Достаточные условия оптимальности управления в системах параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ЗлГ.птралск;:?. o?3íía iisinu :: о?д:;:\ тр/даго красного

«г. ПГ-'ЕЛХ ручопгси

1'у?:'7?;-лсз лтл •

ДОСТАТОЧНUS УСЛОВИЯ СПТ^АХЪНССТ;! управления В СКСТБМАХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ГЛ1А

01.01.СО - :>л?с:'ятччбг!:ая кибориот'-";-%

А 2- ? 0 ? S V SPAT

дпссортяц::;; на со::с>:а!:::о учсисЯ ст.'.погк кп.ютлата ^иэ^гсо^гатс'-аткчпохнх ¡¡-»у.-:

ш

Работа выполнена ьа кафедре прикладной и вычислительное математики Туркменского государственного университета КНО Туркменской ССР.

доктор физико-математических наук,профессор Л И "гэр-з

кандидат физико-кгтематичсских наук,доцент Л.Т.Позняк.

Бедутцйя организация - Одесский государственный университет.

Защиталкссертации состоится " -уХ " ¿С-НЖЛ-_

199-/-Г.В " часов на заседании специализированного Совет)

К-063.57.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-ма тематически* наук в Ленинградском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета пэ адресу: В/о,ТО линия,дом 33,а- 88

С диссертацией можно ознакомиться' в библиотеке имени А.М.Горького Ленинградского госуниверситета (Университетская набережная 7/9).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Ю.Б.Сенсов.

Официальные оппоненты:

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного Совета к.ф.-м.н.,доцент

В.Ф.ГОРЪКОВОЙ

СГ1" ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

А к ту г. л ь н о с т ь тс:.:". С развитием техник;: и 'экономики к спискам икокагичогкого управления грь/Г--яил17-птсг пес белое разнообразные и г.гсткие ?ехи::ко-с<кс:о-:,.::чос;;ио требования. Круг объектов, работающих и рогя-ке йзсо-ячлчссмого уг;ра;-лск::я, быстро рас^'иргоюя. Сто приводит к задаче:.: опт:п.1иль:10"о уп'пелешгя системами с рс;спредслеинкмя параметрами. Поело того, как бил доказан пригц'ип :.:а::с;:./у|.-а Л.С.Понтрягина как необходимее условие оптимальности б системах, описчвпемпх обмкко--ьешм.ч::: д;:-'?еренц;:алы:ь-.;;1 у раытек'пгки, Снло епубликс-раис значительное количество работ, посвящениях распространен.:,о этого прнтг/па на с;:сте!.\л с распределенными параметрами. Обобщение теории оптимальных процессов га систе;.;:: с распределенными параметра:.;'-'. представляется весь..:а ваят и интересным, так как задачи 1а-ко^о рода возникают в самых различных областях ьауки и их решение мотет иметь большое практическое значение дл1- различных областей промь;шле!!ности, особенно при разработке носеЯаеП техники и технологии.

^льне^сео развитие теории сягл-ллыпл процессов потребовало разработки вопросов, связанных с достаточ-нь::.'и условиями опт::: аяьности. К настоящему времени опубликован ряд различны:: '}срм достаточна услови? сп-тигальности, позволяющих рассматривать широки? круг задач. Существеннее результата г тгории достаточных услови4 оптимальнееги были получит; Н.Н.Красогским, З.И.Субоз«:»-, /..М.Лстовьй:, З.'.Ктотогг.:, ".Г.Се:;сов>-г.:

.'споль.;- ганнп идс» г.тегогг .чете,'и Гяпунсва з теории устойчивости д: прения пр::-.-н:г.ельно г уп?г,ч„>:"■=:.:>-.•:.', систем;-V. Г.Г.Сенсэн";.; получо!«* достотсчнко условия сп; мальпост.: на вгедення так к.азь:вг.с-:<г'х нспрони-

цаемих поверхностей. Эти исследования, в основном касающиеся управляемых систем, опночваимых обыкновенными дифференциальными уравнениями, допускают обобщение и ка систему, описмзаомые уравнениями параболического типа. Проблема получения конструктивных и объективных достаточных услови4 оптимальности процессов с нелинейных сис.омах управления и настоящее время представляется акту. ;льно".

г>лбот' . Получить эффективные достаточные услог:- я оптимальности рсщенп"- управляемых систем параболического типа, а такке разработка методики проверки отпх условие б задачах терминального управления.

чип г новизна. Основные результаты диссертации заключаются. в следующем:

- получены оценки множеств достижимости систем параболического типа;

- получены новые достаточные условия оптимальности управления в системах, описызаемых дифференциальными уравнения:.'!; параболического типа;

- доказана оптимальность процессов, удовлетворяющих принципу у а кс и:, ума Л.С.Понтрягнна, в задачах минимизации интегрального квадратичного отклонения конечного состояния обт-егта от заданного па определения;

- разработана методика численного репепия задачи оптимизации упраглени".

Методика исслодовани,1:. 3 диссертации используются методч теории оптимального управления системами с гис-предсленными параметрами, теории уравнени'Ч в частных производных и функционального анализа. В основу исследования оптимальности, отдельного процесса управления г'"Южна идея "непроницаемости" некоторых поверхносте!' в расширенном разовом пространстве допустимы:.::*, траектория:,':: управляемой систем;'. Получение условий непроницаемости таких пчперхностеР базируется на исследовании некоторого аналога ;:г;'сга Ляпунова п теории устойчивости

движения.

Пггкткческая тонкость. Получению розульта:ы •■•01 ут бл'ь использованы при расчете плотных современных сис-тсм автоматического регулирования V упрагленпя. Разработанная г/етоднка носит конструктивны" характер, из которой следует численны" алгоритм решения задач оптимизации управлек.реализуешь:" на СЗ'!.

Апробация ¡гСоти. Рсзул:.таты работы докладывались и обсу.тдались на И, ИГ, УД Республиканских конференциях молодых ученых Туркменистана (Апхабад, ГС,ГЗ,'1С'В4.К-^Сго-дм), на Республиканском семинаре по оптимизации и 01г.и-кальному управлению (Днепропетровск, 1СБ4г.), на Зсе-союс-ных конференциях "Дифференциальные уравнений и их приложении" (Ашхабад, ТССбг.), "Проблемы теоретической кибернетики" (Горьки-1, 1£88г.), "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, Т~90г.).

Г!уб1пкзщ:и. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-12 .

Сбъе:.: диссертации. Диссертация состоит из введения, трех г-ав, г.пнека литературы из Сб названи* -л содержит 70 страниц машинописного текста.

СОДЗРХЧКЕ РАБОИ

Ео сведении дастся краткий обзор работ по те^е диссертации, ебосногызэетс* практическал и научная актуальность данной работы и излагается краткое содержание диссертации.

Б первой главе даетса постановка задач оптимального управление. Она состоит из трех парггра-^ов. В п.Т.Т. приводятся основное обозначения, постановка краевых задач, определения о?лб[ценного решения з^кх задач в с'ысле С.".Соболева и некоторые пзвестн'.'^ оценки гор:; пт1;^ ре-сен'П а пространстве Щ,°'1(С1) , (2 - цилиндр [о^ Т]х£2

с

с основание!/ , пр_дстасляюи;да собо" некоторую ограниченную область в /£Л , с кусочно-гладко? границей б" такой, что элементы пространства У/г' (Л-) имеют след-.' на б" из (Ь J .В п.1.2 д..я обобщенных ре^окиЧ одной краевой "задачи получено интегральное тождество, использусмсе впоследствии для оценок рсдсниЧ управляемых састс.-:. С поиоздо дк^ерентдияльяого опера-

г-до Лу , 0-1 ' ^ - ограниченные хзглеру.хып функции

В а ' 3 >

рал'со:/ краевую задачу

£1,(42) } (2) Я^р • О)

Здесь ^

Я-У ^ Щ СОЗ(^) у- /у

- ограниченная измеримая функция на 5 , ■? -внескяк нормаль К б' •

Пусть ^(¿х) - обобщенное решение сопря-

жет :ой краевой задачи

, (5)

= Я , (6)

г.

Тогдя для либг-гх £]: и ;;з отрезка /с? 7^7 сп^ппсдл::'О тождест;о

$У/4- (7)

гдо ^ ^

В п.1.3 пригодятся различные постчнопкк задсч оптимального управления р системах с распределенными параметрами, описываемыми ди^еренциальнкми уравнениями в частных прсисводтгых глрабслического типа. Обойденное решение у (¿я) ■ И-,х) & О- у краевой задачи (1М2) будем, пользуясь терминологией из теории управления, на.?чоать процессом у(-) . Если какие-либо коо*';;циснтн опорато-роа Л и И или функций / , ^ , / зависят от некоторых ш.раметроч, то приходим к задаче управления. Зектор-столбец и. с компонентами Щ,—, называется управление?'. 3 случае, когда управлеидо вх'.дит линейно и функции У" , ^ , £ , приходим к линейной управляемой системе. Так^е систикы подробно исслсдованч Бутигсским А.Г., Егороакм Л.П., Плотжжсчнм Б.II. и др. Если ге управление входит в коэ^ициентч операторов и Я- , то воинхкает к с л и н с " н а я задача управления. Ддлее приводится *ор!.улкговкп оснонччх надач, Гассматр/юег.ых в работе.

садача I. Пусть упризляе:.',!" процесс описывается 'Турцией < которая удовлетворяет началь-

ному и краевом;' условиям (2), (3), а в1тутри области 0. следующему уравнении

7

у.+ Чш^+Ш, (8).

где ^(¿¿с) и ограниченные измеримые функции,

¿¿^(¿X) , <¿¡£6) - управляющие фу.кции.

Пусть . -

и В {и : и, ММ , ,

V, г [и.: и 6 Ц, а, Ч^им } ,

где М.1 (¿- = ¿,1) - заданные неотрицательные ^пслг'. Управления Иб будем назыгать допустимыми.

Рассматриваемая задача оптимального управления состо'.": в том, чтоб.,; на?ти допустимое управление и со-стветствую'дс» е;.:у обобщенное решение краевой задачи (8), (2), (С), на которых функционал

принимает наименьшее гюзмогпое значение. Здесь ФО*') заданная функцля из (¿2} , а Т - фиксированный момент времени, определяющим область О

Задача II. В ото? задаче управляющая функция вхо-.д'.'.т б граничные условчя. Чреддолагается, что управляе-мп" процесс, описывается функцией , которая

внутри области удовлетворяет уравнению (Т), при

-¿= о - начальному' условию (2), а на гр^л/.це -условия

> 'ТО)

где • ~ ограниченные измеримые функции на

границе 5 .

Допустимыми управлениями будем считать сункции из Множества

в

Задача оптимального управления состоит в нахождении такого допустимого управлениг и соответствующего ему обобщенного решения краевой задачи (I), (2), (10), которые придают ыинп.'/альное значет!не функционалу (\Л.

Задача Г1. Эта задача отличается от задачи I только тем, что в уравнении (8) вместо фигурирует ¿¿¿(¿¡¿с) . Зго означае1!', что в задаче И класс допустимых управлениТ значительно шире, чем б задаче I. Наконец,в задаче 1У управление «ожзт входить как в уравнение "двияения", так и граничные условия.

В главе 2 исследуются задачи I и II и приводите." два важшх приложения полученных результатов. В п.2.1 для задачи I доказывается Теопеыа I. Пусть . - обобщен-

ное решение задачи (8), (2), (3) при некоторых допусти--иих управлениях ) , 1-1^0) и начально!.; уело-

№*)=!//*> ,

удовлетворякщ'.ес неравенству

I

где Т7- экстремаль Потрягнна в задаче I, а

х.) - соответствующее решение сопряженной задячи. Тогда при любых ¿"б/ту^ 7"] выполняется неравенство

3 этой теоре:.:е акстрекаль Понтрягина ^О^^ ) , задается управлениями ,

; (/^б^) , ¡Ъ,Т] исходя из принципа !.'аксиму«а

«X (121

\

Ш 5 , (13)

5? '"¿/-"а ¿р

где , - обобщенное решинио сопряжен-

ной краевой задачи:

f(T*)=-l[ya;x)-<p&]} (14)

/2 V - ° ■

Полученная интегральная оценка (II) позволяет получить интегральную оценку для совокупности сС££2? возможных состояний исследуемого объекта в момент г.ремсни 7" , как элемента пространства LJ^)

С помощью стой оценки доказывается Теорема 2. В задаче I углоеия принципа максимума Понтрягит являются необходимыми и достаточный ycjionnrv.i оптимальности.

Здесь следует отметить, что в общем случае усло-гия принципа максимума Понтрягипа являются только необходимыми условиями оптимальности управлений Uj и . Достаточность условий гринципа максимума установлена только для некоторых линейных задач упраг-ло-ння.

Е п.2.2 для задачи П также устанавливается оптимальность экстремалей Л.С.Понтрягина. Сопряженная краевая задача при зток записывается уравнение:.: (4), краевыми условиями (14) и

ю

я принцип максимума -

почти при всех (¿x/eS.

D п.2.3 pacctrwpiwiCTC* задача об оптимальном нагреве тонко!! аропплоки. Б качество управленн" принимается величина тепа, проходящего через-сечение ото" проволоки, "та задача относится к типа рассмотреино" я г.2.1.

S п.2.4 рассмотрена задзчч управления течением магнитной жидкости. ^г.мм^очесноо производство и практическое применение магнитных кидкссте'' началось я кочне ISC0-X годов. Поригх-яниЧ интерес к отому объекту обусловлен необычпчшг"н его свойствами и с г?рспск-т::во? широкого его использования в разнообразных технических устроЧетпах. Рдесг. исследовано влияние г.моа-него магнитного поя« на течет« магнитно*! жидкости между дру./.я параллельными станками, одна из ксгорчх' движется со ск, ролью V , а другая неподвим.на^. Предложным'1 метод последовательных прнблпг.ени'1 для нахождения оптимального упР-'мления непосредственно следует из ►•ттериалов п.2.Т.

Гла'л 3 посвящена рассмотрению задач III и 1У. Расширения класса допустим« управлений, зыранаю-щч"ср и том, что управления ¿¿г 'пкеят не только от времени ~t , но и от перегонных гс , позволяют сделать заключения, аналогичные приведенным в гла-ре 2, только в случае, если в управляемо? системе доп'-с/нмм только неотрицательные функции состояния

и

Основное содержание диссертации опубликовано п работах:

1. Нурмурадов А. Об оптимальном управлении процессом нагрева по границе материала. С научная конфе- ■ ренция (лолодчх ученых АН TCCF. (Тезисп докладов). Ашхабад, 1283.

2. Сеисов Ю.Е., Нурмурадоп А., Нпрччев А. О поверхностях, нопроницаемих решениями параболических уравнений. Известия All ТССР. Сор. и ГН, IOC 1, 'Я.

3. Сснсов В.Б., 1'урмурлдов А. Оптимальное управление п однем классе систем, описываемых параболическими уравнениями. Известия АН ТССР. Сер. ОТХ и П1, Т905, 1,'3.

4. Нурмурадсв А. Об услот^яг оптимальности в задачах терминального управления. ¿Т| Республиканская научная конференция молодых ученых. (Тезисы докладов). Ашхабад, 1931.

5. Нурмурадов А., Гурбаш.зов O.A. УГ1 Республиканская конференция молодых ученых, (тезисы докладов). Акх.-бад, 1934.

6. Сеисов Ю.Б., Нурмурадов А. Сб оптимальности экстремалей в параболических системах. Известия АН ТССР. Сер. ?ТХ и ГН, I'jSG, 'H.

7. Нурмурадов А. Оптимизация коночного состояния d системах параболического типа. Всесоюзная ко!гферсн-ц;;г "Дифференциальные уравнения и их приложения". (Тиопсы докладов). Ашхабад, КОС.

8. Нурмурадов А. Нелинейные задачи управления для уравнений параболическое типа. УШ Республиканская научная конференция молодых учоных. (тосисы докладов). Ашхабад. 1986.

9. Сеисов B.D., Абраменчо С., Нурмурадов Л. и др. Гарработка методов решения экстремальных задач. Отчет НИР ЗТИ АН ТССР. Ашхабад, TScC.

12

10. Нурмурадов Л. Достаточные условия оптималыюсг та управления в системах параболического типа. Известия' АН ТСС?. Сер. <5ТХ и ГН. 1083, КЗ.

11. Нурмурадов А. Достаточность условий принципа максимума. Всесоюзная конференция "Проблеет теоретической кибернетики". (Тезису докладов). Горький. 1988.

12. Сеисоч 10.Б., Нурмурадов А. Управление течением вязко? жидкости. Зсесошная конференция "Дифференциальное уравнения и оптимальное управление". (Тезисы докладов). Ашхабад, 1990.