Регуляризация нелокальными условиями некоторых некорректных задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.95

АБАБНА Муса Салти Муса

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НЕКОТОРЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.02- дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1998

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики Белорусского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Юрчук Николай Иосифович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Корзюк Виктор Иванович

кандидат физико-математических наук доцент Чесалин Владимир Иванович

Оппонирующая организация:

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Защита состоится II .12. 1998 года в 10 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 в Белорусском государственном университете /220050, Беларусь, г. Минск, проспект Ф.Скорины,4; главный корпус, комната 206 . Т.226-55-41 /

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан 1998 года.

Ученый секретарь . совета по защите диссертаций,

профессор

А.А. Килбас

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Задача Коши и задача управления начальным условием для дифференциально-операторных уравнений первого порядка имеют важное значение как в теории дифференциальных уравнений, так и в приложениях. Эти задачи достаточно хорошо изучены в случае эволюционных дифференциально- операторных уравнений В общем случае задача Коши для таких уравнений исследовалась в докторской диссертации Я.В. Радыно 2 в пространствах векторов экспоненциального типа, а задача управления начальным условием оставалась нерассмотренной. В общем случае обе эти задачи в "обычных" пространствах являются некорректными в смысле Адамара - Петровского. В связи с этим, тема диссертации, посвященной исследованию этих некорректных задач, является актуальной.

Связь работы с крупными научными программами, темами

Диссертационная работа выполнена на кафедре уравнений математической физики Белорусского госуниверситета в соответствии с планом, который является составной частью госбюджетной НИР (теория дифференциальных уравнений в частных производных) по теме "Корректные X некорректные задачи математической физики с разрывными краевыми условиями и коэффициентами" (госрегистрации N 19974236).

Цель и задачи исследования

Целью исследования является решение задачи Коши и задачи управления начальным условием для дифференциально-операторных

'Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М. :Мир, 1970. — 336 с.

2Радыно Я.В. Экспоненциальные векторы и дифференциальные уравнения-. Дис. д-ра физико-математических наук: 01.01.02— Мн.. 1985.— 185с.

уравнений первого порядка с самосопряженным знаконеопределенным операторным коэффициентом. Для достижения поставленной цели необходимо было для этих уравнений решить задачу с нелокальными условиями и найти предельные значения решений этой задачи с нелокальными условиями в граничных точках.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются граничные задачи для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом.

Методология и методы проведенного исследования

В диссертаций разработан метод регуляризации нелокальными условиями двух некорректных в смысле Адамара - Петровского задач - задачи Коши и задачи управления начальным условием для дифференциально-операторных уравнений первого порядка. Идею применения нелокальных условий для регуляризации этих задач подсказали подходы, изложенные в монографии A.A. Дезина 3.

Научная новизна и значимость полученных результатов

Впервые решена задача с нелокальными граничными условиями для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом и найдены предельные значения решений этой задачи в граничных точках. На основании этих результатов впервые решена задача управления начальным условием и доказана корректность в смысле А.Н.Тихонова задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом.

Задача управления начальным условием для эволюционных уравнений ранее была решена методом квазиобращения в монографии Р.Латтеса и Ж.- Л.Лионса 1. В общем случае этот метод не применим.

3Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. -- М.: Наука, 1980. -- 207 с.

При исследовании задачи управления начальным условием для эволюционных уравнений значимость предлагаемого метода регуляризации нелокальными условиями состоит в следующем.

В случае регуляризации задачи уравнением, как это сделано в монографии Р.Латтеса и Ж.-Л.Лионса -1, приходится решать две задачи. В нашем случае достаточно решить лишь одну задачу-задачу с нелокальными условиями. Это дает преимущества при практической (или численной) реализации метода. В случае регуляризации задачи уравнением в некоторых случаях возникают завышенные по сравнению с нашими требования на заданное значение .

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Решение задачи с нелокальными граничными условиями для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом и нахождения предельных значений решений этой задачи в граничных точках:.

2. Доказательство корректности в смысле А.Н. Тихонова задачи Коши для дифференциально- операторных уравнений первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом.

3. Решение задачи управления начальным условием для таких уравпений.

В совокупности положения 1-3 представляют собой метод регуляризации рассмотренных некорректных в смысле Адамара -Петровского задач с помощью нелокальных условий. Этот метод по сравнению с методом Р.Латтеса и Ж.- Л.Лионса позволяет не только охватить более общие случаи задач, но и в изученном частном случае эволюционного уравнения улучшить результаты.

Личный пклад соискателя

Все результаты, изложенные в диссертации, получены лично автором. Научный руководитель поставил задачу исследований, предложил идею применения нелокальных условий для регуляризации этих задач и принимал активное участие в обсуждении полученных результатов.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертационных исследований докладывались на следующих конференциях:

VII Белоруской математической конференции, Минск, ноябрь

1996г.,

международной .математической конференции " Еругинские чтения- IV", Витебск, май 1997г.,

международной конференции "Математическое

моделирование и комплексный анализ", Вильнюс, июнь 1997г.,

межвузовской математической конференции памяти С.Г. Кондратени, Брест, апрель 1998г.,

международной математической конференции "Еругинские чтения-V Могилев, май 1998г.,

научных семинарах механико - математического факультета Белгосуниверситета, Минск, 1995-1998 г.г.

Опубликованность результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и заключения. Текст работы изложен на 76 страницах. Перечень использованных источников насчитывает 81 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится оценка современного состояния решаемой проблемы, основание и исходные данные для разработки темы, обосновывается ее актуальность.

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации.

Во второй главе рассматривается регуляризация нелокальными условиями задачи управления начальным условием для эволюционных дифференциально-операторных уравнений.

В разделе 2.1 дается постановка задачи, которая состоит в следующем. Известно (и это следует из теорем 1 и 2 при а ~ 1), что задача Коши

^+Аи = 0, «(0) = е, и II, (1)

где и — функция переменной t £ [0,Г], принимающая значения в гильбертовом пространстве Я; А — самосопряженный положительно определенный оператор в Н\ имеет единственное сильно обобщенное решение которое является непрерывной функцией по t £ [0, Г]

со значением в Н. Если в (1) ^ Е В{А'4'2) — область определения оператора /I1/2, то решение является непрерывной функцией по

t £ [0,Т] со значением в £)(Л1/'2) и удовлетворяет уравнению почти везде.

Задача управления начальным условием состоит в минимизации функционалов

7(0 = 1КГ;0-х112, ее ■МОНК^О-хН?, (2)

для заданных Т > 0 и элемента х, где || ■ || — норма в II, ЦдЦх =

"Идеальным" решением поставленной задачи было бы положить £ = гг(0), где и — "решение" уравнения (1) при условии и(Т) = х- Однако такая задача с обратным направлением времени для эволюционного уравнения не является корректной в смысле Адамара-Петровского.

Поэтому для решения поставленной задачи в монографии Р.Латтесом и Ж.-Л.Лионсом 1 разработан метод квазиобращения, который состоит в замене в обратной задаче эволюционного оператора регуляризованным оператором

Раиа = ~ + аА2уа = 0, £ е (О,Т),

аг

иа(Т) = Х, « > 0, (3)

корректным для обратного направления времени. Затем в задаче (1) полагается £ = £а = 1/а(0) и показывается, что J{^a) —> 0 при а 0.

В пашей работе вместо регуляризации эволюционного оператора в обратной задаче предлагается регуляризация рассматриваемой задачи нелокальными граничными условиями. Суть ее в том, что вместо задачи (3) решается задача

+ 0, а1/(0;х,а) + (1-а)1/(Т;х,а) = х, 0 < а < 1, (4)

а затем в задаче (1) полагается £ = = г/(0; «) и показывается, что при х € Н Нша_о - 0, а при х € 1йпа-о -Мб») = 0-

В разделе 2.2

введены необходимые пространства \¥к, С*([0,Г], И7), И^((0,Т), Ш) и приведены вспомогательные утверждения. Здесь символами \¥к,к = 1,2, обозначены гильбертовы пространства, полученные наделением векторных пространств эрмитовыми нормами =

Н-^^Н) 9 £ символом Ц? обозначено одно из пространств

Я,\\п или IV2) символами С(:([0,7'],\У) обозначены банаховы пространства непрерывных и к раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в IV, а пополнения множеств СА([0,У], И7) по нормам

т, к 2

Л,

1 Л 4-1.

0 ¿=0

УГ

обозначим символами = Ь2((0,Т), И').

Раздел 2.3 посвящен доказательству существования и исследованию гладкости сильно обобщенного решения задачи (4).

Определение. Функция v = v(t\ х, ci') называется сильно обобщенным в С([0,Т],Я) решением задачи (4), если существует последовательность функций ип 6 C1([0,71],//)nC'([0,T'],W2) такая, что

dvn

J™0 SUP IWi)-"(i;X5a)ll = 0.

п °° 0<t<T

Теорема 1. Если х £ Н, то существует единственное сильно обобщенное в С([0,Т],Я) решение u[t-,x,a) задачи (4).

Отметим, что решение v{t; х,а) задачи (4) представимо в виде

оо

v{t- Х, а) = / е^А[а + (1 - a)e^A]-1i?(£ÎA)x s о

= (5)

где I — тождественный оператор в H, Е — спектральная мера, т.е. разложение единицы для оператора Л (см. [4] , стр. 361).

Теорема 2 Если х € W1 = ¿»(А1/2), то при 0 < а < 1 решение v(t-,x>&), определяемое форм}глой (5) является непрерывной функцией по t со значением в IF1 = и(Д1//2), принадлежит L2((0,T), W2) ПИ/21((0,Т),Я) и удовлетворяет уравнению почти везде.

В разделе 2.4 устанавливается разрешимость задачи управления. Если х £ H, то при = г^(0;х, а) € H задача Коши (1) в силу теоремы 1 будет иметь единственное сильно обобщенное решение u{t;Q = v(t-x,a) е С([0,Т],Я), а если же х G W1 = D(Âi/T), то в силу теоремы 2 это решение u(t;£a) = г/(£;х,а) G C([0,T],W) и удовлетворяет уравнению (1) при почти всех t £ (О,Т).

Теорема 3. Пусть ^ £ Я. Тогда для сильно обобщенного решения u(t;Ça) задачи (1) справедливо соотношение

1шiJ(£a) - limJKT; е.) - Xll = lim | ИТ: U а) - *|| = О, ХЕЯ. (6)

et—»Ci a—»(J а—*U

4Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.:ИЛ, 1962. — 895 с.

Теорема 4. Пусть х £ W1 = D{A1^2). Тогда для сильно обобщенного решения задачи (1) справедливо соотношение

lim Л^) - Hm |Hr;Q-x||i = limi \\v(T-,Ua)-X\\i = О, X е D(Al/2).

а—»и а—»U а—»U

(7)

Отметим преимущества и новизну результатов предлагаемого метода регуляризации нелокальными условиями и сравнению с методом квазиобращения Р.Латтеса и Ж,-Л.Лионса.

1. В случае регуляризации задачи уравнением, как это сделано в методе квазиобращения Р.Латтеса и Ж.-Л.Лионса, приходится решать две задачи - сначала задачу (3), затем задачу (1). В случае регуляризации нелокальными граничными условиями достаточно решить лишь одну задачу-задачу(4), которая по сложности эквивалентна задаче (1). Этот факт дает преимущества при практической или численной реализации метода.

2. В случае регуляризации задачи уравнением соотношение (7) можно доказать лишь в предположении, что х £ D(A1^2). Вызвано это тем, что в регуляризованной квазиобратной задаче (3) содержится оператор А2.

Третья глава посвящена регуляризации нелокальными условиями задачи Коши и задачи управления начальным условием для дифференциально-. операторных уравнений с самосопряженным знаконеопределенным операторным коэффициентом.

В разделе 3.1 дается постановка задачи. На отрезке (О,Т) рассматривается дифференциально-операторное уравнение

= 0, (8)

где и — функция переменной t £ [0,Г], принимающая значения в гильбертовом пространстве Н: А — самосопряженный оператор в Я, имеющий на ограниченный обратный. Последнее означает, что для любых элементов v из области определения D(A) оператора А справедливо неравенство .

\\М? > а\Н\\

где || • || — норма в Я, о-> 0 — постоянная пе зависящая от V.

Знакоопределенности оператора А не предполагается. Примером такого оператора А может быть оператор в порожден-

ный оператором Д2 (А — оператор Лапласа, заданный в ограниченной области П с Л2) и краевыми условиями на границе дС1, образующими с оператором Д2 самосопряженную не коэрцитивную задачу (см. [5] , стр. 397).

Задача Коши для уравнения (8) с условиями вида ы(0) = £ £ Н, или и(Т) = X: X € Н не является корректной в смысле Адамара-Петровского в силу знаконеопределенности оператора А. В связи с этим и формулировка задачи управления начальным условием £ для уравнения (8) нуждается в уточнении.

В настоящей главе покажем, что задача Коши с условием (3.3) и задача управления начальным условием можно придать следующий смысл.

Рассмотрим следующую задачу с нелокальными граничными условиями

——- + Ар{1- X, а) = о, 01/(0; х, а)+(1-«ИГ;Х,а)=Х, 0 < а < 1. (9)

Целью исследований третьей главы является следующее:

1. Доказать существование сильно обобщенного решения задачи (9) и исследовать его гладкость.

2. Показать, что 1ш1а_11/(0; а) =

3. Показать, что Нта_*о и(Т\х, се) = Х-

Тем самым будет установлены следующие факты.

• Для любого £ € Я существует семейство функций и(Р,£а) = — сильно обобщенное решение задачи (9) с заменой х на О» являющихся сильно обобщенными решениями уравнения (8), что и(0;£а) —> £ при а —> 1. Так что задача Коши для уравнения (8) является корректной в смысле А.Н. Тихонова.

3Бриш II.И., Валещкевич И.Н. Метод Фурье для нестационарных уравнений с общими краевыми условиями // Дифферент уравнения. — 1935. — Т.1, N 3. — С. 393-399.

• Пусть ^(¿;х>а) — сильно обобщенное решение задачи (9). Положим = 1/(0; х, а) и рассмотрим задачу Коши для уравнения (8) с начальным условием и(0) — £ = С такими начальными данными задача Коши для уравнения (8) будет иметь сильно обобщенные решения и(Р,£а) = х,а)- В таком случае имеет смысл рассматривать функционалы

Ща) = IКТ;£а) - х||2 - МТ-,х,<*) ~ х\\2

и решение задачи управления начальным условием для уравнения (8) вытекает из того, что = и(Т\ х>а) ~> X ПРИ с* —► 0.

Таким; образом, задачей (9) достигается регуляризация двух некорректных задач для уравнения (8) — задачи Коши и задачи управления начальным условием.

Отметим, что . метод квазиобращения Р.Латтеса и Ж.-Л.Лионса для уравнения (1) не применим из-за некорректности задачи Коши.

В разделе 3.2 введены необходимые пространства Н+, II^. \Ук, Ск{(0,Т),1¥), и приведены вспомогательные

утверждения. Здесь символами и Я_ обозначены гильбертовы

ОО

пространства, состоящие из векторов = I Е(йХ)и, Ц^-Ц =

/ V £ Н соответственно с нормами Ць'+Ц2 = г/) и

—оо 0

||г/_||2 — / (Е^Х)!;^) соответственно, где Е — разложение единицы

-оо

для оператора А, (■,■) — скалярное произведение в Н. Гильбертово пространство Н однозначно представимо в виде прямой суммы II = Н+ ® Н_, элементы V е Н записываем в виде и = и+ + Символами Шк,к = 1,2, обозначены гильбертовы пространства, полученные наделением векторных пространств

оо

£(|А|*/2) - {и : V £ Н, I \\\к12(Е(й\)и,у) < оо}

—оо

по эрмитовыми нормами

оо

1М11= /

— ОО

Если V £ и V = 1/+ + Р-, то положим

оо О

Л+1/+ = I Е{й\)и, = ! Е(й\)и.

О -то

Пусть символом IV обозначено одно из пространств Н, IV1, IV2. Аналогично, как. и в разделе 2.2, определяется пространства Ск(\0,Т},\У) и И^((0,Г)., пг), Т),\¥) = Ь2((0,Т)Ж).

Раздел 3.3 посвящен доказательству существования и исследованию гладкости сильно обобщенного решения задачи (9).

Определение сильно обобщенного решения задачи (9) аналогично, как и в разделе 2.3.

Теорема 5. Если х £ Н, то при 0 < а < 1 существует единственное сильно обобщенное в С([0,Т],Я) решение V = задачи (9).

Отметим, что решение х,а) задачи (9) представимо в виде +е^А-[аетл- + (1 - а)/|Л'- =

ОО

= / е-Аг[а + (1 - а)е-хт]~1Е(<1Х)х+

о

о

+ / ¿т~^\аехт + (1 - (10)

— оо

Теорема 6. Если % £ IV1, то при 0 < а < 1 решение (и;Х,а), определяемое формулой (10), принадлежит С([0,Г], 1Г1) П №¡{[0, Г], Я) П Ь2([0, Т], IV2) и удовлетворяет уравнению (9) почти везде.

В разделе 3.4 изучены предельные значения решений задачи (9) в точке £ = 0 при а —» 1.

Теорема 7. Если х € Я, то 1ш1а_1 ||х — = О-

Теорема 8. Если х £ то ||х - ^(0;х,а)||1 = 0.

В разделе 3.5 изучены предельные значения решений задачи (9) в точке / = Т при а —> 0.

Теорема 9. Если ^ £ Я, то 11та_о ¡|х — х- °)|| = 0-

Теорема 10. Если х £ W1, то lima.^0 Их - V{T',X, a)l¡i = 0.

Раздел 3.6 посвящен регуляризации нелокальными условиями задачи Коши для уравнения (8).

Теорема 11. Для любого уз £ Н и заданного е > О существует сильно обобщенное в С([0, Т], Я) решение ue(t) равнения (8), такое, что ||«е(0) - уэ|| < е.

Здесь в силу теорем 5 и 7 выбирается ue{t) = v(t:ip,a£), где v{t; ip, ае) — решение задачи (9) при х = <Р и а — оЕ таком, что (|у> —

Теорема 12. Для любого ip £ Wl и заданного е > О существует решение ие £ С([0,711,И/1)пИ;21((0,Т,))Я)п1'2((0,Г),Ж2) уравнение (8) такое, что ||ite(0) - < е.

Здесь уже в силу теорем 6 и 7 выбирается u€(t) = u(t;<p,a£), где i/(t-,ip,ae) — решение задачи (9) при х — V Е а — таком, что

В разделе 3.7 устанавливается разрешимость задачи управления

Теорема 13. Пусть х £ Н. Тогда можно указать такие £ Я, при которых существуют сильно обобщенные в С([0,Т],Я) решения u(t, (а) уравнения (8) при начальных условиях и(0; £а) = и

Ы\\и(Т^а)-Х\\ = 0. (11)

Теорема 14. Пусть х £ W1. Тогда можно указать такие 6 W1, при которых существуют почти везде на (0,Т) решения

е С([0, Т], W1) n W¡((О, Т), Я) Л £2((0, У), W2) уравнения (8) при начальных условиях «(0; £а) = и

inf|KT;Éa)-xl|i = 0. (12)

4tt

Здесь полагается = г/(0;а, х), где u(t;£a) = v{t]x,а) будет решением уравнения (8) при начальных условиях u(í;£a) = При этом в силу теоремы 9 выполняется (11), а в силу теоремы 10 вытекает (12).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработан метод регуляризации нелокальными условиями двух некорректных в смысле Адамара -Петровского задач - задачи Коши и задачи управления начальным условием для дифференциально-операторных уравнений первого порядка, которой состоит в следующем

• решена задача с нелокальны™ граничными условиями для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом;

• найдены предельные значения решений этой задачи в граничных точках;

• доказана корректность в смысле А. II. Тихонова задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом;

• решена задача управления начальным условием для таких уравнений.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Юрчук Н.И., Абабиа Муса. Задача с нелокальными условиями для дифференциально-операторных уравнений с самосопряженным знаконеопределенным операторным коэффициентом П Еругинские чтения -IV: Тез. докладов международной математической конференции. Витебск, 20-22 мая 1997г. / М-во образования Беларуси., Белорус. Мат. Общество, Ин-т. Мат.НАНБ, Витебский госуниверситет. - Витебск. - 1997. - С. 134.

2. Юрчук Н.И., Абабиа Муса. Регуляризация нелокальными условиями задачи управления начальным условиям для уравнения теплопроводности интегральным краевым условием // Тезисы докладов VII Белорусской математической конференции. Минск, 18-22 ноября 1996г. / М-во образования Беларуси. Белорус, мат. общество. Ин-т. Мат. НАНБ. Бел. Гос. ун-т. - Минск, 1996. -4.2.-С. 106-107.

3. Ymch.uk N.I., Ababneh Мота. Regularization by non-local conditions of the incorrect problems for differential-operator équations of the first order // Mathematical Modelling and Complex Analysis. :Proceedings of the second International Conférence. Vilnius 3-4 jun 1997,/Institute of Mathematics and Informatics. Vilnius Gediminas technical university. -Vilnius, 1997. - P. 160-166.

4.Абабна Муса. Регуляризация нелокальными условиями задачи Копш для дифференциально-операторных уравнений с самосопряженным знаконеопределенным операторным коэффициентом // Тезисы докладов межвузовской математической конференции памяти С. Г. Кондратени. Брест 21-23 апреля 1998г./ Акад. наук Беларуси, М-во образования Беларуси. Белорус. Мат. Общество. Брестский госун иверсятет. - Брест, 1998. - С.42.

5. Абабна Муса. Риуляризация нелокальными граничными условиями задачи управления начальным условием для эволюционных уравнений // Еругинские чтения V : Тез. докладов международной математической конференции Могилев 26-28 мая 1998г. / М-во образования Беларуси. Белорус, Мат. Общество. Ин-т. Мат. НАНБ, Белорус, гос. университет, Ин-т прикладной оптики НАН Беларуси. МГУ им. А .А. Кулешова. -Могилев, 1998. 4.2. - С. 5-6.

6. Абабна Муса. Регуляризация нелокальными граничными условиями задачи управления начальным условием для эволюционных уравнений // Еругинские чтения V : Тез. докладов международной математической конференции Могилев 26-28 мая 1998г. / М-во образования Беларуси. Белорус. Мат. Общество. Ин-т. Мат. НАНБ, Белорус, гос. университет, Ин-т прикладной

РЕЗЮМЕ

Абабна Муса Салти Регуляризация нелокальными условиями некоторых некорректных задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка

Ключевые слова : дифференциально-операторное уравнение., нелокальные граничные условия, метод квазиобращения, метод регуляризации, задача Коши, некорректная задача, задача управления, сильно обобщенное решение.

В диссертационной работе объектом исследования являются граничные задачи для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с самосопряженным операторным коэффициентом.

Цель работы является исследование двух некорректных в смысле Адамара -Петровского задач - задачи Коши и задачи управления начальным условием и в построении эффективного метода их решения.

В работе в качестве этого метода разработан метод регуляризации нелокальными условиями указанных некорректных задач, который состоит в следующем

Впервые решена задача с нелокальными граничными условиями и найдены предельные значения решений этой задачи в граничных точках.

На основании последнего решена задача управления начальным условием, и доказана корректность задачи Коши в смысле А.Н. Тихонова.

В частном случае эволюционных уравнений задача управления начальным условием уже решалась Р. Латгесом и Ж. -Л. Лионсом методом квазиобращения. Применение метода регуляризации нелокальными условиями позволяет снизить требования на гладкость заданного конечного значения и дает преимущества при практической и численной реализации.

Результаты работы являются дальнейшим развитием теории некорректных задач для дифференциальных операторных уравнений и уравнений с частными Производными.

Рэзюмэ

Абабна Муса Салц1 Рэгулярызацыя нелакальнькш умовам1 некаторых некарэктных задач для дыферанцыяльна-аператарных урауненяу першага

парадка.

Ключавыя СЛОвЫ: дыферанцыялъна-аператарнае урауненне, нелакалъныя гратчныя умовы, метад квазгабарачэння, задача Кашы, метод рэгулирызацъи, некарэкптая задача, задача кхравання, моцна абагулвненая рашэнне.

У дысертацыйннай рабоце аб'ектам даяледавання з'яуляюцца гратчныя задачы для дыферанцыяльна-аператарнага ураунеши першага парадка ; самаспалучаным аператарным каэфщыснгам.

Мэтай работы састащь з'я^ляецца даследаванш дзвюх некарэктных \ сэнсе Адамара- Пятроускага задач - задачы Кашы 1 задачы юраванш пачатковай умовай 1 у пабудове эфектыунага метада ¡х рашэння.

У рабоце у якасщ гэтега метода распрацаваны метад рэгулярызацы: нeлaкaльнымi умовам1 указаных некарэктных задач, яю складаетцца наступнага.

Упершыню знойдзена рашэнне задачы з нелакальнылп кpaявымi умовам {знойдзены грашчныя зпачэнш рашэнняу гэтай задачы у кащавых пунктах. На аснове апошняга вырашана задача иравання пачатковай умовай, i даказан; карэктнасць задачы Кашы у сэнсе Л.М.Щханава.

У прыватным выпадку эвалюцыйных урауненняу задача юраванш пачатковай умовай ужо вырашалася Р.Латэсам i Ж.-Л.Люнсам мета дал кваз1абарачэння. Выкарыстанне метада рэгулярызацьи нелакальным! умовам дазваляе зменшыць патрабаванш на гладкасць зададзенага канчатковаг; значэння 1 дае пераважнасць пры практычнай 1 лпсавай рэашзацьй.

Bынiкi работы з'яуляюцца далейшым развщцём тэорьй некарэктньк задач для дыферанцыяльна-аператарных урауненняу 1 урауненняу : частковъап вытворнымг

SUMMARY

Ababneh Mousa Salty

Regularization by non-local conditions of some incorrect problems for differential-operator equations of first order

differential-operator equation, non-local boundary conditions, method of quasireversibility, method of regularization, Canchy problem, incorrect problem, strongly generalized solution.

Boundary conditions for differential-operator equations of first order with self-adjoint operator coefficient are investigated in the thesis.

The purpose of the work is to explore two incorrect in sense of Hadamar-Petrovskii problems: The Cauchy problem and the control problem by initial condition, and construct effective method for these solution.

In the work a method of regularization by non-local conditions for the above-mentioned incorrect problems is developed.

The problem with nonlocal boundary conditions is solved for first time and the limit values of solutions for theirs problem are founded in boundary points. On this base the control problem by initial condition is solved and the correctness of Cauchy problem in sence of A.N.Tichonov is proved.

In the particar case of evolution equations the control problem by initial condition have been already solved by R.Lattes and J.-L.Lions with the help of the quasireversibility method. Using the method of regularization by non-local conditions enables to weaken conditions of smoothness of a given finite value and give advantages in practical and numerical realization.

The results of the thesis are a further development of the theory of noncorrect problems for differential - operator equations and partial differential equations.