Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.956.4

Горшков Алексей Вячеславович

Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы

Специальность: 01.01.02 - "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

Москва - 2003

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Фурсиков доктор физико-математических наук, профессор A.A. Шкаликов, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник A.A. Ильин. Московский Энергетический Институт (Технический Университет).

Защита диссертации состоится " #7 " октября 2003 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу 119992 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико - математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

сентября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.508.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Т.П. Лукашенко

| ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I

I Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию задачи стабилизации параболических уравнений, заданных во внешности ограниченных областей, при помощи граничного управления. Пусть В С Ш? - ограниченная односвязная область с гладкой границей класса С°°. В области О = К<<\В рассматривается параболическое уравнение, описывающее диффузию тепла в среде с нелинейным объемным стоком энергии:

х) - Ду(*, х) - = о, х е п, * е н+. (1)

л

Заданы начальное и граничное условия

, 2/|«=о = Уо(х), (2)

>

-«(*.«')» х' ево. (3)

где и(Ь, х') является управлением.

Для заданного к > 0 требуется найти такое управление «(£, х'), чтобы решение у{Ь, х) полученной краевой задачи (1) - (3) удовлетворяло оценке

11У(*,-)11л<£ (4)

в некотором гильбертовом пространстве Н с нормой || • ||.

Для систем с распределенными параметрами, т.е. описываемых уравнениями в частных производных, исследованию задачи стабилизации предшествовало изучение задачи о точной управляемости, и, в частности, задачи точной нуль-управляемости. Первые исследования задачи точной управляемости для линейных систем, заданных в ограниченных областях, начатые в 50-х годах прошлого столетия, и ставшие базисными для этой теории, были сделаны А.Г. Бутковским Ю.В. Егоровым 2, Л.И. Гальчуком 3. К 70-м годам

'А.Г. Бутковскнй. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.:Наука. 1965.

2Ю.В. Егоров. Некоторые задачи теории оптимального управления // Журнал Вычислительной Математики м математической физики. 1963. Т. 3(5). С. 887-904.

3Л.И. Галъчук. О некоторых задачах на оптимальное управление системами, описываемыми параболическими уравнениями // Вестник МГУ. Математика, Механика. 1965. Т. 1(3). С., ^1-ЗДг

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА 1 С.Петербург ^ „

ОЭ ИХб шкЬ ]0 %

..... — т*'

метод моментов, ранее используемый в теории управляемости обыкновенными дифференциальными уравнениями, стал одним из основных методов исследования точной управляемости для уравнений в частных производных. Здесь следует отметить работы Д. Рассела 4, Г. Фатторини 5, Т. Сеидмана 6, В. Литтмана 7, в которых был достигнут значительный прогресс в этой области. В 90-е годы А.В. Фурсиковым и О.Ю. Эмануиловым 8 9 был предложен метод карлемановских оценок, позволивший исследовать задачу локальной управляемости для нелинейных параболических уравнений и системы Навье-Стокса. Используя аналогичные методы И. Лазиешка и Р. Триджиани 10 с помощью карлемановских оценок установили управляемость гиперболических систем.

Общим для всех вышеприведенных работ явился тот факт, что область определения рассматриваемых дифференциальных уравнений была ограниченной. Однако, уже в простейшем случае уравнения теплопроводности, заданного на полупространстве Г2 = R+ xRd_1, начальное состояние Уо(-) ф 0 ни при каком управлении с границы перевести в нулевое финальное у(Т, •) = 0 невозможно ни за какое конечное время Т ни при каком управлении с границы u(t, х'). Этот факт следует из свойства обратной единственности решения уравнения теплопроводности на полупространстве.

Отсутствие точной нуль-управляемости в неограниченных областях является одной из мотиваций к исследованию задачи стабилизации, но не главной. И в ограниченных областях задача стабилизации также представ-

'Russel D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations. Recent progress and open questions // SIAM Review. 1978. V 20. P. 639-739.

'Fattorini H. Boundary control of temperature distributions in a parallepipedon // SIAM J. Control Optim. 1975. V. 13. P. 1-13.

eSeidman T. Two results on exact boundary controllability of parabolic equations // Applied Math, and Optim. 1984. V. 11. P. 145-152.

7Littman W. Boundary control theory for hyperbolic and parabolic equations with constant coefficients // Annali Scuola Normale Superiore Pisa IV. 1978. P. 567-580.

'Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On controllability of certain systems simulating a fluid flows. // Flow

Control (Minneapolis, MN, 1992) IMA Volume Math. Appl., 68, Springer-Verlag, New-York. J995. P.149-184.

"Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C. R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1996. V. 323. P. 275-280.

'"Lasiecka I., Triggiani R. Carleman Estimates and exact boundary controllability for a system of coupled, nonconservative second-order hyperbolic equations //in Partial differential equation methods in control and shape analysis. Ed. by G. Da Prato and J.-L.Zolisio. Lecture notes in Pure and appl. math. 1997. V. 188. P. 215-243.

ляет собой отдельный самостоятельный интерес.

Основная мотивация заключается в практической значимости задачи стабилизации, которая обусловлена возможностью численной реализации ее решения. В первую очередь это связано с использованием в этих задачах управления с обратной связью, делающего процесс стабилизации устойчивым по отношению к разного рода возмущениям системы.

Исследованием задачи стабилизации решений уравнений в частных производных занимались многие математики. Здесь мы отметим работы И. Лази-ешки, Р. Триджиани 11 12, в которых для параболических и гиперболических систем в ограниченных областях было установлено существование управления с обратной связью, стабилизирующего решение к нулю с экспоненциальной скоростью вида ||y(i, -)||я < Се~а'||2/о(')11#, а > 0, t £ R+ для малых по норме начальных условий уо(-).

Для нелинейных параболических уравнений и системы Навье-Стокса, заданных в ограниченных областях, возможность экспоненциальной стабилизации с управлением на границе области была установлена в работах А.В. Фур-сикова 13 14. Причем, полученное управление с обратной связью было устойчиво к случайным флюктуациям системы.

Однако, как и в случае точной управляемости, неограниченная область привносит свои особенности в исследуемую задачу. В диссертации доказано, что в неограниченной области невозможна не только точная нуль-управляемость, но и экспоненциальная стабилизация. Этот факт мотивирует исследование степенной стабилизации вида (4), когда рассматриваемая область становится неограниченной.

Изучение задачи стабилизации в диссертации основывается на исследованиях свойств решений полулинейного уравнения (1) в пространстве Rd. Здесь

"Lasieckal. Stabilization of hyperbolic and parabolic systems with nonlinearly pertubed boundary conditions // J. Diff. Eq. 1988. V. 75(1). P. 53-87.

"Lasiecka I., R. Triggiani. Stabilization and structural assignment of Dirichlet boundary feedback parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 1983. V 21. P. 766-802.

13Фурсиков А.В. Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной связью // Матем. сб. 2001. Т. 192(4). С. 593-639.

14Фурсиков А.В. Реальные процессы и реализуемость метода стабилизации системы Навье-Стокса посредством управления с обратной связью с границы области // Международная математическая серия. Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. В честь академика О.А. Ладыженской. 2002. Т.2. С.127-164.

мы отметим работы В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова, A.A. Самарского15, К. Уэйна, Дж. Экмана16 17, и многих других.

Основной трудностью, создаваемой неограниченной областью К"1 при исследовании стабилизации уравнений вида (1), является тот факт, что спектр оператора Лапласа А является непрерывным, а не дискретным, в отличие от случая ограниченной области. В работах К. Уэйна, Дж. Экмана представлено специальное пространственно-временное преобразование, сводящее уравнение (1) к уравнению, которое обладает более удобной спектральной структурой в пространствах Соболева с весом. Посредством такого преобразования становилось возможным отделить дискретную часть спектра от непрерывной, и на основе полученного спектра построить инвариантные многообразия как линейной, так и нелинейной задач. Это позволило построить достаточно точные асимптотики для решений уравнения (1).

Цель работы

Целью диссертации является доказательство разрешимости задачи степенной стабилизации для линейных и полулинейных параболических уравнений, заданных во внешности ограниченных областей, и нахождение возможных скоростей этой стабилизации в зависимости от выбранного управления.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1] на прямой К, на одном примерю начального условия уо(-) с ограниченным носителем показана невозможность слабой поточечной экспоненциальной стабилизации вида /■00

/ \eaty(t,x)\2dt < оо, а > О

J о

на множестве igSc R\[—1,1] ненулевой меры. Этот результат доказывает

"Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский A.A. Об асимптотических "собственных функциях" задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения // Матем. сб. 1985. Т. 126(4). С. 435472.

"Wayne С.Е. Invariant manifolds for Parabolic Differential Equations on Unbounded Domains // Arch. Rat. Mech. Anal. 1997. V. 138. P. 279-306.

"Eckman J.-P., Wayne C.E. Non-linear Stability Analysis of Higher Order Dissipative Partial Differential Equations // Math. Phys. Electron. J., 4:Paper 3 (electronic). 1988. 20pp.

актуальность задачи степенной стабилизации в неограниченных областях.

2. Получен результат о существовании слабой поточечной степенной стабилизации решений уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1] на прямой К, вида

при помощи управления с границы.

3. Получен результат ö существовании равномерной степенной стабилизации (4) для многомерного линейного параболического уравнения с постоянными коэффициентами без младших членов, определенного во внешности ограниченной области, за счет граничного управления.

4. Получен результат о локальном существовании равномерной степенной стабилизации (4) решений с малыми по норме начальными данными Уо(-) для полулинейного параболического уравнения (1), определенного во внешности ограниченной области, за счет граничного управления.

Методы исследования

В работе используются методы уравнений в частных производных, спектральной теории непрерывных полугрупп и инвариантных многообразий.

С использованием метода, разработанного и примененного A.B. Фурсико-вым при решении задачи стабилизации параболических уравнений и системы Навье-Стокса в ограниченных областях, задача стабилизации во внешности ограниченной области сводится к решению задачи Коши со специальным начальным условием. При исследовании задачи Коши используется методика, применяемая в упоминаемых выше работах К. Уэйна, Дж. Экмана при построении инвариантных многообразий для полулинейных параболических уравнений.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории управления, теории уравнений в частных производных и в математической физике.

Построенное в диссертации управление фактически является управлением с обратной связью, что подтверждается результатами работы A.B. Фурси-

кова 18. Поэтому, также полученные результаты могут быть интересны для специалистов, занимающихся численными методами и компьютерным моделированием физических процессов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях Workshop "Dynamical Inverse Problems", 2001, Санкт-Петербург, Navier-Stokes equations and related topics NSEQ8, 2002, Санкт-Петербург.

Также результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах в МГУ под руководством проф. A.B. Фурсикова, на семинаре по теории несамосопряженных операторов под руководством проф. А.Г. Костюченко, проф. A.A. Шкаликова, на семинаре по теории операторов под руководством академика В.А. Садовничего, и на семинаре «Stabilization of semilinear parabolic equations defined in the exterior of a bounded domain by means of boundary control» в университете города Турина, Италия.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано три печатные работы и одна публикация в трудах конференции (тезисы и доклады), список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и содержит 91 страницу, 4 рисунка и 66 наименований литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава1

В Главе 1 исследуется задача слабой поточечной стабилизации одномерного уравнения теплопроводности

dty{t,x) - d2xxy(t,x) = 0, (t,x) 6 R+ х R\[-l, 1] = Q, (5)

18Фурсиков A.B. Реальные процессы в реализуемость метода стабилизации системы Навье-Стокса посредством управления с обратной связью с границы области // Международная математическая серия. Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. В честь академика O.A. Ладыженской. 2002. Т.2. С. 127-164.

определенного во внешности отрезка [—1,1]: я е 7 = К\[—1,1].

Задача степенной стабилизации заключается в нахождении для заданного начального условия

2/|«=о = Уо(х) (6)

и параметра стабилизации к > О такого граничного управления м+(<),

у|«=±1 = и±(0, (7)

чтобы решение уравнения теплопроводности с начальным и граничным условиями (6), (7) удовлетворяло следующему условию стабилизации:

Г 00

/ \Ьк1/(<, х)\2М < 00, х € К\(-1,1). (8)

Jo

В этом условии под значением функции у(£, х) при фиксированном х понимается значение следа функции х).

Используются следующие пространства Соболева.

#1,2(<Э) - {»(«,«) |

НуНям») = ЦуЩ«?) + \\Ы\1т + \\д,у\\и О) + И^з/Щ«?) < оо},

Щ{1) = {уо(х) | \\уо\\2т{1) = \\у0\\1Л1) + \\дхуо\\ы1) < у0(± 1) = 0}, и Я*(М+) - пространство функций квадратично суммируемых вместе с дробной производной порядка Выбор пространства Я? (®+) в качестве пространства управлений обусловлен тем, что оно является пространством следов для Я1,<2{Я)-

В качестве пространства начальных условий берется пространство

Уо = Ы*) е Н1{1) I е"%{х) € Ьг(1)}, а>0.

Основным результатом этой главы является разрешимость задачи стабилизации в анизотропном пространстве Соболева Я1,2(<2):

Теорема 1 Для любого к > 0 и начального условия уо(х) € У0а существует решение х), и+(£), £ #1,2(<3) х Я?(0, оо) х Я*(0,оо) задачи стабилизации (5)-(8).

Метод доказательства основан на сведении краевой задачи (5)-(7) посредством преобразования Лапласа к эллиптической задаче с параметром. Очевидно, что теорему достаточно доказать только для целых к > 0. Краевая задача (5) - (7) состоит из двух независимых задач для уравнения (5) с наг чальными условиями Уо(-)|хе(-оо, -1), 2/о(-)1хе(1,+оо) и граничными условиями соответственно. Поэтому и решение задачи стабилизации есть пара решений каждой из них. Эти задачи преобразованием фазовой переменной могут быть сведены к аналогичной задаче, определенной на четверть-квадрате К+ х с начальным условием

у|<=о = Уо(х) € У0°, а > 0,

г0° = {уо(х) е Н10(Ш+) I еахуо(х) € ¿1(5*+)},

и граничным управлением

у|х=о = «(*)€ Я*(0,оо). Получено явное представление искомого управления и{£) вида

где Рк-1 - некоторый полином степени к — 1, и F~1 - обратное преобразование Фурье по

Вторым основным результатом этой главы, определившим постановку задачи степенной стабилизации, является пример отсутствия экспоненциальной стабилизации. Построено начальное условие уо{х) с ограниченным носителем, при котором экспоненциальная стабилизация вида

|еа4у(<, х)\2<И < оо, о(>С

Jo

для уравнения (5) невозможна на множестве х б Н С К\[—1,1] ненулевой меры ни при каком управлении и±(<). Более того, показано, что преобразование Лапласа у[т, х) решения х) является ветвящейся в нуле функцией с порядком ветвления равным двум при любом допустимом граничном управлении.

Глава 2

В Главе 2 доказана разрешимость задачи степенной стабилизации для следующего параболического уравнения с постоянными коэффициентами, определенного во внешности односвязной ограниченной области В: d

dty(t, x)-J2 ai}dltXjy(t, x) — 0, x € £2 = Rd\B, t e R+, (9) ij=l

d d d A° £ i? ^ £ < Ax £2, vf = (6... id) 6 Ao, A, > 0. i=l ij=1 <=1

Для заданного начального условия

tf|t-o = а € П (10)

и параметра к > 0 доказано существование такого граничного условия u(t,x'):

y(t,x')=u(t,x'),x' ЕдП, (11)

что решение полученной краевой задачи удовлетворяет оценке

||у(*,-)11я'(П) < (12)

Задача рассматривается в следующих пространствах Соболева.

Hr(Q) = {/(«) | ||/(а:)|1я'(п) = £ \\д°№\\Ът < оо}

¡«1 <г>

Н\Q, е"И) = {/(х) | ||/(х)||2?г(П) еМ) = £ \\eMd°f(x)\\lm

\<*l<t*

< оо}

нг-ЦдП) = Ы(х) | /eiT(fi)},

где г Е N, р > 0, и через 7 обозначен оператор ограничения на границу дП функций из HT(Q). Символ а = (qj, ..., aj) обозначает мультииндекс, |а| = «1, иЗ°= a^f^Lj обозначает дифференциальный оператор.

Через С([0, оо); ЯГ(П)) обозначается пространство С°-отображений y(t, •) из [0,оо) в Hr(fl). Аналогичным образом определяется пространство управлений С([0,оо);Яг->(аП)).

Основным результатом второй главы является

Теорема 2 Пусть к > О, гбМ, Уо(х) € ЯГ(П, е^) с некоторым р > 0. Тогда существует решение

(у, и) € С([0,оо);^Г(П)) х С([0, оо); Нг~ЦдП))

задачи стабилизации (9)-(12).

Схематично процесс доказательства заключается в следующем. Без ограничения общности можно считать, что А; 6 N. Рассматривается I

задача Коши

- £ х) = К+ (13) !

г|«=о = -го(я)

с начальным условием ^о(-), которое является продолжением функции уо(-) ^

внутрь области В.

Пусть М.(к) С Нг(Ша, ер\х\) обозначает подпространство

М(к) = {/(®) € НГ(Ш.Л, | [ /(х)ха<1х = 0, |а| < к, к £ М}.

Доказывается 0

Лемма 1 Для начальных условий гд £ М(2к+1 — решение задачи Коши (13) удовлетворяет оценке (12). 1

Далее доказывается существование оператора продолжения, продолжающего начальные условия уо(-) внутрь области В таким образом, чтобы полученная функция го(-) принадлежала множеству

Лемма 2 Для произвольных к, г € N существует оператор Як, который продолжает функции из в непрерывно действующий из в М(к) С ЯГ(ЖЙ, ер\х\).

Искомое решение (у, и) задачи стабилизации находится путем ограничения решения задачи Коши х) на области О и дО, соответственно.

Глава 3

В Главе 3 задача в аналогичной постановке рассматривается для полулинейного уравнения вида

dty{t, х) - Ay{t, х) - \у\ч-*у = 0, х G П = Rd\B, t 6 R+. (14)

На 7 накладывается следующее ограничение:

. 2 cL 7 > max (1 + -.2 + -).

Дадим определения используемых пространств Соболева.

НГ(П) = {f(x) | ||/(х)|^(П)=^11^)111(П)<оо}

N<r

нттт = {/(х) i II/wii^^SII^+W^^/WIIU)

|a|<r

< оо}

HT~i(dü) = Ьап№ I feHrm,

где то > 0, г > 0 - некоторые целые числа, а 7дп обозначает оператор сужения функций из пространства Hr(íl) на границу díl. Также используются следующие пространства.

roa

Z2(0,00; tfr(fi)) = {ff(t, x) I ИЦ^-н^ = / ||»(í, ОНягрцЛ <

Jo

= {u(t,x) I IMI¿2(0;ooijr-i(an)) =

roo

l И^ОИ^Л«»}.

Как и раньше С ([0,00); #Г(П)) обозначает пространство непрерывных отображений y(t,-) из [0,оо) в НТ(р.) и пространство

непрерывных отображений u(t, •) из [О, оо) в Нг~ЦдП).

Доказана следующая теорема о локальной разрешимости задачи степенной стабилизации для малых начальных условий уо(х):

¿2(0,оо -¡г-цщ)

Теорема 3 Для любых к > О, целых г : | < г < 7, ш > тщ, где то = гпа(к) достаточно велико, и произвольного начального условия уо(х) £ H^ffl) с достаточно малой нормой ||з/о(')Н^(П) существует решение

y{t,х) € Ь2(0,оо; 1Г{П)) П С([0,оо); 1Г(П)) u{t,x') G L2(0,oo;^-i(Öi2)) nC([0,oo);/r-»(9f2))

задачи стабилизации (Ц), (10), (11), (12).

Как и в случа« линейного параболического уравнения задача стабилизации сводится к задаче Коши со специальным начальным условием zq(-), являющимся продолжением функции уо(-) внутрь области В:

dtz(t, х) - Az(t, х) - ¡zp^z = 0, х <Е Ed, t е R+ (15)

*|t=o = Мх)-

Также доказывается существование в окрестности нуля устойчивого многообразия М*:

Теорема 4 Для произвольного целого к > 0 , г £ N, г : % < г < j, т > то, где mg = тпо{к) достаточно велико, в достаточно малой окрестности нуля существует устойчивое многообразие М* С Щп{Ш?) такое, что решение задачи Коши (15) с начальным условием zq(-) £ М* удовлетворяет оценке (12).

При помощи пространственно-временного преобразования

t=vm>T=Ht+1)>

с введением новой функции z(t, £), определяемой формулой

задача (15) сводится к новой задаче Коши относительно функции ¿(т, £): ¿|т=0 = Zq{x).

Спектр линейного оператора

* = д + +

стоящего в правой части уравнения, в пространстве Соболева с весом Н состоит из непрерывной и дискретной части. За счет выбора т достаточно большим непрерывную часть спектра можно отодвинуть сколь угодно далеко влево от начала координат, выделяя все большее количество собственных значений дискретной части спектра.

Справедлива следующая теорема о спектре оператора £:

I Теорема 5 Для заданных целых неотрицательных т, г спектр оператора

1 С, определенного на пространстве Д£1(М<г), задается соотношением

I = + U

Для целых неотрицательных I < m — | значение А; --- ~ 5 ~~ 5 + ~i является изолированным собственным значением кратности Cli+i_v

j

На базе дискретной части спектра строится инвариантное подпространство Et для линеаризованной задачи Коши. Далее, по теореме о существо-х вании инвариантных многообразий строится локальное в окрестности нуля

инвариантное многообразие Mt для нелинейной задачи Коши, являющееся касательным в нуле к подпространству Et-

Завершает доказательство теорема о продолжении начального условия уо(') внутрь области В, которое обеспечивает попадание на многообразие Mt-

Теорема 6 Для произвольного к > 0 существует оператор R¡,, продолжающий функции из в Mrf, который непрерывно отображает некоторую достаточно малую окрестность нуля Vo С в Mt С H^W1).

Автор выражает глубокую признательность проф. Фурсикову A.B. за постановку задач и руководство над исследовательской работой.

!

Список публикаций

[1] Горшков А.В. Стабилизация одномерного уравнения теплопроводности на полуограниченном стержне // Успехи Математических Наук. 2001. Т. 56(2). С. 213-214.

[2] Gorshkov A.V. Stabilization of Parabolic Equations Defined in the Unbounded Domains // International conference "Navier-Stokes equations and related topics", abstracts. 2002. P. 31.

[3] Горшков A.B. Граничное управление нелинейными параболическими уравнениями // Деп. в ВИНИТИ. 2003. №994-В2003. 16 стр.

0

1

[4] Горшков А.В. Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления

с границы // Матем. сб. 2003. Т. 194(10). С. 49-78. <

i

J

>

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М,В. Ломоносова,

Подписано в печать ¿2 05'. &&03 ? Тираж/й?экз. Заказ ¿<?

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

Р1 5 3 1 б

Введение

1 Слабая поточечная стабилизация уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1], с управлением на границе

1.1 Степенная стабилизация уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка.

1.2 Пример отсутствия экспоненциальной стабилизации уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка

2 Стабилизация линейного параболического уравнения с постоянными коэффициентами, заданного во внешности ограниченной области, с управлением на границе

2.1 Постановка задачи.

2.2 Доказательство теоремы о стабилизации параболического уравнения.

3 Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, с управлением на границе

3.1 Постановка задачи степенной стабилизации.

3.2 Линейная задача Коши. Спектр оператора С,

3.3 Существование и единственность решения нелинейной задачи Коши. Полугруппа ST.

3.4 Инвариантные многообразия.

3.5 Доказательство существования стабилизации решения полулинейного уравнения

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию задачи стабилизации параболических уравнений, заданных во внешности ограниченных областей, при помощи граничного управления. Пусть В С M.d- ограниченная одно-связная область с гладкой границей класса С°°. В области Q = M.d\B рассматривается параболическое уравнение, описывающее диффузию тепла в среде с нелинейным объемным стоком энергии: х) - Ay{t, х) - \у\ч-1у = 0, z е Q, t е R+. (1) Заданы начальное и граничное условия y\t=o = Уо{х), (2) y(t,x') = u(t,x')1 х' €дП, (3) где u(t, х'), является управлением.

Для заданного к > О требуется найти такое управление u(t, х'), чтобы решение y(t, х) полученной краевой задачи (1) - (3) удовлетворяло оценке llv(t.-)ll*<p (4) в некотором гильбертовом пространстве Н с нормой || • ||.

Для систем с распределенными параметрами, т.е. описываемых уравнениями в частных производных, исследованию задачи стабилизации предшествовало изучение задачи о точной управляемости. Пусть y(t, •) -фазовая функция решения параболического уравнения второго порядка

P(dudx){y)(t,x) = f(t,x), t е R+, ж G П, заданного в области ft С Rd. Для широкого класса параболических уравнений в случае ограниченной области Ct возможно за счет граничного управления u(t, х') перевести начальное состояние у(О, •) = ?/о(') € фазовой функции y(t, •) в нулевое финальное у(Т, •) = 0 за конечное время Т > 0.

Такого рода задачи называются задачами о точной нулъ-управляемо-сти. Эти задачи являются частным случаем задачи о точной управляемости, заключающейся в поиске такого управляющего воздействия, которое переводит начальное состояние уо(-) фазовой функции y(t, •) в заданное финальное у(Т, •) = #(•) за конечное время Т.

Теория точной управляемости активно исследуется начиная с середины прошлого столетия вплоть до настоящего времени. Первые исследования задачи точной управляемости для линейных систем, заданных в ограниченных областях, начатые в 50-х годах прошлого столетия и ставшие базисными для этой теории, были сделаны А.Г. Бутковским ([5]-[7]), Ю.В. Егоровым ([14],[15]), Л.И. Гальчуком [13]. Метод моментов, примененный Н.Н. Красовским [17] при решении задачи оптимального управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, был обобщен для систем, описываемых уравнениями в частных производных (см. также работы М.Г. Крейна, А.А. Нудельма-на [18], [19], Н.И. Ахиезера [2]). Впоследствии этот метод стал одним из основных методов исследования задач точной управляемости, наряду с принципом двойственности, сводящим задачу управляемости к задаче наблюдаемости сопряженного уравнения.

Классы исследуемых уравнений постоянно расширялись, начиная от конкретных линейных параболических и гиперболических уравнений до абстрактных систем. Значительный прогресс здесь был достигнут благодаря работам Д. Рассела, Г. Фатторини ([38], [39], [53], [54]), JI. Лазиешки, Р. Триджиани ([49]-[51], [58]), Т. Сеидмана [56], В. Литтмана [52] и многих других. Обзор результатов по точной управляемости, полученных к 70-м годам, приведен в работе Д. Рассела [53].

В 90-е годы А.В. Фурсиковым и О.Ю. Эмануиловым был предложен метод карлемановских оценок, позволивший исследовать задачу локальной управляемости для нелинейных параболических уравнений и системы Навье-Стокса ([26]-[29], [31]-[33], [41]-[43], [45]). В работе И. Лазиешки и Р. Триджиани [49] с помощью карлемановских оценок была доказана управляемость гиперболических систем.

Общим для всех вышеприведенных работ явился тот факт, что область определения рассматриваемых дифференциальных уравнений была ограниченной. Однако, уже в простейшем случае уравнения теплопроводности, заданного на полупространстве fi = R+ х Rd1, начальное состояние уо(-) ф 0 ни при каком управлении с границы перевести в нулевое финальное у(Т, •) = 0 невозможно ни за какое конечное время Т ни при каком управлении с границы u(t, х'). Этот факт следует из свойства обратной единственности решения уравнения теплопроводности на полупространстве, установленного в работе Г. Серегина, В. Сверака [57].

Отсутствие точной нуль-управляемости в неограниченных областях является одной из мотиваций к исследованию задачи стабилизации, но не главной. И в ограниченных областях задача стабилизации также представляет собой отдельный самостоятельный интерес.

Основная мотивация заключается в практической значимости задачи стабилизации, которая обусловлена возможностью численной реализации ее решения. В первую очередь это связано с использованием в этих задачах управления с обратной связью, делающего процесс стабилизации устойчивым по отношению к разного рода возмущениям системы. Основные подходы к решению задачи точной нуль-управляемости, упоминаемые выше, дают в качестве решения управление, которое воздействует на систему по заранее определенному закону и = u(t, Уо{'), Т). Такого рода управление называют еще программным управлением. Недостатком программного управления является его неустойчивость по отношению к возмущениям системы, и поэтому его весьма затруднительно реализовать на практике.

Исследованием задачи стабилизации решений уравнений в частных производных занимались многие математики. Здесь мы отметим работы И. Лазиешки, Р. Триджиани ([46] - [48], [59]) в которых для параболических и гиперболических систем в ограниченных областях было установлено существование управления с обратной связью, стабилизирующего решение к нулю с экспоненциальной скоростью вида

IIy(t, ОИя < Се~аг\\уо(-)\\н, а > 0, t eR+ (5) для малых по норме начальных условий уо(-).

В работах А.В. Фурсикова ([23], [24], [40]) исследовалась задача локальной стабилизации решений около стационарного состояния у(•) для квазилинейного параболического уравнения и системы Навье-Стокса, заданных в ограниченной области, с использованием управления с обратной связью. Она заключалась в поиске граничного управления такого, при котором решение y(t, •) стремилось к заданному стационарному состоянию у(-) с экспоненциальной скоростью:

•) - у(-)||я < Се-а\ а > 0, t е R+. (6)

Реализация обратной связи в управлении отчетливо видна в задаче стабилизации решений уравнения Навье-Стокса в ограниченных областях, рассмотренной в работах А.В. Фурсикова [24], [40]. Задача стабилизации сводилась к одной краевой задаче для системы Навье-Стокса в некоторой большей области. Для последней строилось устойчивое инвариантное многообразие М такое, что решение y(t, •) под действием фазового потока {S1}^о стремилось к стационарному решению $/(•) с экспоненциальной скоростью. Однако, при численной реализации задачи неизбежно возникающие флюктуации не позволяли решению y(t, •) оказаться в точности на многообразии М. При наложении ограничений малости возможных флюктуаций в работе была построена конструкция управления с обратной связью, обеспечивающего контроль за текущим состоянием y(t, •), лежащим в окрестности М.

Однако, как и в случае точной управляемости, неограниченная область привносит свои особенности в исследуемую задачу. В диссертации доказано, что в неограниченной области невозможна не только точная нуль-управляемость, но и экспоненциальная стабилизация вида (5), (6). Этот факт мотивирует исследование степенной стабилизации

4), когда рассматриваемая область становится неограниченной.

Изучение задачи стабилизации в диссертации основывается на исследованиях свойств решений полулинейного уравнения (1) в пространстве Rd. Здесь мы отметим работы В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова, А.А. Самарского [9]-[12], К. Уэйна, Дж. Экмана, Т. Галлай ([37], [44], [60]), Дж. Бричмонта, А. Купанина [34].

В совместной работе В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова, А.А. Самарского [9] были построены так называемые автомодельные решения для уравнения (1) и соответствующие множества притяжения, которые под действием фазового потока {5*}г>о сходились к этим автомодельным решениям в пространствах C{Rd) и L^R^) со степенной скоростью.

Основной трудностью, создаваемой неограниченной областью при исследовании стабилизации уравнений вида (1) является тот факт, что спектр оператора Лапласа Д является непрерывным, а не дискретным, в отличие от случая ограниченной области. В работах К. Уэйна, Дж. Экмана [37], [60] представлено специальное пространственно-временное преобразование, сводящее уравнение (1) к уравнению, которое обладает более удобной спектральной структурой в пространствах Соболева с весом. Посредством такого преобразования становилось возможным отделить дискретную часть спектра от непрерывной, и на основе полученного спектра построить инвариантные многообразия как линейной, так и нелинейной задач. Это позволило построить достаточно точные асимптотики для решений уравнения (1).

Цель работы

Целью диссертации является доказательство разрешимости задачи степенной стабилизации решений линейных и полулинейных параболических уравнений, заданных во внешности ограниченных областей, и нахождение возможных скоростей этой стабилизации в зависимости от выбранного управления.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1] на прямой R, на одном примере начального условия уо(') с ограниченным носителем показана невозможность слабой поточечной экспоненциальной стабилизации вида на множестве х G Н С R\[—1,1] ненулевой меры. Этот результат доказывает актуальность задачи степенной стабилизации в неограниченных областях.

2. Получен результат о существовании слабой поточечной степенной стабилизации решений уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка [—1,1] на прямой R, вида при помощи управления с границы.

3. Получен результат о существовании равномерной степенной стабилизации (4) для многомерного линейного параболического уравнения с постоянными коэффициентами без младших членов, определенного во внешности ограниченной области, за счет граничного управления.

4. Получен результат о локальном существовании равномерной степенной стабилизации (4) решений с малыми по норме начальными данными уо(-) для полулинейного параболического уравнения (1), определенного во внешности ограниченной области, за счет граничного управления.

Методы исследования

В работе используются методы уравнений в частных производных, спектральной теории непрерывных полугрупп, инвариантных многообразий.

С использованием метода, разработанного и примененного А.В. Фур-сиковым при решении задачи стабилизации параболических уравнений и системы Навье-Стокса в ограниченных областях ([23], [24]), задача стабилизации во внешности ограниченной области сводится к решению задачи Коши со специальным начальным условием. При исследовании задачи Коши используется методика, применяемая в работах К. Уэйна, Дж. Эк-мана, Т.Галлай ([37], [44], [60]) при построении инвариантных многообразий для полулинейных параболических уравнений и системы Навье-Стокса в Rd.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и содержит 91 страницу, 4 рисунка и 66 наименований литературы.

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи Математических Наук. 1964. Т. 19(3). С. 43-161.

2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.:Физматгиз. 1961. 310 с.

3. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.:Наука. 1989. 293 с.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., С.М. Никольский. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.:Наука. 1975. 480 с.

5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.:Наука. 1965. 474 с.

6. Бутковский А.Г. Финитное управление распределенными линейными системами // ДАН СССР. 1969. Т.188(3). С. 538-541.

7. Бутковский А.Г. Финитное управление и управляемость в распределенных системах // ДАН СССР. 1970. Т.191(6). С. 1247-1248.

8. Бутковский А.Г., Полтавский Л.Н. Финитное управление линейными системами с сосредоточенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1967. Т. 9. С. 44-58.

9. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об асимптотических "собственных функциях" задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения // Матем. сб. 1985. Т. 126(4). С. 435-472.

10. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об асимптотической устойчивости инвариантных решений нелинейных уравнений теплопроводности с источником // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20(4). С. 614-632.

11. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А. Об одной параболической системе квазилинейных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19(12). С. 2123-2140.

12. Галактионов В.А., Самарский А.А. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности // Матем. сб. 1982. Т. 118(160). С. 291-322.

13. Гальчук Л.И. О некоторых задачах на оптимальное управление системами, описываемыми параболическими уравнениям // Вестник МГУ. Математика, Механика. 1965. Т. 1(3). С. 21-33.

14. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Журнал Вычислительной Математики м математической физики. 1963. Т. 3(5). С. 887-904.

15. Егоров Ю.В. О некоторых задачах теории оптимального управления // ДАН СССР. 1962. Т. 145(2). С. 241-244.

16. Иосида. К. Функциональный анализ. М.:Мир. 1967. 624с.

17. Красовский Н.Н. Оптимальное управление в обыкновенных динамических системах. // Успехи Математических Наук. 1965. Т. 20(3). С. 153-174.

18. Крейн М.Г. Об обратных задачах для неоднородной струны // ДАН СССР. 1952. Т. 82(5). С. 669-672.

19. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи и проблемы П.Л. Чебышева и А.А. Маркова и их дальнейшее развитие. М.: Наука. 1973. 551 с.

20. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир. 1971. 371 с.

21. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука. 1983. 424 с.

22. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.:Наука. 1966. 623 с.

23. Фурсиков А.В. Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной связью // Матем. сб. 2001. Т. 192(4). С. 593-639.

24. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск:Научная книга. 1999. 350 с.

25. Фурсиков А.В. Некоторые вопросы теории управления нелинейными системами с распределенными параметрами // Труды сем. им. Петровского. 1983. Т. 9. С. 167-189.

26. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье-Стокса // Матем. сб. 1996. Т. 187(9). С. 102-138.

27. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Локальная точная управляемость уравнений Буссинеска // Вестн. РУДН, сер. Матем. 1996. Т. 3(1). С. 177-194.

28. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // Успехи мат. наук. 1999. Т.54, вып. 3(227). С. 93-146.

29. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.:Мир. 1965. 379 с.

30. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболическими уравнениями // Успехи Матем. Наук. 1993. Т. 48(3). С. 211-212.

31. Эмануилов О.Ю. Точная управляемость полулинейного параболического уравнения // Вестник Росс. Ун. Дружбы Нар., сер мат. 1994. Т. 1. С. 109-116.

32. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболических уравнений // Матем. сб. 1995. Т. 186(6). С. 109-132.

33. Brichmont J., Kupiainen A. Stable поп gaussian diffusive profiles // Nonlinear Analysis. 1995. V. 26. P. 583-593.

34. Chae D., Imanuvilov O.Yu., Kim S.M. Exact controllability for semilinear parabolic equations with Neumann boundary conditions // J. of Dynamical and Control Syst. 1996. V. 2(4). P. 449-483.

35. Coron J.-M., Fursikov A.V. Global exact controllability of the 2-D Navier-Stokes equations on manifold without boundary // Russian Journal of Math. Physics. 1996. V. 4(3). P. 1-20.

36. Eckman J.-P., Wayne C.E. Non-linear Stability Analysis of Higher Order Dissipative Partial Differential Equations // Math. Phys. Electron. J., 4:Paper 3(electronic). 1998. 20pp.

37. Fattorini H.O. Boundary control of temperature distributions in a parallepipedon // SIAM J. Control Optim. 1975. V. 13. P. 1-13.

38. Fattoriny H.O., Russel D.L. Exact controllability theorems for linear parabolic equations in one space dimension // Archive for rational mechanics and analysis. 1971. V. 43(3). P. 272-292.

39. Fursikov A.V. Real process corresponding to the 3D Navier-Stokes system, and its feedback stabilization from the boundary // Amer. Math. Soc. 2002. V. 206(2). P. 95-123.

40. Fursikov A.V. Exact boundary zero controllability of three-dimensional Navier-Stokes equations //J. Dynam. Control Systems. 1995. V. 1(3). P. 325-350.

41. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On controllability of certain systems * simulating a fluid flows. // Flow Control (Minneapolis, MN, 1992) IMA Volume Math. Appl., 68, Springer-Verlag, New-York. 1995. P. 149-184.

42. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C. R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1996. V. 323. P. 275-280.

43. Gallay Th., Wayne C.E. Invariant manifolds and the long-time asymptotics of the Navier-Stokes and vorticity equations on M2 // Arch. Rat. Mech. Anal. 2002. V. 163(3) P. 209-258.

44. Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability for the 2-D Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions //in Turbulence Modeling and Vortex Dynamics. Lecture Notes in Physics. 1997. V. 491. P. 148-168.

45. Lasiecka I. Stabilization of hyperbolic and parabolic systems with nonlinearly pertubed boundary conditions //J. Diff. Eq. 1988. V. 75(1). P. 53-87.

46. Lasiecka I., TYiggiani R. Uniform exponential energy decay in a bounded region with 1/2(0, oo; /^(Г)) feedback of finite range // J. Math. Anal. Appl. 1983. V 97. P. 112-130.

47. Lasiecka I., Triggiani R. Stabilization and structural assignment of Dirichlet boundary feedback parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 1983. V 21. P. 766-802.

48. Lasiecka I., Triggiani R. Controllability of semilinear abstract systems with application to waves and plates boundary control problems // Appl. Math. Optim. 1991. V. 23. P. 109-154.

49. Lasiecka I., Triggiani R. Optimal regularity, exact controllability and uniform stabilization of Schrodinger equations with Dirichlet control // Differential and Integral Equations. 1992. V.5(3). P. 521-535.

50. Littman W. Boundary control theory for hyperbolic and parabolic equations with constant coefficients // Annali Scuola Normale Superiore Pisa IV. 1978. P. 567-580.

51. Russel D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations. Recent progress and open questions // SIAM Review. 1978. V. 20 P. 639-739.

52. Russel D.L. A unified boundary controllability theory for hyperbolicand parabolic partial differential equations // Studies in Applied Math. 1973. V. 52(3). P. 189-211.

53. Russel D.L., Dolecki K. A general theory of observation and control // SIAM J. Control and Optimization. 1977. V. 15(2). P. 185-220.

54. Seidman T. Two results on exact boundary controllability of parabolic equations // Applied Math, and Optim. 1984. V. 11. P. 145-152.

55. Seregin G., Sver&k V. The Navier-Stokes equations and backward uniqueness // IMA preprint series 2001.

56. Triggiany R. Controllability and observability in banach space with bounded operators // SIAM J. Control. 1975. V. 13(2). P. 462-483.

57. Triggiany R. Boundary feedback stabilizability of parabolic equations // Appl. Math. Optim. 1980. V 6. P. 201-220.

58. Wayne C.E. Invariant manifolds for Parabolic Differential Equations on Unbounded Domains // Arch. Rat. Mech. Anal. 1997. V. 138. P. 279-306.

59. Xu-Yan Chen, Hale J., Bin Tan. Invariant foliations for С1 semigroups in banach spaces // J. Diff. eq. 1997. V. 139(2). P. 283-318.

60. Yung-Jen, Lin Guo, Littman W. Null boundary controllability for semilinear heat equations // Appl. Math. Optim. 1995. V. 32. P. 281-316.Работы автора по теме диссертации:

61. Горшков А.В. Стабилизация одномерного уравнения теплопроводности на полуограниченном стержне // Успехи Математических Наук. 2001. Т. 56(2). С. 213-214.

62. Gorshkov A.V. Stabilization of Parabolic Equations Defined in the Unbounded Domains // International conference "Navier-Stokes equations and related topics", abstracts. 2002. P. 31.

63. Горшков А.В. Граничное управление нелинейными параболическими уравнениями // Деп. в ВИНИТИ. 2003. ДО994-В2003. 16 стр.

64. Горшков А.В. Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы // Матем. сб. 2003. Т. 194(10). С. 49-78.