Анализ итеративных методов расчета фазовых функций дифракционных оптических элементов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

од

На правах рукописи

СЕРАФИМОВИЧ Павел Григорьевич

АНАЛИЗ ИТЕРАТИВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ФАЗОВЫХ ФУНКЦИЙ ДИФРАКЦИОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.04.01 Техника физического эксперимента, физика приборов, автоматизация физических исследований

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 1997

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.II.Королева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Котляр Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Л.Ратис кандидат физико-математических наук, доцент А.Ф.Крутов

Ведущая организация: Научно-производственное объединение автоматических систем.

Защита состоится " " мая 1997г. в___часов на заседании

диссертационного совета Д 063.&7.04 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.П.Королева по адресу: 443086, Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан " 29 " апреля 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке и исследованию параметрических итеративных методов расчета дифракционных оптических элементов (ДОЗ).

Актуальность темы.

Дифракционные плоские оптические элементы с давних пор широко используются в научных приборах и экспериментальных физических установках. Например, дифракционные решетки, зонные пластинки.

Фазовые ДОЭ - это дифракционные элементы, осуществляющие требуемые преобразования волновых полей без потери световой энергии. То есть действие фазового ДОЭ сводится только к модуляции фазы падающего излучения. Везде в дальнейшем свет рассматривается в рамках скалярной теории дифракции, считается монохроматическим и полностью когерентным и описывается комплексной функцией, зависящей от двух или одной пространственных переменных.

Качество расчета и изготовления ДОЭ характеризуется степенью отличия сформированного изображения от заданного и величиной световой энергии, идущей на формирование изображения. Качество ДОЭ определяют следующие характеристики: энергетическая эффективность - это отношение световой энергии, попавшей в область задания изображения, к световой энергии, падающей на ДОЭ; ошибка восстановления изображения (среднее квадратичное отклонение)- это корень квадратный из суммы квадратов разности сформированной и заданной интенсивностей, а усредняющее суммирование осуществляется по всей области задания изображения.

Для задач обработки информации в которых требуется высокая точность формирования волновых фронтов или распределений интенсивности, основной характеристикой качества ДОЭ является ошибка отклонения. А для задач обработки материалов мощным лазерным излучением требуется высокая степень концентрации энергии в области заданного изображения. Для таких задач требуются фазовые ДОЭ, обладающие высокой энергетической эффективностью (близкой к 100%).

Рассчитать ДОЭ означает рассчитать фазовую функцию светового поля, которое сформируется вблизи плоскости ДОЭ.

В дальнейшем мы ограничиваем рассмотрение методов расчета фазовых функций только итеративными алгоритмами. Хотя существуют и неитеративные алгоритмы, основанные на методах кодирования (Дж.Кирк, А.Джонс, В.А.Сойфер, М.А.Голуб). Итеративные методы обеспечивают большую эффективность, чем неитеративные. Ограничим наше рассмотрение также выбором определенного типа ДОЭ. В дальнейшем, если специально не оговорено, под ДОЭ понимаются киноформы, то есть фазовые оптические элементы, фокусирующие лазерное излучение в малую область фокальной плоскости линзы. Если не использовать линзу, то такие ДОЭ будут формировать заданное распределение интенсивности в дальней зоне дифракции.

Существующие итеративные алгоритмы расчета ДОЭ обладают рядом недостатков.

Исторически первый алгоритм сокращения ошибки (Л.Лезем, Р.Хирш, Дж.Джордан, Р.Герчберг, У.Сэкстон) обладает эффектом стагнации. Это непараметрический алгоритм. С помощью этого алгоритма не удается достичь

высокой точности формирования заданного распределения интенсивности. Алгоритм типа входа-выхода (Дж.Фиенап) является параметрическим алгоритмом, но необходимость оперирования с дополнительными массивами (требуется запоминать информацию о распределении поля на предыдущей итерации) требует дополнительных ресурсов памяти компьютера. Двухпараметрический алгоритм обобщенных проекций (Д.Юла, Г.Старк, А.Леви) вводит два однотипных параметра: один в плоскости ДОЭ и один в плоскости фокусировки.

Кроме того в перечисленных методах, в явном виде не учитывается пространственная ограниченность формируемого с помощью ДОЭ распределения интенсивности. Такое ограничение явно используется, как правило, для формирователей модовых световых полей, например, мод Гаусса-Эрмкга (В.С.Павельев).

В задачах реконструкции изображений в присутствии шума, которые относят к классу некорректных обратных задач, мощным методом получения устойчивых решений является метод регуляризации Тихонова (Г.И.Василенко, А.М.Тараторкин). Однако к задаче синтеза идеи регуляризации не применялись.

Рассчитанное распределение интенсивности, которое отличается от заданного можно рассматривать как искаженное шумом заданное распределение интенсивности. Если итеративный алгоритм является адаптивным, то есть использует промежуточное "шумовое" рассчитанное распределение интенсивности, то задача является типичной задачей восстановления объекта (ДОЭ) по зашумленному спектру, для решения которой требуется применять процедуру регуляризации, чтобы повысить точность формирования пространственного спектра.

Сформулируем кратко нерешенные на данный момент проблемы.

1. Существующие итеративные методы не строились на основе критерия оптимальности и поэтому обладают ограниченными возможностями для увеличения скорости сходимости и повышения точности.

2. Не был использован для создания итеративных алгоритмов расчета ДОЭ метод регуляризации, который используется при решении некорректных обратных задач, и приводит к стабильному и более точному результату.

3. Не рассматривались алгоритмы, предназначенные для расчета ДОЭ с гладкой фазовой функцией.

4. Не использовались оптимально фокусирующие свойства линзы. ДОЭ рассчитывались, как правило, таким образом, что квадратичная часть фазы ДОЭ, задающая размеры формируемого изображения спектра не относилась к параметрам линзы.

Перечисленные выше нерешенные задачи расчета ДОЭ и определяют содержание и структуру диссертации.

Целью работы является разработка и исследование итеративных и градиентных методов расчета дифракционных оптических элементов (ДОЭ),.позволяющих с высокой точностью и эффективностью формировать заданные распределения интенсивности в фокальной плоскости линзы.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации.

1. На основе вариационного подхода минимизации функционалов невязки разработать одно и двухпараметрические итеративные методы с

улучшенной сходимостью.

2. Рассмотреть задачу расчета ДОЭ как решение некорректной задачи с применением методов регуляризации.

3. Разработать градиентные итеративные методы расчета ДОЭ с учетом дополнительных ограничений: гладкость или квантованность фазовой функции.

Научная новизна работы

1. Разработан и численно исследован адаптивно-аддитивный алгоритм расчета ДОЭ. Данный параметрический итеративный алгоритм получен на основе минимизации квадратичной по амплитуде невязки.

2. Разработан и численно исследован адаптивно-мультипликативный алгоритм расчета ДОЭ. Данный параметрический итеративный алгоритм получен на основе минимизации квадратичной по интенсивности невязки с регуляризацией.

3. На основе применения метода регуляризации к решению некорректной обратной задачи расчета ДОЭ разработаны и численно исследованы итеративные алгоритмы являющиеся обобщением известных.

4. Разработан и численно исследован градиентный алгоритм расчета ДОЭ, фазовые функции которых имеют малое число Фурье-гармоник.

5.Численно исследован градиентный алгоритм расчета дефокусированных квантованных ДОЭ. В данном алгоритме оптимальным образом используется линза, которая участвует в комбинации "ДОЭ плюс линза". Энергетическая эффективность таких ДОЭ на 10-15% выше, чем традиционных и достигает для бинарных ДОЭ 91-92%.

6.Разработан и численно исследован градиентный алгоритм расчета дефокусированных квантованных формирователей световых полей. Энергетическая эффективность таких формирователей на 5-10% выше, чем традиционных.

На защиту выносятся:

1 .Адаптивно-аддитивный параметрический итеративный алгоритм расчета фазовой функции ДОЭ. Показано, что выбором оптимальной величины параметра релаксации алгоритма можно существенно повысить точность фокусировки.

2. Адаптивно-мультипликативный параметрический итеративный алгоритм синтеза ДОЭ. Показано, что от величины параметра регуляризации зависит скорость сходимости алгоритма.

3.Регуляризированный двухпараметричесхий итеративный алгоритм расчета фазовой функции ДОЭ, являющийся обобщением известных и позволяющий существенно повысить точность фокусировки. Данный алгоритм получен на основе минимизации квадратичного по амплитуде функционала со стабилизирующим слагаемым и с явным учетом ограниченности области фокусировки.

4.Градиентный алгоритм расчета ДОЭ с фазовой функцией в виде суммы малого числа Фурье-гармоник, обеспечивающий гладкость фазовой функции ДОЭ и высокую точность фокусировки.

5.На основе оптимального использования фокусирующих свойств линзы разработаны градиентные итеративные алгоритмы расчета ДОЭ, позволяющие повысить энергетическую эффективность фокусировки.

Практическая ценность работы.

Разработанные алгоритмы расчета ДОЭ позволяют учитывать как ограничения, накладываемые на ДОЭ технологией его изготовления, так и ограничения, определяемые целями его использования. Предложенные методы регуляризации алгоритмов расчета позволяют добиваться хорошей сходимости алгоритмов.

Разработанные алгоритмы включены в пакеты прикладных программ С^шскООЕ, ИеФОЕ, которые применяются для практических расчетов в ИСОИ РАН (Самара), исследовательском центре "Фиат" (Италия), а также в учебном процессе в Самарском государственном аэрокосмическом университете.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: международная конференция по электронике и компьютерам (г.Харбин, Китай, 1992); всесоюзное совещание по компьютерной оптике (г.Самара, 1993); пятый международный семинар по цифровой обработке изображений и компьютерной графике (г.Самара, 1994); международная конференция по новой технике и анализу для оптических измерений "Интерферометрия-94" (г.Варшава, Польша, 1994); вторая Всероссийская конференция по распознаванию образов и анализу изображений, (г.Ульяновск, 1995); совместные научные семинары Института систем обработки изображений РАН и кафедры Технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, Приложения, Списка использованных источников из 62 наименований, изложенных на 115 страницах. Диссертация содержит 40 рисунков и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи диссертации, дан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна работы, описана структура и краткое содержание диссертации.

В первой Главе рассматриваются алгоритмы итеративного решения нелинейного интегрального уравнения с ядром Френеля, предназначенного для расчета фазовых дифракционных оптических элементов, формирующих произвольное заданное распределение интенсивности когерентного монохроматического света в некоторой плоскости, перпендикулярной оптической оси.

Изучаемые алгоритмы являются адаптивными, т.к. новая оценка искомой функции на каждой итерации выбирается не только в соответствии с требуемой функцией интенсивности, но и в зависимости от предыдущей

оценки. Эти алгоритмы также являются параметрическими, т.к. скорость их сходимости зависит от некоторого параметра релаксации. На рис.1 представлена оптическая схема применения ДОЭ.

Рис.1

где |р(10|' - заданная интенсивность в области изображения, &(*) -комплексная амплитуда освещающего пучка. Комплексная амплитуда г(х) в приближении тонкого оптического элемента (приближение транспаранта), которое не учитывает рефракцию лучей, равна произведению комплексной амплитуды £„(х) на собственную функцию пропускания т(х) ДОЭ:

Так как в последующем предполагается рассматривать только фазовые оптические элементы, функция пропускания ДОЭ выбрана в виде: т(х) = ехр[/е(х)], где 0(*) = агфо)] - искомая фаза ДОЭ. Кроме того, полагается, что за пределами области формирования изображения s заданное распределение интенсивности |Г(и)|!=0.

В первой главе на основе минимизации квадратичного функционала невязки разработан параметрический итеративный алгоритм, названный адаптивно-аддитивным (АА) алгоритмом расчета фазы ДОЭ, позволяющий частично устранить эффект стагнации и повысить точность фокусировки лазерного света в малую область фокальной плоскости линзы. В Приложении приводится также доказательство релаксации АА-алгоритма.

(1)

Рассматривая вариацию функционала (1) относительно функции С(ы) получим

5Е = -2Ке\ ||

и«)1г^7 -ад к №1

&С\и)с1и> ,

(2)

где Ие{} означает действительную часть числа.

Максимальное отрицательное приращение 8Е функционала ошибки £ достигается на к-м шаге при следующем параметрически выраженном условии:

бед=кш^Щ-едх >->«■

РЛщ

(3)

Из уравнения (3) следует параметрическое уравнение для итеративного

расчета функции (и):

Отметим что, при выражение (4) соответствует выражению для алгоритма расчета фазы ДОЭ с помощью алгоритма ГО.

Преимущества АА-алгоритма продемонстрированы на численном примере. На рис.2 показаны фаза ДОЭ (а), рассчитанного с помощью алгоритма ГС, и формируемое им распределение интенсивности в фокальной плоскости (световой квадрат равной интенсивности) (Ь). На рис.3 показаны фаза ДОЭ (а), рассчитанного с помощью АА-алгоритма, и формируемое им распределение интенсивности в фокальной плоскости (Ь). На рисунках приведены данные для энергетической эффективности е к ошибки 8.

е = 96,4%, 5=27,2%

& =91,5%, 5 = 5,1%

Корректная формулировка задачи нахождения фазы ДОЭ должна основываться на рассмотрении некоторого функционала невязки с регуляризацией. С этой целью в следующем пункте главы 1 рассмотрен функционал вида:

Первый член в уравнении (5) - это средне-квадратичное отклонение формируемой интенсивности в плоскости наблюдения от заданной

интенсивности I |!.

1 г?/. .V

В отличие от функционала (1), это слагаемое представляет собой функционал четвертого порядка относительно амплитуды светового поля. Второе слагаемое в уравнении (5) - стабилизирующее.

Отметим, что действительная, положительно определенная функция Q(u) должна удовлетворять в методе регуляризации Тихонова следующему

N

условию: ^«К".

—о

где сщ - произвольные коэффициенты. Стабилизирующая константа а>0

определяет нижнюю границу изменения функционала Минимизация е2 означает выбор самой гладкой функции из набора функций О (и), наиболее

близких по модулю к функции |Г(и)|". Итеративная процедура минимизации функционала строится при помощи промежуточных функционалов,

квадратичных относительно искомой функции Г,(и):

6Егл -И'0. = 0. (6)

Функционал достигает минимума кри условии, что вариация (6) становится равной 0.

Это становится возможным при условии, что №

с, =—V—— (7)

Эта замена минимизирует промежуточные функционалы Еи на каждой итерации. Однако из-за сходимости итеративной процедуры разность

(5,(и)-.Р.(и)| уменьшается с ростом п, а функционалы Е„ стремятся к функционалу Ег. Следовательно, можно заключить, что в пределе замена минимизирует исходный функционал . Приведенные рассуждения подтверждают возможность итеративного поиска фазы ДОЭ методом, сходным с алгоритмом ГС, но с использованием замены (7) .

Данный алгоритм получил название адаптивно-мультипликативного (АМ) алгоритма, в отличие от АА-алторитма. Его преимущества перед алгоритмом ГС видны из следующего примера.

Рассчитывался ДОЭ, который освещался лазерным пучком с гауссовым распределением интенсивности, предназначенный формировать изображение "мягкого круга" в дальней зоне дифракции. Заданная интенсивность в плоскости наблюдения имеет вид

Нм)Г =ехр

где - эффективный радиус "мягкого круга" «=1,2,3,... Радиус а выбирался равным примерно двум радиусам диска Эйри. Массив отсчетов был 256x256.

На рис.4 показаны фаза ДОЭ (а), рассчитанного с помощью алгоритма

ГС, и формируемое им распределение интенсивности в фокальной плоскости (Ь). На рис.5 показаны фаза ДОЭ (а) рассчитанного с помощью АМ-алгоритма, и формируемое им распределение интенсивности в фокальной плоскости (Ь). На рисунках приведены данные для энергетической эффективности е и ошибки 5.

6=97,1%,

8 =22,9%

е =91,8%, 5 = 3,6%

Во второй Главе показывается, что задача синтеза ДОЭ является некорректно поставленной, т.к. не существует точного решения обратной задачи. В этой главе на основе применения метода регуляризации Тихонова формулируется вариационная задача, в которой для расчета фазовой функции ДОЭ минимизируется квадратичный функционал невязки со стабилизирующим слагаемым. Кроме того, в рассматриваемый критерий в явном виде введен оператор ограничения пространственной области фокусировки лазерного света.

Для ДОЭ, фокусирующих в малые области спектра, ограничение на область задания функции вводится в функционал-критерий явным образом.

Минимизируется функционал невязки в заданной области Тогда

регуляризованный по Тихонову функционал-критерий запишется так:

Е = {((ад! - О^Щ'ёи + (В)

Г/, иеПл гдс °л/~{о, итА-

Вариация функционала запишется в виде

8£ = 2Ле

<0

итеративныи алгоритм выглядит так

Преимущества алгоритма по сравнению с базовым алгоритмом Герчберга-Секстона (ГС) (показаны для случая формирования в фокальной

плоскости линзы распределения интенсивности вида Цх) = 10гш(х/ а) ■ Преобразование Фурье, связывающее комплексные амплитуды светового поля в плоскости ДОЭ и в фокальной плоскости линзы,, вычислялось с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье на массиве отсчетов 256. Начальная фаза для итеративного процесса выбиралась в виде реализации псевдослучайной величины.

На рис.6 показаны фазы ДОЭ для алгоритма ГС (слева вверху) и алгоритма (9) (слева внизу), а также соответствующие сформированные в Фурье-плоскости распределения интенсивности (справа вверху и внизу, соответственно). Также Она рисунках приведены данные для энергетической эффективности е и ошибки 8.

е = 96,3%, 5 - 26,1%

М

е = 93,1%, 5 = 1,8%

Рис.6

В третьей Главе рассмотрена задача расчета ДОЭ с фазовой функцией принадлежащей заданному частотному диапазону.

В адаптивной оптике часто поверхность ДОЭ задается через коэффициенты определенного полиномиального разложения фазовой функции (например, в виде разложения по полиномам Цернике). Литографическая полутоновая технология изготовления ДОЭ требует, чтобы фазовая функция была достаточно гладкой и не имела резких скачков. С этой целью был разработан итеративный градиентный алгоритм расчета ДОЭ, фаза которых является суммой малого числа Фурье-гармоник.

0(*) = 2>„ехР

И юсп

' N

, 9(х) = агЕед

ôE . ÔE

■+J

VSReC aime

где

дЕ

SRec!

: 2Im[A(i») + К-п)}, m = 3-'{g(x)if (х)}. I ОД

£-(х) = 3{0»}> = л'<4> "шаг гРадиснтпого

метода

На рис.7 показаны фаза (а) состоящая из 16 Фурье-гармоник (количество отсчетов фазы равно 64) и распределение интенсивности формируемое таким ДОЭ (б). Энергетическая эффективность ДОЭ составила £=71,3%, ошибка 5=3%.

(4

Рис 7

(b)

В следующем пункте третьей главы исследуется метод, позволяющий с помощью смещения плоскости рассчитываемого распределения интенсивности (рис.8), повысить для определенных областей фокусировки эффективность квантованных дифракционных оптических элементов (ДОЭ) (для бинарных ДОЭ до значений выше 90%). Показывается, что используемый для синтеза таких ДОЭ градиентный метод обладает лучшей сходимостью по сравнению с базовым, а также то, что дефокусированные ДОЭ обладают лучшими технологическими характеристиками по сравнению с традиционными ДОЭ.

Рис. 8

min Е = У

е<х)

UxV м

е " ехр[/79(х)|

ад.

(п)

е(Кв(х)=е(*ч*)+

8Е

дв{к)(х)

(12)

ЯР Г л,'/ М )

= 2Кс^х)\Я-(х)е //1^ехр[Ш(х)]|

с, - коэффициенты Фурье-разложения функции квантования. На рис.9 показаны фазы бинарных ДОЭ: обычного (слева, вверху) и дефокусированного (слева, внизу) и сформированные ими распределения интенсивностей в Фурье-плоскости (справа вверху и внизу, соответственно). Энергетическая эффективность обычного ДОЭ составила 8=77,5%, ошибка 5=1,5%. Для дефокусированного ДОЭ - е=91,4%, 5=5,4%

1

• л - г ».%

0.6 0.3

0^ ол

о

Рис. 9

В настоящее время актуальной является задача формирования модовых световых пучков с помощью ДОЭ. Световые поля, обладающие модовой структурой появляются при рассмотрении как свободного пространства, так и оптических волокон.

В диссертации рассмотрен подкласс световых полей, состоящих из одной моды. Приведены результаты численного моделирования для модана, формирующего моду Гаусса-Эрмита (0,1). Разработан градиентный итеративный алгоритм с дефокусировкой для расчета бинарных моданов, позволяющий увеличить энергетическую эффективность моданов на 5-10%. Оптическая схема применения дефокусированного модана приведена на

■ 1 в

• •

ГП1П

а<х)

Г &*'/ М Л 2

тЕ = " ехр[/ВД]\~^(м) Щи)

" « I '-м- ]

(14)

Я/г Г а*1/ ^ 1

«"(*) = з-1 {о»}. о\и) = ^(м) - ад

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны и численно исследованы алгоритмы расчета ДОЭ.

Получены следующие основные результаты:

1.На основе минимизации квадратичной по амплитуде функционала-критерия получен параметрический итеративный алгоритм для определения фазы ДОЭ по заданному распределению интенсивности в дальней зоне дифракции. Доказано, что среднеквадратичное отклонение модуля амплитуды поля от заданного с увеличением числа итераций не возрастает.

2.На основе минимизации квадратичной по интенсивности невязки со стабилизирующим слагаемым получен итеративный алгоритм для определения фазы ДОЭ по заданному распределению интенсивности в дальней зоне дифракции. Показано, что от величины параметра регуляризации зависит скорость сходимости алгоритма.

3.Впервые к задаче расчета ДОЭ был применен метод регуляризации Тихонова для решения некорректных задач, на основе которого получено несколько итеративных алгоритмов расчета фазы ДОЭ по заданному распределению интенсивности, в том числе двухпараметрический метод для малых областей фокусировки.

4.Разработан градиентный итеративный метод расчета ДОЭ, фазовые' функции которых имеют малое число Фурье-гармоник.

5.Численно исследован градиентный итеративный метод расчета квантованных дефокусированных ДОЭ, энергетическая эффективность которых для определенных областей фокусировки на 10-15% выше, чем традиционных ДОЭ и достигает для бинарных ДОЭ 91-92%.

6.Разработан и численно исследован градиентный метод расчета квантованных дефокусированных формирователей световых полей, энергетическая эффективность которых на 5-10% выше, чем традиционных.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Kotlyar V. V., Seraphimovich P. G., Soifer V. A. An iterative weight-based method for calculating kinoforms. Proc.' SPIE "Image Processing and Computer Optics", 1994, v. 2363, pp. 175-183.

2. Software on diffractive optics and computer-generated holograms/ Doskolovich L.L., Golub M.A., Kazansky N.L., Khramov A.G., Pavelyev V.S., Seraphimovich P.G., Soifer V.A., Volotovskii S.G.// Proceedings SPIE. 1994, v.2363, pp. 278-284.

3. Kotlyar V. V., Seraphimovich P. G., Soifer V. A. Regularizated iterative algorithm for the phase retrieval. Optik. 1993, v.94, No.2, pp.96-99

4. Kotlyar V. V., Seraphimovich P.G. Zalyalov O.K. Noise-insensitive iterative method for interferogram processing. Optics and Laser Technology, 1995, v. 27, N. 4, pp. 251-254.

5. Котляр В.В., Серафимович П.Г. Адаптивный итеративный метод расчета киноформов. Оптика и спектроскопия, 1994, т. 77, N. 4, с.678-681.

6. Котляр В.В., Серафимович П.Г. Градиентный алгоритм расчета ДОЭ с наложенными на фазовую функцию ограничениями и с регуляризацией. Компьютерная оптика, Самара, СГАУ, 1996, Вып. 16, с. 50-53.

7. Котляр В.В., Серафимович П.Г. Сойфер В.А. Весовой итеративный метод расчета киноформов. Оптика и спектроскопия, 1995, т. 78, N. 1, с. 148-151.

8. Котляр В.В., Серафимович П.Г. Сойфер В.А. Устойчивый к шумам метод восстановления фазы светового поля. Письма в ЖТФ, 1992, т. 18, вып. 15, с. 42 - 45.

9. Программное обеспечение по компьютерной оптике/ Волотовский С.Г., Голуб М.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Павельев B.C., Серафимович П.Г., Сойфер В.А., Харитонов С.И., Царегородцев А.Е. // Компьютерная оптика. - М.: МЦНТИ, 1995, Вып. 14-15. 4.2, с.94-106.