Устойчивость принципов оптимальности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КЙБЕРНЕТИКИ ¡Г ^ На правах рукописи

^¡рч МОЛОДЦОВ Дмитрий Анатольевич

УДК 517.873

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ 01.01.09 — математическая кибернетика

¿грг

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1989

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи МОЛОДЦОВ Дмитрий Анатольевич

УДК 517.873 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ

01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1989

Работа выполнена в Вычислительном Центре АН СССР.

0$£дя£лъ2ке одлоезеты:

Доктор физшсо-нштематических наук, доцент Васильев Ф.П. Доктор технических наук, профессор Волкович В.Л. Доктор физико-математических наук Опойцев В.И.

Ведуцая организация - Институт Ыатеиатикв н Механики

УЩ АН СССР.

Защита состоится и " _13 года в _часов

га заседания Специализированного Совета Д.055.05.38 по катеыатике МГУ по адресу: 119399, ГСП, Москва, Ленинские горы, факультет вычислительной математики и кибернетики ауд._

0 диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан " "_19 г.

Учений секретарь Совета

доцент Н. Т. Трифонов.

Иослодоваши) вопросов, сзязашшх с непрерывности, устойчивостью, ашроясшзцЕЭЙ, трздацноапо удаляется болъпээ впк-наняе во многих разделах иатвиатякн. Это вкэхапо бояьссЯ ваяаостьп указашшх погштзй дан прикладных наук.

Так, рсЕОЕне различных задач но прябявяешпга исходны данный, ¡гатерпретадня репопай н яаблвдзЕаА, вознакакзяз при использования ЭВД вопросы п другде прикладные Epodxeiai непосредственно связали с устойчивость!) я аппродс.спцпэй. Устойчивость математической задача рассматривалась, как одно аз необходимых условий для'того, чтобы задача отражала пзхото-руо физическуо реальность.

Однако, исследования показывают, что иЕогке математячвс» кие задача, относящиеся к оскозноиу аппарату прикладкой патентики, являвтся нвустойчявнма. Необходимо«. авалква а ранения неустойчивых задач правела к создашш теория некорректных задач. Основы этой теории были заложены в работах А.Н.Тяхонова, В.К.Иванова, il.II.Лаврентьева п других. 3 интенсивной развитии теории некорректных задач приникали участие: Арсении В.Я., Бакувкнскяй А.Б., Васильев З.П., Васин BJ3. Винокуров В.А., Воеводин В.В., Гончарский A.B., Порозов В.А., Потапов U.M., Розанов В.Г., Страхов В.Н.; Танана В.П., Чо-penaqys A.U., Шяпзтскай С.П.> Ягола А.Г. н нногне другие.

В теории некорректных задач были разработаны еффектнэпна методы нахождения приближенных резаний. Зтя методы нашгг сп-рокое применение в различных задачах физики, геофизики, геологин и других науках.

В последнее время цатематяческге методы нссладоваыхя применяются все шире. Появляются ксвне областн приложения математика, среди которых, прежде всего, следует отметать теория, изучающие проблегш управления и функционирования слоякнх ояо-тем, вклвчавдах в качестве активных элементов людей м организация. Создают таких теорий а развитию соответстзукзэго математического аппарата посвящены работы Астафьева H.H., Буркова В.Н., Вилкаоа Э.Й., Гермейзра Ю.Б., Ереиана И.И,, Зубова В.И,, Кондратьева В.В., Кононешсо А'.Ф., КрасовскогоН.Н. Кураанского А.Б., Мазурова В.Д., Моисеева H.H., Оаойцева В.И. Осипова Ю.С., Подиновского В.В., Понтрягяна Л.С., СубботинаАЯ. Федорова В.В., Ченцова А.Г., Черноусьют Ф.Л. к иногих других.

-л -

Многочисленные примеры показывают, что возникающие в таких теориях математические задачи оказываются неустойчивыми. Это - однокритериальная и многокритериальная оптимизация, ыаксимииные задачи, задачи на кратный мазсимин и другие. Специфика указанных задач принятия решений требует, на наш взгляд, некоторого уточнения подхода к исследованию устойчивости, аппроксимации и регуляризации и создания соответствующего математического аппарата. В диссертационной работе предлагается такой новый подход к постановке задач принятия решений, определению устойчивости, аппроксимации и регуляризации. Развивается необходимый математический аппарат и демонстрируется эффективность предлагаемого подхода на следующих классах задач: решение системы неравенств, однокритериальная и многокритериальная оптимизация, максимин-ные задачи, дифференцирование и интегрирование.

Для того, чтобы охарактеризовать основную черту предлагаемого подхода, нам потребуется рассмотреть этап постановки задачи - один из необходимых этапов в любой задаче принятия решений.

Обычно задача считается поставленной, если из множества допустимых решений ввделено некоторое подмножество, которое называется множеством оптимальных решений. Такое понимание постановки задачи является вполне строгим и корректным с математической точки зрения.

Однако, во многих достаточно сложных практических задачах наличие неточной исходной информации, необходимость использования приближенных методов решения, присутствие различных погрешностей в процессе решения, ограниченность времени решения приводят к тому, что нахождение оптимальных решений оказывается невозможным. Удается найти только решения, в некотором смысле близкие к оптимальным. Таким образом, оговаривается это явно или нет, от исходной постановки задачи обычно приходится переходить к определению семейства приближенных решений. Следовательно, необходимо уточнить, что на этапе постановки задачи необходимо задание семейства приближенных решений и определение, «акие же приближенные решения ищутся. Часто такое семейство приближенных решений определяется с помощью некото-

рой метрики, а именно, решения, отстоящие от оптимальных не далее 5 (в смысле этой метрики), считаются & -приближенными решениями. Во многих задачах физики, геофизики, геологии и т.п. такой выбор структуры приближенных решений достаточно хорошо отражает специфику задач и вполне удовлетворяет исследователя.

Вместе с тем существует достаточное число задач, где такая структура приближенных решений далеко не самая естественная. Часто приближенные решения или конструкции, близкие к ним по смыслу, вводят как раз тогда, когда оптимальные решения не существуют, или работать с ними весьма неудобно. Во многих задачах экономического характера, где оптимальное реиение определяется как стратегия, удовлетворяющая некоторым условиям (балансовые соотношения, максимальная эффективность и т.п.), понятие приближенного решения естественно определять как стратегию , "почти" удовлетворяющую этим условиям. Различная формализация этого "почти" приводит к различным семействам приближенных решений, структура которых может существенно отличаться от структуры окрестностей оптимального решения.

Особенно важно уметь работать с приближенными решениями произвольной структуры при моделировании поведения организаций и людей. Такие проблемы необходимо возникают при исследовании экономических и управленческих задач, включающих людей как активные элементы. Поскольку мы согласились, что при постановке задачи, вообще говоря, необходимо задание семейства приближенных решений, то и при моделировании достаточно разумного поведения людей или организаций необходимо считать, что свои задачи они также формируют с помощью семейств приближенных решений. Структура этих семейств приближенных решений выбирается людьми и организациями, поведение которых моделируется, и может быть произвольной.

Итак, на наш взгляд, можно сделать вывод, что в проблематике, связанной с устойчивостью и аппроксимацией, расширение сферы применения математических методов приводит к необходимости создания математического аппарата для изучения вопросов устойчивости, аппроксимации и регуляризации

для семейств приближенных: решений произвольной структуры.

Таким образом, основной характерной чертой диссертации является то, что предлагается единая математическая теория устойчивости, аппроксимации и регуляризации для задач принятия решений, описываемых произвольными семействами приближенных решений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и дополнения. Во введении объясняются причины и истоки возникновения предлагаемой теории. Обсуждаются недостатки понятий непрерывности применительно к приближенным решениям. Приводятся основные характерные черты предлагаемого подхода. Также во введении содержится краткое изложение содержания работы по главам.

Глава I посвящена определению основных объектов, определяющих принятую в работе формализацию, определению различных типов устойчивости и выяснению связи между ними.

Поскольку определение основных понятий является основополагающим моментом для всей работы, а формализация в работе не является традиционной, остановимся более подробно на этих вопросах.

В диссертации изучаются задачи принятия решений, поэтому изложение использует язык и терминологию исследования операций.

Пусть Ii - множество моделей операции. Под моделью операции понимается формально-математическое описание всех выделенных факторов, характеризующих задачу. Одним из элементов, определяющих операцию, является множество допустимых решений (стратегий), из которого производится выбор. Обозначим это множество Sem.) , где т - модель операции, то есть lue И .

Для формализованного описания семейств приближенных решений произвольного вида в диссертации используется понятие "принцип оптимальности".

Определение I.I.I. Принципом оптимальности называется пара (ß,S) , где Л - отображение, которое каждой паре (т,е) е М *<§ ставит в соответствие подмножество множества ßCm).

Таким образом, принцип оптимальности с§) опреде-

ляет семейство приближенных решений, где каждое из ино-жеств этого семейства имеет вид И(пь, &) , то есть получается при фиксации модели т и некоторого . Ино-аество с§ слупит для параметризации множеств семейства и может иметь произвольный вид. Элементы множества ЙСт.,£) называется б -приближенными решениями ( £ -оптимальными стратегиями).

В §1.2. приводятся многочисленные примеры задания принципов оптимальности в задачах решения системы неравенств, максимизации функционала, многокритериальной оптимизации, максиминных.

Далее рассматривается вопрос о том, каким изменениям подвергается этап постановки задачи. Как узе отмечалось, на этом этапе необходимо выбрать принцип оптимальности , зафиксировать модель ж и параметр г. е (§> . Таким образом выделяется множество 6 -приближенных решений &Ст,,£). Поскольку множество не состоит, вообще говоря, из одного элемента, то на этом этапе необходимо уточнить, что же ищется. В диссертации предлагается рассматривать в основном две задачи. Задача частного выбора - требуется найти множество Р такое, что 0 ^

£ С- ¡¿См., 6) , другими словами, нужно найти хотя бы одно & -приближенное решение. Задача полного выбора - требуется найти множество £ такое, что Р йсfn-.fi; , другими словами, найти хотя бы одно решение, не являвшееся £ -приближенным.

Если требовать, чтобы решение задачи полного выбора содержало бы не слишком много "лишних" решений, то получается задача интервального выбора - найти множество 2 такое, что 2 (н,с^ £> о . Нетрудно ви-

деть, что ее решение легко представино как совместное решение задач частного и полного выбора. Этим обстоятельством и определяется уделение основного внимания в диссертации задачам частного и полного выбора.

В § 1.3. приводятся определения устойчивости принципов оптимальности, обсуждаются причины выбора таких определений устойчивости, устанавливаются связи с различными типами непрерывности точечно-множественных отображений.

Выбор определений устойчивости является одним из принципиальных положений диссертации. Обычно под устойчивостью решений понимается непрерывная зависимость решений от модели операции. То есть малые вариации модели влекут малые вариации решения. Для определения, что понимать под малыми вариациями, в математике обычно используют нормы, метрики и топологии.

В диссертации применяется такой же способ описания вариаций для моделей. А именно, предполагается, что на множестве моделей И задана псевдометрика р- , то есть-числовая функция ^ : М * М -*" £ , удовлетворяющая следующим условиям:

^ т.) -О , м.еМ.

2. М = ^(.И/, 1*<) , м,,и,еМ.

3. ^Спь,И/) + ^СИ/Д ) > р-Оч-,6.) ^ т.,11, &еМ.

Малость отклонения модели Щ- от модели и понимается как малость ^(.иг, Уь) .

Для описания близости решений такой способ подходит далеко не всегда. Обычное применение устойчивости на практике заключается в том, что если оптимальное решение устойчиво на модели мь , то оптимальные решения на близких моделях считаются приближенными решениями на модели иь . Следовательно, семейство приближенных решений должно быть определенным образом согласовано с топологией множества решений, участвующей в определении устойчивости.

В нашем случае ситуация осложняется еще и тем, что множество оптимальных решений может быть вообще не определено, а множество & , параметризующее семейство приближенные решений, не предполагается упорядоченным, то есть приближенные решения не сравниваются между собой по "степени близости к оптимальным". Поэтому применение теории пределов также вызывает затруднения.

В диссертации эти проблемы решаются следующим образом. Согласование семейства приближенных решений и топологии решений, участвующей в определении устойчивости, достигается за счет того, что роль этой топологии играет само семейство приближенных решений. От предельных переходов уда-

ется отказаться за счет того, что устойчивость определяется не на «одели пь , а на паре О, t), где £ е <э.

Ваяно отметить, что все практические применения, которые были у понятий непрерывности, сохраняются и для понятий устойчивости принципов оптимальности.

В качестве примера приведем формальное определение одного из типов устойчивости принципов оптимальности.

Пусть СЯ, 4) - принцип оптимальности, А/ - некоторое множество пар С«,<■) , то есть Лl<zMxá , - £>"-ок-

рестность множества моделей U ,

М5(Ю- 3leL •• ^сл, ¿J * ,

Л - отображение, которое кавдой паре (гк,е)еМ *<§ ставит в соответствие некоторое множество Пар c<¿,8) , где o¿e <§, а & положительное число.

Определение I.3.I. Принцип оптимальности (3.S) называется внутренне (Л, £) -устойчивый сверху на J\í при согласовании Л , если для любых (пь, £) & А/ выполнено:

1. Ж»ь, 6 J * 0.

2. V(<¿,5)e J)CH,Í), Vn,eMs(»b) выполнено HCn,oO)*0,

&>(ñC*>,cC), л, ль) a ñCnbji).

Поясним конструкции и обозначения, использованные в этом определении. Поскольку при варьировании модели нг и рассмотрев близких моделей л, необходимо сравнивать решения, принадлежащие к разным множествам допустимых решений 5с«о и Scib) , может возникнуть случай, когда эти множества разной природы. Например, - множество функций, заданных на некотором отрезке, а ЗО) - множество функций, заданных на конечной сетке для этого отрезка. Для сравнения решений в таких случаях обычно вводят оператор вложения. Таким оператором вложения здесь является отображение , т., и>) , которое решению сс. е £>(>ю) ставит в соответствие некоторое подмножество С х., пь, п,) о S(.n) . Отображение Q в работе названо интерпретацией.

Поясним роль отображения Л , названного в работе согласованием. Как уже отмечалось, обычное применение ус-

тсйчивости состоит в том, что решения, получаемые на модели, близкой к исходной, считается приближенными. Если при постановке задачи зафиксировано, какое множество приближенных решений ищется, то есть выбрано т и £ , то для получения этих приближенных решений на близких моделях п. нужно согласовывать меру близости с парой Ст, . В различных определениях непрерывности это требуется в виде "для любого & > о существует §"> о такое, что ...". Здесь те н аС , при которых выполняется "близость" решений, задаются в явном виде с помощью согласования Л . Это удобно для применения устойчивости и, как показываю? дальнейшие исследования, согласование играет важную роль и в теоретических вопросах, в частности, в установлении связей между различными типами устойчивости.

Параметр А является параметром, задающим "грубость* устойчивости. Буква , присутствующая в названии усойчивости, означает, что сравнение решений производится на множестве решений &С»яО , то есть на множестве решений для фиксированной модели. Если сравнение проводится на множестве решений варьируемой модели $Си) , то £ в определении устойчивости заменяется на букву У . Для случая, когда множество стратегий не зависит от модели, то есть ЗОМ ^ 5 , а С2 ~ Т0Е~ дественное отображение, параметр $ или V будет опускаться.

Слово "внутренне", присутствующее в определении 1.3.1, объясняется тем, что близость решений понимается здесь, как возможность аппроксимировать множество 6) изнутри, то есть произвольными подмножествами. Если рассмотреть и внешнюю аппроксимацию &См,,£) , то есть включение его в более широкое множество, то получается серия понятий внешней устойчивости.

Слово "сверху" в определении 1.3.1. объясняется существованием прямых аналогий с полунепрерывностью сверху точечно-множественных отображений. Вводится принцип оптимальности (&, Е+.) следующего вида: С. с«.,£) = О^дСт,) , Ед,- множество положительных действительных чисел, ад.-точечно-множественное отображение из М в некоторое метрическое пространство, Оь - е-окрестность в этом прост-

-н-

ранстве. Тогда существование согласования -Я такого, что

является внутренне Со,£) -устойчивым сверху на пгхЕ+, эквивалентно тому, что £ является полунепрерывным сверху на иь .

Если во включении для множеств решений в определении 1.3.1. поменять местами оС и £ , то получаем другой тип устойчивости, у которого в его названии вместо "сверху" стоит "снизу". Этот тип устойчивости аналогичный образом связан с полунепрерывностью снизу для точечно-множественных отображений.

Введены также понятия устойчивости , соответствующие непрерывности точечно-множественных отображений.

Таким образом, можно сделать вывод, что введенные типы устойчивости являются обобщениями классических понятий непрерывности. Предлагаемые понятия устойчивости учитывают специфику рассматриваемых задач и являются удобными с точки зрения практического применения.

В § 1.4 исследуются взаимосвязи различных понятий устойчивости. Исследуется также полнота этих связей.

Глава 2 посвящена исследованию устойчивости принципов оптимальности в различных задачах оптимизационного характера. В основном проводится сравнение условий устойчивости для принципов оптимальности традиционного типа, то есть имеющих вид окрестности множества оптимальных решений, и предлагаемых нетрадиционных принципов оптимальности.

В § 2.1 исследуется устойчивость принципов оптимальности Се<С} Й.&хЕф), С^й.ё* Еф ) , О, <$*£.£) , играющих весьма важную роль в вопросах регуляризации. Эти принципы оптимальности определяются для произвольного принципа оптимальности СИ,&) следующим образом:

«в, в и 52СЯО,е;, л, ,

л е А^Ст,)

Щ = Л QC£0)£), л, ли) ,

я-б Мхм,)

R.(т.,e,S") = fceЗОО/Vite.М50>ч), Q(x,m,,n,)c. £ o, £ ).

Показано, что эти принципы оптимальности обладают весьма удобными свойствами устойчивости при достаточно слабых предположениях.

В § 2.2 для задачи решения системы неравенств а « Ь,

где t I-: X —^ Е,'1' , исследована устойчивость двух принципов оптимальности СТ*'6, и (Т^", Е,4),

где

тЛс*,Х),0 = 0£{хбХ | CL* < & }, тЛс^.Х), О = 04*6 х | а-е^ Jc«> < ej .

Показано, что для устойчивости 11 нужны условия типа условий Слейтера и достаточная малость модулей полунепрерывности отображения Т^

Toa'U,X) = {а:еХ | <6 }.

Устойчивость Т^*6 требует только условий типа условий Слейтера. Отметим, что в качестве псевдометрии для моделей использовалась псевдометрика Хаусдорфа для графиков сужения f на X .

Аналогичное сравнение условий устойчивости проведено для линейных задач.

В § 2.3 рассматриваются проблемы, связанные с устойчивостью задачи математического программирования.

Сначала рассматривается задача в довольно общем виде. Множество допустимых стратегий задается принципом оптимальности СP,é) , то есть jPCw-, £) - множество £ -допустимых стратегий, a Ь, эг) - е -целевая функция. Для принципов оптимальности, соответствующим задаче поиска супремума и поиска реализаций, показано, что исследование устойчивости сводится к изучению некоторых условий регулярности.

При рассмотрении задач с неопределенными факторами естественно возникают две постановки задачи, названные в диссер-

-13-

тадии верхней и нижней стабилизацией супремума

зс.е£Оъ,£.) ote еов P(m,,e,S)

xePCm-,6) же

где

= Эир^СМ,3») , |<>ь,£,зс,Ъ = 'М^СМ,®).

Построенные на базе стабилизации супремума принципы оптимальности, соответствующие поиску супремума и его реализаций, обладают весьма удобными свойствами устойчивости.

Рассмотрена также задача математического програмыировани ния, когда допустимые стратегии задаются с помощью системы неравенств. Предложены нетрадиционные принципы оптимальности С Р, и (Лг^ &|ф , Е4« Еф) для поиска супремума и его реализаций, где

кссд.Х),^, ьь) = вир , ••••>$«),

\ J

Принцип оптимальности Г устойчив при достаточно слабых предположениях, а Лг^&и^р требует для устойчивости условий типа условий Слейтера. Возмущения моделей описываются псевдометрикой Хаусдорфа дле графиков сужения ^ на

X » то есть рассматривается весьма сильные возмущения. Вместе с тем даже непрерывность от § нё требуется. Это говорит о существенных преимуществах (в вопросах устойчивости) принципов оптимальности Р1 и Jli^smp по сравнению с традиционными.

В конце параграфа результаты, связанные со стабилизацией супремума конкретизируются для задачи линейного программирования. Показано, что условия устойчивости превращаются в разновидность условий Слейтера.

В § 2.4 исследуется устойчивость максиминных задач. Рассмотрены задачи на кратный максимин. В первой-ограничения на переменные задаются неравенствами, во второй-ограничения на переменные учитываются с помощью штрафов. Доказано, что устойчивость принципа оптимальности, соответствующего второй задаче, имеет место при достаточно слабых условиях в отличие от аналогичных условий для первой задачи.

Предлагаются две модификации операции максимина на примере однократного максимина. Показано, что соответствующие принципы оптимальности устойчивы при достаточно слабых условиях - требуются только условия, являющиеся разновидностью условий Слейтера.

В § 2.5 предлагаются нетрадиционные принципы оптимальности для задач многокритериальной оптимизации. Исследуется устойчивость этих принципов оптимальности.

Так для задачи поиска полуэффективных точек множества Пгс. Е* рассматривается принцип оптимальности Е*) ,

где

(Рсм,,&)=^ fa Ven, I если u>V+£3, то ^ё V(m., &t) J ?

а принцип оптимальности (V, <§) задает понимание £ -достижимых точек множества Ш . Вариации множества m задаются псевдометрикой Хаусдорфа. Для случая, когда V(hv, &) = 0& , для внутренней А -устойчивости сверху и снизу (Р на наборе (ль, &х, , ) достаточно выполнения условий Sup ту. } £,_ + 2.д< пшь 63i •

Для задачи поиска точек Парето множества пь рассматривается принцип оптимальности (<ЗГ, Е^) , где

Для случая = Ое /ч, доказано, что если кнояество

иг таково, что функция <^(¿(и.) ограничена сверху при 1С6Иъ для некоторых Хе Е^ и 1> > О , те для внутренней Д -устойчивости сверху и снизу на достаточно потребовать, чтобы

о¿О)

г 4

Здесь ¿¿(«о - «¿л » е^-е ь.

¿«¿«А

Соответствущее согласование задается условиями

-)№ о£зг + (а^Хс^е^ + <о((\)[сЦ)+ с1<рф]

¿«¿«к.

Для задачи поиска лексикографического максимума множества т.е. Е* предлагается нетрадиционный принцип оптимальности С ик , , где

не Птп.

кО-Д X = [не Ьлм.А,^,, 01V к^Ж^%

Возмущения также описываются псевдометрикой Хаусдорфа. Утверццение 2.5.15. Принцип оптимальности Е^1*1) ^ ^

внутренне СХ,V) -устойчив на ЯЗ*'9 при согласовании Ь ' . Здесь обозначено

яй^аХА/"/^' ^ " /_ограничено' • б = «¿V. ? ^ *

Множество )п. называется I -ограниченным, если

иет. О^и^-ё.

иет, , I = 1,..., к-1.

для любого к-&,..., 1г и любых Л, в 6 Е. , а. * Ь.

Как видно, существенным нетривиальным условием устойчивости является I -ограниченность множества иг . Для сравнения заметим, что при классическом понимании устойчивости, т.е. как непрерывности (или полунепреривности) точечно-множественного отображения Ь^С^, о) , для устойчивости требуются весьма сильные условия. Так, например, линейная лексикографическая задача, как показала Клепикова М.Г. (кандидатская диссертация "Проблемы устойчивости задач математического программирования" М. 1985), устойчива тогда и только тогда, когда на первом этапе максимум достигается в единственной точке. Таким образом, для классической линейной лексикографической задачи получается, что либо она сводится к максимизации на первом этапе, то есть по существу не является лексикографической, либо она неустойчива. Это обстоя-

-п-

тельство существенно затрудняет численное решение таких задач.

Как уже отмечалось, устойчивые принципы оптимальности весьма удобны при практическом применении. Решения задач част-, ного и полного выбора для них можно получить по приближенной информации, устойчивость дает принципиальную возможность применения численных методов.

Однако потребности практики требуют решения и широкого класса неустойчивых задач. Для решения неустойчивых задач в рамках теории некорректных задач А.Н.Тихоновым было предложено понятие регуляризупцего оператора. Основная идея метода регуляризации, состоящая в замене неустойчивой задачи на задачу, обладающую более удобными свойствами, использована и в диссертации. Однако, специфика развиваемой теораи требует соответствующих определений регуляризации. Такие определения приведены в главе 3. Здесь также рассматриваются их свойства и строятся регулярязующие принципы оптимальности.

В § 3.1 вводятся отношения сравнения для принципов оптимальности. Наиболее слабыми из отношений сравнения являются отношения аппроксимации.

Определение 3.1.1. Принцип оптимальности (£,&) внутренне аппроксимирует пр<нцип оптимальности СА>, &) на /V при согласовании А , если для любых. Сп, &) € Л/ выполнено:

1. Л Сю,, 6) Фф.

2. АС»*, &) выполнено ф Ф Р(м.,сС)а 2(м,,С).

Здесь И/с М*&, Ш(Х) - множество

подмножеств множества X .

Определение внешней аппроксимации получается, если в пункте 2 определения 3.1.1 знак включения повернуть в противоположную сторону.

Если требовать, чтобы упомянутое включение имело место и при вариациях модели в левой или в правой части включения, то получаем серию определений регуляризации. Каядое из определений регуляризации связано с соответствующим определением устойчивости. Приведем определение регуляризации, связанное с внутренней С.&Л) -устойчивостью сверху.

Определение 3.1.3. Принцип оптимальности (Р, ¡Г) называется внутренне (л,юу -регуляризувдим сверху принцип оптимальности С&,&) на /V при согласования А , если для

любых Ст, ¿)е N выполнено:

1. АСьъ,&) ^ 0.

2. кС^С) , \/ ке выполнено

Ъ> д и

а, пь) с: ИСм,, 6).

Обозначения и смысл различных конструкций здесь такие же, как и в определении 1.3.1.

Отмечается, что если принцип оптимальности является рагу-ляризующим для одного из введенных типов сам для себя, то это эквивалентно устойчивости соответствующего типа этого принципа оптимальности.

Показано, что регуляризация принципов оптимальности может рассматриваться, как обобщение понятия регуляризующего оператора, с учетом специфики развиваемой теории. Применения регулярсзующего принципа оптимальности аналогичны применениям регуляризующих операторов. Так, в частности, на базе регуляризующих принципов оптимальности возможно построение численных методов решения неустойчивых задач.

В §3.2 изучаются свойства отношений регуляризации. Установлены необходимые условия регуляризации разных типов, исследованы сеязи между различными типами регуляризации.

Рассмотрены цепочки отношений между принципами оптимальности, напоминающие свойство транзитивности. Получены результаты, которые неформально можно описать следующим образом. Если для некоторого принципа оптимальности СИ, <э) указан регуляризующий принцип оптимальности (Р, , а СТ, аппроксимирует (Р,Т) , то (Т, £/) регуляризует Конечно, отношения регуляризации и аппроксимации должны быть согласованы.

Практическая ценность этого результата состоит в том, что если указан в общем виде регуляризующий принцип оптимальности (Р, ¿О , то в конкретной задаче нет необходимости вычислять его точно. Для построения регуляризующего

прпнципа оптимальности достаточно построить соответствующую аппроксимацию

Следущую серию результатов, дающую достаточные условия регуляризации, можно неформально описать так. Если (Т, £0 аппроксимирует (5) , а , регуляризует(Т,

то С Р, регуляризует СК, &) . Отсюда, кап следствие, получается, что если СРД) аппроксимирует Сй,сэ) и (Р, Зг) регуляризует (Р, З7) , то есть (Р,1?) - устойчив, то СР, З7) регуляризует С1?,<э) . Другими словами, если аппроксимирующий принцип оптимальности является устойчивым, то он является регуляризующнм. Здесь конечно, как я в предыдущем случае, все отношения аппроксимации, регуляризации и устойчивости должны быть согласованы.

В §3.3 для произвольного принципа оптимальности С К, с!) строятся регулярязующие принципы оптинальности. Доказано, что внутреннюю регуляризацию разных типов обеспечивают йг^ й., гпу. Д , а внешнюю регуляризацию ея^ й . Справедливость этих утверждений доказана при весьма слабых предположениях (в некоторых случаях накладывались условия на интерпретацию ) .

Исследован вопрос: нельзя ли построить принципы оптимальности, обеспечивающие регуляризацию на более широких множествах, чем получено? Для всех типов регуляризации кроме двух, показано, что множества, на которых осуществлена регуляризация, либо максимально широкие, либо "почти" совпадают с максимально широкими.

Основной целью главы 4 является демонстрация примеров применения общей теории аппроксимации и регуляризации принципов оптимальности для некоторых классов задач, рассмотренных в главе 2.

Показано, что рассмотренные в главе 2 нетрадиционные принципы оптимальности являются регуляризующими для традиционных принципов оптимальности. Условия регуляризации получаются более жесткими, чем условия устойчивости нетрадиционных принципов оптимальности.

В § 4.1 показано, что для принципа оптимальности (Т^ Е ) рэгуляризующим является принцип оптимальности е*« Е®-).

Интересно отметить, что для внутренней регуляризации сверху и снизу требуются только разновидности условия Слейтера. Никаких услоьяй типа непрерывности и компактности не требуется.

Аналогичные результаты получены для линейного случая. Кроме этого построен принцип оптимальности С Тт , ), где

ТтС(А,6),е,1,&1)=-[ос.е С11! Ах + £1<.еи,1|сг.1> $ j ?

который внутренне Л -регуляризует сверху , Е.^ ) без требования выполнения условия Слейтора. Здесь

Т<((А,6),0- 0£ {оае ЕЧ ^ ^ & },

А - матрица ограничений размером пъ * и, , f? - правая чаоть, В е Е,*"1 .

В § 4.2 изучается аппроксимация и регуляризация задач математического программирования в различных постановках.

Сначала рассматриваются условия регуляризации для принципов оптимальности, соответствующих поиску супремума и поиску реализаций в задаче математического программирования в достаточно общем виде. г

Так для принципа оптимальности (Н,!1* Е,е) f соответствующего поиску супремума, показано, что условия внутренней А -устойчивости сверху и снизу, "почти" совпадают с условиями достаточными для соответствующей регуляризации. Здесь обозначено

Н с и,, е) = £3, 1гСьг,ео + ] ,

принцип оптимальности CPjd) задает £ -допустимые значения переменной, а ^с^,^ ) - ¿ -целевой функционал.

Для принципа оптимальности (Jzgswp , <эг* Еф ) , соответствующего поиску реализаций, показано, что внешнюю регуляризацию осуществляет Сe^sup, <§*х ) , а внутреннюю регуляризацию осуществляет С i Avj sир, &г* ).

Эдеоь обозначено

МуырС«-,6)= > kVAA)}.

Сформулированы достаточные условия внутренней Л -регуляризации сверху и снизу, которые, вообще говоря, существенно слабее условий соответствующей устойчивости.

Далее проводится сравнение двух принципов оптимальности <§>*х ) и (Aujsup^, £г х Eg ) .В первом принципе оптимальности ограничения на переменные учитываются с помощью штрафной функции К , а во второй принципе оптимальности функция К служит для непосредственного задания ограничений. Приведем формальные определения

ьил Спг,&) - 0 Qlt,i-tTl5eij^j|'CW',&J.,a.)+£5> k (fw, у} з & '

кр(м,,р,,об)- swp К Cm,, f»,®)], р&<э, °С> О,

»ь х0

х. 6

Показано, что üzgsupp и ^^взаимно внутренне аппроксимируют друг друга, что можно трактовать как обоснование метода штрафов. Интересно отметить, что единственным нетривиальным требованием является ограниченность

-га-

фуакция $ . Никаких условий типа непрерывности ж ком-пактнооти не требуется.

Далее рассматривается менее общая постановка задачи математического программирования. Модель» является пара -век*ор-фуша»я $ - ■ подмножество X' с Х0 .

Принцип онтинальности Н принимает вид

Н(С^-.Х), е) = , е4] ,

kcg,X) = Sup д. С®; .

Функционал U аппроксимируется функционалом (с , где

&<(9>Х), е.) = sup д. (к) f бе

i-L,

in I

Показано, что принцип оптимальности (Я^ , £ * £ф )} где

. Нл«з,Х>, &)= [Лее9.ЧЫ-&3, £4) ] ,

осуществляет внутренних) А -регуляризацию сверху для Н . Еа модель приходится накладывать достаточно жесткие условия X - компакт метрического пространства, a - полунепрерывны сверху на X . Этих условий можно избежать, если вмеото нестрогих неравенств, используемых при определении допустимых значений переменной, использовать строгие. Так, для внутренней А -регуляризации сверху принципа оптимальности С Н0 , ) , где

Н» » i>oC3'X)" > ^b* > + eJ> k<^> = ^*

»ее- X

компактность X и полунепрерывное» S не требуется.

Иооледованы вопросы регуляризации принципа оптимальности (¿kg. s,upi , ) , традиционного для задачи поиска реализаций, где . 1

Показапо, что внутреннюю Д -регуляризацию сверху осуществляет принцип оптимальности СО-, ) , где

QC(S,X),6)= О^еХ^С*-)* 6д>0, Л,fl(ocx) + eo> ЦХ))

Требуется, чтобы X был компактом метрического пространства, Q-i ~ полунепрерывны сверху на X и долази быть известны ¡оценки скорости сходимости некоторых лкь ззств. Показано, что эти достаточно аесткие условия ослабляются (требуются только оценки скорости сходимости ) при использовании вместо к , то есть при использовании вместо нестрогих неравенств строгих.

3 конце параграфа построены внутренние и внешша рагуля-ризующие принципы оптимальности для задачи линейного программирования. Не останавливаясь подробно на формулировке соответствующих утверзденнй, отметин, что наиболее сильными условшйш, встречающимися в втих формулировках, являат-ся: предполоазние о существовании точного ресения ЛП-за-дачэ, оценка сверху на норму бллгайиего к началу координат точного ресепия, знание константа регулярности система ла-Евйных ограниченай.

3 § 4.3 результаты предыдущего параграфа о методе штрафов обобщаются на кратпяй иаксишш со связашшма ограничен наяыи. Для наглядности приведем результаты для однократного макспшша. Рассматривается два принципа оптемальноотд С и, Е* ) и CV, Еф ) , где модель р,^, X , Y),

UCH,,o)= [uCbi.e^fiJ-fis, + £6] ,

VCM, £)«[Пп, &lt&j-£f> vcn,&3, ) + г6 ],

'U-cm.,^,^) sitp

леХ,/>№:><*

iKm,a,E)= Sup _арс«)+ Ц(сч,и)]

ссеХ yeY г

Относителыю модели т. предполагается, что для любых

Основным для сравнения и и V является неравенство

<и(т.,&, Ур-) -аЬ ^ < и,о, , р ) + ¿р.

О О-' '

Доказано, что для выполнения включения и(т,,°6)с:А/(т., 6) достаточно потребовать, чтобы

дф£1 < ^< < , дс& ^ ««сеЕ-об5) >

а для выполнения включения Л/Ст>,<ь) с. \JCht, с) достаточно потребовать, чтобы

<< * С^-сб^е!1, Д<& «^ < С£е -о4)

Аналогичные результаты установлены для кратного макси-мина. Эти результаты можно рассматривать, как обоснование метода штрафов в задаче кратного максимлна. Интересно отметить, что кроме указанных выше предположений на модель больше ничего не требуется: ни непрерывности функций и ограничений, ни компактности множеств.

В § 4.4 исследуется регуляризация для традиционных принципов оптимальности в многокритериальных задачах оптимизации.

Для задачи поиска полувффективных точек множества го-с. е," традиционным является принцип оптимальности , ), где е) = |если ги> V , то гсещ.}.

Показано, что регуляризующим для него является принцип оптимальности С ЯР, £+ * Р1"~) , где .

<£РС*ъ,= { 0&/,пг ¡если и > , тои-ёО^т.).

Отметим, что условия внешней регуляризации для Р1 весьма простые (требуется только компактность т.) , а условия внутренней регуляризации существенно сложнее, так как требуется знание оценки на функцию т , где НгС£Р(ы,о,о,с(.), ¿Рс>ъ,°)), Нг - псевдометрика Хаусдорфа, порожденная метрикой ¡Г(и,&)= тлен I щ-Щ!.

14 г ^ я.

-Я5-

Для задачи поиска множества точек Парето множества m традиционным является принцип оптимальности , ), где HTL4rn,t) = 0£[ tv6 m. [если гее. т. и -о-^гг, ю го^гг]. Регулярязующии для является (áT, £¿ * , где

íTCm,, 6) = |i>e 0£iht (если О^т. и «■ > , то íui»^}. В отличие от задачи поиска полуэффективных точек, условия внутренней регуляризации просты, а внешней более оложные. Пеказано, что условия можно упростить, но вместо внешней регуляризации Si± будет обеспечена внешняя регуляризация более "узкого" принципа оптимальности (Gif, E<¡> ) , который связан о точками, оптимальными по Джеффриону,

О,£) = (г>бИг[ Va>0 $ clí.-1 j ^

= -*.<>,£,*} = sap 14-^.

£>0

«V - ^г -"Ь^- > 0

Приведем точную формулировку. Доказано, что если ►и- -компакт и > 4 л (1 + ¿V") , то для любых (Л,$) , удовлетворяющих неравенствам

А<Ъ<оС, <kcí.-t>, $<<¿1, ><¿, - о £]\о6гЛ+ nwxaú3c) J а гаi

б,>«б+£+/«М, "¿"¿и-* > ы^е^^и-л, -Л!))

л L if i i П. iíiiH

и любых компактах I таких, что выполнено

C4(.m,eL) с. §Г([,оС) с: ^vw.fij).

Естественно возникает вопрос: не слишком ли сильно отличается множество Grfc^,о от (к,0) ? Ответ дает

Утверждение 4.4.9. Пусть >п - замкнутое подмножество С. I. Если существуют \е Е." и ^ е такие, что функция

uí ограничена сверху при ite т. , то

iíí-tlL--

G,£(m.,o) го §TtCm,,o).

Если дополнительно («, о) ограничено, то

&*». Hr (ST(hb,0). G£{m.,&)) = о.

-ге-

2. Если для любых Е+ в £ , функция ф неограничен! сверху при осе иг , то Q-fCw-.o) = 0.

В конце параграфа -рассматривается аппроксимация принципа оптимальности (L&x. та/и., ) , традиционного для задачи лексикографической оптимизации. Здесь Leos mwce = O^LC^o^ а А«. определен в главе 2. Показано, что если «t - компакт и е> о , то при некоторых Ам/9*"1) будет вшолнено включение

LeccmxwsC*4°) С. t^C^b^oC* ро, £>" С. Lea; Игале. (ha,, «О .

Однако, условия на (</„, сС*~, ficP* L) включают вычисление весьма сложных* функций, что затрудняет практическое применение ьизисч . Это обстоятельство лшаняй раз указывает на преимущества по сравнению о ^е» тлух.

В овязи с изучением недафференцируеадк задач появились различные конструкции аналогичные производной, но обладающие более широкой областью применения. Одним из таких обобщений производной является условный £-субдифференциал, введенный В.Ф.Демьяновым. Для этого понятия, подвергнутого незначительной переработке, в дополнении доказана устойчивость, регуляризация производной и построено соответствующее понятие интеграла.

В § Д.1 вводятся определения приближенных пределов функции действительного переменного и пригодятся их простейшие свойства. Множества

Lim- [•?, -04 £С»), V g е V(ae.) j > £.№)> О,

ЬЕгг«- V] С»>- tí--£Cs&), V'tje VCx)}, £С »)>o,

t>чбсх) TJ+pCx), v se V(x)| > ¿fä.fXx» 0.

называются соответственно верхним (е, V) -пределом, нижним Cd, V) -пределом, (oí, ß„ V) -пределе»! функции в точке ж. Точечно-множественное отображение V'- Е1—>- '«KU EL1") используется для параметризации, а множество V(x-) понимается, как множество точек "близких" к ос, .

С помощью приближенных пределов формулируются определения приближенной непрерывности функций. Для примера приведем оп-

раделение приближенной непрерывности сверху.

Функция -j? I является (&, V) -непрерывной сверху на X, если е Uw,If, e.,V](») для любого •

В § Д.2 определяются приближенные дифференциалы, приближенные производные и приводятся их простейшие свойства. Так, множества

э ff,6,V]<*j-{tf * tm + £i№), Vge V(cc) } >

Iw + Q-^x^-x.)-^*.-), V t^e"V(.v.) ^

называются соответственно верхним О, V) -дифференциалом, шпвш (£,V)-дэффэренциалсм, V) -дпфференциалом

функции £ в точке ос. . Величины

sup [f^- i^l^AVIW--^«^

называются соответственно верхней и нижней (¿.V) -производной функции $ в точке ос .

В §§ Д.З, Д.4 показано, что приближенные дифференциалы при весьма слабых условиях являются устойчивыми, a (¿,f,V)-даффервнцнал является регуляризующнм для задачи нахоэденпя производной. Возмущения модели, которая здесь является функцией £ , задаются с помощью равномерной метрики.

В §§ Д.5, Д.6 для приближенных дифференциалов строятся соответствующие понятия интегралов.

Под задачей интегрирования понимается следующая задача. По значению |ссь) и по приближенным дифференциалам ? в некотором сшсле восстановить £ на множестве

Р^с [V, а] - U^V),

где V°L<x) -i^b Vk(ou) = V(V*~\oA) . Если это множество дополнительно ограничено отрезком Let, В] , то требуется восстановление на Pro[V,a,B]= Pro[V,CL]nta, 6] .

Для построения интеграла применяются две схемы: схема Перрона и схема Римана. Схема Перрона основана на следующих

конструкциях. Будем говорить, что

G» является Сt,V)-Hajj$yакцией для £ от а до 6 , если

1. & определена на FVoLV,a,i].

2. &(a/> = о.

3. ?(®-)е»1;б.,о,б,Л7в]сос.)

F1 является (6.V) -подфункцией для от а до 6 , если

1. F определена на Pro[V,a,§>].

2. F(a/) = 0.

3. ^схче so [F,o,t,V6J (х) Vx-e Pro [V,a,ej \ Щ. Vxe ProLV.a.g] \ 1%), Здесь - VO) A . a V(x)c[o;(t«). Верхний ce,V) -интегралом Перрона функции ? от о- до &

называется _g

IP[f£,Vj = Н

где нижняя грань берется по всем -надфункцням G> для

| оз a до £ .

Нижним (£,V) -интегралом Перрона функции ^ от а- до £ называется £

IP[f,t-,V] - sup F(£),

а.

где верхняя грань берется по всем Cfi, V) -подфункциям Р для | от а до ^ .

Для определения приближенного интеграла по Риману введено множество dii допустимых разбиений отрезка интегрирования , т

Верхним и нижним V) -интегралом Римана соответственно названы величины

£

iR[f,t,V] =■ - есас.0 } ,

a £ е dii [v,aJ]

XRI?, е, V] = +

о- ' ' г &dibiv,a.,£j

В § Д.7 доказано, что приближенные интегралы Перрона и Римана совпадают, что, по мнению автора, является достаточно удивительным, так как для обычной производной эти схемы построения приводят к существенно различном результатам.

В§Д.8 вводится определение приближенного интеграла и приводятся его свойства.

-2,9-

Под приближенным V) -интегралом функции I от а.

до В понимается отрезок Б

ШроП+д ]•

Здесь буквы Р и Р в верхних и нижних интегралах опущены.

Установлены свойства приближенного интеграла, которые аналогичны следующим свойствам интеграла Римана: формула Ньютона - Лейбница, линейность интеграла относительно интегрируемой функции, аддитивность по отрезку интегрирования, монотонность. Однако, отличие свойств приближенного интеграла состоит в том, что если в формулировке свойства интеграла Римана было равенство, то соответствующее свойство приближенного интеграла выражается приближенным равенством с указанием погрешности.

В § Д.9 изучаются условия существования приближенного интеграла для случая, когда Ус») = У^С») - с а:, сс + а - функция, удовлетворяющая некоторым естественным условиям. Такие названы допустимыми.

Найдены достаточные условия приближенной интегрируемости. Утверждение Д.9.4. Пусть -Р является С^.Уд-) -непрерывной на Га, §>) и С^ ,Угг1[^1+в03 ) -непрерывной на со-,6); 8"-допусттлая функция и <1^ъ.+и^^р^си)+ !$(&)'^(а.) Тогда существует -интеграл функции от а доб.

Указаны формулы для практических вычислений интеграла и оценки их точности.

В § Д.10 исследуются связи приближенного интеграла с классическими интегралами. Доказана справедливость неравеи-ства 8 6

а. 5. а. 0 '

6

где ^ обозначает обобщенный интеграл Римана.

Под обобщенным интегралом Римана понимается такой функционал, который удовлетворяет следующим свойствам:

1. Если £ интегрируема по Риману, то ] £ совпадает с интегралом Римана. $ к ""

2. Если ^ > , то 5 \ ^ •

3. Обобщенный ннтеграл Ркыана яьляотся аддитивной фунг отрезка интегрирования.

Показано, что если интегрируема по Риману, то

& 6 _ е

tbyi Itf о, V,J = I ll, 0, vs] - с R) Jf s>S(<e).

¿Г-+0+ a. ' 0J a. a.

Для функции интегрируемой по Лебегу это, вообще гово-

ря, неверно.

С помощью приближенного интеграла установлена устойчивость интеграла Рямана относительно варьирования графика под-

интегральной функции в псевдометрике Хаусдорфа, то есть

е е

fen. вер /С2) U - СЮ /И = ¿7, i-o* geOtCt)

где берутся такие, что (£-> / существует.

Для интеграла Лебега доказана оценка

вир С/. ) Jg. > о, V±°]

s*ot<h a a

где Vt"cx) = ('x> a ^¿^ - окрествооть графика |<

в метрике Хауодорфа.

В § Д.II установлена устойчивость приближенного интеграла при варьирование графика подинтегральЕой функции в псевдометрике Хаусдорфа. Условия устойчивости оказались весьма слабыми. Требуется только ограниченность и существование приближенного интеграла.

В § Д.12 рассмотрено одно иэ возможных обобщений приближенных дифференциалов и установлена эквивалентность схем Перрона и Риыана построения соответствующего приближенного интеграла.

Список литературы содержит 91 работу. Результаты диссертации докладывались на различных семинарах в ВЦ АН СССР, МГУ, ВНШСИ, МАТИ и других организациях. По материалам диссертации прочитана лекция на X Всесоюзной школе по методам оптимизации и теории управления в Иркутске в 1983 г. Некоторые результаты практического применения докладывались на Всесоюзном совещании-семинаре "Управление

иерархяческтш актпвншд» системами"1 в Тбилиси в 1986 г.

В заключение отметим основные и наиболее интереоные, по мнению автора, результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Развита теория аппроксимации, устойчивости и регуляризации для семейств приблляенкых рвковзй пропзвояыюй структуры.

2. Для произвольного принципа оптимальности и любого типа регуляризации найдены регуляризущае принципы оптимальности и обоснована законность их приближенного вычисления.

3. Найдена условия устойчивости двух принципов оптимальности, связанных с задачей на иаясшшн. Доказана их взаимная аппроксимация, которая является аналогом теоремы оходшгасти метода штрафных функций в задаче на кратный иаксшлан со связанными ограничениями.

4. Для задач поиска множества полуэффективнпх точек, мнояес-тва точек Парето и лексикографического максимума предогояекы нетрадиционные принцшш оптимальности. Доказана их устойчи-ессть а показано, что они являются рзгуляризуг^^мз для принципов оптимальности, традиционных для перечисленных задач.

Доказано, что множество точек оптимальных по Дгюффряону всюду плотно в множестве точек Парето.

5. Доказана устойчивость приближенных дифференциалов и регуляризация производной. Установлена эквивалентность двух схем построения приближенного интеграла. Изучены свойства приближенного интеграла, установлены его связи с классическими интегралами и доказана устойчивость приближенного интеграла при варьировании графика подинтегральной функция в псевдометрике Хаусдорфа.

Все основные результаты диссертации принадлежат автору и опублпкозаны в монографии автора "Устойчивость принципов оптимальности" - М. : Наука, 1987.

Подписано в печать ?.06.%9 Формат 60X84 1/16.

Бумага офсетная. Печ. л. 3? Уч.-изд. л. 2. Тир. 100 экз.

Зак. тип. Бесплатно.

Отпечатано в ЦНИИатоминформе 127434, Москва, аб/ящ 971