Аппроксимативная управляемость некоторых задач математической физики в неограниченных областях

Шорыгин, Павел Олегович

Аппроксимативная управляемость некоторых задач математической физики в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Шорыгин, Павел Олегович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Аппроксимативная управляемость некоторых задач математической физики в неограниченных областях»

Автореферат диссертации на тему "Аппроксимативная управляемость некоторых задач математической физики в неограниченных областях"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.977.1

Шорыгин Павел Олегович

Аппроксимативная управляемость некоторых задач математической физики в неограниченных областях

Специальность: 01.01.02 - "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2003

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Фурсиков Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.В.Радкевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник А.Л.Афендиков. Ведущая организация: Институт Проблем Передачи Информации РАН

Защита диссертации состоится 5 декабря 2003 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу 119992 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико - математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 5 ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.85 в МГУ

доктор физико-математических нау-

профессор

Т.П. Лукашенко

Q.OO з-А I ?S85"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертации изучаются две задачи аппроксимативной управляемости для уравнений математической физики, заданных в неограниченных областях. Первая глава работы посвящена доказательству аппроксимативной управляемости для двух- и трехмерной системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области или во всем пространстве. Доказана возможность управления решением с помощью граничного или локально распределенного управления так, что через заданное время решение системы Навье-Стокса будет сколь угодно близким к любому заданному соленоидаль-• ному векторному полю. Этот результат является главным в работе. Во второй главе диссертации рассматривается одна задача аппроксимативной управляемости для параболического уравнения, заданного на вещественной оси.

Математическая теория управляемости для эволюционных уравнений в частных производных начала развиваться в начале 60-х годов. Первыми были работы Ю.В. Егорова1, А.Г.Бутковского2 а позднее - Д. Рассела3, Г. Фат-торини4.

Подавляющее большинство работ до 90-х годов прошлого века было посвящено задачам управляемости линейными эволюционными уравнениями. В случае нелинейных уравнений известно значительно меньше. > Вопросы об управляемости систем Навье-Стокса и Эйлера и параболи-

ческих уравнений с простейшими нелинейностями начали активно исследоваться с начала 90-х годов после того, как Ж.-Л.Лионсом5 была выдвинута 1 гипотеза о глобальной управляемости системы Навье-Стокса с граничным или локально распределенным управлением.

'Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления// Ж. Выч. Мат.и Мат. Физ. 1963. Т. 5. С. 887-904.

'Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965

'Russel D. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations. Recent progress and open questions// SIAM Review. 1978. V. 20. P. 639-739.

4Fattorini H. Boundary control of temperature distributions in a parallepipedon// SIAM J. Control Optim. 1975. V. 13. P. 1-13.

'Lions J.-L. Are there connections between turbulence and controllability?// In Analyse et optimization des systèmes, Springer-Verlag, Lecture Notes in Control and Inform.

.Sana« IBM. V Ш,

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петербург У Л/" ■ ОЭ mnf/jb

Аппроксимативная управляемость уравнений Стокса изучена в работах Ж.-Л.Лионса6, А.В.Фурсикова и О.Ю.Эмануилова7, Ж.Диаза, А.В.Фурсикова8.

Аппроксимативная управляемость для полулинейного параболического уравнения с нелинейностью, растущей на бесконечности не выше линейной функции установлена в работах К.Фабре, Ж.-П.Пуеля и Э.Зуазуа9.

Локальная точная управляемость уравнения Бюргерса была впервые доказана

в работе А.В.Фурсикова, О.Ю.Эмануилова10. Точная управляемость для полулинейных параболических уравнений с нелинейностью, растущей на бесконечности не быстрее линейной функции, установлена в работе О.Ю.Эмануилова11.

Точная локальная управляемость системы Навье-Стокса в ограниченной области доказана А.В.Фурсиковым, О.Ю.Эмануиловым12 для управления, распределенного по всей границе или по ее части, и позже -О.Ю.Эмануиловым13 в случае локально распределенного управления.

Точная управляемость двумерным уравнением Эйлера в ограниченной области была доказана Ж.-М.Короном14. Аппроксимативная управляемость двумерной системы Навье-Стокса в ограниченной области с граничными условиями типа проскальзывания установлена в работе Ж.-М.Корона15.

'Lions J.-L. Remarks on approximate controllability// Journal D'Analyse Mathématique. 1992. V. 59. P. 103-116.

7Фурсиков A.B., Эмануилов О.Ю. Аппроксимативная управляемость системы Стокса// Вестник Рос. Уяив. Дружбы Нар. Сер. матем. 1994. N 1. вып. 1. С. 89-108.

'Dial J.I., Fursikov A.V. Approximate controllability of the Stokes system on cylinders by external unidirectional forces// J. Math.puree et appl. 1997. V. 76. P.353-375.

'Fabre C., Puel J.-P., Zuazua Б. Approximate controllability of the semilinear heat equation// Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1995. V.125A. P. 31-61.

'"A.V.Fursikov, O.Yu.Imanuvilov, On controllability of certain systems simulating a fluid flows, In Flow Control, ША, Math.Appl. 68, Springer Verlag, New-York, 1995, pp.149-184.

11 Эмануилов О.Ю. Точная управляемость полулинейного параболического уравнения// Вестник Росс. Ун. Дружбы Нар., сер мат. 1994. N 1. С. 109-116.

"Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье-Стокса // Матем. сб. 1996. Т.187. N 9, С. 102-138.

iaImanuvilov O.Yu. Local exact controllability for the 2-D Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions// in Turbulence Modeling and Vortex Dynamics. Lecture Notes in Physics. 1997. V. 491. P. 148-168.

"Coron J.-M. On the controllability of 2-D incompressible perfect fluids// J. Math. Pures et Appl. 1996. V. 75 P. 155-188. ^ - •

"Coron J.-M. On the controllability of the 2-D incompressible Navier-Stokes equations with the Navier slip

Последним на сегодня результатом является работа A.B. Фурсикова, О.Ю. Эмануилова16, в которой установлена глобальная точная управляемость систем Навье-Стокса и Буссинеска, заданных в ограниченной области с граничным управлением, или заданных на торе с локально распределенным управлением.

Следует отметить, что для всех вышеприведенных работ область определения рассматриваемых систем является ограниченной. В случае же неограниченной области свойства точной управляемости нет даже в простейшем случае уравнения теплопроводности, заданного на полупространстве (Г.Серегин, В.Сверак17).

Поэтому для системы Навье-Стокса, заданной в неограниченной области, естественно поставить вопрос об ее аппроксимативной управляемости, не накладывая при этом условий типа локальности.

Вторая глава диссертации посвящена проблеме из финансовой математики, поставленной в работе С.Бардоса, Р.Дуади, А.В.Фурсикова18, и, фактически, является продолжением этого исследования.

Цель работы

Целью первой главы диссертации является доказательство аппроксимативной управляемости двух- или трехмерной системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области или во всем пространстве при помощи граничного или локально распределенного управления.

Целью второй главы диссертации является построение некоторых оценок в одной задаче аппроксимативного управления для параболического уравнения, заданного на вещественной оси.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса, заданной в неограниченной области, как двумерной, так и трехмерной. Рас-

boundary conditions// ESIAM Control, Optimization and Calculus of Variations.1996. V. 1. P. 35-75

"Фурсиков A.B., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // УМН. 1999 N54(3) С.565-618.

l7G. Seregin, V. Sverak, The Navier-Stokes equations and backward uniqueness, IMA preprint series 2001.

"C.Bardos, R. Douady, A.V.Fursikov, Static Hedging of Barrier Options with a Smile: An inverse Problem // ESAIM, Control, optimisation and Calculus of Variations, vol. 8 (2002), pp 127-142.

смотрено два случая: когда система Навье-Стокса задана во внешности ограниченной области, и когда система Навье-Стокса задана во всем пространстве. В первом случае управлением является граничное условие Дирихле и аппроксимативная управляемость доказана относительно этого управления. Во втором случае управлением является плотность внешних сил, сосредоточенная в фиксированной ограниченной области пространства.

Полученный результат доказан без предположений о близости начального и конечного условий и о малости фиксированной заданной правой части. Никаких предположений о величине времени, за которое управление выводит начальное условие в окрестность заданного конечного условия, не накладывается. То есть решенная задача не содержит никаких предположений типа локальности. Заметим также, что векторное поле скорости течения жидкости, которое строится при решении задачи аппроксимативной управляемости, ищется в пространстве векторных полей такой гладкости, которая гарантирует единственность решения смешанной краевой задачи для системы Навье-Стокса не только в двумерном, но и в трехмерном случае.

2. Изучена одна задача для одномерного параболического уравнения, заданного на всей прямой, родственная задаче аппроксимативной управляемости. Получены оценки близости решения этой задачи к заданному решению в зависимости от величины управления.

Методы исследования

В диссертации используются методы уравнений в частных производных, теория пространств Соболева. В первой главе диссертации используются методы, предложенные A.B. Фурсиковым и О.Ю. Эмануиловым (см. ссылку на стр.3) для системы Навье-Стокса, заданной в ограниченной области, метод Галеркинских приближений, метод характеристик для уравнений первого порядка в частных производных. Во второй главе при выводе оценок для скорости сходимости использована методика, которая была предложена A.B.Фурсиковым19. Также используется метод М.С.Аграновича, М.И.Вишика20 для доказательства разрешимости задачи Коши.

" A.V.Fursikov. Lagrange principle for problems of optimal control of ill posed or singular distributed systems // J.Math. Pures Appl., 71,1992, №2,139-195.

Агранович, M.И. Вишик, Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи математических наук, том 19, вып.3(117), 1964, стр. 53-161.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы специалистами, работающими в теории управления, теории уравнений в частных производных и в математической физике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях:

• Workshop "Dynamical Inverse Problems", г. Санкт-Петербург, 2001 г.

• Navier-Stokes equations and related topics NSEQ8, г. Санкт-Петербург, 2002 г.

• Международная научная конференция, посвященная 100-летию А.Н.Колмогорова "ОПУ-2003", г. Тамбов, 2003 г.

Также результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах под руководством проф. A.B. Фурсикова в МГУ в 2001-2003 годах и на семинаре под руководством Г.М.Кобелькова и А.В.Фурсикова в Институте Вычислительной Математики РАН в 2002 году.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано пять печатных работ, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы и содержит 95 страниц, 1 рисунок и 77 наименований литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1

В первой главе диссертации изучается вопрос об аппроксимативной управляемости для двух- или трехмерной системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области или во всем пространстве с помощью граничного или локально распределенного управления.

Управляемость посредством граничного управления Пусть ш с <1 = 2,3 - ограниченная область с гладкой границей дш, и пусть задано время Т > 0. Рассматривается смешанная краевая задача для

системы Навье-Стокса в области Rd \ ш:

dtv(t,x)-Av + (v,V)v + Vp = f(t,x) (1)

divu = 0 (2)

Ф> x)|t=o = t>d(a:), (3)

v(t,x)\du> = u{t,x), хедш, t€[0,T] (4)

|ф, x) — Uoo| 0 при |®| oo, (5)

где ¿€[0,7],1е К<1\сь1, /(¿, х) - заданная плотность внешних сил. Начальное условие «о (а;) - заданное векторное поле, скорость потока на бесконечности Уоо 6 Е^ задана.

Векторное поле и{Ь,х), определенное на границе дси не считается заданным, а является управлением.

Введем необходимые функциональные пространства. Для произвольной области О. через Нк(С1), к - натуральное число, будем обозначать пространство Соболева векторных полей, квадратично суммируемых на области £2 вместе со всеми производными до порядка к. Положим

У*(П) = (ф) = (иь.. € Я*(П) : сНу« = 0} ,

Н1*(%Т) х П) = {«(4,®) € ¿2(0,Т; Я2(£2)) : € 1*(0,Т; Я°(П))} , У1'2((0,Т) хП) = {ф,®) € ¿2(0,Т;У2(П)) : дхи € ¿2(0,Т;У°(П))} . В дальнейшем будем обозначать V* = 1/*:(Е<').

Пусть задано конечное условие v\(x), которое вместе с начальным векторным полем vq(x) из (3) удовлетворяет условиям:

(wî-v00)€V4(R,'\w) [ Vi(x)-n(x)dx = 0, < = 0,1, (6)

Jdu

где п(х) - нормаль к границе дш.

Определение 1. Задача (1)-(5) для системы Навъе-Стокса называется аппроксимативно управляемой на (0, Т) х \ ш) с границы дш, если для произвольного е > 0 и любых vq, v\, удовлетворяющих (6), найдутся момент времени Т = T(e,vo,vi) и граничное условие (т.е. управление) u(t,x) G £г(0,Т; Н3/2(дш)) такие, что существует решение v(t,x) краевой задачи (1)-(5), удовлетворяющее включению (у —и») G V1,2((0,T) х (Rd\u>)) и оценке

1КТ,.)-«1(.)||^\„)<е. (7)

Отметим, что решение v(t, х) краевой задачи (1)-(5) при заданных u,f,vо единственно в классе v(t, х) : (у- и«,) G V1,2((0, Т) х (R* \ ш)).

Теорема 1. Для любых f(t,x) G ¿2((0,Т) х (Rd\ш)) и vq(x),vi(x), удовлетворяющих (6), задача (1)-(5) является аппроксимативно управляемой с границы, причем управление и время Т = Т(е, Vo, t>i) можно выбрать так, что T(s, vo, î>i) -»■ 0 при s —> 0.

Управляемость посредством локально распределенного управления

Пусть задана ш С Kd - некоторая ограниченная область. Обозначим Qt — (0,Т) х Qj- = (0,Т) х oj. Рассмотрим систему Навье-Стокса, заданную на Qt:

dtv(t,x)-Av + (v,V)v + Vp = f(t,x) + u(t,x), supp и С Qt (8)

div и = 0 (9)

v(t, x)|t=o = vo(®)» x G Rd (10)

|v(i, x) - г?оо| -»• 0 при |x| -> oo (11)

Определение 2. Задача (8)-(11) называется аппроксимативно управляемой на С}т посредством локально распределенного управления, если для произвольногое > 0 и любых «о, VI, удовлетворяющих включению (г>,—г^) € V4, г = 0,1, найдутся момент времени Т = Т(е, Уо, г^) и управление и(£,х) € удовлетворяющее соотношению эирр и С 0%, такие, что

существует решение у{Ь,х) задачи (8)-(11), удовлетворяющее включению (у - Уоо) £ и оценке

|ИГ>.)-«1(-)Цух<е. (12)

Отметим, что решение у(1, х) краевой задачи (8)-(11) при заданных и,/,уо единственно в классе у(Ь,х): (у — г>оо) 6

Теорема 2. Для любых /{Ь,х) 6 Ьг(<Эт) и «о(х), Уг{х), удовлетворяющих (у{ — Уоо) € V4, г = 0,1, задача (8)-(11) является аппроксимативно управляемой посредством локально распределенного управления, причем управление и время Т = Т(е, Уо, у 1) можно выбрать так, что Т(е, у0, и!) — 0 при е 0.

Теорема 1 следует из теоремы 2. Доказательству теоремы 2 посвящена вся первая глава диссертации.

Заметим, что в теоремах 1 и 2 не накладывается условий на малость нормы ||ц> - Цг1 и ||/||£а, т.е. решаемая задача не является локальной. Условий на ограниченность нормы управления не накладывается, т.е., вообще говоря, ||и|| оо при е 0.

В теоремах 1 и 2 время Т зависит от г и начального и конечного условий и стремится к нулю при е —>• 0. Тем не менее, оценки (7), (12) можно получить и в произвольный заданный момент времени Т.

Схема доказательства.

Для простоты предполагаем у<» = 0. Будем искать решение у{Ь, х) задачи (8)-(11) в виде

и(4,а;) = + тп(^ х), сНу 2 = 0, сИутп = 0, (13)

где тп(Ь,х) - выбранное нами векторное поле (коэффициенты), такое что сНут = 0 на <2г, и З7: т = У7 на <дт \ От и тп(0,х) = тп(Т,х) = 0.

Подставив выражение (13) в задачу (8)-(10) и отбрасывая несущественные члены, получим задачу относительно г:

&.г + (т,У),г + (.г,У)т + У<7 = и(г,а:), сИу* = 0, (14)

*|«=о = (15)

Условие аппроксимативной управляемости принимает вид:

КГ,-)-<е (16)

Управляемость этой задачи доказывается с помощью построения коэффициентов т(£, х) специального вида и метода характеристик. В отличие от случая ограниченной области, коэффициенты т(£, х) удалось построить явно.

По полученным г, то, Уд, и с помощью сжатия временной координаты построим векторные поля, определенные на <Эгг:

х) = г(|, я), т6{Ь, х) = х), (17)

х) = х)> х) = х), где 5 > 0 - параметр сжатия времени.

Мы будем искать точное решение исходной системы (8)-(11) в следующем виде:

и(г, х) = х) + т${Ь, х) + у{Ь, я), (18)

у = (Ну г6 = «Ну т6 = 0, (¿, х) € = (О, Т6) х ЕС*.

Подставляя разложение (18) для V и управление ив в систему Навье-Стокса (8)-(10), и используя соотношение (14), получим уравнения для у{1) х):

дгу - Ду + {у, V)у + (^ + тщ, У)у + (у, 4){г5 + шг) + УР1 = Д (19)

(Куу = 0 (20)

у\г=о = 0, (21)

где (£, х) 6 <Этб, а векторные поля Урх, Д зависят от гп&, ге, У^, Ур, /.

Из свойств выводится, что

"»•0 ПРИ ¿""»О- (22)

Результат о существовании решения задачи (19)-(21) следует из малости нормы /1 и доказан методом Галеркина. При этом метод содержит некоторые дополнительные конструкции, необходимые для получения оценок производных решения и галеркинских приближений.

Основной идеей при получении этих оценок в случае ограниченной области является выбор специального базиса, состоящего из собственных векторов оператора Лапласа (Р.Темам21, А.В.Фурсиков22). При этом проектор на линейную оболочку к первых векторов этого базиса и оператор Лапласа коммутируют, а это используется при выводе оценок для производных галеркинских приближений.

В случае неограниченной области вместо построения приближений, принадлежащих линейной оболочке к первых векторов базиса, в диссертации строятся приближения из пространства векторных полей Я# С V0, имеющих преобразование Фурье с носителем в шаре фиксированного радиуса N. Проектор на это пространство и оператор Лапласа коммутируют, поэтому удается доказать оценки норм производных для этих приближений.

Мы доказываем существование решения задачи (19)-(21), спроектированной на Ядг с помощью метода Галеркина. Затем мы доказываем сходимость полученных решений к гладкому решению системы (19)-(21) при N —> оо.

При этом получена оценка:

||у(гг>.)||у»<««й-||/х||£1(0п,. (23)

В доказательстве этой оценки существенен факт (22) малости правой части (19): оценка справедлива при условии достаточной малости НЛИ^д™), и таким образом здесь фиксируется выбор параметра 5 (малость правой части используется в доказательстве оценки норм производных для нелинейного члена).

Остается оценить близость суммы у — у + тгц + г{ в момент времени Т5 к фиксированному конечному данному VI. Учитывая гщ(Т6, х) = 0, и используя оценки (16), (22), (23) получим при достаточно малых 5 требуемую

"Темам Р. Уравнения Навье-Стокеа // М.: Мир, 1981.

22Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения // Н.: Научная книга, 1999.

оценку:

1КТ5, •) - ыШуг = ЫТ5, •) + тб(Т5, •) + у(Т6, •) - «!(.)№« <

< ^(тг.о-ихНр + НуСг«,.)!^ <е.

Таким образом, оценка из теоремы выполнена для времени, равного Т5, где <5 является малым параметром.

Глава 2

Вторая глава диссертации содержит результаты, полученные для следующей задачи управления для параболического уравнения

%(£, х) - х)дхху + а2(г, х)дху + а3(4, х)у = 0 (24)

у(Ь,х)\^0 = и(х) (25)

где х 6 М, t £ [0,Т], коэффициенты сч(Ь,х) - заданные гладкие функции.

Пусть у(1,х) - решение задачи (24),(25) с заданным начальным условием й(х), где й 6 Я1 (К) удовлетворяет условию эирр й С (—оо, —х], х > 0 -задано.

В упомянутой выше работе С.Бардоса, Р.Дуади, А.В.Фурсикова показано, что, вообще говоря, нельзя построить начальное условие и(х), сосредоточенное на заданном конечном отрезке [хо, хх] положительной полуоси так, чтобы след решения у(Ь, 0) совпадал с заданным 0). Таким образом, точная управляемость невозможна, но можно строить аппроксимативное управление: возможно построить решение, след которого при х = 0 близок к у[Ь, 0). В диссертации получены оценки для нормы разности решений ||у(£,0) - у(£, 0)||£,2(0,г) через норму управления ||«||ячк)- Для этого изучена экстремальная задача, связанная с описанной системой:

ПУ,и) = У(»(«. 0) - »(*. 0))2Л + е ||«(г)||я«(д, и* (26)

где е > 0 - малый параметр. С помощью системы оптимальности получено интегральное уравнение, позволившее получить следующую оценку.

Теорема 3. Для решения экстремальной задачи (24)-(26) имеет место следующее соотношение:

ш* m m mu2 - V < $

W, О - vit, o)|| W) - g < 4„и1|4я1(д) E (v^î.

где Aj > 0 - собственные значения некоторого компактного интегрального оператора, построенного в диссертации по фундаментальному решению уравнения (24), ащ - коэффициенты в разложении y(t, 0) по ортонормиро-ванному базису, состоящему из собственных функций этого оператора.

Методика доказательства этих оценок была предложена А.В.Фурсиковым в случае задачи Коши для эллиптических уравнений, который существенно отличается от данного. Построения базируются на теореме о разрешимости задачи Коши, которая доказана известным методом М.С.Аграновича, М.И.Вишика. Т.к. построения М.С.Аграновича, М.Й.Вишика проводятся в ограниченной области, в диссертации приведено доказательство этого результата в случае неограниченной области.

Автор выражает глубокую благодарность профессору А.В.Фурсикову за постановку задач, их полезные обсуждения и руководство работой.

Список публикаций

[1] Шорыгин П.О. Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса в неограниченных областях // Матем.сб. 2003, Т.194(11), С.141-160.

[2] Шорыгин П.О. Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса во внешности ограниченной области // Вестник Тамбовского Университета. 2003. Т.8, вып.З, С. 478-479.

[3] Шорыгин П.О. Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса в неограниченных областях // Деп. в ВИНИТИ РАН № 983-В2003 от 21.05.2003, 23 стр.

[4] Shorygin P.O. On the Controllability Problem Arising in Financial Mathematics // Journal on Dynamical and Control Systems, vol. 6 (2000), No. 3 (July), pp. 353-363.

[5] Shorygin P.O. On the approximate controllability from the boundary of the Navier-Stokes equation defined in an exterior domain // International conference "Navier-Stokes equations and related topics", abstracts, 2002, pp. 72-73.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л.

Тираж /00 экз. Заказ ЬЦ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

)

I b.

- 1 9 8 8 s

loo-*-Pi

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шорыгин, Павел Олегович

Введение

1 Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса в неограниченных областях

1.1 Постановка задачи и основные результаты

1.1.1 Управляемость посредством граничного управления.

1.1.2 Управляемость посредством локально распределенного управления.

1.1.3 Некоторые приложения

1.2 Задача управления для линейной системы.

1.2.1 Постановка задачи управления.

1.2.2 Построение векторного поля коэффициентов.

1.2.3 Доказательство управляемости линейной системы.

1.2.4 Линейная система с условием соленоидальности.

1.2.5 Сжатие по времени.

1.3 Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса

1.3.1 Вывод вспомогательной нелинейной задачи

1.3.2 Доказательство аппроксимативной управляемости системы Навье-Стокса.

1.4 Существование решения нелинейной задачи.

2 Об одной задаче управления для параболического уравнения

2.1 Постановка задачи.

2.2 Экстремальная задача.

2.3 Вывод оценок.

Введение диссертация по математике, на тему "Аппроксимативная управляемость некоторых задач математической физики в неограниченных областях"

Актуальность темы

В диссертации изучаются две задачи аппроксимативной управляемости для уравнений математической физики, заданных в неограниченных областях. Первая глава работы посвящена доказательству аппроксимативной управляемости для двух- и трехмерной системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области или во всем пространстве. Доказана возможность управления решением с помощью граничного или локально распределенного управления так, что через заданное время решение системы Навье-Стокса будет сколь угодно близким к любому заданному соленоидальному векторному полю. Этот результат является главным в работе. Во второй главе диссертации рассматривается одна задача аппроксимативной управляемости для параболического уравнения, заданного на вещественной оси.

Математическая теория управляемости для эволюционных уравнений в частных производных начала развиваться в начале 60-х годов. Первыми были работы Ю.В. Егорова [8], А.Г.Бутковского [4], а позднее - Д. Рассела [71],[70], Г. Фатторини [44].

Вопросы об управляемости систем Навье-Стокса и Эйлера и параболических уравнений с простейшими нелинейностями начали активно исследоваться с начала 90-х годов после того, как Ж.-Л.Лионсом [64], [65] была выдвинута гипотеза о глобальной управляемости системы Навье-Стокса с граничным или локально распределенным управлением.

Аппроксимативная управляемость уравнений Стокса изучена в работах Ж.-Л.Лионса [64],[65],[66], А.В.Фурсикова и О.Ю.Эмануилова [53],

Ж.Диаза, А.В.Фурсикова [39].

Локальная точная управляемость уравнения Бюргерса была впервые доказана в работе А.В.Фурсикова, О.Ю.Эмануилова [51]. Точная управляемость для полулинейных параболических уравнений с нелинейностью, растущей на бесконечности не быстрее линейной функции, установлена в работах О.Ю.Эмануилова [28]-[30]. В работах Fernandez-Cara [45], [46] этот результат перенесен на случай полулинейного параболического уравнения с нелинейным членом, растущим на бесконечности не выше Вопросы управляемости уравнения Бюргерса рассмотрены также в работах Т.Хорсина [58], Ж.А.Бернса и С.Канга [32], [33].

Точная нуль-управляемость уравнений Навье-Стокса установлена в работах А.В.Фурсикова и О.Ю.Эмануилова [52],[53].

Точная локальная управляемость системы Навье-Стокса в ограниченной области доказана А.В.Фурсиковым, О.Ю.Эмануиловым [12], [13], [49], [50] для управления, распределенного по всей границе или по ее части. Случай локально распределенного управления для системы Навье-Стокса с нулевыми граничными условиями рассмотрен в работе О.Ю.Эмануилова [59] при дополнительных ограничениях на заданную скорость.

Точная управляемость двумерным уравнением Эйлера в ограниченной области была доказана Ж.-М.Короном [35]. Позднее этот результат был распространен на случай трехмерного уравнения Эйлера О.Глассом в [57].

Аппроксимативная управляемость двумерной системы Навье-Стокса в ограниченной области с граничными условиями типа проскальзывания установлена в работе Ж.-М.Корона [36].

В работе Ж.-М.Корона и А.В.Фурсикова [37] доказана глобальная точная управляемость системы Навье-Стокса на двумерном многообразии.

Последними на сегодня результатами являются работы А.В.Фурсикова [48] и А.В.Фурсикова и О.Ю.Эмануилова [10], в которых установлена глобальная точная управляемость систем Навье-Стокса и Буссинеска, заданных в ограниченной области с граничным управлением, или заданных на торе с локально распределенным управлением.

Вторая глава диссертации посвящена проблеме из финансовой математики, поставленной в работе С.Бардоса, Р.Дуади, А.В.Фурсикова [31], и, фактически, является продолжением этого исследования.

Цель работы

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса, заданной в неограниченной области, как двумерной, так и трехмерной. Рассмотрено два случая: когда система Навье-Стокса задана во внешности ограниченной области, и когда система Навье-Стокса задана во всем пространстве. В первом случае управлением является граничное условие Дирихле и аппроксимативная управляемость доказана относительно этого управления. Во втором случае управлением является плотность внешних сил, сосредоточенная в фиксированной ограниченной области пространства.

Методы исследования

В диссертации используются методы уравнений в частных производных, теория пространств Соболева. В первой главе диссертации используются методы, предложенные А.В. Фурсиковым и О.Ю. Эмануиловым в работе [10] для системы Навье-Стокса, заданной в ограниченной области, метод Галеркинских приближений, метод характеристик для уравнений первого порядка в частных производных. Во второй главе при выводе оценок для скорости сходимости использована методика, которая была предложена А.В.Фурсиковым [54]. Также используется метод М.С.Аграновича, М.И.Вишика [1] для доказательства разрешимости задачи Коши.

Структура и объем диссертации

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шорыгин, Павел Олегович, Москва

1. Агранович М.С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида , Успехи математических наук, том 19, вып.3(117), 1964, стр. 53-161.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.:Наука, 1996.

4. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965

5. Вишик М.И., Фурсиков А.В., Математические задачи статистической гидромеханики, 1980.

6. Гальярдо Э. Свойства некоторых классов функций многих переменных, Математика. 1961. т.5 №4 с.87-116.

7. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб. 1965. Т.67. N4. С. 609-642.

8. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления// Ж. Выч. Мат.и Мат. Физ. 1963. Т. 5. С. 887-904.

9. Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа , М.:Мир, 1968.

10. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // УМН. 1999. N54(3) С.565-618.

11. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Н.: Научная книга, 1999.

12. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье-Стокса // Матем. сб. 1996. Т.187. N 9, С. 102-138.

13. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Локальная точная управляемость уравнений Буссинеска // Вестн. РУДН, сер. Матем. 1996. N 3. вып. 1. С.177-194.

14. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Об ^-управляемости задачи Стокса с распределенными управлением сосредоточенном на подобласти// Успехи Матем. наук. 1992. Т. 47, N 1. С.217-218.

15. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Аппроксимативная управляемость системы Стокса// Вестник Рос. Унив. Дружбы Нар. Сер. матем. 1994. N 1. вып. 1. С. 89-108.

16. Иосида К., Функциональный анализ, М.: Мир, 1967.

17. Ладыженская О.А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 1970.

18. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

19. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука. 1983. 424 с.

20. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А., Спектральная теория дифференциальных операторов. ВИНИТИ, Итоги науки и техники, сер. Совр. пробл. мат. Фунд. напр. Дифф.ур. с частными производными 7, т. 64, 1989.

21. Серегин Г.А., Сверак В., Система Навье-Стокса и единственность в обратном направлении времени // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы, т.2, Новосибирск, Тамара Рожков-ская, 2002, стр. 321-332.

22. Слободецкий Л.Н., Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. Герцена, 197 (1958), стр. 54-112

23. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса, М.: Мир, 1981.

24. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Мир, 1970

25. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных. М.: Мир, 1965.

26. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.

27. Эмануилов О.Ю. Точная управляемость гиперболических уравнений. 4.1 // Автоматика. 1990. N 3. С. 10-13; 4.2 // Автоматика. 1990. N 4. С.31-39.

28. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболических уравнений// Матем. сб. 1995. Т. 186. N 6. С. 109-132.

29. Эмануилов О.Ю. Точная управляемость полулинейного параболического уравнения// Вестник Росс. Ун. Дружбы Нар., сер мат. 1994. N 1. С. 109-116.

30. Эмануилов О.Ю. Точная граничная управляемость параболического уравнения// Успехи Матем. наук. 1993. Т. 48. С. 211-212.

31. Bardos С., Douady R., Fursikov A.V. Static Hedging of Barrier Options with a Smile: An inverse Problem. ESAIM, Control, optimisation and Calculus of Variations, vol. 8 (2002), pp 127-142.

32. Burns J.A., Kang S. A control problem for Burgers' equation with Bounded Input/Output// Nonlinear Dynamics. 1991. V. 2. P.235-262.

33. Burns J.A., Kang S. A stabilization problem for Burgers' equation with unbounded control and observation// Internationa Series of Numerical Mathematics. 1991. V. 100. P. 51-72.

34. Coron J.-M. Return Method: Some Applications to Flow Control // Lectures given at the summer school on mathematical control theory, Trieste, 2001

35. Coron J.-M. On the controllability of 2-D incompressible perfect fluids// J. Math. Pures et Appl. 1996. V. 75 P. 155-188.

36. Coron J.-M. On the controllability of the 2-D incompressible Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions// ESIAM Control, Optimization and Calculus of Variations. 1996. V. 1. P. 35-75

37. Coron J.-M., Fursikov A.V. Global exact controllability of the 2D Navier-Stokes equations on manifold without boundary// Russian Journal of Math. Physics. 1996. V. 4. N 3. P. 1-20.

38. Diaz J.I. Sur la controlabilite approchee des inequations variationelles et D'autres problemes paraboliques non lineaires// C. R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1991. T.312. P.519-522.

39. Diaz J.I., Fursikov A.V. Approximate controllability of the Stokes system on cylinders by external unidirectional forces// J. Math.pures et appl. 1997. V. 76. P.353-375.

40. Fabre С. Uniqueness result for Stokes equations// Control and Optimization, URL : http://www.emath.fr/cocv/. 1996. V. 1. P. 267302.

41. Fabre C. Resultats d'unicite pour les equations de Stokes et applications au controle// C.R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1996. T. 322. P. 1191-1196.

42. Fabre C., Puel J.-P., Zuazua E. Controlabilite approchee de l'equation de la chaleur semi-lineaire// C. R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1992. T. 315. P. 807-812.

43. Fabre C., Puel J.-P., Zuazua E. Approximate controllability of the semilinear heat equation// Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1995. V.125A. P. 31-61.

44. Fattorini H. Boundary control of temperature distributions in a parallepipedon// SIAM J. Control Optim. 1975. V. 13. P. 1-13.

45. Fernandez-Cara. Null controllability of the semilinear heat equation// ESAIM:Control, Optimization and Calculus of Variations. http://www.emath.fr/cocv/ 1997. V. 2. P. 87-103.

46. Fernandez-Cara. Null controllability for semilinaer parabolic equations with critical growth of the nonlinearity// C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I. 1997. T. 324 P. 1371-1376.

47. Fernandez L.A., Zuazua E. Approximate controllability of semilinear heat equation involving gradient terms// J. Opt. Theory Appl. 1999. (to appear)

48. Fursikov A.V. Controllability property for the Navier-Stokes equations, International Series of Numerical Mathematics. 1999. vol.133. Birkhauser Verlag Basel/Switzerland.

49. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C. R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1996. T.323. P.275-280.

50. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local Exact Boundary Controllability of the Boussinesque Equations // SIAM J. Control Optim. 1998. v.36. N 2. P. 391-421.

51. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu., On controllability of certain systems simulating a fluid flows, In Flow Control, IMA, Math.Appl. 68, Springer Verlag, New-York, 1995, pp. 149-184.

52. Fursikov A.V. Exact boundary zero controllability of three dimensional Navier-Stokes equations// Journal of Dynamical and Control Systems. 1995. V. 1. P. 325-350.

53. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On exact boundary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations// Acta Applicandae Mathematicae. 1994. V. 37 P. 67-76.

54. Fursikov A.V. Lagrange principle for problems of optimal control of ill posed or singular distributed systems // J.Math. Pures Appl., 71,1992, №2, 139-195.

55. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On approximate controllability of the Stokes system// Annales de la Faculte des sciences de Toulous. 1993. V. 11. P. 205-232.

56. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Controllability of evolution equations. Lecture Notes Series V. 34, Research Inst, of Math. Global An. Research Centre, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1996.

57. Glass O. Controlabilite exacte frontiere de Г equation d'Euler des fluidesparfaits incompressiles en dimension 3 // C. R. Acad. Sci., Paris, Serie I. 1997. T. 325. P. 987-992.

58. Horsin T. On the controllability of the Burger equation// ESAIM: Control, optimisation and Calculus of Variations. 1998. V. 3. P. 85-95.

59. Imanuvilov O.Yu. Local exact controllability for the 2-D Navier-Stokes equations with the Navier slip boundary conditions// in Turbulence Modeling and Vortex Dynamics. Lecture Notes in Physics. 1997. V. 491. P. 148-168.

60. Isakov V. Inverse Parabolic Problems with the Final overdetermination// Comm. on Pure and Appl. Math. 1991. v.64. P. 185-209.

61. Isakov V. Carleman type estimates in an anisotropic case and applications// J. Diff. Equat. 1993. V. 105. P. 217-239.

62. Komornik V. Exact Controllability and stabilization. The multiplier method. P.: Masson, 1994.

63. Lions J.-L. Are there connections between turbulence and controllability? // Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer-Verlag Heidelberg, 1990. V. 144.

64. Lions J.-L. Remarques sur la controlabilite approche// in Proceedings of "Jornadas Hispano-Francesas sobre Control de Sistemas Distribuidos", University of Malaga, Spain, October 1990.

65. Lions J.-L. Remarks on approximate controllability// Journal D'Analyse Mathematique. 1992. V. 59. P. 103-116.

66. Lions J.-L. Controlabilite exacte et stabilization de systemes distribues. V. 1, P.: Masson, 1988.

67. Lions J.-L. Exact controllability, stabilizability, and perturbations for distributed systems// SIAM Rev. 1988. V. 30. P.1-68.

68. Russel D. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations. Recent progress and open questions// SIAM Review. 1978. V. 20. P. 639-739.

69. Russel D. A unified boundary controllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations// Studies in Applied Mathematics. 1973. V. 52. P. 189-212.

70. Шорыгин П.О. Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса в неограниченных областях // Матем.сб. 2003, Т. 194(11), С.141-160.

71. Шорыгин П.О. Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса во внешности ограниченной области // Вестник Тамбовского Университета. 2003. Т.8, вып.З, С. 478-479.

72. Шорыгин П.О. Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса в неограниченных областях // Деп. в ВИНИТИ РАН № 983-В2003 от 21.05.2003, 23 стр.

73. Shorygin P.O. On the approximate controllability from the boundary of the Navier-Stokes equation defined in an exterior domain // International conference "Navier-Stokes equations and related topics", abstracts, 2002, pp. 72-73.

74. Shorygin P.O. On the Controllability Problem Arising in Financial Mathematics // Journal on Dynamical and Control Systems, vol. 6 (2000), No. 3 (July), pp. 353-363.