Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

МАГАЗЕВ Алексей Анатольевич

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ И РЕЛЯТИВИСТСКИХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.04.02 — «Теоретическая физика»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2004

Работа выполнена на физическом факультете Государственного образовательного учреждения «Омский государственный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор ШИРОКОВ Игорь Викторович

Официальные оппоненты-доктор физико-математических наук, профессор БЕРЕСТОВСКИЙ Валерий Николаевич; доктор физико-математических наук, профессор ТРИФОНОВ Андрей Юрьевич

Ведущая организации -Томский государственный университет

Защита состоится 23 декабря 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.179.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077 г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.179.02, кандидат физико-

математических наук, доцент

Г.А.Вершинин

аоо?-^

лшь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время основными математическими инструментами, использующимися при решении большинства задач теоретической физики, являются различные приближенные методы. Тем не менее, даже в рамках конкретных упрощенных моделей применение подобных методов не всегда позволяет получать исчерпывающую информацию о тех или иных свойствах изучаемой системы. В качестве наиболее типичного примера следует отметить современное состояние квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, где разрешение многих интересных и важных вопросов упирается в отсутствие конструктивных способов решения соответствующих квантово-полевых уравнений [1,2]. В связи с этим, одной из актуальных на сегодняшний день проблем теоретической физики является построение эффективных методов точного интегрирования классических и квантовых дифференциальных уравнений, возникающих в физических задачах.

Построение точных решений дифференциальных уравнений и нахождение условий, при которых построение подобных решений возможно, являются основными задачами теории точного интегрирования. Особое место в указанной теории занимает проблема построения решений дифференциальных уравнений на многообразиях с симметриями. Актуальность этого направления связана с многочисленными приложениями данной тематики в фундаментальных вопросах общей теории относительности и квантовой ' теории поля. Отметим, например, что практически все модели римановых многообразий общей теории относительности, использующиеся до настоящего времени, связаны с различными группами преобразований и, как правило, большинство из них относятся к классу однородных римановых пространств. Нельзя также не отметить огромную роль, которую играет теория точного интегрирования в таких смежных математических дисциплинах как дифференциальная геометрия и топология, алгебра и геометрия групп Ли, теория гамильтоновых систем. Все это позволяет нам утверждать, что развитие методов точного интегрирования дифференциальных уравнений на многообразиях с симметриями имеет очень большое значение в современных проблемах теоретической и математической физики.

Одним из наиболее популярных на сегодняшний день методов точного интегрирования дифференциальных уравнений является метод разделения переменных, использующий коммутативные наборы операторов симметрии [3]. Данный метод имеет достаточно длительную историю, но свое оконча-

тельное завершение в случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка метод разделения переменных приобрел сравнительно недавно [4}. Тем не менее, довольно часто встречаются классы дифференциальных уравнений, не допускающие решение в рамках указанного метода, а поэтому все большую актуальность представляют альтернативные способы нахождения решений.

В настоящей работе метод точного интегрирования классических геодезических потоков и соответствующих им квантовых релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах строится с помощью специального канонического преобразования, эффективно использующего все симметрии исходного уравнения. Применение указанного канонического преобразования позволяет находить точные решения уравнений, неинте-грируемых традиционными способами, а также позволяет избежать трудности, возникающие в случаях, когда интегралы движения уравнений являются лишь локально сохраняющимися величинами.

Отметим также, что при интегрировании классических и квантовых дифференциальных уравнений на однородных пространствах с помощью специального канонического преобразования, четко прослеживается общность алгебраических конструкций, связанных со свойствами интегрируемости указанных классов уравнений. Все это свидетельствует о тесной взаимосвязи, существующей между классическими и квантовыми задачами, и указывает на плодотворность рассмотрения этих задач с единой симмет-рийной точки зрения.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является построение методов точного интегрирования классических геодезических потоков и соответствующих им квантовых релятивистских уравнений на однородных пространствах с произвольными гладкими группами преобразований. При этом мы рассматриваем два класса римановых структур на однородных пространствах — это О-инвариантные метрики, определяющие действие группы как преобразование, сохраняющее данную метрику, и так называемые центральные римановы метрики или метрики субмерсии, обладающие неявными симметриями [5].

Основные решаемые задачи:

1. Построить все инварианты коприсоединенного представления вещественных групп Ли размерности меньше шести и на основе этих результатов выделить группы Ли с неполуотделимым пространством орбит.

2. Рассмотреть класс центральных римановых метрик на однородных пространствах и исследовать свойства геодезических потоков с данными метриками.

3. Построить алгоритм интегрирования в квадратурах геодезических потоков на однородных пространствах с С инвариантными и центральными метриками.

4. Обобщить построенный метод интегрирования геодезических лотоков на однородных пространствах на случай интегрирования соответствующих уравнений Якоби.

5. Разработать алгоритм точного интегрирования квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками.

Научная новизна и значение результатов. В работе впервые были получены следующие результаты. На основе построенных инвариантов коприсоединенного представления (функций Казимира) вещественных алгебр Ли размерности меньше шести были найдены две пятимерные алгебры Ли, пространства орбит которых являются топологически неполуотде-лимыми. Построено специальное каноническое преобразование на кокаса-тельном расслоении произвольного однородного пространства и с его помощью разработан конструктивный алгоритм интегрирования геодезических потоков на однородных пространствах с (^-инвариантными и центральными метриками. Как следствие этого, найдены необходимые и достаточные условия интегрируемости в квадратурах указанных геодезических потоков и перечислены все вещественные группы Ли малых размерностей, допускающие интегрируемость потоков в квадратурах. Приведен критерий интегрируемости уравнения Якоби на произвольных римановых многообразиях, и с помощью построенного метода интегрирования геодезических потоков разработан алгоритм нахождения в квадратурах решений уравнения Якоби на однородных пространствах с С?-инвариантными и центральными метриками. Построен метод точного интегрирования квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками и найден критерий их интегрируемости.

Результаты проведенного исследования позволяют сделать вывод об эффективности использования полученных критериев интегрируемости классических геодезических потоков и соответствующих квантовых уравнений на однородных пространствах для выбора конкретных моделей квантовой

теории поля в искривленном пространстве времени. Как показано в работе, построенные методы интегрирования позволяют конструктивным путем получать точные решения соответствующих уравнений с помощью только вычисления квадратур и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, что является их несомненным достоинством.

Одним из ключевых моментов настоящей диссертации также является демонстрация того, что рассматриваемые классические и квантовые уравнения могут быть рассмотрены с единых симметрийных позиций. Так, в работе доказан результат, согласно которому однородные пространства, допускающие интегрируемые в квадратурах геодезические потоки, допус- ^

кают также интегрируемость соответствующих квантовых релятивистских волновых уравнений, являющихся результатом квантования геодезического движения. Данный результат указывает на широкие перспективы использования методов интегрирования и качественного анализа классических систем в теории точного и приближенного интегрирования квантовых уравнений.

Личный вклад соискателя. В работах, выполненных в соавторстве, автор принимал активное участие на всех этапах выполнения работы: от постановки задачи, до разработки и реализации методов решения. Метод интегрирования геодезических потоков и квантовых уравнений на однородных пространствах, лежащий в основе диссертационной работы, получил необходимое развитие в совместных работах автора с Широковым И.В. Все наиболее важные результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, Приложения и Списка литературы из 106 наименований. Материал диссертации изложен на 109 страницах машинописного текста.

Во введении сформулированы актуальность работы, ее научная новизна, сделан обзор литературы по теме. Изложены содержание и структура работы, основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер, в ней изложены основные но- •

ложения теории орбит коприсоединенного представления, а также важные конструкции, связанные с однородными пространствами. Кроме того, ^ в первой главе исследованы нетривиальные случаи, когда функции Казимира алгебр Ли являются бесконечнозначными функциями своих аргумен-

тов и инвариантны относительно ^присоединенного представления лишь локально.

В первом параграфе в качестве основного объекта выступает дуальное пространство Q* алгебры Ли Q, на котором задана стандартная вырожденная пуассонова структура (скобка Ли-Пуассона). Приводится определение функций Казимира алгебры Ли Q как функций, коммутирующих относительно скобки Ли-Пуассона со всеми функциями на Q\ Функции Казимира являются локальными инвариантами коприсоединенного представления соответствующей группы Ли и поэтому используются для явного описания классов орбит коприсоединенного представления.

В данном параграфе приводится следующее описание структуры орбит: все дуальное пространство Q* является объединением связных инвариантных непересекающихся алгебраических поверхностей М(3), каждая из которых, в свою очередь, является объединением поверхностей уровня функций Казимира (s)-rana, состоящих из конечного или счетного числа орбит одинаковой размерности.

Во втором параграфе исследуется специфическая ситуация, когда функции Казимира алгебры Ли Q являются бесконечнозначными функциями своих аргументов. Как показано в этом параграфе, подобные функции Казимира не являются в общем случае инвариантами коприсоединенного представления глобально и, следовательно, не могут различать отдельные орбиты. В частности, вводится определение существенно многозначных функций Казимира и демонстрируется, что фактор-пространство орбит Q*/G в этом случае является неполуотделимым. Для выделения подобных случаев были построены инварианты коприсоединенного представления всех вещественных алгебр Ли размерности меньше шести и на основе полученных результатов найдены две пятимерные группы Ли с неполуотделимым пространством орбит.

В третьем параграфе показано, что метод орбит может быть эффективно использован для получения различных полезных характеристик однородных пространств М ~ G/Я. В первой части параграфа приводятся инвариантные формулы для степени сингулярности

sm = i(dim0A-mdö),

(1)

индекса

iu = dim7iA

(2)

и дефекта однородного пространства

d{M) = i dim Q!QX - dim H/Hx. (3)

Здесь А элемент общего положения ортогонального дополнения Нх, <5А — аннулятор ковектора А, Нх — 6х Г) Н. Отметим, что указанные характеристики представляют собой целые неотрицательные числа, которые могут быть легко посчитаны по известным структурным константам алгебры Q группы G и подалгебры 7i группы изотропии Я.

Далее, в третьем параграфе приводятся важные результаты об алгебре инвариантных операторов на однородном пространстве, то есть операторов коммутирующих с генераторами группы преобразований. В частности, приводятся формулы для вычисления размерности

dimJc = iM + dimQ-2dim'H (4)

и индекса

ind F = ind Q + 2sм - iM (5)

алгебры инвариантных операторов, а также указывается конструктивный способ построения подобных операторов.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена разработке метода интегрирования в квадратурах геодезических потоков на однородных пространствах с G-инвариантными и центральными римановыми метриками, а также получению соответствующих необходимых и достаточных условий интегрируемости. Отметим, что знание алгебры симметрий дифференциального уравнения чаще всего не доставляет никакой информации о построении общих решений, поэтому развитие соответствующих методов представляет собой актуальную самостоятельную задачу.

В четвертом параграфе приводится схема конструирования двух типов естественных римановых структур на однородных пространствах М oiG/H ~ G-инвариантных и центральных метрик.

Пусть G(-, •) - произвольная билинейная форма на кокасательной плоскости T*G группы в единице. Рассмотрим право - (G^) и левоинвариантные (Gg) билинейные формы, определенные в каждой точке группы G:

G* = GABVA(g) ® щ{д), Glg = GABU(g) ® Ыа), (6)

где щ(д), £,л(д) — правоинвариантные и левоинвариантные векторные поля на группе Ли соответственно. С помощью канонической проекции

7г: С? —► М строятся ^-инвариантная

сл = сав {^(я) © [тг.тцзЦх),

и центральная

= Олв Ыа](Х) ® [тг.&](*)>

(8)

римановы метрики на однородном пространстве М, х = 7г(<?), д & в. Отметим, что определение (^-инвариантной метрики (7) является корректным только при выполнении условия -инвариантности формы в.

Пятый параграф посвящен исследованию некоторых свойств геодезических потоков на однородных пространствах с центральными метриками. Показано, что гамильтонова система уравнений геодезического потока с гамильтонианом Н(х,р) = \даЬ{х)рарь относительно центральной метрики даЬ(х) сводится к гамильтоновой системе на дуальном пространстве О* относительно скобки Ли-Пуассона, и к дополнительной системе дифференциальных уравнений, определяющих интегральные траектории некоторого левоинвариантного векторного поля. В данном параграфе также показано, что, если форма в невырождена, геодезические траектории на однородном пространстве М ~ (?/# с центральной метрикой являются проекциями геодезических на группе Ли С? относительно соответствующей левоинвари-антной метрики

В шестом параграфе с помощью указанных в третьем параграфе характеристик однородного пространства строится специальный канонический переход от переменных (х,р) на кокасательном расслоении Т*М к каноническим координатам Дарбу (д, 7г) на орбитах коприсоединенного представления 6>д, А е "Н1 и каноническим координатам (и,ь) на сим-плектических листах Оа пуассоновой алгебры Т инвариантных функций Ох,р) -> (ч,ъ,ь,и,т,з)-.

{Тт, jk} = 6?, {Тт, = {Т"\ тга} = {7™, и5} = {Тт, уй} = 0. (11)

Здесь параметры ]т нумеруют орбиты (з)-типа, а тт - соответствующие сопряженные переменные, т = 1,..., тс1 Т.

Хл(х,р) = Ра^кл), Ь^р) = ау.{и,ь,з),

Тт(х,р)=тт; где функции Тт(х,р) удовлетворяют условиям

(9)

(10)

Построенный переход является локальным симплектическим биективным отображением и поэтому осуществляет специальное каноническое преобразование в Т*М. Отметим, что в случае коммутативной группы С? данное преобразование совпадает с хорошо известным в механике каноническим преобразованием к переменным «действие -угол».

Седьмой параграф содержит применение полученного в шестом параграфе канонического преобразования к случаю интегрирования геодезических потоков с (^-инвариантными и центральными метриками. Как следствие формулируются необходимые и достаточные условия интегрируемости в квадратурах рассматриваемых геодезических потоков.

В частности, в первом пункте седьмого параграфа показано, что после применения данного преобразования, гамильтонова система геодезического потока с инвариантной метрикой преобразуется к системе не содержащей переменных (д, п) на орбитах, и поэтому интегрируемость в этом случае определяется только количеством переменных (у,и) на симплектичсских листах ^-алгебры, а именно дефектом <з1(М) однородного пространства. Данный результат выражается в виде следующей теоремы.

Теорема 1 Произвольный О-инвариантный геодезический потоп на однородном пространстве М ^ (7/Н редуцируется к автономной 2 с?(М) -мерной гамильтоновой системе и, в частности, интегрируем в квадратурах тогда и только тогда, когда й{М) < 2.

В качестве примера в работе проинтегрирован в квадратурах геодезический поток с произвольной О инвариантной нештеккелевой метрикой на однородном пространстве М ~ б/Я с пятимерной неразрешимой группой движений С?.

Аналогично, во втором пункте седьмого параграфа показано, что для центральных метрик соответствующая преобразованная гамильтонова система геодезического потока не будет содержать канонических переменных (у, и) на симплектических листах Оа и, следовательно, интегрируемость определяется только количеством переменных (д, 7г), то есть размерностью орбит (б) -типа:

Теорема 2 Геодезический поток на однородном пространстве М ос О/Н с произвольной центральной метрикой редуцируется к автономной сИтС?д -мерной гамильтоновой системе и в общем случае интегрируем в квадратурах тогда и только тогда, когда

= <2, ХеП1.

С помощью канонического преобразования в работе проинтегрирован в квадратурах геодезический поток относительно произвольной центральной метрики на однородном пространстве дикой группы Маутнера, рассмотренной во втором параграфе настоящей диссертации. Отметим, что указанное каноническое преобразование по сути дела является в этом случае единственной альтернативой, так как одна из функций Казимира в данном примере имеет существенную многозначность, и поэтому стандартные методы ограничения таких систем на поверхности уровня интегралов движения не работают.

В заключении седьмого параграфа рассматривается частный случай <3-инвариантных метрик — биинвариантные метрики на однородных пространствах [5]. Биинвариантная метрика является одновременно инвариантной и центральной, поэтому с помощью вышеуказанного канонического перехода система соответствующего геодезического потока сводится к системе, в которой одновременно отсутствуют координаты (д,тт) и (у,и). В качестве следствия было получено следующее утверждение

Следствие 1 Геодезический поток на однородном пространстве М ~ О ¡Л с произвольной биинвариантной римановой метрикой является интегрируемым в квадратурах.

В восьмом параграфе на основе полученных теорем о необходимых и достаточных условиях интегрируемости классифицируются четырехмерные однородные пространства с группами преобразований размерности меньше шести, допускающие интегрируемые в квадратурах геодезические потоки относительно центральных метрик. Ввиду того, что в случае конкретного однородного пространства интегрируемость геодезического потока с произвольной центральной метрикой влечет интегрируемость геодезического потока с (3-инвариантной метрикой, данная классификация перечисляет также возможные интегрируемые случаи для С-инвариантных метрик.

Третья глава настоящей диссертации посвящена непосредственному обобщению построенного выше метода интегрирования геодезических потоков на случай соответствующих уравнений Якоби.

В десятом параграфе показано, что на касательных расслоениях ТУ/ произвольных пуассоновых многообразий IV существует локальная пуассо-нова структура {•, -}г, позволяющая представить любую гамильтонову систему вместе со своей системой в вариациях (линеаризованной гамильтоно-вой системой) также в гамильтоновой форме. В качестве простейших при-

меров рассматриваются случаи, когда многообразие \¥ есть кокасательное расслоение Т'М с естественной симплектической структурой о> = ¿раЛ(1ха, а также когда IV дуальное пространство конечномерной алгебры Ли Я со скобкой Ли-Пуассона {-, •}£,е.

Одиннадцатый параграф содержит исследование структур гамиль-тоновых систем в вариациях геодезических потоков (уравнений Якоби) на произвольных римановых многообразиях (М,д). В частности, показано, что уравнение Якоби на римановом многообразии М можно представить в виде расширенного геодезического потока на ТМ относительно некоторой индуцированной метрики. Кроме этого, получен следующий критерий интегрируемости уравнения Якоби

Теорема 3 Расширенный геодезический поток на ТМ, а следовательно, и уравнение Якоби, являются вполне интегрируемыми тогда и только тогда, когда вполне интегрируем исходный геодезический поток на М.

Двенадцатый параграф посвящен обобщению изложенного во второй главе метода интегрирования геодезических потоков на случай расширенных геодезических потоков на касательных расслоениях ТМ однородных пространств с инвариантными и центральными метриками.

Показано, что многообразие ТМ обладает структурой однородного пространства с группой преобразований <5, являющейся прямым произведением группы О на абелеву группу К":

(12)

Кроме этого показано, что индуцированные метрики в ТМ наследуют алгебраическую структуру соответствующих метрик на однородном пространстве М. Другими словами, риманова метрика на ТМ, индуцированная 0-инвариантной метрикой на М, является инвариантной относительно действия группы (5. Аналогично, метрика на ТМ, индуцированная центральной метрикой на однородном пространстве, является центральной относительно группы (5. Указанные факты позволили легко обобщить метод интегрирования в квадратурах геодезических потоков на рассматриваемый случай. В частности, доказан следующий результат

Теорема 4 1) Расширенный геодезический поток на касательном расслоении однородного пространства М ^ (?/# с произвольной О-инвариантной римановой метрикой редуцируется к 4 ¿(М)-мерной га-мильтоновой системе и, в частности, интегрируется в квадратурах тогда и только тогда, когда й{М) < 2.

2) Расширенный геодезический поток на касательном расслоении однородного пространства M — G/H с произвольной центральной римановой метрикой редуцируется к 2 dim (Э\-мерной гамильтоновой системе и, в частности, интегрируется в квадратурах тогда и только тогда, когда \ dim 0\ <2, \ € Ну.

В тринадцатом параграфе техника интегрирования расширенных геодезических потоков, разработанная выше, используется для нахождения решений уравнения Якоби на двумерной плоскости Лобачевского L2, которое является симметрическим пространством отрицательной кривизны.

Четвертая глава настоящей диссертации содержит описание метода интегрирования квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками.

В четырнадцатом параграфе вводится определение квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками, которые являются квантовыми аналогами соответствующих геодезических потоков

Н(х, -ifidx)<p(x) = -т2<р(х), <р(х) 6 С°°(М). (13)

Оператор Н(х, —ihdx) в данном случае представляет собой симметризо-ванную операторную функцию от генераторов группы преобразования Ха(х, дх)\

н(х, -тх) s gabxa(x, -тх) о хв(х, -тх), (и)

В основе данного определения лежит требование о сохранении всех симметрии при переходе от исходной классической задачи к квантовому случаю.

Пятнадцатый параграф содержит описание обобщенного преобразования Фурье на однородных пространствах M си G/Н, на основе которого строится алгоритм редукции квантовых уравнений к уравнениям с минимальным числом независимых переменных. Ключевую роль при этом играет важное понятие квантования орбит коприсоединенного представления и симплектических листов ^"-алгебры, состоящее в замене функций перехода к каноническим координатам на соответствующие операторы, которые действуют в двойственном пространстве Ф и образуют неприводимые представления алгебр Q и 3- соответственно.

Основной структурой обобщенного метода Фурье являются семейства обобщенных функций D3qv(x) и Da4V(x), нумеруемые параметрами q, v, j и

определяемые с помощью генераторов группы преобразований, инвариантных операторов и соответствующих им операторов, действующих в двойственном пространстве Ф. В [6] показано, что семейства и П'^х) образуют полное и ортогональное семейство функций, а поэтому имеет место прямое и обратное преобразования Фурье на однородных пространствах:

= ! В%(х)ф)Л»(х). (15)

м

<р(х) = I <р(д, (16)

ОхКх./

С использованием приведенных конструкций в настоящем параграфе показано, что квантовое уравнение (14) сводится к редуцированному уравнению в двойственном пространстве:

= -"»У («,»)• (17)

где 1а{ч,9ч,з) — операторы, действующие в пространстве функций на ла-гранжевом подмногообразии орбиты Оду) и образующие неприводимое представление алгебры Ли Я (А-представление).

Теорема 5 Квантовое уравнение (Ц) «я однородном пространстве М — О/Н с произвольной центральной метрикой редуцируется к линейному дифференциальному уравнению с \ сИт 0\ независимыми переменными и, в частности, интегрируемо тогда и только тогда, когда

Шестнадцатый параграф посвящен применению разработанного алгоритма редукции квантовых уравнений на случай интегрирования неоднородных волновых релятивистских уравнений на однородных пространствах с центральными метриками. В данном параграфе предложена процедура построения функций Грина, являющихся решениями неоднородного уравнения вида:

[Я (а, -гПдх) + т2Щх, х') = 5{х, х'). (18)

С использованием вышеуказанного алгоритма редукции, уравнение (18) сводится к неоднородному редуцированному уравнению:

[Я"(-Г+(я, дфЗ)) + т2\&{д, $) = (19)

где оператор данного уравнения является оператором второго порядка

А{м)£% + В{ы)д, + С{м). (20)

В интегрируемом случае уравнение (19) является обыкновенным дифференциальным уравнением и его общее решение может быть легко построено в явном виде:

1 +

где общее решение соответствующего однородного уравнения.

В конце данного параграфа рассмотрен пример четырехмерного однородного пространства с пятимерной группой преобразований, для которого в качестве иллюстрации описанной методики получены точные решения однородного квантового уравнения (14) и решения соответствующего неоднородного уравнения (18).

В заключении сформулированы полученные результаты.

ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

1. Построены все инварианты коприсоединенного представления вещественных групп Ли размерности меньше шести. На основе полученных результатов выделены группы Ли с неполуотделимым пространством орбит коприсоединенного представления.

2. Рассмотрен класс неинвариантных римановых метрик на однородных пространствах (так называемые центральные метрики или метрики субмерсии), геодезические потоки которых допускают скрытые интегралы движения. Изучены свойства геодезических потоков с данными метриками.

3. Предложен алгоритм построения канонического преобразования на кокасательных расслоениях однородных пространств, с помощью которого доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях интегрируемости геодезических потоков с инвариантными и центральными метриками. С помощью полученных критериев интегрируемости приведена классификация четырехмерных однородных пространств с группами преобразований размерности меньше шести, которые допускают интегрирование в квадратурах рассматриваемых геодезических потоков.

4. Показано, что на произвольном римановом многообразии уравнение геодезических и уравнение Якоби можно рассматривать как геодезический поток на касательном расслоении данного многообразия, снабженном римановой структурой специального вида. Доказано, что условие интегрируемости уравнения Якоби эквивалентно условию интегрируемости в квадратурах исходного геодезического потока.

5. Построен квантовый аналог канонического преобразования и с его помощью предложен алгоритм интегрирования квантовых уравнений на искривленных римановых пространствах с центральными метриками. Доказано, что условие интегрируемости данных уравнений эквивалентно условию интегрируемости соответствующих геодезических потоков.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Материалы диссертации докладывались

а

— научных семинарах физического факультета и факультета компьютерных наук Омского государственного университета.

— научных семинарах Омского филиала Института математики им. С.М. Соболева СО РАН.

— Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченной к 85-летию академика Л.В.Овсянникова. 10-14 мая 2004 года, Новосибирск.

— XVI международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики — «Всшга-2004». Казань, 2004 г.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Магазсв A.A., Широков И.В. Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах. Случай дикой группы Ли. Теор. и мат. физ., 2003, Т. 136, №3, С. 365-379.

2. Магазев A.A. Функции Казимира групп Ли с неполуотделимым пространством орбит. Известия вузов. Физика. 2003, N. 9, стр. 56-63.

3. Магазев A.A. Причинная функция Грина на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками. Математические структуры и моделирование. 2003, вып. 12. стр. 120-129.

4. Магазев A.A., Широков И.В. Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками. Тезисы докладов. Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение». Новосибирск, 2004.

5. Магазев A.A. Интегрируемые геодезические потоки на однородных ри-мановых пространствах. Тезисы докладов. XVI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-2004». Казань: КГУ, 2004 г.

6. Магазев A.A., Широков И.В. Гамильтоновы системы в вариациях и интегрируемость уравнения Якоби. Математические структуры и моделирование. 2004, вып. 14. стр. 98-107.

Литература

[1] Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостпепаненко В.М Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. —М.: Энергоатомиздат, 1988. — 288 с.

[2] Биррелл #., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. —М.: Мир, 1984. — 356 с.

[3] Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. — 342 с.

{4] Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в ЛДУ второго порядка // Известия вузов. Физика. 1978. № 5. С. 116-132.

[5] Болсинов A.B., Йованович Б. Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 7. С. 21-40.

[6] Широков И.В. K-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Препринт. Омск: ОмГУ, 1998, — 120 с.

На правах рукописи

МАГАЗЕВ Алексей Анатольевич

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ И РЕЛЯТИВИСТСКИХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОДНОРОДНЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Принято в печать 16.11.2004 Формат 60x84 1/16. Тираж 100. Печ. листов 0.9 Заказ № _

Полиграфический центр КАН

644050, Омск, пр. Мира, 32, ком. И, тел. (381-2) 65-47-31. Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97 г.

РВОБ Русский фонд

'-4

Введение

1 Функции Казимира и группы Ли с неполуотделимым пространством орбит

1 Орбиты коприсоединенного представления. Структура орбит

2 К-орбиты и дикие группы Ли.

3 К-орбиты, однородные пространства и ^"-алгебры инвариантных функций.

2 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах

4 Метрики на однородных пространствах.

5 Свойства геодезических потоков для центральных метрик

6 Построение канонического преобразования.

7 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах

7.1 Интегрирование геодезических потоков с G-инвари-антными метриками.

7.2 Интегрирование геодезических потоков с центральными метриками.

7.3 Геодезические потоки на однородных пространствах с биинвариантными метриками.

8 Классификация четырехмерных однородных G-пространств с интегрируемыми геодезическими потоками.

3 Гамильтоновы системы в вариациях и интегрирование уравнения Якоби на однородных пространствах

10 Гамильтоновы системы в вариациях.

11 Геодезические потоки и уравнение Якоби на римановых многообразиях

12 Расширенные геодезические потоки на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками

13 Интегрирование геодезического потока и уравнения Якоби на плоскости Лобачевского.

4 Интегрирование квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками

14 Квантовые уравнения на однородных пространствах с центральными метриками

15 Редукция квантовых уравнений на однородных пространствах

16 Интегрирование квантовых уравнений и вычисление функций Грина на однородных пространствах с центральными метриками.

Несмотря на впечатляющие достижения в области построения объединенной теории фундаментальных сил Природы, современная физическая наука на сегодняшний день не имеет полной и удовлетворительной теоретической картины, способной единым образом описывать все существующие виды взаимодействий. Как известно, наибольшие сложности связаны с проблемой построения логически замкнутой теории квантовой гравитации, что объясняется существенной нелинейностью классических уравнения гравитационного поля, полученных в рамках общей теории относительности. В течение достаточно длительного периода времени предпринимались многочисленные усилия в этом направлении, но непротиворечивой схемы квантования гравитационного поля и удовлетворительного включения гравитации в другие виды взаимодействий до сих пор не существует. Тем не менее, отсутствие на сегодняшний день полной и логически законченной квантовой теории гравитации не лишает возможности исследовать влияние гравитационного поля на отдельные квантово-полевые эффекты в рамках так называемой квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени.

Математически задача исследования квантово-полевых эффектов в искривленном пространстве-времени представляет собой некоторое приближение к пока не созданной квантовой теории гравитации, при котором гравитационное поле рассматривается как классическая фоновая метрика пространства-времени, а материальные поля представляют собой стандартные квантованные объекты (однопетлевое приближение) [1-4]. Исходя из подобной постановки задачи, уже на первоначальном этапе можно выделить круг особо важных и актуальных вопросов, без разрешения которых немыслимо успешное развитие данного формализма. В частности, к подобным вопросам можно отнести построение методов вычисления вакуумного тензора энергии-импульса, а также разработку методов перенормировки для устранения формальных бесконечностей в пространствах с нетривиальной топологией [5-10]. Кроме этого, одной из основных задач квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени является задача аналитического исследования различных эффектов самодействия и взаимодействия полей негравитационной природы, что в конечном итоге сводится к построению так называемой матрицы рассеяния (5-матрицы) [11-14].

Решение любой из вышеперечисленных задач, а также ряда других актуальных проблем квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени в конечном итоге связано с необходимостью точного интегрирования квантовых релятивистских уравнений, описывающих поведение квантованных полей различной природы. Исключительную роль при этом играют классы точно интегрируемых уравнений, так как с помощью точных решений удается получить достаточно строгие и детальные теоретические результаты.

Отличительной особенностью точно интегрируемых дифференциальных уравнений является наличие различного рода симметрий. В частности отметим тот факт, что все имеющиеся на сегодняшний день важные теоретические результаты в теории квантованных полей в искривленных пространствах получены лишь в рамках простейших космологических моделей, большинство из которых относятся к типу однородных изотропных пространств с достаточно богатыми группами симметрий [15-17]. Выбор подобных моделей, как правило, обусловлен наличием возможности получения точных аналитических решений соответствующих классических и квантовых уравнений, а также стремлением проиллюстрировать лишь определенные аспекты теории.

Так, например, большинство популярных на сегодняшний день космологических моделей сводятся к типу однородных изотропных пространств Робертсона-Уокера [1]. Метрика пространства Робертсона-Уокера является наиболее простым обобщением метрики пространства Минковского, что дает возможность использовать вычислительные методы обычной квантовой теории поля в плоском пространстве. Несмотря на это, уже на примерах этой простейшей модели было продемонстрировано существование некоторых нетривиальных квантовых эффектов, не имеющих места в плоском пространстве-времени [18-21]. Кроме пространств Робертсона-Уокера, особое внимание специалистов также привлекает пространство де Сит-тера [22-28], которое является единственным искривленным пространством с максимальной группой движений. Оно обладает той же степенью симметрии, что и пространство Минковского (10-параметрическая группа £>0(1,4)), что также весьма облегчает различные аналитические расчеты.

Вышеуказанные модельные примеры, а также ряд анизотропных космологических моделей [29], использующихся в современной квантовой теории поля и общей теории относительности, тем не менее носят довольно ограниченный модельно-зависимый характер. Как было уже замечено, подобные пространства обладают значительной степенью симметрии, что дает возможность сравнительно легко осуществлять процедуру интегрирования квантовых и классических уравнений. Однако с другой стороны, наличие богатой группы симметрий устанавливает довольно жесткие ограничения на свойства самой модели. Поэтому в настоящее время в качестве одной из актуальных проблем квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени выступает проблема рассмотрения класса римано-вых пространств, обладающих небольшим числом симметрий (либо не имеющие их вовсе), в которых тем не менее возможно осуществление аналитически точного интегрирования соответствующих уравнений. В частности, особый интерес представляют классы моделей, имеющих скрытые (неявные) симметрии, то есть симметрии, не сводящиеся к группам движений римановых пространств.

В настоящей работе в качестве наиболее естественного обобщения традиционных моделей квантовой теории поля и общей теории относительности рассматривается класс однородных пространств с двумя естественными типами римановых структур — инвариантными метриками, определяющими действие группы на однородном пространстве как преобразование, сохраняющее данную метрику, и так называемыми центральными метриками или метриками субмерсии [30,31], обладающими неявными симметриями. Отметим, что класс центральных метрик на однородных пространствах является гораздо более широким, чем класс инвариантных метрик, в частности, можно утверждать, что центральная риманова метрика локально существует на любом однородном пространстве (для инвариантных метрик в общем случае это не верно). В настоящей работе будет показано, что несмотря на более общий характер центральных метрик, наличие скрытых симметрий в ряде случаев все же допускает осуществление точного интегрирования соответствующих уравнений на этих многообразиях.

Построение точных решений фундаментальных уравнений математической физики, и в частности, нахождение условий, при которых построение подобных решений возможно, является основной задачей теории точного интегрирования дифференциальных уравнений. Разработка этого направления тесным образом связана с теорией симметрий, главной задачей которой является изучение определенных алгебраических свойств рассматриваемых уравнений [32-39]. Одним из наиболее популярных методов интегрирования дифференциальных уравнений является метод разделения переменных, использующий коммутативные алгебры операторов симметрии [40-42]. Тем не менее, довольно часто встречаются уравнения не допускающие решение указанным методом, поэтому все большую актуальность представляют альтернативные способы точного интегрирования, выходящие за рамки метода разделения переменных.

Одним из наиболее перспективных в настоящее время методов нахождения точных решений дифференциальных уравнений является относительно недавно разработанный метод некоммутативного интегрирования [43-45]. Используя в полной мере некоммутативные симметрии исходного уравнения, данный метод не только является удобной альтернативой метода разделения переменных, но и кроме того позволяет решать класс задач, неинтегрируемых традиционными способами.

Основной задачей, которую мы будем решать в настоящей работе, является построение методов точного интегрирования геодезических потоков и соответствующих релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками. При этом, по аналогии с методом некоммутативного интегрирования, для построения решений будут привлечены все симметрии исходной задачи. Кроме того, в работе также будут получены необходимые и достаточные условия интегрируемости указанных уравнений, что является полезными при выборе конкретных теоретических моделей, допускающих точное аналитическое описание.

Диссертация объемом 109 страниц машинописного текста состоит из введения, четырех глав, 16 параграфов, заключения, приложения и списка цитируемой литературы из 102 наименований.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построены все инварианты коприсоединенного представления (функции Казимира) вещественных групп Ли размерности меньше шести. На основе полученных результатов выделены две дикие группы Ли с неполуотделимым пространством орбит коприсоединенного представления.

2. Рассмотрен класс неинвариантных римановых метрик на однородных пространствах (так называемые центральные метрики или метрики субмерсии), геодезические потоки которых допускают скрытые интегралы движения. Показано, что геодезические на однородных пространствах центральных метрик можно интерпретировать как проекции геодезических соответствующих левоинвариантных метрик на группах Ли.

3. Предложен алгоритм интегрирования в квадратурах геодезических потоков на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками. Разобраны два нетривиальных примера интегрирования геодезических потоков на однородных пространствах с пятимерными группами преобразований. Приведена классификация четырехмерных однородных пространств с группами преобразований размерности меньше шести, которые допускают интегрирование в квадратурах рассматриваемых геодезических потоков.

4. Показано, что на произвольном римановом многообразии уравнение геодезических и уравнение Якоби можно рассматривать как расширенный геодезический поток на касательном расслоении данного многообразия, снабженном римановой структурой специального вида. Доказано, что условие интегрируемости уравнения Якоби эквивалентно условию интегрируемости в квадратурах исходного геодезического потока. Построен алгоритм интегрирования в квадратурах уравнений Якоби на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками.

5. Предложен алгоритм точного интегрирования квантовых уравнений на искривленных римановых пространствах с центральными метриками. Доказано, что условия интегрируемости данных уравнений эквивалентно условию интегрируемости соответствующих геодезических потоков.

Я хочу выразить искреннюю благодарность своему учителю, профессору Широкову И. В. за его всестороннюю помощь и поддержку в моей научной работе, без чего написание настоящей диссертации вряд ли стало бы возможным. Также мне хотелось бы поблагодарить своих старших товарищей и коллег Барановского С.П. и Михеева В.В. за совместное плодотворное обсуждение результатов настоящей работы.

Отдельное спасибо моим родителям, которые всячески поддерживали и вдохновляли меня во всех начинаниях.

1. Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. —М.: Мир, 1984. — 356 с.

2. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. —М.: Энергоатомиздат, 1988. — 288 с.

3. Галъцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр. М.: Изд-во Московского университета, 1986. — 288 с.

4. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. —М.: Наука, 1986. — 328 с.

5. Жук А., Клейнерт X. Эффект Казимира при ненулевой температуре в закрытой Вселенной Фридмана // Теор. и мат. физ. 1996. Т. 109. № 2. С. 307-321.

6. Carroll М. Sean. The Cosmological Constant j j arXiv: astro-ph/00004075 (1999).

7. Bordag M., Mohideen U., Mostepanenko V.M. New Developments in the Cazimir Effect // arXiv: quant-ph/0106045 (2001).

8. Saharian A.A. On the energy-momentum tensor for a scalar field on manifolds with boundaries. arXiv // hep-th/0308108 (2003).

9. Horton G., Dewdney C. A relativistically covariant version of Bohm's quantum field theory for the scalar field // arXiv: quant-ph/0407089 (2004).

10. Tywoniuk К., Ravndal F. Scalar Field Fluctuations between Parallel Plates // arXiv: quant-ph/0408163 (2004).

11. Бухбиндер И.Л., Гитпман Д.М. Метод расчета вероятностей квантовых процессов во внешних гравитационных полях I. // Известия вузов. Физика. 1979. №. 3. С. 90-95.

12. Бухбиндер И.Л., Гитман Д.М. Метод расчета вероятностей квантовых процессов во внешних гравитационных полях II. // Известия вузов. Физика. 1979. №. 4. С. 55-61.

13. Бухбиндер И.Л., Гитман Д.М., Фрадкин Е.С. Квантовая электродинамика в искривленном пространстве-времени. // Квантовая теория поля с нестабильным вакуумом. — М.: Наука, 1990, С.33-73

14. Buhbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. Effective Action in Quantum Gravity. — Bristol and Philadelphia: IOP Publishing Ltd, 1992. 414 p.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. — 504 с.

16. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. — 759 с.

17. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. М.: Наука, 1974. 520 с.

18. Lotze К. Н. Pair creation by a photon and time-reversed process in a Robertson-Walker Universes with time-symmetric expansion. // Nuclear Physics B. 1989. V. 312. P. 673-676.

19. Lotze К. H. Emission of a Photon by a Electron in Robertson-Walker Universes. // Classical and Quantum Gravity. 1988. V. 5. P. 595-604.

20. Бухбиндер И.Л., Царегородцев Л.И. О функциях Грина спинорного поля в конформно-плоском пространстве-времени. // Известия вузов. Физика. 1985. Ж 4. С. 35-40.

21. Бухбиндер И. JI., Царегородцев Л. И. Излучение фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной. // Известия вузов. Физика. 1986. Ж 9. С. 96-100.

22. Spradlin М., Strominger A., Volovich A. Les Houches Lectures on de Sitter Space // arXiv: hep-th/0110007 (2001).

23. Tsaregorodtsev L.I., Medvedev N.N. Spectrum of Radiation of a Classical Electron Moving in the de Sitter Spacetime // Gravitation & Cosmology. 1998. V. 4. № 3. P. 234-238.

24. Царегородцев Л. И. О рождении электрон-позитронной пары и фотона из вакуума в пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 1998. № 10. С.85-89.

25. Рыбаков В. А., Сибиряков С.М. Распад ложного вакуума в пространстве де Ситтера // Теор. и мат. физ. 1999. Т. 120. № 3. С. 451-473.

26. Полъшин С.А. Общие когерентные состояния для массивных бесспиновых полей в пространстве де Ситтера // Теор. и мат. физ. 1999. Т. 121. № 2. С. 258-263.

27. Bousso R., Maloney A., Strominger A. Conformal Vacua and Entropy in de Sitter Space // arXiv: hep-th/0112218 (2001).

28. Miao L. Matrix Model for de Sitter // arXiv: hep-th/0106184 (2001).

29. Болгоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980. 341 с.

30. Болсинов А.В., Йованович Б. Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 7. С. 21-40.

31. Магазев А.А., Широков И.В. Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах. Случай дикой группы Ли // Теор. и мат. физ. 2003. Т. 136. № 3. С. 365-379.

32. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

33. Овсянников JI.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1962. — 240 с.

34. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники. Серия "Общая механика". Т. 2. ВИНИТИ. 1975. С. 5-52.

35. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

36. Владимиров С.А. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля. М.: Атомиздат, 1979. — 167 с.

37. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Н.: ИО НФМИ, 1998. 632 с.

38. Никитин А.Г., Фущич В.И. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990. 400 с.

39. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979. — 319 с.

40. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. — 342 с.

41. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в ЛДУ второго порядка // Известия вузов. Физика. 1978. № 5. С. 116-132.

42. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. XVI. № 10. С. 1864-1874.

43. Широков И. В. Алгебраические проблемы теории симметрии и методы интегрирования полевых уравнений: Дисс. док. физ.-мат. наук. Томск. 1994. 250 с.

44. Шаповалов А.В., Широков И.В. Неккомутативное интегрирование линейных дифференциальнхых уравнений // Теор. и мат. физ. 1995. Т. 104. № 2. С. 195-213.

45. Шаповалов А.В., Широков И.В. Метод неккомутативного интегрирования линейных дифференциальнхых уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная размерная редукция // Теор. и мат. физ. 1996. Т. 106. № 1. С. 3-14.

46. Широков И.В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // Теор. и мат. физ. 2001. Т. 126. № 3. С. 393-408.

47. Бишоп Р.Л., Криттенден Р. Дж. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. 335 с.

48. Громол Д.,. Клингенберг- В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971. 343 с.

49. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Том II. М.: Наука, 1981. 416 с.

50. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.

51. Аносов Д. В. Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. Стеклова. М., 1967.

52. Casetti L. Riemannian theory of Hamiltonian chaos and Lyapunov exponents I j arXiv: chao-dyn/9609010 (1996).

53. Магазев А.А., Широков И.В. Гамильтоновы системы в вариациях и интегрируемость уравнения Якоби // Математические структуры и моделирование. 2004, вып. 14. стр. 98-107.

54. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. — 344 с.

55. Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли j j Успехи математических наук. 1962. Т. 17, №. 4. С. 57-110.

56. Кириллов А.А. Метод орбит в теории унитарных представлений групп Ли // Функц. анализ и его прилож. 1968. Т. 2. № 2. С. 40-55.

57. Kostant В. Quantization and Unitary Representations. I. Prequantization. In: Lectures in Modern Analysis and Applications, III. Ed. С. T. Taam. Berlin: Springer-Verlag, 1970. P. 87-208.

58. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с.

59. Фоменко А. Т. Сиплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: МГУ, 1988. 413 с.

60. Ballesteros A., Ragnisco О. A systematic constructions of completely integrable Hamiltonians from coalgebras // arXiv: math-ph/9802008 (1998).

61. Mukhanov V., Wipf A. On the symmetries of Hamiltonian systems // Int. J. Mod. Phys. A10. (1995). P. 579-610.

62. Трофимов В. В. Канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления тензорных расширений групп Ли // Успехи математических наук. 1994. Т. 49. вып. 1. С. 229-231.

63. Берзин Д. В. Инварианты коприсоединенного представления алгебр Ли некоторого специального вида // Успехи математических наук. 1996. Т. 51. вып. 1. С. 141-143.

64. Rawnslay J. Compact Coadjoins Orbits // arXiv: math-RT/0306336 (2003).

65. Боярский А.В., Скрыпник Т.В. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления евклидовых групп // Успехи математических наук. 2000. Т. 55, вып. 3. С. 169-171.

66. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. К-орбиты, тождества и классификация четырехмерных однородных пространств с группой преобразований Пуанкаре и де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2000. № И. С. 72-78.

67. Магазев А.А. Функции Казимира групп Ли с неполуотделимым пространством орбит // Известия вузов. Физика. 2003, N. 9, стр. 56-63.

68. Auslander A., Kostant В. Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), P.629-695.

69. Patera J., Sharp R. Т., Wintemitz P and Zassenhaus H. Invariants of real low dimension Lie algebras // J. Math. Phys. 1976. N. 17. P. 986.

70. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов А.В., Широков И.В. Тождества на решениях волнового уравнения в обертывающей алгебре конформной группы // Теор. и мат. физ. 1990. Т. 83. № 1. С. 14-22.

71. Широков И.В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Препринт. Омск: ОмГУ, 1998, 120 с.

72. Винберг Э.Б. Коммутативные однородные пространства и коизотроп-ные симплектические действия // Успехи математических наук. 2001, Т. 56. вып. 1. С. 3-62.

73. Мищенко А. С. Интегралы геодезических потоков на группах Ли // Функц. анализ и его приложения. 1970. Т. 4. № 3. С. 319-361.

74. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике j j Успехи математических наук. 1983. Т. 38, № 1. С. 3-67.

75. Магазев А.А. Интегрируемые геодезические потоки на однородных ри-мановых пространствах // Тезисы докладов. XVI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2004". Казань: КГУ, 2004. С. 43.

76. Adler М., Moerbeke van P. The algebraic integrability of geodesic flow on 50(4). // Invent. Math. 1982. V. 67. P. 297-331.

77. Adler M., Moerbeke van P. Geodesic flow on SO(4) and intersection of quadrics. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1984. V. 81. P. 4613-4616.

78. Haine L. The algebraic completely integrability of geodesic flow on SO(n) 11 Comm. Math. Phys. 1984. V. 94. N. 2. P. 271-287.

79. Браилов А.В. Построение вполне интегрируемых геодезических потоков на компактных симметрических пространствах // Изв. акад. наук СССР. сер. Матем. 1986. Т. 50. № 2. С. 661-674.

80. Браилов А.В. Некоторые случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера и приложения // Докл. акад. наук СССР. сер. Матем. 1983. Т. 268. С. 1043-1046.

81. Bolsinov А. V., Jovanovic В. Non-commutative integrability, moment map and geodesic flows // arXiv: math-ph/0109031 (2001).

82. Bolsinov A. V., Jovanovic B. Integrable geodesic flows on Riemannian manifolds: Constructions and Obstructions // arXiv: math-ph/0307015 (2003).

83. Jovanovic B. On the integrability of geodesic flows of submersion metrics // arXiv: math-ph/0204048 (2003).

84. Timm A. Integrable geodesic flows on homogeneous spaces // Ergod. Th. & Dynam. Sys. 1981. V. 1. P. 495-517.

85. Chandrashekar D., Schiff J. Sypersymmetric integrable systems from geodesic flows on superconformal groups j j arXiv: nlin.SI/0008017 (2000).

86. Fedorov Y., Jovanovic B. Nonholonomic LR systems as Generalized Chaplygin systems with an Invariant Measure and Geodesic Flows on Homogeneous Spaces // arXiv: math-ph/0307016 (2003).

87. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002, 238 с.

88. Карасев М.В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991. — 368 с.

89. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983. 360 с.

90. Широков И. В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // Теор. и мат. физ. 2000, Т. 123. № 3. С. 407423.

91. Микитюк И. В. Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами // Ма-тем. сборник. 1986. Т. 129. № 4. С. 514-634.

92. Микитюк И. В. Однородные пространства с интегрируемыми G-инвариантными гамильтоновыми потоками // Изв. акад. наук СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47. № 6. С. 1248-1262.

93. Широков И. В. Построение алгебр Ли дифференциальных операторов первого порядка // Известия вузов. Физика. 1997. № 6. С. 25-32.

94. Bagrov V.G., Gitman D.M. Exact solutions of relativistic wave equations // Dordecht, Boston, London.: Kluwer Academic Press. 1990.

95. Багров В. Г. и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. — 143 с.

96. Шаповалов А.В., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование уравнений Клейна-Гордона и Дирака в римановых пространствах с группой движений // Известия вузов. Физика. 1991. Т. 34. № 5. С. 33-38.

97. Тагиров Э.А. Квантовая механика в римановом пространстве: сравнение разных подходов к квантованию геодезического движения // Теор. и мат. физ. 2003. Т. 136, № 2. С. 209-230.

98. Bagrov V.G., Baldiotti М.С., Gitman D.M., Shirokov I. V. New Solutions of Relativistic Wave Equations in Magnetic Fields and Longitudinal Fields // Journal of Mathematical Physics. 2002. V. 43. N. 5. P. 2284-2305.

99. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Квантовые гамильто-новы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр ассиметричес-кого волчка // Теор. и ма. физ. 2001. Т. 129. № 1. С. 3-13.

100. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Интегрирование уравнений Клейна-Фока на четырехмерных группах Ли // Известия вузов. Физика. 2002. № 10. С. 4-10.

101. Магазев А.А. Причинная функция Грина на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками j j Математические структуры и моделирование. 2003, вып. 12. стр. 120-129.

102. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физ.-мат. лит-ра, 2000. — 400 с.

103. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Наука. 1961. — 423 с.

104. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка // Известия вузов. Математика. 1963. № 3. С.99 106.