Оценки погрешностей регуляризующих алгоритмов для неустойчивых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На нравах рукописи

Р у л а к о в а Тап.яна Николаевна

сс.

оценки погрешностей регуляризующих алгоритмов для неустойчивых задач

01.01.01 - математический анализ

А втор еф сра т диссертации на соискание ученоИ степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1999

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре теории функций и функционального анализа.

Научный руководитель — доктор физико-математич.наук,

профессор В.П.Танана.

Официальный оппоненты — доктор физико-математич.наук,

профессор Ю.Н.Субботин; — кандидат физико-математич.наук, доцент С.А.Рогожин.

Ведущая организация — Саратовский государственный

университет им. Н.Г.Чернышевского

Защита состоится

/

1999 г.

_часов на заседании диссертационного

совета К 063.78.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. А.М.Горького по адресу: 620083, г.Екатеринбург, К-83, пр.Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета.

Автореферат разослал " _1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета^

канд. физ.-мат. наук, доцент_р> /А-1-^—_/В.Г.Пименов/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Многие задачи геофизики, гидродинамики, спектроскопии и других разделов естествознания сводятся к линейным операторным уравнениям первого рода, не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару. Необходимость их решения и невозможность использования традиционных методов (обращение оператора, метод наименьших квадратов) привели к созданию теориии некорректно поставленных задач, основы которой заножены в работах академиков А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, чл.-корр. В.К.Иванова. На сегодняшний день эта теория хорошо развита, и нашла отражение во мпогих монографиях.

Ввиду повышенных требований, предъявляемых к детальности описания реальных объектов в указанных выше задачах, возникает проблема выбора из всех возможных методов решения операторных уравнений первого рода таких, которые наиболее точно приближают искомое решение при возмущении исходных данных.

Исследованием па оптимальность методов решения некорректных задач занимались многие математики: В.Я.Арсенин, А.Л.Агеев, А.Б.Бакушинский, Г.М.Вайникко, В.В.Васин, В.А.Винокуров, А.И. Гребенщиков, В.В.Иванов, В.К.Ивапов, Т.И.Королюк, О.А.Лисковец, В.А Морозов, В.Н.Страхов, В.П.Танана, А.М.Федотов и др.

Теория оптимизации приближенных методов к настоящему времени хорошо развита только для невырожденных операторных уравнений. Невозможность прямого перепоса результатов для задач с единственным решением па вырожденный случай объясняется тем, что оценочные функции, характеризующие точность методов, в вырожденном случае перестают стремиться к нулю при стремлении к нулю погрешностей исходных данных.

Исследования Тананы В.П. и Янченко С.И. показали, что попытки ЛисковцаО.А. преодолеть эту трудность введением понятия модуля Р - непрерывности не решили проблему, так как модуль (5 - непрерывности стремится к нулю тогда и только тогда, когда оператор, входящий в уравнение конечномерен.

Поэтому проблема поиска оптимальных методов решения задач с неединствениым решением фактически осталась открытой. Так как многие задачи, встречающиеся на практике, имеют неедннственное решение, исследование вопросов оптимизации для таких уравнений является актуальным.

Новый подход к решению этой проблемы предложил Танана В.П.1, который развивался в его последующих работах и работах его учеников и последователей.

Настоящая работа представляет собой продолжение исследований в этом направлении.

Цель работы. Разработка теории оценивания точности методов решения (вырожденных и невырожденных) операторных уравнений с приближенным оператором, не являющихся нормально разрешимыми, при различной априорной информации о решении и операторе. Построение оптимальных по порядку методов.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории функций и функционального анализа, а также теории некорректно поставленных задач.

Научная новизна. Полученные в работе различные (в зависимости от априорной информации и определения погрешности) точные по порядку оценки методов (оптимальных и неоптимальных по порядку) являются новыми. Предложен новый оптимальный по порядку регуляризующий алгоритм, являющийся модификацией метода А.Н.Тихонова.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории некорректно поставленных задач, а также специалистами по вычислительной математике при разработке численных алгоритмов решения вырожденных операторных уравнений или плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, а также некорректно поставленных задач с дополнительной информацией об операторе и решении задачи.

'Танана В.П. Об оптимизации методов регуляризации при решении вырожденных операторных уравнений // Изв. вузов. Математика. - 1985. - 9 - с. 20-21.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры теории функции и функционального анализа Челябинского государственного университета (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор В.П.Таиана) в 1998 году, а также докладывались на международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (г. Москва,1991 г.), на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (г. Бишкек, 1991 г.), на XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Нижний Новгород, 1991 г.), на конференции в рамках форума "Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия" (г.Челябинск, 1997 г.), на Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова (г. Екатеринбург, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-11]. В работах [3-11] В.П.Танаце принадлежит постановка задач и идейная сторона, диссертанту - реализация этих идей.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, изложена на 76 страницах. Список литературы содержит 106 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении показано место диссертации в проблематике некорректно поставленных задач, дан краткий обзор результатов диссертации.

В работе рассматривается операторное уравнение первого рода:

Аи = /, (1)

где и, / (Е Н, Н - сепарабельное гильбертово пространство. Оператор А: Н —► Н — линейный непрерывный самосопряженный, вообще говоря, неинъективный неотрицательный с незамктнутой областью значений. Правая часть уравнения (1) и оператор А считаются заданными приближенно с известными уровпями погрешностей к: £ Н (II/ ~ II < <*>), оператор А/, ■ Н —+ Н - линейный ограниченный самосопряженный ( ¡|А — Лл|! < Л. )

Продиолагне чся существование чочного решения уравнения (1), принадлежащего ограниченному множеству

Л/Г = Л5Г, 5,- = {с £ Н: < г},

где В - линейный непрерывный самосопряженный оператор. Сужение оператора В на ортогональное дополнение Ь к ядру оператора А есть функция оператора А: В\ь = д{А), где д -действительная непрерывная строго возрастающая функция, д(0) = 0. Функцию д считаем известной.

Существуют методы, позволяющие находить нормальное ( то есть решение с минимальной нормой) решение уравнения (1), используя приближенные данные {Ан, /б,Ь,6.} Цель работы - изучение гарантированной погрешности наилучших в некотором смысле методов.

Первая глава носит реферативный характер. В пункте 1.1 даны определение нормального решения, введенное В.К.Ивановым, определение метода нахождения приближенного решения к нормальному решению и определение количественой характеристики точности метода, идейно идущее от В.В.Васина и В.П.Тананы, определение оптимального метода (метода, имеющегр наименьшую погрешность), оптимального по порядку метода (порядок малости погрешности такой, как у оптимального метода). В п.1.3-1.4 приведены известные результаты, полученные другими авторами (В.П.Тананой, М.А.Рекантом, С.И.Янченко), необходимые для дальнейшего исследования.

Во второй главе рассмотрен метод регуляризации А.Н.Тихонова приближенного построения нормального решения уравнения (1). В п.2.3 получена точная по порядку оценка количественной характеристики точности метода в случае д(Х) = Ар (0 < р < 1), из которой следует, что метод регуляризации А.Н.Тихонова при любом выборе параметра регуляризации не является оптимальным по порядку в классе задач с неединственным решением.

В пункте 2.4 предложена модификация известного метода, суть которой в замене точно заданного оператора В приближенным в алгоритме построения решения, приближенного к нормальному решению. В п.2.5 доказана оптимальность по порядку построенного метода, если

функция д(Х) = Ар, р > 0. Случай

если А > 0, О, если А = 0.

рассмотрен в п.2.6, где получена точная по порядку оценка сверху погрешности оптимального по порядку метода:

Д(Р0Р() < Ст\1пт\,где г = гЦВЦЛ + 6.

Как следствие получаем, что метод установления, для погрешности которого была получена оценка снизу в работах С.И.Янченхо, при любом выборе параметра регуляризации не является оптимальным по порядку методом. Модифицированный метод А.Н.Тихонова п в этом случае оптимален по порядку.

В третьей главе оператор А в (1) считаем инъективным. Дополнительно предполагаем, что операторы В , Аи — А являются функциями оператора Аь , то есть

В = д{Ан), Аь-А = ^{АН), - (2)

где для любого Л ^л(^) - действительная кусочно-непрерывная функция, определенная на множестве, содержащем отрезок [0; ЦАлЦ], удовлетворяющая следующим условиям:

3ир{Ь(А)|:А€[а,||ЛЛ|0}<Л, (3)

ЫА)|<СТ^(А), А € [0, ||ЛЛ||]. (4)

Функция т/>(А) известна, является монотонно возрастающей, непрерывной функцией такой, что

ф(А) —► 0 при А -» 0, 5ирШ(А)|: А 6 [0,2|ИЛ||]} < 1. <?(А)^(А)/А - монотонно убывающая (в нестрогом смысле) функция'.

В ряде задач математической физики такая исходная информация имеется. Её учет позволяет повысить точность регуляризующих алгоритмов. В п. 3.2 вводятся основные определения (аналогичные определениям главы 1, но с учетом условии (2)-(4)). Для получения

5 А

оценок погрешности оптимального метода используется способ, разработанный В.П.Тананой. В п.3.2 выводится оценка снизу погрешности оптимального метода через модуль непрерывности обратного оператора, который вычисляется в п 3.3. В п.3.4 исследуется погрешность метода проекционной регуляризации, для которого оценка сверху имеет такой же порядок малости, что и оценка снизу для погрешности оптимального метода. Отсюда следует, что полученные в п.3.2-3.4 оценки являются точными по порядку , а метод проекционной регуляризации при наилучшем выборе параметра регуляризации (способ выбора указывается) является оптимальным по порядку.

Аналогичная задача рассматривалась В.П.Тананой (1985г.), но без учета асимптотических условий (3)-(4). Сравним по точности опти-мальныи по порядку метод для рассмотренной задачи с опти-

мальным методом Pjfyfis)) в котором учитывается только коммутируемость операторов (2), без дополнительного условия (4). Для этого положим, что

д{А) = АР, 0 < jp < 1, <5 = 0, V(A) = Х1~р, тогда

~ hp при h - 0, A(P{Jl¡M) ~ h при h - 0.

■ Сравнение, этих оценок показывает, что учет коммутируемости операторов с дополнительным асимптотическим условием (4) значительно повышает точность решения.

В п.3.5 указан способ выбора параметра регуляризации, при котором метод М.М.Лаврентьева является оптимальным по порядку на множестве Мг в случае, если д(А) = Ар (0 < р < 1). ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Доказала неоптимальность по порядку метода регуляризации А.Н.Тихонова для операторных уравнений первого рода в сепарабель-ном гильбертовом пространстве при доминировании ошибки в задании оператора.

2. Предложена модификация метода А.Н.Тпхонова. Доказана оптимальность по пррядку предложенного метода для задач с неединственным решением на. различных классах разномерной регуляризации. В частности, получена точная по порядку оценка погрешности

онтпмгыьного но порядку метола в случае задания множества равномерной регуляризации при помощи функции экспоненциального вида.

3. Найдены дополнительные априорные условия, позволяющие повысить точность оптимального метода решения задач с инъектив-ным оператором. Получена точная по порядку оценка погрешности оптимального по порядку метода, учитывающего дополнительные асимптотические условия на погрешность оператора.

Публикации по теме диссертации

1. Рудакова Т.Н. Оптимальный по порядку метод решения задач с неединственным решением //В кн.: Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез.докл. Всерос. науч. конф., 2-6 февраля 1998 г. Екатеринбург: УрГУ, 1998, 318 с.

2. Рудакова Т.Н. Оптимальный по порядку метод решения задач с неедпнственным решением //В кн.: Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия: Тез.докл. конф. в рамках форума "Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия". Челябинск: ЧГПУ. Изд-во "Факел", 1997 г.,38 с.

3. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Исследование на оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором.// Вестник Челябинского университета. Серия Математика, механика, вып.1 - Челябинск, ЧелГу, 1991 с.105-108.

4. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Исследование па оптимальность метода регуляризации для задач с неинъективным оператором // МВ и ССО. Челяб. ун-т. Челябинск, 1991. Дел. в ВИНИТИ 25.02.91, N 877-В91.

5. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оптимальности методов решения некорректных задач при дополнительных ограничениях на погрешность оператора. // МВ и ССО. Челяб. ун-т. Челябинск, 1991. Деп. в ВИНИТИ 02.01.91, N 6-В91.

6. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оценке погрешности метода регуляризации некорректно поставленных задач с неинъективным

оператором // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тезисы докладов международной конференции ( 19-25 августа 1991 г., г. Москва).- ИПМ

7. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оценке погрешности оптимального метода решения некорректных задач в гильбертовых пространствах при дополнительных ограничениях на погрешность оператора //В кн.: XVI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов - Нижний Новгород, 1991 - 261 с.

8. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оценке погрешности оптимального метода решения некорректных задач в гильбертовых пространствах при дополнительных ограничениях на погрешность оператора // Вестник Челябинского университета. Серия Математика, механика, вып.1 -Челябинск, ЧелГу, 1991- с.108-112.

9. Танана В.П., Рудакова Т.Н. Оценка погрешности оптимального метода решения некорректных задач в гильбертовых пространствах при дополнительных ограничениях на погрешность оператора // Тез. докл. Всесоюз. конф., г.Бишкек, 10-12 сент. 1991 г. -Бишкек: Илим, 1991, с.105.

10. Tanana V.P., Rudakova T.N. The estimation of the error of the regularization method for ill-posed problems with noninjective operator.// Ill-posed problem in natural sciences: Proceedings of the International Conference. Utrecht: VSP / Moscow: TVP Sei Publ., 1991, p.184-191.

11. Талана В.П., Рудакова Т.Н. Оптимальность метода регуляризации для задач с неединственным решением // MB и ССО. Челяб. ун-т. Челябинск, 1997. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 13.02.97, N472-B97

^ / - С.'1- -

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Рудакова Татьяна Николаевна

ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕГУЛЯРИЗУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ ЗАДАЧ

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: М, , Т а н а н а В.П., проф.,

¿Ж'

Л\ доктор физ.- мат. наук

и

Челябинск 1998

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

1 КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ С НЕИНЪЕКТИВНЫМ ОПЕРАТОРОМ 13

1.1 Классификация некорректных задач и понятие оптимального метода.............. 13

1.2 Понятие регуляризующего семейства операторов. Основные допущения............ 16

1.3 Оценка погрешности оптимального метода решения некорректных задач с инъективным оператором .... 18

1.4 Оценка погрешности регуляризации при условии не-инъективности оператора................. 19

2 ИССЛЕДОВАНИЕ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧ С НЕИНЪЕКТИВНЫМ ОПЕРАТОРОМ 23

2.1 Постановка задачи..................... 23

2.2 Вычисление квазиоптимального параметра регуляризации............................. 26

2.3 Оценка погрешности метода регуляризации Тихонова при условии неинъективности оператора......... 32

2.4 Модифицированный метод А.Н.Тихонова........ 36

2.5 Оптимальность по порядку в случае степенной функции д(Х)........................... 36

2.6 Оптимальность по порядку в случае экспоненциальной функции д(А)...................... 39

3 ТОЧНОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ПОРЯДКУ МЕТОДОВ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПОГРЕШНОСТЬ ОПЕРАТОРА 43

3.1 Постановка задачи.................... 43

3.2 Определение оптимального линейного алгоритма. . . 44

3.3 Вычисление функции 07^(5,/г, г) ............ 47

3.4 Построение линейного оптимального по порядку алгоритма............................. 52

3.5 Оптимальность по порядку метода М.М.Лаврентьева..................... 58

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 63

ВВЕДЕНИЕ

1. Большое число задач математической физики, возникающих в практических приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [102,103], то есть не удовлетворяют трем требованиям корректности: существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от исходных данных. Следствием этого является непригодность для их решения таких традиционных методов как обращение оператора, метод наименьших квадратов [104,105 и др.].

Теория специальных устойчивых методов решения некорректно поставленных задач - регуляризующих алгоритмов - создана в основополагающих трудах академиков А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, чл.-корр. В.К.Иванова и развита далее в работах В.Я.Арсенина, А.Б.Бакушинского, А.Л.Бухгейма, Г.М.Вайникко, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, В.А.Винокурова, Ю.Л.Гапоненко,

A.В.Гончарского, В.Б.Гласко, А.И. Гребенщикова, А.М.Денисова,

B.И.Дмитриева, П.Н.Заикина, В.В.Иванова, А.С.Ильинского, Т.И.Королюк, А.С.Леонова, О.А.Лисковца, В.А Морозова,

A.И.Прилепко, В.Г.Романова, А.Г.Свешникова, В.Н.Страхова,

B.П.Тананы, А.М.Федотова, А.В.Чечкина, А.Г.Яголы и других математиков.

На сегодняшний день накоплен огромный теоретический и практический материал, значительная часть которого отражена в

монографиях М.М.Лаврентьева [39], А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина [84], Р.Латтерса и Ж.Л.Лионса [38],В.А.Морозова [52], В.К.Иванова, В.В.Васина и В.П.Тананы [36], Лаврентьева М.М., Романова В.Г. и Шишатского С.П. [42], А.О.Лисковца [44], В.П.Тананы [61], А.Б.Бакушинского и А.В.Гончарского [5], В.В.Васина и А.Л. Агеева [12], что является несомненным признаком известной зрелости соответствующего раздела математики.

В теории некорректно поставленных задач можно выделить три главных направления исследований.

I. Регуляризуемостъ задачи, то есть исследование вопроса о существовании хотя бы одного регуляризующего алгоритма. Важность вопроса определяется тем, что далеко не все задачи ре-гуляризуемы. Например, уравнение

Аи = /, Ае(и ^Г)

даже в случае линейного непрерывного оператора А и линейного нормированного пространства нерегуляризуемо, если £/-несепарабельно, а ^-сепарабельно. [13] Общая постановка этого вопроса и проблем, связанных с ним, принадлежит В.А.Винокурову [13, 14, 16, 17].

II. Построение специальных методов решения некорректных задач (регуляризующих алгоритмов) для класса регуляризуемых задач - второе глобальное направление исследований.

Наибольший интерес среди некорректно поставленных задач представляют задачи, не удовлетворяющие третьему условию корректности по Адамару, то есть задачи неустойчивые. В предположении существования единственного решения в таких задачах эта проблема достаточно хорошо исследована. В настоящее время разработано много различных регуляризующих алгоритмов, обзор ко-

торых дан, например, в перечисленных выше монографиях.

Начало изучения проблемы в предположении неединственности решения положено в 1963 году в работе В.К.Иванова [30], в которой введено понятие (3 - устойчивости множеств приближенных ре-

о "Г"| и

шении. В дальнейшем с использованием этого и аналогичных ему понятий проблема II находилась в центре внимания исследователей. Здесь помимо работ В.К.Иванова [31,32,36] могут быть названы работы В.В.Васина [9,10], О.А.Лисковца [45,46,47,44], В.А.Морозова [52], В.П.Тананы [61,62, 64,67,71] и других.

Построенные специальные методы (регуляризующие алгоритмы) весьма эффективно применяются для решения многих прикладных задач астрофизики, вычислительной томографии, геофизики, математического проектирования, медицины, оптимального управления системами, оптимального планирования, оптики и спектроскопии физики колебаний и т.д.

Особенно широкое практического применение получили тихоновские регуляризующие алгоритмы, основанные на минимизации сглаживающего функционала Тихонова [85 - 99] со специальным выбором параметра регуляризации.

Однако наличие регуляризующего алгоритма не всегда позволяет строить решения с заданной точностью. Потому в работе [28] В.К.Иванов наряду с задачей построения устойчивых приближений к точному решению выдвигает не менее важную задачу оценки их погрешностей, решение которой влечет, в свою очередь, возможность классифицировать известные методы. Среди всех методов приближенного решения наибольший интерес представляют методы, имеющие наименьшую погрешность (оптимальные) на некотором классе решений или в некотором смысле близкие к ним [1,3, 4, 6 - 8,11, 14 -15,18,19,23, 24,33,34,36,44, 52 - 55,59,64 - 73, 100,106].

III. Исследование методов на оптимальность - третье фундаментальное направление исследований в теории некорректных задач.

При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных (или точных по порядку) оценок оптимальных методов, позволяющих судить о максимально возможной гарантированной точности приближенного решения задачи. Исследованию таких оценок для неустойчивых задач с точно заданным оператором посвящены, например, работы [24,25,29,52,59, 60,69].

В последнее время в связи с запросами геофизики и теоретической физики возникла необходимость в исследовании уравнений с приближенно заданным оператором. В вопросах постановки задач приближенного решения уравнений с ошибкой в операторе и разработки методов решения таких задач следует отметить работы [20 -22,36,49, 64 - 66],

Ввиду повышенных требований, предъявляемых к детальности описания реальных объектов в указанных задачах, связанных с необходимостью более точного описания пластов с богатым содержанием полезного компонента, учетом балансовых руд и подсчетом запасов полезных ископаемых, определением "тонкой структуры" спектров в обратных задачах физики твердого тела [43,37] и т.д., встала проблема оптимальности получаемых приближеных решений и оценки их отклонения от точного решения.

Исследованию оптимальности методов решения некорректных задач посвящены работы [24,36,50,51, 58 - 60, 65 - 70,73]

Для получения оценок точности оптимальных методов (имеющих наименьшую погешность) вводились различные оценочные функции, основной из которых является модуль непрерывности обратного оператора. Эти оценки хороши только при условии инъ-

ективности оператора, входящего в уравнение. Для неинъективного оператора модуль непрерывности обратного оператора не является бесконечно малой функцией [44,61]. Поэтому формальный перенос результатов исследования оценок точности оптимальных методов для задач с единственным решением на случай неединственного решения приводит к тому, что все имеющиеся методы оказываются оптимальными на классе задач с неинъективным оператором, а оценки их погрешностей не сходятся к нулю.

Лисковец О.А.пытался преодолеть эту трудность [44], введением понятия модуля /3 - непрерывности, в рамках классического подхода к определению количественной характеристики точности метода.

Однако исследования Тананы В.П. и Янченко С.И. [83,103] показали, что модуль (3 - непрерывности стремится к нулю тогда и только тогда, когда оператор, входящий в уравнение конечномерен. Поэтому проблема поиска оптимальных методов решения задач с неединственным решением фактически осталась открытой.

Ивановым В.К. [31] было дано определение нормального решения и доказана сходимость регуляризованных решений к нормальному. В классе равномерной регуляризации эта сходимость является равномерной. Попытка оценить ее заставила пересмотреть некоторые понятия, в частности, определение количественной характеристики точности метода.

Так Танана В.П. в в работе [70], посвященной вопросам регуляризации линейных вырожденных операторных уравнений, предложил смотреть на эту проблему в новой постановке, требующей перехода к фиксированному точному оператору в определении количественной характеристики точности метода построения приближенных решений к нормальному.

Такое определение впервые было использовано Васиным В.В.[36] для исследования на оптимальность методов регуляризации для задач с единственным решением, где оно было эквивалентно классическому определению, введенному Тананой В.П. в [66]. В классе операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором в предположении неинъективности точного оператора такой подход имеет принципиально новое содержание. Он был развит в работах [70,73].

Глава 2 настоящей диссертации продолжает развитие этой теории. Здесь исследуются на оптимальность некоторые регуляризую-щие алгоритмы для линейного операторного уравнения I рода

Аи = / (0.1)

в сепарабельном гильбертовом пространстве Н.

Во второй главе оператор А предполагается линейным самосопряженным неинъективным оператором. Предполагается, что множество точных решений уравнения (0.1) имеет непустое пересечение с образом шара радиуса г при линейном непрерывном инъективном отображении В. Известно, что на ортогональном дополнении к ядру А оператор В = д(А).

Приближение к нормальному решению (решению с минимальной нормой) уравнения (0.1) строится методом регуляризации А.Н.Тихонова.

Для случая степенной функции д получены точные по порядку оценки погрешности метода, доказывающие его неоптимальность по порядку.

В пункте 2.4 доказывается оптимальность по порядку модифицированного метода А.Н.Тихонова в случаях, если функция д степенного и экспоненциального вида.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер.

Здесь приводятся известные понятия и факты, которые используются в дальнейшем, что позволяет читать диссертацию без обращения к первоисточникам.

В главе 3 рассматриваются задачи с инъективным оператором. К настоящему времени теория оптимизации методов решения операторных уравнений при условии единственности решения разработана достаточно хорошо.

Равномерные оценки погрешности решения, получаемые при использовании регуляризующих алгоритмов ( даже оптимальных в своем классе) в ряде случаев оказываются слишком грубыми. Использование регуляризующих алгоритмов приводит к заглаживанию, то есть стиранию "тонкой" структуры решения, определение которой требуется в ряде некорректных задач физики твердого тела [37,43].

Одним из способов преодоления этой трудности является повышение точности методов за счет привлечения дополнительной информации либо о решении, либо об исходных данных задачи [12]. Такой дополнительной информацией может стать, например, условие коммутируемости операторов — А и А [61].

Во многих задачах, возникающих в различных разделах математической физики в качестве исходной информации имеются асимптотические условия.

Например, при решении интегрального уравнения типа свертки

¡ппК{х-у)и(х)йх = !{у), и{х), !{у)ес\пп\

где правая часть f(yy) и ядро К(х — у), являющееся непрерывной, абсолютно интегрируемой и четной функцией, заданы приближенно, может быть известно, что, во-первых, погрешность задания ядра является функцией самого ядра, во-вторых, характер асимптотики

Фурье-преобразования ядра [84, стр.184].

Введение дополнительной априорной информации приводит к новой постановке задачи, а, следовательно, к новому пониманию оптимального метода решения задачи.

В главе 3 получены точные по порядку оценки погрешности оптимального по порядку метода, доказана оптимальность метода М.М.Лаврентьева [39] и метода проекционной регуляризации [35].

Полученные оценки показывают, как учет асимптотических условий наряду с условием коммутируемости операторов, позволяет значительно повысить точность регуляризующих алгоритмов.

Для получения сформулированных в диссертации результатов используются различные методы теории функций и функционального анализа, спектральная теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Основные результаты диссертации являются новыми, они опубликованы в [56,57,74-82]. В работах [74-82] В.П.Танане принадлежит постановка задач и идейная сторона, диссретанту - реализация этих идей.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору, доктору физико - математических наук В.П.Танане за постоянную помощь и внимание в работе, а также кандидатам физико-математических наук Л.Д.Менихесу, М.А.Реканту и С.А.Рогожину за плодотворное обсуждение результатов диссертации.

На протяжении всей работы используются следующие понятия и обозначения:

11 Н

(u,v)

рг(х,Х)

(U^F)

V{A) К{А) Е А*

КегА Sp{A)

f(x) = 0(д(х))

f(x) ~ д(х)

вещественная прямая гильбертово пространство скалярное произведение элементов и Е Н и v G Н

ортогональная проекция элементата х на пространство X пространство линейных непрерывных операторов, наделенное равномерной операторной топологией область определения оператора А множество значений оператора А тождественный оператор сопряженный к А оператор ядро оператора А, то есть КегА = {и G Т>(А) : Аи = 0} спектр оператораА

вещественнозначныё функции / и д определены на множестве X С 71 f(x) = 0(д{х)) при х —s- 0, то есть существует постоянная С, что неравенство \f(x)\ < С\д(х)\) выполнено в некоторой окрестности точки х = 0 f(x) = 0(д(х)) & д(х) = 0(f(x))

Глава 1

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ С НЕИНЪЕКТИВНЫМ ОПЕРАТОРОМ

1.1 Классификация некорректных задач и понятие оптимального метода

Пусть V, и и Г - линейные нормированные пространства, В - линейный непрерывный оператор, отображающий V в и, А - линейный ограниченный оператор, вообще говоря, неинъективный, отображающий 11 в Г.

Рассмотрим операторное уравнение первого рода

Аи = ъ иеилег. (1.1)

Предположим, что задача (1.1) разрешима. Обозначим через ио множество точных решений уравнения (1.1).

В зависимости от априорной информации задачи вида (1.1) можно разделить на три типа [69]:

I. Задачи, у которых в качестве дополнительной информации известны уровни погрешности 8 и к приближенных данных /§ и А^. ||/-М1<5, \\А-Ан\\<к [21,88];

II. Задачи, у которых в качестве дополнительной информации известна константа г [27] такая, что

ЩПМгфф Мг — ВЗГ, 5Г = {V е У: |Н| < г};

III. Задачи, у которых в качестве дополнительной информации известны все три величины <5, /г., г [60], рассмотренные выше.

Ниже будем рассматривать только некорректные задачи третьего типа.

Л е м м а 1.1. [см., например, 31] В рефлексивном строго выпуклом пространстве каждое замкнутое выпуклое множество содержит точку с минимальной нормой.

Пусть точка / £ ^ лежит в области значений Л(АВ) оператора АВ . Тогда множество точек v Е V таких, что АВу = /, есть класс эквивалентности из фактор-пространства У/КегАВ. Так как ядро оператора АВ есть замкнутое подпространство, то есть замкнутое выпуклое множество, то каждый класс эквивалентности из фактор-пространства У/КегАВ есть замкнутое выпуклое множество и по лемме 1.1 содержит единственный элемент с минимальной нормой.

Определение 1.1. [31] Решение щ £ Щ уравнения (1.1), называется нормальным решением уравнения (1.1). если найдется такой элемент г>о 6 V, что «о — Вьо и

\Ы\=тЦ\\у\\:Вуеи0}

Дополнительно предположим, что пространства V,U,F - гиль-бертовые:

V — U = F = Н

Оператор А, входящий в уравнение (1.1), самосопряженный. Обозначим через L ортогональное дополнение к ядру N оператора А, то есть

N = KerA = {ие V(A) : Аи = 0}, L = (KerA)1 = {и G V(A) : \/v G KerA (и, v) = 0}.

Приближенный оператор Ah : Н —► Н - линейный, непрерывный, самосопряженный.

Оператор В - са