Алгебраические аспекты теории интегрируемых волчков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Ефимовская, Ольга Владимировна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи УДК 517.958+512.77
Ефимовская Ольга Владимировна
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ВОЛЧКОВ
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва — 2005
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор А. В. Михалев
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор А. А. Туганбаев
кандидат физико-математических наук, доцент А. Ю. Голубков
Ведущая организация: Институт математики с ВЦ
УНЦ РАН
Защита диссертации состоится 9 декабря 2005 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан 9 ноября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор
В. Н. Чубариков
Общая характеристика работы Актуальность темы
В работе рассматриваются алгебраические структуры, связанные с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями. В первых двух главах диссертации под интегрируемостью понимается интегрируемость по Лиувиллю, в третьей главе - интегрируемость методом обратной задачи рассеяния.
С алгебраической точки зрения интегрируемость по Лиувиллю гамиль-тонова обыкновенного дифференциального уравнения с полиномиальной правой частью означает наличие достаточного числа функционально независимых полиномиальных первых интегралов.
Задача о нахождении интегрируемых по Лиувиллю случаев в задачах динамики твердого тела (иногда соответствующие системы ОДУ называют волчками) является классической. Здесь нужно найти всего один дополнительный первый интеграл. В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки интегрируемые случаи были найдены Эйлером, Ла-гранжем и Ковалевской1. Известно, что для этой задачи других интегрируемых случаев не существует. Для уравнений Кирхгофа, описывающих движение твердого тела в идеальной жидкости, известны интегрируемые случаи Кирхгофа2, Клебша3, Ляпунова-Стеклова4 и Соколова5. Проблема полного описания интегрируемых случаев представляет значительный интерес. Глубокие результаты в этом направлении получены В.В. Козловым6 и его учениками.
Развитие компьютерной алгебры доставляет новые вычислительные возможности для поиска интегрируемых случаев. Например, для нахождения полиномиальных интегралов можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Если гамильтониан фиксирован, условие коммутирования гамильтониана и интеграла приводит к системе линейных уравнений для неизвестных коэффициентов интеграла, которая легко можеу быть решена с помощью любой из стандартных систем аналитиче-
1 Kowalevski S. Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, // Acta Math., 1889, v. 12, p. 177-232.
2 Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике, //М.: АН СССР, 1962.
3 Clebsch A. Ober die Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit, // Math. Annalen, 1870, v. 3, p. 238-262.
4 Стеклов B.A. О движении твердого тела в жидкости, // Харьков, 1893, 234 с.
5 Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, // ТМФ, 2001, т. 129 №1, с. 31-37.
6 Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоновой механике, // Ижевск: РХД, 1995, 429 с.
РОС НАЦИОНАЛЬНА БИБЛИОТЕКА j СПотсрбхрг if Г ,
08 iec£«rr Г & (
ских вычислений Maple, Reduce или Mathematica. Ситуация меняется, если решается классификационная задача. В этом случае неизвестными являются как коэффициенты интеграла, так и коэффициенты гамильтониана. Условие коммутирования приводит к переопределенной системе билинейных алгебраических уравнений относительно всего набора неизвестных коэффициентов.
В последние годы появились компьютерные программы, предназначенные для решения переопределенных систем, состоящих из нескольких сотен алгебраических уравнений. Основным инструментом, используемым в данной работе является программный пакет "Crack"доктора Томаса Вольфа (Канада).7
Задача нахождения интегрируемых случаев для уравнений на свободных ассоциативных алгебрах мало изучена. Она важна потому, что каждое интегрируемое уравнение допускает множество различных интегрируемых конечномерных редукций. Например, можно считать неизвестные матрицами произвольной размерности. В соответствующем интегрируемом матричном уравнении возможны дальнейшие редукции, связанные со спецификацией вида этих матриц.
Определения основных понятий таких, как инфинитезимальная симметрия, первый интеграл, рекурсионный и гамильтонов операторы и др. для уравнений на ассоциативных алгебрах были недавно даны А.В. Михайловым и В.В. Соколовым в работе8. Аналогом интегрируемости по Ли-увиллю для таких уравнений является существование бесконечной серии первых интегралов.
Проблема классификации представлений Лакса является одной из ключевых в теории метода обратной задачи рассеяния. Этот метод является наиболее универсальным современным способом интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. Он применим, если для исследуемого уравнения известна пара Лакса. Прямой метод нахождения представления Лакса для заданного уравнения (так называемый метод Уолквиста-Эстабрука) мало эффективен. Все наиболее интересные примеры нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, были найдены иначе. Исходя из некоторой (как правило алгебраической) конструкции строились классы пар Лакса, а затем находились соответству-
7 Wolf Т., Brand A. The Computer Algebra Раскаде CRACK for Investigatmg PDEs.// http://www.uni-koeln.de/REDUCE/3.6/doc/crack/, A. C. Hearn, J. P. Fitch (ed.), July 1995, RAND Publication CP78 (Rev. 7/95), RAND, Santa Monica, CA 90407-2138, USA, manual + software in the REDUCE network library, 1992.
8 Mikhailov А. V., Sokolov V. V. Integrable ODEs on Associative Algebras, // Commun. Math. Phys., 2000, v. 211 №1, p. 231-251.
ющие им нелинейные уравнения.
И.В. Чередник9 и М.А. Семенов-тян-Шанский10 связали построение пар Лакса с алгебраической задачей о разложении алгебры £((А)) рядов Лорана с коэффициентами из алгебры Ли Я (т.е. алгебры петель над Я) в прямую сумму двух векторных пространств, каждое из которых является подалгеброй Ли. С точки зрения приложений интересен случай, когда одна из этих подалгебр совпадает с подалгеброй ¿/[[А]] рядов Тейлора. Назовем вторую подалгебру дополнительной. Общая алгебраическая классификационная задача в этом случае состоит в описании для фиксированной полупростой алгебры Ли Я всех дополнительных подалгебр к подалгебре ¿7[[А]]. Для приложений особенно важны маломерные полупростые алгебры Ли Я- Для простейшего случая Я = во(3) эта задача была решена В.В. Соколовым11. Следующий по простоте случай Я — 4) представляет значительный интерес с точки зрения теории интегрируемых уравнений и связан, например, с интегрируемыми волчками.
Цель работы Целью работы является:
1. Нахождение всех квадратичных гамильтонианов с е(3)-скобками Пуассона типа гамильтониана Ковалевской;
2. Изучение интегрируемых систем с двумя неизвестными на свободной ассоциативной алгебре;
3. Описание подалгебр в алгебре петель над зо(4), дополнительных к подалгебре рядов Тейлора.
Основные методы исследования
В работе используются методы и результаты теории конечномерных и бесконечномерных алгебр Ли, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также специализированные программы компьютерной алгебры.
9 Чередник И.В. Функциональные реализации базисных представлений факторизу-ющих групп и алгебр Ли, // Функц. анализ и его прил., 1985, т. 19 №3, с. 36-52.
10 Семенов-Тян-Шаяский М.А. Что такое классическая г-матрица, // Функц. анализ и прилаж., 1983, т. 17 №4, с. 17-33.
11 Соколов В. В. О разложениях алгебры петель над во(3) в сумму двух подалгебр, // Доклады РАН, 2004, т. 397 №3, с. 321-324.
Научная новизна
Основные результаты являются новыми и состоят в следующем:
1. Классифицированы все квадратичные гамильтонианы с парой совпадающих полуосей эллипсоида инерции, коммутирующие с некоторым многочленом степени 4 относительно е(3)-скобки Пуассона. Кроме известных примеров, полученный список содержит новый интегрируемый гамильтониан с комплексными коэффициентами. Найдены квантовые аналоги всех гамильтонианов списка.
2. Описаны системы с двумя неизвестными на свободной ассоциативной алгебре, обладающие максимально возможным набором первых интегралов. Кроме того, приведены новые примеры интегрируемых систем с двумя неизвестными.
3. Изучены коммутационные соотношения между образующими дополнительной подалгебры в случае алгебры петель над зо(4). Найдены все диагональные дополнительные подалгебры.
4. Явно выписаны интегрируемые волчки, эволюционные системы типа уравнения Ландау-Лифшица и нелинейные гиперболические системы типа уравнения главного кирального поля, соответствующие диагональным подалгебрам. Найден новый пример интегрируемой деформации уравнения зо(3)-кирального поля.
Практическая и теоретическая ценность
Работа носит теоретический характер. Методика исследования и результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах теории нелинейных интегрируемых уравнений. Новые примеры точно интегрируемых уравнений, найденные в диссертации, могут найти приложения в математической физике.
Апробация результатов
Основные результаты диссертации докладывались на научно исследовательском семинаре и семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ; на семинаре "Современные геометрические методы" кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ; на пятой конференции по компьютерной алгебре (ОИЯИ Дубна, Россия, 2001 г.); на международной алгебраической конференции посвященной 250-летию Московского университета (Москва, Россия, 2004 г.).
Публикации
Основные результаты опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4].
Структура диссертации
Диссертация состоит из оглавления, введения, четырех глав, списка литературы. Полный объем диссертации — 118 страниц, библиография включает 95 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении кратко излагается содержание работы и формулируются основные результаты.
В первой главе рассматриваются квадратичные гамильтонианы типа гамильтониана Ковалевской. Для классических задач теории твердого тела гамильтоновская структура задается е(3)-скобкой Пуассона
{Ми М,} = Мк, {Ми 7^} = ецк -ук, {7,, ъ) = °- (!)
Здесь Мг,М2, М3 и 71,72,7з - компоненты двух трехмерных векторов М и 7, бу^-полностью кососимметрический тензор. Скобка Пуассона (1) обладает двумя функциями Казимира 3\ = 71+7г+7з> ¿2 = Л/^+А/^г+Л^з. Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю достаточно найти еще один интеграл I, функционально независимый с 72 и гамильтонианом Н.
Имеется ряд классических задач, в которых гамильтониан является многочленом второй степени:
Я = (М, АМ) + (М, В7) + (7, С7) + (Р, М) + (<Э, 7). (2)
Здесь А, С - симметрические постоянные матрицы, а В - произвольная постоянная матрица размера 3x3, Р, С? - постоянные трехмерные векторы, (•, •) - скалярное произведение в К3.
Два гамильтониана (2) эквивалентны, если они связаны линейным преобразованием, сохраняющим скобку Пуассона. Для скобки (1) группа таг ких преобразований порождена преобразованиями вида
М = ТМ, у = Т<у, (3)
где Т - произвольная ортогональная матрица и, кроме того, преобразованиями
М = М + Б 7,
где S - произвольная кососимметрическая матрица.
С помощью преобразований (3) приведем матрицу А к диагональному виду
А = diag(a ь а2, а3). (4)
Работы В.А. Стеклова, В.В. Козлова, C.JI. Зиглина и других были посвящены условиям интегрируемости разных классов гамильтонианов (2) в случае, когда все собственные значения матрицы А различны.
Случай, когда два собственных значения совпадают и не равны третьему, изучен гораздо менее подробно. В первой главе диссертации исследован вопрос о существовании в этом случае дополнительного полиномиального по всем переменным интеграла четвертой степени. К таким гамильтонианам относится, например, знаменитый гамильтониан C.B. Ковалевской и разные его обобщения.
Для гамильтониана (2) и скобки Пуассона (1) рассмотрим случай: матрица А имеет вид (4), причем
= «2 Ф Оз, Oj^O, i = 1,2,3. (5)
Сформулируем основной результат первой главы.
Теорема 1. Гамильтониан вида (&) при условии (5) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом четвертой степени относительно скобки Пуассона (1) если и только если он эквивалентен одному из следующих: •
Я = Ml + Mf + SiM| + з2ъМ3 + s373 + S4M3 + S573, где Si - произвольные параметры;
H = Щ + Щ + М% + 2sif3Ma - sfrf + з2ъ + «з7г + «47з+ +А (2SiM$ + s2Mi + S3M2 + S4M3 + «i(s27i + «з7г));
• Комплексный гамильтониан:
Н = М* + М*+2М$ + si(i7! + 72)М3+
+s2(-iMi + М2) + S3M3 + 34(171 + 72) - S1S273;
Я = М? + М| + 2М* + 2(5x71 + 8272) Мз - (з? + ^)7з2+
+з3М3 + в471 + «572, г<?е з, - параметры, связанные (только) одним соотношением:
+ з5з2 - вз(з? + з*) = Гамильтониан (6) по-видимому является новым.
В разделе 1.5.2 найдены все интегрируемые гамильтонианы (2) (для которых выполнено условие (5)), обладающие дополнительным кубическим или интегралом четвертой степени на нулевом уровне интеграла площадей Зг- Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 2. Гамильтониан вида (2) при условии (5) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом четвертой степени относительно скобки Пуассона (1) при дополнительном условии (М, 7) = 0, если и только если он эквивалентен одному из гамильтонианов из Теоремы 1 или
эквивалентен следующему: •
Я = М? + М| + 2М| + 8! (7? - 72) + ¿¡27172 + з3М3 + 5471 + *>72,
где з, - произвольные параметры.
Теорема 3. Гамильтониан вида (2) при условии (5) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом третьей степени относительно скобки Пуассона (1) при дополнительном условии (М, 7) = 0, если и
только если он эквивалентен одному из следующих:
•
Я = М1 + М1 + 31М32 -I- з2М37з + 5з7з + ^М3 + в57з, (7) где - произвольные параметры;
Н = М? + М% + 4М| + + з2Ъ)М3~
-(«1 + 4Ьз + в3 М3 + 347, + 3572,
где з, - произвольные параметры.
В разделе 1.5.3 решена соответствующая квантовая классификационная задача. Это означает, что вместо скобок Пуассона (1) рассматриваются аналогичные коммутационные соотношения [Af„ М}\ = eljk Мк, [Mi,7j] = eijklk, Ь».lj] = 0 и формулы в некоммутативной ассоциативной алгебре, образующими которой являются М\, М2, Af3,7i, 72,7з- Найдены квантовые аналоги для всех перечисленных в Теореме 1 интегрируемых гамильтонианов. Кроме того, в первой главе перечисляются известные интегрируемые гамильтонианы (2) на е(3), so(4) и зо(3,1).
Во второй главе рассматриваются уравнения вида
щ = Р(и, v) vt = Q(u, v), (9)
где и и v - образующие свободной ассоциативной алгебры А, Р и Q - некоторые (некоммутативные) однородные многочлены третьей степени.
Хорошо известной точно интегрируемой системой такого сорта является симметрия обобщенного уравнения Эйлера-Манакова
ut = u2v — vu2, vt = 0. (10)
Известно, что когда и и v являются матрицами размера N х N, эта система обладает достаточным количеством симметрий и первых интегралов и может быть проинтегрирована в квадратурах.
В частности, первыми интегралами для матричной системы (10) являются /,(о = Тг(и'), где Тг означает след матрицы. В случае уравнений на свободной ассоциативной алгебре, вообще говоря, у нас нет функционала Тг. В разделе 2.1 приводятся определения из работы12 для алгебраического аналога функционала Тг, первых интегралов и симметрий для уравнений на ассоциативных алгебрах.
В диссертации изучаются "дивергентные"системы вида (9), т.е. системы, для которых и Тг(и) и Tr(v) являются первыми интегралами. Задача состоит в нахождении с помощью симметрийного подхода примеров интегрируемых кубических дивергентных систем.
Теорема 4. Всякая нетреуголъная кубическая дивергентная система (9), обладающая ненулевой симметрией четвертой степени, эквивалентна
1г Mikhailov А. V., Sokolov V. V. Integrable ODEs on Associative Algebras, // Commun. Math. Phys., 2000, v. 211 №1, p. 231-251.
одной из следующих:
щ = —и2г» -(- иуи VI = —гшV + V2 и,
щ — —и2у -I- иуи г/4 = ии2 — уиу,
С I
Щ — —и2У + иуи уг = иУ2 — 2уиу + У2и,
щ = —и2 У + 2 иуи — уи2 и* = иу2 — 2уиу + у2и,
{щ = и2 у — 2игш + иь2 + Уи2 — У2и Vt = —■и'«2 + 2уш> — у2и,
{щ — игш — ии2 — им2 + у2и У1 = и2« — уи2 — «ии + 112и,
{щ = и2у — 2шш + /к ии2 + ии2 + 2уиу — (2 -I- р)и2и = —иь2 + 2уш — у2и,
где ¡1 - произвольный параметр.
Кроме того, в главе 2 описаны системы, обладающие максимально возможным набором первых интегралов. А именно, требуется чтобы Тг от любого многочлена являлся бы первым интегралом.
Предложение 5. Система (9) обладает максимальным набором первых интегралов тогда и только тогда, когда она имеет вид
для некоторого многочлена 5(и, и).
Если продифференцировать 5(ы,г/) по Ь в силу системы (11), то получим 5< = 0. В матричном случае это означает, что не только след, но и каждый элемент матрицы 5(и,г>) является первым интегралом. Поэтому для системы (11) легко решить задачу Коши и(0) — щ, и(0) = г%. Ответ задается формулой
щ = [5(и,и), и], уь = [5(и,«), и]
(И)
и = ехр (5(ио, «о) ¿) «о ехр (-£,(«0, у0) г),
у = ехр (5(ио,«о) *) «о ехр (—^(ио, у0) £).
Основные результаты диссертации содержатся в третьей и четвертой глава«, которые посвящены классификации пар Лакса. Представлением Лакса для обыкновенного дифференциального уравнения
Ut = F(U) (12)
называется операторное соотношение
и = [A, L), (13)
где L = L(U, Л), А = Л(и, А) - некоторые матрицы, такие, что (13) эквивалентно (12).
Для уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными х и t представление Лакса выглядит следующим образом:
Lt = Ax + [A,L]. (14)
Как правило, предполагают, что А и L в формулах (13), (14) являются функциями от параметра А, принимающими значения в некоторой конечномерной алгебре Ли Q. Однако в соотношении (13) можно считать, что А принадлежит Q, a L - некоторому модулю над Q. Для (14) такое предположение невозможно.
Основной вопрос при попытке перечислить все пары Лакса, соответствующие данной алгебре Ли Q состоит в том, каков должен быть характер зависимости Л и L от А. Обычно его фиксируют, считая, что A a L являются рациональными (или эллиптическими) функциями от А.
Единственный подход, свободный от этого недостатка, состоит в том, что мы считаем А и L рядами Лорана по А вида
оо
I 9i£0, ne Z.
i—Tl
Однако если эти ряды произвольны, то уравнение Лакса эквивалентно бесконечной системе дифференциальных уравнений относительно бесконечного набора коэффициентов.
Предположим, что у нас имеется разложение
S((A)) = a[[A]]®W (15)
алгебры G((А)) всех рядов Лорана в прямую сумму (как векторных пространств) подалгебры Ли £[[А]] рядов Тейлора и некоторой дополнительной подалгебры Ли U. Следуя И.В. Череднику, мы будем называть подалгебру U факторизующей.
Если А и Ь принадлежат и, соотношение (13) эквивалентно конечному набору уравнений. Действительно, если в элементе Ь1 - [А, Ь] алгебры Ы сократились все члены с отрицательными степенями А, то, в силу (15), этот элемент тождественно равен нулю. То же верно и для соотношения (14).
В третьей главе исследуются факторизующие подалгебры в случае О = ао(4). Один из основных результатов состоит в описании коммутаг ционных соотношений, которые должны быть выполнены во всякой такой подалгебре.
Элементы из зо(4) мы будем представлять себе, как блочно-диагональные матрицы с двумя блоками, принадлежащими зо(3). В качестве базиса в во(4) выберем
Очевидно, что всякая факторизующая подалгебра Ы в во(4)((А)) содержит ряды вида
г = 1,2,3,
где через ех,е2,ез обозначен стандартный базис в во(3):
(16)
где
а = 52 а«е<> Ь = £ М» с = X) е,е«. а = X) Б = £ &<е<> с = £ с^
-некоторые элементы 5о(3). Элементы Е<, Е, порождают Ы как алгебру Ли.
Теорема 6. Для всякой факторизующей подалгебры Ы для во(4)((А)) имеют место коммутационные соотношения вида
( [Еь [Е2, Ез]] \ / [Е2, ЕЗ] \
[Е2, [ЕЗ.Е,]] =А [ЕЗ, Е1] + В V [Ез, [Еь Щ}] ) \ [Еь Еа] )
( [Ег, [Еь Е2]] + [Ез, [Е3) Ех]] \ ( [Ег, Е3] \
[Ез, [Ег, Ез]] + [Еь [Еи Е2]] = С [Е3, Е1] 1 + Б \ [Еь [Ез, Ех]] + [Е2, [Е2, Е3]3 ) \ [Еь Е2] )
где
А = , В =
С = I -ы х V I , И =
для некоторых чисел и,у,ы, х, у, г, а,/3,7, 6,т,е таких, что ¿гС = = 0. При этом существуют числа Ах, А2 такие, что
АхА + А2В = 0, АхС + АгБ = 0.
Аналогичные коммутационные соотношения связывают образующие Ё], Ёг, Ё3. Кроме того,
(
[Ех,Ёх] \ / о с3 -сг
[Ех,Е2] = 0 а3 -аз
[ЕЬЁ3] ) \ 0 Ьз -Ьг
( \
[Ег.Ёг] = \ [Ез.Ёз] /
/ [Ез, Ёх] \ / сз -сх О
( [Ез, Ег] = аг -ах О
\ [Ез,Ёз] ) \ Ъ -к О
где а{, Ь{, с^, а,, ¿¡¿, ^ элементы матриц (17).
Постоянные в соотношениях из Теоремы 6 не являются произвольными. Положим
П1 =
па =
п3 =
Ш! =
т2 =
Шз =
Пх =
па =
й3 =
Шх =
т2 =
Шз =
Теорема 7. Для всякой факторизующей подалгебры и для во(4)((А)) выполняются следующие алгебраические соотношения:
мпх — шпз — та х йх = 0, Сйх — й>т3 — т2 х пх = О,
иШ] — Ш] — т3 х йа = О, йт3 — €тх — тз х па = О,
шш] - ит2 — шх х йз = 0, шт3 — йт3 — тх х п3 = О,
итх — Ш] + ут3 — п»1 х Йх — та х п3 = О,
ит3 — гута - гт1 + т3 х йг + т2 х п2 = О,
1>т3 — гитх + хт3 — Шх х йа — т3 х п3 = О,
йтх — Ш] + ут3 — тх х Пх — т2 х п3 = О,
йт3 — гйт2 — гтх + ш3 х + т2 X п2 = О,
»Ш] — гутх + Ш] — та х п2 — т3 х п3 = 0.
Кроме того, матрицы (17) удовлетворяют коммутационным соотноше-
ниям
[г. [а. ь]] \
[Б, [с, а]] = А [а, [Ь, с]] ) [6, [а, Б]] + [с, [с, а]] [с, [6, с]] + [а, [а, Ь]] [а, [с, а]] + [Ь, [Б, с]]
Аналогичные соотношения связывают а, Ь, с с А, В, С, Ю.
Гипотеза. Алгебра Ли, заданная образующими (16) и коммутационными соотношениями из Теоремы 6, коэффициенты которых удовлетворяют Теореме 1, является факторизующей.
Задача классификации факторизующих подалгебр еще полностью не решена. В разделе 3.4 диссертации описаны все диагональные факторизу-ющие подалгебры.
Факторизующая подалгебра на во(4) называется диагональной, если образующие Е„ Ё, имеют следующую структуру:
Р _ ( 0 \ ц, _ {0 \
Е'-1 О Л*)' 0 ) '
где ф, ф - некоторые скалярные ряды Лорана с асимптотикой вида 0(1), а РиР< - ряды Тейлора.
Теорема 8. Существует только три следующих класса диагональных подалгебр на во(4) ; Класс 1:
у/Т+ЩХ? у/1 + 02о|А2 у/1 + (РЩХ2 д1 =---, й =---, 93 =---,
Р1 = 1 + (Ра^Х"1 ^ 1 + 026§А2 + ва2Ь3Х^1 + в24Х2, Р2 = а2у/ 1 + 02с?1Х*у/1+в2ЩХ* + вс^Ху/Г+в^,
р3 = бзу^+^А^+^А2 + вскц Х^ + РЦХ2,
_ у/1+4Х2 _ у/1 + а%Х2 _ у/1+ЩХ2 51 =---, д2=---, =---,
Р1 = 0(^1 + а2 А2 ^И-^ А2 + о263А0"+4^),
р2 = в(а2у/1+4Х*у/1+Щ А2 + С163А^1 + а2А2),
Рз = 0(Ь3\/1 + с?А2у/1 +а2А2 + ааъХ^/1 + ЩХ2), 14
где 0,а„6{,с, - произвольные постоянные; Класс 2:
91 =-А-' 92 =-А-'
у/1 + /сс? А<у/1 + ко|А 9з =---.
Рх = С! Адх, = Л2А92, Рз = Ь3Хд3.
где
кс^Ьз - схсх = а2а2 = Ь363 = ксха263. Функции <}{,р{ задаются аналогичными формулами:
VI + «^А*/! + «Ь§А _ VI + «с? Ау/1 + «¿§А А ' 92--А '
9з =-А-'
р! — р2 = 02 Афг, рз = 63А93;
Класс 3,-
х/Г+ЩХ5 \/4 + к2 А2 к 1Л
91=92 =-А-' 9з= 2А 2 ~
Р1 = Р2 = ^Сх (лА + у/4 + «2А2)^1 + 0*с?А2,
Рз = Ьз + -О^Х («Л + \/4 + к2 А2).
_ _ л/^ + ЧА2 _ у/402 + к2 А2 . к 91=92 =-д-, <7з =-Ш-+ 6з"20>
Р1 = р2 = ^Сх (кА + ^2 + «2А2)^1 + с?А2,
Рз = Ьз + ¿с? А (кА + л/402 + /с2 А2).
Известно, что с каждой факторизующей подалгеброй для зо(4) связаны следующие интегрируемые дифференциальные уравнения: нелинейная гиперболическая система типа уравнения кирального поля; двух-спиновая модель типа уравнения Ландау-Лифпгаца; гамильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений с однородным квадратичным гамильтонианом и линейными яо(4)-скобками Пуассона.
В четвертой главе все эти системы явно выписаны в терминах постоянных из коммутационных соотношений из Теоремы 6. Системы, соответствующие диагональным подалгебрам, рассмотрены особо. Поскольку образующие диагональных подалгебр найдены в замкнутой форме, для соответствующих им дифференциальных уравнений предъявлены пары Лак-са с зависимостью от А, задаваемой радикалами.
Напомним общую конструкцию из работы13, устанавливающую связь между факторизующими подалгебрами и системами типа уравнения кирального поля. Пусть и = Х^г^е,, V = Положим
Тогда соотношение [Ь, М] = 0 эквивалентно системе
= ву х и, у, = 6иху, (18)
где матрицы виб задаются формулами
и = (иьи2,и3) и V = (1/1,^2,113) - векторы из К3, х означает векторное произведение. Для диагональных подалгебр матрицы С и б диагональны.
Для систем вида (18) диагональным подалгебрам из классов 1,2 соответствуют известные интегрируемые модели Чередника и Голубчика-Соколова. По-видимому, интегрируемый случай, соответствующий подалгебре из класса 3, является новым.
Для двух-спиновой модели типа уравнения Ландау-Лифшица оператор £ имеет вид
Ь = г^Ех + и2Е2 + и3Е3 + г)хЁ1 + и2Ё2 + и3Ё3, (19)
О! 6Л (Ъ 0.1 Ьг
«2 Ьа , е= и о2 ь2
аз Ьз V* Йз Ьз
13 Голубчик И.З., Соколов В.В., Согласованные скобка Ли и интегрируемые уравнения типа модели главного кирального поля, // Функц. анализ и его прил., 2002, т. 36 №3, с. &-19.
а оператор А имеет следующую структуру:
А = Рх[Е2,Е3] + Р2[Е3, Ех] + Р3[Еь Е2] + ¿?х[Ё3,Ё3] + д2[Ё3, Ёх]
+<?з[Ё1, Ё2] + Р1ЕХ + р2Е2 + р3Е3 + дхЁх 4- д2Ё2 + д3Ё3,
где Р = (РиР2,Рз),<} = (<Эъ<?2,<Зз), Р = (РиР2,Рз),Ч = (g1.g2.93) - некоторые дифференциальные многочлены от компонент вектора и, V.
Известно, что в этом случае уравнение Лакса (14) допускает редукцию V = (и,и), /х = (V,у), где [I и V - произвольные положительные постоянные.
Из уравнения Лакса (14) вытекает, что Р = зи, С} = 5 V, где зив -некоторые постоянные. При этом (14) эквивалентно системе уравнений:
и,=р, + их Ся-р х Су + вС(у х С'и) - «6*(у х С'и) + ви х Ии,
у, = я1 + ухбр-яхби + 5б(их 6Чг) - ев*(и х (3*V) + вV х ЙV,
где
/ 7-х -0 -а\ (гх -Д -й\
11= г2 -7 , Й = \-Р г2 -7 ,
\-а -7 г3/ \-а -7 г3 /
где г2 - г3 = 6, г3 - гх = е, гх - г2 = г, г2 - г3 = 5, г3 - гх = е, гг-г2= т. Здесь функции р, я задаются следующими формулами:
3 8
р = -их(ихСу + ихДи — их) — ——(и, Ди)и, 2/
8 — — 8 — Ч = - V X (V X б и + V X Зу — V*) - —(V, 3\)у.
где
(Ях XV и\ (з\ ю й\
V) 52 V I , 3 = I Ш 32 V I , и V з3/ \й V 83/
»1 — 8з = х, 32 - вх = У, 83- 32 = 2, Зх — 83 = X, 32 — вх = у, 83-82 = 2.
Система, соответствующая диагональной подалгебре из класса 1, хорошо известна: она обладает двух-полюсной эллиптической Ь — Л-парой с коэффициентами из в/(2)14. Система, соответствующая подалгебре из класса 2, в неявном виде содержится в работе15. Система, порожденная подалгеброй из класса 3, возможно является новой.
14 Склянин Е.К. О полной интегрируемости уравнения Ландау-Лифшица, // Пред-принт ЛОМИ, 1979, №Б-3 Л.: ЛОМИ
15 Голубчик И.З., Соколов В.В. Обобщенные уравнения Гайзенберга на 2-градуированных алгебрах. Ли, // ТМФ, 1999, т. 120 К«2, с. 248-255.
В главе 4 также найдена явная форма гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с однородным квадратичным гаг мильтонианом и линейными so(4)-скобками Пуассона, соответствующей произвольной дополнительной подалгебре. Эта система имеет вид
ut=ux(sJu + sGv + sG4v), v( = vx («Jv + sGu+ sG'u).
Как оказалось, квадратичные интегрируемые во(4)-гамильтонианы, соответствующие трем диагональным подалгебрам, не являются новыми и заедают интегрируемые случаи Шоттки-Манакова, Стеклова и Пуанкаре.
Благодарности. Автор благодарна своему научному руководителю профессору A.B. Михалеву, а также профессору В.В. Соколову за постановку задач, профессору A.B. Михайлову, любезно разрешившему воспользоваться его компьютерной программой и ведущему научному сотруднику Б.В. Панкратьеву за внимание к работе.
Работы автора по теме диссертации
1. Ефимовская О.В. Интегрируемые кубические ОДУ на ассоциативных алгебрах, Фундаментальная и прикладная математика, 8, (3) (2002), с. 705-720.
2. Efimovskaya O.V., Wolf Т. Classification of integrable quadratic hamilto-nians on e(3), Reg. and Chaot. Dyn., 8, (2) (2003), p. 155-162.
В данной статье Ефимовской О. В. принадлежит нормализация гамильтонианов, получение переопределенной билинейной системы на неизвестные коэффициенты интеграла и гамильтониана, обработка результатов вычислений (отбор не эквивалентных гамильтонианов, сравнение с известными случаями). Томасу Вольфу принадлежат вычисления с помощью пакета "Crack".
3. Ефимовская О.В., Соколов В.В. Разложения алгебры петель над so(4) и интегрируемые модели типа уравнения трального поля, Фундаментальная и прикладная математика, 10, (1) (2004), с. 39-47.
В данной статье Ефимовской О. В. принадлежат вычисление основных коммутационных соотношений (предложение 1) и классификация диагональных подалгебр. Соколову В. В. принадлежат постановка задачи и методика нахождения коммутационных соотношений.
4. Ефимовская О.В. Факторизация алгебры петель над so(4) и интегрируемые нелинейные дифференциальные уравнения, Фундаментальная и прикладная математика, 11, (3) (2005), с. 79-94.
Издательство ЦПИ при чеханико-чатечатическоч факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать Gif. // С6" Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,6
Тираж /СО экз. Заказ
aOQGfV -1144
Введение.
1 Квадратичные гамильтонианы с дополнительным интегралом степени
1.1 Гамильтонова структура задач динамики твердого тела
1.2 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы нае(З).
1.2.1 Задача Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости
1.2.2 Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.
1.2.3 Обобщения.
1.3 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы на so(4).
1.3.1 Однородные случаи.
1.3.2 Обобщения.
1.4 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы на 5о(3,1).
1.5 Основные результаты.
1.5.1 Классический случай.
1.5.2 Классический случай на нулевом уровне интеграла площадей.
1.5.3 Квантовый случай.
2 Уравнения на свободных ассоциативных алгебрах
2.1 Основные определения.
2.2 Уравнения, обладающие симметриями четвертой степени.
2.2.1 Постановка задачи.
2.2.2 Основной результат.
2.2.3 Комментарии.
2.3 Уравнения, обладающие максимальным набором первых интегралов.
2.4 Точное интегрирование уравнений с максимальным набором первых интегралов в матричном случае.
3 Факторизации алгебры петель над so(4)
3.1 Определения и известные факты
3.2 Факторизующие подалгебры для Q = so(3).
3.3 Коммутационные соотношения для факторизующей подалгебры в случае Q — so(4).
3.4 Диагональные подалгебры.
3.5 Коммутационные соотношения для ортогонального дополнения к U.
4 Дифференциальные уравнения, обладающие представлением Лакса в so(4)
4.1 Представления Лакса для систем типа волчков.
4.2 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа волчков на so(4).
4.3 Уравнения Ландау-Лифшица на so{4)
4.4 Системы типа уравнения кирального поля на so(4)
Работа посвящена некоторым алгебраическим аспектам теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений. Поскольку не существует единого общепринятого определения интегрируемости, уточним что имеется в виду.
Когда речь идет о гамильтоновых обыкновенных дифференциальных уравнениях с полиномиальной правой частью, под интегрируемостью часто подразумевают интегрируемость по Лиувиллю. С алгебраической точки зрения это означает наличие достаточного числа функционально независимых полиномиальных первых интегралов. Более точно, пусть п - число неизвестных функций, am- число функций Казимира соответствующей гамильтоновой структуры. Тогда для интегрируемости по Лиувиллю необходимо существование интегралов движения (см., например, [2, 9]).
Для классических задач теории твердого тела (см. [8]) гамильтонова структура задается скобкой Пуассона
Mi:Mj} = £ijkMk, {Mi,7i} = eiifc7fc, {7i,7j} = 0. (0.1)
Здесь Mi,M2, М3 и 7ь72,7з - компоненты двух трехмерных векторов МиГ, е^-полностью кососимметрический тензор. Скобка Пуассона (0.1) обладает двумя функциями Казимира
-Л = 7i + 72 + 7з> J2 = Mi7i + М272 + Мз7з- (0.2)
Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю достаточно найти еще один интеграл /, функционально независимый с Ji, J2 и гамильтонианом Н.
Имеется ряд классических задач, в которых гамильтониан является многочленом второй степени:
Я = (М, AM) + (М, ВТ) + (Г, С Г) + (Р, М) + (Q, Г). (0.3)
Здесь А, С - симметрические постоянные матрицы, а В - произвольная постоянная матрица размера 3 х 3, Р, Q - постоянные трехмерные векторы, (•, •) - скалярное произведение в R3.
Два гамильтониана (0.3) эквивалентны, если они связаны линейным преобразованием, сохраняющим скобку Пуассона. Для скобки (0.1) группа таких преобразований порождена преобразованиями вида
М = ТМ, Г = ТГ, (0.4) где Т - произвольная ортогональная матрица и, кроме того, преобразованиями
M = M + ST, (0.5) где S - произвольная кососимметрическая матрица.
С помощью преобразований (0.4) приведем матрицу А к диагональному виду
А — diag(ai,a2,as). (0.6)
Работы В.А. Стеклова [52], В.В. Козлова [31, 32], C.JI. Зиглина [28, 29], и других были посвящены условиям интегрируемости разных классов гамильтонианов (0.3) в случае, когда все собственные значения матрицы А различны.
Случай, когда два собственных значения совпадают и не равны третьему, изучен гораздо менее подробно. В первой главе диссертации исследован вопрос о существовании в этом случае дополнительного полиномиального по всем переменным интеграла четвертой степени. К таким гамильтонианам относится, например, знаменитый гамильтониан С.В. Ковалевской и разные его обобщения [70, 33, 94, 95].
Для нахождения дополнительного интеграла в диссертации используется метод неопределенных коэффициентов. В случае, когда гамильтониан фиксирован, условие коммутирования гамильтониана и интеграла приводит к системе линейных уравнений для неизвестных коэффициентов интеграла. Даже если дополнительный интеграл имеет четвертую степень (в этом случае неизвестных коэффициентов около двухсот), эта система легко может быть решена с помощью любой из стандартных систем аналитических вычислений Maple, Reduce или Mathematica.
Ситуация резко изменяется, если решается классификационная задача. В этом случае неизвестными являются как коэффициенты интеграла, так и коэффициенты гамильтониана. Условие коммутирования приводит к переопределенной системе билинейных алгебраических уравнений относительно всего набора неизвестных коэффициентов.
До последнего времени попытка решить с помощью компьютера систему, например, из 400 нелинейных алгебраических уравнений относительно 200 неизвестных казалась безнадежной. В частности, все реализации так называемого алгоритма Бухбергера для нахождения базиса Гребнера и основанных на нем алгоритмов решения систем алгебраических уравнений становятся неэффективными уже в случае нескольких десятков уравнений. В 1999 г. появилось одновременно несколько компьютерных программ, предназначенных для решения переопределенных систем алгебраических уравнений. Одной из лучших является программа "Crack"доктора Томаса Вольфа (Канада) [93], с помощью которой и проводились классификационные вычисления.
Для гамильтониана (0.3) и скобки Пуассона (0.1) рассмотрим случай: матрица А имеет вид (0.6), причем ах = а2фа3, щ ф 0, г = 1,2,3. (0.7)
Сформулируем основной результат первой главы.
Теорема 0.1. Гамильтониан вида (0.3) при условии (0.7) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом четвертой степени относительно скобки Пуассона (0.1) если и только если он эквивалентен одному из следующих:
Н = М? + М| + SlMi + s2M373 + s3732 + + s5 7з, где Si - произвольные параметры;
Н = Ml + Ml + Ml + 2S1M373 - s?73 + s27i + *з72 + 547з+ +A (2siMl + s2Mi + s3M2 + s4M3 + si(s27i + 5372)), где Sj, Л -произвольные параметры;
• Комплексный гамильтониан:
Н = Ml + Ml + 2Mf + Si («71 + 72)M3+
0.8) s2(-zMi + M2) + s3M3 + s4(z7i + 72) - S1S273, где Sj -произвольные параметры;
Н = Ml + Ml + 2Ml + 2(si7l + s272) M3 - (s? + e§)7 s3m3 + s471 + s572, где Sj - параметры, связанные (только) одним соотношением: s4s1 + s5s2 - s3(si + s\) = 0.
Гамильтониан (0.8) по-видимому является новым.
В разделе 1.5.2 найдены все интегрируемые гамильтонианы (0.3) (для которых выполнено условие (0.7)), обладающие дополнительным кубическим или интегралом четвертой степени на нулевом уровне интеграла площадей J2. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 0.2. Гамильтониан вида (0.3) при условии (0.7) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом четвертой степени относительно скобки Пуассона (0.1) при дополнительном условии (М, Г) = 0, если и только если он эквивалентен одному из гамильтонианов из Теоремы 0.1 или эквивалентен следующему:
H = Ml + Ml + 2Ml + si(7l2 - 7!) + s27i72 + s3m3 + S471 + 5572, где Si - произвольные параметры.
Теорема0.3. Гамильтониан вида (0.3) при условии (0.7) коммутирует с некоторым полиномиальным интегралом третьей степени относительно скобки Пуассона (0.1) при дополнительном условии (М, Г) = О, если и только если он эквивалентен одному из следующих:
Я = Ml + Ml + 5lM| + s2M3 7з + S373 + s4m3 + S573, (0.9) где Si - произвольные параметры;
Н = Mf + Ml + 4М| + 4(si7I + S272)M3
0.10)
-{si + s\) 7! + s3m3 + 547! + 5572, где Si - произвольные параметры.
В разделе 1.5.3 решена соответствующая квантовая классификационная задача [33, 83]. Это означает, что вместо скобок Пуассона (0.1) рассматриваются коммутационные соотношения [Mi, Mj] = £ijkMk, [Мй7,-] = Eijklki [7t>7з\ = 0 в некоммутативной ассоциативной алгебре, образующими которой являются Mi, М2, М3,7i, 72,7з- Найдены квантовые аналоги для всех перечисленных в Теореме 0.1 интегрируемых гамильтонианов.
Кроме того, в первой главе перечисляются известные интегрируемые гамильтонианы (0.3) на е(3), so(4) и so(3,1).
Во второй главе рассматриваются системы интегрируемых полиномиальных уравнений на свободной ассоциативной алгебре. Определения основных понятий таких, как инфинитезимальная симметрия, первый интеграл, рекурсионный и гамильтонов операторы и др. (см. [42]) для уравнений на ассоциативных алгебрах были даны в [75]. Аналогичная задача для уравнений в частных производных на свободных ассоциативных алгебрах, существенно более близкая к стандартной теории, рассматривалась в работах [76, 77]. В работе [61] была сделана попытка обобщения теста Пенлеве на случай уравнений на ассоциативных алгебрах.
Задача нахождения интегрируемых случаев для уравнений на свободных ассоциативных алгебрах важна потому, что каждое интегрируемое уравнение допускает множество различных интегрируемых конечномерных редукций. Например, можно считать неизвестные матрицами произвольной размерности. В соответствующем интегрируемом матричном уравнении возможны дальнейшие редукции, связанные со спецификацией вида этих матриц. Интересной нерешенной задачей является изучение редукций уравнений на ассоциативных алгебрах, приводящих к классическим волчкам.
Одним из основных вопросов в теории интегрируемых уравнений на ассоциативных алгебрах является изучение возможной структуры множества всех первых интегралов. В главе 2 настоящей диссертации рассматриваются уравнения вида = РК (0.11) vt = Q(u, v), где и и v - образующие свободной ассоциативной алгебры А, Р и Q -некоторые (некоммутативные) однородные многочлены третьей степени.
Хорошо известной точно интегрируемой системой такого сорта является симметрия обобщенного уравнения Эйлера [75] щ = и2 V — V и2
0.12)
Vt = 0.
Известно, что когда и и v являются матрицами размера N х N, эта система обладает достаточным количеством симметрий и первых интегралов и может быть проинтегрирована в квадратурах.
Тривиальными первыми интегралами для матричной системы (0.12) являются Iifi — Тг(иг), где Тг означает след матрицы. Однако, кроме тривиальных, имеются и другие интегралы Iitj, определяемые некоторыми однородными многочленами от и и и, как например, Tr(2v2u2 4- vuvu) и Tr(y3u2 + v2uvu).
В случае уравнений на свободной ассоциативной алгебре, вообще говоря, у нас нет функционала TV. В разделе 2.1 приводятся определения из работы [75] для алгебраического аналога функционала Тг, первых интегралов и симметрий для уравнений на ассоциативных алгебрах.
В диссертации изучаются "дивергентные"системы вида (0.11), т.е. системы, для которых и Тг(и) и Тг{у) являются первыми интегралами. Найдены все кубические дивергентные системы, для которых существует симметрия четвертой степени.
Теорема 0.4. Всякая нетреугольная кубическая дивергентная система (0.11), обладающая ненулевой симметрией четвертой степени, эквивалентна одной из следующих: ut = —u2v + uvu vt = uv2 — vuv, ut = — u2v + uvu vt = uv2 — 2 vuv + v2u, ut ' —u2v + uvu vt = —vuv + v2u, ut = —u2v + 2 uvu — vu2 vt = uv2 — 2 vuv +
Ut — u2v — 2 uvu + uv2 + vu2 — v2u vt = —uv2 + 2 vuv — v2u, Ut — uvu — uv2 — vu2 + v2u vt - u2v — vu2 — vuv + v2u, ut = u2v — 2uvu + ц uv2 + vu2 + 2vuv — (2 + fi)v2u vt = —uv2 + 2 vuv — v2u, где /л - произвольный параметр.
Кроме того, в главе 2 описаны системы, обладающие максимально возможным набором первых интегралов. А именно, требуется чтобы след любого многочлена являлся бы первым интегралом.
Предложение 0.1. Система (0.11) обладает максимальным набором первых интегралов тогда и только тогда, когда она имеет вид для некоторого многочлена S(u, v).
Если продифференцировать S(u, v) по t в силу системы (0.13), то получим St = 0. В матричном случае это означает, что не только след, но и каждый элемент матрицы S(u, v) является первым интегралом. Поэтому для системы (0.13) легко решить задачу Коши u(0) = и0, г>(0) = v0. Ответ задается формулой
Основные результаты диссертации содержатся в главах 3 и 4. Наиболее универсальным современным способом интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений является метод обратной задачи рассеяния [1, 26, 41, 53]. Этот метод применим, если для исследуемого уравнения известно представление Лакса [71].
Рассмотрим случай обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлением Лакса для дифференциального уравнения ut = [S(u,v), u] vt = [S{u,v), v]
0.13) u = exp (S(u0, vq) t) u0 exp(-S(u0,v0)t) v = exp (S(tt0, Vo) t) Vq exp (~S(u0, v0) t).
Ut = F(U)
0.14) является операторное соотношение
U = [А, Ц
0.15) где L = L{U, Л), А = A(U, А) - некоторые матрицы, такие, что (0.15) эквивалентно (0.14).
Хорошо известно, что коэффициенты характеристического многочлена Det (L — ц,Е) являются интегралами движения.
Пример 0.1. Пусть U(t) является матрицей размера N х N, где a — diag(ai,. ,адг). Тогда (0.15) эквивалентно следующему уравнению
Тогда (0.15) эквивалентно волчку Эйлера ui)t = (а3 - a2)u2u3, u2)t = (ai - а3)щщ, (■u3)t = (а2 - ai)uiu2. Характеристический многочлен Det (L — fiE) задается формулой (fi - ai\)(fi - a2A)(// - a3A)+ u\ + u\ + ul)fi + (aiu\ + a2u\ + a3u\)X. Соответствующая характеристическая кривая
Det (L - цЕ) = 0 является эллиптической. Собственная функция Ф(А,/i,£), удовлетворяющая уравнению L4? = /хФ, задает векторное расслоение с некоторыми
L = аХ + U
U, = [U2, а].
Волчок Эйлера. Пусть а = специальными аналитическими свойствами над этой кривой. Зависимость Ф от переменной t описывается уравнением Ф^ = А Ф. Современный подход [21, 22], основанный на представлении Лакса, состоит в том, чтобы сначала восстановить Ф(А, fi,t) в терминах ^-функций и затем, зная Ф найти неизвестную функцию U(£).
Для уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными х и t представление Лакса выглядит следующим образом:
Lt = Ax + [A, L]. (0.16)
Прямой метод нахождения представления Лакса для заданного уравнения (так называемый метод Уолквиста-Эстабрука [91, 92]) мало эффективен. Все наиболее интересные примеры нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, были найдены иначе. Исходя из некоторой (как правило алгебраической) конструкции (см. [71, 27, 14, 72, 43, 20, 37, 38]), строились классы пары Лакса, а затем находились соответствующие им нелинейные уравнения.
Как правило, предполагают, что А и L в формулах (0.15), (0.16) являются функциями от параметра А, принимающими значения в некоторой конечномерной алгебре Ли Q. Однако в соотношении (0.15) можно считать, что А принадлежит Q, a L - некоторому модулю над Q. Для (0.16) такое предположение невозможно.
Основной вопрос при попытке перечислить все пары Лакса, соответствующие данной алгебре Ли Q состоит в том, каков должен быть характер зависимости А и L от А. Обычно его фиксируют, считая, что А и L являются рациональными (или эллиптическими) функциями от А.
Единственный подход [58, 45, 15], свободный от этого недостатка, состоит в том, что мы считаем А и L рядами Лорана по А вида оо
J2giXi I neZ■ i=n
Однако если эти ряды произвольны, то уравнение Лакса эквивалентно бесконечной системе дифференциальных уравнений относительно бесконечного набора коэффициентов.
Предположим, что у нас имеется разложение (см. [58, 45, 15, 17, 49])
0.17) алгебры (/((A)) всех рядов Лорана в прямую сумму (как векторных пространств) подалгебры Ли [[А]] рядов Тейлора и некоторой дополнительной подалгебры Ли U. Следуя И. В. Череднику [58], мы будем называть подалгебру U факторизующей.
Глубокие связи между разложениями (0.17) и парами согласованных конечномерных скобок Ли [6, 7] были установлены в недавних работах [17, 67].
Если А и L принадлежат U, соотношение (0.15) эквивалентно конечному набору уравнений. Действительно, если в элементе Lt — [A, L] алгебры U сократились все члены с отрицательными степенями А, то, в силу (0.17), этот элемент тождественно равен нулю. То же самое верно и для соотношения (0.16).
Для приложений особенно важны маломерные полупростые алгебры Ли Q. Например, как было показано в [18], классическим волчкам соответствуют случаи Q = so(3) и Q — so(4). В работе [49] описаны все факторизующие подалгебры для Q = so(3).
В главе 3 исследуются факторизующие подалгебры в случае Q = 5о(4). Один из основных результатов состоит в описании коммутационных соотношений, которые должны быть выполнены во всякой такой подалгебре.
Из-за наличия изоморфизма so(4) = so(3) ©so(3), элементы из so(4) мы будем представлять себе, как блочно-диагональные матрицы с двумя блоками, принадлежащими so(3).
В качестве базиса в so(4) выберем где через в1,е2,ез обозначен стандартный базис в so(3): /010 ei =
-10 0 V о о о
Очевидно, что всякая факторизующая подалгебра U в so(4)((A)) содержит ряды вида где a = aieh b = Y; &»е», c = Ciei> a = b = 2 Mi, с =
0.18)
0.19)
-некоторые элементы so(3). Элементы Ej, Ej порождают U как алгебру Ли.
Теорема 0.5. Для всякой факторизующей подалгебры Ы для so(4)((A)) имеют место коммутационные соотношения вида
Ei, Ei
Ei, Е2 Ei, Е3
E2, Ei E2, E2
E2, E3
E3, Ei
E3, E2 E3, E3
-c3 0 ci -a3 0 ai
-63 0 61
0.20) где ai,bi,Ci,ai,bi, Ci элементы матриц (0.19). Кроме того,
Ei, [Е2 [Е2, [Ез [Е3, [Ei
Е2, [Е [Ез, [Е [Еь [Е
Ез] ei] Е2] е2]
Ез] Ei А
Е2, Е3] [Ез, Ei] [Ei, Е2] В [Е3, [Е3, Ei]] + [Ei, [Ei, Е2]] + [Е2, [Е2, Ез]] С
Е2, Е3] [Е3, Ei] [Ei, Е2] D
0.21) где
А =
С =
0 —u w \ 1 ' 0 —a v 0 -w , B = 7 0 v u 0 / \ V -7 a z w j ( ^ P w x D = -P £ u — v У \ [ a -7
0.22) для некоторых чисел u,v,w, х, у, z, а,/?, 7, 6, т, £ таких, что trC — trT) = 0. При этом существуют числа ki, k2 такие, что fciA + k2 В = 0, hC + k2 D = 0.
Аналогичные коммутационные соотношения связывают образующие Ei, Е2, Ез.
Постоянные в соотношениях из Теоремы 0.5 не являются произвольными. В диссертации приводится система необходимых алгебраических связей между ними. Положим mi m2 = ni! = m2 =
Теорема 0.6. Для всякой факторизующей подалгебры Ы для so(4)((A)) выполняются следующие алгебраические соотношения: глп1 — wm3 — m2 х Й1 = 0, t>rhi — tDm3 — m2 х щ = О, ит2 — Ш1 — т3 х п2 = 0, шп2 — £>mi — т3 х п2 = О, wm3 — мт2 — mi х п3 = 0, w)m3 — йт2 — mi х п3 = О, шп! — vm2 + ут3 — mi х Й! — т2 х п3 = О, ит3 — к;т2 — zmi + т3 х пг + т2 х п2 = О, г>т3 — ?i;mi + жтг — mi х п2 — т3 х п3 = О, wmi — г>т2 + ym3 — mi х ni — rn2 х п3 = О, йт3 — wm.2 — 2ifi1 + т3 х ni + т2 х п2 = О, Dm3 — wm1 + хт2 — mi х n2 — т3 х п3 = 0. Кроме того, матрицы (0.19) удовлетворяют коммутационным соотношениям с. М]]\
Б, [с, а]] = А ^ [а, [Ь, с]] [Б, [а, Б]] + [с, [с, а]] ^ с, [Б, с]] + [а, [а, Б]] ^ [а, [с, а]] + [Б, [Б, с]] ) [Ь, с] \ с, а] + В [а, Ь]
Ь, с] >
- С [с, а]
V Ч ) а \ Б е I D а \ Б 6 /
Аналогичные соотношения связывают а, Ь, с с A,B,C,D.
Гипотеза. Алгебра Ли, заданная образующими (0.18) и коммутационными соотношениями из Теоремы 0.5, коэффициенты которых удовлетворяют Теореме 0.6, является факторизующей.
Задача классификации факторизующих подалгебр на so(4) полностью не решена. В разделе 3.4 настоящей диссертации описаны все диагональные факторизующие подалгебры на so(4).
Факторизующая подалгебра на so(4) называется диагональной, если образующие (0.18) имеют следующую структуру: q{ е* 0 \ г, f pi е; 0 \
0 Ptei)' I 0
Е,- =
0.23) где qi,qi - некоторые скалярные ряды Лорана с асимптотикой вида 0(1), a pi,pi - ряды Тейлора.
Теорема 0.7. Существует только три следующих класса диагональных подалгебр на so(4) ; Класс 1: у/1 + 92с\Х2 у/1 + Q2a\ А2 у/1 + в2ЩХ2 Я1 = д , 92 = ^-, Яз = -д-, рх = ayjl + 02a2X2yJl + 6>2&2A2 + 0a2b3XyJ 1 + 02c2A2, р2 = a2y/l + e2c2X2yJl + e2b2X2 + eClb3XyJl + e2a2X2, рз = Ъ^1Л-в2с2Х2^1 + в2а2Х2 + eCla2x^i + e2b2x2, у/1 + с2 A2 x/iT^p2 х/ТТбр^" = —=-д-, =-—
PI = 0(ciy/l + а2А2^1 + б2 А2 + a2b3XyJl + с2А2), р2 = 0(a2yjl + c\X2yJl + 63 А2 + cib^XyJ 1 + а2А2),
Рз = ^з^1 + c?A2i/l + а2 А2 + C\a2XyJ 1 + б2 А2), где i9, bX) Ci - произвольные постоянные; Класс 2: v^1 + «cfA^/l +
91- д , 42- д , y/l + К,С2Ху/1 + KdlX
93 =-s-,
Pi = CiXqi, p2 - a2Xq2, p3 = b3Xq3, где
Rcia2b3 = C1C1 = a2a2 = M3 = ncia2b3. Функции qi, pi задаются аналогичными формулами: у/1 + RalXy/l + Rb\X y/l + Rc\Xy/l + Rb\X
91 =-А-' 92 А у/1 + Rc{Xy/l +
93 = А '
Pi = CiAgb р2 = а2Ад2, р3 = b3Xq3]
Класс 3: у/1 + в2с2А2 \/4 + к2А2 к , Л gi=(?2 =---, = + pi=p2 = iCi («Л + \/4 + K?X2)yJl + 02с2А2, рз = 63 + ^с2А («А + \/4 + к?Х2). £ у/1 + С?Л2 с2А2 , « qi = q2= л ' = Ш " 20' 1 р1=р2 = -С1 («Л + \/402 + «2А2) у 1 + с2 А2, рз = 63 + ^С2А («Л + V402 + /c2A2).
Известно [16, 17, 24, 7, 67], что с каждой факторизующей подалгеброй для so(4) связаны следующие интегрируемые дифференциальные уравнения:
• Нелинейная гиперболическая система типа уравнения кирального поля;
• Двух-спиновая модель типа уравнения Ландау-Лифшица;
• Гамильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений с однородным квадратичным гамильтонианом и линейными 5о(4)-скобками Пуассона.
В главе 4 все эти системы явно выписаны в терминах постоянных из коммутационных соотношений Теоремы 0.5. Системы, соответствующие диагональным подалгебрам, рассмотрены особо. Поскольку образующие диагональных подалгебр найдены в замкнутой форме, для соответствующих им дифференциальных уравнений предъявлены пары Лакса с зависимостью от А, задаваемой радикалами (ср. с [54, 66]).
Связь между факторизующими подалгебрами и системами типа уравнения кирального поля устанавливается общей конструкцией из работы [17]. Пусть и = Y2uieii v = Ylviei- Положим d 3 d 3 1 г=1 ^ i=1
Тогда соотношение [L, M] = 0 эквивалентно системе щ = Gv x u, v^ = G u x V, (0.24) где матрицы G и G задаются формулами
G =
Ci ai ЬЛ (c\ ai b{ c2 a2 b2 \ , G = c2 a2 b2 c3 a3 b3J \c3 a3 63/ u = (ui,u2,u3) и v = (vi,v2,v3) - векторы из M3, x означает векторное произведение. Для диагональных подалгебр матрицы G и G диагональ-ны.
Для систем вида (0.24) диагональным подалгебрам из классов 1, 2 соответствуют известные интегрируемые модели Чередника и Голубчика-Соколова. По-видимому, интегрируемый случай, соответствующий подалгебре из класса 3, является новым.
Для двух-спиновой модели типа уравнения Ландау-Лифшица оператор L имеет вид а оператор А имеет следующую структуру:
А = Рх[ Е2, Eg] + Р2[Е3, ЕХ] + Р3[ Е1; Е2] + Qi[ Ё2, Ё3] + <32[Ё3, Ёг]
Q3[Ei,E2] +Р1Е1 +р2Е2 +Р3Е3 + 91Ё1 + д2Ё2 + д3Ё3, где Р = (Fi,F2,P3),Q = (QbQ2,Q3), Р = (риР2,Рз),Ч = (Я1,Я2,Чз) ~ некоторые дифференциальные многочлены от компонент векторов u, v.
Известно, что в этом случае уравнение Лакса (0.16) допускает редукцию v = (и,и), (1 = (v, v), где fi yl v - произвольные положительные постоянные.
Из уравнения Лакса (0.16) вытекает, что Р = su, Q = sv, где s и s -некоторые постоянные. При этом (0.16) эквивалентно системе уравнений:
Ut = pI + uxGq-pxGv + sG(vx G*u) - sG* (vxGfu) + suxRu,
Vi = qj;+vxGp-qxGu + sG(ux G*v) -sG1 (u xG'vj + svx Rv, где
L = mi Ei + u2E2 + W3E3 + V1E11 + г>2Е2 + V3E3
R — , R, = где r2 - r3 = 6, r3 - n = e, n - r2 = r, r2 - r3 = 6, r3 - n = e, rl - r2 = r. Здесь функции p, q задаются следующими формулами: s s —
V X (v X G U + V X Jv - vx) - —(v, Jv)v, q = где
Si - S3 = X, S2-S1 = y, S3 - S2 = 2;, Si - 53 = X, 52 - Si = У, S3 - S2 =
Система, соответствующая диагональной подалгебре из класса 1, хорошо известна [46]: она обладает двух-полюсной эллиптической L—A-парой с коэффициентами из sl(2). Система, соответствующая подалгебре из класса 2, в неявном виде содержится в работе [16]. Система, порожденная подалгеброй из класса 3, возможно является новой.
В главе 4 также найдена явная форма гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с однородным квадратичным гамильтонианом и линейными зо(4)-скобками Пуассона, соответствующей произвольной дополнительной подалгебре. Эта система имеет вид ut = ux (sJu + sGv + sGV), vt = v x (s J v + sG u + sG*u).
Квадратичные интегрируемые 5о(4)-гамильтонианы, соответствующие трем диагональным подалгебрам, не являются новыми и задают интегрируемые случаи Шоттки-Манакова [87, 35], Стеклова [88] и Пуанкаре 180].
Благодарности. Автор благодарна своему научному руководителю профессору А.В. Михалеву, а также профессору В.В. Соколову за постановку задачи, профессору А.В. Михайлову, любезно разрешившему пользоваться его компьютерной программой и ведущему научному сотруднику Е.В. Панкратьеву за внимание к работе.
1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи, Москва: Мир, 1987, 478 с.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, Москва: Наука, 1974, 431 с.
3. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли, // Функц. анализ и его прил., 1982, т. 16, №3, с. 1-29.
4. Бобенко А.И. Уравнения Эйлера на so(4) и е(3). Изоморфизм интегрируемых случаев, // Функц. анализ и его прил., 1986, т. 20, т, с. 64-66.
5. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны, Москва: Наука, 1991, 320 с.
6. Болсинов А.В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейства функций в инволюции, // Известия АН СССР. Сер. матем., 1991, т. 55, М, с. 69-89.
7. Болсинов А.В., Борисов А.В. Представление Лакса и согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли, // Мат. заметки, 2002, т. 72, т, с. 11-34.
8. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела, Ижевск: РХД, 2001, 384 с.
9. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамилътоновой механике, Ижевск: РХД, 2001, 460 с.
10. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: РХД, 2003, 295 с.
11. Борисов А.В., Мамаев И.С., Соколов В.В. Новый интегрируемый случай so(4), // Докл. РАН, 2001, т. 381, №5, с. 614-615.
12. Веселов А.П. Об услових интегрируемости уравнения Эйлера на so(4), // ДАН СССР, 1983, т. 270, №6, с. 1298-1300.
13. Гельфанд И.М., Манин Ю.И., Шубин М.А. Скобки Пуассона и ядро вариационной производной в формальном вариационном исчислении, // Функц. анализ и его прилож, 1976, т. 10, №4, с. 30-34.
14. Гельфанд И.М., Дикий J1.A. Дробные степени операторов и га-мильтоновы системы, // Функц. анализ и его прил., 1976, т. 10, №4, с. 13-29.
15. Голод П.И. Гамильтоновы системы на орбитах аффинных групп Ли и нелинейные интегрируемые уравнения, //В кн.: Физика многочастичных систем, Киев: Наукова Думка, 1985, т. 7, с. 30-39.
16. Голубчик И.З., Соколов В.В. Обобщенные уравнения Гайзенберга на Z-градуированных алгебрах Ли, // ТМФ, 1999, т. 120 №2, с. 248255.
17. Голубчик И.З., Соколов В.В., Согласованные скобки Ли и интегрируемые уравнения типа модели главного кирального поля, // Функц. анализ и его прил., 2002, т. 36, №3, с. 9-19.
18. Голубчик И.З., Соколов В.В., Факторизация алгебры петель и интегрируемые уравнения типа волчков, // ТМФ, 2004, т. 141, №1, с. 3 23.
19. Горячев Д.Н. Новые случаи движения твердого тела вокруг неподвижной точки, // Варшавские Университетские Известия, 1915, кн. 3, с. 1-11.
20. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза, // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, Москва: ВИНИТИ, 1984, т. 24, с. 81-180.
21. Дубровин Б.А., Матвеев В.В., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия, // УМН, 1976, т. 31, №1, с. 107-136.
22. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы, // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Москва: ВИНИТИ, 1985, т. 4, с. 179-284.
23. Ефимовская О.В. Интегрируемые кубические ОДУ на ассоциативных алгебрах, // Фундаментальная и прикладная математика, 2002, т. 8, №3, с. 705-720.
24. Ефимовская О.В., Соколов В.В. Разложения алгебры петель над so(4) и интегрируемые модели типа уравнения кирального поля, // Фундаментальная и прикладная математика, 2004, т. 10, №1, с. 39-47.
25. Ефимовская О.В. Факторизация алгебры петель над so(4) и интегрируемые нелинейные дифференциальные уравнения, // Фундаментальная и прикладная математика, 2005, т. 11, №3, с. 79-94.
26. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи, Москва: Наука, 1980, 319 с.
27. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II, // Функц. анализ и его прил., 1979, т. 13, №3, с. 13-22.
28. Зиглин C.JI. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. I, // Функц. анализ и его прил., 1982, т. 16, №3, с. 30-41.
29. Зиглин C.JI. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. II, // Функц. анализ и его прил., 1982, т. 17, Ш, с. 8-23.
30. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике, М.: АН СССР, 1962.
31. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Ижевск: РХД, 1995, 429 с.
32. Козлов В.В. Ветвление решений и полиномиальные интегралы уравнений динамики, // Прикл. мат. и мех., 1998, т. 62, №1, с. 3-11.
33. Комаров И.В. Базис Ковалевской для атома водорода, // ТМФ, 1981, т. 47, №, с. 67-71.
34. Ляпунов A.M. Новый случай интегрируемости уравнений движения твердого тела в жидкости, // М., 1954, Собр. соч., т. 1, с. 320324.
35. Манаков С.В. Замечание об интегрируемости уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, // Функц. анализ и его прил., 1976, т. 10, №4, с. 93-94.
36. Михайлов А.В., Шабат А.В., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, // УМН, 1987, т. 42, №4, с. 3-53.
37. Мищенко А.С. Интегрирование геодезических потоков на симметрических пространствах, // Мат. заметки, 1982, т. 31, №2, с. 257-262.
38. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли, // Известия АН СССР, сер. мат., 1978, т. 42, №2, с. 396 -415.
39. Неретин Ю.А. Оценка числа параметров, определяющих п— мерную алгебру, // ИАН СССР, 1987, т. 51, с. 306-318.
40. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, // УМН, 1982, т. 37, №5, с. 3-49.
41. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике, Москва: Мир, 1989, 323 с.
42. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравненим, Москва: Мир, 1989, 637 с.
43. Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход, Ижевск: РХД, 2003, 351 с.
44. Рубановский В.Н. Новые случаи интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела в жидкости, // Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1968, №2, с. 99-106.
45. Семенов-Тян-Ша;нский М.А. Что такое классическая г-матрица, // Функц. анализ и его прил., 1983, т. 17, №4, с. 17-33.
46. Склянин Е.К. О полной интегрируемости уравнения Ландау-Лифшица, // Предпринт ЛОМИ, 1979, №Е-3 Л.: ЛОМИ
47. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, // ТМФ, 2001, т. 129, №, с. 31-37.
48. Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so{4), // Доклады РАН, 2004, т. 394, №5, с. 602-605.
49. Соколов В.В. О разложениях алгебры петель над so(3) в сумму двух подалгебр, // Доклады РАН, 2004, т. 397 №3, с. 321-324.
50. Соколов В.В., Цыганов А.В. Пары Лакса для деформированых волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина, // ТМФ, 2002, т. 131, №1, с. 118-125.
51. Соколов В.В., Цыганов А.В. Коммутативные подалгебры для скобок Склянина и деформации известных интегрируемых моделей, // ТМФ, 2002, т. 133, №3, с. 485-500.
52. Стеклов В.А. О движении твердого тела в жидкости, Харьков, 1893, 234 с.
53. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории со-литонов, Москва: Наука, 1986, 382 с.
54. Федоров Ю.Н. Представления Лакса со спектральным параметром, определенном на накрытиях гиперэллиптических кривых, // Мат. заметки, 1993, т. 54, №1, с. 94-109.
55. Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли, М.: Наука, 1984.
56. Чаплыгин С.А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости, j j Собр. соч., т. 1, М.-Л.:ГИТТЛ, 1948, с. 337-346. (Изд.1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1903, т. 11, вып. 2, с. 7-10.)
57. Чередник И.В. Об интегрируемости двумерного асимметричного кирального 0(3)-поля и его квантового аналога, // Ядерная физ., 1981, т. 33, с. 278-282.
58. Чередник И.В. Функциональные реализации базисных представлений факторизующих групп и алгебр Ли, // Функц. анализ и его прил., 1985, т. 19, №3, с. 36-52.
59. Adler М., van Moerbeke P. The Kouialevski and Henon-Heiles motions as Manakov geodesic flows on so(4) a two dimensional family of Lax pairs, // Comm. in Math. Phys., 1988, v. 113, p. 659-700.
60. Adler M., van Moerbeke P. A new geodesic flow on SO(4). Probability, statistical mechanics, and number theory, // Adv. Math. Suppl. Stud., 1986, v. 9, p. 81-96.
61. Balandin S.P., Sokolov V.V. On the Painleve test for non-Abelian equations // Phys. Lett. A, 1998, v. 246, №3-4, p. 267-272.
62. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. The Kowalevski top 99 year later; a Lax pair, generalizations and explicit solutions, // Comm. in Math. Phys., 1989, v. 122, p. 321-354.
63. Clebsch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flussigkeit, // Math. Annalen, 1870, v. 3, p. 238-262.
64. Dorfman I.Ya. Dirac Structures and Integrability of Nonlinear Evolution Equations, John Wiley&Sons, Chichester, 1993, 176 p.
65. Efimovskaya O.V., Wolf T. Classification of integrable quadratic hami-Itonians on e(3), // Reg. & Chaot. Dyn., 2003, v. 8, №2, p. 155-162.
66. Fedorov Yu. N. Integrable systems, Lax representations, and confocal quadrics. Dynamical systems in classical mechanics, // Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, v. 168, p. 173-199.
67. Golubchik I. Z., Sokolov V. V. Factorization of the loop algebras and compatible Lie brackets, // Journal of Nonlinear Math. Phys., 2005, v. 12, Ш, p. 343-350.
68. Kalnins E.G., Miller JR W., Winternitz P. The group 0(4), separation of variables and the hydrogen atom, // SIAM J. Appl. Math., 1976, v. 30, №4, p. 630-664.
69. Komarov I.V., Sokolov V.V., Tsiganov A.V. Poisson maps and inte-grable deformations of Kowalevski top, // J. Phys. A: Math. Gen, 2003, v. 36, p. 8035-8047.
70. Kowalevski S. Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, // Acta Math., 1889, v. 12, p. 177-232.
71. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves,// Comm. Pure Appl. Math., 1968, v. 21, №5, p. 467-490.
72. Mikhailov A.V. The reduction problem and the inverse scattering method, //in "Solitons", Topics in Current Physics, R. Bullough and P. Caudrey eds., New York: Springer-Verlag, 1980, v. 17, p. 243-285.
73. Mikhailov A.V., Shabat A.B. Integrable deformations of the Heisenberg model, // Phys. Lett. A, 1986, v. 116, p. 191-194.
74. Mikhailov A.V., Shabat A.B., Sokolov V.V. Symmetry approach to classification of integrable equations, //in the book "What is Integrabil-ity?", Springer-Verlag, New York, 1991, p. 115-184.
75. Mikhailov A.V., Sokolov V.V.Integrable ODEs on Associative Algebras, // Comm. in Math. Phys., 2000, v. 211, №1, p. 231-251.
76. Olver P. J., Sokolov V. V. Integrable evolution equations on associative algebras, // Comm. in Math. Phys., 1998, v. 193, №2, p. 245-268.
77. Olver P. J., Sokolov V. V. Non-abelian integrable systems of the derivative nonlinear Schrodinger type, // Inverse Problems, 1998, v. 14, №6, L5-L8.
78. Ostapenko V. Endomorphisms of lattices of a Lie algebra over formal power series field, // C.R. Acad. Sci. Paris, 1992, v. 315, Serie 1, p. 669673.
79. Page S., Richardson R.W. Stable subalgebras of Lie algebras and associative algebras, // Trans. AMS, 1967, v. 127, p. 302-312.
80. Poincare H. Sur la precession des corps deformables, // Bull. Astr., 1910, v. 27, p. 321-356.
81. Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. A new integrable case of the motion of the 4~dimensional rigid body, // Comm. in Math. Phys., 1986, v. 105, p. 461-472.
82. Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. Lax representation with a spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations,// Lett.Math.Phys, 1987, v. 14, p. 55.
83. Sklyanin E.K. Boundary conditions for integrable quantum systems, // J. Phys. A: Math. Gen, 1988, v. 21, p. 2375-2389.
84. Sokolov V.V., Shabat A.B. Soviet Scientific Reviews, // Section C, 1984, v. 4, p. 221-280.
85. Sokolov V. V. A generalized Kowalewski Hamiltonian and new integrable cases on e(3) and so(4), //in the book "Kowalevski property", edt. V.B. Kuznetsov, to appear in CRM Proceedings and Lecture Notes, AMS, 2002. Preprint nlin.SI/0110022, 2001.
86. Sokolov V. V., Wolf T. Integrable quadratic Hamiltonians on so(4) and so( 3,1) , // arXiv: nlin. SI/0405066.
87. Schottky F. Uber das analytische Problem der Rotation eines star-ren Korpers in Raume von vier Dimensionen,// Sitzungsberichte drer Konigligh preussischen Academie der Wissenschaften zu Berlin, 1891, v. XIII, p. 227-232.
88. Stekloff V.A. Sur le mouvement dun corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remple par un liquide incompressible en sur les variations des latitudes, // Ann. de la fac. des Sci. de Toulouse, Ser.3, 1909, v. 1.
89. Tsiganov A.V. On integrable deformation of the Poincare system, // Reg. к Chaot. Dyn., 2002, v. 7, №3, p. 331-337.
90. Tsiganov A.V., Goremykin O.V. Integrable systems on so(4) related with XXX spin chains with boundaries, //J. Phys. A: Math. Gen, 2004, v. 37, p. 4843-4849.
91. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures and nonlinear evolution equations, //J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 1-7.
92. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures and nonlinear evolution equations, // J. Math. Phys., 1976, v. 17, p. 1293-1297.
93. Yehia H.M. New generalizations of the integrable problems in rigid body dynamics. //J. Phys. A: Math. Gen, 1997, v.30, p. 7269-7275.
94. Yehia H.M. New integrable problems in the dynamics of rigid bodies with the Kovalevskaya configuration. I- The case of axisymmetric forces. // Mech. Res. Com., 1996, v.23, № 5, p. 423-427.
