Метод орбит в задачах квантовой статистической механики и интегрирование квантовых уравнений на группах Ли тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Вводные сведения из теории К—орбит

1 Структура орбит коприсоединенного представления

2 Канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления и А-представление алгебр Ли.

3 Спектры операторов Казимира и классификация однородных пространств.

4 Гармонический анализ на группах Ли.

2 Применение метода орбит к классификации однородных пространств и интегрированию дифференциальных уравнений на группах Ли 46

5 Классификация 4-мерных однородных пространств с группой преобразований Пуанкаре и де Ситтера,.

6 Интегрирование квантовых уравнений на группах Ли

7 Интегрирование квантового асимметричного ротатора и его квазиклассический спектр.

3 Интегрирование уравнения Клейна-Фока на четырехмерных группах Ли и задачи квантовой статистической механики

8 Космологические модели на четырехмерных группах Ли с ле-воинвариантными римановыми метриками.

8.1 Классификация решений уравнения Эйнштейна на многообразиях четырехмерных групп Ли.

9 Интегрирование уравнения Клейна-Фока в пространствах Эйнштейна на четырехмерных группах Ли.

10 Термодинамика некомпактных унимодулярных групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками и перенормировка тензора энергии-импульса.

11 Высокотемпературная асимптотика матрицы плотности на некомпактных унимодулярных группах Ли.

В современной теоретической физике перед исследователем встает ряд задач, решение которых требует построения точного решения линейного дифференциального уравнения. К таким задачам относятся: интегрирование классических и квантовых гамильтоновых систем, задачи квантовой статистической механики, задачи квантовой теории поля в искривленных пространствах.

В настоящее время основным методом решения линейных дифференциальных уравнений является метод разделения переменных (см. [1] и цитированную там литературу), применяющийся в том случае, когда оператор уравнения допускает определенный набор коммутирующих операторов симметрии. Метод разделения переменных окончательно сложился в работах В.Н. Шаповалова [2], [3], [4], сформулировавшего необходимое и достаточное условие для разделения переменных.

Задачи, требующие для своего решения интегрирования дифференциальных уравнений, которые рассматриваются в настоящей работе, условно можно разделить на два типа.

К первому типу задач относятся интегрирование класических и квантовых гамильтоновых систем, интегрирование уравнения Клейна-Фока и другие, когда задачу в принципе можно решить методом разделения переменных и построить базис решений, найдя полный коммутативный набор операторов. Однако, если задача не допускает разделения переменных, то решение ее сталкивается с непреодолимыми трудностями. Кроме этого, в случае, если рассматриваемое в задаче пространство не покрывается одной картой, возникает сложная задача построения решений в разных картах и последующей сшивки решений в областях перекрытия карт атласа.

Ко второму типу отнесем задачи квантовой теории поля в искривленных пространствах, в частности, пятимерное уравение Шредингера, возникающее при отыскании функции Грина [9], построение матрицы плотности [8], то есть задачи с начальным условием. К приведенным выше трудностям в этом случае следует добавить проблему формирования из функций базиса решения, удовлетворяющего поставленным начальным условиям.

Возможна ситуация, когда оператор задачи допускает некоммутативный набор операторов симметрии. Тогда при его решении удобно воспользоваться построенным на основе теории орбит методом некоммутативного интегрирования, изложенным в [5], [6], [7].

Это позволяет считать актуальной проблему разработки новых методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений, возникающих в физических задачах, отмеченных выше. Построение метода, позволяющего эффективно решать указанные задачи и является целью настоящей работы.

Построенный в работе на основе метода орбит коприсоединенного представления метод интегрирования позволяет избежать перечисленных трудностей, поскольку решение задачи в рамках его строится глобально на всем пространстве и не возникает проблемы сшивки, так как вместо рассмотрения исходного пространства, задача переносится на орбиту коприсоединенного представления, обладающую значительно более простой геометрией и топологией.

Разработанный метод интегрирования также позволяет осуществлять поиск решений, изначально удовлетворяющих поставленным начальным условиям. Оказалось, что этот метод возможно удачно применить к квазиклассическим задачам в силу того, что поиск решения с его помощью в рамках квазиклассического приближения не ведет к потере симметрий исходной задачи [24].

Метод интегрирования, развитый в настоящей работе, был применен к задачам квантовой статистической механики (термодинамики однородных пространств). Отметим, что в математической литературе изучается термодинамика либо компактных многообразий, либо некомпактных многообразий с ограниченным объемом. В этом отношении следует упомянуть работы [10], [11], [12], [13]. Известно, что не существует алгоритма, позволяющего выделить в статистической сумме для некомпактных многообразий во множитель объем многообразия для того, чтобы перейти к существенно конечной удельной (на единицу объема) статистической сумме. Метод орбит позволил обойти эту трудность и строить решения основной задачи квантовой статистической механики на некомпактных многообразиях.

Основным преимуществом построенного в работе метода интегрирования является то, что при решении задачи с его помощью осуществляется переход в некоторое дуальное исходному пространство, в котором задача редуцируется к уравнению с меньшим числом независимых переменных.

Разработанный метод интегрирования оказывается также тесно связан с теорией геометрического квантования, теорией представлений и теорией гармонического анализа на группах Ли и однородных пространствах.

Настоящая работа посвящена построению методов решения линейных дифференциальных уравнений и решению ряда актуальных задач математической физики, в частности: точного и квазиклассического интегрирования квантовых гамильтоновых систем, построения матрицы плотности на некомпактных группах Ли и исследования ее квазиклассических и высокотемпературных асимптотик, а также задачи о перенормировке лагранжиана в квантовой теории поля в искривленных пространствах.

Диссертация объемом 107 страниц машинописного текста состоит из введения, трех глав, 11 параграфов, заключения и списка цитируемой литературы из 108 наименований.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Найдены в явном виде все тождества на однородных пространствах произвольной размерности с группой преобразований Пуанкаре и де Ситтера. В качестве примера приведены тождества для четырехмерных однородных пространств.

2. Разработан метод интегрирования квантовых уравнений на группах Ли, связанных с классическими и квантовыми гамильтоновыми системами. Построена классификация пространств Эйнштейна на четырехмерных группах Ли с левоинвариантными метриками и показана интегрируемость соответствующего уравнения Клейна-Фока на этих пространствах.

3. При помощи предложенного метода интегрирования квантовых уравнений на группах Ли построено квазиклассическое приближение, сохраняющее симметрии исходного квантового уравнения и решена задача о нахождении квазиклассического спектра асимметричного волчка.

4. Рассмотрена основная задача термодинамики однородных пространств и предложен основанный на методе орбит способ нахождения матрицы плотности и статистической суммы на некомпактных унимодулярных группах Ли, а также функции Грина в квантовой теории поля в искривленных пространствах.

5. Была исследована высокотемпературная асимптотика матрицы плотности и статистической суммы на многообразиях некомпактных уни-модулярных групп Ли.

Я хочу выразить искреннюю благодарность моему учителю И.В. Широкову, который вдохновлял меня в процессе написания настоящей диссертации и без чьей всесторонней поддержки она бы не состоялась. Также приношу свою благодарность другу и коллеге С.П. Барановскому за горячее и доброжелательное участие в дискуссиях и плодотворное сотрудничество.

1. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. —М.: Мир, 1981. — 342 с.

2. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка. 1.// Изв. вузов. Физика. 1978. № 5. С. 116-132.

3. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка. 2.// Изв. вузов. Физика. 1978. № 6. С. 7-10.

4. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка.// Дифференциальные уравнения. 1980 Т. 16. № 10. С. 1864-1874.

5. Шаповалов А. В., Широков И. В. Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная редукция.// ТМФ. 1996. Т. 106. № 1. С. 3-15.

6. Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений. // ТМФ. 1995. Т. 104. № 2. С. 195-213.

7. Широков И. В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Препринт. Омск: ОмГУ, 1998, - 90 с.

8. Харт H. Геометрическое квантование в действии. —М.: Наука, 1984. 343 с.

9. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепапенко В.М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях.—М.: Энергоатомиздат, 1988. — 288 с.

10. Emparan R. Heat kernels and thermodynamics at Rindler space.// Phys.Rev. 1995. V. D51. P. 5716-5719.

11. Shtykov N., Vassilevich D. V. The heat kernel for deformed spheres.//J.Phys. 1995. V. A28. L37-L44.

12. Bordag M., Kirsten K. Heat kernel coefficients of Laplace operator on the 3-dimensional ball. arXiv:hep-th/9501064 (1995).

13. Bordag M.; Elizalde E., Kirsten K. Heat kernel coefficients of Laplace operator on the D-dimensional ball. // J.Math.Phys. 1996. V.37. P. 895916.

14. Darboux G. j/ Leçons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. V. 3.— Paris: Gauthier-Villar, 1891.

15. Широков И. В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли.// ТМФ. 2000. Т. 123. № 3. С. 407-423.

16. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. -М.: Наука. 1978, -344 с.

17. Kostant В. Quantzation and Unitary Representations. I. Prequantization. In: Lectures in Modern Analysis and Applications, III. Ed. С. T. Taam. Berlin: Springer-Verlag, 1970. P. 87-208.

18. Широков И. В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах. // ТМФ. 2001. Т. 126. № 3. С. 393-408.

19. Барановский С. П., Михеев В. В., Широков И. В. К-орбиты, тождества и классификация четырехмерных однородных пространств с группойпреобразований Пуанкаре и де Ситтера. // Известия вузов. Физика. 2001. № 11. С. 72-85.

20. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. -М.: Изд-во МГУ. 1988. 413 с.

21. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. —М.: Факториал, 1995, -448 с.

22. Трофимов В. В. Уравнения Эйлера на борелевских подалгебрах полупростых алгебр Ли. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. № 3. С. 714-732.

23. Baranovsky S. P., Mikheyev V. V., Shirokov I. V. Quantum hamiltonian systems on K-orbits. In: proceedings of XIII International Summer School "Recent Problems in Physics". -Kazan: KSU. 2001. P. 225-235.

24. Барановский С. П., Михеев В. В., Широков И. В. Квантовые гамиль-тоновы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр квантового асимметрического ротатора. // ТМФ. 2001. Т.199. № 1. С. 3-14.

25. Михеев В. В. Построение космологической модели на четырехмерной группе Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой / / Вестник Омского Университета. 2001. вып. 4. С. 20-22.

26. Барановский С. П., Михеев В. В., Широков И. В. Интегрирование уравнения Клейна-Фока на четырехмерных группах Ли.// Известия вузов. Физика 2002. №11. С. 3-14.

27. Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н.(мл) Введение в квантовую статистическую механику. —М.: Наука, 1984, —348 с.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая механика. —М.: Наука, 1976, —584 с.

29. Косыгин Д.В., Минасов А.А., Синай Я.Г. Статистические свойства спектров опрератора Лапласа-Бельтрами на поверхностях Лиувил-ля.//УМН. 1993. Т. 48, вып. 4. С. 292.

30. Лазуткин В.Ф. Квазиклассическая асимптотика собственных функций. Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники). Т. 34 -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. С. 135-174.

31. Рогов В.-Б. К. Собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа на однородных псевдоримановых симметрических пространствах ранга 1. // Матем. сборник. 1993. Vol.183. № 3. С. 99-132.

32. Neupane LP. Effective lagrangian from higher curvature terms. Absence of vDVZ discontinuity in AdS space. // Class.Quant.Grav. 2002. V.19. P. 1167-1184.

33. Kirsten K., Cognola G., Vanza L. Effective lagrangian for self-interacting scalar field in curved spacetime. // Phys.Rev. 1993. V. D48. P. 2813-2822.

34. Kirsten K. Spectral functions in mathematics and physics. In: AIP Conference Proceedings 484. Edited by H. Falomir, R.E. Gamboa Saravi and F.A. Schaposnik. P. 106.

35. Михеев В. В. О высокотемпературном приближении матрицы плотности и статистической суммы на некомпактных унимодулярных группах Ли. // Вестник Омского Университета. 2002. вып. 3. С. 30-32.

36. Dobado A., Lopez A. Some consequences of effective low-energy lagrangian for gravity. // Class.Quant.Grav. 2002. V.19. P. 1167-1184.

37. Burgess C.P. An ode to effective lagrangian. arXiv:hep-th/9812470 (1998).

38. Борзое В. В. Высокотемпературная асимптотика статсуммы Р(<р)г в евклидовой теории поля. // ТМФ. 1988. Т.76, №3, С. 328-338.

39. Esposito G. Asymptotic heat kernels in quantum field theory. In: Problems on High Energy Physics and Field Theory, Proceedings of the XVII

40. Workshop, Dedicated to the 140th Anniversary of Henri Poincare. Protvino: IHEP Pub. 1995. P. 127-134.

41. A arts G. Spectral function at high temperature in the classical approximation.//Phys.Lett. 2001 V. B518. P. 315-322.

42. Souriau J. M. Structure de systemes dinamique. Maitrises de Mathematique. Dunod. Paris, 1970, —414 p.

43. Трофимов В. В. Канонические координаты на орбитах коприсоединен-ного представления тензорных расширений групп Ли. // УМН. 1994. Т. 49. вып. 1. С. 229-231.

44. Kupershmidt В.A., Stoyanov O.S. Coadjoint Poisson actions of Poisson-Lie groups. //J. Nonlinear Math. Phys. 1999. V.6. № 3. P. 344-354.

45. Берзин Д.В. Инварианты коприсоединенного представления для алгебр Ли некоторого специального вида.// УМН, 1996, Т. 51, вып. 1. С. 141-143.

46. Боярский А.Б., Скрыпник Т.В. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления евклидовых групп.// УМН, 2000, Т. 55, вып. 3. С. 169-171.

47. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. -М.: Изд-во МГУ, 1989, -359 с.

48. Adams M.R., Hamad J., Hurtubise J. Darboux coordinates on coadjoint orbits of Lie algebras. // Lett.Math.Phys. 1997. V. 40. P. 41-57.

49. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. —М.: Мир, 1978.

50. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. —М.: Наука, 1983. 360 с.

51. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф.Т Шаповалов А.В., Широков И.В. Тождества на решениях волнового уравнения в обертывающей алгебре конформной группы. // ТМФ. 1990. Т. 83. № 1. С. 14-22.

52. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т. 1. —Бишкек: Айнштайн, 1997. — 455 с. Т. 2. —Бишкек: Айнштайн, 1997, 395 с.

53. Рид М.; Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. -М.: Мир. 1978. — 396 с.

54. Spradlin М., Strominger A., Volovich A. Les Houches Lectures on De Sitter Space. arXiv:hep-th/0110007 (2001).

55. Hull CM. De Sitter Space in Supergravity and M Theory. // JHEP. 2001. V. 0111. P. 012.

56. Bros J.T Epstein H., Moschella U. Towards a General Theory of Quantized Fields on the Anti-de Sitter Space-Time. arXiv:hep-th/0111255 (2001).

57. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. —Киев: Наук. Думка, 1991. 304 С.

58. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. —М.: Наука, 1979. — 432 с.

59. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. —М.: Наука, 1990. — 240 с.

60. Трофимов В.В. Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. № 5. С. 11911199.

61. Давыдов А. С. Квантовая механика.-М.:Наука, 1973. — 704 с.

62. Маслов А. ВФедорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.—М. Наука, 1976. — 292 с.

63. Маслов А. В. Асимптотические методы и теория возмущений.—М. Наука. 1988. 388 с.

64. Маслов А.В., Карасев М.В. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование.—М.:Наука, 1991. — 368 с.

65. Mladenov I. Prequantization of the rotational motion. In: Proceedings of Second International Conference on Integrability, Geometry and Quantization. Coral Press. Sophia, 2001. P. 254-263.

66. Браун П. А., Киселев А. А. Введение в теорию молекулярных спектров. -Л.: Изд-во. ЛГУ, 1983. 232 с.

67. Sergeenko M.N. Quasiclassical analysis of the three-dimensional Schredinger equation and its solution. arXiv:quant-ph/9912069 (1999).

68. Багров В.Г., Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Квазиклассическое приближение в квантовой механике. Новый подход. J J ТМФ. 1994. № 98. Т. 1. С. 48-55.

69. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. т.З. Квантовая механика. —М.:Наука, 1989. — 767 с.

70. Айзенберг И., Грайнер В. Модели ядер. Коллективные и одночастич-ные явления. —М.: Атомиздат, 1975.

71. Яше Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). —М.: Наука. 1964. — 344 с.

72. Левичев А. В. Однородная хроногеометрия. —Новосибирск: Изд-во НГУ. 1991. 50 с.

73. Ellis G., van Elst Н. Cosmological models. In: "Theoretical and Observational Cosmology", edited by Marc Lachieze-Rey, (Kluwer, Dordrecht, 1999). P. 1-116.

74. Мёллер У. Теория относительности. —М.: Наука, 1975. — 400 с.

75. Dadhich N., Patel K.L. A shear-free non-singular model with heat flux. // Grav.Cosmol. 2000. V.6. P. 11-13.

76. Dadhich N.; Raychaudhuri A.K. Oscillating non-singular relativistic spherical model. // Mod.Phys.Lett. 1999. V. A14. P. 2135-2138.

77. Гаврилов С. П. Приведение симметричной невырожденной билинейной формы на двумерных и трехмерных вещественных алгебрах Ли к каноническому виду автоморфизмами алгебр Ли. Гравитация и теория относительности, вып. 17. Казань: КГУ. 1980. С.12-23.

78. Гаврилов С. П. Левоинвариантные метрики на односвязных группах Ли, содержащих абелеву подгруппу коразмерности 1. Гравитация и теория относительности, вып. 21. Казань: КГУ. 1984. С.13-47.

79. Жданович Д. В. Внешние автоморфизмы локально простых алгебр Ли. // Матем. сборник, 1997, V.188. № 9. С. 31-54.

80. Шаповалов В.Н. О приведении к каноническому виду вещественых квадратичных форм. Депонировано в ВИНИТИ.' № 2780-35. Деп.; Т. 1489-46. Деп. ВИНИТИ. 1975.

81. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. —М.: Наука, 1989.- 650 с.

82. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко С.П. Современная геометрия: Методы и приложения. —М.:Наука. 1979. — 760 с.

83. Широков И. В. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений, допускающих транзитивную группу симметрий // Изв. вузов. Математика. 1999. J0 3. С. 57-63.

84. Ozsvath I. New homogeneous solutions of Einstein's field equations with incoherent matter. Wiesbaden. 1965. — 31 p.

85. Ozsvath I. Dustfilled universes of classes II and III. //Journ. Math. Phys. 1970. V. 11. P. 2871-2883.

86. Goliath M., Ellis G.F.R. Homogeneous cosmologies with cosmological constant. // Phys.Rev. 1999. V. D60. 023502.

87. Bali R., Sharma K. Title Bianchi type I dust fluid cosmological model in general relativity//Pramana Journ. of Phys. 2000. V. 58. No 3. pp. 458-463.

88. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. —М.:Наука. 1984.— 528 с.

89. Varadhan S. R. S. On the Behavior of the Fundamental Solution of the Heat Equation. // Comm. Pure Appl. Math. 1967. V. 20. P. 431-455.

90. Minakshisundaram S. and Pleijel A. Some Properties of the Eigen functions of the Laplace Operator on Riemannian Manifolds.// Can. J. Math. 1949. V. 1. P. 242-256.

91. Молчанов С.Ф. Диффузионные процессы и риманова геометрия. // УМН. 1975. Т. 30. вып. 6. С. 1-64.

92. Estrada R., Gracia-Bondia J.M., Varilly J. С. On summability of distributions and spectral geometry. // Commun.Math.Phys. 1998. V. 191. 219-248.

93. Головчинский В. В. Асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Вельтрами для кокомпактных дискретных подгрупп SL2(R).// Матем. сборник. 1998. Vol. 79, № 7. С. 23-36.

94. Воробец Я.Б. Асимптотика спектра оператора Лапласа-Вельтрами на торах с лиувиллевыми и инфралиувилливыми метриками. // УМН. 1997. Т. 52. вып. 2. С. 163-165.

95. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды.—М.: Наука. 1987. — 544 с.

96. Deser S., Kay J. Н., Stelle К. S. Renormalizability Properties of Supergravity.//Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38, P. 527-530.

97. Weinberg S. In: Proceedings of the XVIII International Conference on High Energy Physics ed. J.R. Smith, Rutherford Laboratory, Chilton, Didcot, Oxfordshire. III-59. 1974.

98. Stelle K.S. Renormalization of higher-derivative quantum gravity. // Phys. Rev. 1977. V. D16. P. 953-964.

99. Dalvit D.A.R., Mazzitelli F.D. Heat kernel and scaling of gravitational constants. 11 Phys. Rev. 1995. V. D52. P. 2577-2580.

100. Flortanini R., Percacci R. The heat kernel and the average effective lagrangian. // Phys.Lett. 1995. V. B356. P. 205-210.

101. Cognola G., Vanza L. The trace of heat kernel on the compact hyperbolyc 3-orbifold. // J.Math.Phys. 1994. V. 35. P. 3109-3116.

102. I. G. Avramidi The heat kernel on symmetric spaces via integrating over the group of isometries. // Phys. Lett. 1994. V.B336. P. 171-177.

103. Alexandrov S., Vassilevich D. Heat kernel for non-minimal operators on a Kahler manifold. // J.Math.Phys. 1996. V. 37. P. 5715-5718.

104. Antonsen F. The heat kernel in a Schvarzschild geometry and the Cazimir energy. arXiv:hep-th/9710100 (1997).

105. Вайпберг С. Ультрафиолетовые расходимости в квантовых теориях гравитации. (В сб. Общая теория относительности. Под ред. С. Хокин-га и В.Израэля.) -М.:Мир, 1983. С. 407 455.

106. Хокинг С. Интегралы по траекториям в приложении к квантовой гравитации. (В сб. Общая теория относительности. Под ред. С. Хокинга и В.Израэля.) —М.:Мир, 1983. С. 363-406.

107. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. —М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.

108. Багров В.Г., Обухов В.В. Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона-Якоби.// ТМФ, 1993, № 97, Т. 2, С. 250-270.

109. Арсеньев А.А. Оценка функции Грина оператора Шредингера.// ТМФ. 1998. № 115. Т. 1. С. 84-92.