Q-деформированные скобки Гельфанда-Дикого и универсальная Q-разностная редукция Дринфельда-Соколова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

1 Группы Пуассона-Ли и интегрируемые системы

1.1 Пуассоновы алгебры, дуальные пары и симплектические листы.

1.2 Группы Ли-Пуассона и биалгебры Ли.

1.3 Теория дубля и одевающие преобразования.

2 "Уравнения g-KdV и обобщенные q-деформированные скобки Гельфанда-Дикого на алгебре ФDq g-псевдоразностных операторов

2.1 Алгебра ФDq g-псевдоразностных операторов.

2.2 Дробные степени g-псевдоразностных операторов и уравнения Лакса.

2.3 Гамильтонов формализм для-уравнений g-KdV.

3 Q-разностная редукция Дринфельда-Соколова в случае 0tn

3.1 g-Связности, калибровочные преобразования и g-разностные уравнения нулевой кривизны.

3.2 Конструкция потоков.

3.3 Связь между g-разностными уравнениями нулевой кривизны и скалярными уравнениями Лакса на

3.4 Пуассонов аспект редукции Дринфельда-Соколова для q-разностных уравнений.

4 Группа g-псевдоразностных операторов комплексных порядков и обобщенные иерархии g-KdV

4.1 Логарифмический коцикл и двойное расширение алгебры

4.2 Группа g-псевдоразностных операторов произвольных комплексных порядков.

4.3 Обобщенная g-деформированная структура Гельфанда-Дикого на G- и связанные с ней g-KdV иерархии.

5 Универсальная g-разностная редукция Дринфельда - Соколова

5.1 Алгебры матриц комплексного размера и их алгебры петель.

5.2 Орбиты калибровочного действия верхнетреугольной группы и теорема о сечении.

5.3 Выбор г-матрицы.

5.4 Явная формула для фактор-скобки и теорема единственности.

Настоящая диссертация посвящена исследованию пуассоновых структур для иерархий q-деформированных уравнений типа КдФ. Напомним, что уравнение Кортевега-де-Фриза и его обобщения служили базой для развития современной теории вполне интегрируемых систем. Изучение связанных с ними пуассоновых структур составляет важную часть этой теории; в частности, оно позволяет выявить важную и первоначально скрытую роль некоторых бесконечномерных алгебр и групп Ли в конструкции этих уравнений.

Конструкция q-деформированных иерархий типа КдФ приводит нас к нелинейным g-разностным уравнениям; в последние несколько лет было построено несколько вариантов таких иерархий [10, 16, 20]. Изучение иерархий этого типа мотивировано в первую очередь рядом задач теории квантовых групп, в частности, проблемой построения квантовых деформаций алгебры Вирасоро и W-алгебр. Эта задача оказалась гораздо более сложной, чем хорошо изученный сейчас вопрос о квантовых деформациях аффинных алгебр Ли. Хотя к настоящему времени определение q-деформированной алгебры Вирасоро было, в конце концов, установлено, оно остается в значительной степени техническим, и было бы очень желательно достигнуть более глубокого понимания этого вопроса. Как показала работа Э.Френкеля и Н.Решетихина, одну из возможностей прийти к такому пониманию дает изучение квазиклассического предела этой q-деформации.

Напомним, что конструкция квазиклассического варианта q-деформированных W-алгебр, предложенная этими авторами, основана на изучении центра q-деформированной универсальной обертывающей алгебры соответствующей аффинной алгебры Ли при критическом значении центрального заряда. Подобная конструкция известна и в классическом случае (то есть в случае обычных, недеформированных, иерархий типа КдФ), где она дополняется двумя другими, именно конструкциями Гельфанда-Дикого и Дринфельда-Соколова. Тот факт, что все три подхода приводят нас к одним и тем же пуассоновым структурам, является очень глубокой теоремой [9]. Естественно попытаться доказать аналог данной теоремы также и в g-деформированном случае. Первый важный результат в данном направлении был установлен в работах [12, 35], где был предложен q-деформированный вариант теории Дринфельда-Соколова. Построенный в настоящей диссертации д-деформированный вариант теории Гельфанда-Дикого позволяет завершить это сравнение g-деформированного и классического случаев.

Как это уже предполагает достаточно сложный характер явных формул для q-деформированной алгебры Вирасоро [11], обобщение теории Дринфельда-Соколова, так же как и теории Гельфанда-Дикого, оказывается очень нетривиальным; изучение новых явлений, связанных с этим обобщением, в значительной степени служило мотивировкой для написания настоящей работы. Чтобы дать качественное представление о сущности этих явлений, отметим прежде всего, что переход от дифференциальных уравнений к конечно-разностным почти автоматически помещает нас в рамки теории групп Пуассона-Ли, вводя в действие все её характеристические элементы, такие как r-матрицы, негамильтоновы действия групп и т.п. Поскольку априори выбор r-матрицы на группе Ли не является единственным, можно было бы опасаться, что соответствующие пуассоновы структуры не будут каноническими. На самом деле оказывается, напротив, что условия совместности практически однозначно определяют все эти структуры, и в частности, приводят к необходимости введения нового класса эллиптических г-матриц [12, 35]. (Точную формулировку наших результатов, которая требует введения ряда определений, читатель может найти в главах 2 и 3.)

Напомним, что в подходе Адлера-Гельфанда-Дикого нелинейные уравнения типа КдФ связаны с алгеброй Ч/DO псевдодифференциальных операторов на прямой; нелинейные уравнения этих иерархий можно записать как уравнения Лакса где L — дифференциальный оператор n-го порядка. Таким образом, иерархии параметризованы натуральным числом п. Алгебра 4>DO псевдодифференциальных операторов на прямой допускает замечательное центральное расширение [19], которое позволяет построить непрерывные семейства уравнений типа КдФ, заменяя п комплексными числами. Работа Хесина и Захаревича [18] позволила описать эти семейства псевдодифференциальных операторов комплексных порядков в рамках теории групп Пуассона-Ли и найти универсальную пуассонову структуру, которая обобщает структуру Адлера-Гельфанда-Дикого и одновременно обслуживает все соответствующие иерархии нелинейных уравнений. Построение q-деформированного аналога [27] данной конструкции, составляющее одну из важных частей настоящей диссертации, изложено в главе 4. Отметим, что другое семейство уравнений типа g-КдФ введено Хесиным, Любашенко и Роже в работе [16].

Последний сюжет, рассматриваемый в настоящей диссертации, составляет g-деформированный вариант универсальной редукции Дрин-фельда-Соколова. В рамках классического случая необходимость построения универсального варианта теории Дринфельда-Соколова связана с существованием упомянутого выше непрерывного семейства уравнений типа КдФ. Напомним, что исходным пунктом в теории Дринфельда-Соколова является возможность реализации дифференциальных операторов n-го порядка с помощью матричных операторов первого порядка, связанных с алгеброй gl(n); таким образом, дифференциальные операторы разных порядков должны рассматриваться отдельно. Возможность сделать интерполяцию между различными алгебрами fll(n) была предложена Фейгиным, который ввел бесконечномерную алгебру glA, названную алгеброй матриц размера Л х Л. Хесин и Маликов [17] использовали эту алгебру для построения универсальной версии теории Дринфельда-Соколова. Обобщение этой конструкции на д-деформированный случай, которое также приводит к новым явлениям при описании соответствующих пуассоновых структур, представлено в главе 5.

Научная новизна работы и основные положения, выносимые на защиту.

1. Предложен способ построения д-деформированных скобок Гельфанда-Дикого на алгебре ФDq скалярных g-псевдоразностных операторов на основе r-матричного формализма. В отличие от непрерывного случая, данная конструкция приводит к необходимости введения нового класса r-матричных скобок Пуассона с нарушенной киральностью. Сформулирована и доказана теорема единственности для этих скобок.

2. Построен класс g-разностных уравнений нулевой кривизны на алгебре петель Lgl (п), ковариантных относительно калибровочного действия верхнетреугольной группы. Показано, что соответствующие уравнения на фактор-пространстве совпадают со скалярными g-разностными уравнениями Лакса на алгебре ФDq. Получено явное описание скобок Пуассона на Lgl(n), совместных с редукцией. Показано, что, в отличие от случая Lsl(n), существует целое семейство таких скобок, параметризованное антисимметричными эндоморфизмами пространства С((А-1)) формальных рядов Лорана, однако лишь одна из них удовлетворяет условию ин-волютивности.

3. Построено нетривиальное двойное расширение алгебры ФDq, связанное с "логарифмическим" коциклом. Использование в качестве одной из образующих оператора дилатации, а не g-разностного аналога производной, позволило существенно упростить вычисления.

4. На основе "логарифмического" двойного расширения алгебры ФDq построены обобщенные иерархии типа g-КдФ, соответствующие д-псевдо-разностным операторам Лакса комплексных порядков. Построена единая пуассонова структура на группе g-псевдоразностных операторов (вто9 рая обобщенная q-деформированная скобка Гельфанда-Дикого), которая одновременно обслуживает все эти иерархии. Описаны некоторые пуас-соновы подпространства конечной функциональной размерности для этой скобки.

5. Построены g-разностные аналоги алгебр матриц комплексного размера и их алгебры петель. Это обобщение оказывается нетривиальным и требует особого выбора кольца основных функций и наложения ряда специальных ограничений на поведение матричных элементов. Построен g-разностный вариант универсальной редукции Дринфельда-Соколова, явно описаны все скобки Пуассона, совместные с редукцией. Условия совместности с редукцией определяют ряд новых особенностей в структуре соответствующих г-матриц.

Заключение

В настоящей работе проведено исследование пуассоновых структур для иерархий д-деформированных уравнений типа КдФ. Получены следующие основные результаты:

1. Предложен способ построения q-деформированных скобок Гельфанда-Дикого на алгебре ФDq скалярных q- псевдоразностных операторов на основе r-матричного формализма. В отличие от непрерывного случая, данная конструкция приводит к необходимости введения нового класса r-матричных скобок Пуассона с нарушенной киральностью. Сформулирована и доказана теорема единственности для этих скобок.

2. Построен класс g-разностных уравнений нулевой кривизны на алгебре петель Lgl(n), ковариантных относительно калибровочного действия верхнетреугольной группы. Показано, что соответствующие уравнения на фактор-пространстве совпадают со скалярными g-разностными уравнениями Лакса на алгебре ФDq. Получено явное описание скобок Пуассона на Lgl(n): совместных с редукцией. Показано, что, в отличие от случая Ls/(n), существует целое семейство таких скобок, параметризованное антисимметричными эндоморфизмами пространства С ((А-1)) формальных рядов Лорана, однако лишь одна из них удовлетворяет условию ин-волютивности.

3. Построено нетривиальное двойное расширение алгебры ФД^, связанное с "логарифмическим" коциклом. Использование в качестве одной из образующих оператора дилатации, а не g-разностного аналога производной, позволило существенно упростить вычисления.

4. На основе "логарифмического" двойного расширения алгебры ФDq построены обобщенные иерархии типа q-КдФ, соответствующие д-псевдо-разностным операторам Лакса комплексных порядков. Построена единая пуассонова структура на группе g-псевдоразностных операторов (вторая обобщенная д-деформированная скобка Гельфанда-Дикого), которая

108 одновременно обслуживают все эти иерархии. Описаны некоторые пуассоновы подпространства конечной функциональной размерности для этой скобки.

5. Построены g-разностные аналоги алгебр матриц комплексного размера и их алгебры петель. Это обобщение оказывается нетривиальным и требует особого выбора кольца основных функций и наложения ряда специальных ограничений на поведение матричных элементов. Построен g-разностный вариант универсальной редукции Дринфельда-Соколова, явно описаны все скобки Пуассона, совместные с редукцией. Условия совместности с редукцией определяют ряд новых особенностей в структуре соответствующих г-матриц.

Результаты диссертации дают существенное расширение класса q-разностных интегрируемых уравнений типа g-КдФ и позволяют достигнуть более глубокого понимания структуры q- деформированных W-алгебр, проявляя важную и первоначально скрытую роль некоторых математических объектов, а также открывают ряд новых явлений при описании соответствующих пуассоновых структур. Разработанная в диссертации техника может быть использована при изучении пуассоновых структур для других классов g-разностных интегрируемых уравнений.

1. М. Adler. On a trace functional for formal pseudodifferential operators and the symplectic structure of the Korteweg-de Vries type equations. Inv. Math. 50(1979), p. 219-248.

2. M. Adler, E. Horozov and P. van Moerbeke. The solution to the q-KdV equation. Preprint solv-int/9712015.

3. В.И. Арнольд. Математические методы классической механики. М., "Наука", 1989.

4. А.А. Белавин, В.Г. Дринфельд. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли. Функц. анализ и его прилож., N 3, 16(1982), с. 1-29.

5. В.Г. Дринфельд. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биал-гебры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга-Бакстера. ДАН СССР 268(1983), с. 285-287.

6. В.Г. Дринфельд., В.В. Соколов Алгебры Ли и уравнения типа Кор-тевега де Фриза. В кн.: Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники.) М.: ВИНИТИ, 24 (1984), с. 81-180.

7. В. Feigin, Е. Frenkel. Affine Lie algebras at the critical level and G elf and-Dickey algebras. Int. J. Math. Phys. A7, suppl.Al (1992), p. 197-215.

8. L. Freidel, J.M. Maillet. Quadratic algebras and integrable systems, Phys. Lett. В 262, (1991), p.278.

9. E. Frenkel. Affine Kac-Moody algebras at the critical level and quantum Drinfeld-Sokolov reduction. PhD Thesis, Harvard University, 1991.

10. E. Frenkel. Deformations of the KDV hierarchy and related soliton equations. Int. Math. Res. Notices 2(1996), p. 55-76; preprint q-alg/9511003.

11. E. Frenkel, N. Reshetikhin. Quantum affine algebras and deformations of the Virasoro algebra and W-algebras. Comm. Math. Phys. 178(1996), p. 237-264; preprint g-alg/9505025.

12. E. Frenkel, N. Reshetikhin, M.A. Semenov-Tian-Shansky. Drinfeld-Sokolov reduction for difference operators and deformations of W-algebras. I. The case of Virasoro algebra. Comm. Math. Phys. 192 (1998), p. 605-629.

13. И.М. Гельфанд, JI.А. Дикий. Семейство гамилътоновых структур, ' связанных с интегрируемыми нелинейными дифференциальнымиуравнениями. Препринт N 136, ИПМ, 1978.

14. L. Haine and P. Iliev. The bispectral property of a q-deformation of the Schur polynomials and the q-КdV hierarchy. J.Phys. A: Math. Gen. 30(1997), p. 7217-7227.

15. P. Iliev. Таи function solutions to a q-deformation of the KP hierarchy. Lett. Math. Phys. 44(1998), p. 187-200.

16. B. Khesin, V. Lyubashenko and C. Roger. Extentions and contractions of the Lie algebra of q-pseudodifferential symbols. Preprint hep-th/9403189 ;J. of Func. Analysis, 143(1997) p. 55-97.

17. B. Khesin and F. Malikov. Universal Drinfeld-Sokolov Reduction and Matrices of Complex Size. Preprint hep-th/9405116, Comm. Math. Phys. 175 (1996) p. 113.

18. B. Khesin and I. Zakharevich. Poisson-Lie group of pseudodifferential symbols and fractional KP-KdV hierarchies. C.R.Acad. Sci. Paris, 316(1993), Serie I, p. 621-626.

19. O.S. Kravchenko and B.A. Khesin. Central extension of the algebra of pseudodifferential symbols. Funct. Anal. Appl. 25(1991), No. 2, p. 8385.

20. B.A. Kuperschmidt. Discrete Lax Equations and Differential-Difference Calculus. Asterisque, 123, 1985.

21. L.C. Li, S. Parmentier. Nonlinear Poisson structures and r-matrices. Commun. Math. Phys. 125 (1989), p. 545-563.

22. S. Lie (unter Mitwirkung von F. Engel). Theorie der Transformation-sqruppen, Abschn. 3, 1893. Teubner: Leipzig.

23. J.E. Marsden and A. Weistein. Reduction of symplectic manifolds with symmetries. Rep. Math. Phys. 5(1974), p. 121-130.

24. W. Oewel. Poisson brackets for integrable lattice systems. Algebraic aspects of integrable systems: in memory of Irene Dorfman. Progress in non-linear differential equations and their applications, v.26. Ed. A.S. Fokas and I.M. Gelfand, 1997.

25. A.JI. Пирозерский. Редукция Дринфельда-Соколова для разностного оператора Лакса с периодическими граничными условиями в случае gl (п, С((Л-1))). Записки научных семинаров ПОМИ, т.251, 1998.

26. A.L. Pirozerski et М.А. Semenov-Tian-Shansky. La reduction de Drinfeld-Sokolov pour les equations de Lax aux differences finies sur un reseau. Recueuil des travaux de la premiere Rencontre Mathematique de Glanon, 1997.

27. A.JI. Пирозерский, М.А. Семенов-Тян-Шанский. Q-псевдоразност-ная редукция Дринфельда- Соколова для алгебры матриц комплексного размера. Труды Санкт-Петербургского Математического Общества, том 7, с. 194-229, 1999. Preprint math.QA/9905093.

28. A.G. Reyman and М.А. Semenov-Tian-Shansky. Reduction of hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations. I. Invent. Math. 54(1979), p. 81-100.

29. А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский, И.Б. Френкель. Градуированные алгебры Ли и вполне интегрируемые динамические системы. ДАН СССР, N 4, 247(1979), с. 802-804.

30. А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский. Алгебры токов и нелинейные уравнения в частных производных. ДАН СССР, N 6, 251(1980), с. 1310-1313.

31. М.А. Семенов-Тян-Шанский. Что такое классическая г-матрица. Функц. анализ и его прилож., N 4, 17(1983), с. 259-272.

32. М.А. Semenov-Tian-Shansky. Dressing transformations and Poisson-Lie group actions. Publ. RIMS, Kyoto University 21, No.6(1985), p. 1237-1260.

33. M.A. Semenov-Tian-Shansky. Lectures on r-matrices, Poisson-Lie groups and integrable systems. In : Lectures on integrable systems, O.Babelon, P.Cartier, Y.Kosmann-Schwarzbach (eds.), World Scientific, 1994, p. 269-317.

34. M.A. Semenov-Tian-Shansky and A.V. Sevostyanov. Drinfeld-Sokolov reduction for difference operators and deformations of W-algebras. II. General semisimple case. Coraraun. Math. Phys. 192(1998), p. 631.

35. A. Weinstein. The local structure of Poisson manifolds. J. Diff. Geom. 18, No. 3 (1982), p. 523-558.