г.), в монографиях С.М. Бело-церковского и И.К. Лифанова (1985 г.), Б.Г. Габдулхаева (1980, 1994, 1995 гг.), В.А. Золотаревского (1991 г.), В.В. Иванова (1968 г.), И.К. Лифанова (1995 г.), З.Т. Назарчука (1989 г.), В.В. Панасюка, М.П. Саврука и З.Т. Назарчука (1984 г.), 3. Пресдорфа (1979 г.), М.А. Шешко (2003 г.), а также в диссертациях Л.А. Апайчевой (1986 г.), М.Г. Ахмадиева (1988 г.), Л.Б. Ермолаевой (1987 г.), И.Н. Мелешко (1975 г. и 2003 г.), Л.А. Онегова (1979 г.), Э.Н. Самойловой (2004 г.) и др. Однако, несмотря на сказанное, в этой области всё еще остается много нерешенных задач. Данная диссертационная работа в некоторой степени восполняет этот пробел.

2. Цель работы - дальнейшее развитие методов приближенного вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта и разработка полиномиальных и сплайновых методов решения СИУ и СИДУ на отрезке вещественной оси и на замкнутом контуре, охватывающем начало координат, с соответствующим теоретическим обоснованием, под которым, следуя академику Л.В. Канторовичу, понимается следующий круг вопросов:

1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

3. Методика исследования. При разработке и обосновании приближенных методов в диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории СИУ и СИДУ; при этом мы следуем методике исследования аппроксимативных методов решения операторных уравнений, изложенной в монографиях Б.Г. Габдулхаева (1980,1994, 1995 гг.).

4. Научная новизна. Предложено теоретическое обоснование полиномиальных и сплайновых методов решения ряда классов СИУ и СИДУ в пространствах Гёльдера На, 0 < а £ 1, и в специально построенных пространствах 1<р<оо, а также разработаны квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов с ядрами Гильберта и Коши.

5. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории приближения функций и теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения различных классов сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений и вычисления сингуляр-

ных интегралов. Они также могут найти применения при решении различных прикладных задач механики, физики, техники, описываемых СИУ и СИДУ.

6. Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных республиканских конференциях ГССР (г. Батуми 1981г., г. Телави 1982 г.), на пятой всесоюзной школе «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (г. Казань, 1984 г.), на всесоюзном симпозиуме по методам комплексного анализа и интегральным уравнениям (г. Сухуми, 1987 г.), на Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (г. Саратов, 1987 г.), на V всесоюзном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Одесса,-1991-г.), на научной конференции,-посвященной 5-летию "Адыгейское го госуниверситета (г. Майкоп, 2000 г.), на международных летних школах-конференциях по теории функций и смежным вопросам (г. Казань, 2002-2004 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского госуниверситета (19801985 гг. и 2002-2006 гг.). Результаты также докладывались и обсуждались на семинаре при АГУ «Теория сингулярных интегральных уравнений» (руководитель - академик АН ГССР Б.В. Хведелидзе) (1986-1990 гг.), на городском семинаре при КГУ «Теория аппроксимации и её приложения» (руководитель -проф. Б.Г. Габдулхаев) (1980-1987,1997-1999,2003-2007 гг.).

7. Публикации. По теме диссертации опубликованы 12 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично диссертантом.

8. Структура и объём работы. Диссертация общим объемом 123 страницы состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы из 116 наименований. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация формул и результатов (теорем и лемм).

9. Краткое содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, приводится обзор литературы по исследуемой теме и краткое содержание диссертации.

В Главе I (§§ 1.1 - 1.3) получен ряд новых квадратурных формул (кратко: к.ф.) для сингулярных интегралов (кратко: с.и.) с ядрами Коши и Гильберта, для которых получены эффективные оценки погрешности для известных классов функций. В ряде случаев доказана оптимальность в определенном смысле полученных приближенных формул.

В §1.1 приводится ряд вспомогательных результатов из конструктивной теории функций, а также даётся явный вид многочленов (х) ,fi>-l, v > -1, ортогональных на отрезке [-1,1] относительно веса р(х) = WCl — х2У. Доказана полнота соответствующей системы, получены для них рекуррентные соотношения и дифференциальные уравнения, решениями которых являются указанные многочлены.

В §1.2 рассматривается сингулярный интеграл вида

х

Я/,*) = I. -1 <X < 1, (1.1)

-г

pit) = ¡i р(1 - t2y ,ii>-1, v > -1. Для вычисления с.и. (1.1) предлагается к.ф.

1 п

f dt " X Afe(x)/"(xfe) . 0-2) -i к= 1

1

где хк-нули многочленов <pl,f''v>(х), Ль(.г) = Jp(t)~~dt, a lk(t)-

-i

фундаментальные интерполяционные многочлены Лагранжа. Коэффициенты Лк (х) квадратурной формулы (1.2) вычислены в явном виде. Доказаны теоремы о сходимости (поточечной и равномерной) квадратурного процесса (1.2) для функций из класса Гёльдера Нв,0 < a < 1. Скорость сходимости задаётся соответственно формулами

j(/,*)-^£j>)|=(l-;cvo[~], v>-1, ^>0, /6Я„ (1.3)

U

Ln(f,X) - ^ f(xk)lk(x) - интерполяционны!!

W,*W(L„/,x)|=c/-^l p>0, v > 0,/<r) e Ha,r eN, (1.4)

где

k=l

многочлен Лагранжа.

В §1.3 решена задача оптимизации к.ф. для с.и. с ядром Гильберта

2л

fix) = J(x,s) = —j x(<r)ctg—~— d<r , xeC2n , (1.5)

на ранее не исследованных классах аналитических, гармонических и целых функций. Получены на соответствующих классах функций порядковые величины оптимальных оценок погрешностей и указаны к.ф., реализующие эти оценки.

Введем в рассмотрение три класса функций: = ЛЙ(М) - класс функций = С2-, допускающих аналитическое продолжение в полосу {г~Ми, -А < и < А/, причем

я

2гг / x(t + ifl)e~iktdt

-а

const (¡.б)

Fz = ^(i)) - класс функций x(t) = C2a, представимых в виде x(t) = it(p, г), 0 < p < 1, где u{p,t) - гармоническая в единичном круге О < р< 1, ~7Г St Sir функция такая, что выполняется неравенство

я

1

2тг J

j и(1, i)e~iktdt

< L — const

Г* = <?"(*,) - класс целых функций, для которых константа М в (1.6) удовлетворяет соотношению

М £ Агехр[{и + ^е*] , (1.8)

где г, К V - положительные числа, а контакта А, зависит лишь от г.

С использованием тригонометрических интерполяционных полиномов

1кп —-—

по узлам 1к = , к — 1, N, по предложенной Б. Г. Габдулхаевым методике для с.и. (1.5) получены к.ф.

2ч

+1)-^— яп ; сомс-^- = 2п- 1 (1.9)

2п+ '.___

к-0 2п-1

i £ = 2« (ПО)

где db" -коэффициенты суммирования рядов, например, drf = cos--.

Приведём здесь одну из известных задач оптимизации к.ф. для с.и. (1.5). Пусть с.и. (1.5) вычисляется приближенно с помощью всевозможных к.ф. вида

fx ft J„О;f) = Yj Ak(t)x{tk) , xeF , (1.11)

к-1

где F={x} — некоторое множество функций из Счя, tk = - произвольная система попарно неэквивалентных узлов, а Ак (t) = {АкУ[ - произвольная система непрерывных функций.

Величина = «гР11й**'!1с:я , K.v* =/Ся;0 t)

называется оптимальной оценкой погрешности класса к.ф. (1.11). Определение 1°. Квадратурная формула

■V

/(*;0 * /К*;о = X • xeF ' -k=i

где Е С2„ - некоторые фиксированные функции, а г® - фиксированные узлы, называется оптимальной по порядку на классе F, если выполняется условие слабой эквивалентности supj|i?°*j| — ViV(F).

x~f

Теорема 1.13. Справедливы двусторонние оценки Уд (Fi) - Me~Nh ,h>0,Fl=An(М), Vs(F2) ,0<р<1 ,FZ = F(L),

VxiF2) - Äe e * 2,718, F3 = G4Atl

и оптимальными по порядку являются квадратурные формулы (1.9), (1.10).

Полученные результаты переносятся на с.и. с ядром Коши

1 f <p(t)cít

— i --по единичном окружности у с центром в начале координат

lTTJr т — t

комплексной плоскости Z. При этом узлами интерполяции оказываются равноотстоящие точки на окружностиjy,_а роль, класса, например,_выполняет— класс функций, аналитических в кольце e~h < ¡t| < eh с соответствующим ограничением на коэффициенты ряда Фурье-Лорана.

Глава II (§§11.1 - И.6) посвящена разработке и обоснованию прямых и проекционных методов решения СИУ с фиксированной особенностью вида

я

1 Г <7

Ах 5 х(<г) + — J hts,0)ctg-x(a)dcT = y(s)... (ц.1)

—я

где h(s,a), y(s) - известные непрерывные 2я-периодические функции, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

В §2.1 даётся постановка задачи и приводятся вспомогательные результаты из общей теории приближённых методов анализа.

В §2.2 проведено обоснование общего проекционного метода решения СИУ (II. 1) в пространстве Гёльдера Н^, 0 < ß < 1, с обычной нормой

x(t')-x(t") IWU = ma*S*(t)l + max jt_tlt}ß .

Заметим, что если коэффициенты h(s,c') и y(s) уравнения (II. 1) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а 6 (0.1], то (II.1) можно рассматривать как линейное операторное уравнение вида

Ax = x{s) + Bx , (х.уеНв). (ИЛ)'

Пусть Hß.x с Hß- произвольно фиксированное подпространство размерности N=N(n). Приближённое решение уравнения (II.1) будем искать,

л-

в виде элемента *v(s) = ^Г akek(s)eHß N , где неизвестные коэффициенты

ак определим из уравнения

Аххн = ** + РщВхя = Рцу , хя,РцуеЫр#} > (II. 2)

где Ры (а, следовательно, и AN) - линейный оператор из Hß в Нр х- Для вычислительной схемы (II. 1) - (II.2) справедлива следующая общая

Лемма 2.4. Пусть операторы Р,у: Hß Hß N таковы, что для V(p(s)eHs, ß < à < 1, в пространстве Hß справедлива оценка

\\<р-Ps<P\I ß-О (Jß^) Н(<р, S) , С a = o(Ns-P) . (И.З)

Тогда, если уравнение (IL 1) однозначно разрешимо в пространстве Hß, то приближённое уравнение (II.2) также однозначно разрешимо в пространстве Hß n, хотя бы при достаточно больших N. Решение x'^is) уравнения (II.2) при N со сходится в пространстве Hß к решению х" (s) уравнения (II.I) со скоростью

(II.4)

где ßi^iß.Ct) - произвольное число. Если операторы Pv проекционные, то справедлива оценка

И*" - <vüр - О - Р».*%) ■ 01.5)

Заметим, что при конкретных способах задания подпространств Hßи операторов PN лемма 2.4 конкретизируется, а в ряде случаев упрощается и усиливается.

В §2.3 исследуются полиномиальные методы решения уравнения (II. 1). Он состоит из пяти пунктов. В пунктах 2.1° и 2.2° исследованы соответст-

венно метод Галёркина и метод коллокации. Заметим, что если Рч - оператор Фурье ir° порядка или оператор Лагранжа по системе равноотстоящих узлов то проекционный метод, рассмотренный в §2.2, есть соответственно метод Галёркина или метод коллокации по указанным узлам для уравнения (II. 1). Доказано, что при

d'y(s) drh(s,a)

-~еНа , ду еНао , г > 0 - целое, 0 < а < 1 (II.6)

в условиях леммы 2.4 указанные методы сходятся в пространстве Ир (0 < Р < 1) со скоростью

--(П.7Г

В пункте 2.3° даётся обоснование полиномиального проекционного метода с оператором Pv, полученным применением обобщенного суммирования рядов Фурье и определяемым формулой rif) * i

РяЯ> = Р*Хт<*»*) + лГ)" ]c«k° cosks + b'f sinks). (II.8)

где dip, b f~! - коэффициенты Фурье, m=0,l.....Лр1 = cos~~ .

к к * 1

Теорема 2.3. Пусть приближённое решение x"seHp N уравнения (II. 1) определяется как точное решение приближённого уравнения

Anxn = PNrlBxN = Ру.г,дУ , (m= г) (II.9)

Тогда при выполнении соотношений (II. б) ив условиях леммы 2.4 приближённые решения существуют, единственны и сходятся в пространстве Hp к точному решению х" (s) уравнения (II. 1) со скоростью

И= ,r+ 8 > ß .

(11.10)

Отметим, что эта оценка неулучшаемая. Из неё видно, что скорость сходимости приближенных решений к точному решению выше, чем для классических методов Галёркина и коллокации.

Пункт 2.4° дополняет результаты п. 2.3°; в нем построены вычислительные схемы методов вида (II.9) при фиксированных определенным обращу-,

зом в (II.8) матрице ' и числа т.

В пункте 2.5° исследованы сплайн-методы решения уравнения (II. 1). Пусть Нрь¡ - подпространство 2л-периодических сплайнов Iго порядка на сетке узлов

-v¡ '¿ктт _

. fc = o,jv, (11.11)

и пусть P.V = Sj¡ - соответствующий оператор сплайн-интерполирования по узлам (11.11). Приближенное решение уравнения (II. 1) будем искать как точное решение уравнения

AnXn = xa + SfiBxs = , (xx.SyeHßx). (II.i2)

Теорема 2.4. Пусть выполняются условия леммы 2.4 и соотношения (11.6). Тогда, хотя бы при достаточно больших N, уравнение (IL 12) однозначно разрешимо и приближённые решения xî. сходятся в пространстве Hß к точному решению х" уравнения (II. 1) со скоростью

приг+«52,г=0Д (11.13)

= "F" г+«> 2,/?!</?,«) (11.14)

В §2.4 исследуется простой с точки зрения реализации на практике и наиболее сложный с точки зрения обоснования метод механических квадратур (м.м.к.) решения уравнения

2п 2к

b(s) Г с 1 Г

Axsx(s) + ~ J x(cr)ctg-d<? + ~\ g(s,<ñx(<ñdcr = y(s), (11.15)

ó o

где b(s), g(s,c), y(s) - известные 27с-периодические непрерывные функции.

Построены три варианта вычислительных схем м.м.к. В первом варианте приближённые решения ищутся в виде тригонометрического полинома

<v 2 V

(11.16)

xN(s) = -СйДиО - 5fe) . 7t = fc= 1

где Д„(<р)- ядро Дирихле, узлы Sk определяются формулой (11.11). Неизвестные коэффициенты ск согласно методу м.м.к. определяются из системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

b(s-) 'V 1 Л

Cj + "кСк + Ív2 ß(S>'Sk)Ck = ■ / = (11.17)

k=l fc-1

"где ~

= Jjo, fc — четно; -2ctg^.к - нечётно], N = 2и]. (11.18)

Для вычислительной схемы (11.15) - (11.18) справедлива следующая

Теорема 2.5. Пусть функции b(s), g(s,a) , y(s')ell(,, r> 0 — целое, О < а < 1. Если уравнение (II. 15) однозначно разрешимо в пространстве гёль-деровых функций Hß, 0 < ß < I, ß < r+а, то при всех N (хотя бы достаточно больших) система (11.17) также имеет единственное решение с'к. Приближённые решения

N

2

сходятся к точному решению х'(s) уравнения (11.15) в пространстве Hß со скоростью

I= (11.19)

Во втором варианте приближённое решение уравнения (11.15) определяется как точное решение следующего операторного уравнения:

Аххя = xs.(s) + PSr.,TPh- (jjxn) = Рлг1-./.У , (И.20)

где i'.v.r j определён в пункте 2.3°, а оператор РЛ< определяется формулой

Рк = 5) = <р - 5Ь) . п = [-] (Н.21)

Ь = 1

Теорема 2.6. В условиях теоремы 2.5 уравнение (П.20) имеет единственное решение (хотя бы при достаточно больших И), которое сходится в пространстве Нр к точному решению х* уравнения (II. 15) со скоростью

II*" - *дг1!/? = О (л^р) , г 4- а > р. (11.22)

Здесь также доказана оптимальность оценки погрешности приближенных решений.

Аналогичные результаты с оценками (11.13)—(11.14) получены для третьего варианта м.м.к., основанного на сплайнах Iго порядка.

В §2.5 исследуются проекционные методы решения СИУ с фиксированными особенностями вида

п

1 Г а - 5°

Лдс = *(*) + — | к(5,а)с1д—^-х{(г)с1а=у(5) (ц.23)

-я

Доказано, что скорость сходимости приближенных решений х,,, полученных проекционным методом с оператором Рл, к решению х" уравнения (11.23), в пространстве Нр даётся неравенством:

ИлГ-хЛ, йМтт{||*--Рих-||;||/'я1|-11*"-*»11}, (11.24)

В §2.6 даётся теоретическое обоснование метода вырожденных ядер для СИУ (11.1) и (11.15). Итак, ядро 1г(з,о) заменим вырожденным аппроксимирующим ядром

■V

Пк{в,а) - £ Ак(*)Бк(о)у (11.25)

к=1

где {^¿(х)}*' и {Вк(5)}^' - системы непрерывных 2я-периодических функций, хотя бы одна из которых линейно независима. Тогда СИУ (II.1) будет соответствовать приближённое уравнение

«

1 Г ег

Лых = х(5) +— I ЛЛ.(5,а)с1д-х(сг)с1сг = у(х) , (Ц.26)

—п

Имеет место следующая

Теорема 2.7. Пусть выполнены условия:

а) функции у($)еНа и

б) уравнение (II. I) однозначно разрешимо в пространстве Нр ,(} = ■;;

Нй^ЛяЦс,-- + ЯДЛ.- Лдг;/?) + ЯД/1-О при

Тогда при всех Ы, хотя бы достаточно больших, решения приближён-

ного уравнения (11.26) сходятся к точному решению х"($) уравнения (11.1) со скоростью

Н*"-*»1и= 0(£„). (11.27)

Далее, ядро g(s,a) уравнения (11.15) заменим вырожденным ядром вида

n

= ("-25)'

Здесь для с.и.у. (11.15) получен более сильный результат. Теорема 2.8. Пусть выполнены условия:

а) Ь(5),у(5)еНа и д(е,<т)еНаа, 0 < а < 1;

б) уравнение (11.15) однозначно разрешимо в пространстве Нр , 0 < р < 1;

в) = \\9 ~ ^.ч-Нг^г + Н{д- дх;р) -> 0, при N -* со. Тогда при всех N. хотя бы достаточно больших, уравнение

2л* 2 к

А*х = х(з) + ~ J х(ет)ссд^йа + 9а(^,а)х{<т)<1<т =у(5) (11.28)

имеет единственное решение Xy(s). При N -* оо приближённые решения .ïrç(s) сходятся к точному решению Ar*(s) со скоростью

= О </?<«£ 1. (Ц.29)

В главе III (§§ III.1-III3) даётся теоретическое обоснование приближенных методов решения СИУ и СИДУ с ядрами Коши в специально построенных пространствах Wp, тесно связанных с пространствами суммируемых функций £р, но которые более удобны с точки зрения приложений к приближенным методам решения указанных уравнений, чем пространства Lp. Итак, пусть

Wp(n = {<Р G LPСП S(<p; t) £ 1Р(Г)} , 1 й V & со

с нормой

Н<РПв'„(г1 = il^litpir) + il^iPSiip(rj > l^pseo (III.l)

где с.и.

1 f ф(х)

S<p = S(<p;t)=^jj (HI.2)

г

t € Г - замкнутый контур, охватывающий начало координат. Заметим, что это пространство может быть введено эквивалентным образом: wp(T) = [<р G Lp(n • <p4t) е Lp(n]

с нормой

WvWwrio « ii^ll^fr) + П«Г|||,(Г> . 1 £ р ^ оо (HI, iy

где - соответствующие предельные значения интеграла типа Коши

zër.

2m J г - t г

Отметим, что при р = оо под 1,, (Г) понимается пространство существенно огра

ниченных функций с нормой sup m'ai |<p(t)b Пространство W введено и

aitab

исследовано В.В. Ивановым.

В §3.1 рассматриваются некоторые конструктивные свойства пространств IVр ,1 о, а именно, имеют место следующие результаты.

Теорема 3.1. Пространство IV^(Г) полно по норме (III. 1) при всех р = [1. оо], При всех р = (1, со) пространства топологически эквивалентны пространствам Ьр; а в случае р = 1, со пространства IVр являются подпространствами пространства Ьр.

Теорема 3.2. При любых р = [1, со] сингулярный оператор (Ш.2) ограничен в пространстве \Мр(Г), причем справедливо равенство

-1Р$>1!игЛО-=-1_,--(Ш.З)-

В связи с равенством (Ш.З) заметим, что хотя в пространствах оператор в и ограничен при Ур е (1, ос), но его норма ¡|5Ц задается весьма громоздким выражением; более того, при р = 1, со

Этот факт сильно усложняет исследования СИУ и СИДУ в пространствах суммируемых функций. Построенные в этой главе пространства лишены

этого недостатка, т.е. они гораздо удобнее с точки зрения применения и исследования приближенных методов решения СИУ и СИДУ, чем пространства 1р. Заметим также, что является самым широким пространством, на

котором оператор сингулярного интегрирования ограничен, и при этом его норма достигает своего наименьшего возможного значения. Из выше сказанного следует оправданность введения специальных пространств

Теорема 3.3. Для любой функции / £ Ьр(у) и любых р = [1,со] справедлива оценка

НФп/Пкуг) = 0{1п6 п)\\П\1р(у>. (Ш.4)

где

(О при ре (I,«»)

(1прир=1,<»1 (llL:>)

<pnf - пыи отрезок ряда Фурье по системе функций tK,k — 0,±1,... , Г 6 }' — единичная окружность с центром в начале координат.

Теорема 3.4. Для любой функции f(t) из класса С.М. Никольского Яр*°(т.е. имеющих на у,г производных, удовлетворяющих в Lp условию Гёльдера с показателем а при Ур € [1, œ],r + а > 0, 0 < я < 1), справедлива оценка

(ш.6)

где величина S определена в формуле (III. 5).

В §3.2 рассматриваются приложения полученных выше результатов к обоснованию метода Галёркина приближенного решения характеристического СИУ

K<p = a(i)<p{t) + b(_t)S(<p-,t) = f(t), tey (III.7)

нормального типа и с нулевым индексом.

Приближенное решение уравнения (III .7) будем искать в виде полинома

п

<p„(t)= y,Cii<t - ter > (ш-8)

k--u

a неизвестные коэффициенты ch определим по методу Галёркина из СЛАУ » -1

+ bhk)ck + Y ("y-fe + bi-k)cu = fj. J = ^îMî , (Ш.9)

k-0 Jt=-n

где aj, bj, fj - коэффициенты Фурье соответственно функций a(t), b(t), f(t) по системе функций tk,k = 0,±1,„. на у. Приведем здесь лишь один результат.

Теорема 3.5. Пусть a(t),b(t) G Hr*e , f(t) £ 1ГР'а , где 1 < р < от,

г + а > 0, 0 < « < 1. Тогда система (Ш.9) имеет единственное решение {с.£ ], хотя бы при всех достаточно больших п, и приближенные решения

п

Cfct", t e Y

k=-n

сходятся к точному решению <р" (t) уравнения (III. 7) по норме права Wp(y), 1 < р < со со скоростью

(ШЛО)

г -г а > 0, а ö определена в (III. 5).

В §3.3 даётся теоретическое обоснование метода редукции для нормально разрешимых СИДУ с ядрами Коши

i—J 7Т1 J T — Г

fc=0

(III.ll)

при условиях

J <p(i)t-k-ldt = 0, k = 0, m - 1

(111.12)

где ак, ЬкЕЩ?а, уеЯ^°(г>0-целое,0<а<1,1< р< оо).

Приближенное решение ищется в виде полинома « -1

*=0 к=-п

который определяется как точное решение функционального уравнения

(111.13)

Фп

к=0 у

~ ФпУ

где

Пусть

Z1 f <p(r)dr Cj(<p) t> . Cj(<p) = — I -:-r-

j=-n

2 nij T'

r

(III. 14)

(III.15)

Y = WJj), 1 < p < .

* = W'fiY) = \<P e WP(Y) ■ <P- e Wp(r),f 0, к = 0,m-1У,

У

in

: нормой iM!x = ^¡¡Ф(ЙСО||г

с 1

k^Ö

Тогда задача (III.l 1}-(III.12) эквивалентна линейному операторному уравнению

К<р = у (<peX,y£Y-,K'-X-*Y).

Теорема 3.6. Пусть al, - bl Ф О, ind К = О и задача (III.11)-(Ш.12)

имеет единственное решение <р* при любой правой части

y(t) € WpCy), 1 <pS«o. Тогда при всех п, хотя бы достаточно больших,

уравнение (III. 14) также имеет единственное решение ср'п (i) е Хп. При

п -» оо приближенные решения

п -1

<p'n(t) = £ ак tk*m + £ a'ktk , t G у (III. 13)'

*=0 k--n

сходятся к точному решению <р~ (t) в пространстве X ~ (у) со скоростью

\\<p-(t) - = О (in. 16)

Следствие. В условиях теоремы 3.6 приближенные решения (pj.(t) и их производные (t), j = 1,т, равномерно сходятся к точному решению <рп (t) и к его соответствующим производным <р ® (£), j — 1,т, со скоростью

d}<p'(0 (С)

dV dt>

Отметим, что некоторые из полученных здесь результатов распространены на полные СИДУ

п . ^

Их 5 У ак(1)<рЫ(1) + 1 V (-т)(1т+ (Т(рШ = уСО, (111.18)

7Н „> Т — Г-

к=0 у

где Т — линейный оператор из пространства X в пространство У.

Основные результаты, выносящиеся на защиту:

1. Разработаны полиномиальные аппроксимации для сингулярного интеграла с ядром Коши на отрезке [-1;1] с весом р(х) = М"(1 х2у, /|>-1, г >-I. Найдены порядковые величины оптимальных оценок погрешностей для с.и. с ядрами Гильберта и Коши в трех новых классах периодических функций, и построены квадратурные формулы, реализующие эти оценки на данных классах плотностей.

2. Установлено теоретическое обоснование общего проекционного метода решения одного класса СИУ с фиксированными особенностями и его конкретных реализаций (методов Галёркина, коллокации, суммирования рядов Фурье, сплайн-методов).

3. Разработаны и теоретически обоснованы три варианта метода механических квадратур решения СИУ с фиксированными особенностями, основанные на аппроксимации тригонометрическими многочленами и сплайн-функциями первого порядка.

4. Построены и изучены свойства функциональных пространств 1Ур, в

которых норма сингулярного оператора с ядром Коши ограничена и равна 1 при любых 1 < р < со.

5. Дано теоретическое обоснование в пространствах IVр полиномиальных

проекционных методов решения сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с ядрами Коши по единичной окружности с центром в начале координат.

В заключение автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору |Б.Г. Габдулхаеву за постановку задач и постоянное внимание к

работе.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Хазириши Э.О. О некоторых ортогональных системах функций. /Э.О. Хази-риши/ Изв. вузов. Матем., 1981, №6 (229), с.59-64.

2. Хазириши Э.О. О приближенном вычислении сингулярных интегралов со специальными весами. /Э.О. Хазириши/ Тезисы IX конф. мат-ов высш. уч. заведений, Груз. ССР, г. Батуми, 1981. с. 75-76.

3. Хазириши Э.О. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с ядрами Коши. /Э.О. Хазириши/ Тез. докл. научной сессии АГУ, Сухуми, 1982, с.20-21.

4. Хазириши Э.О. О приближенных решениях сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. /Э.О. Хазириши/ Вестник Адыгейского ун-та, №2,1999, с. 56-59.

5. Хазириши Э.О. Об оптимальных по точности квадратурных формулах для сингулярного интеграла. /Э.О. Хазириши/ Труды Абх. ун-та, 1987, т.5, с. 161-169.

6. Хазириши Э.О. Один аналог формулы Кристофеля-Дарбу. /Э.О. Хазириши/ Труды Абх. ун-та, 1985,т.З, с.230-233.

7. Хазириши Э.О. Оптимизация квадратных формул для сингулярных интегралов. /Э.О. Хазириши/ Доклады Адыгейской (Черкесской) международной Академии наук, т.2, №1, Н., 1996, с.34-39.

8. Хазириши Э.О. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений с дискретными особенностями. /Э.О. Хазириши/ Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума, г. Одесса, 1991, с.61-62.

9. Габдулхаев Б.Г. О приближенных решениях сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, Э.О. Хазириши/ Сообщ. АН ГССР, 1985, т.117, с.249-252.

10. Габдулхаев Б.Г. Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированными особенностями. /Б.Г. Габдулхаев, Э.О. Хазириши/ Актуальные проблемы математики механики. Материалы международной научной конференции, Казань, 2004, с.76-78.

11. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения одного класса сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, Э.О. Хазириши/ Дифференц. уравнения. 1986. т.ХХН, №3, с.496-503.

12. Хазириши Э.О. Прямой метод решения одного класса сингулярных интегральных уравнений. /Э.О. Хазириши, Н.Т. Халитов, Л.Е. Шувалова/. Труды матем. центра имени Лобачевского Н.И. Материалы международной научной конференции, Казань, 2002, с. 125-127.

ХАЗИРИШИ ЭНВЕР ОСМАНОВИЧ

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСОБЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Автореферат

Подписано в печать 06.05.09. Бумага типографская № 1. Формат бумаги 60x84. Гарнитура Times New Roman. Печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 061.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Адыгейского государственного университета. 385000, г.Майкоп, ул. Университете кал, 208.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

§1.1. некоторые вопросы конструктивной теории функций.

1°. Об ортогональности производных некоторых систем функций.

2°. Об одном классе ортогональных полиномов.

3°. Полиномы Л.В. Канторовича и их сходимость.

§ 1.2. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши на отрезке.

§ 1.3. Оптимизация квадратурных формул для сингулярных интегралов.

ГЛАВА 11. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§2.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты из общей теории приближенных методов.

§ 2.2. Общий проекционный метод и его сходимость.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена прямым и, в частности, проекционным методам решения различных классов одномерных сингулярных интегральных и интегрально-дифференциальных уравнений (кратко: с.и.у. и с.и.д.у.); а также приближенным методам вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта.

1. Актуальность темы. Хорошо известно [14, 27, 55, 11, 62], что многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, астрофизики, электродинамики, теории упругости и т.д. приводят к различным классам сингулярных интегральных и сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В подавляющем большинстве случаев решить такие уравнения в замкнутом виде не удается. Поэтому как для теории (которая в настоящее время достаточно хорошо разработана), так и для практики, важна и необходима разработка приближенных методов их решения с соответствующим теоретическим обоснованием. Под теоретическим обоснованием [63] следуя академику Л.В. Канторовичу, мы понимаем следующий круг вопросов:

1) Доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений.

2) Доказательство сходимости приближенных решений к точному решению.

3) Установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

Далее заметим, что когда даже в весьма редких частных случаях существуют решения с.и.у. в замкнутом виде, то для доведения результата до числа требуется вычисление сингулярных интегралов (с.и.). Поэтому естественно возникает необходимость разработки приближенных методов вычисления с.и.

За последние годы значительное развитие получили приближенные методы вычисления с.и. [9, 13, 29, 43] и решения различных классов с.и.у. и с.и.д.у [9, 15-20, 49, 59, 60]. Однако, несмотря на сказанное выше, здесь все еще остается много нерешенных задач, связанных со строгим теоретическим обоснованием приближенных методов, а также с их сравнительным анализом. Настоящая диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.

2. Цель работы. Работа посвящена вопросам дальнейшего развития методов приближенного вычисления с.и. с ядрами Коши и Гильберта и оптимизации методов по порядку; разработке прямых методов решения ряда классов интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с теоретическим обоснованием.

3. Методика исследований. При выводе и обосновании получаемых в работе результатов существенно используются некоторые положения из конструктивной теории функций, общей теории приближенных методов функционального анализа, теории функций и приближений, теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; при этом мы следуем методике изложенной в монографиях Б.Г. Габдулхаева [22, 27, 30].

4. Научная новизна. Получен ряд новых квадратурных формул для с.и. и дан способ оценки погрешности к.ф. для с.и. с ядрами Коши и Гильберта. Доказана оптимальность по порядку некоторых из этих к.ф. на ранее нерассмотренных классах аналитических, гармонических и целых функций. Предложены полиномиальные методы, сплайн-методы и различные варианты метода механических квадратур решения ряда классов с.и.у. Построено функциональное пространство \¥р, в котором сингулярный оператор с ядром Коши, ограничен при любых 1 < р < оо. В метрике указанного пространства дается эффективная оценка приближенного решения характеристического с.и.у. и сингулярного интегро-дифференциального уравнения.

5. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты пополняют общую теорию приближенного интегрирования, могут найти применения при дальнейшем развитии приближенных методов при решении конкретных прикладных задач, встречающихся в механике, математической физике и других областях, приводящих к с.и., с.и.у. и с.и.д.у.

Диссертация является самостоятельным исследованием автора, по ее материалам им опубликованы 12 работ [105-116]. В работах [113-115], постановки всех задач принадлежат первому соавтору - научному руководителю профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву, остальная часть выполнена автором. В работе [116] вклад авторов примерно одинаков.

Значительные результаты в этой области получены В.В. Ивановым [60], А.А. Бабаевым [3], Б.Г. Габдулхаевым [27, 30], И.К. Лифановым [9], М.А. Шешко [104]. В развитие приближенных методов решения таких задач весомый вклад внесли также Пресдорф [85], Д.Г. Саникадзе [89, 90], Б.И. Мусаев [78, 79] и другие. Подробный обзор полученных в этом направлении результатов и обширную библиографию можно найти в специальных обзорных работах В.В. Иванова [56], Б.Г. Габдулхаева [14] и в монографиях этих же авторов [22, 60].

Ниже мы кратко остановимся лишь на работах, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации. Рассмотрим с.и. видов:

Jx = J(x-,t)= \p{r)x{r)dT, te(-l; 1) (0.1)

-1 T~t

1 2л (J — s

Jx = J(x;s) =— \x((T)ctg-da, xe (0.2)

2лг 0J 2

Первые результаты по квадратурным формулам (к.ф.) для с.и. вида (0.1) получены В.В. Ивановым (см. [60]). Б.Г. Габдулхаев (см. гл. I [22]) подробно исследовал наиболее удобные для приложений интерполяционные к.ф. для с.и. (0.2). Им получены весьма эффективные равномерные оценки погрешности этих формул на различных классах функций.

Исследования Б.Г. Габдулхаева по к.ф. для (0.1) и (0.2) продолжены в диссертациях его учеников JI.A. Онегова [84], Р.Н. Шарипова [101], JI.A. Апайчевой [1]; в работах Б.И. Мусаева и В.В. Салаева [79], Ф.Д. Гахова и И.Х. Фесчиева [43] и других.

Далее остановимся на некоторых результатах Г.Н. Пыхтеева и ряда его последователей. В работах [87, 88] выводятся формулы для вычисления с.и. (0.1) при /0(0 = 1 и pit) = (I-/2) 2, их(г)е На [-1; 1]. Эти формулы содержат полиномы Чебышева и специальные функции - полилогарифмы. Им указаны некоторые классы функций, от которых с.и. вычисляется точно. В работах Д.Г. Саникидзе [89; 90] получен ряд к.ф. для с.и. (0.1), основанных на выделении регулярной части с.и. и применении к последней какой-либо известной к.ф. Погрешности предлагаемых к.ф. оцениваются для непрерывно дифференцируемых плотностей.

В работах М.А. Шешко [103, 104] рассматриваются вопросы сходимости к.ф. для с.и. (0.1) в классе плотностей На, 0 < а < 1; в качестве узлов к.ф. приняты корни полиномов Якоби с весом p(t)=(l-t)a(l+t)ß при а>-1, ß > -1. В частности при а > 0, ß > 0 установлены некоторые равномерные оценки на [-1; 1].

В работе A.A. Бабаева и P.C. Садырханова [3] для с.и. при Ь = [а; Ь], где а, Ь - действительные числа, вводится к.ф. и доказывается ее, равномерная сходимость на любом внутреннем для [а; Ь] отрезке и устанавливается скорость сходимости. В работе болгарских математиков

66] рассматриваются различные к.ф. для с.и. (0.1) при />(0 = (1-г) 2, устанавливаются оценки погрешности к.ф. в равномерной и среднеквадратичной метриках.

В последние годы появилось довольно большое количество работ, посвященных методам приближенного вычисление с.и. В связи с этим возникла задача построения и исследования наилучших (т.е. оптимальных) в каком-либо смысле методов вычисления различных классов сингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения по Коши.

Заметим, что вопрос об оптимизации квадратурных формул для регулярных интегралов в настоящее время можно считать достаточно хорошо разработанным (см. монографии Н.С. Бахвалова [7], В.И. Крылова [72], С.М. Никольского и Н.П. Корнейчука [82]), чего нельзя сказать об оптимизации к.ф. для сингулярных интегралов. Дадим краткий обзор.

Первые результаты по оптимизации квадратурных формул для с.и. получены В. В. Ивановым [57], а затем (другим способом и в иной т [T-t постановке) Б.Г. Габдулхаевым [21-24], см. также [34].

Задача оптимизации к.ф. для с.и. (0.2) поставлена в гл. III монографии [22] следующим образом: с.и. (0.2) вычисляется приближенно с помощью к.ф.

J(x-,s)~JNx = J(Pnx;s), xeFaX, Рпе%, (0.3)

Pn:X-+XnczC2„, где X = С2п или Ь2(0, 2ж), F = {х} — некоторое множество из X, а <Рп={Рп} — некоторое множество конечномерных операторов Рп, отображающих X на подпространство 1„сХ размерности не выше N=N(n), где п - некоторое натуральное число. За оптимальную оценку погрешности класса к.ф. (0.3) предложена величина:

VN (F) = inf inf sup || Jx - JPnx || X, (0.4)

Xn<zX Pn G fn xeFczX где внешний inf берется по всем конечномерным подпространствам ХпаХ размерности не выше N=N(n).

При этом в гл. III [22] рассмотрены пять классов операторов fPn={Pn},

Рп : X —> Хп, и в каждом случае на основе результатов конструктивной теории функций и теории поперечников множеств в пространствах С2л и L2 (0, 2п) установлены достаточные условия оптимальности (по порядку и асимптотической) к.ф. для с.и. (0.2) на ряде классов функций. Ясно, что формула (0.3) эквивалента следующей: n

J(x-,S) - J{Pnx\s) = ^Ak(s)fk(x), хе С2л, (0.5) к=1 где {Ак (¿')}Г ~{A{kN)}<^-C2n - некоторая система непрерывных функций, не зависящих от плотности х(ст), a {fk - некоторая система непрерывных (вообще говоря, нелинейных) функционалов в пространстве Cl7l. В частном случае, когда fk(x) = x(sk),k = 1,N , где {^Jf - некоторая система попарно неэквивалентных узлов, имеем к.ф. в обычном смысле: n

Jx = JN(x-,s) = Y,Ak(s)x(sk), (0.51) к=1 т.е. построенную на основании информации, заданной значениями плотности в узлах. В этом случае оптимальная оценка погрешности определяется следующим образом:

Vn(F)= inf sup || Jx — Jnx j| Cln. (0.41) xzF

В работе [23] для с.и. с ядром Гильберта, плотность которого принадлежит компактному множеству F с С2п, предложен метод оптимизации квадратурных формул, основанный на теории поперечников компактов в функциональных пространствах С2п и Ь2(0, 2п). В частности, установлены достаточные условия оптимальности по порядку, а также асимптотической оптимальности, ряда классов квадратурных формул на некоторых компактных классах гладких периодических функций. Исследования по оптимизации квадратурных формул для с.и. продолжены в работах JI.A. Онегова [84], JI.A. Апайчевой [1], Б.И. Мусаева [78] и других; подробный результат соответствующих результатов имеется в обзорной работе [14] и диссертации Р.Н. Шарипова [101]. В работе [21] для одномерного с.и. с ядром Гильберта рассмотрена оптимизация квадратурных формул с простыми фиксированными равноотстоящими узлами на классах дифференцируемых функций, определяемых модулем непрерывности. В работе Ю.И. Маковоза и М.А. Шешко [76] показана оптимальность по порядку на классе На[-1, 1], 0 < а < 1 , к.ф. для с.и. с ядром Коши, основанной на аппроксимации плотности интерполяционными полигонами в равноотстоящих узлах.

Начиная с тридцатых годов прошлого века, когда ещё не было полной ясности в теории сингулярных интегральных уравнений, стали разрабатываться приближенные методы их решения (М.А. Лаврентьев, М.В. Келдыш, Г. Мультхоп). В настоящее время теорию приближенных методов решения с.и.у. можно считать достаточно хорошо разработанной. Основные результаты в этом направлении изложены в монографиях В.В. Иванова [54, 60], Б.Г. Габдулхаева [22, 27, 30], С.М. Белоцерковского - И.К. Лифанова [9], М.А. Шешко [288].

Дадим краткий обзор результатов по прямым методам решения одномерных сингулярных и интегро-дифференциальных уравнений с интегралами в смысле главного значения по Коши. По определению академика С.Л. Соболева, прямыми методами решения операторных (в том числе и сингулярных) уравнений называются такие приближенные методы, которые приводят к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этими методами мы и пользуемся при решении некоторых классов с.и.у. и с.и.д.у. из глав II и III этой диссертации.

Рассмотрим с.и.у. нормального типа с подвижной особенностью

А* = а(*)*(0 + — + \к(т,1)х(т)с1т=у(0, (Еу (Об)

71 * т-г 2Ш * / К У

Ах = а(г)х({) + Гх(т)щ-с1т + — \к(т, 1)х{т)<1т = у(*) (о 7)

2я ~ 2 2тс £ где а, Ь, к (по обоим аргументам) и у - известные непрерывные функции, д; - искомая функция, а у - единичная окружность с центром в начале координат.

В работах [26, 27, 30] предложено обоснование проекционных методов решения с.и.у. вида (0.6) и (0.7); рассмотрены методы коллокации, Галеркина, подобластей и наименьших квадратов в пространстве Нр, Ьр (1 < р < °о), Яр (1 < р < со, 0 < Р < 1) и С. Установленные оценки погрешностей исследуемых методов, обладающих тем свойством, что они автоматически прослеживают структурные свойства коэффициентов этих уравнений. Первые результаты по методу механических квадратур (м.м.к.) для уравнения (0.7) получены Б.Г. Габдулхаевым в работах [18,39]. Им предложены вычислительные схемы м.м.к., основанные на применении квадратурных формул по N=211+1 равноотстоящим узлам, и дано их теоретическое обоснование в пространстве гёльдеровых функций Нр (0 < р < 1). В работе [38] дано теоретическое обоснование в пространстве функций Ь2=Ь2(0, 2к) вычислительных схем м.м.к. из [18,19,39], и установлены эффективные оценки погрешности; при этом равномерная сходимость м.м.к. была доказана как следствие сходимости в среднем. В случае с с.и.у. с ядром Гильберта в работах [29, 35] рассмотрены сходимости методов коллокации и механических квадратур в пространствах Hp и Сгя- В ряде работ Пресдорфа и Зильбермана (см. [85, 86]) результаты работ [18, 20, 25, 26, 31, 35, 36], полученные для квадратурных и коллокационных методов решения уравнений (0.6), (0.7) в пространствах Hp и Lp, перенесены на системы уравнений вида (0.6). Заметим, что в монографии [85] излагается также большое число интересных результатов по проекционным методам решения различных классов с.и.у.

Пусть Г=£/Г=1Гк , где Гк - гладкие контуры, имеющие общими только концы сь с2, .сп; и ПС(Г) - множество ограниченных измеримых функций, имеющих конечные предельные значения при стремлении t к toe Г, вдоль каждой дуги этого контура. Цель работы Р.В. Дудучава [51] составляет исследование условий нётеровости и индекса с.и.у. с фиксированными особенностями вида

A(p = a(t)(p(t) + — ¡k(T,t)(p(T)dT = f(t), (0.8) лх гт t0 г где a(t), Ь(0еПС(Г), а интегральный оператор с ядром к (т, t) вполне непрерывен в пространстве Lp (Г). В работе [98] приближения искомой функции ф(т) в с.и.у. (0.8) ищется в виде полинома j=l и дается оценка быстроты сходимости в пространстве Hp (0 < ср < 1) в виде соотношения ф - фп II < En» где бп > 0 при п—> СО.

Многие задачи, имеющие важное прикладное значение, приводятся к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению (с.и.д.у.) вида: r=0 f(t), te Г (0.9) тй*г Г-Г где я/г), кг(Ь т),/(т) - заданные функции.

Уравнение вида (0.9) рассмотрел впервые Л.Г. Магнарадзе [74]. Допуская, что ап кп /- достаточное число раз дифференцируемые функции, а Г - простой замкнутый контур, он сводит это уравнение к эквивалентному сингулярному или регулярному интегральному уравнению в виде сводки формул без указания способа их получения, и как утверждает Ю.М. Крикунов [70,71] с ошибками, неполно и очень сложно.

В этих работах для с.и.д.у. (0.9) ставится задача: определить функцию ср^), принадлежащую классу так, чтобы она удовлетворяла уравнению (0.9) и граничным условиям

Решение этой задачи он сводит к решению обобщенной краевой задачи Римана.

В работе Г.Х. Кирова [65] доказывается устойчивость решения задачи

0.9) - (0.10) в пространствах Нт+Р и , где Нт+р = И%\у) - линейное нормированное пространство ш раз непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (0.10), и таких, что с

В работе [33] дано обоснование полиномиального метода В.К. Дзядыка [50] для решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами Гильберта. В [26] решения с.и.д.у. вида (0.9)-(0.10) предлагается квадратурно-интерполяционный метод, сочетающий в себе элементы м.м.к. и интерполяционного метода. Доказывается сходимость указанного метода, и устанавливаются оценки погрешности в пространствах Нт+Р и

0 < Р < 1. Изучается влияние свойств коэффициентов уравнения (0.9) на скорость сходимости квадратурно-интерполяционного метода, а также методов коллокации и редукции в пространствах С.М. Никольского.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Нумерация формул ведется по главам. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формируется цель работы, проводится обзор литературы по исследуемой теме, излагается краткое содержание диссертации.

1. Апайчева Л.А. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений /Л.А. Апайчева/ Дис.канд. физ-мат. наук: 01.01.01, 1986, 119 с.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. /Н.И. Ахиезер/ М.: Наука, 1965, 407 с.

3. Бабаев А.А. Об одном квадратурном процессе для сингулярного интеграла и его приложений. /А.А. Бабаев, Р.С. Садырханов/ Докл. АН СССР, 1974, т.214, №4, с. 743-746.

4. Baxter G.A. norm inequality for a "finite-section" Wiener-Hopt equations. /G.A. Baxter/ Illinois J.Math. 7 (1963), c. 97-103.

5. Бари H.K. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций. /Н.К. Бари/ Изв. АН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, №5, 285-302 с.

6. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. /Н.К. Бари/ М.: Физматгиз, 1961,936 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы, т. I /Н.С. Бахвалов/ М.: Наука, 1975,631с.

8. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. /Г. Бейтмен, А. Эрдей/ -1973,456 с.

9. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. /С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов/ -М.: Наука, 1985,256 с.

10. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений. /И.В. Бойков, И.И. Жечев/. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, №8, с. 1493 — 1502.

11. Велев Г.Д. К приближенному вычислению сингулярных интегралов. /Т.Д. Велев, JI.A. Апайчева/ Функциональный анализ и его приложения. - Казан. Ун-т. - 1975, с.52-59.

12. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов /Б.Г. Габдулхаев/ Казань, 1968. - Вып. 5. - с. 20-22.

13. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем. 1971, №6, с. 15-23.

14. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов. III. /Б.Г. Габдулхаев/ Годишн. Софийск. Ун-т. Мат. Фак. 168-1969 (1970). 63, с. 39-51.

15. Габдулхаев Б.Г. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. 3-й Сибирск. Конференции по мат. и мех. 1964. Томск, Изд-во Томск. Ун-та, 1964, с. 92-94.

16. Габдулхаев Б.Г. Об одном общем квадратном процессе и его применении к приближённому решению сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР, 1968.179, №3, с. 515517.

17. Габдулхаев Б.Г. Об одном прямом методе решения интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем., 1965, №3, с. 51-60.

18. Габдулхаев Б.Г. Об оптимальных квадратурных формулах для сингулярных интегралов. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем. -Матем. - 1978. - №3. - с. 24-39.

19. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. /Б.Г. Габдулхаев/ Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1980, 232 с.

20. Габдулхаев Б.Г. Поперечники и оптимальные квадратурные формулы для сингулярных интегралов. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР, 1977, т.2,№3, с. 513-516.

21. Габдулхаев Б.Г. Поперечники и оптимизация численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ -Изв. вузов. Матем., 1977, №8. с.95-98.

22. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР, 1968. 179, №2, с. 260-263.

23. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов, Матем., №4, 1972, с.32-43.

24. Габдулхаев Б.Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и их некоторые применения. /Б.Г. Габдулхаев/ Уч.,зап. Казанск. ун-та, 1965, 125, №2, с. 7-17.

25. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Казань, 1995, 288 с.

26. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация в Н-пространствах и приложения. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР,- 1975. т.223, №6.- с. 1293-1296.

27. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Тезисы научных сооб. Международной конф. по теории приближенных функций. Калуга, 24-28 июля 1975 г. с.26-27.

28. Габдулхаев Б.Г. Полиномиальные аппроксимации по В. К. Дзядыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем., 1978, №6, с. 51-62.

29. Габдулхаев Б.Г. Решение нелинейных интегральных уравнений методом редукции. /Б.Г. Габдулхаев, В.Е. Горлов/ Изв. вузов. Математика. 1976.- №2.- с.3-13

30. Габдулхаев Б.Г. Метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, П.Н. Душков/ Изв. вузов. Мат., 1974. №12, с. 3-14.

31. Габдулхаев Б.Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем. 1972.- №12.- с.23-39.

32. Габдулхаев Б.Г. Квадратурные кубатурные формулы для сингулярных интегралов и их некоторые приложения. /Б.Г. Габдулхаев/ Межд. конф. по конструкт. Теории функций. Резюме докл. Варна, 1970, с.3-4

33. Габдулхаев Б.Г. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г.Габдулхаев/Изв. вузов, Матем., 1965, №5, с.43-51.

34. Гагаев Б.М. О некоторых классах ортогональных функций. /Б.М.Гагаев/ Изв. АН СССР, сер., матем., 1946, т.Ю, с. 197-206.

35. Гагаев Б.М. Ортогональные системы функций, в которых система производных также ортогональна. /Б.М. Гагаев/ Тр. Рязанск. радиотехн. ин-та. дифференц. уравн. 1969, вып. 20, с. 3-9.

36. Гахов Ф.Д. Краевые Задачи. /Ф.Д. Гахов/ М.: Наука, 1977, 640 с.

37. Гахов Ф.Д. О приближенном вычисление сингулярных интегралов. /Ф.Д. Гахов, И.Х. Фесчиев/ Изв. АН БССР. сер. физ.-мат. наук. -1977.-№4.-с.5-12.

38. Гохберг И.Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. /И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник/ Кишинев, Штиница, 1973, 426 с.

39. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. /И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман/ М.: Наука, 1971, 352 с.-11646. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. /И.С. Градштейн, И.М. Рыжик/ М.: ГИФМЛ, 1962, 1115 с.

40. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. /И.К.Даугавет/ Л.: Изд-во ЛГУ, 1977, 184 с.

41. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. /Д. Джексон/ -М.: 1948, 260 с.

42. Джуракулов Р. О доведении до числа решений сингулярных интегральных уравнений, представленных в замкнутой форме. /Р.Джаракулов, В.В. Иванов, М.И. Исраилов/ Изв. вузов. 1982., №4 (239), с. -27-34

43. Дзядык В.К. Введение в теорию приближения функций. /В.К.Дзядык/ Изд-во ЛГУ, 1977, 487 с.

44. Дудучава Р.В. Сингулярные интегральные уравнения с фиксированными особенностями в ядре на кусочно-гладких линиях. /Р.В. Дудачава/ Сообщ. АН ГССР 1978, т.91., №2. с. 293-296.

45. Завялов Ю.С. Методы сплайн функций. /Ю.С. Завялов, И.Б. Квасов, В.Л. Мирошниченко/М.: Наука, 1980, 352 с.

46. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. /А. Зигмунд/ I. М.: Мир, 1965,618 с.

47. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. /В.В. Иванов/ Киев: Наукова думка, 1986, 584 с.

48. Иванов В.В. Об оптимальных алгоритмах вычисления сингулярных интегралов. /В.В. Иванов/ ДАН СССР, 204, №1. 1972, с.21-24.

49. Иванов В.В. Об оптимальных по точности алгоритмах приближения функции некоторых классов ЭВМ. /В.В. Иванов/ В кн.: Теория приближения функций, М., Наука, 1977, с. 195-200.

50. Иванов В.В. Приближенное решение особых интегральных уравнений. /В.В. Иванов/ДАН СССР, 1956. т.110, №1, с. 15-18.

51. Иванов В.В. Теория приближенных методов и её применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. /В.В.Иванов/ Киев: Наукова думка, 1968, 287 с.

52. Иванов В.В. Приложение теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений в теории автоматического управления. /В.В.Иванов/ Дифф. ур-ия 7, №2, 1971, с. 355-358.

53. Каландия И.А. Об одном прямом методе решения уравнения теории крыла и его применения в теорию упругости. /И.А. Каландия/ Мат. сборник, т. 42(84), №2,1957, с. 247-271.

54. Канторович JI.B. Функциональный анализ в нормированных пространствах. /Л.В. Канторович, Г.П. Акилов/ М.: Физматгиз, 1959, 684 с.

55. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа. /Л.В.Канторович, В.И. Крылов/ М.: Физматгиз, 1962, 708 с.

56. Киров Г.Х. Върху устойчивстта на решенията на сингулярною интегро-дифференциално уравнения. /Г.Х. Киров/ Научн. тр. Высш. пед. ин-т Пловдив, 1970, 8, №1, с. 17-24.

57. Киров Г.Х. О приближенном вычисление сингулярных интегралов. /Г.Х. Киров, М.С. Найденова, Т.С. Железнякова/ Научн. тр. Пловдив, ун-т, 1972, т. 10, №2, с. 35-45.

58. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. /А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин/ М.: Наука, 1981, 544 с.

59. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. /Н.П.Корнейчук/ М.: Наука, 1976, 320 с.

60. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений /М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б.Рутицкий, В.Я. Стаценко/ М.: Наука, 1969, 455 с.

61. Крикунов Ю.М. Обобщенная краевая задача Римана и линейное сингулярное интегро-дифференциальное уравнение. /Ю.М. Крикунов/ Учен. зап. КГУ. Казань, т.116. кн.4, 1956, с. 195-200.

62. Крикунов Ю.М. О решении обобщенной краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения. /Ю.М. Крикунов/ Уч.зап. Казанск. ун-та, т.112, №10, 1952, с.191-199.

63. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. /В.И. Крылов/ М.: Наука, 1967, 500 с.

64. Магомедов Г.М. Об интегральных уравнениях с фиксированной сингулярностью. /Г.М. Магомедов/ ДАН СССР. 1973, т.209, №3, с. 548-550.

65. Маковоз Ю.И. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла. /Ю.И. Маковоз, М.А. Шешко/ Изв. АН БССР, сер. физ-мат. наук 1977. - №6. с.36-41.

66. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. /С.Г. Михлин/ М., 1962. 254 с.

67. Мусаев Б.И. Об одном общем квадратурном процессе для особого интеграла. /Б.И. Мусаев/ Докл. АН Аз. ССР. 1983. - т.99 №1, с. 7-10

68. Мусаев Б.И. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла с ядром Гильберта. /Б.И. Мусаев, В.В. Салаев/ Сб.: проблемы теории функций. Материалы всесоюзной школы по теории функций. Баку, 1977. 1980, с. 186-195.

69. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. /Н.И.Мусхелишвили/ М.: Физматгиз, 1968, 512 с.

70. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. /И.П. Натансон/ М, - Л.: Гостехиздат, 1949, 688 с.

71. Никольский СМ. Квадратурные формулы. /С.М. Никольский/ М.: Наука, 1974, 253 с.

72. Никольский СМ. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многихпеременных. /С.М. Никольский/ Труды. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1951.т.38. с. 244-278.

73. Онегов Л.А. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов. /Л.А. Онегов/ Дис. канд. физ-мат. наука: 01 01 01 Защищена 26.04.79; к231113. - Казань, 1979, 149 с.

74. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. /З.Пресдорф/ М.:Мир, 1979, 493 с.

75. Пресдорф 3. О сходимости методов редукции и ко л локации для систем сингулярных интегральных уравнений. /3. Пресдорф, Б.Зильберман/ ДАН СССР, т.226, 1976, №3.

76. Пыхтеев Г.Н. О вычислении некоторых сингулярных интегралов с ядром типаКоши. /Г.Н. Пыхтеев/ПММ. Т.ХХ1И, 1959, с. 1074-1082.

77. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. /Г.Н.Пыхтеев/ Новосибирск: Наука, 1982, 128 с.

78. Саникидзе Д.Г. Квадратурные процессы для интегралов типа Коши. /Д.Г. Саникидзе/ Математ. заметки. -1972. т.11, №5, с.517-526.

79. Саникидзе Д.Г. О сходимости квадратурного процесса для некоторых сингулярных интегралов. /Д.Г. Саникидзе/ Журнал вычисл. матем. И мат. физ., т. 10, №1, 1970, с. 189-196.

80. Сегё Г. Ортогональные многочлены. /Г. Сегё/ М.: 1962, 495 с.

81. Софронов И.Д. Приближенному решению сингулярных интегральных уравнений. /И.Д. Софронов/. ДАН СССР, 1956, т.111, №1.

82. Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике. /С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин/ М.: Наука, 1976, 249 с.

83. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. /П.К. Суетин/ М.: Наука, 1976, 327 с.

84. Тимман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. /А.Ф. Тимман/ М.: Физматгиз, 1960, 624 с.

85. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. /В.М.Тихомиров/ М.: МГУ, 1976, с. 304.

86. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач. /А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин/ 3-е изд., исправлен. - М.:Наука, 1986, 288 с.

87. Унгиадзе A.B. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с неподвижными особенностями. /A.B. Унгиадзе/ Труды Тбил. мат. ин-та, 1987, т87, с. 126-135.

88. Фадеев Н.П. О дифференциальных уравнениях для некоторых ортогональных многочленов. /Н.П. Фадеев/ Изв. вузов. Матем. 1976, №5, с. 99-103.

89. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций. Сингулярные интегральные уравнения и некоторых их приложения. /Б.В. Хведелидзе/ Труды Тбилисского Матем. ин-та Ан Груз. ССР, т.23, 1957, с. 3-158.

90. Шарипов Р.Н. Оптимальные по порядку методы вычисления сингулярных интегралов /Р.Н. Шарипов/ Дис.канд. физ-мат наук. 01.01.01. Защищена 1983 Казань, 106 с.

91. Шешко М.А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. /М.А. Шешко/ ДАН БССР, 1977, т.21, №12, с. 1067-1069.

92. Шешко М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла. Изв. вузов. Матем. 1976, №12, с. 108-118.

93. Шешко М.А. Сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши и Гильберта и их приближенное решение. /М.А. Шешко/ Люблин, 2003, 288с.

94. Хазириши Э.О. О некоторых ортогональных системах функций. /Э.О.Хазириши/ Изв. вузов. Матем., 1981, №6 (229), с.59-64.

95. Хазириши Э.О. О приближенном вычислении сингулярных интегралов со специальными весами. /Э.О. Хазириши/ Тезисы, IX Конф. мат-ов высш. уч. заведений, Груз. ССР, г. Батуми, 1981. с. 7576.

96. Хазириши Э.О. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с ядром Коши. /Э.О. Хазириши/ Тез. докл. Научной сессии АТУ, Сухуми, 1982, с.20-21.

97. Хазириши Э.О. О приближенных решениях сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. /Э.О. Хазириши/ Вестник Адыгейского ун-та, №2, 1999, с. 56-59.

98. Хазириши Э.О. Об оптимальных по точности квадратурных формулах для сингулярного интеграла. /Э.О. Хазириши/ Труды Абх. ун-та, 1987, т.5, с. 161-169.

99. Хазириши Э.О. Один аналог формулы Кристоффеля-Дарбу. /Э.О.Хазириши/ Труды Абх. ун-та, 1985, т.З, с. 230-233.

100. Хазириши Э.О. Оптимизация квадратных формул для сингулярных интегралов. /Э.О. Хазириши/ Доклады адыгской (черкесской) международной Академии наук, т.2, №1, Н., 1996, с.34-39.

101. Хазириши Э.О. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений с дискретными особенностями.Э.О.Хазириши/ Тезисы, докладов V всесоюзного симпозиума, г. Одесса, 1991, с. 61-62.

102. Габдулхаев Б.Г. О приближенных решениях сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, Э.О. Хазириши/ Сообщ. АН ГССР, 1985, т.117, №2, с. 249-252.

103. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения одного класса сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, Э.О. Хазириши/ Дифф. ур-ия. 1986. т.ХХП, №3, с. 496-503.

104. Хазириши Э.О Прямой метод решения одного класса сингулярных интегральных уравнений. /Э.О. Хазириши, Н.Т. Халитов, Л.Е.Шувалова/. Труды мат. центра имени Лобачевского Н.И. Материалы международной научной конференции, Казань, 2002, с. 125-130.