Некоторые вопросы дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии в теории солитонов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ, РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "ИМЕНИ М .В ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правох рукописи

ШТЕМИН ГЕННАДИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

УДК. 514.763.85

*

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ТЕОРИИ СОЛИТСНОВ

, Специальность 01.01.04. - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание, ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механяко-матемагического факультета Московского государствен- . ного университета им. М.В.Ломоносова. . " : ■•

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, академик АН СССР, профессор С.И.Новиков

Официальные оппоненты - Доктор физико-математических

наук, профессор В.Ю.Новокшенов, кандидат физико-математических наук О.И.Мохов .

Ведущая организация - Ленинградское отделение

Математического института АН СССР им. ВД.Стеклова

Зашита состоится " " . • ' 199 г. в 16 час. Ю мин. на заседании специализированного Совета. № 2 по математике /Д.053.05.05/ при Московском^государственном университете им. М.ВДомоносова по адресу : 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-Ф6. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотекеМеханико-математического факультета МГУ. ; , . : •

Автореферат разослан " "' - ~ ' ■ : 199 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ' ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность теш. Гамильтоновы системы гидродинамическо-■ го типа хорошо известны в классической математической физике. Риман использовал локальные замены координат для упрощения таких систем. Для двухкомпонентного случая Риман показал, что для обратных функций исходная система квазилинейных уравнений первого порядка переходит в линейную ("метод годографа"). Для //>2 системы гидродинамического типа'не всегда диагонализи-рутатся. Существование таких координат (инвариантов Римана) указывает на существенное вырождение системы. Аналога метода годографа в этом.случае известно не было.

В работах С.Ц.Новикова и Б.А.Дубровина''"» была построена • дифференциально-геометрическая теория гамильтоковьк систем 'гидродинамического.типа. Используя методы дифференциальной геометрии, ими были классифицированыяевыроаденше гидродинамичес-, кие скобки Пуассона л определены однородные дифференциально-'■•'- геометрические скобки Пуассона произвольного "Грядка' и , <1(0/ ( оС =.М; - гидродинамические скобки). Класс*....кация таких скобок является-нетривиальной дифференциально-геометрической задачей даже при "условии невырожденности старшего члена

.Дубровин, С.П.Новиков. Гашльтонов формализм одномерных .' систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-У из е:,га. ДАН СССР, 1983,т. 270, ).' 4, с. 761 -765.

•Дубровин, С.П.Новиков. О скобках Пуассона гидродинами... ческого типа. ДАН'СССР, 1984, т.279, с. 294 - 297.

сШ{ф)Фо • в работе3^ C-.ll.Новиков высказал гипотезу, что "последняя" связность симметрична и имеет нулевую кривизну. ' ; " • '.'•

Новый импульс к изучению гидродинамических систем связан с тем, что к их числу относятся уравнения Уизема (уравнения медленных модуляций), возникающие в методе усреднения для нелинейных уравнений типа Кортевега-де Фриза и их двумерных • обобщений4/ Последние уравнения относятся к числу наиболее фундаментальных уравнений математической физики, ото обстоя- , тельство обуславливает актуальность темы диссертации.

Цель работы - методами дифференциальной геометрии изучить невырожденные однородные дифференциально-геометрические. скобки Пуассона произврльного порядка c¿ для случая одной -пространственной переменной и некоторые примеры неоднородных скобок *11уассона, а также с помощью алгебро-геометрической , конструкции решений уравнений Уизема, предложенной И.М.Криче-вером, построить автомодельное' решение уравнения; Уизема для задачи Гуревича-Нитаевского о структуре ударшй волны в'бес- ' столкновительном'случае; ; V" >; ,.;V ;*-:-;..-^/--'l

Научная новизна. Б работе получены следущио основныё результаты. ■ ■.'",.."••'. .'.i-. '<'.'-'Д'.':-' W V

'С.П.Новиков. Геометрия консервативных систем гидродинами- ; ческого типа. Метод усреднения для теоретико-полевых систем. ' У!.Ш, 1985, т.40, Г- 4, с. 79 - 69.

^И.М.Кричевер. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений. Функц.анализ, 1988,т.2И,в.З, с.37-о2.

,1. Получена классификация невырожденных дифференциально-геометрических скобок Пуассона второго порядка, б частности, получено условие при котором такие скобки приводятся к простейшему виду.

2. Изучены некоторые примеры неоднородных скобок Пуассона порядка три, два, один и ноль, встречающиеся в физических приложениях.

• 3. Доказана гипотеза С.П.Новикова об обращении в ноль тензора кручения и тензора кривизны "последней" связности а невыровдендай диффере1щиально-геометрической скобке Пуассона

- произвольного; порядка. Изучены скобки Пуассона третьего по-■ рядка.

4. Найдено аналитически требуемое автомодельное реше-';'ние уравнений Уизема для задачи Гуревича-Питаезского ■ гладкое во всей зоне осцилляции.

• .Все основные результаты являются-новкш и получены самостоятельно.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация но. • сит теоретический характер. Ее результаты могут быть примене-V кы в'геометрической теории дифференциальных уравнений и математической физике..

■ Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуэдались на научно-исследовательском семинаре по геомет-. рии и физике под руководством академика С.П.Новикова, на семинаре по интегрируемым системам под руководством профессора . Б.А .Дубровина и И.М.Кричезера на^механико-математшеском фа-1:ульте?е ЮТ, сешнаро Института Теоретической Шизики им. Л.Д.Даедау АН СССР. Г

. " . . ■ /V . £-

Публикации. Основные результаты диссертации опубликова- ; .' ' ш в работах [l, zj , список которых приведен в конце авто- '. --. реферата. • • -.,' : : ^-Л:. ■<•.,'"^"'v;.Л"--;.'

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из. введения и двух глав. Объем диссертация - 99 страниц. Спи-' сок литературы включает 36 наименований. ' : ;- --;. t

КРАТКОЕ' (ЙДЕЕШИЕ'даССЕРГАЩИ -'•.■'•.■

Во введении дан краткий обзбр работ по теме диссертации, излагаются основные результаты диссертации и ее структура.

ПерЕая глава посвящена исследованию однородных и неоднородных дифференциально-геометрических скобок Пуассона для случая одной пространственной переменной. Недавно Б.А.Дубро-аин и С.И.Новиков доказали обшую теорему о структуре скобок . Пуассона гидродинамического типа*/.

>.'.'' ■ •

Если матрица ( ^'J ) невырожденна, тогда для того чтобы г. выражение (1) • бшю .¡скобкой Пуассона,' кеобходто"ч ' достаточноi-Î, чтобы ^'Vw) была симметричной ( вообае говоря,' иадефенит- ' -, ной) метрикой нулевой кривизны, а ' 01\е - f7»*:; ...'■',"/i

гАе OU --коэффициенты симметричной связности, согласован--' -', ной с метрикой. ^'J . Таким образом, для скобок Пуассона гидродинамического типа с условием не вырожденности О V

имеется один локальный инвариант - сигнатура метрики ¿f^ , т.е. число ^ отрицательных квадратов и число . положи- '■..", тельных квадратов, . ,

• о/

, ■ В работебыла определены однородные дифференциально— геометрические, скобки Пуассона порядка оС , ои бы: ла поставлена задача о классификации таких скобок. Для од- ной пространственной переменной однородные дифреренцпачьно-геомотрические скобки Пуассона порядка имеют вид

' (т Щ=+ +

• ' . - ■ ... -. . » ■"..Все .слагаемые, в (2) имеют суммарную степень ,

При сЛ- =1 получаем гддродппакичеокпо скобки Пуассона.

-; В. диссертации рассматриваются однородные дкфференциалыго-геокегричеаспв скобки Пуассона (2) с,невырожденной "метрл-¿гоз"

Гидродинамические скобки Пуассона инварианты относн-гаяьно локальной замены координат и при этом возникает богата'! госиетрйя, обнаруженная впервые в работе^.

..В §1 перзой главы изучены однородные дсф^оренцлально-геомотрические скобки Пуассона, второго порядка. По определенно они имеют вад

-У

Аналогично, рассмотрим локальную замену координат для дифференциально-геометрических скобок Пуассона второго порядка. .

<

Л емка

1) Класс скобок Пуассона дифференциально-геометрического типа второго порядка (3) инвариантен относительно преобразований полевых переменных и,~С1(,м). ,

2) При этом коэффициенты ^ (и) преобразуются как ком-' поненты тензора'типа42,0). , -,'■ -.":

3) Определим величины ' и :

При локальных заменах, величины", и преоб- .

разуются как компоненты дафферейциальнО-геомвтрнчес?^их - . связностей. ..■,'..' ',/.'.' '. :"

Закон преобразования коэффициентов Со болев гроыозд-кий и его явный вид не понадобится .в дальнейшем.

с/

И.М.Гельфанд,И .Я .Дорй,:ан. Гамильтоновы оператора и свя- ■ заняые с ними алгобраические структуры. Функц. анализ,1979 т.13,в.4, с.13-30.

Условие кососимметричности и тождество йкоби наклады-вавт / ограничения на допустите ^ , , . Име-

ет место

Теорема I.

1. Из условия "кососимметричности следует, что

•. связность согласована с кососмметричной "метрикой" , т.е.

2. Из тогдества Якоби следует, что симметричная часть совпадает с > т.е.

••■• .р\ = ^ [т' у-л'')

•. . / ' 3/с г Сз^

а- •

. Для связности Г^ тензор кручения и тензор кривизны. .. должны- обращаться в ноль: . . . \ .

• Следствие. -Существуют локальные координаты, в которых ГЦ, =0 (эти координаты определены с точностью до аффякой замены переменных' ). В этих координатах скобка (3) пр:ш:аэет вид: ' -

<Л)

Коэффициенты и ё }с должны удовлетворять следующим . соотношениям: . /V • ' ■■■■^1;

Рассмотрим 2-фор»<у. - обратная матрица для (^Ч) . Опустим индекс Ч у тензора кручения =. I

Основной результат § I ■ . ^. "

Теорема 2. Дифференциально-геометрические скобки. - ■

Пуассона второго порядка (3) с,условием невырожденности оп- . ределяптся локальными инвариантами - тензором типа (0,3) - .

кососимметричным по всем' индексам и тензором типа (0,2) - с точностью до аффинных преобразований^ В . .

специальной системе координат, где =0 "метрика"

линейно зависит от и*, -, с тензор кр^ения • /ррг-^саняк

Дифференциально-геометрические .'скобки Пуассона второго порядка, вообще говоря, не приводятся к простейшему! виду: ' -" .'

локальной заменойкоординат- и V Имеет место/ », .

Теорема 3.. Дифференциально-геометрические скобки Пуассона второго порядка (3) приводятся локальной заменой Ш=и(<>)

. к простейшему виду, тогда и только тогда, когда яевыроаденная 2-форма замкнута, с/52. =0. ■ ■'..;-.

Условно замкнутости эквивалентно условию симметричности У'; связности , .. : : . :

В §2 главы I рассмотрены некоторые примеры неоднородных . скобок Пуассона, представляющих собой различные комбинации однородных дифференциально-геометрических скобок порядка трн, два, один и НОЛЬ®/. ...

Предзохоние I. Вьрагсние

с; сЬя^уф0, ¿»»выявляется скобкой Пуассона, тогда .п только тогда, "когда . . •

$ - ,.. = -¿«К ' '

Для сС- =1 раноо била доказана ^брема6' .о том, что СЧ— , где ¿¿I -/структурны?-константы полу-

простой алгебра Ли с метрикой Киллинга ^ , а» £¿1 - ко- 7" ; цикл на этой, алгебре. 7.;7-':.77 .">'....-.

' Рассз/отршл нердаородаые скобки Цуассона, для которых л коэффициент . = и '(¿у) ¿0:'

^А.В.Гурович,Л.П.ПитаовсКп11. Нестздюнзрнся структура бес. столкноздтельаоЁ ударной волны. 1ЭТФ, 1973, т.65, >'й2,с.590г

и

Пусть /З-Л^-мерная алгебра с базисом € ^ е"^ и

структурными константами ■¿'^г

el'èi = - . ■

lia алгебре Ô определим скалярные произведения: .

Предложение 2: Для того, чтобы выражение (5) при. > ©С = 2 было скобкой Пуассона, необходимо и достаточно, чтобы .'.■■' '. •..■' ; ;.'•' Л-.:-' I) однроднсе слагаемое порядка I в (5) линейно зависело ; от М* и само являлось скобкой Пуассона, т.е.

В

в алгебре ê> _ выполнялись тогдества: • ■

(А4) С +c(aé) (св) <z H-Afe£)t : ; (aélc ~(ac)ê} ;

2) скалярные произведения £ , кососишетрично, а

~ симметрично и -; .•■; " .

Замечание I. - Условие .1) предложения ¿ означает, что

.на алгебре состоящей из линейных комбинаций ъ с

вещественными коэффициентами ( 1 ¿L , X - конечное множество, ^tfc ), с умножением

выражаются через коэф. (5))^ определена алгебра , а условие 2) означает, что определяет 2-коцикл на "W . Обозначим ассоциатор лДееВ, {a,а(вс). Предложение 3. Для того, чтобы выражение (6) при =2 было скобкой Пуассона, необходимо и достаточно, чтобы I) однородное слагаемое порядка а линейно . зависело от

и*-.

и* + /¿Í , fl + Íll =¿> , имела место симметрия ассоциатора м первым двум индексам

и. выполнялись eco условия кроме первого из пункта 2 пред. лсдения 2,v ; .ч'"?'-':■.'■}:■'■ :. - • • u 2) коэффициент С*1' квадратично зависел от

¿?«/ =Г C¿jéü*u' с ¿j, • с У

, V; : ч ^

Ьедаршка* и С^ выражаются.через

Л, <f¿ и ffí : .3) выполнялись товдества •

Замечание 2. Из пункта 2 предложения 3 следует, что "".-.если С^ Ф О , то однородное слагаемое порядка </ &($) : не определяет гидродинамическую скобку Пуассона.

Пусть на алгебре В определены скалярные произведения

Предложение 4. Выражение (6) при >=3. является скобкой Пуассона, тогда и только тогда, когда

1) Б - ассоциативная коммутативная алгебра, линейно зависит от

и*

2) коэффициент' -= ... У ■

3) 4а, ё>А - НУ< ^-у^-;'/-/?'1

Примеры неоднородных скобок Пуассона.линейных по ^ мокно найти в ^ где заранее предполагали линейность '..';-•""'' скобок. ■ . . • • • ■ .--..- " ;у-у У' • . уу •

Результаты предложений 1)"~4) позволяют исследовать неоднородные дифференциально-геометрические скобки Пуассона • более обаего вида, в которых однородное слагаемое порядка ."• приводится локальной-заменой координат ■ и = иМ)к простей-. - ; ыему виду. - •/ •■ .-*'• : ' У - . :

§ 3 главы I посвящен исследовании некоторых свойств . дифференциально-геометрических скобок Пуассона порядка 2 Имоет место у • • ■■ . - '<

. Лемма --' I) класс скобок 'Пуассона дифферанциально-гео- , метрического типа порядка ^ инвариантен относительно ".

V ^преобразований в\

: 2) при этоМ коэффициенты " . ^ преобразуются как хомпонен-ты тензора типа (2,0) .'.".

3) определи».« величины Лр^Х : ' : .

" При локальных заменах величины ¡р^гк преобразуются .'•как компоненты дифференциально-геометрических связностей. . Для однородных дифференциально-геометрических скобок Пуассона произвольного порядка о(- ' имеет место основной результат § 3 ... . - ,

. Теорема I. "Последняя" связность ^^а скобке (2) ^ имеет.цулевые тензор кручения и тензор кривизны.

.Б специальной системе координат, где =С, коэф-

.. фициенты при„'

функции обращаются в ноль при : --2,3 .V, "^по-видимому, ;в сбцем случае они равнн 'цулп. Но дифферек-- циально-гёометрические скобки Пуассона произвольного поряд-:;>;. ка'/,>1\,' Вообчб! говоря, не,приводятся _к простейшее виду . -...'локальной заменой координат, в отличие от случаев. ^ =0 и

=Г . Нодтвервдегаем этое слухглт ' '•'•.. •-.у.• -Теорема 2. Пусть дайо, выражение для.дифференциально- ' геометрической' скобки Пуассона третьего порядка в .специаль-кой системе координат, где ЛцКх -0 :

Для того, чтобы выракение (?) бьью скобкой Пуассона,

необходимо и достаточно»чтобы выполнялись слвдуюшио условия!4 - "

¿Ы = -+У&.-4

и коэффициент ^ £ ( 9 ^ ¿Ц \"',

с 2 I ЪТГ^ Ъй?) '■■■".

если переписать условия теоремы 2 для величин с нижни- '

ми индексами : , то они. будут, означать » ; ,

что метрика - -(-'^'^и : . '

а тензор кручения с опущенным индексом С^^ линейно зависит

• ■■.-■'.' V • V

Теорема 3. Невырожденная дифференциально-геометрическая скобка Пуассона третьего порядка приводится локальной заменой координат М-К(И) к простейшему виду,'»тогда и только тогда, когда связность С^ = -З^'3 Р^ ., согласованная с мет-' рикой имеет нулевой тензор кручения..' : "-.'•'.

Во второй главе диссертации с помощью-алгебро-геометри-, . ческого метода, предложенного в работе И.М.Кричевера, строится автомодельное.рёшекие для,задачи Гуревича-Питаевского.'

Ь первом параграфе приводится пространственно-одномерный случай конструкции И,М.Кричевера построения решений уравнений Уизема для пространственно-двумерных "интегрируемых"

п

■ уравнений« - . .

, ' .:; Хорошим приближением для- описания процессов в бездис-. сипатишта средах с малой нелинейностью и дисперсией является ураннеше Кортевега-де Фриза:

Ыб -ИМ* -Ш***

Конечнозонные решения уравнения Кортвега-де Фриза определяются условием существования общей собственной функции

^«^аГ/^^коммутируюших операторов /¿>¿-<4)^=0,

мероморфной (по ) на римановой поверхности Р . Нам потребуется случай эллиптической кривой П , задаваем^ уравнением , .

£ -Ш т Е<^/

двулистно, накрывавшей -плоскость. Определим абелевы дифференциалы второго рода на Т7

р ШШ) • . ' 7 жв

' "ц ''. ' 7;--'' ¿.'ССЛЪЪ

с .единственнш полюсом в бесконечйо-удаленной точке и асимптотиками .... .: ..•':."'•' . ' ' •

- Коэффициенты однозначно ■ определяются; из 'условий' норми-

' Пусть кривая. Р зависйт. от медленных переменных

. . Уравнения Уизема медленных модуляций конечно-зонных решений уравнения Кортевега-де йриза имеют вид

"Бочки ветвления к/, ', ¿Г-^ являются -римановыми ин-, вариантами для уравнений медленных модуляций, т.е. . 2t£¿ , I.lio схеме С.П.Дарева7/

WI и V; поровдают точное решение, e¿-¿r¿{T}-i)\ W¿,~ -г^ , где Wi^é/bj^ , ^-^/^v Б работе ' заметили, что это усредненно конечнозонное решение является автомодельным

В § 2 построено аналитически автомодельное решение для задачи Гуревича-Питаевского^. Решение, описывающее ударную волну в бесстолхновительном случае после момента опрокидывания, было найдено ими численно. Причем было высказано предположение о существовании слабого разрыва внутри.зоны осцилляции. • Основной результат главы 2 содержит', " у. у' у. у .. .' '

Теорема Система . 1M¡-1f¡+ ?=0 , является невырожденной в области и определяет

там гладкое автомодельное, решение с показателем .автомодельное-; ■ ти ¿f = 1/2. Решение является

С1 • гладким , на границе : .-..у: зоны осцилляции, где оно сшивается'с.римановым; решением -в+1=0. Граничные /значения "автомодельной перёменной.равны: у. '.

'-г'-=.-\Г£ , z.+ ^^/z?. . Vy'-уу^

Поведение решения вблизи границ 'зоны описывается формула- ; ми, найденными в ^. •'■ ■ '; У.- У. у' '.'

. Автор выражает.глубокую благодарность.своему научно^. .у'у, руководителю академику АН СССР С.П.Новикову за постоянное" :: внимание к работе и поддержку,'.. у..; 'у ' у- ..уу '; ."* 'г*

С.П.Царев, 0 скобках Пуассона и' одномерных .гаю льто ко вых. системах гидродинамического 'типа. .ДАН .СССР, 1985, т.282, -

};■ з, С. 534-537. ;.",.' •' уу Гуу ■•-•;-". tí • .....

СШСОК ОПУБЛИКОБАНШХ РАБОТ ПО ТЬМЕ ' даССЕРТАЩИ

1. Потемин Г.В. О скобках Пуассона, дифференциально-геометрического типа. ДАН СССР, 1986, т. 286, № I, с. 39-42.

2. Потемин Г;В. Алгебро-геометрическое построение автомодель* ных решений уравнений Уизема. УМН, 1988, т.43, № 5, с. 211-

Подп.5.11.91. Формат бОхБ^Лб. Бумага оберт. Печать офсетнэя. Уч.-изд.л.1,0. Тираа 100 экз. Заказ 355. Бесплатно.

Лаборатория офсетной печати Нижегородского политехнического института. 603022, Н.Новгород, пр.Гагарина,!.