Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Фроленков Игорь Владимирович

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ "УРАВНЕНИЙ.

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2006

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор Белов Ю.Я.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор Кожанов А.И., доктор физико-математических наук профессор Мысливец С.Г.

Ведущая организация Новосибирский государственный

университет

Защита состоится 17 ноября 2006 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета К 212.090.03 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан « октября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета^

кандидат физико-математических наук Золотой O.A.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

При изучении физических объектов или явлений экспериментальными методами типична ситуация, когда интересующие исследователя количественные характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюдения. Или проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что, он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опахан (например, при изучении экологических явлений). Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами. В этом случае приобретается некоторая косвенная информация об исследуемом объекте. Эта информация определяется природой изучаемого объекта и используемым при этом изучении экспериментальным комплексом. В таких ситуациях для диагностики объектов (например, их внутренней структуры) требуются математическая обработка и интерпретация результатов наблюдений.

С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, границы области, граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных про-

цсссов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагности плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации и др. приводят к обратным задачам.

Теория обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений. В настоящее время теория обратных задач математической физики активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ, в том числе Московской (основанной А.Н. Тихоновым) и Сибирской (основанной М.М. Лаврентьевым и ВТ. Романовым). Корректность обратных задач для параболических уравнений, а также краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной изучались в работах Ю.Е. Аниконова, В.А. Бубнова, Е.Г. Сава-теева, В.М. Волкова, А.И. Прилепко, Н.Я. Безнощенко, В.В. Соловьева, В.В. Васина, А.И. Кожанова, B.JL Камынина, Н.И. Иванчова, Ю.Я. Белова, Т.Н. Шшшной и других. Вопросам корректности обратных задач для линейных параболических уравнений в случае краевых задач также посвящены работы Н.И. Иванчова, Н.В. Салдииой, И.А. Калиева, М.М. Первушиной, А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко, С.Г. Пяткова. Целый ряд результатов в изучении обратных задач получили в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и др.: G. Anger, II.D. Bui, Y. Chen, D.Colton, R. Durridge, H.W. Engl, J. Gottlieb, M. Grasselli, R. Kress, G. Kunetz, J.Q. Lin, A. Lorenzi, J.M. Mendel, R.D. Murch, A. Roger, M. Sondhi, S. Strom, H. Zhang, M. Ya-

mamoto и др.

Цель работы. Исследование корректности обратных задач для одномерных и многомерных полулинейных параболических уравнений, со-держащил нелинейности достаточно общего вида, в случае данных Кош и, первой и второй краевых задач. Исследование случаев, когда условия переопределения заданы на фиксированной гиперплоскости и на гладкой кривой.

Методика исследования. Во всех исследуемых задачах идентификации коэффициентов осуществляется формальный переход от обратной задачи к прямой задаче для нагруженного уравнения. Основным методом,, применяющимся в диссертации при доказательстве разрешимости прямых задач для нагруженных уравнений является метод слабой аппроксимации (МСА), являющийся методом расщепления на дифференциальном уровне и названный так H.H. Яненко. Методы расщепления во многом получили развитие в работах H.H. Яненко, A.A. Самарскою, их учеников и последователей. В монографии Ю.Я. Белова и G.A. Кантора приведено подробное описание МСА и систематизированы имеющиеся результаты.

Научная новизна и практическая ценность.

В диссертации решены актуальные задачи одновременной идентификации нескольких коэффициентов многомерных полулинейных параболических уравнений, содержащих нелинейности достаточно общего вида, как с условиями переопределения, заданными на фиксированной гиперплоскости, так и с условиями переопределения, заданными на гладкой кривой.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, носят теоретический характер и снабжены строгими доказательствами. Они могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского госуниверситета, руководитель - д.ф.-м.н. Ю.Я. Белов (2002-2000гг.);

XXXVI Краевой научной студенческой конференции по математике, (г. Красноярск, КрасГУ, 2003 г.);

ХЫ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(г. Новосибирск, НГУ, 2003 г.);

Международной научной конференции "Вычислительные и информа-. ционные технологии в науке, технике и образовании"(г. Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003 г.);

ХЫ1 Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", (г. Новосибирск, НГУ, 2004 г.);

XXXVII Краевой научной студенческой конференции по математике (г. Красноярск, КрасГУ, 2004 г.);

Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании ВИТ-2004" (г. Алматы, Казахстан, 6-10 октября 2004 г.); ■

Международном семинаре по неклассическим уравнениям математической физики, посвященном 60-летию В.Н.Врагова (г. Новосибирск, НГУ, Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2005 г.);

Международной конференции "Информационные технологии и обратные задачи рационального природополюоваиия"(г. Хапты-Мансийск, Югорский НИИ информационных технологий, 2005 г.);

Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в пауке, технике и образовании ВИТ-2006" (г. Павлодар, Ка-

захстан, 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ, в которых отражено ее основное содержание. Восемь работ написаны и опубликованы в соавторстве. Во всех случаях вклад каждого из соавторов равноценен. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 103 наименования и списка работ автора по теме диссертации, включающего 9 наименований. Восемь работ написаны и опубликованы в соавторстве. Во всех случаях вклад каждого из соавторов равноценен. Объем диссертации составляет 150 страниц.

Содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, приведены постановки задач, результаты их исследования и указана взаимосвязь с работами других авторов.

В первой главе приводятся некоторые обозначения, а также вспомогательные утверждения и теоремы, необходимые для дальнейшего изложения.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию задачи идентификации коэффициентов одномерного полулинейного параболического уравнения, содержащего два неизвестных коэффициента, один из которых стоит при производной по времени, второй - при нелинейном члене. Условия переопределения заданы на фиксированной гиперплоскости.

В области <7[о,т] — {(i, х, z) | 0 < t < Т>х € Е\, z G рассматривается

задана Коши

>1 ж)и((г, х, г) = а! х)ихх + а2(£, х)игг+

+ л2(г, х)м(г, х, .?)) + /(г, х, г), (1)

«(О, X, г) — щ(х, г). (2)

Функции <11(1,3:), 0.2(1, ж) такие, что дифференциальный оператор Ь(и) является оператором эллиптического типа при (£,х,.г) Е <?[о,г]- Функции М(Ь,у), щ(х, .г), х, г) заданы в Е2, Ег и С^г) соответственно. Здесь и далее все функции действительнозначные.

Функции Ах(£, х), А2х) подлежат определению одновременно с решением и(1) х, г) задачи (1), (2), удовлетворяющим условиям переопределения

и(^х, 0) = ¥>1(*>я)* (3)

иг(£,х,0) = <Р2&>х) (4)

и условиям согласования

и0(х,0) =^1(0,х), (5)

д

^ыо(х,0) = ¥>2(0,х). (6)

Относительно функции Му) предполагается, что она достаточно гладкая, имеет все непрерывные производные, входящие в следующее ниже соотношение и удовлетворяет этому соотношению : дк

дукт,у)

<Mo(l+|ï/F), = у е El. (7)

Здесь Mo - постоянная, р -- фиксированное натуральное число, у) =

к> 1 -- целое, M<°)(i,y) = M(t,y).

Пусть выполняется при (ttx) € П^г] = ж) \Q <t <Т,х & Е\} соотношение

|A(i,x)| =

Ôt

tpi(t, x)A/(1)(i, (pxit, x))tp2(t, x)-

-Q^Piit, x)M(t, x))

> S > 0, (8)

где 5 - некоторая фиксированная постоянная. Это условие является условием неравенства нулю определителя системы относительно X\(t, х), я).

Обратная задача (1)-(4) приводится к прямой задаче Коши для нагруженного уравнения

[Ai{t,x) + A2{t,x)usz{t>x,0) + A3(i,x)utZZ(t}x,0)]ut = L(u)+ + x) -f B2{ty x)u2*(i, x, 0) -f B3(f, x)uxxz{ty x,0)] M(i, u)+

+ f(tyXtz)y

u(0tx,z) ~ Uo(x,Z),

где

Ai(t, x

M (t, oo Л3(£, x

Bi{t,x B2(t, x

= <pi(t, x))<p2(t, x) - ifa(t, x)M(t, x))

A(£, x)

= x)M1{l){t, yn(t, x))y?2(t, Д)

A(i,x) a2(i,x)M(i,^i(i, x))

A(i, x)

в-ДМ-' B3(Î,X) =--A(i,x) *

- известные функции.

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие соотношения и удовлетворяют им :

д*

дхт 0к дт

«о(х, г)

б"

дхт +

а;(/,х)

дт+1

дхтдЬ

х)

—■— НЬ X г)

О) (10)

дгк дхт

Здесь т — 0,1,..., 4, г = 1,2, к — 0,1,..., 11 — 2т, (£, х, у) €

Пусть также выполняется следующее условие при (£,х) € П(о,г] -

Л,(4,®) + х)-^и0(х, 0) + Лз(*, 0) > 6. (11)

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.4.1. Пусть выполняются условия (5)-(11). Тогда существует решение и(£,х,г), Ах(£,х), Л2((,х) задачи (1)-(4) а классе удовлетворяющее соотношениям

*=0

т=0

дт

т=0

2

+ Е

т=0

дт

(г,х7г) € <3[0,г), (12) (г, х) € П[0^], (13)

где

г(Г) = {«(*,*, г), х), А2(*,х) I и е с}£$(С10г]) п С?й5(С[0)г]),

= {/(«,*,*) I /,Л 6 С(С[0,К),

дт дк 1 е С< 2, А « 0,1,2,з|,

СЩ(С{о,е.]) - {/(£,х^) I е С{С[йг])} к -0,1,. .,,5}.

Здесь V - некоторая постоянная, зависящая от константы Мо из (7) и констант С, 5 из (8)—(11), такая, что 0 < ^ Т.

Теорема 2.5.1. Решение г), Ах(£,х), Аг(£,х) задачи (1)-(8), удо-

влетворяющее соотношениям (12), (13), единственно в классе Из теорем 2.4.1 и 2.5.1 следует

Теорема 2.5.2. Пусть выполняются условия (5)-(11). Тогда существует и единственно решение х, г), х), АзС^х) задачи (1)-(4) в классе удовлетворяющее соотношениям (12), (13).

В третьей главе в области £?[о,т] = {(*»х>г) | 0 < £ < 2\х € ЕП}г е рассматривается задача нахождения тройки действительнозначных функций А1(г,а;)) Аг(<,а;)), являющихся решением задачи

= Ьх{и) +игх + А1(£,х)М(£, г)) + А2(£,х)/(£,х,г), (14)

и(0, х, г) — щ(х, z)1 (15)

где

п п

-М") = + где акт{г),ак{Ь) е С [0, Т],

1 *=1

и удовлетворяющих условиям

«(¿,х,0) = ^1(£,х)1 (16)

иг(£, х, 0) - у>2(£> х). (17)

Считаем, что входные данные удовлетворяют условиям согласования

и0(х,О) = ^1(О,х)( (18)

д

«о(®,0) = ¥>2(0, х),

(19)

функции М(г, у), щ(х, z), f(t, х, z) дейстиительиозначные и заданы в Е2, Еп+1 и <?[о,г] соответственно.

Относительно функции М(í, у) также предполагаем, что она достаточно гладкая, имеет все непрерывные производные, входящие в следующее ниже соотношение (20) :

Предположим, что при (t>x) 6 П[о,т] = {(¿j^) | 0 < t < Т,х € Еп} выполняется соотношение

где 5 - некоторая фиксированная постоянная. Это условие является условием неравенства нулю определителя системы относительно А1(£, ж), А2(£, х).

Обратная задача (14)-(17) приводится к прямой задаче Коши для нагруженного уравнения :

+ я) + A2(t, x)u«(í, х, 0) + x)uzzz(t, х% 0)] M(t, u(f, х, z))+ + [Bi(í, x) + B2(t, x)uzz(t, x, 0) + Bs(í, я)и„,(*, x, 0)] f(t, x, z),

«(0 — uo{x,z)1

где

и t{t,x>z) = Lx(u{t,x,z)) +UzX(t,x,z)+

^(í.x) =

sftift, x)fz(t> g, 0) - Mt, aQ/(¿, 0) A(í,x)

х)М{г, (рх)) - ж)М <*>(<, <рг(г, х))у2(*» х) Д(*,х)

--Д5Д-■ т>х) ~ ——*

Д(*,х) = а?, 0) - 2(*. *)/(«, ®,0)

- известные функции.

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже соотношения (22), (23) и удовлетворяют этим соотношениям :

+ (АК.4, г = 1,2, (22)

<С, |Д3|<4,.4 = 0,1,.»,5, (23)

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.4.1. Пусть выполняются условия (18)-(23). Тогда существует решение и(£, х, г), Лх(*> х), Аг(£, х) задачи (14)-(17) в классе удовлетворяющее соотношениям

ЕЕ

< С, (£,х,г) е »

(24)

^ ^А^х)! + £ \О^Х2(г,х)\ < С, (¿,х,г) 6 <7(0Г]. (25)

Здесь

21?) = {«(*,*,*), А!(г,х), А2(/,Х) | и € С,1*?^-]),

<?$?(%«•]) - {/(*, *) I Л, € С(<?[0,.,), N <2, ¿ = 0,1,2, з|.

= Ыг,х) I ££<?(«, х) € С{П[ог)), И = 0,1,2}.

Теорема 3.5.1. Решение и(£,х,г), А1(£,х), задачи (14)—(21),

удовлетворяющее соотношениям (24), (25), единственно в классе

Из теорем 3.4.1, 3.5.1 следует

Теорема 3.5.2. Пусть выполняются условия (18)-{23). Тогда существует и единственно решение «(¿,х, г), А^^, х), А2(£, х) задачи (14)-(17) в классе удовлетворяющее соотношениям (24), (25).

Также в'области — х, г) |0<г<У, 0<х<тг} рас-

смотрена задача идентификации тройки действительнозначных функций (и(£,х), А1(<),'Л2(£)), удовлетворяющих краевой задаче для одномерного уравнения

х) = X) + А 1(г)М(г, «(£, х)) + А 2(г)/(г, х),

(26)

и(0,х) = и0(х),

и(г, о) = «(£, тг) = о,

(27)

(28)

и условиям

(29)

для некоторой фиксированной точки 0 < а < 7г, Считаем выполненными условия согласования

Ох

(30)

Предположим, что функция М(£, у) достаточно гладкая (имеет все непрерывные производные, входящие в следующее ниже соотношение) и

|мО)(^У)|<Л/0(1+ЫР), ¿ = 0,1,....5, O^t^T, у G Ei. (31)

Здесь Mq - постоянная, р > 1 - целое. Пусть при 0 < t ^ Т

|A(¿)| > 5 > 0, <5 - consí, (32)

где

Д(£) = M(t)V7,(0)/«(¿,o) - MW(i,¥>i(í)b(í)/(t,o).

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие (имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже соотношения (33)) и при (t,x) е <7¡o,r] = {fo^) [ 0 ^ * < €,i?i}. удовлетворяет соотношениям :

Функции щ(х) и /(t, i) нечетным образом продолжаются по переменной х на Е\\

оо оо

«о(а0 — ^^ajfcsinfcx, f(t)x) = ^2^k(t)smkx. (34)

k-Q Jt=0

Здесь ajt - const, fa(£) G С[0,Т].

Также предполагаем, что при (f, х) € Cfor] справедливо условие

оо

M(í, v(t, х)) = Mk(t) Sin кх (35)

fe=0

для любых v(£,x), таких, что

оо

г>(£,а;) = vt¿(¿) sin кх. fee о

d>

dx*

¿uQ(x)

+

д1

SJ/C.-)

г = 0,1, ¿ = 0,5. (33)

Коэффициенты вообще говоря, зависят от выбора функции 1>(£, х).

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.6.1. Пусть выполняются условия (30)-(35). Тогда существует решение и(£,х), Ах(£), Аг(^) задачи (26)-(29) в классе

= {«(*,*), М*), Ааф I и е СЦфру,), Аа(*) € С([0,Г])} ,

где

СЦ{Що,г]) = {Ж х) I Л, <= С(Цо^), N < 3} ,

удовлетворяющее соотношению

дк

МО!+ )*»(«)! + £

дхк

ц(£, х)

(£,х) еП[0,г]. (36)

Теорема 3.6.2. Решение А2(£) задачи (26) - (32), для кото-

рого справедливо, что функция х) допускает продолжение нечетным образом по пространственной переменной на (7|"0 ¿.р и удовлетворяющее при (£,х) € соотношению (36), единственно в классе 2(£*).

Из теорем 3.6.1, 3.6.2 следует

Теорема 3.6.3. Пусть выполняются условия (30) - (35). Тогда существует и единственно решение и(£, х), Ах(£), А2(£) задачи (26) - (29) в классе Я(£*)> удовлетворяющее соотношению (36).

Замечание. В случае второй краевой задачи (26), (27), (37), где

и,(*,0) = и.(*,тг) = 0, (37)

при выполнении условий

оо оо

ио(х) — /(£,х) = &(£) сое кх,

к=0 *=0

где otk - const, pk{t) e C[0,T],

со

M(t,v) = Affc(^) cos fcx, fc=o

для любых t»(í, x), таких, что

оо

v(t, X) = ^^ ffc(í) cos &x,

Jfc=0

справедливы аналогичные теоремы. Здесь коэффициенты Л/*(£) также зависят от выбора функции v(ttx).

В четвертой главе для полулинейного параболического уравнения рассмотрен случай неизвестных коэффициентов при нелинейном члене и функции источника. Коэффициенты зависят от временной переменной, а условия переопределения задаются на гладкой кривой, заданной в параметрическом виде.

Когда рассматриваются процессы диффузии или распространения тепла и условия переопределения задаются на фиксированной гиперплоскости, это означает, что датчик, производящий замеры (например, температуры) установлен и закреплен в определенном месте и не может перемещаться со временем. Если же датчик с течением времени может двигаться в пространстве по определенному закону, то мы приходим к описанной ниже задаче.

л

В области — {(í, х, z) | 0 < t < Т,х € En,z б Е\} рассмотрена

задача Коши

u((t, х, z) = + + Ai(í)Af (í, w(¿, x, л)) + A2(í)/(£, x, z), (38) и(0,аг,г) =u0(x,z). (39)

Здесь

n

Lx{u) ~ где c*(í) € C[0,T],

vt=i

функций /(£, действительнозначные и заданы в Еъ,

и С?[0,т] соответственно. Функции Ах(^), Аг(0 подлежат определению одновременно с решением х, г) задачи (38)—(39), удовлетворяющим условиям переопределения

и(«,а(*), 6(0) = ¥>!(<). (40)

^(¿,а(0,6(0)=^2(0> (41)

где а(0 = (ах(0>«2(^)1 -.»««(О)» и условиям согласования

«0(в(0),К0)) = ^(0), (42)

|^о(а(0),Ь(0))^2(0). (43)

Относительно функции М(¿, у) также предполагаем, что она имеет все непрерывные производные, входящие в следующее ниже соотношение (44), и удовлетворяет этому соотношению :

дк дук'

Здесь М0 - постоянная, р - фиксированное натуральное число, М^(£, у) — ^М(г.у), к> 1 - целое, М^у) - АГ(*,у).

Пусть при всех I € [01Т] выполняется соотношение

|л*(*,Ы9)/»(*.в(0,ь(0)~м{1)(*. >^>о- (45)

Здесь 5 - постоянная.

Обратная задача (38)-(41) приводится к следующей вспомогательной

<М0(1+ЫР), к~ 0,1,..., 9, (44)

прямой задаче для нагруженного уравнения : ^ = Ьх(и) + и„ + (Лх(0 + Л2(0^(0+

+Л3(0 \К2{1) + «,«(«,о(0,6(0)] + М{Ьли)+

+ (¿МО + В2Ц)КХ{1) + В&) [К2{г) + «,„(*, а(0.ВД)] +

+ В4(1)ихх{1, о{£), Ь(0))/(*, х, г),

и(0(х,г) = ио(х,2)>

где

МЧ- ' Щ ■ .

м{1) - —щт 'М) ~ —щ—'

¿/(0/(*,а(0,6(0)-Д(*,а(0<М0)

~ ЩЬ) '

Вз(г) --ад ' - —щ—■

^ = щ

- известные, непрерывные, достаточно гладкие функции.

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие (имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже соотношения) и удовлетворяет соотношениям :

И0! + \т\ + Ш) I +1*4(01 < с, (46)

дт

дгт

££и0(х, г)

+

дт

х, г)

дг

И<4, т — 0,1,... ,5, (47)

(£, х, г) € С[о,т]-Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4.3.1. Пусть выполняются условия (42)-(47). Тогда существует решение А^), Лг(£) задачи (38)-(41) в классе удо-

влетворяющее соотношениям

^. л"*

^ С, е (48)

дт

ЕЕ

|а|<2 ¿=0

МОЫАафКС, ¿еСУр.Р]. (49)

Здесь

2(Г) = {*<«,«.*). >1(0. МО1 и € сЦ?(суг]), Ш* Ш € с([о,г])},

т = 0,1,2,3, ]а| ^ 2}.

Теорема 4.4.1. Решение х, г), Ах), Аг(£) задачи (38)-(45), удовлетворяющее соотношениям (48), (49), единственно в классе Z(t*).

Из теорем 4.3.1, 4.4.1 следует

Теорема 4.4.2. Пусть выполняются условия (42)-(47), Тогда существует и единственно решение А^г), Аг(£) задачи (38)-(41) в классе удовлетворяющее соотношениям (48), (49).

Также в области Цо.г] — ) I 0 < £ < Т, х — (хх,... ,хп),

0 < х* < 7Г, к ~ 1,п,0 < г < 7г} рассмотрена задача идентификации тройки функций (и(£,х,г), А1(£),Аг(£))* удовлетворяющих краевой задаче для многомерного полулинейного уравнения

= Ди + игг — А1(£)М(£, ц(£, х, г)) + Х2(1)/(г,х1г), (50)

u(0, x, z) ~ Z), (51)

«Ut=o — w|XJt=ir — О, к — 1,..., n, (52)

u\z=0 = и\ж=К = 0, (53)

и условиям переопределения

«(i,e(i),6(É)) = (54)

uA(t,a(t),b{t))=Mt)> (55)

где a(t) = (ai(i)t аг(0) Считаем выполненными условия согласо-

вания

«о(о(0),Ь(0))=^1(0), (5G)

^«о(а(0),Ь( 0))«V2(0). (57)

Предположим, что функция Af(f, у) достаточно гладкая (имеет все непрерывные производные, входящие в следующее ниже соотношение) и дк

0^M{t>v) ^М0(1+|у|р), fc±=0,l,...,9, O^i^T, у в El (58)

Здесь Л/q ~ постоянная, р - фиксированное натуральное число, у) =

^М(*,у), к > 1 - целое, МЩ,у) = М(£,у).

Пусть при всех t € [0, Т] выполняется соотношение

Vi(*))A(t.*(0.b(i)) " A/t^Ci,«(0,6(0)j > S > 0. (59)

Здесь S - фиксированная постоянная.

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже соотношения (60), (61), и удовлетворяют этим соотношениям :

И0! + wm + Ш)\ + Ш)\ < С, (СО)

dzr

-D°uq(x, z)

+

gm

|a|^4, m = 0,1,... ,5, (61)

(t,x,z) eG¡0tT] = {(ttx,z) j O < í <T,x eEn,z 6 SJ.

Функции f(t} x>z) и щ(х, z) заданы на fi[Q,r¡ и нечетным образом продолжаются по переменным xt, z па En+i :

со

uq(x, z) — ^Г^ ak sin kxi sin kx2... sin kxn sin kz¡ a* - постоянные, (62)

¡t=o

DO

/(í, x,z) — /?*(£) sin fcxi sin .. sin &xn sin Аг, ^jt(f) € С[0,7^. (63) Jt=o

Также предполагаем, что справедливо следующее условие при (£,x,2) £ Яо,Л :

OÚ

M(¿, v(£, х)) = Mb(t) sin кх\ sin кх2 ... sin кхп sin kz, (64) ..... fc=0

для любых v(í,x), таких что

оо

u(t, х) = У ] v¿(í) sin кх i sin кх % ♦ - • sin кхп sin kz.

к~0

Коэффициенты Mk[t), вообще говоря, зависят от выбора г>(£, х). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4.5.1. Пусть выполняются условия (56)-(64). Тогда суще-

•А,

ствует решение u(f,x,z), X\(t)t А2(í) задачи (50)-(55) в классе Z(t*), удовлетворяющее соотношениям (48), (49); где

Z{t*) = {u(t,x,z), Ax(t)t A2(í) | « € CgiiOton), A,(t), A2(t) e C([0, í*])} •

Теорема 4.5.2. Решение и(£, х, г), Х\{Ь), Аг(£) задачи (50)-(59), для которого справедливо, что функция х, г) допускает продолэ/сение печет-

ним образом по пространственным переменным на б?^.], « удовлетворяющее при (i,x,z) G Cj"0lt*l соотношениям (48), (49), единственно в классе

Из теорем 4.5.1, 4.5.2 следует

Теорема 4.5.3. Пусть выполняются условия (56)-(64). Тогда существует и единственно решение u(t,x,z), Ai(£), Аг(£) задачи (50)-(55) в классе Z(t*)f удовлетворяющее соотношениям (48), (49).

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае второй краевой задачи (50), (51), (65), (66) где

= WxtU*=jr = 0, fc = 1,... ,тг, (С5)

Щ\z=0 = = 0, (66)

при выполнении условий 00

«о(х, z) = 23 at cos kx\ cos kx%... cos kxn cos kz, a* - постоянные, ' Jfc=0 oo

f(t, x, z) = 23^(£)cos/:xiCOsfcx2...cos/:xncosA;z, &(£) € C[0,T], *=o

со ...

M(<, v(i,x)) = coskxt cos kx2... cos kxn cos kz>

k~o

для любых v(t, x), таких что

oo

v(t, x) = 23 Vk(t) cos kxi cos kx2... cos kxn cos kzt fc=o

справедливы аналогичные теоремы.

Заключение содержит выводы и основные результаты работы.

Автор выражает.1 благодарность научному руководителю Ю,Я. Белову за помощь и ценные советы при работе над диссертацией, а также всем участникам семинара кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского госуниверситета за поддержку и активное обсуждение результатов.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов полулинейного параболического уравнения // Материалы ХЫ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технических прогресс": Математика/Новосиб. гос. Университет. Новосибирск. 2003. С. 29-30.

2. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов полулинейного ультрапараболического уравнения // Вычислительные технологии. 2003. т.8, ч.1. С.120-131.

3. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации коэффициента при производной по времени в полулинейном параболическом уравнении //Вычислительные технологии. 2004. т.9, ч.1. С. 281-289.

4. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения // Вестник КрасГУ: физико-математические науки, - Красноярск: КрасГУ. 2004. Вып. 1. С. 140-149.

5. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задачах идентификации двух коэффициентов одномерного полулинейного параболического уравнения // Неклассические уравнения математической физики: Труды семинара, посвященного 60-летию профессора В.Н. Врагова / под ред. А.И. Кожанова. - Новосибирск: Изд-во Инст-та математики. 2005. С. 44-50.

6. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений // Доклады Академии Наук. 2005. т. 404, №5. С. 583-585.

7. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О некоторых задачах идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений // Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования: Материалы конференции / Югорский научно-исслед. Институт информационных технологий. - Ханты-Мансийск: Полиграфист. 2005. С. 19-23

8. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения с условиями переопределения, заданными на гладкой кривой // Специальный выпуск журнала "Вычислительные технологии", посвященный 85-летию академика H.H. Яненко. 2006. т.11, ч.1. С. 46-54.

9. И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения ff Труды XLII Международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс": Но-восиб. гос. Университет. Новосибирск. 2004. С. 181-186.

Подписано в печать « В » октября 2006 г. Бумаги офсет. N1 Ус. печат. лист. 1,25 Тираж 100 Заказ Ш

Формат 60 х 84 1/16 Печать офсет. Ус. изд. лист. 1,0

Издательский центр Красноярского государственного университета, С60041, г.Красноярск, пр.Свободный, 79.

Введение

Глава 1. Вспомогательные предложения

1.1 Некоторые обозначения.

1.2 Неравенство Гронуолла.

1.3 Теорема Арцела

1.4 Принцип максимума для параболического уравнения второго порядка

1.5 Общая формулировка метода слабой аппроксимации

1.6 Одна теорема метода слабой аппроксимации.

Глава 2. О задаче идентификации коэффициентов при производной по времени и нелинейном члене в полулинейном параболическом уравнении

2.1 Постановка задачи.

2.2 Переход от обратной задачи к прямой.

2.3 Разрешимость прямой задачи.

2.4 Существование классического решения обратной задачи

2.5 Единственность классического решения обратной задачи

Глава 3. О задаче идентификации коэффициентов при нелинейном члене и функции источника для полулинейного параболического уравнения

3.1 Постановка задачи.

3.2 Переход от обратной задачи к прямой.

3.3 Разрешимость прямой задачи.

3.4 Существование классического решения обратной задачи

3.5 Единственность классического решения обратной задачи

3.6 Существование и единственность классического решения в случае первой и второй краевых задач.

Глава 4. О задаче идентификации коэффициентов при нелинейном члене и функции источника в полулинейном параболическом уравнении с условиями переопределения, заданными на кривой

4.1 Постановка задачи.

4.2 Разрешимость прямой задачи.

4.3 Существование классического решения обратной задачи

4.4 Единственность классического решения обратной задачи

4.5 Существование классического решения в случае первой и второй краевых задач.

При изучении физических объектов или явлений экспериментальными методами типична ситуация, когда интересующие исследователя количественные характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюдения. Или проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что, он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений). Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами. В этом случае приобретается некоторая косвенная информация об исследуемом объекте. Эта информация определяется природой изучаемого объекта и используемым при этом изучении экспериментальным комплексом. В таких ситуациях для диагностики объектов (например, их внутренней структуры) требуются математическая обработка и интерпретация результатов наблюдений.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, границы области, граничных или начальных условий. Неизвестные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополнительной информации. Такой информацией служат различного рода условия переопределения. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии, геотомографии, диагности плазмы, квантовой теории рассеяния, подводной акустики, квазиоптики, дифракции, теории колебаний молекул, георадиолокации, геофизической нейтронометрии, графиметрии и др. приводят к обратным задачам.

При обработке данных натурных экспериментов по дополнительным косвенным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, можно ставить проблему идентификации математической модели, например, определение коэффициентов дифференциальных уравнений. Такие задачи относятся к классу обратных задач математической физики и в настоящий момент во всем мире играют большую роль в естественных науках и их приложениях [25], [42].

В связи с тем, что ранее практически все обратные задачи являлись некорректными с точки зрения их постановки, то существенный прогресс в исследовании стал возможен лишь в последние десятилетия в связи с развитием теории некорректных задач, большой вклад в разработку которой сделан отечественными математиками А.Н. Тихоновым, М.М. Лаврентьевым, В.К. Ивановым, Морозовым В.А. и многими другими [27], [43], [48], [77], [79].

Первые исследования в теории обратных задач связаны с обратными задачами сейсмики. В одномерном случае одна из таких задач впервые была рассмотрена Герглотцем [91]. Теорема единственности решения сложной многомерной обратной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно-аналитических функций впервые была доказана Ю.М. Березан-ским [22] в начале 50-х годов. Исследования других многомерных обратных задач впоследствии были проведены М.М. Лаврентьевым [1,6], А.Д. Искен-деровым [32, 34], М.В. Клибановым [39], А.И. Прилепко [54, 55], Н.Я. Без-нощенко [9, 12] и другими.

В настоящее время теория обратных задач математической физики активно развивается представителями целого ряда отечественных математических школ, в том числе Московской (основанной А.Н. Тихоновым) и Сибирской (основанной М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым), такими как С.А. Аникин, Ю.Е. Аниконов, А.В. Баев, А.С. Барашков, С.П. Белинский, Ю.Я. Белов, М.И. Белишев, Е.Ы. Бидайбеков, А.С. Благовещенский, Ю.А. Бродский., A.JI. Бухгейм, Е.В. Васильева, А.О. Ватульян, В.М. Волков, Д.И. Глушкова, Н.В. Дементьев, В.И. Дмитриев, Н.Б. Ильинский, А.Д. Искендеров, С.И. Кабанихин, A.JI. Карчевский, B.C. Корнилов, М.В. Клибанов, С.В. Мартаков, Б.С. Парийский, В.И. Прийменко, А.И. Прилепко, Т.П. Пухначева, А.Г. Рамм, В.Г. Синько, Б.Ф. Тазюков, A.M. Федотов, В.А. Чеверда, В.Г. Чередниченко, М.А. Шишленин, В.Г. Ях-но и др., а также их учениками. Целый ряд результатов в этом направлении получили в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и др.: G. Anger, H.D. Bui, Y. Chen, D. Colton, R. Durridge, H.W. Engl, J. Gottlieb, M. Grasselli, R. Kress, G. Kunetz, J.Q. Lin, A. Lorenzi, J.M. Mendel, R.D. Murch, A. Roger, M. Sondhi, S. Strom, H. Zhang, M. Yamamoto и др.

Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [23], [26], [75], [87], [89], [90], [99], [101] и других. Вопросам корректности обратных задач для линейных параболических уравнений в случае краевых задач также посвящены работы [29], [35], [62], [63].

В работах [72]—[74] исследовалась корректность обратных задач для одномерных параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от переменных х и имеет вид f(t)g(x) или + д(х).

В [82] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника F(t,x) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде F{t,x) = f(t)g(x).

Обратным задачам для линейных параболических уравнений с данными Коши в случае нескольких неизвестных коэффициентов посвящены работы [8]-[20], [52], [87], [97], [98], [102]. Разрешимость в данных работах доказана при условии достаточно быстрого убывания входных данных к нулю на бесконечности по выделенной переменной.

Вопросы, рассматриваемые в диссертации, в основном связаны с задачами идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений, содержащих нелинейность достаточно общего вида.

В диссертации получены следующие результаты.

1. Доказана однозначная разрешимость "в малом" одномерной обратной задачи для полулинейного параболического уравнения, содержащего неизвестные коэффициенты при производной по времени и нелинейном члене, в случае данных Коши. Условия переопределения задаются на фиксированной гиперплоскости.

2. Доказаны теоремы однозначной разрешимости "в малом" для многомерной обратной задачи для полулинейного параболического уравнения, содержащего неизвестные коэффициенты при нелинейном члене и функции источника, в случае данных Коши. В случае первой и второй краевых задач доказана разрешимость "в малом" одномерной обратной задачи. Для обоих типов задач условия переопределения задаются на фиксированной гиперплоскости.

3. Доказаны теоремы однозначной разрешимости "в малом" многомерной обратной задачи для полулинейного параболического уравнения, содержащего неизвестные коэффициенты, зависящие от времени, при нелинейном члене и функции источника. Здесь условия переопределения задаются на гладкой кривой, заданной в параметрическом виде. Рассмотрены задача Коши, первая и вторая краевые задачи.

В основе исследования разрешимости рассматриваемых задач лежит метод, позволяющий переходить от обратной задачи к прямой задаче для нагруженного (содержащего следы решения) уравнения. Этот метод аналогичен методу, впервые предложенному Ю.Е. Аниконовым (когда обратная задачи при помощи преобразования Фурье сводилась к прямой для инте-гродифференциального уравнения), и развитым в работах [4], [5], [6], [15], [16], [23], [86] и др. Отказ от использования преобразования Фурье позволил снять ограничение на убывание входных данных к нулю на бесконечности, а также позволил рассматривать краевые задачи для уравнений, содержащих нелинейности достаточно общего вида.

Основным методом, применяющимся в диссертации при доказательстве разрешимости прямых задач для нагруженных уравнений является метод слабой аппроксимации (МСА), являющийся методом расщепления на дифференциальном уровне, предложенный Н.Н. Яненко и А.А. Самарским, названный Н.Н. Яненко методом слабой аппроксимации (МСА) [17], [83]. В последствии метод получил развитие в работах их учеников и последователей. В [17], [86] приведено подробное описание МСА и систематизированы имеющиеся результаты.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 103 наименования и списка работ автора по теме диссертации, включающего 9 наименований. Восемь работ написаны и опубликованы в соавторстве. Во всех случаях вклад каждого из соавторов равноценен. Объем диссертации составляет 150 страниц.

Заключение

В диссертации решены актуальные задачи одновременной идентификации нескольких коэффициентов многомерных полулинейных параболических уравнений, содержащих нелинейности достаточно общего вида, как с условиями переопределения, заданными на фиксированной гиперплоскости, так и с условиями переопределения, заданными на гладкой кривой. Сформулируем основные результаты работы.

В результате проведенных исследований доказаны теоремы существования и единственности классических решений

1. одномерной обратной задачи для полулинейного параболического уравнения, содержащего неизвестные коэффициенты при производной по времени и нелинейном члене, в случае данных Коши с условиями переопределения заданными на фиксированной гиперплоскости;

2. многомерной обратной задачи для полулинейного параболического уравнения, содержащего неизвестные коэффициенты при нелинейном члене и функции источника, в случае данных Коши с условиями переопределения заданными на фиксированной гиперплоскости;

3. одномерной обратной задачи для полулинейного параболического уравнения, содержащего неизвестные коэффициенты при нелинейном члене и функции источника, в случае первой и второй краевых задач с условиями переопределения заданными на фиксированной гиперплоскости;

4. многомерной обратной задачи для полулинейного параболического уравнения, содержащего неизвестные коэффициенты, зависящие от времени, при нелинейном члене и функции источника, с условиями переопределения данными на гладкой кривой, заданной в параметрическом виде. Рассмотрены задача Коши, первая и вторая краевые задачи.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, носят теоретический характер и снабжены строгими доказательствами. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

1. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1978.

2. Аниконов Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Матем.сборник. 1990. Т.181. N1. С.68 74.

3. Аниконов Ю.Е. Обратные задачи математической физики и биологии // ДАН СССР.1991. Т.318. N.6. С.1350 1354.

4. Аниконов Ю.Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи Новосибирск - 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. от-ние. Вычислительный центр, N671).

5. Аниконов Ю.Е., Белов Ю.Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1989. Т.306. N6. С.1289 1293.

6. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1988. Т.298. N4. С.777 779.

7. Антонцев С.Н. , Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983.

8. Баранов С.Н. О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Вычислительные технологии, т.8, часть 4. Новосибирск. 2003. С.92-102.

9. Безнощенко Н.Я. О задаче Коши для уравнения щ — А и + иАи = f // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.21. N6. С.991-1000.

10. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при младщих членах в параболическом уравнении // СМЖ. 1975. Т.16. N 3. С.473 -482.

11. Безнощенко Н.Я. Об определении коэфициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1976. Т.12. N.1. С.175 176.

12. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1975. Т.Н. N4. С.19 26.

13. Белов Ю.Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // ДАН СССР. 1992. Т.323. N3. С.385 388.

14. Белов Ю.Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // ДАН СССР. 1995. Т.345. N4. С.441 -444.

15. Белов Ю.Я., Ахтамова С.С. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР. 1991. Т.316. С.791 795.

16. Белов Ю.Я., Ермолаев А.С. Об одной обратной задаче идентификации коэффициентом многомерного параболического уравнения. В сб. "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", - Красноярск: КрасГУ. 1996. С. 16 - 27.

17. Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. КрасГУ, 1999.

18. Белов Ю.Я. Полынцева С.В. Об одной обратной задаче с двумя неизвестными коэвффициентами // Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения"Красноярск: институт вычислительного моделирования СО РАН 2002 с.60-65.

19. Белов Ю.Я. Полынцева С.В. Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения // ДАН 2004г. т.396 №5 с.583-586.

20. Белов Ю.Я., Саватеев Е.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // ДАН СССР. 1991. Т.334. N5. С.800 804.

21. Белов Ю.Я., Яненко Н.Н. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно параболических системах // Матем. заметки. 1971. Т. 10. N1. С.93 - 99.

22. Березанский Ю.М. Об однозначности определения уравнения Шредин-гера // ДАН СССР. 1953. В.93. N4. С.591 594.

23. Бубнов Б.А. К вопросу оразрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. Новосибирск - 1989 (Препринт /АН СССР. Сиб. отд. Вычислительный центр. N87 - 714).

24. Владимиров B.C. Уравнения математической физики М.: Наука. 1981.

25. Ватульян А.О. Математические модели и обратные задачи // Соро-совский образовательный журнал. 1998, №11. - С. 143-148.

26. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. N.12. С.2166 2169.

27. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ. 1979.

28. Демидов Г.В., Яненко Н.Н.Метод слабой аппроксимации // Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. -М.: Изд-во Московск. ун-та, 1978. - С. 100-102.

29. Ильин A.M., Клашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. - Т.17, №3. - С.3-146.

30. Исаков В.М. Одна обратная задача для параболического уравнения // Успехи матем. наук. 1982. Т.32. N2. С.108 109.

31. Искендеров А.Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений // ДАН СССР. 1975. Т.225. N5. С.1005-1008.

32. Искендеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1974. Т.10. N.5. С.890 898.

33. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. N.8. С.1324 1334.

34. Камынин B.JI. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения. // Матем. заметки. 2003.- т.73, вып.2. - с.217-227.

35. Камынин В. JI. Асимптотическое поведение решений квазилинейных параболических уравнений в ограниченной области // СМЖ- 1994. т.35. №2. С. 340 358.

36. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е изд. пе-рераб. М.: Наука, 1977.

37. Клибанов М.В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии // СМЖ. 1976. Т.17. N.3. С.564 -569.

38. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1989.

39. Кожанов А.И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений. Новосибирск, 1998 - 29с. (Препринт/ РАН Сиб. отд. Ин-т математики; N54).

40. Корнилов B.C. Гуманитарный потенциал курса «Обратные задачи для дифференциальных уравнений» // Вестник Московского городского педагогического университета, серия "Информатика и информатизация образования". №1(4), 2005 г, с.100-114.

41. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР. 1962.

42. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т.160. N1. С.32 35.

43. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1969.

44. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа // ДАН СССР.1973. Т.208. N3. С.531 532.

45. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1982.

46. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа М.: Наука. 1980.

47. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982.

48. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных М.: Наука. 1976.

49. Новик О.Б. Задача Коши для системы уравнений в частных производных, содержащей гиперболический и параболический операторы //Журнал ВМ и МФ. 1969. Т.9. N1. С.122 136.

50. Полынцева С.В. О задаче идентификации двух старших коэффициентов параболического уравнения с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях // Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск. 2004. - Вып. 3. - С. 107-112

51. Понтрягин J1.C.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1982.

52. Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. Новосибирск: Наука. 1992. С. 151 - 162.

53. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Матем. заметки. 1973. Т.14,15.

54. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сб. 1992. Т.183. N4. С.49-68.

55. Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении /// СМЖ. 1992. Т.ЗЗ. N3. С.146 155.

56. Прилепко А.И., Костин А.Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении II // СМЖ. 1993. Т.34. N5. С.147 162.

57. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задачах математической физики. 1 // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.1. С. 119 -125.

58. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задач математической физики. 3 // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.8. С.1343 1352.

59. Прилепко А.И., Соловьев В.В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 1987. Т23. N1. С.136 143.

60. Рихтмайер Р. Звук и теплопроводность // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука. 1966. С.183 - 185.

61. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.- М.: Мир. 1972. 418с.

62. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М: Наука, 1984, 251с.

63. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач // ДАН СССР. 1972. Т.204. N.5. С.1075 1076.

64. Романов В.Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Матем. заметки. 1976. Т.19. В.4. С.595 600.

65. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск: НГУ. 1973.

66. Романов В.Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения // ДАН СССР. 1972. Т.207. N.5. С.1051- 1053.

67. Рождественский Б.М., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений М.: Наука, 1978.

68. Саватеев Е.Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН. 1995. Т.340. N5. С.595 596.

69. Саватеев Е.Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения // ДАН. 1995. Т.344. N5. С.597 598.

70. Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // СМЖ. 1995. Т.36. N1. С.177 185.

71. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. N9. С. 1577 1583.

72. Тихонов А.Н. О влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры // Изв. АН СССР. Отд. математики и естественных наук. Серия география и геофизика. 1937. Т.З. С.431 460.

73. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т.5. N39. С.195 198.

74. Тихонов А.Н. Об обратной задаче для нелинейного дифференциального уравнения // Журнал ВМ и МФ.1983. N1. Т.23. С.95 101.

75. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука. 1979.

76. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Гос. изд-во Физ.-мат. лит-ры, 1961.

77. Шипина Т.Н. Некоторые обратные задачи с данными Коши // Дисс. . канд. ф.-м. наук / Шипина Т.Н. Красноярск, 1999. - 90 с.

78. Шипина Т.Н. Обратная задача Коши для параболического уравнения. В сб. "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", -Красноярск: КрасГУ. 1996. С.253 -266.

79. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967. - 195с.

80. Anikonov Ju. Е. Inverse problems and classes of solutions of evolution equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 51. P. 1-26.

81. Anikonov Ju. E. Inverse problems for evolution and differential-differense equations with a parameter // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 5. P. 439-474.

82. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. -Utrecht: VSP, 2002. 211p.

83. Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V.l. N4. P.283 305.

84. Belov Yu.Ya. and Shipina T.N. The problem of determining the source function for a system of composite type //J. Inv. Ill Posed Problems. 1998. V.6. N4. P.287 - 308.

85. Herglotz. G. Uber die Elastizitat der Erde bei Borucksichtigung inter Variablen Dichte. Zeit schr. fur Math, und Phys. 1905. Bd52. N3. S.275 - 299.

86. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

87. Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I j j J.Inv. Ill-Posed Problems. 2002. V.10, N 6. P. 547-658.

88. Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II j j J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V.ll, N 5. P. 505-522.

89. Lorenzi A., Paparoni E. Identification of two unknown coefficients in an integrodifferential hyperbolic equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1. N4. P. 331-348

90. Lorenzi A., Paparoni E. Identification problems for pseudohyperbolic integro differential operator eqations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 5. N6. P. 523-548.

91. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Rapporto Interno. 1991. N25. Politecnico di Torino. Torino.

92. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. in Partial Differntial Equation. 1994. V.19. N9&10. P. 1611 1628.

93. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final over determination // Rapporto Interno. 1995. N7. Politecnico di Torino. Torino.

94. Romanov V.G. On the well-posedness of inverse problems with the data support treated at the domain boundary // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1. N2. P. 155-167.

95. Wiechert E. und Zoeppritz K. Uber Erdbebenwellen Gotingen. Nachr. Konigl. Geselschaft. 1907. N4. S.415 - 549.

96. Список работ автора по теме диссертации

97. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов полулинейного ультрапараболического уравнения // Вычислительные технологии. 2003. т.8, ч.1. с.120-131.

98. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации коэффициента при производной по времени в полулинейном параболическом уравнении //Вычислительные технологии. 2004. т.9, ч.1. с.281-289.

99. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения // Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2004. - Вып. 1. - С. 140-149.

100. Ю.Я. Белов, И.В. Фроленков. Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений // Доклады Академии Наук, 2005, том 404, №5, с.583-585.

101. И.В. Фроленков. О задаче идентификации двух коэффициентов параболического полулинейного уравнения // Труды XLII Международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс": Но-восиб. гос. Университет. Новосибирск, 2004, С. 181-186.