Об оптимальности методов решения одного класса некорректнопоставленных задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Государственный Комитет Российской Федерация по высшему образованию

Уральский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им.А.М.Горького

/Л -п

' '' На правах рукописи

Табарияцева Едена Владимировна

, ' УДК 517.983.54

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА НЕКОРРЕШО ПОСТАМЕНТ »л ЗАДАЧ МАШАШЕСКОЙ ФИЗИКИ •

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1994

Г)

Работа выполнена в Уральском университете на кафедре математи-

ческого анализа и теории функций.

Научный руководитель - доктор фмзико-математических наук,

,профессор В.П.ТАЯАНА -

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.В.ВАСИН;

кандидат физико-математических наук, доцент С.А.РОГОЖИН

Ведущая организация - Вычислительный центр Сибирского отделения ; РАН (г.Красноярск)

Защита состоится " 1994 г. в --

часов на заседании специализированного совета К 063.78.03 по присуждению ученей степени кандидата физико-математических наук в Уральском овдена Трудового Красного Знамени государственном университете им.А.М.Горького по адресу: 620093, г.Екатеринбург, К-83, пр.Ленина, 51, комната 248.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук, доцент __-- В.Г.ПИМЕНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРНО ТИКА РАБО'Ш

Актуальность темы. Методы регуляризации некорректно поставленных задач широко .используются в различных областях науки, техники, практической ¡деятельности, поэтому исследование методов регуляризации' с точки зрения оптимальности и построение оптимальных по порядку методов регуляризации некорректно посташшшшх задач представляет интерес как с точки зрения теории некорректных задач, так а с точки зрения эе приложений.

Одним из метоцов регуляризации некорректных задач, связанных с дифференциально-операторными уравнениями, является метод квазиобращения. Этот метод хорошо изучен, он достаточно просто реализуется численно и на требует предварительного сведения исходной задачи к интегральному уравнению. Но метод кваэиобращения на является оптимальным по порядку на стандартна* множествах р; лномер-ной регуляризации. Поэтому предстаачяет интерес возможность построения метода регуляризации, обобщающего метод квазиобращешш (и не требующего предварительного сведения исходной дифференциальной задачи к интегральному уравнению) и оптимального по порядку.

Для построения приближенных решений некорректных задач, как правило, используются регуляризувдие операторы, коммутирующие о основным оператором задачи. Такой подход (используемый и в классическом методе квазиобращония) удобен там, что позволяет, переходя от опера:оров к функциям, достаточно легко решать проблемы, связанные о регуляризуемостью. Но построение (функций от операторов сложного вица (например, при решении дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами) в ряде случаев представляет собой непростую задачу. Цоэтоиу працотавляет интерес возможность регуляризации некорректных задач о помощью операторов, не коммутирующих с основным оператором задачи.

Общая методика исследования. В работа используются теория линейных некорректно поставленных задач, элементы теории функций и функционального анализа.

Цель работы. Ностроенив метода регуляризации некорректных задач, связанных с дифференциально-операторными уравнениями в гильбертовом пространстве, кэторыМ обобщает метод квазиобращения и ямяется оптимальным но порядку. Исследование (на примера метода квазиоЗращения) возможности регуляризации некорректных задач с помощью операторов, на коммутирующих с основным оператором задачи .

Научная новизна. К новым результатам в работе относятся: построении оператора добавки в методе гида квазиобращения, позволяющего сделать метод оптимальным по порядку; исследование на примере метода квазиобращения возможности регуляризации некорректных задач с помощью оператора, не коммутирующего с основным оператором задачи, исследование условий на оператор добавки в методе типа квазиобращения, обеспечивающих оптимальность по по-, рядку такого метода.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при численном решении некорректно поставленных задач, связанных с дифференциально-операторными уравнениями, а также при разработке новых методов решения таких задач.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ, а также докладывалась на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы решения сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных чадач (Бишкек,-1991 г.).

Публикации. Но теме диссертации опубликовано три работы. В работах ^х], [з] В.Д.Танане принадлежит постановка задачи, диссертанту - реализация идей, заложенных в постановке задачи, а также результаты, касающиеся оптимальности построенного метода регуляризации.

- 4 -

ОСНОВНОЕ СОДЯРЖАНШ2 РАБОШ

Во введении дается общая характеристика работы, кратко излагается ее содержание.

Первая глава носит вводный характер. В ней приводится постановка задачи и определяются основные понятия, используемые в дальнейшем. Рассматривается следующая задача.

Пусть )f\ - неограниченный положительно определенный самосопряженный оператор в гильбертовом пространства- Н с областью определения, плотной в Н . Требуется вычислить элемент if>£ Н такой, что решение задачи

^ =-Аи . telo/Ti (1)

Ü (о) = Ц> (2)

удовлетворяет условию и (Т) = X, t где - заданный

элемент из Н . Задачу можно'" записать в виде операторного уравнения первого рода

НР = * (3)

В силу приведенных выше условий на оператор А задача (3) поставлена некорректно.

В п.п.1.3,1.4 рассматривается задача (3) в случав, клгда на-' чальноэ у"viobi'.q % известно лишь приближенно, приводятся определения семейства операторов, регуляризующего задачу (3) и семейства операторов, равномерно регуляризуадаго задачу (3) на множестве М . В п.1.4 приводится теорема о строении множеств равномерной регуляризации для операторных уравнений в гильбертовом пространства, принадло;шщая В.Н.Танане, и с еа помощью показывается, что. • множества

я Мг=и- НеАТ,ц>Ни^г- (о<т, < Т) 1

г **

V»

являются классами равномерной регуляризации для задачи (3).

В п.п.. 1.5-1.6 приводятся определения оптимального метода и метода, оптимального по порядку, а также оценка погрешности оптимального метода в случав'задачи (3)(Оценка погрешности оптимального метода через модуль непрерывности оператора, обратного к /\0, принадлежит В.П.Талане; для вычисления модуля непрерывности используется способ, предложенный В.К.Ивановым.) Оценка по^решноси оптимального метода в случае задачи (3) на множестве М г цмеэг вид

V ~ хЬг^т (4)

о

Оценка погрешности оптимального метода в случае задачи (3) на множестве М имеет вид

Глава 2 посвящена классическому методу квазиобращэния. Метод квазкобрацзния заключается в том, -что те"зото заперся (!)-(?) рассматривается задача

шк=- Аи+аАы (с>< ^ о) 6 и

и (Т) = (7)

и I О) - 1|> - требуется определить. Таким образом, в качестве приблйкэнчого решения задачи (3) рассматривается элемент

ГТ1

АТ- «А Т

= Р? 56 = е х (6)

« с*

2. ' г

В п.2.3 приводится точная по пурядку оценка погрешности мэто-да квазиобращения на множестве М , принадлежащая А .¡О.

Фрайбергу. Эта оценка имеет вид

Ч«*'"' " а,!",Г ■

Оценка погрешности' метода квазиобращения на множества М также имеет вид

____\____

Ак Ш6), 6) - г/ (Г У" (10)

ы

(в формулах (9) и (10) зависимость о< - 0< ( (Г ) выбрана так, что значение параметра регуляризации о< является квазиоптлыадь-н ш). Сравнение .£ормул (Э) и (10) с формулами (4) и (5) цокпонва-ет, что классический ыетод ктизиобрашония не является оптимяльнкм по порядку на массах м; и м^ .

В главе 3 для регуляризации задача (3) иепользуэтся метод квазмобращения с добавкой типа экспоненты, т.е. вместо задачи СО рассматривается задача • •

(I И А А А Ь '

-^-=-Аи+схАе и (И)

и(Т) = X, - • (12)

ШО) - 1р - требуется определить. Таким образом, в качестве приближенного решения задачи (3) рассматривается элемент

АТ

ы ат- « е

1р-к%=ее % (13)

В л.3.2 показано, что оператор £2 & , заданный формулой (13), равномерно регуляризует уравнение (3) , и построенный ме^д регуляризации оптимален по порядку на множестве М

- 7 -

* Ь гласа 4 рассматривается возможность регуляризации задачи (3) с помощью оператора, на коммутирующего'с А ■ . Такая шзмоашость приставляет интерес в связи с там, что вычисление экспоненциальной добавки, позволяющей сделать метод квазиобраще-ник оптимальным по порядку, затруднительно в случав достаточно сложного оператора А (например., лри решений дифференциального уравнения с переменными коэффициентами).

Итак, вместо задачи (3) рассматривается задача

4т- = " Аы + 01 ди (20)

dt

и ( Т) = Х- (21)

и (О) ~ ц) ~ требуется определить. Здесь В - сашоопряжен-шй. неограниченный оператор в пространстве И с областью определена О/ В) , плотной в Н , удовлетворяющий условию

О

\п1 = 1 . (хеО(Ъ)) ' \

\

(оператор С> монет не коммутировать с А » ). Таким образом., в качества приближенного -решения задача (3) рассматривается^ эломонт

АТ- с* ВТ

Ф = R % = е х (22)

г

'¿ведем необходимые определения.

Определение Пусть А{ - замкнутый неограниченный оператор. с плотной в И областью определения D ( А у ) . Пусть оператор Аа допускает замыкание и имеет областьопродалешгя, содержащую D (А ,) : DÍA^^DÍA^) . Оператор А 2

называется подчиникным оператору А 4 , если

... II Д2Х II * с II А, х I! (х £ DÍA,У)

Опрэделанно 2. Оператор А, вполне подчинен оператору А 4 , если он ему подчинен и для каждого (сколь угодно малого) 2 вшолняагся неравенство

II А, х II* Ф (х) + I IIА^ л II,

где 4?. (X) - непрерывный выпуклый функционал от ХС И (Понятия подчиненности и полной подчиненности операторов разработаны С.Г.Крейном).

В п.4.3 исследуются условия на оператор В , обеспечива-, ютив равномерную регуляризацию уравнения (3) с помощью оператора ^ , заданного формулой (¿2). В этом направлении получен следующий результат.

Теорема I. Для того, чтобы оператор , заданный форму-

лой (22;, регулярнзовал задачу (3) равномерно на множества М необходимо и достаточно, чтобы оператор А бил вполне подчинен оператору В

В п.4.4 исследуется вопрос об оптимальности ло порядку метода регуляризации? задашюш.^ормулой (22). Получен следующий результат. —

Теорема 2. Для того, чтобы метод регуляризации задачи (3), заданный формулой (-22), бил оптимальным по порядку на множестве

М , необходимо и цостагочнр, чтобы оператор 6Хр (А Т ) бил.вполне подчинен оператору В

¿¡ели оператор А удовлетворяет условию

,п| (Ау = / (хеО(А)) (х, х)

то теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2, верны и цля множества

К "

В п.4.5 в качестве примера рассматривается задача вычисления функции Ц>(Х) С ( & ) такой, что решение задачи

■ Г)

- 3 -

■Ли в й- и1Х) Ш. ] Ы эх I эх^ (23)

ало, х)=ф(х) 4 (24)

.удовлетворяет условию и.П\ X )= X; ( X ) , Где

заданная функция из ( ) , (И X ) - непрерывно дифференцируемая функция на прямой такая, что

о с а„ ^ сик) ^ сц * ^

для всех X 6. Р .

: Вместо некорректной задачи (23)-(24) можно рассматривать задачу

= о[<ш) 5а 1 '•+ о<£2 и. (25)

о г ^

и (т, X ) = (25) '

и. ¡0, х ) = ЦЧ X ) - требуется определить. Здесь О = -^г у оператор дифференцирования. Таким образом, в качества приближенного решения засачи (23)-С24) рассматривается функция ,

- о[а(Л)0]Т- С* е"2°т

Ф = Р % = е . х- (2?)

С/ г

В соответствии о общими результатами (теоремы I и 2), оператор

„ , заданной формулой (27), регуляризует задачу (23)-(Й4) равномерно на множестве М ~ , и построенный метод регуляризации оптимален по порядку на этом множестве.

Вместо задач?; (25)-(2б) одя регуляризации задачи (23)-(24) можно использовать задачу

Б(х)Ь)^1и'ь-(а(Х)и'х )'х | - - о< ы

и<Т,х) = %(* ) \

Ц (О, X ) - Ц>( X ) _ требуется определить.

Кай показано в п.4.5, задачи (25)426) и (>8)-(29) реализуют

один и тог же метод регуляризации задачи (23)-(24).

Очевидно, что вычисление оператора добавки е X р (- 2 О ) в (25)-(26) существенно проще, чем вычисление оператора добавки в (23)-(24). Кроме того, использование в качестве добавки опара-тора ехр(-2 О2' ) позволяет перейти от (25)-(26) к интэгро-диадорвпциальиой,задаче (28)-(29), для использования которой нэ требуется явно вычислять оператор добавки.

ОСНОВНЫЕ РДЗУЛЬТлШ'

£. Построен метод регуляризации некорректных задач, обобщающий __ метод квазиобращения и оптимальный по порядку. • . -------

2. На примере метода квазиобращения рассмотрена возможность рэ~ гуляризапди некорректных задач с яомощыо оператора, не коммутирующего с основным оператором задачи.

3. Получены условия на оператор добавки в метода квазиобращения, обеспечивающие оптимальность по порядку этого метода.

- II -

Публикации по тема диссертации

Ганана B.il.Табаршщеш ii.В. Об одном обобщении метода квази-обращэнмя // Исследования по функциональному анализу и топологии. Свердловск, изд-во УрГУ, 1990.

4 Табаранцева К .В. Об одном обобщении метода кваииобращания. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Асимптотические методы решения сингулярно-возьтущенных уравнений и некорректно поставленных задач'.' Бишкек, "¿1аш", 1991.

Талана- V. R, Tabarintse va E.V. About the optimally of the qi^asi. inversion type, method in the solution of mathematical physics inverse problems Ц Oournat of inverse and ill-posed problems. Vol i, v.3 цддз)? printed in Netherlands by ICG- Printing , Dordrecht

J

/W

4

Подписано к печати 23.12.93, Форках 60 х 84/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Объем 1,0 уч.-изд.л, Тираж 100 экз. Заказ Ji ^/.Бесплатно.

Урал. ун-т. 62G083, г.Екатеринбург, К-63, лр.Ленина, 51.

Типолаборьторш УрГУ, 620083, г.Екатеринбург, пр.Ленина, 51