Нагруженные параболические уравнения второго и четвертого порядков в задачах оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ р р ^ ф д ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи БЕЛОГУРОВ АНДРЕИ ПЕТРОВИЧ

УДК 517. 977+517.956

НАГРУЖЕННЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01.11 -Системный анализ и. автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ, 1994

Работа, выполнена на кафедре теории управления Казахского государственного Национального университета имени Аль-Фараби.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник ДЖШАЖЕВ М.Т.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор САКАБЕКОВ А. кандидат физико-математических наук, доцент СЕРОВА ЙСКИЙ С.Я.

Ведущая организация: . Институт проблем управления и ' информатики НАН РК.

. Защита состоится " хУ " 199 У г.

в /Л~~часов на заседании Регионального специализированного совета К 14/ А 01.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Казахском государственном Национальном университете им. Аль-Фараби по адресу:

480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/4^, КазГУ, механико-матемйтический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан "Ль " 199 У г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат

физико-математических наук, доцент

1.А. АЙПАНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время в теории уравнений с частными производными немаловажное место занимают исследования, посвященные краевым задачам для нагруженных дифференциальных уравнения. Такие уравнения имеют следующий общий вид :

Л з %)и(х) у Уф) =/(*) в области-^/?", (I)

где Ю - дифференциальный оператор, J/ - дифференциальный или интегродифференциальный оператор, содержащий оператор взятия следа от искомой функции Q(x) на многообразиях из замыкания iQ размерности строго меньше Г)

Уравнения вида (I) возникают при изучении обратных задач математической физики, нелинейных уравнений, сведении нелокальных краевых задач к локальным и т. д. В частности, к задачам для нагруженных параболических уравнений приводит исследование многих управляемых процессов.

Это проблемы управления протяженными динамическими объектами (нефте- и газопроводы, промшленныв термические установки и пр.), задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, управление летательными аппаратами и i, j,

К первым работам по теории нагруженных уравнений можно отнести исследования КлебеЪ (1914 г.), Н.М. Понтера (1932 г.), А.Н. Крылова (1932 rJ, H.H. Назарова (1948 г.), А.Ш. Габиб-заде (1959 г.), А.Д. Искекдерова, В.М. Будака (1967, 1971 гг.) и др., в которых, как правило, рассматри-

вались нагруженные интегральные уравнения. Дифференциальные и интегродифференциальные уравнения, содержащие нагруженные члены, присутствуют в работах С.М. Тарга (1951 г.), H.H. Кочиной (1971-1973 гг.).

Однако начало глубокого и систематического изучения нагруженных уравнев/й, в том числе краевых задач для них, было положено в трудах A.M. Нахушева и его последователей. Именно A.M. Нахушевым (1976 г.) было дано принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженного уравнения. Им и его учениками исследованы вопросы однозначной раз решимости уравнений вида (I) в классах непрерывных' функций.

Проблемы обобщенной разрешимости краевых задач для нагруженных уравнений 2-го и более высокого порддков в классах соболевских пространств изучались в работах М.Т. Дженалиева (с 1986 г.). Однако при рассмотрении некоторых типов задач оптимального управления возникают нагруженные уравнения 4-го порядка, которые ранее никем не описывались а не изучались„ Анализ краевых задач для таких уравнений представляв1? несомненный интерес»

* Важное место в теории нагруженных уравнений занимают задачив где "нагрузка" осуществляется при помощи фиксации некоторых моментов времени Й „ Частично эти вопросы также рассмотрены М.Т. Джшалиевым«. Тем не менее весьма актуальным видится приложение полученных результатов к многочисленным задачам для параболических уравнений 2-го и 4-го порядков.

Задачи оптимального управления - одна из важных сфер применения нагруженных параболических уравнений. Так, в

исследованиях I.A. Караева (1985 г.) и В.З. Кенжегулова (1992 г.) анализируются задачи, где управление протяженным динамическим объектом осуществляется воздействием на него в конечном числе фиксированных точек. Но не меньший интерес представляют случаи, когда, кроме "нагрузки", существует еще управление начальными условиями, либо, ко^да управление распределено в конечном числе многообразий размерности меньшей, нежели размерность области Q . Такие задачи впервые рассматриваются в данной работе.

Всё сказанное выше подчеркивает важность постановки и исследования задач оптимального управления и краевых задач для нагруженных уравнений параболического типа 2-го и 4-го порддков.

Цель работы. Исследование задач стартового оптимального управления (начальным условием), а также задач управления по фиксированным многообразиям с помощью методов нагруженных уравнений, а также численных методов.

Постановки краевых задач для параболических уравнений 2-го и 4-го порядков, нагруженных как по пространственной, так и по "временной" переменной. Формулировка теорем об однозначной разрешимости поставленных краевых задач.

Получение априорных оценок решений и доказательство единственности решений. Доказательство существования решений задач в соболевских классах функций.

Методика исследования. Для доказательства обобщенной разрешимости поставленных краевых задач применяются методы априорных оценок и Галеркина, а также метод Фурье.

Кроме того, используются методы теории оптимального

управления, общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, в частности, теории пространств Соболева»

Для численного решения указанных задач применяются различные разностные и итерационные методы^

Научная новизна. В диссертационной работе задачи оп-.тимального управления по фиксированным многообразиям и начальным условием впервые сведены к изучению краевых задач для нагруженных параболических уравнений 2-го и 4-го пордц-ков.

Исследована задача оптимального управления для параболического уравнения 2-го порядка, получены необходимые и достаточные условия оптимальности, показана однозначная обобщенная разрешимость соответствующих краевых задач для нагруженных уравнений.

Приведены постановки новых корректных краевых задач для нагруженных параболических уравнений 4-го порядка, в том числе задачи Дирихле и Неймана.

Приведены примеры некорректных краевых задач для нена-груженного параболического уравнения 2-го порядка, которые становятся корректными при специальном добавлении "нагрузки". .

Достоверность результатов. Все полученные в диссертации результаты сформулированы в виде теорем, лемм и следствий и математически полностью доказаны.

Теоретическая и практическая ценность. Приведенные в работе постановки краевых задач, а также сформулированные и доказанные теоремы об однозначной разрешимости этих задач

могут представить интерес с точки зрения теории нагруженных уравнений и в целом уравнений с частными производными. С другой стороны, эти результаты, а вместе с ними задачи, составляющие содержание главы III, могут оказаться полезными при решении практических задач оптимального управления моделирования оптимальных процессов и т.д.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались в период с 1992 г. по 1994 г. на научном семинаре по проблемам оптимального управления (рук., д. т. н., проф. Айсагалиев С.А., КазГУ им. Аль-Фараби), Республиканской научной конференции "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики", посвященной 70-летию Т.И. Аманова (Алматы, 1993 г.), а также научных конференциях КазГУ им. Аль-Фараби (1993, 1994 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l3 - [5Ü .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложения. Основной текст изложен на страницах машинописного текста, включающего > иллюстраций. Список литературы содержит наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, обосновывается ее актуальность, указываются цели и методика исследования; описаны классы задач оптимального управления, решение которых приводит к необходимости изучения различных нагруженных уравнений параболического типа. Здесь же приведен краткий-обзор содержания диссертации.

Глава I. нагзд^еннда_фиксишпянием_п2 Глава содержит 4 параграфа.

В § 1.1 приводятся основные постановки задач, изучаемых в данной главе. Пусть - некоторая ограниченная область, Эй - граница области ; ( О, Т )~ интервал времени, Т<+0® ; (¡¡>=£?*(Ъ,Т) , 2>Э£?'(оТ).

Пусть операторы А , Ф . Ц - заданы следующим образом:

= ; (г)

ф - « ±I сШу^МШ-Я;

!к\& -V

= "§7?; (р-¿,2,...).,

Введем пространства функций

А Ш];

о")

Задача I. Отыскать функциюудовлетворяю-

щую уравнении

а также условиям

■ (б).

Параметры задачи (4) - (6) удовлетворяют следующим

УСЛОВИЯМ!

МЛ ё* (Г, 0 * ПЪ,7; П^ < 7)

С а Я ¿С2 (к= £,./эт); >о.

Задача 2. Найти функцию ^(х^б)Т), где которая удовлетворяет уравнению ■; ' '

в также начальному и краевым условиям:

у(х,0) = Цо(х) о Я , (Ю)

у(*Л)=0 мТ, 1>1у(х,*)=о м!.. (II)

Зцесь

~~~ Г-*ГЙ(12)

м,¡риг

Предполагается выполненным условие:

Ш^т^ГЩН^ся), г-«***>о. (13)

Кроме того, "

. _ ■ а^^Г(О);

'¿Л*е1~(ЬТ;Г(Г*Ш (м)'

'СО,."О-^^ - как многозначные отображения непрерывны;

Задача 3. Необходимо найти функцию ,

где

ЕаЙНтг1Ум*2};

которая удовлетворяет уравнению (9), начальному условию (10), и краевым условиям

Б?у(х,*)=о В1 у(х^)-о но . (к)

Условие (13) здесь имеет вид

»Уу* >0- (17)

Остаются в силе условия (14) с той поправкой, что

(и)

В § 1.2, 1.3 сформулированы и доказаны основные теоремы однозначной обобщенной разрешимости для параболических уравнений 4-го порядка, нагруженных по пространствен. ной переменной.

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (7). Тогда

задача (4) - (6) имеет единственное решение ^(х^) из класса У(Ъ,Т)-

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия (13), (14). • Тогда задача (9) - (II) имеет единственное решение

Теорема 1.3 для задачи Неймана формулируется аналогичным образом.

Доказательство названных теорем проводится с использованием методов априорных оценок и приближенных решений Галеркина.

■ В § 1.4 дан пример задачи для нагруженного параболического уравнения с нелокальными краевыми и начальными условиями. Показано, что такая задача, не являющаяся корректной при отсутствии нагруженных членов в уравнении, становится корректной с добавлением "нагрузки".

Глава II. Исслейование_к|эаевы^э^

Глава содержит 4 параграфа.

В § 2.1 дается постановка задачи для дифференциального уравнения, имеющего "нагрузку", по времени.

Ёядача 4. Отыскать функцию М) . удов-

летворяющую уравнению вида

т

но:(О,1\ (19)

и условиям

(p*+ß°)y(oho, /Гу(1)=0 ; <20)

Здесь - общий линейный самосопряженный оператор,

действующий в некотором гильбертовом пространстве Н , имеющий чисто точечный спектр и коммутирующий с оператором Dd . Система собственных функций оператора Л 'СХг} , S^if? ,^=^1,2,.,.} составляет базис Рисса в И ; {>li} . - соответствующая система собственных

значений. J4} - операторы проектирования

в соответственно

/г , н° , /г - замкнутые линейные оболочки векторов ^ для отрицательных. ( ), нулевых ( ££ ) и положительных

) значений 4 ((ff*yuWU!?+ ).

Здесь же приведены некоторые вспомогательные утверждения, базирующиеся на результатах, полученных A.A. Дезиным.

В § 2.2 в качестве основного результата главы сформулирована

Теорема 2.1. Задача (19), (20) имеет единственное сильное решение у€ !?(о}1'РН) для произвольного ^ тогда и только тогда, когда выполнено

4о ? ■ «и

где

г

в = i

ГЖЛ

m

\

В этом же параграфе рассматривается вопрос о разре-

альных уравнений I поредка.

§ 2.3 содержит доказательство теоремы 2.1, в котором использованы результаты первых двух параграфов данной главы,

, В § 2.4 рассмотрены примеры приложения теоремы 2.1 к конкретным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Рассмотрен такие пример некорректной краевой задачи для параболического уравнения 2-го поредка, которая становится корректной при специальном добавлении "нагрузки" по "временной" переменной.

Глава III. Иссл§цование_з?щач_оптималь^ ления.

Глава содержит 2 параграфа.

§ 3.1 посвящен изучению задачи оптимального управления линейным нагруженным параболическим уравнением 2-го порядка по фиксированным многообразиям.

шимости задачи Коти для системы обыкновенных дифференци

Пусть с - некоторая ограниченная область с

границей ; О ; ;

М) ; <5= $2<ОД) ; .

Задача 5. Найти пару {{¡(х,^), ^(х'^)} . удовлетворяющую условиям:

и у (¿¿М ЩШ*ШМ^НЬ V (22)

Ц(хЛ)=0 на'Х, у(*,0)=у.(г) ё Я , (23)

и минимизирующую функционал

т

УЦ&А (24)

При этом

€ -ГСод) 4 у 1 у ^ ¿То,т; ; К ^ ¿2(оТ;

11~ХЯ*(6,Т))'у А(0~ удовлетворяет (I). а параметры задачи удовлетворяют условиям:

* й; I (а); А Ш; нЩ; у о* Ш;

I 4.П - Л

¿чЪЪ > * X> О;

Для задачи (22)—(24) получены необходимые и достаточные условия оптимальности в форме вариационного неравенства . С помощью ряда преобразований указанная задача сведена к трем краевым задачам для нагруженных параболических уравнений 2-го пордцка. Показана их однозначная обобщенная разрешимость в случае, когда размерность области не превышает трех.

§ 3.2 посвящен численному исследованию поставленной задачи оптимального управления в одномерном случае. Аппроксимация соответствующих краевых задач для нагруженных уравнений осуществляется при помощи двухслойных разностных схем, далее используется метод трехточечной прогонки. . •

Для модельного примера получены оптимальные значения управления и состояния процесса, хорошо согласующиеся с ожидаемыми.

В заключении кратко сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы.

В приложении представлены графики оптимальных управления и состояния процесса, выведенные на основании численных результатов' исследования модельного примера.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Рассматриваемые задачи оптимального управления начальным условием, а также по фиксированным многообразиям, сводятся к изучению краевых задач для нагруженных параболических уравнений 2-го и 4-го поредков ;

2. Приведены постановки новых корректных краевых задач для нагруженных параболических уравнений 4-го порядка. Сформулированы и доказаны теоремы об однозначной разрешимости этих задач ;

3. Описаны примеры некорректных краевых задач для параболических уравнений 2-го поредка, которые становятся корректными при специальном добавлении "нагрузки" ;

4. Изучена задача оптимального управления по фиксированным многообразиям для параболического уравнения 2-го порядка, получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Показана однозначная обобщенная разрешимость краевых задач для соответствующих нагруженных уравнений. Проведено численное исследование в одномерном случае, получены результаты, согласующиеся с ожидаемыми.

Основные положения диссертации опубликованы в следую- , щих работах:

1. Белогуров А.П., Дженалиев М.Т. Об одном приложении нагруженных уравнений параболического типа// Изв. АН РК. Сер. физ.- матем. - 1992. - № 5. - с. 3 - 7.

2. Белогуров Л.П. Об одной задаче для нагруженного параболического уравнения четвертого поредка// Библиогр.

указ. "Депонированные в КазгосИНТИ научные работы". -Алматы, 1993. Вып. I - » 4243-Ка93, - 21 с.

3. Белогуров А.П., Дкеналиев М.Т. Вопросы разрешимости краевых задач для нагруженных параболических уравнений высокого порядка// Тезисы докл. конф.-конкурса молодых ученых и специалистов по математике и механике/ КазГУ -Алматы, 1993. - с. 8 - 9.

4. Белогуров А.П. О разрешимости одного класса нагруженных дифференциальных уравнений высокого порядка// Тезисы докл. Республиканской конференции "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам матем. физики" (посвящ. 70-летию Т.И. Аманова)/ ИТПМ НАН РК. -Алматы, 1993. - с. 52 - 53.

5. Дженалиев М.Т., Белогуров А.П. О периодических решениях нагруженного фиксированием пространственной переменной уравнения теплопроводности// КазПУ, деп. в КазгосИНТИ 05.07.1994. - № 5139-Ка94. - II с.

БЕЛОГУРОВ Андрей Петрович

ОПТШАДЦЫ БАСКАРУ ЕСЕПТЕР1НДЕГ1 ЕК1НШ1 Ж9НЕ Т9РТ1НШ PETTI ЖУКТЕЛГЕН ПАРАБОЛАЛЩ ТЕНДЕУЛЕР ТУРАЛЫ

Кейб1р оптимадды баскару eceirreplH ек1нш! ганэ TspTlmni ретт! жуктелген пэраболалик тоцдоулерд1д иетт1к eceirreptH зерттеу аркылы шешуге болатындага керсет!лген.

Терт!Hint ретт! жгктелген тевдэулерге жана корректт! швтт$к есептер! койылган.

Жуктелген парвболзлык тевдеулврдш Соболев кен!ст1к-тер!вде шеш!м1н1н бар жэнэ жалгыз екевд1г1н аныктайтын теоремалар дэледденген. Апрлорлык елпевдер- Галеркин жэке Фурье эд1стер! пайдаланган.

Ек1нш1 дэрэжэл! параболалык тевдеуге койылган бел-г!Л1 кепбейнв аршлы оптималда баскару есеб! зерттел-гек. Оптимаадыктнн квжетт! аэне жвткШкт! шарттари алынган. Буларга сайквс 9к1нш1 ретт! гтктелген товдеу-лерд!н швтт1к ecenreplHts шеш!м!нШ бар гэво салтыз екевд$г1 керсет1лгеп.

Аркаулн ayri болгацда гана коррэктт! иеш1лэт1н тец-деулердШ масаддары бер!лген.

BELOGUROV Andrey Petrovich

SECOND AND FOURTH ORDER LOADED PARABOLIC EQUATIONS IN OPTIMAL CONTROL PROBLEMS

Some problems of optimal control, wich reduce to researching the boundary value problems for second and fourth loaded parabolic equations are considered.

The formulation of the new correct boundary value problems for fourth order loaded parabolic equations is gived.

The theorems of existence and unique solutions of such problems in Sobolev's spaces are formulated and proved.

The method of a priori estimation, Galerkin's method and Fourier method are used in proofs. The optimal control problem for second order parabolic equation on fixed variety is investigated. The existence and unique generated solutions of boundary value problems for second order loaded parabolic equations are proved.

The examples of reduction the non correct boundary value problems for second order parabolic equations to correct boundary value problems by adding special loaded members are gived.