Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых решетках

01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

4 АПР 2013

005051269

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель профессор Ягола Анатолий Григорьевич

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: г.н.с. Александров Павел Николаевич,

Центр геоэлектромагнитных исследований Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта

доктор физико-математических наук, профессор Леонов Александр Сергеевич, Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"

Ведущая Институт вычислительной математики и мате-

организация матической геофизики Сибирского отделения

Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН)

Защита состоится 18 апреля 2013 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, Северная Физическая Аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан марта 2013 г.

Ученый секретарь СУ Поляков П. А.

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач в частично упорядоченных нормированных пространствах - банаховых решетках. В предположении, что априори задано некоторое компактное множество, которому принадлежит точное решение, строится множество приближенных решений, заданное линейными ограничениями. Производится оценка погрешности приближенных решений на этом множестве. Исследуется вопрос построения нижней и верхней оценок неизвестного решения (в смысле частичного порядка в пространстве решений), сходящихся к точному решению. Методы оценки погрешности применяются к различным прикладным обратным задачам.

Актуальность темы

Многие практически важные задачи могут быть записаны в виде операторного уравнения

Аг = и, (1)

где г £ И, и Е и, А: 2 и - линейный ограниченный инъективный оператор, И и и - линейные нормированные пространства. Согласно определению, данному Ж. Адамаром, задача (1) называется корректно поставленной, если для любый входных данных А, и из некоторого класса ее решение существует, единственно, и малые изменения в правой части и и операторе А влекут малые изменения в решении.

Многие практически важные задачи не являются корректно поставленными, в частности, зачастую решение не зависит непрерывно от входных данных задачи. Для решения таких задач нельзя применять стандартные методы, и в середине XX века стали разрабатываться специальные методы. Впервые подход к решению некорректных задач был предложен академиком А.Н. Тихоновым.

На практике, помимо нахождения приближенного решения, сходящегося к точному, требуется также оценивать точность приближения. К сожалению, в общем случае оценить погрешность приближенного решения некорректной задачи нельзя. Поэтому для оценки погрешности в некорректных задачах используют дополнительную априорную информацию о решении, например, о его принадлежности компактному множеству М С 2.

Зачастую в приложениях оказываются важными понятия положительности, неравенства. Эту информацию о частичной упорядоченности нельзя отразить без использования аппарата теории векторных решеток (линейных полуупорядоченных пространств, в которых векторная и порядковая структуры определенным образом согласованы).

Теория таких пространств была развита, в основном, в 30-е годы XX века в работах Л. В. Канторовича.

Обратные задачи в полных по норме векторных решетках (банаховых решетках) и будут рассмотрены в настоящей диссертации. О точном решении априори будет предполагаться, что оно принадлежит некоторому компактному множеству М С 2.

Цель работы

Целью диссертации являются постановка обратной задачи в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения, - банаховых решетках, разработка математического аппарата для решения обратных задач на компактных множествах в банаховых решетках и оценки погрешности приближенных решений, изучение вопросов существования точных нижней и верхней граней (в смысле частичного порядка) множества приближенных решений, а также условий их сходимости к точному решению. К целям работы относится также применение методов оценки погрешности приближенных решений к задаче нахождения коэффициента параболического уравнения (на примере одной задачи из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза), к задаче определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей льда с использованием условия сохранения массы, а также к задаче восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне него.

Положения, выносимые на защиту

1) постановка обратной задачи в банаховых решетках, определение множества приближенных решений;

2) теорема о сходимости элементов множества приближенных решений к точному решению;

3) теорема существования точных нижней и верхней граней множества приближенных решений и их сходимости к точному решению;

4) применение методов оценки погрешности приближенного решения для обратных задач финансовой математики, гляциологии и магнетизма.

Научная новизна

Автором впервые рассмотрены обратные задачи в функциональных пространствах, наделенных отношением частичного порядка, - банахо-

вых решетках. Построено множество приближенных решений в случае, когда известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству. Построенное множество приближенных решений задается с использованием порядковой структуры пространства решений и по некоторым параметрам выгодно отличается от множеств приближенных решений, которые могут быть построены без использования информации о порядке. Доказана сходимость элементов построенного множества приближенных решений к точному. Кроме того, изучен вопрос о существовании точных верхней и нижней граней множества приближенных решений (в смысле частичного порядка) и их сходимости к точному. Эти точные грани могут рассматриваться как верхняя и нижняя оценки неизвестного точного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений. Этот способ описания погрешности приближенного решения в приложениях зачастую допускает более простую и естественную интерпретацию, нежели классическая оценка погрешности по норме.

С вычислительной точки зрения эти оценки во многих случаях могут быть получены весьма эффективно. Например, в случае, когда пространством решений является пространство Ьоо(П), где П - замкнутая ограниченная область в К", и неизвестное решение аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, эти оценки могут быть получены путем решения линейного по размерности пространства, аппроксимирующего пространство решений, числа задач линейного программирования. Таким образом, оценки могут быть найдены за полиномиальное время.

Практическая ценность

Разработанные методы могут быть применены при решении различных линейных обратных задач при наличии достаточного количества априорной информации. К числу возможных приложений относятся задачи томографии, обратные задачи астрофизики, обратные задачи геофизики, задачи науки о материалах, методы неразрушающего контроля, задачи обработки изображений и др.

Личный вклад автора

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ полученных результатов проводились под руководством профессора А. Г. Яголы. Постановка задачи определения толщины ледяного щита проводилась совместно с профессором Дж. Джонсоном из

Университета Монтаны, США. Постановка задачи нахождения коэффициента параболического уравнения на примере одной задачи из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза проводилась совместно с профессором X. Кубо из Университета Тохоку, Япония. Основное содержание диссертационной работы и ее результатов полностью отражено в восьми научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены на международной конференции "Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2011" в Вашингтоне, округ Колумбия, США, 28-31 августа 2011, на на международной конференции "The 8th Congress of the ISAAC" в Москве, 22-27 августа 2011 года, на первом симпозиуме по обратным задачам в рамках программы Висби в Гетеборге, Швеция, 2-3 июня 2011 года, на втором симпозиуме по обратным задачам в рамках программы Висби в Сунне, Швеция, 4 мая 2012 года, на научном семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им М. В. Ломоносова в Москве, 22 марта 2012 года, на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством А. В. Бакушин-ского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы в Москве, 25 апреля 2012 года и 13 февраля 2013 года, на научном семинаре кафедры прикладной математики факультета математики Университета Монтаны в Мизуле, Монтана, США, 4 сентября 2012 года, на коллоквиуме факультета математики Университета Монтаны в Мизуле, Монтана, США, 10 декабря 2012 года, на научном семинаре кафедры математики Физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в Москве, 13 февраля 2013 года.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [1-3], 2 статьи в сборниках трудов конференций [4,5] и 3 тезиса докладов на конференциях [6-8]. В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 3 статьи [1-3].

Структура работы

Диссертация написана на 95 страницах, состоит из титульного листа, оглавления, введения, четырех глав, заключения и списка литературы (98 наименований).

Краткое содержание работы

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ обсуждаются известные методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач. Предположим, что точное решение уравнения (1) г принадлежит компактному множеству М С Z. Пусть вместо точного оператора А и точной правой части и известны их приближения Ан и щ такие, что \\Аь - Л|| ^ /г, ||и - г^Ц ^ 6. Вектор ошибок обозначим т] = (Л, 5). Пусть хц € М - приближенное решение задачи (1), сходящееся к точному решению при т\ —¥ 0.

Как известно, в качестве приближенного решения гп можно выбрать любой элемент множества

гт, = {геМ:\\Анг~щ\\^Щ\г\\ + 8} (2)

либо множества

= {геМ-.\\Анг-щ\\^ЬС + 5}, (3)

где С = тахгея ЦгЦ. Очевидно, что И,, С Любой элемент компактного множества обладает свойством сходимости к точному решению 2. Значит,

сИат^? = тах \\z-i — —> \\г — г\\ = 0 17 ллегс

при т] —> 0. Таким образом, диаметры множеств (2) и (3) конечны для любого т] ф 0 и стремятся к нулю при ц 0. Кроме того, точное решение г принадлежит обоим этим множествам.

Определение 1 Множество 2арр(т]), принадлежащее пространству решений Я, называется множеством приближенных решений задачи (1), если

1) его диаметр конечен для любого Т] ф 0 и стремится к нулю при Т] —> 0;

2) точное решение 2 принадлежит Еарр(т)).

Таким образом, множества (2) и (3) являются множествами приближенных решений. Явным преимуществом множества (3) является его выпуклость, однако оно шире множества (2). При /1 = 0 эти множества, очевидно, совпадают. Рассмотрим функционал

¥>ч(*)= "и»* ,НС-*И. (4)

заданный на некотором множестве приближенных решений Еарр{т]). Очевидно, что эта величина конечна для любого т] ф 0 и стремится

к нулю при Т7 —5- 0. Кроме того, ||z - г|| < 4>v{z) ¿V^ любого z S Zapp{T]). Это позволяет интерпретировать ipv(z) как оценку погрешности приближенного решения z е Zapp(rj).

Утверждение 1 Пусть функционал ipv(z) задан на выпуклом множестве приближенных решений Zapp(r]) с Z. Тогда функционал <pv(z) является выпуклым.

Этот факт позволяет рассматривать решения, обладающие оптимальной оценкой погрешности:

z* е Arg min max ||С — «II-

Схема оценки погрешности на компакте используется для оценки погрешности приближенного решения в обратной задаче нахождения коэффициента параболического уравнения. Практической задачей, в которой возникает данная постановка, является задача определения неизвестной ожидаемой доходности акций в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза. В теории ценообразования опционов показано, что цена опциона и является решением следующей задачи для параболического уравнения с обратным временем:

1а2

щ + —х2ихх + ßxux -TU = 0, х > 0, t е (0, Т), ^

и(х, t)\t=T = (х- D)+ = max{0, х - D}, х>0,

где 0 < t < Т - время, 0 < х < оо - цена акций в момент времени t = 0, а > 0 волатильность акций, а /х - их ожидаемая доходность, г > 0 -безрисковая процентная ставка, a D - цена акций компании в момент времени Т (цена исполнения).

Фиксируем некоторую цену акций х* и будем рассматривать в качестве переменных цену исполнения D и срок исполнения Т. Цена опциона и = u(D,T) в новых переменных удовлетворяет уравнению Дюпира:

2

ur = —D2udd - pDuD - (г - р)и. (6)

Сделаем замену переменных у = г = Т —t > 0, U(y,r) =

u(D,T)/x*. В новых переменных мы получаем следующую задачу Копта для параболического уравнения:

Ut = yfyy- (у + ß^uv-(r-fj.)u, уеж,те (о, г*),

. U (у, 0) = (еу - 1)+ = maxie* - 1,0}, ye R.

Предположим, что er — const > 0, а ß = ¿t(y). Инвесторам необходимо знать ожидаемую доходность акций ß(y) = г + /(у), где /(у) -ожидаемая премия за риск, /(у) ^ 0. Однако на практике инвесторы могут наблюдать цены акций и опционов, но не могут наблюдать ß(y).

В момент времени t = 0, соответствующий значению т = т* — Т, инвесторы могут наблюдать цены опционов U с различными ценами исполнения у. Таким образом, известны значения функции U при т = т* на некотором интервале и С R:

U{y,T<) = Ut{y), у ей CK. (8)

Неизвестную премию за риск /(у) можно найти, решив решив обратную коэффициентную задачу для системы (7) с дополнительным "измерением" (8). В предположении, что точное решение положительно, ограничено, и удовлетворяет условию Липшица с заданной константой, можно также оценить погрешность приближенного решения, что и было сделано.

Также в главе 1 рассматриваются методы апостериорной оценки погрешности для истокопредставимых решений и схема апостериорной оценки погрешности A.C. Леонова.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ рассматривается постановка обратных задач в банаховых решетках. Объектом исследования, как и прежде, является уравнение (1). Пусть теперь пространства Z и U суть банаховы решетки, А £ L~(Z, U). Здесь L~(Z, U) - пространство регулярных операторов, действующих из Z в U. Также предположим инъективность А.

Приближенные данные данные в этой постановке задаются в виде некоторого коридора (в смысле частичного порядка в L~(Z, U) для оператора и в U для правой части). Точнее, heim известны верхняя и нижняя оценки оператора А и правой части и:

А1 ^ Л < Л", и1 < и ^ и".

Здесь А1 и Аи также являются регулярными операторами. Пусть uln £ U есть неубывающая (в смысле частичного порядка в U) последовательность нижних оценок правой части, u" £ U - невозрастающая последовательность верхних оценок правой части, и пусть — и|| —> 0, ||и£ — u|| —> 0. Пусть Aln е L~(Z, U) - неубывающая (в смысле частичного порядка в L~(Z, U)) последовательность нижних оценок оператора, Ап £ L~(Z, U) - невозрастающая последовательность верхних оценок оператора, и пусть ||Л(, — Л|| 0, ||Л£ — Л|| 0. Требуется построить при каждом фиксированном п приближенное решение zn £ Z, сходящееся к точному по норме Z при п —> оо.

Пусть известно априори, что точное решение z положительно и принадлежит компактному множеству М С X. В качестве множества приближенных решений предлагается выбрать следующее множество:

= Alz > ulJ. (9)

Легко показать, что точное решение z принадлежит этому множеству.

Теорема 1 При сделанных выше предположениях для любой последовательности элементов zn Е Zn имеет место сходимость zn —> z. Кроме того, выполнено предельное соотношение diam Zn = sup ||г - СИ -»■ 0.

Теорема 1 позволяет производить оценку погрешности приближенного решения zn е Zn. Действительно, величину

=max\K-zn\\ (Ю)

Ct-^n

можно интерпретировать как оценку погрешности приближенного решения zn, так как ||z - zn\\ < <p{zn) и cp(z„) 0 при п-Л оо для любого приближенного решения zn G Zn.

От требования положительности решения можно отказаться, заменив его требованием ограниченности снизу z ^ — а для некоторого а ^ 0. При этом в качестве множества приближенных решений нужно выбрать

ZI = {z G М: z > -a, Alnz + (А" - Лгп)а,

Alz^uln-(Al-Aln)a}. (И)

Выясняются также вопросы существования точных верхней и нижней граней (в смысле частичного порядка) введенного множества приближенных решений и их сходимости к точному решению.

Теорема 2 Пусть банахова решетка Z является К - пространством счетного типа, а также AM-пространством. Пусть М -положительное, ограниченное сверху компактное множество в Z. Пусть Z„ - множества приближенных решений, определенные в (9). Тогда существуют их точные грани sup Zn = z" и inf Zn = zln. Кроме того, имеет место сходимость z% —> z и zln —> z. Под сходимостью подразумевается сходимость по норме пространства Z.

Теорема 2 позволяет интерпретировать точные грани введенного множества приближенных решений как некий "коридор погрешности" в том смысле, что все возможные при имеющихся входных данных и априорной информации решения содержатся между zj и zu (соответствующие неравенства понимаются в смысле частичного порядка в Z). Очевидно, точное решение также заключено между элементами zi и zu, которые поэтому можно интерпретировать как нижнюю и верхнюю оценки неизвестного точного решения.

Во второй главе также обсуждается сложность вычисления оценки погрешности по норме, а также верхней и нижней оценок неизвестного решения в смысле частичного порядка в пространстве решений.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ метод построения верхней и нижней оценок решения, описанный в главе 2, применяется к задаче определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей. Для измерения толщины льда используются специальные радиоизмерительные приборы, устанавливаемые либо непосредственно на льду, либо на самолетах, которые совершают облет местности по определенным маршрутам и производят измерения глубины залегания подложки. Использование такого метода измерения приводит к тому, что получение данных о толщине льда требует больших затрат, и во многих регионах данные отсутствуют или имеют недостаточное разрешение. Поэтому возникает необходимость повысить разрешение этих данных, используя физические законы, которым лед подчиняется.

Часто в моделировании ледяного покрова пользуются понятием т.н. балансной толщины льда, т.е. толщины, рассчитанной исходя из закона сохранения массы льда в некотором объеме. В этом случае обеспечивается баланс между накопленным (аккумулированным за счет выпадения осадков либо утраченным за счет таяния) объемом льда в некоторой области и объемом льда, вытесненного из этой области. Закон сохранения массы выражается следующим уравнением:

(V,H(x,y)v(x,y)) = F(x,y), (12)

где v(x, у) - поле скоростей льда, F(x, у) описывает таяние льдов, выпадение осадков и т.д. Измерение скорости производятся со спутника с использованием некоторого количества контрольных точек на земле. Значения правой части измеряются погодными станциями.

Таким образом, для определения толщины льда у нас есть уравнение (12), а также измерения вдоль маршрутов движения самолетов. Мы получаем следующую задачу для функции Н(х, у):

(V, Н(х, y)v{x, у)) = F(x, у), (®, у) £ О

Н(х>У)\(х,у)ес = НоЬ*{х,у),

где Q - замкнутая ограниченная двумерная исследуемая область, С - кривая в П, описывающая маршруты полетов, v(x, у) — поле скоростей льда, F(х, у) описывает таяние льдов, выпадение осадков и т.д. H0bs(x, у) - измеренные значения толщины вдоль маршрутов самолетов. Нашей целью является определение толщины льда Н(х, у) вдали от маршрутов самолетов.

Предполагается, что имеется следующая априорная информация об искомом решении:

О ^ Н(х, у) ^ Нтах, |VH(x, у)| ^ L,

где Нтах - оценка сверху значений толщины льда, L - константа Липшица функции Н(х, у).

В гляциологии различные методы решения задач обычно проверяются на некоторых идеализированных стандартных задачах, которые собраны в т.н. проекте ISMIP-HOM. Задача ISMIP-HOM А, которая была решена описанным выше методом, описывает наклонную поверхность льда с синусоидальной подложкой. Шаг сетки в расчетах составлял примерно 1 км. Расстояние между линиями, вдоль которых производились измерения толщины с самолетов, составляло 4 км. Мы предположили, что входные данные имеют следующие погрешности:

у) = v{x, у) - 0.03\v{x, у)\, гР^х, у) = v[x, у) + 0.03 ¡/)|, Fl{x,y) = F(x,y)-0.01\F{x,y)\, Fu{x,y) = F(x,y) + 0.01\F(x,y)\, Hlobs{x, У) = Hobs(x, у) - 0.01 Hcbs{x, у), Щъ,{х, у) = Н0bs(x, у) + 0.01 Н^{х, у).

Кроме того, по входным данным мы оценили константы L и Нтах следующим образом:

L — 1.01 * max |Vffobs|, Нтах — 2 * max Hobs.

С использованием методов главы 2 были построены верхняя и нижняя поверхности, ограничивающие точное решение. На рисунке 1 показан срез двумерных поверхностей, ограничивающих точное решение (пунктирная линия), а также само точное решение (непрерывная линия).

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ рассматривается задача восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне его. Большинство современных кораблей имеют

Рис. 1. Срез двумерных поверхностей, ограничивающих точное решение (пунктирные линии), срез точного решения (непрерывная линия)

корпус из металлов, обладающих магнитным гистерезисом, т.е. способных приобретать остаточную намагниченность. Основной причиной намагничивания судна является магнитное поле Земли. Наличие остаточной намагниченности приводит к возникновению собственного магнитного поля корабля, которое может быть использовано для наведения торпед, мин и пр. Поэтому остаточная намагниченность является проблемой как для военных судов, так для гражданских, которые могут стать мишенями для террористов.

Избавиться от остаточной намагниченности судна можно путем размагничивания при помощи искусственных источников магнитного поля, размещаемых на корпусе корабля. Для этого необходимо знать текущее поле намагниченности. Найти параметры намагниченности можно, например, измерив магнитное поле вблизи корабля. Используя измеренные значения магнитного поля, можно восстановить параметры намагниченности, решив трехмерное уравнение Фредгольма первого рода для векторной функции.

Распределение намагниченности по кораблю связано с магнитным полем, которое создает корабль, следующим интегральным урав-

нением:

В(х1, у$, г5) = I К(х5, у3, г3, х, у, г)М(х, у, г)йу (14)

'51

v

где

К (х5,у8,г

п 3(х-х.)2-г2 3(х-1,)(у-у,) 3{х-х,)(г-г.)

^ яГ,1-„.)*-г* ЯГч-и.)Г*-г.)

(15)

(х,у,г) - координаты точек, расположенных внутри объема корабля V, {хз,Уи — координаты сенсоров (в этих точках производятся измерения магнитного поля), г = \]{х - х5)2 + {у — у3)2 + {г — г$)2. Сенсоры расположены в некоторой замкнутой ограниченной области 5 вне корабля.

Из-за волнения на море значения ядра К(х5, ув, г$, х, у, г) содержат ошибки, которые и задают верхнюю и нижнюю оценки интегрального оператора. Априорная информация о решении состоит из ограничения на модуль неизвестного решения, а также из его константы Липшица.

Методами главы 2 были построены верхняя и нижняя оценки неизвестного точного решения. Задача нахождения оценок допускает эффективное распараллеливание, поэтому для ее решения были использованы параллельные вычисления. Тестовые расчеты были выполнены с использованием Суперкомпьютерного комплекса Московского Университета (суперкомпьютер "Ломоносов"; суперкомпьютер СКИФ МГУ "Чебышёв").

Рассмотрим модельный пример. Пусть точное решение, которое требуется восстановить, есть

Расчеты велись по данным измерений вМ = 100 точках, восстанавливались значения намагниченности в N = 80 точках, что соответствует 240 неизвестным и 300 уравнениям. В качестве априорного ограничения на модуль неизвестного решения использовалось значение а = 3, константа Липшица Ь = 10.

Мг(х, у, г) = 0.5 - 60(х - 0.15)2 ■ (х - 0.85)2 - {у - 0.3)2 -

М2(х, у, г) = -2 + 4х2 + (у - I)2 + (г - 0.5)2,

Мъ(х, у, г) = -1 + Ю(х - 0.5)2 - {у - 0.5)2 -{г- 0.3)2.

3 2

-41-1-1-.-.-

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 2. Срез точного решения М\ (сплошная линия), его верхняя и нижняя оценки (пунктир).

По точному решению вычислим точную правую часть. Предположим, что вместо этой точной правой части нам известны лишь ее поточечные оценки сверху и снизу. Верхняя и нижняя оценки правой части отличались от точной на 0,01%. Величины Да;, Ду и Аг, определяющие ошибку в операторе, составляли 0,01% от характерных размеров рассматриваемой области.

Срезы функций М1(х,у,г), М2(х, у, г) и М3(х,у,г) (точного решения), сделанные вдоль оси х при у = 0, г = 1, показаны на рисунках 2, 3 и 4. Там же показаны вычисленные значения их верхних и нижних оценок - функций М"(х, у, г) и М-(х, у, г), г = 1,2,3.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приведены основные полученные результаты:

1. постановка обратной задачи в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения, - банаховых решетках,

2. разработка математического аппарата для решения обратных задач на компактных множествах в банаховых решетках и оценки погрешности приближенных решений,

3. доказательство существования точных нижней и верхней граней (в смысле частичного порядка) множества приближенных решений,

Рис. 3. Срез точного решения М2 (сплошная линия), его верхняя и нижняя оценки (пунктир).

Рис. 4. Срез точного решения Мъ (сплошная линия), его верхняя и нижняя оценки (пунктир).

а также их сходимости к точному решению,

4. применение разработанных методов оценки погрешности приближенных решений к задаче определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей льда с использованием условия сохранения массы, а также к задаче восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне него.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

[1] Королев Ю.М., Ягола А. Г. Оценка погрешности в линейных некорректных задачах с априорной информацией // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 14-18.

[2] Korolev Y., Kubo H., Yagola A. Parameter identification problem for a parabolic equation — application to the Black—Scholes option pricing model // Journal of Inverse and Ill-Posed, Problems. 2012. Vol. 20, no. 3. P. 327-337.

[3] Korolev Y., Yagola A. On inverse problems in partially ordered spaces with a priori information // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. Vol. 20, no. 4. P. 567-573.

Публикации в других научных изданиях:

[4] Yagola A., Korolev Y. Error estimations in linear inverse problems in ordered spaces // Progress in Analysis. Proceedings of the 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computations / Peoples' Friendship University of Russia. Moscow: 2012. P. 60-68.

[5] Yagola A., Korolev Y. Error estimation in linear inverse problems with a priori information // Proceedings of the ASME 2011 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2011, August 28-31, 2011, Washington, DC, USA / ASME. Vol. DETC2011-4. Washington, DC: 2011. P. 1-6.

[6] Yagola A., Korolev Y. Error estimation in linear inverse problems in ordered spaces // Abstracts. 8th International ISAAC Congress. Moscow, August 22-27,2011 / Peoples' Friendship University of Russia. Moscow: 2011. P. 312.

[7] Yagola A., Korolev Y. A posteriori error estimations in linear ill-posed problems // PROGRAM OF THE FIRST ANNUAL WORKSHOP ON INVERSE PROBLEMS, 2-3 June 2011, Gœteborg, Sweden / Chalmers University of Technology, Gœteborg University. Gœteborg: 2011. P. 3.

i<fl

[8] Yagola A., Korolev Y. Error estimations for ill-posed problems in Banach lattices // PROGRAM OF THE SECOND ANNUAL WORKSHOP ON INVERSE PROBLEMS, 2-6 May 2012, Sunne, Sweden / Chalmers University of Technology, Gceteborg University. Gosteborg: 2012. P. 3.

Подписано к печати 0 3, А 3 Тнрпж ЛСО Заказ 4-2

Отпечатано в отделе оперзггнвноГс печати физического факультета МГУ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова физический факультет, кафедра математики

На правах рукописи

04201354973

Королев Юрий Михайлович

Методы оценивания погрешности решения некорректных задач на компактах в банаховых

решетках

Специальность 01.01.03: Математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор А. Г. Ягола

Москва — 2013

Содержание

Введение............................................................................................................................................4

1 Существующие методы оценки погрешности приближенных решений некорректных задач............................................................................................17

1.1 Оценка погрешности на компактных множествах........................17

1.2 Оценка погрешности для истокопредставимых решений ... 22

1.3 Схема апостериорной оценки погрешности A.C. Леонова .. 24

1.4 Задача нахождения коэффициента в параболическом уравнении - пример из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза....................................................................................................................................26

1.4.1 Постановка задачи......................................................................................27

1.4.2 Решение прямой задачи........................................................................28

1.4.3 Обратная задача............................................................................................30

1.4.4 Пример ..................................................................................................................31

2 Обратные задачи на компактах в банаховых решетках......................34

2.1 Введение. Некоторые сведения о векторных решетках............34

2.2 Постановка обратных задач в банаховых решетках. Сходимость приближенных решений........................................................................37

2.3 О вычислении оценки погрешности на введенном множестве приближенных решений............................................................................43

2.4 Нижняя и верхняя оценки приближенного решения................49

2.5 Пример....................................................................................................................................53

3 Задача об определении толщины ледяного щита......................................56

3.1 Введение................................................................................................................................56

3.2 Вычисление нижнего и верхнего операторов....................................58

3.3 Численный эксперимент........................................................................................65

4 Задача о восстановлении параметров намагниченности корабля 68 4.1 Постановка задачи ......................................................................................................68

4.2 Вычисление верхнего и нижнего операторов....................................71

4.3 Программная реализация ....................................................................................73

4.4 Пример расчета..............................................................................................................76

Заключение....................................................................................................................................83

Список литературы................................................................................................................85

Введение

Актуальность темы Многие практически важные задачи могут быть записаны в виде операторного уравнения

Ах = и, (0.1)

где z^Z,u^U1A:Z->U - линейный ограниченный инъективный оператор, Z и II - линейные нормированные пространства. Согласно определению, данному Ж. Адамаром [1], задача (0.1) называется корректно поставленной, если для любый входных данных А, и из некоторого класса ее решение существует, единственно, и малые изменения в правой части и и операторе А влекут малые изменения в решении.

Многие практически важные задачи не являются корректно поставленными, в частности, зачастую решение не зависит непрерывно от входных данных задачи. Для решения таких задач нельзя применять стандартные методы, и в середине XX века стали разрабатываться специальные методы. Основополагающими работами по теории некорректно поставленных задач являются работы А.Н. Тихонова [2-7], В.К. Иванова [8-11], М.М. Лаврентьева [12,13]. Теория некоректных задач активно развивалась и развивается как в нашей стране, так и за рубежом. Некоторые результаты представлены в [14-43].

Впервые подход к решению некорректных задач был предложен академиком А.Н. Тихоновым в работах [2, 3] и основывается на понятии регуляризующего алгоритма. Предположим, что вместо точных входных данных (А, и), А € Ь^, II) нам известны лишь приближенные данные (Л/г, и,5), Аь £ и), а также мера близости приближенных и точных данных К ^ 0 и 6 > 0: \\АН- А\\ ^ к, Цг^ — ^ 6. Обозначим вектор погрешностей входных данных ту = (/г, 6). Обозначим через 2 точное решение задачи (0.1) .

Определение 0.1 Оператор R: L(Z, U) xU хЩ_ —» Z называется pe-гуляризующим алгоритмом, если R(Ah,us,h,6) = zn —> z при г] = (h,S) —> 0 для любых точных данных (А, и) из некоторого "допустимого" класса.

Таким образом, регуляризующий алгоритм ставит в соответствие любым допустимым приближенным данным (Ah,us):i значению погрешности Г] некий элемент zv Е Z, который стремится к точному при 77 —> 0. Регуляризующие алгоритмы существуют во многих важных случаях. Например, если Z и U суть гильбертовы пространства, регуляризующий алгоритм для задачи (0.1) существует [31].

Если регуляризующий алгоритм R для некоторой задачи существует, то он не является единственным. Действительно, любой оператор R, такой что R{Ah,us,h,5) = R(Ah,U5,h,6) • (1 + const ■ 6), также является регуляризующим алгоритмом. Заметим, что регуляризущих алгоритмов, не зависящих явно от погрешности входных данных, для некорректных задач не существует [44].

Рассмотрим функционал А.Н. Тихонова

Ma(z) = \\Ahz-u5\\2u + a\\z\\2z. (0.2)

Он является сильно выпуклым Va > 0, если Z - гильбертово пространство (как сумма сильно выпуклого функционала a||z||| и выпуклого функционала \\AhZ — щ\\ц). Следовательно, он достигает глобального минимума (на любом выпуклом замкнутом множестве) в единственной точке Этот элемент рассматривается в качестве приближенного решения задачи (0.1). Если параметр регуляризации а выбран надлежащим образом, это решение сходится к точному при 7] —>■ 0.

Существуют различные способы выбора параметра регуляризации а [31] (обобщенный принцип невязки и др.). Заметим, что выбор параметра регуляризации, не зависящий явно от погрешности 77, невоз-

можен [45]. Подробнее останавливаться на вопросах выбора параметра регуляризации а мы здесь не будем.

При решении некорректно поставленных задач крайне важно использовать всю дополнительную априорную информацию о решении. Пусть нам известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству М С Z. В этом случае возможно построение специальных регуляризующих алгоритмов. Например, В.К. Иванов в работе [8] предложил использовать в этом случае т.н. квазирешения. Для задачи (0.1) квазирешение определятся как

zq = argmin{||A2 - : * 6 М С Z}.

Наряду с квазирешениями, также используются г]-квазирешения. Элемент zv Е М называется 77-квазирешением, если для него выполнено соотношение

I\Ahzv - щ\\ ^ <5 + h\\zv\\.

В монографии [31] было показано, что lim \\zn — z|| = 0, т.е. метод квазирешений является регуляризующим алгоритмом.

На практике, помимо нахождения приближенного решения, сходящегося к точному, требуется также оценивать точность приближения. К сожалению, в общем случае оценить погрешность приближенного решения некорректной задачи нельзя. Предположим для простоты, что оператор известен точно (т.е. Ah = Л). Ошибка приближенного решения zs есть функция ошибки входных данных, а также, возможно, точного решения z:

pi-*KCV(M), (0-3)

где константа С не зависит от z и Ö. Оценки такого вида называются точечными. Ввиду того, что точное решение z неизвестно, большее значение имеют т.н. равномерные оценки, где <р = (р(6) не зависит от z.

Пусть R(us, 6) - некоторый регуляризующий алгоритм для задачи (0.1). Обозначим оценку погрешности для метода R в точке z

Л (Д,М)= sup \\R(us,S)-z\\.

щ: ||uj-u||^5

Пусть V С Z - некоторое множество априорных ограничений (возможно, совпадающее с Z). Оказывается, что если отображение R непрерывно и существует равномерная на множестве V оценка погрешности

sup A(R, 6, z) ^ <р(6) 0,

zeV

то сужение оператора А'1 на множество AV С U непрерывно на AV С U [31,46]. Таким образом, невозможно построить оценку погрешности решения на всем пространстве Z. Однако если множество априорных ограничений V есть компакт, то оператор Л-1, определенный на AV, непрерывен, и оценка погрешности может быть найдена.

Общая идея построения оценки погрешности приближенного решения состоит в нахождении некоторого множества, диаметр которого конечен при 7] Ф 0 и стремится к нулю при TJ —>■ 0, и которому заведомо принадлежит точное решение. Такое множество называется множеством приближенных решений. Обозначим его Zapv(rf). Пусть приближенное решение zv также принадлежит множеству Zapp(r]). В этом случае, очевидно, выполнено неравенство

\\Zrj ~ z\\ ^ (p{zv,rj) = sup ||^-z||<00. (0.4)

z£Zapp(T/)

Здесь zv £ Zapp(r]) - приближенное решение, погрешность которого требуется оценить. Так как при 77 —> 0 диаметр Zapp(r]) стремится к нулю, lim^o vizri, v) = 0, и величина </9(2^,77) интерпретируется как оценка погрешности приближенного решения zv.

В некоторых случаях, когда априорной информации для построения множества приближенных решений с указанными свойствами недостаточно, иногда все же удается построить множество, диаметр которого

стремится к нулю при при Г] —» 0, но которому точное решение принадлежит лишь при достаточно малой погрешности: Ц77Ц ^ 7]0, где г)0 зависит от неизвестного точного решения. Если а таком множестве построить оценку, аналогичную (0.4), то эта величина действительно будет оценкой погрешности лишь при достаточно малых г). Такая оценка погрешности называется апостериорной.

Множество приближенных решений может быть построено различными способами. Различные множества приближенных решений, построенные для одной и той же физической задачи, могут отличаться свойствами выпуклости, типом задающих их ограничений; в некоторых случаях удается установить вложенность одного множества в другое. Естественно, желательно выбирать множества приближенных решений, которые были бы по возможности "уже", чтобы получающаяся оценка погрешности была меньше. Кроме того, от вида множества приближенных решений зависит сложность вычисления самой оценки погрешности (0.4). Все это стоит учитывать при постановке задачи. Выбор функциональных пространств также является весьма существенным. Чаще всего, в качестве пространства решений выбирают гильбертовы (1/2, И^1 и др.) или рефлексивные банаховы пространства (Ьр, р > 1 и др.). Это обеспечивает существование регуляризующих алгоритмов. Выбор пространства и зачастую существенным не является, можно, например, в качестве и выбрать пространство непрерывных функций С. Множество приближенных решений обычно задается какими-либо нелинейными ограничениями по норме соответствующих пространств. Погрешность понимается также как некоторая величина, ограничивающая сверху норму разности между приближенным и точным решениями.

Однако зачастую в приложениях оказываются важными понятия положительности, неравенства. Эту информацию о частичной упорядоченности нельзя отразить без использования аппарата теории векторных

решеток (линейных полуупорядоченных пространств, в которых векторная и порядковая структуры определенным образом согласованы). Теория таких пространств была развита, в основном, в 30-е годы XX века в работах Л. В. Канторовича [47-50].

Вещественное векторное пространство X называется векторной решеткой, если X является одновременно частично упорядоченным множеством, в котором для любых двух элементов х, у (Е X существуют их супремум х Vу и инфимум хАу, причем выполнены следующие условия согласования алгебраических операций и порядка:

1) для любого z £ X из х ^ у вытекает х + z ^ у + z\

2) если х ^ 0 и Л ^ 0, Л 6 М, то Хх ^ 0.

Для любого х £ X элемент х+ = ж V 0 называется его положительной частью, элемент = (—ж) V 0 = (—х)+ - его отрицательной частью, а элемент |ж| = х+ + - его модулем.

Очевидно, что в векторной решетке существуют супремум и инфимум любого конечного числа элементов. Важным свойством векторной решетки является существование в ней точных граней у бесконечных (счетных или несчетных) множеств. Полной векторной решеткой (или К - пространством) называется векторная решетка, в которой всякое ограниченное сверху множество имеет супремум. Если же для любого ограниченного сверху множества А С X существует счетное подмножество А' С А такое, что sup А = sup А', то векторная решетка X называется К - пространством счетного типа.

Многие функциональные пространства могут быть наделены как нормой, так и отношением частичного порядка. Важным является вопрос согласования нормы и порядка. Норма || • || на векторной решетке X называется монотонной, если из \х\ ^ \у\ вытекает, что ||ж|| ^ ||г/||. Нормированной решеткой называется векторная решетка, снабженная

монотонной нормой. Полная по норме векторная решетка называется банаховой решеткой.

Обратные задачи в полных по норме векторных решетках (банаховых решетках) и будут рассмотрены в настоящей диссертации. Наличие более богатой по сравнению с обычным нормированным пространством структуры в банаховой решетке требует несколько по-новому сформулировать обратную задачу. Однако наличие упорядочения позволяет построить множество приближенных решений, обладающее рядом достоинств по сравнению с множествами приближенных решений, которые могут быть построены, опираясь только на понятие нормы. Во-первых, это множество приближенных решений является выпуклым, в т.ч., в случае неточно заданного оператора. Во-вторых, ограничения, задающие это множество, являются линейными, что позволяет (по крайней мере, в некоторых случаях) более эффективно решать задачу вычисления оценки погрешности. В-третьих, это множество приближенных решений обычно уже аналогичного множества, использующего нелинейные ограничения по норме (при тех же входных данных).

Кроме того, в некоторых случаях можно построить точную нижнюю и верхнюю грани множества приближенных решений (используя порядковую полноту пространства приближенных решений), обладающие свойством сходимости по норме к точному решению. Это позволяет по-новому взглянуть на оценку погрешности приближенного решения. Вместо некоторой величины, ограничивающей норму разности между точным и приближенным решениями, мы получаем два элемента пространства решений, задающих некоторый "коридор" в смысле частичного порядка в пространстве решений, гарантированно содержащий в себе точное решение. Такая оценка погрешности зачастую допускает более естественную интерпретацию и может оказаться более полезной на практике.

Цель работы Целью диссертации являются

• постановка обратной задачи в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения, - банаховых решетках,

• разработка математического аппарата для решения обратных задач на компактных множествах в банаховых решетках и оценки погрешности приближенных решений,

• изучение вопросов существования точных нижней и верхней граней (в смысле частичного порядка) множества приближенных решений, а также условий их сходимости к точному решению,

• применение методов оценки погрешности приближенных решений к задачам:

1) нахождения коэффициента параболического уравнения на примере одной задачи из теории ценообразования опционов Блэка-Шоулза;

2) определения толщины ледяного щита по измерениям поля скоростей льда с использованием условия сохранения массы;

3) восстановления параметров намагниченности корабля по измеренным значениям магнитного поля вне него.

В работе используются методы функционального анализа, теории некорректно поставленных задач, теории поллупорядоченных пространств, выпуклого анализа, математического программирования. Положения, выносимые на защиту

1) постановка обратной задачи в банаховых решетках, определение множества приближенных решений;

2) теорема о сходимости элементов множества приближенных решений к точному решению;

3) теорема существования точных нижней и верхней граней множества приближенных решений и их сходимости к точному решению;

4) применение методов оценки погрешности приближенного решения для обратных задач финансовой математики, гляциологии и магнетизма.

Личный вклад автора Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ полученных результатов проводились под руководством профессора А. Г. Яголы. Постановка задачи определения толщины ледяного щита проводилась совместно с профессором Дж. Джонсоном из Университета Монтаны, США. Научная новизна и практическая значимость Автором впервые рассмотрены обратные задачи в функциональных пространствах, наделенных отношением частичного порядка, - банаховых решетках. Построено множество приближенных решений в случае, когда известно априори, что точное решение принадлежит компактному множеству. Построенное множество приближенных решений задается с использованием порядковой структуры пространства решений и по некоторым параметрам выгодно отличается от множеств приближенных решений, которые могут быть построены �