Задачи управления с нелинейно возмущенными параболическими уравнениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

министерство науки. выспей шшы и технической

потики российской федерации

российский университет друш народов

На правах рукописи ИСАЕВ Батырхаа Арысйекович

задачи управлений с нелинейно возмущенными параболическими уравнениями

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

Автореферат

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-1992

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнение и функционального анализа Российского Университета дружбы народов.

Научной руководитель -кандидат физико-математических наук, доцент М.Ф.Сухишш.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.В.Фурсиков, кандидат физико-математических наук, доцент О.Ю.Эиануклов.

Ведущая организация - Институт прикладной математики и механики Украинской Академии Наук.

Защита диссертации состоится 423" суьН 1992 г.

в ^с. 30 ИИ. на заседании специализированного совета К 053. 22.•23 по присуждению учено£ степени кандидата физико-математических наук в Российском Университете дгугба народов по адресу: 117293, Москва, ул. Орджонихадэе, д.З, ауд. 485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6. .

Автореферат разослан , • 2%- • Се^ТЛ^Ъ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент. лла.^,^ / : М.В.' ДРАГНЕВ

: . I

', Г-J -

ОБЩАЯ ХАРЛИЖРИСТШ РАБОШ

Актуальность теш. Потребность в исследовании нелинейно возмущенных параболических уравнений связгша с тем, что реальны*.-диффузионные и тепловые процессы никогда не описываются точными параболическими уравнениям® из-за влияния различных дополнительных факторов. Некоторые тепловые и диффузионные процессы являются по существу нелинейными, и там линеаризация приводит к заметному искажению реальности пря их описей:«:. В связи с этим теории нелинейных диффузий посвящена многочисленные исследования. В диссертации рассмотрены нелинейности типа операторов Немыцкого и Гаммерштейна от решений и юс производных, растущие на. бесконечности не вше первой степени от нормы решения. Это позволяет, с одной стороны, описывать нелинейные диффузионные и тепловые процессы при малых решениях лучие, чем при линеаризации, а с другой стороны, доказать различные теоремы, не кмею-' щяе места для нелинейноетей выше первой степени, встречающаяся в теории нелинейных диффузий.

Учитывая сказанное, можно заключить, что тема диссертации актуальна.

Цель работы. Доказательство существования оптимального управления по быстродействию в задаче с уравнением, полученным добавлением к линейному параболическому уравнению в частных производных второго порядка с управлением в правой части нелинейных добавок типа операторов Немыцкого и Гвкыерштейна относительно неизвестной функции и ее производной. 1

Вывод необходимых условий оптимальности для задачи с аналогичным уравнением при наличии конечного числа ограничений типа равенства и неравенства, где управлениями являются правая.часть уравнения и начальное значение.

Вывод достаточных условий оптимальности типа второго порядка для задачи с линейным параболическим уравнением в частных производных второго порядка при наличии конечного числа ограничений типа равенства и неравенства.

Обшая методика исследования. Используются функциональные метода исследования нелинейных параболических уравнений в частных производных. Применяется теория линейных параболических краевых задач. Применяется некоторые разделы функционального анализа в теории экстремальных задач. Широко используются тео-

рия пространств Соболева, теоремы Лебега (о предельном переходе под знаком интеграла), Соболева Со вложении), Фубшга, Адамара, неравенство Гельдера, известная методика вывода необходимых условий оптимальности для зад?ч с. частными производными, а также теория (тД ||) - тейлоровских и - полутейлоровских

снизу отосрслений к теорема о достаточных условиях строгого Т - локального минимума .

Научкпя новизна. Все результаты диссертации'являются новыми. Главные из них: I) существование оптимального по быстродействию управления для задач с нелинейно возмущенным параболическим уравнением с управлением в правой части; 2) необходимые условия оптимальности для задачи с аналогичных! уравнением с управлениями в право« часта и начальном условии при наличии конечного числа анге^алышх ограничений типа равенства и неравенства; 3) достаточные условия оптимальности типа второго порядка для задачи с лете?ным параболическим уравнением с управлениями в правой части и начальном условии с конечным числом интегральных ограничений типа равенства и неравенства.

Приложения. Диссертация носит.теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для обоснования выводов, полученных при использовании формальных методов, применяемых в задач'ах оптимального управления нелинейными диффузионными и тепловыми процессами.

Апробашя работы.. Результаты работы неоднократно докладывались на конференции колодах ученых ЩИ, на факультетской научной конференции РУД! и на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа /руководители д.ф.-м.н. проф. В.Н.Масленникова, к.ф.-и.н. доц. М.Ф.Сухинин, к.ф.-м.н. доц. М.Е.БоговскиЕ, к.ф.-м.н. до^. U.M.Петунии, к.ф.-м.н. доц. А.В.Оашнский/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах II] - [63 •

Сгрукггоа ж объем дяссерташи. Диссертация состоит из введения, трех глав ч списка литературы. Диссертация изложена на 119 страницах машинописного текста. Библиография содержит 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и указывается цель работы. Кроме того там формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава иосэящена вопросу существования оптимального управления для задачи быстродействия с нелинейно возмущенным параболическим уравнением. Во второй главе изучается необходимые условия оптимальности-для задачи с нелинейно возмущённым параболическим уравнением. В третьей главе исследуются достаточные условия оптимальности для задача с линейным параболическим уравнением,

. Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

Первая глава состоит из 2 параграфов. В § 1.1 рассматривается задача

+ а.1.1)

и(а,х) , Цх.) - ^(х), (1.1.2)

и М 1^-0, (1.1.3).

где

- ограниченная область с

гладкой границей

; управление' &А/ ,

"V - выпуклое замкнутое ограниченное множество. Требуется за счет выбора 1Ш,х) шяшшзироваг-ь время перехода Ь— О, из ИоСх) в (момент времени ОС. фиксирован).

Основываясь на известную для линейных уравнений оценку С^З и обычную технику теории дифференциальных уравнений (теорема Фубини, неравенства Гельдера и т.д.), получена априорная оценка для решений задачи (1.1.1)-(1Д.З) в нелинейном случае, т.е. доказана

1.1.1, Теорема. функция

Кв.хУеСЧв)

удовлетворяет в уравнению (1.1.1) и условиям (1.1.2), (1.1.3).

усть коэффициенты Clij(b,x) непрерывны, ,

играничени и

где<М , даяп.в.Ыа,€).

J!>£ - ограничены, ¿=<,2. . Тогда справедливо неравенство

Kt^iUi,,.')}4ir']« +

вде постоянная С зависит лишь от данных задачи и области Q. .

В § 1.2-доказано существование оптимального управления по быстродействию в задаче (I.I.I)-(I.I.3). Лля уравнения без не-линеГнкх добавок соответствующий результат был получен в .

Наличие априорной оценки (I.I.4) позволяет выделить из минимизирующей последовательности управление и соответствующей последовательности решений слабо сходящиеся подпоследовательности. 1ля обоснования предельного перехода в равенстве, справедливом для элементов минимизирующей последовательности, использовали известные теорем Лебега (о предельном переходе под знаке« интеграла), Соболева (о вложении), Кондрашова (о

Компактности оператора влокеняя). Тем самым доказана 1.1.2. Теорема. Если существует функция lTCt,x) , для которой решение уравнения (I.1.1) удовлетворяет условиям (I.1.2), (1,1.3) при каком-либо % , то существует управление , для которого решение уравнения {1.1.1) удовлетворяет условиям (1.1,2), (I.I.3) и время минимально.

Во второй главе получены необходимее условия оптимальности для задачи с нелинейно возмущенным параболическим уравнением,

4

где теперь, в отличие от первой главы, нел;шейшс члени не зависят ог производной от неизвестной пункта, а управлениями являются правая часть и начальное значение. При этом имеется конечное число ограничена ткпа равенства и неравенства, где функционалы, задающие эти ограничен;«, а также 1йш:я,шзируешЯ функционал, являются интегралами общего вида от неизвестной Функции и управлений. Рассматривается задача

-^О^У^О^) , (2.1.1)

цгСх) , «.1.2)

-»0 ■ даяп.в. ^(О.Т) С2Д.З)

в цилиндре , где - ограниченная

область с достаточно гладкой гркшгае;': 'ЭЛ. Оператор р М -Н - к й , где М^ ,

г равномерно эллиптический оператор с достаточно гладкими коэффициентам* и

I Cfct.x) \ '& ot, S, У - Citfs4 > О ,

J ' (2 14)

.управление ^

, управление

- выпуклые множества.

Операторы

м : со) —* ш)

К (—> MUH^ft.i.'Uft.xj) ,гдэ функщш12Д-5)

(2.1,6)

ÔxlR—

V^&A/O i

Q -. W^lQ.) —>U(Q)

tt » £li= j£4,3C,Kt4,x>) , где функция-

a flU — 1Й.

Ci.a,^ »—h» jL4,x/|) ;

K: ¿afcf) —> Mû) .(2.1.7)

<J I—» Kp SKM^jfc.^'îlfc^^jAT' . где функция

Y.-. & > Q —№. причем пусть

Пусть функции ^ и ^О.^ДУ

а) измеримы в удовлетворяют условиям

13&хд) i + ¿«а*) . d^^t^ca) ( сч1;

б) непрерывно дифференцируемы по ^ почуй

где достаточно мало (это связано с обеспечением

однозначно?, разрешимости задачи (2.2.4) - (2.2,6)). Рассмотрим также операторы

n'W- (2ЛДС)

k ^[wWQMi^fr.a.u^-ltH.

чг'м: ^^с^ —

и ^ ~ер0изб0дкая й0

.конормалн, где ^(и,,Иг(:х-) , - • - внешняя

нормаль к поверхности *с>-&- . Рассмотрим функционалы

Требуется выбрать такие управления 1Г°£*,ос.), М"°(х)е\)С/', что для решения <Ц'&,з) задачи (2.1.1) - (2.1.3), отвечающего управлениям (и* ьИ"0} , удовлетворялись бы ограничения типа неравенства

Зк Стг.-гог) ¿0 , , (2.1.13)

ограничения типа равенства

Сг^.-иг) , # (2.1.14)

а при этом фушшдйназ принимал наименьшее возможное .

значение !

(2.1.15)

Такие управления (тЗ-*, гГ*) будем называть оптималыщиз. Под решением задачи (2.1.1) - (2.1.3), (2.1.12) назовем функцию такую, что удовлетворяется интегральное товдество

-Щса^.и^<ШЬ +

+ + Си + Кй^Ы^ - <2д.1б)

л. О.

где ^(йУ^й.х^ВДй): 1и М \ а *^тах\М{Н2 л -V

+ оо } - банахово пространство с "энергетической"

нормой (см/ [4, с.151] ). Здесь Цк^х)!!^

Б £ 2.1, пользуясь известной методикой [VI , из основного соотношения "баланса энергии" для решений рассматриваемой задач;! (2.1.1) - (2.1.3), (2.1.12) получена априорная оценка в "энергетической" норме, с помощь» которой доказана непрерывная зависимость ресений от управлений.

2.1.1. Теорема. При сделанных ранее предположениях (2.1.4)-(2.1.8) и фиксированных управлениях 6 V , %г(х) е\([. для решения задачи (2.1.1) - (2.1.3) справедливо неравенство

где С(Й определяется величиной Т , постоянными сА , ^ , Т , С, , С,, и .

2.1.2. Теорема. Пусть "иЧ^.х) решение задачи (2.1.1) -(2.1.3), отвечающее управлениям , гГО^е^СI- , а ИЧ^Х) . решение, отвечающее управлениям 1Г4&,хН\/.

Тогда

И^-гМ ¿с^м-а^! (2.1.18)

где С определяется величиной "X , постоянными Ы. , ^ , v , с, , и «и1гд)1а . .

Б § 2.2 установлена дафференхшруемость по Среше минимизируемого функционала, а также функционалов, задающих ограничения типа равенства к неравенства, ш управлениям ЛГ , с

использованием хорошо известной методики ( (V) • 1б1 ) применительно к нелинейным параболическим системам.

2.2.1. Теорема. Пусть выполнены условия (2.1.8), (2.1.9) на функции и Я Пусть а) функция

и ее производные X , д) , удовлетворяют условию Липшица по совокупности аргументов (.К^ОО"') ; б) функция ДЬС"Ц,яГ, ОлГ) непрерывно дифференцируема по 1Г , . Тогда функционалы

В

Г^) ' -дифференцируемы по Фреде по ЯГ , 1гГ

и их производные в точке олГ " ) выражаются по формулам

ГЛ6 - З^Ои^ , (2.2.2)

а функции являются решениями сопряженной систеш

н-

.члн + ф'гл--^, (2-г'4>

"^о для п.в. ОСегЛ , (2.2.5)

На-Т

-дляСЫ^О. (2.2.6)

Полученная дифференцируемость функционалов то управлениям 1Г , '

использована в § 2.3 для вывода необходимых условий оптимальности, выписанных, как обычно, в терминах решений сопряженной линейной задачи, решение которой буществует и единственно в силу теоремы Адакара из-за достаточной малости константы Липшица, которой по предположению удовлетворяют возмущения. Введем функции

, где Ч^а*) являются

VI =-0

решениями сопрягенно! задачи (2.2.4) - (2.2.6); Тогда "ЧЧ-^эс) будет решением задачи

+ м'иул = -±Х ,

(2.2.9)

-=0 дип.в.

- ^ *(ос^ —О , (+,*)б><* .

2.3.1. Теорема. Пусть выполнены все условия п. 2.2.1. Тогда для оптимальности управления ЧТ'^х) ь\/, ЪГ'С^б \х/ необходимо существование такого нетривиального вектора

1Чци:..АЛ ¡£|«.и

что выполняются соотношения

' »

(и«НА,,иЪ)У°({ (а^-гГ) <к * О .

и условия

, , где функция

И'&.Х) - решение задачи.(2.1Д) - (2.1.3),"У'Ц.х) -решение сопряженной задачи (2.2.9), отвечающее (тГ*,4«Гв) , $ункщи п^ » И», определены в (2.2.7), (2,2.8).

Третья глава посвящена выводу достаточных условий оптимальности для задачи с линейным уравнением параболического типа второго порядка при наличии интегральных ограничений типа равенства и неравенства, где управлениями являются правая часть и начальное значение. В отличие от ранее исследованных работ на эту тему в этой главе ¿стаксвлены достаточные условия оптимальности управления типа второго порядка на основе введенных в работе понятий ([С, И Н) - тейлоровского и (X II I!) -

подутейдоровсжого снизу отображений, что позволяет охватить достаточно широкий класс задач, для которых, в частности, не выполняется условия традиционных теорем о достаточных условиях »ксгремума (см., например, с. 28?] , с.

107] ).

В £3.1 росоштрявается задача

и м -¿4 м^-м -

и"1 * J 4 (3.1.1)

Ъкх^Ъ^ЧЫ+'ггСх) , <3.1.2)

дш1п-в- *«с<>/л <зл-з)

в цилиндре й-СО,т)х Л , где - ограниченная область

с достаточно гладкой границей ЭЛ. . Пусть матрица симметрична, коэффициенты уравнения (3.1.1) достаточно гладки'е и удовлетворяют условиям равномерной эллиптичности. Пусть

¿-г . управление 1Г(*рс>Ус

^ &\х/*<Ж> , управление Щ^&У^СЛ) , (ЗЛ'4)

Рассматриваются функционалы

• ДсД*^ - скоИг + (3.1.5)

Под решением задачи (3.1.1) - (3.1.3), (3.1.5) назовем функцию К.(£,:х.)еУг(.(Э1) , такуп, что удовлетворяется интегральное тождество, аналогичное тождеству (2.1,16).

Постановка же задачи оптимального управления совершенно аналогична постановке нелинейной задачи из второй главы.

В § 3.2 приведены основные определения тейлоровских и полу-тейлоровскта снизу отоСражени?, вспомогательная леи'а и {оряу-Л'/Груется задача

ЛЧт1>^=0, (3.2.1)

где • • • •

Пусть -у. —^ ^ _ (х,ц. II) . тейлоровское,

\fx\tf-* к^о^, - (Т,1\ И) - полутейлоровские снизу отображения одновременно первого и второго порядка в точке V« \Х/ . Введем обозначения для функции Лагранжа

Фч¿(¿А), <з-2-2>

где , ¿ЧС^Г- ■

В § 3.3 для функционалов

, (з.зд)

а

(заметим, что (?к являются соответствующими первыми слагаемы-ыи в функционалах . а суыиу Есех остальных соответствующих слагаемых обозначим через ) доказана

3.3.1. Теорема. Пусть -О. с 1(2." - ограниченная область, а -. подпространство (не обязательно замкнутое) в

, наделенное нормой № 11^.,,топологией , порожденной метрикой пространства • Пусть функция

—> 1(1 измерима на (о,т}ул*

(■Цое.ТМГ.аО *—» ли.х.'ц.тПол-)

и кк^еет вторые производные по К. , V 1*Г на lR.xIR.xlR.

почте при ка*иогд (^х^&^О.тЗ * , й- .

Пусть пр^ •

, £2 г« г* ч

I к а Ои^ЧИ""1+м **)+е< ад,

Ы * (з з 2)

где са) , , ¿ЖхУиСч) -

при

где 0 - некоторое число из ¿¿¿(о) при некотором еО 1 ; при 1л. -=• ^

1Щ 1зи* ф VI а« М,

4 • (3-3-4)

£ аСМЧимЧ^У , где М.хХ^&д)^«)' "

Тогда функционалы ОТ,'«-) является (I 4} - теРлоровскя-т отображениями второго порядка в каждой точке с- \/х\Х/ ,

причем

(I) (г1) (*) (3.3.5)

«„яг^.иг) , 1|), |(?),

Доказательство этой теоре№ основано на теоремах вложений Соболева, 4убюш, Лебега, Лаграяха, на неравенстве Гельдера ж вспомогательной лемме. Совершенно аналогично доказывается

3.3.2. Теорема. Пусть к условиям п. 3.3.Г добавлены следующие: при Ъ

при VI-1 13

при К= ^

гее . ^(Ыь^»'!, .

Тогда функционалы (з\кЫ,ъг) являются Ц)- тейлоровски-

ми первого и второго порядков в каздой точке

Утверждение. Пусть коэффициенты функционалов измери-

мые ограниченные функции и удовлетворяют условиям эллиптичности (сы. [4, с. 92] ). Тогда Р* Си",^)*0 ш

Рк&г.аг) * * (М1/*Чй) +М^^У*

для некоторого £ > О (см. ^4, с,. 91 - 94^ ).

Утверждение, Функционалы являются I) -

тейлоровскими первого и второго порядков в каждой точке (ФаЛь

\/*\х/ .

, Утверждение■ Функционалы ХФ/^^б^^У^ВДУдЗ^, '

вида (3.1.5) являются Ц) - тейлоровскими первого и вто-

рого порядков в каздой точке Ь \fx\d , причем

д^) 1 «v ^ , '

Тогда согласно теореме 1.6 (см. |[_1, с. 879^ ) для задачи (3.2.1), а следовательно и для изначально поставленной задачи' (3.1.1) - (3.1.3), (3.1.5), справедлива

3.3.3. Теогет. Пусть ЫД

- открытое^ отображение (\fx\if, 11' И ) на г ,

^Ггг^-С , ЮЛ). •

Вздожш ¿.^(Шй/хИ»' | З^г^)0*

Далее, пусть 3 $ tO^V 3 ¡j*^1)* 3

<Л>0 , A ^(^(jT,^ j", - О уд

Тогда (tfj'ö"') - точка строгого -локального минимума.

Замечание. Для справедливости утверждения п. 3.3.3 достаточно потребовать и (1т4| Ц И") - полу те йлоровости снизу одновременно первого и второго порядков отображений (tf, U"") , к»^!, .

Замечание. В задаче (3.1.I) - (3.1.3), (3,1.5) к функционалам TT*. . , могао добавить разрывные в точке (г)", ъг}

функцирналы - , , являющиеся №i,tt И) - полу тей-

лоровскими снизу первого и второго порядков .в »очке (г^оог^ ^удовлетворяющие условиям ¿ДЗ'.'Сг) ~0 •

j (дТ,^-£ , K^fl,?, (такие функционалы строятся аналог гично [I, с. 8903 ), не изменив заключение теоремы 3.3.3 для новой задачи.

Литература

1. Сухинин М.Ф. Полутейлоровские снизу отображения и достаточные условия экстремума // Матем, сборник. - 1991. - Т. 182, *6. - С. 877 - 891. .

2. Ильин a.M., Каяашшков a.C., Оле Сник O.a. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук.

- 1962, - Г. 17. - № 3 (105). - С. 3 - 146.

3. Егоров В.В. Необходимые условия оптимальности > ..разлепил в банаховых пространствах // Матем. сборник. - 19Е4. -Т. ,64 (106), JS I. - С. 79 - 101.

4. Ладыженская O.A. Зграевне задачи математической физики.

- М.: Наука, 1973. - 408 с.

5. Васильев Ф.П. Метода решения экстремальных задач. - : . Наука, 1981. - 4СО с.

Р. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида // Изв. АЯ СССР. Сер. ыатем.

- 1972, - Т. 36, № ?. - С. 652 - 679.

7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., йо'мин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 430 с.

.8, Левитин Е.С., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // . Успехи матем. наук. - I97f. - Т. 33, Л 6, - С. 85 - 148.

СПИСОК РАБОТ, ОЕУБШОВА1ШХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исаев Б.А. Существование оптимального управления для задачи с нелинейно возмущенным параболическим уравнением. - М., 1990. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.02.90, * 938 - В90; РЖ Мат.

- 1990. - К 6. - 6Б619ДЕП.

2. Исаев Б.А.-Необходимые условия оптимальности для задачи с нелинейно возмущенным параболическим уравнением.' - М., 1990.

- 31 с. - Деп. в ВИНИТИ I5.C2.90, » 937 - В90; PS Мат. -1990.' - * 6.' - 6Б620ДЕП.

t 3. Исаев Б.А, Существование оптимального управления для задачи с нелинейно возмущенным параболическим уравнением // Ди<|§е-реншальнке уравнения и «функциональный анализ. - М.: Изд-во Российского Университета дружбы народов, 1992. - С; 47 - 56.

4. Исаев Б.А. Необходимые условия оптимальности для задачи с нелинейно возмущенным параболическим уравнением // Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. - М.: Изд-во Российского Университета дружбы народов, 1992. - С. 57 - 69.

б. Исаев Б.А. Необходимые условия оптимальности для задачи с нелинейно возмуоеннкм параболическим уравнением // Изв. АН , Республики Казахстан. Сер. физ.-мат. наук. - 1992, — J6 3. — С. 36 - 42.

6. Исаев Б.А. Достаточные 'условия оптшальности да линейной •парабсшгческоГ задачи. - Ы., 1992. - 59 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.04.92, * 1243 - В92; PS Ыат. - 1992.' - * 8. - 8Б621 ДЕП.