Оптимальное управление линейными нагруженными уравнениями параболического типа с точечным наблюдением и зонным управлением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ШНИСТЕРСИЮ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЗЕРСИШ ИМЕНИ АЛЬ-ЗАРАБИ

На правах рукописи УДК 517.977.56

КЕНЖЕШОВ БЕКЕТ ЗйНЕШЕВИЧ

ШТИШЪНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ НАГРУЖЕННЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ВША С ТОЧЕЧНЫМ НАБЖДШЕМ И ЗОННШ УПРАВЛЕНИЕМ

Специальность: OI.OI.II - Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

А.Т1А-АТА 1992

Работа выполнена в Казахском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени Аль-Фараби

Научные руководители: доктор технических наук, профессор С. А.Айеагалиев, кандидат физико-математических наук, СНС М.Т.Дкенялим

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д.У.Умбетжанов, кандидат физико-математических наук, доцент С.Я.Серовайский

Ведущая организация: Ордена Ленина Институт проблем управления Российской Акедеивш наук ( г. Москва )

Защита состоятся __1992 г. в часов

но заседании Регионального специализированного совета К 058.01.19 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических над в Казахском государственном университете им.Аль-Зараби по адресу:480012,г,Алма-Ата,ул.Масанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Каз17.

Автореферат разослан " " „ ___19Э2 г.

Ученый, секретарь Регионального специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Ш.А.Айлан

_ з -

"Г I '

i .общая характеристика работы

it.;' i

: . j Актуальность_темы, Теория оптимального управления для сис-

""тем с распределенными параметрами, описызаемых уравнениями с частными производными, стала разрабатываться относительно недавно. К таким системам относятся задачи аэрогазодннамики, химических реакций, диффузии» фильтрации, процессов горения, нагрева и т.д.

Несмотря на сравнительно короткий срок своего развития, таким задачам посвящено достаточное количество научных работ, исследованы проблемы существования обобщенных оптимальных пар,изучены их свойства, получены необходимые и достаточные условия оптимальности, разработаны также численные методы их ревения.

Теория оптимального управления для систем с распределенными параметрами исследованы в работах: А.Г.Бутковского, А.И.Егорова, D.B.Егорова, К.А..Дурье, 2.-Л.Лионса, Т.К.Сиразетдинова и др.

Народу с вышеперечисленными задачами, з последнее время активно исследуются процессы, описываемые нагруженными дифференциальными уравнениями с частными производными. К таким задачам приводят задачи оптимальных тепловых режимов, экологии, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги. К исследованию вопросов разрешимости нагруженных дифференциальных уравнений и численных методов их решения посвящены работы А.М.Нахушева, А.Д.Искеедерова, A.B.Бородина, М.Т.Дженалиева, М.Х.Ыханутсова, Д.У.Умбетяанова и др. В работах A.M.Нахупева^доказаны существование и единственность регуляр-

^Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вцрождащегося нагруженного интегро-диЗференциального уравиения//Дифференциальные уравнения, 1976, T.I2, № I, - C.I03-I0Q.

ного решения из класса для нагруженных интегро-дифферен-

циальних уравнений параболического типа, где Q» {о<х<£^ ск-fc <Т} „В работ&х М.Т.Дясенаяиева^и Ж.А.Караеза^поставлены и исследованы задачи, оптимального управления для нагруженных дифференциальных уравнений параболического типа. Ими исследованы такте существование оптимального решения, необходимые и достаточные условия оптимальности, показана возможность численного решения таких задач на некоторых модельных примерах. В данной работе исследуется уравнение, неустановившееся неизотермическое движение нефти в нефтепроводе с промежуточными пунктами подогрева, расположенными в фиксированных местах по длине нефтепровода. Поставленную задачу можно описывать следующим нагруженным дифференциальным уравнением параболического типа;

где УС56»^) " температура нефти, Xi,XA,)Жц. - фиксированные точки области (0, , где расположены пункты подогревов, X - сямгЬ >0 - коэффициент температуропроводности нефти, - средняя по сечению скорость потока нефти,

t) -

некоторая заданная функция, 'lX(t) - функция, характеризующая внешнее воздействие, - значение температуры на L -ом

^Дженалиев М.Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифференциальные уравнения, 1989, г.25, JM, • ^Караев H.A. Необходимые и достаточные условия оптимальности задач оптимального управления, описываемыми нагруженными уравнениями параболического типа.// Изв. АН КаэССР.сер.физ.-мат. Деп. в ВШИ, Г985, » 1000, - С.23,

пункте подогрева,. ¡V- количество пунктов подогрела; ^(х-хЛ-дедьта-функция, а данной работе дельта-функция аппроксимируется следующей зависимостью:

__ л

известно, что при С> +0 С 0 —>

а пространства обобщенных функций. Обозначим через

^(л) - е ^ " очеввдно ^ е Сс<3(п).

В прикладной важности этой задачи оптимального управления моя!а легко убедиться, рассмотрев физическую интерпретации такого нагруженного уравнения. Под нагруиянным дифференциальным уравнением будем поникать дифференциальное уравнение, в которое входит такта значения искомой функции и ее производных, взятые на многообразиях размерности < Й, (где ¡ь^сЦльЛ. ).

Бьшеперечисреннда показывают, что процессы в нефтепроводе с промежуточными пунктам! подогрева кохот описывать нагруженными дифференциальными уравнениями. Эти модели мокко использовать при исследовании перекачки и подогрева, исходя из:

наименьшей стоимости энергии на подргрев и перекачку, когда нефть поступает на станций нефтепроводов недостаточно нагретой.

Наряду с этой задачей на практике часто встреЧаптся множество задач тепловик режимов, где тепловой, баланс устанавливается а результате суммарных воздействий пунктов подогрева. Л оптию<-эационняя зрдача предполагает установления в "точках наблюдения" необходимых режимов.

В данной работе поставлена и исследована' задача оптимального управления: для линейных нагруженных уравнений параболическо?< типа с точечными наблюдениями и зонными управлениями ( последнее означает, что управляющее воздействие приложено к объекту в некоторой зоне по длине нефтепровода).

- исследование вопросов существования решения поставленной задачи оптимального управления;

- вывод необходимых и достаточных условия оптимальности;

- проведение численных экспериментов.

Задачи и методика исследования. В работе исследуется задач; оптимального управления описываемая линейными нагруженными урав нениями параболического типа с точечными наблюдениями, для реше ния которой были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать проблему существования решения задачи оптимального управления с точечными наблюдениями. Для этого доказать разрешимость начально-краевой задачи.

2. Установить необходимые условия оптимальности в виде вариационных неравенств,

3. Установить необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С.Нонтрягина. Для этого исследовать разрешимость полуденной на этом пути сопряженной краевой задачи.

4. Установить необходимые и достаточные условия оптимальности в форме Беллмана.

5. Вывести уравнение Беллчма и показать связь ме.туту условней оптимальности Белл\*ача и достаточными условия;« оптимальности Нротово В.Ф.

6. Получить ч;:елснчое подтверждение установленных теоретических результатов.

Теоретические исследования проводились на основе теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, вариационного исчисления для кратных интегралов, математической теории оптимального управления для систем с распределенными параметрами и вычислительной математики.

® работе поставлена и решена задача оптимального управления для линейных нагруженных дифференциальных уравнений параболического типа с точечными наблюдениями и зонным управлением.

Для нагруженных уравнения параболического типа ¡.»I

в области ХбЦ*(о,е),-Ьб(о,Т)} Доказано

существование решения задачи оптимального управления..

Процесс описывается уравнением (я) и условиями у(х?0)» у [&))

9(0,= ~ О • Критерий качества управления :гредстав-

лен функционалом: ^ тг

где У - пространство управлений, ¿(-к) - заданная функции, р = сОК1Ь > О . ЧГ(-Ь) - функция управления, О А 1Г (!) 4 \) которая характеризует интенсивность подогрева, наибольшая интенсивность соответствует режиму управления 1Г(-к) * ^ , при отсутствии подогрева - ЧГ(-ь)=0 » 1'бй*(о(£) Решается задача на миницум функционала (кх). Это означает, что целья управления является возможное приближение желаемого режима перекачки нефти по нефтепроводу при минимальных затратах на управление подогревом в пунктах подогрева.

В работе получены необходимые условия оптимальности для поставленной выше задачи в двух формах:

1) в форме принципа максимума Понтрягина,

2) в форме вариационного неравенства.

А также получены необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана. Проведен численный анализ, результаты которого свидетельствуют о корректности и реальности предлагаемой теоретической модели.

На основе необходимых условий оптимальности на ЭВМ решена модельная задача оптимального управления и получено соответствующее решение.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады -вались и обсуждались на IX республиканской межвузовской научной конференции по-математике к шханике (г.Алма-Ата, 1989), на конференции-конкурсе молодых ученых и специалистов КазГУ (г.Алма-Ата, 1989, 1990, 1991), а также на семинарах кафедры теории управления Срук.лроф.С.А.АЙсагалиев, г.Алма-Ата, КазГУ,1988-1991), на общегородском семинаре по функциональному анализу и его при-

лохсения (рук.член-корр.АН РК Н.О.Отелбаез, член-корр, АН Ж Т.ВД.Кальменов, д.ф.-м.н, ,проф. В.С.Смагулов, г.Алма-Ата, 1991), на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений Института математики и механики АН РК (рук.проф.Д.У.Умбетжачов, г.Алма-Ата, 1992).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в б-ти опубликованных работах и в отчете по научно-исследовательской работе по, теме "Разработка новых методов управления объектами различной природы" 01860095709.

Диссертационная работа состой? из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации составляет 93 страниц машинописного текста. Библиография содержит С4 наименования литературы.

Зо_введемии обосновывается актуальность темы, определены основные задачи и цель исследований, сформулированы результаты, отражающие новизну и практическую ценность работы, перечислены задачи, которые автор выносит на защиту, коротко излагается структура диссертации и содержание работа.

г *

В первой главе сформулирована постановка и показана разрешимость задач оптимального управления для нагруженных уразнечий параболического типа с точечными наблюдениями. Установлена разрешимость поставленной задачи оптимального управления в функциональных пространствах ¿.«я(<>|Т)) ¿.¿(0,Т).

В параграфе 1.1. исследуется уравнение неустановившегося движения нефти в нефтепроводе с промежуточными пунктами подогра-ва, расположенными в фиксированных местах по длйне нефтепровода, которой в области

нагруженным уравнением параболического типа:'

(I.I)

- ZsrjdyfriлЩх.) ;

у(х}о)= (1.2)

} i€(0,T) ? (1.3)

а, 4 el^iQ), А -коэф-

фициент теплопроводности.

функционал имеет вид: .1' . :

ГАе 1 у о} xJ ¿iL, }

"V - пространство управлений. ■

Требуется минимизировать функционал (1,4).

Известно, что существование решения задачи оптимального * * ,

управления связано с разрешимостью уравнений связи, i.e. в данном случае краевой задачи (1.1)~(1.3). 8 работах / 2, 3 / доказана разрешимость задачи оптимального управлений для нагруженных дифференциальных уравнений параболического типа в различных функциональных пространствах, когда козффиценты

при нагруженной слагаемо!» существенно ограничены и функцию управления берут из пространств , ¿.ов(о»Т) • Решение конкретных прикладных задач в этих пространствах приводит к некоторым затруднениям. Практически более реальным является чринадлежность функции управления пространству . 1оэтоцу в работе исследуется разрешимость краевой задачи, когда юэффициенты при нагруженных слагаемых из ¿-а(о> т) , а имен-ю, в пространстве:

чДе в уравнении (1.1) - С1.4): а(х,Ъ)-, ¿Цж-У, _

гаданныэ функции, удовлетворяющие условиям ;

а,. * в (о, Т> , ^ 6^ М г

в . ? (1.6)

Л, у ^^ - фиксированные положительные постоянные.

Дня удобства рассмотрен случай = "^("Ь) .

1Т0 означает, например, что интенсивность подогрева во всех точ-ах воздействия одинаковы.

Теорема 1.Г. Дусть выполнены условия (1.6). Тогда задача 1.1М1.3) при лсбах е 1а(0,т) , Уо0«.) е (Л) имеет дииетвенноз решение у(х8-ь) аз пространства 3/*(о,Т) <1-5). то решение непрерывно Зависит «т уо(зь) .

Существование__оптимальногоj^ngagjieHHя. Пусть веданы пространство управления V и положим У = . В качестве множества допустимых управлений выберем: . "Y^ - выпукло, замкнутое подмножество пространства L^(0}T) .

LJ0?t)-, ОьЩ)(,С п.в.на (1.7)

Теорема 1.2. Пусть *\T(-t) (1.7) и соответствующее этому управлению решение задачи (1Л)-(ЬЗ) принадлежит пространству

(Q1) , а функционал имеет вид (1.4). Тогда существует оптимальное1 управление

Доказываем существование оптимального реиения для процессов

где уравнения связи разрешимо d пространстве ((§) «а

затем в пространствах к V/«'

3» & ^ ' '

Положим Vе \УгМ " ® качестве множества допустимых управлений выберем:....

- выпуклое, замкнутое подмножество множества Y ,

где Y - пространство управлений.

Пусть litt) 6"V*^ (1-8) и соответствующее этому управлении решение задачи (I.IMI.3) принадлежит пространству ty' (Q^ , а функционал ЩдГ] имеет вод (1.4).Тогд существует оптимальное управление € Y^ (1.8).

Теперь рассмотрим существование оптимального реиечия .U-W, У(Х,"Ь)) .когда y(x,t)€ (существо-

ание оптимального управления, когда y(x.,-fc)£ Wj (Q) авается аналогично).

эложим У - L»o (OjT) • В качестве множества допустимых уп-авлечий выберем:

- подмножество пространства ¿.«^(OjT) замкнутое в смысле х - слабой топологии

1ю(0,т) ? п. в. на (о,т)} (1.9)

Teogewa_I.4. Пусть \Г(-к) 6Vjj (1.9) и соответствующее тому управлению решение задачи (1.1)-(1.3) принадлежит просг-анству ^^ ' 3 ФУНКЦИС5Нал имеет 3ВД (1.4). Тогда су-

зствует оптимальное управление (1.9).

А также получены необходимые условия оптимальности в фор-з вариационных неравенств и принципа максимума Понтрягина Л.С.

Для получения необходимого условия оптимальности доказано /чествование и единственность решения следующей сопряженной эаезой задачи;

g

R о '

PV • v v

* y(s.J,t-, if) - 2(t))£(*-xJ) > j»«

f(»,TbOi X€iL = (0,i),

= = 0 J i€{0,T) .

Приведем следующую теорему.

Теорема) 1.5» Пусть решения (1Л0Ь тога а для

оптимальности Ь необходимо

л. Т

SSчi; У К^Ш^К^- + -2-е»^иЫ (гГ-аШ - о

% с.= 1 ' >0

V 1Г(-Ь) £ (вариационное неравенство), гае лкЛос

из (1.7), (1.8), (1.9).

А для условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина Л.С. справедлива следующая теорема.

Тео|юма_1.б. Цусть У(хг -Ь) решения начально-краено« задачи (1.10), ^

Ш, у Л»V ] = Цуяг^у - «■4"

О 1=1

Тогда для оптимальности

необходимо:

для почти всех (принципа максимума), где У^ (1.7

или (1.9),

В этой же главе методом транспонирования доказаны существо вание и единственность слабого решения( оно принадлежит пространству ) сопряженной начально-краевой задачи. Рассмотрение слабого решения связано с тем, что правея часть сопряиен-ного уравнения содержит £ - функции. К таким результатам приводя"» и задачи оптимального управления о точечными и зочншги

управлениями, а тадае с точечными наблюдениями.

диссертации установлены необходимые и достаточные условия оптимальности (в форме уравнения Беллмана) для рассматриваемой Задачи оптимального управления. Получен вывод уравнения Беллмана и установлена связь между условием оптимальности Беллмана и принципом оптимальности Кротова В.

исследована модельная задача'оптимального

управления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. В диссертационной работе впервые поставлена и исследована задача оптимального зонного управления для линейных нагруженных дифференциальных уравнений параболического типа с критерием качества, зависящего от точечного наблюдения.

2. Установлена разрешимость поставленной задачи оптимального управления» а также доказала разрешимость начально-краевой задачи (1.1)-(1.3) при любых допустимых управлениях.

3. Получены необходимые условия оптимальности в форме принципа максищуда Л.С.Понтрягина и вариационного неравенства.

■ 4. Методом транспонирования доказано существование и единственность слабого решения сопряженной начально-краевой задачи.

5. Установлены необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнений Беллиена.

6. Проведен численный эксперимент по решении модельной эяда«и. Численный эксперимент подтверждает достоверность полу-

ченных в работа теоретических результатов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Караев H.A., Кенжегулов Б.З. Об одном условии оптимальности для нагруженных уравнений параболического типа.//Стабилизация и оптимальное управление динамических систем. - Алма-Ата: КазПУ, 1983, С.53-56.

2. Караев H.A., Кенжегулов Б.З. Об одной задаче оптимального управления тепловым! процессами.// Тезисы докладов IX республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике.- Алца-Ата; 1989, С.126.

3. Караеа S.A., Кенжегулов Б.З. Об одной задаче оптимального управления для нагруженных уравнений параболического типа с точечным наблюдением. //Оптимальное управление процессами

с распределенными параметрами. - Алма-Ата: КаэПУ, 1989.-С.40-43.

4. Караев Ж.А., Кенхегулсв Б.З. 0 разрешимости одной задачи оптимального управления для линейных нагруженных уравнений параболического типа. //Управляемость и стабилизация динамических систем.- Алиа-Ата: КазГУ, 1990.- С.Зб-ЗЭ.

I. Караев Я.А., Кен*егулов Б.З. Существование и единственность решения одного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа.// Управляемость, оптимальное управление и устойчивость движения динамических систем.-Алма-Ата: КазПУ, 1991. - С.41-45.

. Айсагалиев С.А., Дясеналиев М.Т., Кенжёгулоа Б.З. Условия оптимальности для нагруженных уравнений параболического типа с точечным наблюдением. // Изв.АН РК, сер.физ.-мат. Деп.в КазЧИИЧКИ 27.03.92. Рег.номер 3663-Ка 92, - С.27.