Аналоги алгебры Орлика-Соломона и связанные с ними операды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

0030В40Т0

На правах рукописи УДК 512.57

Доценко Владимир Викторович

Аналоги алгебры Орлика-Соломона и связанные с ними операды

Специальность-01.01.06 - математическая логика, алгебра з/теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Михаил Владимирович Зайцев;

доктор физико-математических наук Борис Львович Фейгин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Сергей Миронович Натанзон;

кандидат физико-математических наук Алексей Львович Городенцев.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им В А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 2 марта_ 2007 г

в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001 84 в Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет (Главное здание, 14 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 2 февраля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 в МГУ доктор физ.-мат наук, профессор

В H Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы

В 1969 году в заметке В И. Арнольда1 были вычислены когомологии группы крашеных кос на п нитях Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости является пространством К (ir, 1) для этой группы, и в заметке [Арн] вычислены когомологии этого пространства, реализованного в виде дополнения в арифметическом векторном пространстве Сп конфигурации плоскостей типа А. Алгебра когомологии этого пространства квадратична, её обычно называют алгеброй Орлика-Соломона в честь П Орлика и JI Соломона, изучавших аналогичные алгебры для различных конфигураций гиперплоскостей в конце 1970-х годов2.

Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости гомотопически эквивалентно n-му пространству топологической операды маленьких 2-дисков, поэтому гомологии этих дополнений образуют алгебраическую операду В работе Коэна3 было показано, что эта операда изоморфна опера-де Герстенхабера, которая описывает алгебраические структуры, возникающие на комплексе Хохшильда ассоциативной алгебры.

Операда Герстенхабера является нечетным аналогом операды Пуассона, описывающей алгебраические структуры на кольце функций на пуассоновом многообразии С операдой Пуассона связано семейство ассоциативных алгебр, которые естественно называть четными алгебрами Орлика-Соломона OS+(n). Эти алгебры впервые были изучены в работе Матье4. Эти алгебры

1 [Арн] Арнольд В И Кольцо когомологии группы крашеных кос // Математические заметки — 1969 — т 5 — С 227-231

2 [OS] Orhk P, Solomon L Combinatorics and topology of complements of hyperplanes / / Invent Math — 1980 — Vol 56, №2 — P 167-189

3[Coh] Cohen F R The homology of %+i-spaces, n > 0 // Lecture Notes in Math — 1976 — Vol 533. — P 207-351

4[Mat] Mathieu О. The symplectic operad // "Functional analysis on the eve of the 21st

связаны с геометрией вещественной конфигурации гиперплоскостей An-i это градуированные версии алгебр Гельфанда-Вар-ченко0 локально постоянных функций на дополнениях к соответствующим конфигурациям.

Доказательства результатов Коэна и Арнольда независимы друг от друга, доказательства Матье перерабатывают информацию о четных алгебрах Орлика— Соломона (устроенных довольно несложно) в информацию об операде Пуассона. Идея перабаты-вать информацию об операдах в информацию о квадратичных алгебрах впервые появилась в работе автора

Обобщения алгебр Орлика-Соломона даются двойными алгебрами Орлика-Соломона и их чётными версиями. Эти алгебры были определены недавно Б JI Фейгиным, их некоммутативные варианты изучались А Н. Кирилловым6. Б JI Фейгин предложил также гипотетические формулы размерности для этих алгебр. Оказывается, что эти алгебры связаны с естественными удвоениями операд Герстенхабера и Пуассона Существенное отличие от уже известного случая состоит в том, что эту связь приходится привлекать для исследования самих алгебр В то время, как алгебры Орлика-Соломона и их четные версии являются кошулевыми, а их определяющие идеалы обладают квадратичным базисом Грёбнера, удвоенные алгебры не обладают этими свойствами. Это означает, что задача вычисления размерности и ряда Гильберта такой алгебры не сводится к аналогичной задаче для мономиального вырождения соотношений этой алгебры, и потому является довольно нетривиальной. Решение этой задачи предложено в данной диссертации. Оно использует результаты теории операд

Другая причина изучения бигамильтоновой операды такова. Как известно, представление симметрической группы в те-й ком-

century", Vol 1 (New Brunswick, NJ, 1993) —Progr Math , 131, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1995 — P 223-243

5|ВГ] Барчепко A H, Гелъфанд if M Функции Хевисайда конфигурации гиперплоскостей // Функциональный анализ и его приложения — 1987 — т 21, выл 4 — С 1— IS

6 [Kir] Ktnllov AN On some quadratic algebras П — Preprint RIMS (Kyoto), 2005

поненте операды Пуассона изоморфно регулярному представлению. Этому же представлению изоморфно представление симметрической группы в алгебре ее коинвариантов — факторалгебре алгебры многочленов от п переменных по идеалу, порожденному симметрическими многочленами, которые равны нулю в начале координат. Естественное удвоение этой алгебры — алгебра диагональных коинвариантов симметрической группы, т е факторалгебра алгебры полиномиальных функций на п точках плоскости по идеалу, порожденному инвариантами, равными нулю в начале координат Первые нетривиальные результаты об этой алгебре были получены несколько лет назад M Хайманом7 Дальнейшие исследования показали, что различные интерпретации этой алгебры приводят к прояснению нетривиальных связей разных областей математики8 Гипотеза Б. JI Фейгина состояла в том, что новую интерпретацию этой алгебры можно получить с помощью удвоения операды Пуассона — бигамильтоновой операды. Оказалось, что эта гипотеза неверна, но лишь частично. А именно, размерность алгебры диагональных коинвариантов совпадает с размерностью пространства бигамильтоновой операды и двойной четной алгебры Орлика-Соломона, но представление симметрической группы в алгебре диагональных коинвариантов отличается от представления в компоненте бигамильтоновой операды (которое изоморфно представлению в двойной чётной алгебре Орлика-Соломона) Эти утверждения тоже являются следствиями результатов диссертации

Еще одна мотивировка происходит из теории деформаций Согласно Ливернэ и Лодэю9, с помощью деформаций операды Пуассона можно обсуждать задачи деформационного квантова-

7 [На] Hatman M Vanishing theorems and character formulas for Hilbert scheme of points on aplane //math AG/0201148

8Cm , например, работы [FL] Feigtn В., Loktev S Multi-dimensional Weyl modules and symmetric functions. // math. QA./0212001, [Gor] Gorion I, Stafford J T Rational Cherednik algebras and Hilbert schemes П representations and sheaves // math RT/0410293

'Результаты Ливернэ и Лодэя впервые опубликованы в [MR] Markl M, Remm E Algebras with one operation including Poisson and other Lie-adimssible algebras // math AT/0412206

ния пуассоновых структур10 Поэтому интересно изучать деформации бигамильтоновой операды, которые потенциально могут быть полезны в задачах деформационного квантования бига-мильтоновых структур, важного для интегрируемых систем.

Цель работы

Целью работы является обобщение результатов Матьё [Mat] на случай бигамильтоновой операды, вычисление действия симметрических групп в компонентах этой операды, доказательство кошулевости этой операды, вычисление размерностей и рядов Гильберта для двойных четных алгебр Орлика-Соломона и построение плоских деформаций бигамильтоновой операды.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 118 страницах и состоит из введения, пяти глав и заключения. Библиография включает 35 наименований

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1) Доказано, что операда пары согласованных скобок и бига-мильтонова операда являются кошулевыми квадратичными операдами

2) Вычислены размерности и характеры, а также построены мономиальные базисы компонент операды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды.

3) Вычислены размерности и характеры, а также построены мономиальные базисы аналогов алгебры Орлика-Соломона:

10[BFFLS] Boyen F, Flato M, Fronsdal С, Lichnerowcz А , Sternhevmer D Deformation theory and quantization I, П // Ann Physics — 1978 — Vol 111 — P 61-151

двойной четной алгебры Орлика-Соломона и двойной алгебры Орлика-Соломона

4) Построено семейство операд, включающее в себя бигамиль-тонову операду, и доказано, что все операды этого семейства кошулевы и имеют те же размерности и характеры однородных компонент.

Основные методы исследования

Для исследования квадратичных операд используются методы теории кошулевой двойственности для операд11 и теории гомологии частично упорядоченных множеств12 (в частности, частично упорядоченных множеств Коэна-Маколея13) В вычислении размерностей компонент рассматриваемых операд, а также при построении мономиальных базисов используются методы перечислительной комбинаторики. В вычислении характеров компонент рассматриваемых операд использутся методы теории представлений конечных групп и групп Ли.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для теории многообразий алгебраических структур, теории представлений, комбинаторной теории колец, перечислительной комбинаторики Результаты диссертации могут быть полезны специалистам из МГУ, ИТФ РАН, МИ РАН, ПОМИ РАН, ИТЭФ

11 [GK] Gmzburg V, Kapranov M Koszul duality for operads // Duke mathematical journal — 1994 — Vol 76, № 1 — P 203-272

12 [Ere] Presse В Koszul duality of operads and homology of partition posets // Con-temp Math — 2004 — Vol 346 — P 115-215

13 [BW] Bjorner A , Wachs M On lexicographically shellable posets // "bans Amer Math Soc — 1983 — Vol 277, № 1 — P 323-341

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

1) Семинар «Группы Ли и теория инвариантов» (рук Э Б Вин-берг и А Л. Онищик), мех-мат МГУ Доклад- "Формулы характера для операды пары согласованных скобок", 2005 г

2) Семинар «Избранные вопросы алгебры» (рук M В Зайцев, А. А. Михалёв, И А Чубаров), мех-мат МГУ Доклад. "Некоторые результаты о бигамильтоновой операде", 2005 г

3) Семинар «Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика» (рук. С M Натанзон, О В Шварцман и О К Шейнман), НМУ Доклад. "Характер операды пары согласованных скобок", 2005 г

4) Семинар «Quantique» (руководитель Б. Энрикес), IRMA, Страсбург Доклад: "Some results on the operad governing two compatible Poisson brackets", 2006 г

5) Семинар «Séminaire de Physique Mathématique» (рук. О. Кравченко и В Овсиенко), Université Lyon I Доклад- "The bi-hamiltoman operad and related quadratic algebras", 2006 r.

6) Семинар «Algebra Szemmárium» (руководитель Л. Марки), институт им А Реньи, Будапешт Доклад- "The bihaimlto-nian operad and related quadratic algebras", 2006 r.

7) Научно-исследовательский семинар им. О Ю Шмидта кафедры высшей алгебры (рук. В. Н. Латышев), мех-мат МГУ. Доклад: "Аналоги алгебры Орлика-Соломона и связанные с ними операды", 2006 г.

8) Конференция «Trends m Noncommutative Geometry», Isaac Newton institute, Кембридж, Великобритания Poster talk

"An operadle approach to deformation quantization of compatible Poisson brackets", 2006 г

Публикации автора по теме диссертации

Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4].

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Во введении дается обзор известных ранее результатов, формулируются результаты диссертации и вкратце описываются методы их получения.

В главе 1 приведены важнейшие определения и используемые нами результаты других авторов Она является служебной, доказательства в ней в основном отсутствуют (исключением являются результаты автора об операде, квадратично двойственной операде пары согласованных скобок (предложение 2), об обобщении теоремы о дистрибутивных законах (теорема 3), и о хопфо-вой структуре на бигамильтоновой операде (предложение 4), а также результаты А С Хорошкина о фильтрациях на квадратичных операдах14 (теорема 1))

В главе 2 подробно обсуждается случай операды Пуассона и четной алгебры Орлика-Соломона. Мы полагаем эту часть работы достаточно важной, ибо структура доказательства в модельном примере чётных алгебр Орлика-Соломона проясняет (технически трудное) доказательство новых результатов Результаты этого раздела в основном известны, хотя многие из предложенных доказательств являются новыми Сначала доказана коэн-маколеевость частично упорядоченных множеств nn(fébm), построенных по теоретико- множественной операде

14 [Kh] Khoroshkm A Koszul operads and distributive lattices // Препринт ИТЭФ ITEP-TH-24/06

^от (теорема 5) Следствием этого является кошулевость опе-рады %'от, квадратично двойственной к ней операды и получающейся из них с помощью дистрибутивного закона операды Следующий шаг — вычисление размерностей компонент операд ££%е и 3? (предложение 8 и следствие из него) Зная размерности компонент, можно построить мономиальные базисы этих компонент- для этого достаточно предъявить полные системы мономов правильной мощности (лемма 6 в случае операды теорема 6 в случае операды ¿Р) Наконец, мы предъявляем явные конструкции мономиальных базисов для чётных алгебр Орлика-Соломона (теорема 7) Доказательство этой теоремы использует спаривание между компонентами операды Пуассона и четными алгебрами Орлика-Соломона

В главе 3 план, намеченный в предыдущей главе, реализуется для случая бигамильтоновой операды и двойных чётных алгебр Орлика-Соломона. Сначала мы доказываем коэн-маколеевость частично упорядоченных множеств Пп(%Ьт2) (теорема 8) Непосредственным следствием этого является кошулевость операды ^Ьш2, квадратично двойственной к ней операды ££геч и получающейся с помощью дистрибутивного закона из операд %от и «5?ге2 операды ¿Р2 Следующий шаг — вычисление размерностей компонент операд <5?ге2 и (предложение 12 и следствие из него) Далее мы предъявляем в компонентах рассматриваемых операд полные системы мономов правильной мощности (лемма 13 в случае операды ¿г?гв2, теорема 9 в случае операды Гипотеза о том, что эти мономы образуют базис, была высказана М А. Бер-штейном Наконец, мы предъявляем явные конструкции мономиальных базисов для двойных четных алгебр Орлика-Соломона (теорема 10) В конце главы кратко изложены аналогичные результаты в случае двойной алгебры Орлика-Соломона и двойной операды Герстенхабера.

В главе 4 с помощью функциональных уравнений Гинзбурга и Капранова [СК] получены формулы характера для представлений различных групп в пространствах компонент операд Л&е

и & (теорема 11, интересно сравнить доказательство формулы характера для операды ¿£ге с традиционными выводами этой формулы15), а также операды пары согласованных скобок и бига-мильтоновой операды (теорема 12) Кроме этого, мы доказываем некоторые результаты о кратностях неприводимых представлений симметрических групп и группы вЬ^в компонентах операды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды (предложения 16 и 17)

В главе 5 определено семейство операд, включающее в себя бигамильтонову операду, и семейство алгебр, включающее в себя двойные четные алгебры Орлика-Соломона (эти алгебры мы называем двойными алгебрами Гельфанда-Варченко, поскольку при общем значении параметра они аналогичны алгебрам, изучавшиеся в [ВГ] в связи с вещественными конфигурациями гиперплоскостей) Мы доказываем, что все операды построенного нами семейства кошулевы, их компоненты имеют одну и ту же размерность, и двойственные пространства к этим компонентам естественно отождествляются с двойными алгебрами Гельфанда-Варченко (теорема 14) Доказательство этого утверждения использует полученное нами обобщение теоремы о дистрибутивных законах

В заключении приводится обобщение одного из ключевых результатов, не вошедшее в основной текст, обсуждаются возможные направления исследований и нерешенные задачи

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Владимировичу Зайцеву и доктору физико-математических наук Борису Львовичу Фейгину за постановку задач и постоянное внимание к работе Автор признателен Антону Сергеевичу Хорошкину и Михаилу Александровичу Берштейну за

15[Бах] Бахтурип Ю Я Тождества в алгебрах Ли — М. Наука, 1985 — 447 с

полезные обсуждения Автор также благодарен Анатолию Кириллову (RIMS, Киото), Андрашу Сенешу (ВМЕ, Будапешт) и Бенджамену Энрикесу (IRMA, Страсбург) за интерес к работе и обсуждение результатов

Литература

[1] Доценко В В , Хорошкин А С Формулы характера опера-ды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды // Функциональный анализ и его приложения — 2007 — Т 41, вып. 1 — С. 1-22.

В этой работе автору принадлежит доказательство кошулевости бигамильтоновой операды и вычисление SL2 х Sn-характеров рассматриваемых операд и кратно-стей неприводимых представлений, а Хорошкину А С. принадлежит идея вычисления характера с использованием многомерных вычетов и вычисление Sn-xapaKmepoe рассматриваемых операд.

[2] Доценко В. В. Алгебры, связанные с бигамильтоновой опе-радой // Препринт ПОМИ РАН 18/2006. — 38 с

[3] Dotsenko V An operadle approach to deformation quantization of compatible Poisson structures // Препринт ПОМИ РАН 19/2006 — 10 с

[4] Доценко В В О кошулевости бигамильтоновой операды // Деп в ВИНИТИ РАН №1377-В2006 — 20 с.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать /С, С / (Г г2

Формат 60 x90 1/16 Уел печ л 1,0

Тираж 100 экз Заказ 1/5

Введение.

1. История поставленных задач.

2. Основные результаты.

3. Используемые методы.

4. Краткое описание диссертации.

Глава 1. Основные понятия.

1.1. Краткое содержание главы.

1.2. Алгебра Орлика-Соломона и её аналоги.

1.3. Алгебраические структуры.

1.4. Категории #in и S — mod.

1.5. Операды.

1.6. Задание операд образующими и соотношениями.

1.7. Кошулева двойственность для операд.

1.8. Фильтрации и кошулевость.

1.9. Дистрибутивные законы и их обобщения.

1.10. Операды Хопфа.

1.11. Производящие функции и характеры.

1.12. Частично упорядоченные множества.

1.13. Кошулевость и коэн-маколеевость.

1.14. Комбинаторные структуры.

Глава 2. Модельная задача: случай алгебр OS+(n).

2.1. Структура кооперады на наборе {05+(п)}.

2.2. Спаривание с компонентами операды &.

2.3. Размерность и мономиальный базис операды &.

2.3.1. Кошулевость операд 'rfom и S£ie.

2.3.2. Формулы размерности операд Jzfie и &.

2.3.3. Полные системы мономов для «£?ге и &.

2.4. Полные системы мономов для алгебр 05+(п).

2.5. Невырожденность спаривания.

Глава 3. Случай алгебр OS^ (п).

3.1. Структура кооперады на наборе {OS^n)}.

3.2. Спаривание с компонентами операды

3.3. Размерность и мономиальный базис операд ££it<i и

3.3.1. Кошулевость операд Чоотъ и Jz?ze2.

3.3.2. Формулы размерности.

3.3.3. Полные системы мономов для J^fze2 и • • ■

3.4. Полные системы мономов для алгебр OS£(n).

3.5. Невырожденность спаривания.

3.6. Аналогичные результаты для алгебр OS(n) и 0^2(п).

Глава 4. Представления симметрической группы.

4.1. Формулы характера.

4.1.1. Операда Ли.

4.1.2. Операда Пуассона.

4.1.3. Операда пары согласованных скобок.

4.1.4. Бигамильтонова операда.

4.2. Кратности неприводимых представлений.

4.2.1. 5п-кратности.

4.2.2. 5^2-кратности.

4.3. Техническое приложение.

Глава 5. Деформационное квантование.

5.1. Операда srfssi.

5.2. Двойные алгебры Гельфанда-Варченко.

5.3. Удвоение операды Ливернэ - Лодэя.

5.4. Деформационное квантование для бигамильтоновых структур по Ливернэ-Лодэю.

1. История поставленных задач.

В 1969 году в заметке В. И. Арнольда [1] были вычислены когомологии группы крашеных кос на п нитях. Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости является пространством К(тг, 1) для этой группы, и в заметке [1] вычислены когомологии этого пространства, реализованного в виде дополнения в арифметическом векторном пространстве С" конфигурации плоскостей {гг- = zj}. (Здесь и далее мы будем обозначать эту конфигурацию через Апi, имея в виду, что она состоит из зеркал соответствующей системы корней.) Оказывается, что алгебра когомологий этого пространства квадратична; её обычно называют алгеброй Орлика-Соломона в честь П. Орлика и JI. Соломона, изучавших аналогичные алгебры для различных конфигураций гиперплоскостей в конце 1970-х годов [29].

Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости гомотопически эквивалентно га-му пространству топологической операды маленьких 2-дисков, поэтому гомологии этих дополнений образуют алгебраическую операду. В работе Коэна [15] было показано, что эта операда изоморфна операде Герстенхабера, которая описывает алгебраические структуры, возникающие на комплексе Хохшильда ассоциативной алгебры. В совокупности эти результаты означают, что компоненты операды Герстенхабера канонически изоморфны двойственным пространствам к соответствующим алгебрам Орлика-Соломона.

Операда Герстенхабера является нечётным аналогом операды Пуассона, описывающей алгебраические структуры на кольце функций на пуас-соновом многообразии. Двойственные пространства к компонентам операды Пуассона тоже образуют семейство ассоциативных алгебр, которые естественно называть чётными алгебрами Орлика-Соломона OS+(n) (в отличие от антикоммутативных алгебр Орлика - Соломона, эти алгебры коммутативны). Эти алгебры подробно изучены в работе Матьё [28]. Интересно, что они связаны с геометрией вещественной конфигурации гиперплоскостей A,ji: это градуированные версии алгебр Гельфанда-Вар-ченко [3] локально постоянных функций на дополнениях к соответствующим конфигурациям.

Доказательства результатов Коэна и Арнольда независимы друг от друга; доказательства Матьё перерабатывают информацию о чётных алгебрах Орлика-Соломона (устроенных довольно несложно) в информацию об операде Пуассона.

Обобщения алгебр Орлика-Соломона даются двойными алгебрами Орлика - Соломона и их чётными версиями. Эти алгебры были определены несколько лет назад Б. JI. Фейгиным; их некоммутативные варианты изучались А. Н. Кирилловым [23]. Б. JI. Фейгин предложил также гипотетические формулы размерности и характера для этих алгебр. После сказанного выше не очень удивительно, что эти алгебры связаны с естественными удвоениями операд Герстенхабера и Пуассона. Существенное отличие от уже известного случая состоит в том, что эту связь приходится привлекать для исследования самих алгебр. В то время, как алгебры Орлика-Соломона и их чётные версии являются кошулевыми, а их определяющие идеалы имеют обладают квадратичным базисом Грёб-нера, удвоенные алгебры не обладают этими свойствами. Это означает, что задача вычисления размерности и ряда Гильберта такой алгебры не сводится к аналогичной задаче для мономиального вырождения соотношений этой алгебры, и потому является довольно нетривиальной. Единственное известное на данный момент решение этой задачи опубликовано в данной работе и использует результаты теории операд.

Другая причина изучения бигамильтоновой операды такова. Как известно, представление симметрической группы в п-й компоненте операды Пуассона изоморфно регулярному представлению. Этому же представлению изоморфно представление симметрической группы в алгебре её ко-инвариантов — факторалгебре алгебры многочленов от п переменных по идеалу, порождённому симметрическими многочленами, которые равны нулю в начале координат. Естественное удвоение этой алгебры — алгебра диагональных коинвариантов симметрической группы, т. е. фак-торалгебра алгебры полиномиальных функций на п точках плоскости по идеалу, порождённому инвариантами, равными нулю в начале координат. Первые нетривиальные результаты об этой алгебре были получены несколько лет назад М. Хайманом [21] с помощью довольно тонких результатов о геометрии схемы Гильберта п точек на плоскости. Дальнейшие исследования показали, что различные интерпретации этой алгебры приводят к прояснению нетривиальных связей разных областей математики (см., например, [17], [20]). Гипотеза Б. JI. Фейгина состояла в том, что новую интерпретацию этой алгебры можно получить с помощью удвоения операды Пуассона — бигамильтоновой операды. Оказалось, что эта гипотеза неверна, но, что особенно удивительно, неверна лишь частично. А именно, размерность алгебры диагональных коинвариантов совпадает с размерностью пространства бигамильтоновой операды и двойной чётной алгебры Орлика-Соломона, но представление симметрической группы в алгебре диагональных коинвариантов отличается от представления в компоненте бигамильтоновой операды (которое изоморфно представлению в двойной чётной алгебре Орлика-Соломона). Эти утверждения тоже являются следствиями результатов диссертации.

Ещё одна мотивировка происходит из теории деформаций. Согласно Ливернэ и Лодэю [26], с помощью деформаций операды Пуассона можно обсуждать задачи деформационного квантования пуассоновых структур [11]. Поэтому интересно изучать деформации бигамильтоновой операды, которые потенциально могут быть полезны в задачах деформационного квантования бигамильтоновых структур, важного для интегрируемых систем.

Заключение.

1. Возможные обобщения.

Обобщения наших результатов могут развиваться в направлении увеличения числа групп образующих — три согласованных скобки, тройная чётная алгебра Орлика-Соломона и т. д. Приведём здесь без доказательства теорему, доказанную автором в [35].

Теорема 15. Для любого к операда к согласованных скобок и «к-гамилъ-тонова» операда кошулевы.

Квадратично двойственная к операде к согласованных скобок всегда является теоретико-множественной операдой и имеет простое описание. Если обозначить эту операду через ^Ьш^, то размерность пространства ^omjt(n) равна Замкнутой формулы для коэффициентов ряда, обратного соответствующей экспоненциальной производящей функции относительно композиции, нам не известно.

Мы не знаем удовлетворительного определения чётных алгебр Орлика-Соломона с к наборами образующих. Мы предполагаем, что можно определить соотношения в этих алгебрах так, чтобы возникающая коопе-радная структура давала &-гамильтонову операду, но соотношения уже не будут квадратичными и будут несколько менее прозрачны.

2. Перспективы дальнейших исследований.

2.1. Геометрические описания двойных алгебр.

Во введении к данной работе мы привели геометрические описания для алгебры Орлика-Соломона (когомологии дополнения к комплексной конфигурации гиперплоскостей) и чётной алгебры Орлика - Соломона (градуированная версия алгебры локально постоянных функций на дополнении к вещественной конфигурации гиперплоскостей). Естественно задать вопрос, существуют ли столь же наглядные описания соответствующих двойных алгебр — например, в терминах геометрических данных, связанных с конфигурациями гиперплоскостей. На данный момент ответ на этот вопрос неизвестен.

2.2. Связь с диагональными коинвариантами.

Существует ли глубокое объяснение того, что и размерность алгебры OS^n), и размерность алгебры диагональных коинвариантов для п точек на плоскости равна (n + l)71-1? Единственный известный план прояснения этой связи описан в работе А. Н. Кириллова [23], где определён некоммутативный аналог алгебры OS^in), для которого алгебра OS^in) и, предположительно, алгебра диагональных коинвариантов являются фак-торалгебрами. Возможно, что изучение этой алгебры приведёт к определению удвоенных операторов Данкла [16], и это новое семейство коммутирующих операторов будет полезно в теории интегрируемых систем.

2.3. Другой аналог алгебры Орлика-Соломона.

Как мы отмечали выше, двойные алгебры Орлика - Соломона и двойные чётные алгебры Орлика-Соломона не являются кошулевыми. Вычисления А. Н. Кириллова [23], проведённые с помощью компьютерной программы bergman [10], показывают, что среди ненулевых чисел Бетти этих алгебр встречаются b4,5 = 2 для алгебры OS^fi) и 63^4 = 1 для алгебры 052(3). В работе [23] предложен вариант удвоения алгебры Орлика-Соломона, который предположительно даёт кошулеву алгебру. А именно, рассмотрим алгебру OS^n), множество образующих которой то же, что у 0^2 (п), а множество соотношений получается из соотношений 05г(п) выбрасыванием соотношения Xijyij = 0.

Гипотеза ([23]). Алгебра 05г(п) кошулева, dimOS^n) = 2n(n+ 1)п~2.

Замечание 10. Напомним, что 2п(п + 1)п-2 — гипотетическая размерность алгебры тридиагоналъных коинвариантов [21].

Замечание 11. Алгебры OS^in) и 052(п) во многом похожи. А именно, соотношения в них можно описать так. Положим Zij = Xxij + fiyij. Соотношения в алгебре 05^"(п) (соотв., 052(п)) означают, что для любых коэффициентов X, р элементы z^ удовлетворяют соотношениям алгебры OS+(n) (соотв., OS(n)J. Во втором случае соотношение хцУц — О теряется из-за антикоммутативности.

Мы хотим обсудить в этом разделе ещё две задачи в рамках данного сюжета, не получившие пока полного решения. Это задача вычисления кратностей неприводимых представлений симметрических групп в компонентах операды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды, а также задача вычисления размеров деформации бигамильтоновой операды, описанной нами выше.

2.4. Кратности неприводимых представлений.

Напомним комбинаторное правило вычисления кратностей неприводимых представлений в случае операды Ли.

Теорема 16 ([24]). Кратность неприводимого представления группы Sn, отвечающего диаграмме Юнга X из п клеточек, в пространстве J£ie(n), равно количеству стандартных таблиц Юнга Т формы X, заряд с(Т) которых сравним с 1 по модулю п. Здесь с(Т) — сумма всех чисел г, для которых г + 1 располагается ниже i в Т.

Мы предполагаем, что похожее правило вычисления кратностей верно и в случае операды пары согласованных скобок.

2.5. Деформационное квантование.

Мы надеемся, что наши результаты могут быть полезны в изучении деформационного квантования бигамильтоновых систем (ибо с помощью операд можно устанавливать, наличие какой алгебраической структуры надо ожидать на квантовом объекте).

1. Арнольд В. И. Кольцо когомологии группы крашеных кос // Математические заметки. — 1969. — т. 5. — С. 227-231.

2. Бахтурин Ю. И. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985. — 447 с.

3. Варченко А. Н., Гельфанд И. М. Функции Хевисайда конфигурации гиперплоскостей // Функциональный анализ и его приложения. — 1987. — т. 21, вып. 4. — С. 1-18.

4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с.

5. Клячко А. А. Элементы Ли в тензорной алгебре // Сиб. мат. журнал. — 1974. — т. XV, № 6. — С. 1296-1304.

6. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. — М.: МЦНМО, 2002. — 144 с.

7. Макдоналъд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. — 221 с.

8. Смирнов В. А. Симплициальные и операдные методы в теории гомотопий. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. — 272 с.

9. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — 440 с.

10. Backelin J., Cojocaru S., Ufnarovski V. The Computer Algebra Package Bergman: Current State // J. Herzog, V. Vuletescu (eds.). Commutative Algebra, Singularities and Computer Algebra. — Kluwer Academic Publishers, 2003. — P. 75-100.

11. В ay en F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., Sternheimer D. Deformation theory and quantization I, II // Ann. Physics. — 1978. —Vol. 111.— P. 61-151.

12. Bjorner A., Wachs M. On lexicographically shellable posets // Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — Vol. 277, № 1. — P. 323-341.

13. Brandt A. J. The free Lie ring and Lie representations of the full linear group // Trans. Amer. Math. Soc. — 1944. — Vol. 56. — P. 528-536.

14. Chapoton F., Vallette B. Pointed and multi-pointed partitions of types A and В // math.QA/0410051. — 21 p.

15. Cohen F. R. The homology of Cra+i-spaces, n > 0 // Lecture Notes in Math. — 1976. — Vol. 533. — P. 207-351.

16. Dunkl C. F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1981. — Vol. 311. — P. 167-183.

17. Feigin В., Loktev S. Multi-dimensional Weyl modules and symmetric functions // math. QA/0212001. — 13 p.

18. Fresse В. Koszul duality of operads and homology of partition posets // Contemp. Math. — 2004. — Vol. 346. — P. 115-215.

19. Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Duke mathematical journal. — 1994. — Vol. 76, № 1. — P. 203-272.

20. Gordon I., Stafford J. T. Rational Cherednik algebras and Hilbert schemes II: representations and sheaves // math.RT/0410293. — 47 p.

21. Haiman M. Vanishing theorems and character formulas for Hilbert scheme of points on a plane // math. AG/0201148. — 33 p.

22. Khoroshkin A. Koszul operads and distributive lattices // Preprint ITEP-TH-24/06. — 10 p.

23. Kirillov A. N. On some quadratic algebras II // Preprint RIMS (Kyoto). — 45 p.

24. Kraskieicz W., Weyman J. Algebra of coinvariants and the action of a Coxeter element // Bayreuther Math. Schriften. — 2001. — Vol. 63. — P. 265-284.

25. Markl M. Distributive laws and Koszulness j I Ann.Inst.Fourier. — 1996. — Tome 46, № 2. — P. 307-323.

26. Markl M., Remm E. Algebras with one operation including Poisson and other Lie-admissible algebras // math.AT/0412206. — 19 p.

27. Markl M., Shnider S., Stasheff J. D. Operads in Algebra, Topology and Physics. — Mathematical Surveys and Monographs, vol. 96, AMS, Providence, RI, 2002. — 299 p.

28. Mathieu 0. The symplectic operad // "Functional analysis on the eve of the 21st century", Vol. 1 (New Brunswick, NJ, 1993). — Progr. Math., 131, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1995. — P. 223-243.

29. Orlik P., Solomon L. Combinatorics and topology of complements of hyperplanes // Invent. Math. — 1980. — Vol. 56, №2. — P. 167-189.

30. Polishchuk A., Positselski L. Quadratic algebras. — University Lecture Series, 37. AMS, Providence, RI, 2005. — 176 p.

31. Vallette B. Homology of generalized partition posets // math.AT/0405312. — 35 p.

32. Публикации автора по теме диссертации

33. Доценко В. В., Хорошкин А. С. Формулы характера операды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды // Функциональный анализ и его приложения. — 2007. — Т. 41, вып. 1. — С. 1-22.

34. Доценко В. В. Алгебры, связанные с бигамильтоновой операдой // Препринт ПОМИ РАН 18/2006. — 38 с.

35. Dotsenko V. An operadic approach to deformation quantization of compatible Poisson structures // Препринт ПОМИ PAH 19/2006. — 10 c.

36. Доценко В. В. О кошулевости бигамильтоновой операды // Деп. в ВИНИТИ РАН Ш377-В2006. — 20 с.