Численное моделирование длинноволновых возмущений в жидкости и плазме тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи УДК 532.59 532.516:532.546

РГб од

ПОПОВ Сергей Петрович 29": Ш ~20СЗ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ И ПЛАЗМЕ

)

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы, 01.01.07 -вычислительная математика.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в отделе механики Вычислительного центра Российской Академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.И.Липатов, доктор физико-математических наук, профессор С.И. Попель, доктор физико-математических наук, Л.В.Шуршалов.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Защита состоится " НРДЪу^ 2000 г. в \5°час.ов на заседании

диссертационного совета Д002.32.01 при Вычислительном Центре РАН по адресу: 117967 Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра РАН

Автореферат разослан " 15. " 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

В.Е. Яницкий

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации.

Асимптотические теории, использующие разложение искомого решения и независимых переменных в ряд по малому параметру являются наиболее привлекательными и сводят уравнения Навье-Стокса или Эйлера к более простым уравнениям, поддающимся теоретическому или численному анализу. Наиболее широко данные теории применяются к исследованию длинноволновых возмущений, возникающих в жидкостях и газах. Это в первую очередь относится к наиболее интересной области нелинейной гидродинамики - движению массы воды под действием силы тяжести со свободной поверхностью. Сюда включаются как случаи волновых движений в открытых водоемах (каналах, озерах, морях и океанах), так и течения в тонких пленках, реализующихся в различных устройствах специального вида, где кроме силы тяжести могут присутствовать инерциальные силы, вязкость и поверхностное натяжение.

Большой практический интерес представляет исследование внутренних волн в стратифицированных жидкостях, приповерхностных или внутренних сдвиговых слоях. В задачах аэродинамики актуальны задачи о восприимчивости пограничЕ1ЫХ слоев к возмущениям при больших числах Рейнольдса , что связывается с вопросами устойчивости и теорией ламинарно-турбулентного перехода. Исследуемые в настоящей работе эволюционные уравнения помогают пониманию ряда важных физических механизмов, существенных в данных задачах.

К теории длинных волн относятся также задачи о распространении ионно-звуковых и магнито-звуковых волн в неравновесной плазме, исследования которых позволяют определить совершенно новые волновые механизмы взаимодействий в плазме низкого давления.

В настоящее время важным методом исследования сложных нелинейных явлений стало численное моделирование, возможности которого очень быстро возрастают с увеличением быстродействия и памяти компьютеров. Именно в численных экспериментах были обнаружены существенно нелинейные локализованные решения - солитоны, сделавшие

радикальный переворот в понимании нелинейных процессов в различных областях физики.

Применяемые в данной работе численные схемы отличаются от обычно применяемых в теории уравнений Эйлера и Навье- Стокса. Наличие сложных дисперсионных зависимостей вынуждает использовать спектральные схемы, а присутствие сильной нелинейности заставляет привлекать схемы с искусственной вязкостью с последующей коррекцией. Построенные схемы с успехом разрешают сложные формы течений,в число которых входят двумерные солитонные решения разных видов и объясняющих важные качественные эффекты в возмущенных течениях жидкости и плазмы.

Цель работы.

Основные задачи, поставленные для решения, заключаются во всестороннем изучении волновых возмущений, развивающихся в жидкости и плазме в приближении конкретных моделей. В качестве последних выбран набор в разной степени изученных одномерных и двумерных эволюционных уравнений, а также уравнения классического пограничного слоя и мелкой воды.

Для одномерных моделей ставились задачи по исследованию проявления неупругих эффектов при взаимодействии солитонов (длинноволновое регуляризованное уравнение), особенности генерации солитонов (уравнение Бенджамина-Оно), эффект временной цикличности для периодических в пространстве решений (уравнения Бенджамина-Оно, Кортевега-де Вриза, Бюргерса). Во всех случаях обращалось внимание на выявление черт общности солитонов и осцилляторных волн.

В двумерных случаях основной целью являлось всестороннее исследование свойств неизвестных решений, в число которых входили одно- и многосолитонные решения, отвечающие столкновению солитонов разных типов, а также выявление особенностей волновых полей, появляющихся под действием внешних сил. В связи с чем проводился сравнительный анализ особенностей разных моделей при решении однотипных задач.

В рамках теории мелкой воды главным направлением следует считать определение характеристик волн, вызванных падением крупных космических тел в моря и океаны и анализ их развития при прохождении

разных рельефов дна.

Основным методом исследования является метод численного моделирования. Поэтому разработка и проверка эффективных численных алгоритмов являются необходимым условием достижения поставленных целей.

Основные результаты, представленные в диссертации.

1. Предложены и реализованы конечно-разностные численные схемы для расчетов одномерных эволюционных уравнений Кортевега-де Вриза, длинноволнового регуляризованного уравнения (ШЛ¥), Бенджамина-Оно и Бюргерса. Нелинейная часть уравнений аппроксимируется с помощью алгоритма коррекции потоков, что позволяет расширить область применимости данных схем, по сравнению с ранее использовавшимися, за счет включения в рассмотрение разрывных решений. Для аппроксимации дисперсионных членов в каждом конкретном случае предлагается свой алгоритм. Предпочтение отдается полностью неявным аппроксимациям.

2. Разработан и реализован ряд спектральных схем с использованием итераций для вычисления нелинейного слагаемого и формул точного интегрирования линейных уравнений в пространстве Фурье-представлений. Проведено комплексное тестирование схем по внутренним параметрам, сравнением получаемых решений с точными решениями.

С помощью данных схем решен ряд задач, связанных с динамикой невязких возмущений в пограничных слоях, тонких пленках и ионно-звуковых волн в плазме. Многие решения имеют отношение к общей теории эволюционных уравнений.

3. Для ШД¥ уравнения решены следующие задачи:

а.) Исследован механизм генерации солитонов при распаде положительного (или отрицательного) импульса. В результате чего установлено, что при малых амплитудах и длинах импульса образуются ос-цилляторные волны. С увеличением этих параметров появляются соли-тонные компоненты соответствующего знака, число которых зависит от способа сглаживания начальных данных.

б.) Показано, что в зависимости от соотношения амплитуд солитонов и осцилляторных волн между ними может происходить почти упругое

" взаимодействие либо полное исчезновение солитона, сопровождающееся радикальным изменением осцилляторной волны.

в.) Выявлено, что в результате распада сглаженной полубесконечной ступеньки образуются ундулярная бора с прямолинейной огибающей и линейная волна. При различных степенях сглаживания появляются Р— , п—солитоны и Аг—волны. Обнаружен "критический" режим обострения с выделением разрывного решения с двумя расходящимися волновыми пакетами. Отмечено формирование при определенных условиях почти периодической цепи солитонов.

г.) Установлен вид нового точного солитонного решения для уравнения с кубичной нелинейностью. Солитоны могут иметь амплитуды разного знака, но скорость их всегда положительна.

4. Для уравнения Бенджамина-Оно исследованы задачи:

а.) Изучено взаимодействие солитонов с осцилляторными волнами и установлено, что в зависимости от соотношения их амплитуд они могут проходить друг сквозь друга либо происходит захват солитона. Причем, солитоны с полушириной, сравнимой с осцилляциями волны,встраиваются в определенное место осцилляторной волны . Широкие солитоны с малой амплитудой заметны по изменению общей формы огибающей.

Изучены основные формы волновых структур, порождаемых локальным источником возмущений при его поступательном или колебательном движении. Определены условия генерации солитонов как вверх так и вниз по потоку. Указано, что в последнем случае образуется сложная нерегулярная структура. Дана методика для ее качественной интерпретации.

в.) Обнаружен и детально обследован эффект временной цикличности ряда периодических по координате X решений для возмущенного уравнения Кортевега-де Вриза и уравнения Бенджамина-Оно. Установлено, что" эффект возврата" осуществляется для решений, состоящих не только из солитонов, а также и в присутствии осцилляторных волн. Возврат может происходить не только на начальное распределение, но также и на некоторое иное, выработанное в процессе временного развития.

5. Установлен факт неустойчивости стационарного периодического пилообразного решения модифицированного уравнения Бюргерса по от-

ношению к возмущениям с длинной волны, большей периода основного решения. При определенных условиях решение переходит на режим движущегося с постоянной скоростью пилообразного решения с увеличивающимся во времени постоянным по пространству фоном. Проведены методологические изыскания, позволяющие с достаточной точностью численно моделировать эти сложные режимы.

6. Предложены и всесторонне исследованы два метода численного интегрирования двумерного уравнения Захарова-Кузнецова, основанные на принципе расщепления. Набор одномерных по X уравнений решается по ранее разработанным одномерным спектральным схемам. При расчете слагаемого ихуу применялась формула полностью неявной аппроксимации по У. Производная по X вычислялась либо в X— пространстве, либо в к— пространстве Фурье-представления. Проведено тестирование схем, а также предложен путь к унификации алгоритма для расчета ряда родственных уравнений - Кадомцева-Петвиашвили, Ьеа(1ке-8ра<;с11ек'а, имеющих правую чисть вида Ьх{иуу),Ьх -линейный оператор по X.

7. Численно найдено локализованное двумерное солитонное решение уравнения Захарова-Кузнецова. Дополнительным привлечением иных численных методов детально изучены его свойства. Данный солитон обладает центральной симметрией и распространяется только вдоль оси

8. Для уравнения Захарова-Кузнецова установлен ряд особенностей его фундаментальных решений:

а.) Установлено, что плоские линейные солитоны неустойчивы к двумерным возмущениям. Они распадаются на цепь симметричных соли-тонов. Последние оказываются устойчивыми образованиями.

б.) Определено, что процесс взаимодействия плоских линейных соли-тонов с симметричными зависит от способа осуществления столкновения. Если симметричный солитон догоняет плоский, то происходит его отражение с увеличением амплитуды и развалом линейного солитона по сценарию обычной неустойчивости. Если плоский солитон нагоняет симметричный, то последний остается без изменений.

в.) Изучены закономерности лобовых столкновений пары симметричных солитонов для разных отношений амплитуд. Столкновения носят обменный характер с восстановлением амплитуды большего солитона. При касательных взаимодействиях в зависимости от величины прицель-

ного параметра наблюдается разное проявление неупругих эффектов. Установлено наличие "критического" прицельного параметра, когда в решении остается только один солитон, а другой превращается в сильно размытое образование.

Приведен пример тройного столкновения, в котором обнаружена фаза, когда все три солитона приобретают одинаковую симметричную форму.

г.) Исследованы основные закономерности генерации симметричных солитонов локальным источником постоянной мощности, а также особенности течения, вызванного источником противоположной полярности.

д.) Установлено наличие солитонов симметричной формы для нелинейности вида ирих.

9. Проведена адаптация применявшейся для численного раечета уравнения Захарова-Кузнецова спектральной схемы для численного моделирования уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Реализована также для этих целей конечно-разностная схема с коррекцией потоков для нелинейного слагаемого и вычислением по правилу трапеций интегрального члена с полностью неявной аппроксимацией производной иуу.

10. Для плазменного уравнения Кадомцева-Петвиашвили решены следующие основные задачи:

а.) Численно доказана неустойчивость прямых плоских солитонов, в результате развития которой появляются рациональные солитоны, являющиеся устойчивыми образованиями.

б.) В результате изучения парного взаимодействия плоских и рациональных солитонов выявлено, что если плоский солитон нагоняет рациональный, то в этом взаимодействии рациональный солитон сохраняет свои параметры, но несколько затормаживается. Линейные плоские солитоны получают значительные искажения, развивающиеся во вторичные рациональные солитоны.

В случае, когда рациональный солитон догоняет плоский, он полностью исчезает и дает начало образованию двух наклонных рациональных солитонов. Плоский солитон после этого распадается по обычному сценарию.

в.) Численное исследование процесса парного взаимодействия рациональных солитонов, имеющего точное аналитическое решение, показало на возможность численного моделирования этого столкновения, несмотря на конечность области интегрирования и большую протяженность солитонов. Приведены численные решения нескольких случаев взаимодействий.

г.) Исследованы течения, вызываемые локальными стоками в узком канале. Установлено, что вверх по потоку уходит слабая прямая волна возвышения уровня, сопровождающаяся протяженной линейной волной. Вниз по потоку распространяются слабые наклонные волны.

Действие источника сопровождается генерацией рациональных соли-тонов всех видов. Представлены наиболее примечательные формы данных решений.

11. Изучены формы волновых возмущений, описывающиеся двумерным устойчивыми уравнением Кадомцева-Петвиашвили.

а.) Проведено численное моделирование процесса образования цепи прямых устойчивых солитонов локализованными источниками в узком канале постоянной глубины.

б.) Обнаружено существование сложной волновой структуры, состоящей из стационарной двумерной периодической стоячей волны и подвижной модулированной по обоим направлениям осцилляторной волны. Данная структура образуется за стоками, расположенными в протяженных каналах.

в.) Проведено сравнение решений а) и б) с аналогичными решениями, следующими из теории двумерной мелкой воды. Указано на хорошее качественное согласие.

г.) Приведен результат расчета задачи, постановка которой моделирует движение судна и определен вид судовых волн, отвечающий приближению Кадомцева-Петвиашвили.

12. Построено численное решение в приближении классического пограничного слоя при задании градиента давления, соответствующего движущемуся солитону КдВ. Решение имеет вид развивающихся со временем двух вихревых структур, разделенных областью больших градиентов.

13. В рамках модели мелкой воды изучено проявление "эффекта тонкого канала". Выявлены основные закономерности развития течения при набегании плоского гидравлического скачка на подводный каньон или хребет.

14. Выявлены характеристики уединенной волны поднятия уровня океана, инициированной падением большого космического тела. На значительном расстоянии от места падения метеорита амплитуда обратно

пропорциональна пройденному расстоянию.

По модели мелкой воды определены изменения уединенных волн при прохождении ими различных форм рельефа дна.

Теоретическая и практическая ценность

В диссертационной работе впервые проведен всесторонний исчерпывающий численный анализ волновых возмущений в форме двумерных локализованных солитонов и осцилляторных волн, развивающихся в плазме при воздействии магнитного поля и в отсутствии его, а также в пограничных слоях, приповерхностных струях, "мелкой" воде и т.д. Это существенно расширяет границу знаний о формах существования , взаимодействия, генерации и распространения данных волновых образований. Детальное исследование вопросов устойчивости, парного взаимодействия, влияния дисперсионных эффектов вносят заметный вклад в общую теорию солитонов.

Построены эффективные численные алгоритмы для расчета целого ряда одномерных и двумерных эволюционных уравнений. Численное моделирование с помощью этих схем позволяет обнаружить много новых качественных физических эффектов не только в обсуждаемой области механики сплошной среды, но и в других областях физики.

Особый практический интерес представляют задачи, связанные с оценкой параметров гравитационных волн, вызванных падением крупных космических тел в моря и океаны, а также выяснение влияния донных рельефов на их распространение в связи с возможностью прогнозирования разрушительных последствий данного вида катастрофических явлений.

Изложенные в диссертации результаты, в особенности касающиеся исследований динамики двумерных солитонов, имеют большое научное значение, дают новые фундаментальные представления о закономерностях взаимодействий и генерации нелинейных диспергирующих возмущений в сплошной среде. Построенные оригинальные алгоритмы расширяют возможности метода численного моделирования, распространяя его на более широкий класс нелинейных дифференциальных уравнений.

Степень достоверности результатов.

Достоверность результатов, представленных в диссертации, определяется качеством используемых схем. Во всех случаях проводилась тщательная, исчерпывающая внутренняя поблочная проверка вычислительных алгоритмов, точность которых оценивалась при расчете многих известных точных решений, близких по структуре к элементам изучаемого решения. Там, где это было возможно, одна и та же задача решалась двумя разными по структуре схемами: конечно-разностными или спектральными. В одномерных случаях сравнения проводились с двумя, тремя известными ранее схемами. Точность одномерных расчетов оценивается на уровне 0.1 —0.05%, а двумерных - 2 — 5% с сохранением первого интеграла движения с абсолютной точностью. Во всех случаях проверялась непротиворечивость получаемых результатов физической модели, экспериментам, проводилось сравнение с известными в литературе решениями.

Личное участие автора в получении новых результатов.

Главы 2, 3, 4, а также разделы 1.1.6,1.1.7 , разделы 1.2 и весь 1.3 содержат результаты, полученные автором лично.

Разделы 1.1.1-1.1.5 написаны на основе совместной работы с Г.К. Каримовым. Раздел 1.1.3 содержит несколько расчетов, опубликованных автором совместно с В.И.Жуком, принимавшем участие в теоретической постановке задач по теории восприимчивости пограничного слоя. В проведении расчетов, содержащихся в 5.1 , принимал участие Р.И. Баг-беков. Задачи 5.2 и 5.3 были сформулированы й.В.Немчиновым, с ним обсуждались и результаты численных исследований . В разработке схем для уравнений "мелкой воды" и пограничного слоя с самоиндуцированным давлением принимал участие A.A. Махмудов.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 26 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем диссертации.

Диссертация состоит из краткого введения, пяти глав, заключения. Обьем работы составляет 270 страниц текста, в число которых входит 100 страниц с расположенными на них 146 рисунками. Список цитируемой литературы содержит 112 наименований. Ссылки на рисунки, литературу и нумерация формул ведутся обособленно по главам.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на Советско- японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988 г.), международной конференции по метеоритной опасности (Аризона, США, 1993 г.), на международной конференции ЬРБСХХУ (Норвегия, 1994 г.), на семинарах под руководством В.В. Румянцева ( Механико- математический факультет МГУ), А.Аскарьяна ( Институт общей физики РАН), И.В.Немчинова ( Институт динамики геосфер РАН), Н.И. Коротеева (Физический факультет МГУ, кафедра общей физики и нелинейных процессов), Ю.Д. Шмыглевского, А.А.Абрамова. Б.В. Пальцева ( Вычислительный центр РАН).

Краткое содержание диссертации.

Во введении определяется круг задач, решению которых посвящена диссертационная работа. Приводится краткий обзор литературы по постановочной части, обсуждаются актуальность и практическая значимость проводимых исследований, содержится аннотация содержательной

части работы. Структурно диссертация разбита на главы, главы на разделы, которые в свою очередь содержат подразделы. Внутренние ссылки ведутся по правилу: 1.2.3 - глава 1, раздел 2, подраздел 3.

Глава 1. Исследование одномерных эволюционных уравнений гидродинамического типа.

В 1.1 излагаются результаты численного моделирования регуляризо-ванного длинноволнового уравнения (Н,Ь\У)

щ + иих + их- иХХ1 = О,

имеющего область применимости, близкую к классическому уравнению Кортевега-де В риза, но изученного относительно мало. К нему неприменимы методы задачи обратного рассеяния, поэтому численные методы исследования выходят на первый план. Приводятся краткие сведения об общих свойствах решений этого уравнения, об известных численных методах его интегрирования, а также предлагается новая разностная схема, в которой для аппроксимации нелинейного слагаемого используется метод с искусственной вязкостью и последующей коррекцией потоков, что позволяет расширить круг ранее решавшихся задач за счет включения разрывных решений. Смешанные производные приближаются неявными аппроксимациями.

Приводятся результаты тестирования на известных солитонных решениях, исследуются наиболее интересные случаи взаимодействий со-литонов разных полярностей с осцилляторными волнами, сопровождающихся наиболее сильными неупругими эффектами.

Основная часть этого раздела посвящена обсуждению структур решений, реализующихся из начальных распределений в виде прямоугольных импульсов конечной длины, различных знаков, величины и спепени сглаживания, а также предельный случай - задача о распаде полубесконечной прямой и обратной ступенек. Указывается, что в последнем случае решение состоит из ундулярных бор, линейных волн, единичных солитонов, из регулярных и беспорядочных цепей солитонов. В некоторых критических случаях реализуются разрывные решения с расходящимися волновыми пакетами. Приводится точное решение для уравнения с нелинейностью и2их.

В 1.2 исследуются режимы генерации солитонов, подчиняющихся уравнению Бенджамина-Оно:

/оо

Uzz/(x - z)dz + F(x,t)

■oo

Приведены используемые схемы. Обсуждаются результаты расчета взаимодействия осцилляторных волн с солитонами.Указывается на внутреннее единство этих двух основных решений эволюционных уравнений.

Генерация солитонов изучалась для случая движения источника возмущения в направлении (или против) движения излучаемых солитонов (F(x — t)), а также для неподвижных, но гармонически зависящих от времени {F(x) sin(Cf)). Найдены пороговые параметры, разграничивающие отличные по характеру решения с регулярными (или неупорядоченными) солитонными цепями, а также стационарные решения.

Изучению тонких пространственных и временных структур периодических решения упоминавшегося выше уравнения Бенджамина-Оно ,а также Кортевега-де Вриза и модифицированного уравнения Бюргерса

щ + -+ Сиг — иххх — F(x), ut + иих — и — ихх — F(x)

посвящен раздел 1.3. Основное внимание уделяется эффекту "возврата" (временной цикличности), проявляющемуся чаще всего в повторении решением своей начальной формы (и реже установившейся в процессе решения) через определенный постоянный промежуток времени. Данный эффект наблюдается для уравнения Бенждамина-Оно при решении задачи с начальными данными, порождающими солитоны и осциллятор-ные волны.Для уравнения Кортевега-де Вриза показано, что циклические решения возможны при постановке нулевых начальных данных, но в присутствии возмущающей периодической в пространстве функции F(x). Прослеживается смена регулярных режимов по времени на нерегулярные, особенно заметная в поведении минимальных и максимальных значений решения. Для уравнения Бюргерса исследуется наиболее общая задача с ненулевыми начальными распределениями и возмущающей внешней силой. Изучены переходные режимы и их зависимости от соотношения пространственных периодов периодичности начальных данных и правой части F(x).

Глава 2. Двумерные солитоны Захарова-Кузнецова.

Краткий вывод уравнения Захарова-Кузнецова из уравнений Эйлера

для двухтемпературной плазмы низкого давления при наличии сильного внешнего постоянного магнитного поля дан в разделе 2.1. Это уравнение имеет вид

иих ^ххх — ^хуу

Приведенный асимптотический анализ исходных уравнений Эйлера, структура разложения искомых функций в ряды по выбранному малому параметру, соответствующие преобразования масштабов для независимых переменных— все это дает наглядное представление о характере приближений, приводящих к данному эволюционному уравнению и способе построения полного решения по найденному решению уравнения Захарова-Кузнецова. Здесь же приведены необходимые сведения об общих свойствах решений, законах сохранения, структуре линейных соли-тонов - аналогов одномерных солитонов Кортевега-де Вриза.

В разделе 2.2 описывается численная процедура решения одномерного обыкновенного дифференциального уравнения, по которой находится форма двумерного симметричного солитона Подробно обсуждаются особенности строения вновь полученного солитонного решения. В следующем разделе 2.3 подробно излагается предлагаемая спектральная схема для решения уравнения Захарова-Кузнецова. Она основана на идее расщепления. Сначала уравнение считается без смешанной производной. Остающийся набор одномерных уравнений Кортевега -де Вриза решается квазиспектральной схемой, использующей разложение Фурье . В спектральном пространстве обыкновенное дифференциальное уравнение решается схемой Кренка-Никольсона или по точным формулам с экспонентами. Для расчета нелинейного члена используются итерации с выходом на каждой итерации в физическое пространство для нахождения очередного значения квадратичного члена. Отщепленное уравнение решается по двум алгоритмам. В первом, более простом, используется неявная трехточечная аппроксимация по У и явная двухточечная разность по X . Во втором используемом алгоритме все операции перенесены в пространство Фурье. Для разрешения получаемых сеточных уравнений используется матричная прогонка. Этот алгоритм обладает большой точностью и легко может быть распространен на другие эволюционные уравнения изучаемого класса. Тестирование схем и выбор методик расчетов проводился на односолитонных решениях.

Наиболее примечательными элементами большинства решений урав-

нения Захарова-Кузнецова являются локализованные симметричные со-литоны, поэтому значительная часть этой главы посвящена исследованию их свойств. Важной характеристикой любого решения является свойство его устойчивости, которое для солитонных решений Захарова-Кузнецова исследуется в 2.4, где показана численная неустойчивость плоских линейных солитонов, как для малых возмущений, так и для конечных, в качестве которых используются односолитонные локализованные решения. Показано, что плоский солитон распадается, непрерывно излучая симметричные солитоны. Замечены два режима развития процесса взаимодействия симметричного солитона и плоского в зависимости от того, как расположены по оси X они до столкновения. В 2.5 исследуется устойчивость симметричных солитонов.

В следующем разделе 2.6 рассматриваются парные лобовые и касательные столкновения симметричных солитонов. Исследуются различные проявления эффектов неупругости. При лобовых столкновениях они проявляются в несохранении амплитуды меньшего партнера, при касательных столкновениях кроме этого появляются волновые структуры, имеющие наибольшую амплитуду при определенных прицельных параметрах.

Особенности генерации солитонов источниками возмущений, моделируемыми заданием определенного вида правой части уравнения, обсуждаются в последнем разделе главы. Показывается, что изменением формы и амплитуды источника можно добиться поочередного или группового испускания симметричных солитонов. Обнаружены закономерности пространственного распределения солитонов, покидающих зону действия источника. Приводится пример решения, порождаемого стоком.

Глава 3. Численное исследование плазменного уравнения Кадомцева- Петвиаш ви л и.

В данной главе изучается группа решений уравнения

иих -{- и^Ех^х —

которое принадлежит к тем немногим двумерным эволюционным уравнениям, для которых известно точное многосолитонное решение и хорошо развита общая теоретическая база. Область применимости данного уравнения весьма близка к уравнению Захарова-Кузнецова. Оно также описывает длинные слабонелинейные диспергирующие звуковые волны

в неизотермической плазме, но без внешнего магнитного поля. Вывод уравнения из исходных уравенений Эйлера (3.1) дает представление о масштабах и структуре исследуемого приближения.

В разделе 3.2 приводятся необходимые сведения об известных соли-тонных решениях.

Модификация спектрального численного метода, изложенного в 2.3, описана в 3.3 для расчета уравнения Кадомцева-Петвиашвили Здесь же изложены результаты тестовых расчетов и некоторое методологические аспекты, относящиеся к моделированию сложных солитонных решений. В 3.4 исследуются вопросы устойчивости плоских и рациональных соли-тонов.

Парные взаимодействия солитонов разных типов (плоских и рациональных) рассматриваются в разделе 3.5. Отмечается, что окончательный вид решения существенно зависит от первоначального взаимного расположения солитонов и направления скоростей сближения.

Изложению результатов по парным столкновениям рациональных солитонов (прямых и наклонных) приведено в 3.6 и 3.7. Несмотря на то, что данные решения имеют точные аналитические выражения, численным способом проводится оценка адекватности численного моделирования слабозатухающих решений, охватывающих значительные области пространства. Детально исследованы все фазы процесса столкновения, в особенности те, где отчетливо наблюдаются промежуточные "виртуальные" солитоноподобные образования.

Закономерности генерации солитонов источниками различной полярности обсуждаются в разделе 3.9 . Оценивается чувствительность решения к мощности и протяженности источника. Исследуются режимы, характеризующиеся возникновением одной наклонной цепи рациональных солитонов , а также ведущие к появлению большого числа коллективно взаимодействующих солитонов всех типов.

Глава 4. Примеры численных решений устойчивого уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В 4.1 дан краткий асимптотический вывод уравнения {щ -

из полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса для течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, в присутствии силы тяжести.

Численное решение устойчивого уравнения Кадомцева- Петвиашвили проводится конечно-разностной схемой, основанной на алгоритме SHAST с коррекцией потоков для нелинейных слагаемых, с вычислением интегрального члена по правилу трапеций с неявной аппроксимацией второй производной по Y (раздел 4.2 ). Совместно со спектральной схемой, используемой в главе 3, она составляет базу для численного моделирования исследуемого в диссертации класса двумерных эволюционных уравнений.

Устойчивое уравнение Кадомцева-Петвиашвили имеет только одно простейшее солитонное решение - плоский, абсолютно устойчивый соли-тон Кортевега-де Вриза.. Процесс его образования внешними источниками в канале конечной ширины детально обсуждается в 4.3.

В 4.4 представлены отдельные примеры довольно широкого класса двумерных, со сложной структурой решений в виде осцилляторных волн, порождаемых локальными стоками. Проведено исследование зависимости решений от параметров. Представлен пример решения, когда возмущения в поток вносятся не правой частью, а через изменения граничных условий. Данная постановка моделирует формирование судовых волн.

Глава 5. Решение некоторых прикладных задач теории длинных волн.

Раздел 5.1 посвящен описанию численного моделирования течений в классическом пограничном слое, когда отрыв вызывается одиночным вихрем в форме лоренциана или одиночного солитона Кортевега-де Вриза.

Вторая часть главы посвящена изложению численных результатов по двум задачам, описываемым приближением "мелкой воды". В разделе 5.2 рассматривается взаимодействие гидравлического прыжка с рельефом дна в виде длинных углубленных каналов или возвышающихся гряд, расположенных вдоль направления распространения прыжка. Делается вывод о том, что перед прямым скачком, проходящим над областью понижения уровня дна, при определенной величине заглубления будет образовываться опережающий его предвестник и реализовывается либо стационарный либо нестационарный режим, близкий к автомодельному. Отмечается, что локальные изменения дна, охватывающие всего незначительную часть течения, могут приводить к глобальной перестройке всего течения.

В разделе 5.3 проведена численная оценка волн, вызванных падением космических тел в океаны. Определяются законы затухания волн на

больших расстояниях от места удара, а также характерные изменения в форме одиночной плоской волны при прохождении над различными рельефами дна.

Публикации по теме диссертации.

1. Каримов Г.К., Попов С.П. Численное решение регуляризованного длинноволнового уравнения. М.: ВЦ АН СССР. 1989.

2. Попов С.П. Некоторые задачи для регуляризованного длинноволнового уравнения. М.: ВЦ АН СССР.1991.

3. Popov S.P., Zhuk V.l. Investigation of nonlinear waves in boundary layers based on Burgers and Benjamin-Ono equation// Soviet Union-Japan Symposium of Computational Fluid Dynamics.Khabarovsk.1988 P. 142-148.

4. Жук В.И., Попов С.П. Нестационарная волна отрыва в пограничном слое при сверхзвуковом обтекании//Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. №.4. С. 822-824.

5. Жук В.И., Попов С.П. О нелинейном развитии длинноволновых возмущений в пограничном слое// Прикл. механ. и техн. физ. 1989. №.3. С. 101-108.

6. Жук В.И., Попов С.П. О решениях неоднородного уравнения Бенд-жамина-Оно// Журн.вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т. 29. №. 12. С. 1852-1862.

7. Жук В.И., Попов С.П. Моделирование нелинейных волн в пограничных слоях на основе уравнений Бюргерса,Бенджамина-Оно и Корте-вега-де Вриза// Матем. моделирование. 1990. Т.2. №. 7. С. 97-110.

8. Попов С.П. Численное решение уравнения Бенджамина-Оно.М.: ВЦ АН СССР. 1990.

9. Попов С.П. О солитонных возмущениях, возбуждаемых осцилля-

тором в пограничном слое// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1992. Т. 32. №.1. С. 71-81.

10. Попов С.П. Пространственная периодичность эволюционных уравнений. М.: ВЦ РАН. 1996.

11. Попов С.П. Численное исследование некоторых периодических решений уравнения Кадомцева- Петвиашвили//Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. №.10. С. 1710-1716

12. Жук В.И., Попов С.П. О солитонных решениях двумерного уравнения Захарова-Кузнецова// Журн. вычисл матем. и матем. физики. 1998. Т. 39. №.1. С. 1-14.

13. Жук В.И., Попов С.П. Двумерное солитоносодержащее эволюционное уравнение КдВ2. М.: ВЦ РАН. 1995.

14. Попов С.П. Двумерные солитоны и их взаимодействие// Изв. РАН. Механ.жидк.и газа. 1999. N2. С.101-109.

15. Попов С.П. Особенности численного моделирования двухсолитон-ных решений уравнения Захарова-Кузнецова// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т.39. №.10. С. 1756-1764.

16. Попов С.П. Численное решение уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниковыми членами. М.: ВЦ РАН. 1995.

17. Попов С.П. Устойчивость и парное взаимодействие солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили. М.: ВЦ РАН. 1996.

18. Попов С.П. Примеры численных решений устойчивого уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниками// Журн. вычисл.матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. №. 4. С. 62-70.

19. Попов С.П. Структура волновых возмущений, развивающихся в пограничном слое с самоиндуцированным давлением в тонких пленках// Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. №. 2. С. 309-311.

20. Попов С. П. Нестационарный отрыв пограничного слоя с неблагоприятным градиентом давления. М.: ВЦ РАН. 1995.

21. Махмудов А. А., Попов С.П. Численная схема для решения уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением// Журн. вы-числ. матем. и матем. физ. 1991. Т. 30. №. 2. С. 330-333.

22. Немчинов И.В., Попов С.П. Эффект "тонкого углубленного канала" в мелкой воде// Докл. АН СССР 1993. Т. 328. №. 1. С. 43-45.

23. Немчинов И.В., Попов С.П. Взаимодействие плоского гидравлического прыжка с резкими изменениями рельефа дна в мелкой воде// Инж.-физ. Журн. 1993. Т. 65. №. 3. С. 291-295.

24. Немчинов И.В., Попов С.П., Тетерев А.В. Оценка характеристик волн цунами, вызванных падением астероидов и комет в океаны и моря// Астрономический вестник. 1994. Т. 28. 3. С. 81-99.

25. Nemtchinov I.V., Teterev A.V., Popov S.P. Waves created by comet impact into ocean. Abstract LPSC XXV. 1994. part. 2. P. 989-990.

26. Nemtchinov I.V., Teterev A.V., Popov S.P. Tsunamis caused by the Impact of cosmic bodies in oceans or seas. Abstract for Hazards Due to Comets and Asteroids. Tucson. Arisona. USA. 1993. P. 64.

Введение

1 Исследование одномерных эволюционных уравнений гидродинамического типа.

1.1 Численное исследование длинноволнового регуляризованного уравнения.

1.1.1 Численная схема и тестовые расчеты.

1.1.2 Взаимодействие двух солитонов.

1.1.3 Задача о распаде прямоугольного положительного импульса.

1.1.4 Задача о распаде прямоугольного отрицательного импульса.

1.1.5 Задача о взаимодействии солитонов и осциллятор-ных волн.

1.1.6 Задача о распаде разрыва в начальных данных.

1.1.7 Точное солитонное решение для сильно нелинейного уравнения.

1.2 Изучение особых режимов генерации солитонов уравнения

Бенджамина-Оно.

1.2.1 Общие сведения о постановках задач и схемах

1.2.2 Осцилляторные волны и их взаимодействие с со-литонами.

1.2.3 Общие закономерности генерации солитонов движущимися источниками.

1.3 Тонкая временная и пространственная структуры периодических решений.

1.3.1 Введение.

1.3.2 Эффект "возврата" для уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега -де Вриза.

1.3.3 Неустойчивость пилообразного решения модифицированного уравнения Бюргерса.

Двумерные солитоны Захарова-Кузнецова.

2.1 Физические основы уравнения Захарова-Кузнецова.

2.2 Структура двумерных локализованных солитонов

2.3 Численная схема и её тестирование.

2.4 Устойчивость двумерных солитонов.

2.4.1 Численные доказательства неустойчивости плоского солитона.

2.4.2 Устойчивость симметричных и плоских наклонных солитонов.

2.5 Парные столкновения плоских и симметричных солитонов

2.6 Взаимодействия симметричных солитонов.

2.6.1 Лобовые столкновения

2.6.2 Нелобовые столкновения.

2.7 Генерация симметричных солитонов.

Численное исследование решений плазменного уравнения Кадомцева-Петвиашвили

3.1 Вывод плазменного уравнения Кадомцева- Петвиашвили

3.2 Точные солитонные решения.

3.2.1 Рациональные солитоны.

3.2.2 Линейные солитоны.

3.2.3 Законы сохранения

3.2.4 Многосолитонные решения

3.3 Численная схема и тестовые расчеты.

3.4 Исследование устойчивости двумерных солитонов . 103 3.4.1 Неустойчивость линейных солитонов.

3.4.2 Устойчивость рациональных солитонов.

3.5 Парные взаимодействия линейных и рациональных солитонов

3.6 Парные взаимодействия рациональных прямых солитонов

3.6.1 Лобовые столкновения.

3.6.2 Не лобовые столкновения.

3.7 Парные взаимодействия наклонных рациональных солитонов

3.8 Численные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниковыми членами

4 Примеры численных решений устойчивого уравнения Кадомцева-Петвиашвили

4.1 Краткий асимптотический вывод уравнения.

4.2 Конечно-разностные схемы.

4.3 Генерация прямых солитонов источником.

4.4 Структура течений, порождаемых стоком.

4.5 Периодическая задача Коши.

5 Решение некоторых прикладных задач теории длинных волн

5.1 Численное моделирование нестационарного отрыва в классическом пограничном слое.

5.1.1 Отрыв пограничного слоя одиночным вихрем

5.1.2 Возмущение пограничного слоя, индуцированное солитоном КдВ.

5.2 Взаимодействие гидравлического прыжка с рельефом дна в мелкой воде.

5.3 Оценка характеристик волн, вызванных падением космических тел в океаны.

5.3.1 Распространение волн на больших расстояниях от места удара.

5.3.2 Взаимодействие одиночной волны с рельефом дна

Последние десятилетия отмечены очень бурным развитием физических и математических теорий многообразных волновых движений, которые в большинстве своем, в той или иной мере, используют приближение длинных волн. По многим причинам особый интерес привлекают нелинейные процессы. Фундаментальные математические идеи и результаты основополагающих конкретных физических приложений нелинейных волновых моделей были впервые обобщены в монографии Дж. Уизема [0.1], где были определены главные направления развития этой области науки.

Ввиду большого числа и разнообразия исследований весьма затруднительно дать исчерпывающий обзор литературных источников. Наиболее близкое изложение общих положений нелинейной теории волн в аэро- и гидродинамике, касающихся общей постановки изучаемых в диссертации задач, можно найти в обзорных работах [0.2] — [0.6].

В основном данная работа посвящена исследованию волновых движений, описывающихся группой эволюционных уравнений гидродинамического типа: Кортевега -де Вриза, Бенждамина- Оно, регуляри-зованного длинноволнового уравнения, Бюргерса, Захарова-Кузнецова, Кадомцева-Петвиашвили, которые совместно с уравнениями Буссине-ска, нелинейным уравнением Шредингера, Шрира и некоторыми другими близкими уравнениями, составляют основу современных волновых моделей механики сплошной среды.

Дополнительный интерес к изучаемым уравнениям привлек факт существования у всех них решений солитонного типа, которые в настоящее время стали объектом пристального всеобщего внимания. В связи с чем автору большую помощь оказали сведения, изложенные в [0.7] -[0.10], а также в конкретных оригинальных работах, ссылки на которые далее приводятся по мере изложения.

Внешние удивительные свойства солитонных решений порой затеняют их механическую сущность. Постоянно следует иметь в виду, что обсуждение поведения решения в специфических терминах "солитон","осцилляторная волна", всегда подразумевает возможность параллельного истолкования в физических понятиях, таких как плотность, скорость, завихренность и т.д. Многие из исследуемых уравнений имеют несколько физических областей приложения.

Еще одна особенность представляемой работы состоит в том, что исследование ведется численными методами, имеющими свою специфику. Это приводит к возникновению дополнительных проблем, весьма далеких от решаемых исходных задач. Сюда можно включить составление схем, алгоритмов, выполнение и сопровождение расчетов на находящихся в постоянном обновлении вычислительных комплексах. Вероятно по этим причинам число работ, посвященных численному моделированию, относительно мало. Если для одномерных уравнений и есть некоторые устоявшиеся алгоритмы, то в двумерных случаях численные схемы приходится создавать практически на чистом месте. Все используемые автором алгоритмы оригинальны и на время их опубликования были новыми.

Актуальность темы диссертации.

Асимптотические теории, использующие разложение искомого решения и независимых переменных в ряд по малому параметру являются наиболее привлекательными и сводят уравнения Навье-Стокса или Эйлера к более простым уравнениям, поддающимся теоретическому или численному анализу. Наиболее широко данные теории применяются к исследованию длинноволновых возмущений, возникающих в жидкостях и газах. Это в первую очередь относится к наиболее интересной области нелинейной гидродинамики - движению массы воды со свободной поверхностью под действием силы тяжести. Сюда относятся как случаи волновых движений в открытых водоемах (каналах, озерах, морях и океанах), так и течения в тонких пленках, реализующиеся в различных устройствах специального вида, где кроме силы тяжести могут присутствовать инерциальные силы, вязкость и поверхностное натяжение.

Большой практический интерес представляет исследование внутренних волн в стратифицированных жидкостях, приповерхностных или внутренних сдвиговых слоях. В задачах аэродинамики актуальны задачи о восприимчивости пограничных слоев к возмущениям при больших числах Рейнольдса , что связывается с вопросами устойчивости и теорией ламинарно-турбулентного перехода. Исследуемые в настоящей работе эволюционные уравнения помогают пониманию ряда важных физических механизмов, существенных в данных задачах.

К теории длинных волн относятся также задачи о распространении ионно-звуковых и магнито-звуковых волн в неравновесной плазме, исследования которых позволяют определить совершенно новые волновые механизмы взаимодействий в плазме низкого давления.

В настоящее время важным методом исследования сложных нелинейных явлений стало численное моделирование, возможности которого очень быстро возрастают с увеличением быстродействия и памяти компьютеров. Именно в численных экспериментах были обнаружены существенно нелинейные локализованные решения - солитоны, сделавшие радикальный переворот в понимании нелинейных процессов в различных областях физики.

Используемые в данной работе численные схемы отличаются от обычно применяемых в теории уравнений Эйлера и Навье- Стокса. Наличие сложных дисперсионных зависимостей вынуждает использовать спектральные схемы, а присутствие сильной нелинейности заставляет привлекать схемы с искусственной вязкостью с последующей коррекцией. Построенные схемы с успехом разрешают сложные формы течений, в число которых входят двумерные солитонные решения разных видов и объясняющих важные качественные эффекты в возмущенных течениях жидкости и плазмы.

Цель работы.

Основные задачи, поставленные для решения, заключаются во всестороннем изучении волновых возмущений, развивающихся в жидкости и плазме в приближении конкретных моделей. В качестве последних выбран набор в разной степени изученных одномерных и двумерных эволюционных уравнений, а также уравнения классического пограничного слоя и мелкой воды.

Для одномерных моделей ставились задачи по исследованию проявления неупругих эффектов при взаимодействии солитонов (длинноволновое регуляризованное уравнение), особенности генерации солитонов (уравнение Бенджамина-Оно), эффект временной цикличности для периодических в пространстве решений (уравнения Бенджамина-Оно, Кортевега-де Вриза, Бюргерса). Во всех случаях обращалось внимание на выявление черт общности солитонов и осцилляторных волн.

В двумерных случаях основной целью являлось всестороннее исследование свойств неизвестных решений, в число которых входили одно-и многосолитонные решения, отвечающие столкновению солитонов разных типов, а также выявление особенностей волновых полей, появляющихся под действием внешних сил. В связи с чем проводился сравнительный анализ особенностей разных моделей при решении однотипных задач.

В рамках теории мелкой воды главным направлением следует считать определение характеристик волн, вызванных падением крупных космических тел в моря и океаны и анализ их развития при прохождении разных рельефов дна.

Основным методом исследования является метод численного моделирования. Поэтому разработка и проверка эффективных численных алгоритмов являются необходимым условием достижения поставленных целей.

Теоретическая и практическая ценность.

В диссертационной работе впервые проведен всесторонний исчерпывающий численный анализ волновых возмущений в форме двумерных локализованных солитонов и осцилляторных волн, развивающихся в плазме при воздействии магнитного поля и в отсутствии его, а также в пограничных слоях, приповерхностных струях, "мелкой" воде и т.д. Это существенно расширяет границу знаний о формах существования , взаимодействия, генерации и распространения данных волновых образований. Детальное исследование вопросов устойчивости, парного взаимодействия, влияния дисперсионных эффектов вносят заметный вклад в общую теорию солитонов.

9 Построены эффективные численные алгоритмы для расчета целого ряда одномерных и двумерных эволюционных уравнений. Численное моделирование с помощью этих схем позволяет обнаружить много новых качественных физических эффектов не только в обсуждаемой области механики сплошной среды, но и в других областях физики.

Особый практический интерес представляют задачи, связанные с оценкой параметров гравитационных волн, вызванных падением крупных космических тел в моря и океаны, а также выяснение влияния донных рельефов на их распространение в связи с возможностью прогнозирования разрушительных последствий данного вида катастрофических

• явлений.

Изложенные в диссертации результаты, в особенности касающиеся исследований динамики двумерных солитонов, имеют большое научное значение, дают новые фундаментальные представления о закономерностях взаимодействий и генерации нелинейных диспергирующих возмущений в сплошной среде. Построенные оригинальные алгоритмы расширяют возможности метода численного моделирования, распространяя его на более широкий класс нелинейных дифференциальных уравнений.

Степень достоверности результатов.

Достоверность результатов, представленных в диссертации, определяется качеством используемых схем. Во всех случаях проводилась тщательная,исчерпывающая внутренняя поблочная проверка вычислительных алгоритмов, точность которых оценивалась при расчете многих известных точных решений, близких по структуре к элементам изучаемого решения. Там, где это было возможно, одна и та же задача решалась двумя разными по структуре схемами: конечно-разностными или спектральными. В одномерных случаях сравнения проводились с двумя, тремя известными ранее схемами. Точность одномерных расчетов оценивается на уровне 0.1 — 0.05%, а двумерных - 2 — 5% с сохранением первого интеграла движения с абсолютной точностью. Во всех случаях проверялась непротиворечивость получаемых результатов физической модели, экспериментам, проводилось сравнение с известными в литературе решениями.

Личное участие автора в получении новых результатов.

Главы 2, 3, 4, а также разделы 1.1.6,1.1.7 , раздел 1.2 и весь 1.3 содержат результаты, полученные автором лично.

Разделы 1.1.1-1.1.5 написаны на основе совместной работы с Г.К. Каримовым. Раздел 1.2.3 содержит несколько расчетов, опубликованных автором совместно с В.И.Жуком, принимавшем участие в теоретической постановке задач по теории восприимчивости пограничного слоя. В проведении расчетов, содержащихся в 5.1 , принимал участие Р.И. Багбеков. Задачи 5.2 и 5.3 были сформулированы И.В.Немчиновым, с ним обсуждались и результаты численных исследований . В разработке схем для уравнений "мелкой воды" и пограничного слоя с самоиндуцированным давлением принимал участие A.A. Махмудов.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на Советско- японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988 г.), международной конференции по метеоритной опасности ( Аризона, США, 1993 г.), на международной конференции ЬРБСХХУ (Норвегия, 1994 г.), на семинарах под руководством В.В. Румянцева ( Механико- математический факультет МГУ), А.Аскарьяна ( Институт общей физики РАН), И.В.Немчинова ( Институт динамики геосфер РАН), Н.И. Коро-теева ( Физический факультет МГУ, кафедра общей физики и нелинейных процессов), Ю.Д. Шмыглевского, А.А.Абрамова, Б.В. Пальцева ( Вычислительный центр РАН). По теме диссертации опубликовано 26 работ.

Краткое содержание диссертации.

Во введении определяется круг задач, решению которых посвящена диссертационная работа. Приводится краткий обзор литературы по постановочной части, обсуждаются актуальность и практическая значимость проводимых исследований, содержится аннотация содержательной части работы. Структурно диссертация разбита на главы, главы на разделы, которые в свою очередь содержат подразделы. Внутренние ссылки ведутся по правилу: 1.2.3 - глава 1, раздел 2, подраздел 3.

Основные результаты, представленные в диссертации.

1. Предложены и реализованы конечно-разностные численные схемы для расчетов одномерных эволюционных уравнений Кортевега-де Вриза, длинноволнового регуляризованного уравнения (Я1Л¥), Бенджамина-Оно и Бюргерса. Нелинейная часть уравнений аппроксимируется с помощью алгоритма коррекции потоков, что позволяет расширить область применимости данных схем, по сравнению с ранее использовавшимися, за счет включения в рассмотрение разрывных решений. Для аппроксимации дисперсионных членов в каждом конкретном случае предлагается свой алгоритм. Предпочтение отдается полностью неявным аппроксимациям.

2. Разработан и реализован ряд спектральных схем с использованием итераций для вычисления нелинейного слагаемого и формул точного интегрирования линейных уравнений в пространстве Фурье-представлений. Проведено комплексное тестирование схем по внутренним параметрам, сравнением получаемых решений с точными решениями.

С помощью данных схем решен ряд задач, связанных с динамикой невязких возмущений в пограничных слоях, тонких пленках и ионно-звуковых волн в плазме. Многие решения имеют отношение к общей теории эволюционных уравнений.

3. Для ШАУ уравнения решены следующие задачи: а.) Исследован механизм генерации солитонов при распаде положительного (или отрицательного) импульса. В результате чего установлено, что при малых амплитудах и длинах импульса образуются осцилляторные волны. С увеличением этих параметров появляются со-литонные компоненты соответствующего знака, число которых зависит от способа сглаживания начальных данных. б.) Показано, что в зависимости от соотношения амплитуд соли-тонов и осцилляторных волн между ними может происходить почти упругое взаимодействие либо полное исчезновение солитона, сопровождающееся радикальным изменением осцилляторной волны. в.) Выявлено, что в результате распада сглаженной полубесконечной ступеньки образуются ундулярная бора с прямолинейной огибающей и линейная волна. При различных степенях сглаживания появляются Р— и п—солитоны и ./V—волны. Обнаружен "критический" режим обострения с выделением разрывного решения с двумя расходящимися волновыми пакетами. Отмечено формирование при определенных условиях почти периодической цепи солитонов. г.) Установлен вид нового точного солитонного решения для уравнения с кубичной нелинейностью. Солитоны могут иметь амплитуды разного знака, но скорость их всегда положительна.

4. Для уравнения Бенджамина-Оно исследованы задачи: а.) Изучено взаимодействие солитонов с осцилляторными волнами и установлено, что в зависимости от соотношения их амплитуд они могут проходить друг сквозь друга либо происходит захват солитона. Причем, солитоны с полушириной, сравнимой с осцилляциями волны,встраиваются в определенное место осцилляторной волны . Широкие солитоны с малой амплитудой заметны по изменению общей формы огибающей.

Изучены основные формы волновых структур, порождаемых локальным источником возмущений при его поступательном или колебательном движении. Определены условия генерации солитонов как вверх так и вниз по потоку. Указано, что в последнем случае образуется сложная нерегулярная структура. Дана методика для ее качественной интерпретации. в.) Обнаружен и детально обследован эффект временной цикличности ряда периодических по координате X решений для возмущенного уравнения Кортевега-де Вриза и уравнения Бенджамина-Оно. Установлено, что"эффект возврата" осуществляется для решений, состоящих не только из солитонов, а также и в присутствии осцилляторных волн. Возврат может происходить не только на начальное распределение, но также и на некоторое иное, выработанное в процессе временного развития.

5. Установлен факт неустойчивости стационарного периодического пилообразного решения модифицированного уравнения Бюргерса по отношению к возмущениям с длинной волны, большей периода основного решения. При определенных условиях решение переходит на режим движущегося с постоянной скоростью пилообразного решения с увеличивающимся во времени постоянным по пространству фоном. Проведены методологические изыскания, позволяющие с достаточной точностью численно моделировать эти сложные режимы.

6. Предложены и всесторонне исследованы два метода численного интегрирования двумерного уравнения Захарова-Кузнецова, основанные на принципе расщепления. Набор одномерных по X уравнений решается по ранее разработанным одномерным спектральным схемам. При расчете слагаемого ихуу применялась формула полностью неявной аппроксимации по У. Производная по X вычислялась либо в X— пространстве, либо в к— пространстве Фурье-представления. Проведено тестирование схем, а также предложен путь к унификации алгоритма для расчета ряда родственных уравнений - Кадомцева-Петвиашвили, Leadke-Spatchek'a, имеющих правую чисть вида Ьх(иуу), Ьх -линейный оператор по X.

7. Численно найдено локализованное двумерное солитонное решение уравнения Захарова-Кузнецова. Дополнительным привлечением иных численных методов детально изучены его свойства. Данный солитон обладает центральной симметрией и распространяется только вдоль оси X.

8. Для уравнения Захарова-Кузнецова установлен ряд особенностей его фундаментальных решений: а.) Установлено, что плоские линейные солитоны неустойчивы к двумерным возмущениям. Они распадаются на цепь симметричных солитонов. Последние оказываются устойчивыми образованиями. б.) Определено, что процесс взаимодействия плоских линейных солитонов с симметричными зависит от способа осуществления столкновения. Если симметричный солитон догоняет плоский, то происходит его отражение с увеличением амплитуды и развалом линейного соли-тона по сценарию обычной неустойчивости. Если плоский солитон нагоняет симметричный, то последний остается без изменений. в.) Изучены закономерности лобовых столкновений пары симметричных солитонов для разных отношений амплитуд. Столкновения носят обменный характер с восстановлением амплитуды большего со-литона. При касательных взаимодействиях в зависимости от величины прицельного параметра наблюдается разное проявление неупругих эффектов. Установлено наличие "критического" прицельного параметра, когда в решении остается только один солитон, а другой превращается в сильно размытое образование.

Приведен пример тройного столкновения, в котором обнаружена фаза, когда все три солитона приобретают одинаковую симметричную форму. г.) Исследованы основные закономерности генерации симметричных солитонов локальным источником постоянной мощности, а также особенности течения, вызванного источником противоположной полярности. д.) Установлено наличие солитонов симметричной формы для нелинейности вида ирих.

9. Проведена адаптация применявшейся для численного расчета уравнения Захарова-Кузнецова спектральной схемы для численного моделирования уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Реализована также для этих целей конечно-разностная схема с коррекцией потоков для нелинейного слагаемого и вычислением по правилу трапеций интегрального члена с полностью неявной аппроксимацией производной иуу

10. Для плазменного уравнения Кадомцева-Петвиашвили решены следующие основные задачи: а.) Численно доказана неустойчивость прямых плоских солитонов, в результате развития которой появляются рациональные солитоны, являющиеся устойчивыми образованиями. б.) В результате изучения парного взаимодействия плоских и рациональных солитонов выявлено, что если плоский солитон нагоняет рациональный, то в этом взаимодействии рациональный солитон сохраняет свои параметры, но несколько затормаживается. Линейные плоские солитоны получают значительные искажения, развивающиеся во вторичные рациональные солитоны.

В случае, когда рациональный солитон догоняет плоский, то он полностью исчезает и дает начало к образованию двух наклонных рациональных солитонов. Плоский солитон после этого распадается по обычному сценарию. в.) Численное исследование процесса парного взаимодействия рациональных солитонов, имеющего точное аналитическое решение, показало на возможность численного моделирования этого столкновения несмотря на конечность области интегрирования и большую протяженность солитонов. Приведены численные решения нескольких случаев взаимодействий. г.) Исследованы течения, вызываемые локальными стоками в узком канале. Установлено, что вверх по потоку уходит слабая прямая волна возвышения уровня, сопровождающаяся протяженной линейной волной. Вниз по потоку распространяются слабые наклонные волны.

Действие источника сопровождается генерацией рациональных солитонов всех видов. Представлены наиболее примечательные формы данных решений.

11. Изучены формы волновых возмущений, описывающиеся двумерным устойчивым уравнением Кадомцева-Петвиашвили. а.) Проведено численное моделирование процесса образования цепи прямых устойчивых солитонов локализованными источниками в узком канале постоянной глубины. б.) Обнаружено существование сложной волновой структуры, состоящей из стационарной двумерной периодической стоячей волны и подвижной модулированной по обоим направлениям осцилляторной волны. Данная структура образуется за стоками, расположенными в протяженных каналах. в.) Проведено сравнение решений а) и б) с аналогичными решениями, следующими из теории двумерной мелкой воды. Указано на хорошее качественное согласие. г.) Приведен результат расчета задачи, постановка которой имитирует движение судна и определен вид судовых волн, отвечающий приближению Кадомцева-Петвиашвили.

12. Построено численное решение в приближении классического пограничного слоя при задании градиента давления, соответствующего движущемуся солитону КдВ. Решение имеет вид развивающихся со временем двух вихревых структур, разделенных областью больших градиентов.

13. В рамках модели мелкой воды изучено проявление "эффекта тонкого канала". Выявлены основные закономерности развития течения при набегании плоского гидравлического скачка на подводный каньон или хребет.

14. Выявлены характеристики уединенной волны поднятия уровня океана, инициированной падением большого космического тела. На значительном расстоянии от места падения метеорита амплитуда обратно пропорциональна пройденному расстоянию.

По модели мелкой воды определены изменения форм уединенных волн при прохождении ими различных форм рельефа дна.

Заключение.

1. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.

2. Бернар Л.М. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л.: Гидрометеоиздат. 1974.

3. Вольцингер Н.Е. Длинные волны на мелкой воде. Л.: Гидрометеоиздат. 1985.

4. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ. 1988.

5. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. М.: Наука. Т. 1-2. 1986.

6. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоиздат. 1989.

7. Лэмб Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир . 1983.

8. Абловиц М., Сигур. X. Силитоны и метод обратной задачи. М.: Мир. 1987.

9. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х.С. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.М.: Мир. 1988.

10. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир. 1989.1. Глава 1

11. Peregrin D.H. Calculations of the development of an undular bore// J. Fluid Mech. 1966. V.25.Part 2. P.321-330.

12. Benjamin T.B., Bona J.G., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems// Phil. Trans. Roy.Soc. 1972. №. 272A. P.47-78.

13. Olver P.J. Euler operators and consevation laws of the BBM equation// Math. Proc. Camb. Phyl. Soc.1979. №.85. P.143-150.

14. Amick C.J., Bona J.L., Schonbek M.E. Decay of Solutions of some Nonlinear Wave Equations // J.Differential Equations. 1989. V.81. №. 1. P. 1-49.

15. Lewis J.C., Tjon J.A. Resonant production of solitons in the RLW equation// Phys. Lett. 1979. V.73A. №.4. P.275-279.

16. Bona J.G., Pritchard W.G., Scott L.R. On evaluation of a model equation for water waves// Phil. Trans. Roy. Soc. 1981. №.A302. P. 457-510.

17. Eilbeck J.C., McGuire G.R. Numerical Study of the regularized, long-wave equation I. Numerical methods// J.Comput.Phys. 1975. V.19. №.1. P. 43-57.

18. Eilbeck J.C., McGuire G.R. Numerical Study of the regularized, long-wave equation II. Numerical methods// J.Comput.Phys.1977. V.23. №.1. P. 63-73.

19. Bona J.G., Pritchard W.G., Scott L.R. Solitary-wave interaction// Phys. Fluids. 1980. V.23. №.3. P. 438-441.

20. Abdulaev Kh.O., Bogolubsky I.L., Machancov V.G. One more example of inelastic solution interaction// Phys. Lett. 1976. №.56A. P. 427-428.

21. Santarelly A.R. Numerical analysis of the regularized long-wave equation: inelastic collision of solitary waves// Nuovo. Cim. 1978. №.46B. P. 179-188.

22. Hammack J.L., Segur H. The Korteveg-de-Vries equation and water waves. Part 3. Oscillatory waves// J.Fluid. Mech.1978. V.84. Part 2. P. 337-358.

23. Бахолдин И.Б. Исследование скачков и солитонов в моделях с дисперсией высокого порядка. М.: ИПМ РАН. 1996.№. 73.

24. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток, дифференциальная геометрия и га-мильтонова теория// Успехи матем. наук. 1989. Т.44. Вып. 6. С. 29-94.

25. Каримов Г.К., Попов С.П. Численное решение регуляризован-ного длинноволнового уравнения. М.: ВЦ АН СССР. 1989.

26. Попов С.П. Некоторые задачи для регуляризованного длинноволнового уравнения. М.: ВЦ АН СССР.1991.

27. Benjamin Т.В. Internal waves in permanent form in fluid of great depth// J. Fluid. Mech. 1967. V. 29. N3. P. 559-592.

28. Ono H. Algebraic solitary waves in stratified fluid// J. Phys. Soc. Japan. 1975. V.39. №.4. P. 1082-1091.

29. Joseph R.I. Solitary waves in a finite depth fluid// J. Phys. ArMath. Gen. 1977. V.10. №.12. P. 4225-4227.

30. Popov S.P., Zhuk V.I. Investigation of nonlinear waves in boundary layers based on Burgers and Benjamin-Ono equation// Soviet Union-Japan Symposium of Computational Fluid Dynamics.Khabarovsk. 1988. Proceedings P. 142-148.

31. Жук В.И., Попов С.П. Нестационарная волна отрыва в пограничном слое при сверхзвуковом обтекании//Док л. АН СССР. 1988. Т. 303. №.4. С. 822-824.

32. Жук В.И., Попов С.П. О нелинейном развитии длинноволновых возмущений в пограничном слое// Прикл. механ. и техн. физ. 1989. №.3. С. 101-108.

33. Жук В.И., Попов С.П. О решениях неоднородного уравнения Бенджамина-Оно// Журн.вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т. 29. №. 12. С. 1852-1862.

34. Жук В.И., Попов С.П. Моделирование нелинейных волн в пограничных слоях на основе уравнений Бюргерса,Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза// Матем. моделирование. 1990. Т.2. №. 7. С. 97-110.

35. Жук В.И. Асимптотические задачи теории устойчивости и восприимчивости пограничного слоя: Дисс. докт. физ.-мат. наук. М.: 1997. 258 с.

36. Matsuno Y. Interaction of the Benjamin-Ono solitons// J. Phys.A :Math.Gen. 1980. V. 13. P. 1519-1536.

37. Попов С.П. Численное решение уравнения Бенджамина-Оно.// ВЦ АН СССР. 1990.

38. Попов С.П. О солитонных возмущениях, возбуждаемых осциллятором в пограничном слое// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1992. Т. 32. №.1. С. 71-81.

39. Parker D.F. The decay of sowtooth solutions to the Burgers equation// Proc. R. Soc. bond. 1980. A369. P. 409-417.

40. Новиков А.А.Нелинейные капиллярные волны на поверхности струи вязкой жидкости// Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1977. N2. С.179-181.

41. Ott E.,Manheimer W.M., Book D.L., Boris J.R. Model equations for mode coupling saturation in unstable plasmas// Phys. Fluids. 1973. V.16. №.6. P.117-120.

42. Маркова М.П., Шкадов В.Я. О линейном развитии капилярных волн в струе жидкости// Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1972. №.3. С. 30-37.

43. Демехин Е.Д., Демехин К.А.,Шкадов В.Я. Солитоны в стекающих слоях вязкой жидкости// Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1983. №.4. С. 9-16.

44. Berman A.S., Lundgren T.S., Cheng A. Asynchronous whirl in a rotating cylinder partially filled with liquid// J.Fluid Mech. 1985. V.150 . P. 311-327.

45. Попов С.П. Пространственная периодичность эволюционных уравнений. М,: ВЦ РАН. 1996.

46. Попов С.П. Численное исследование некоторых периодических решений уравнения Кадомцева- Петвиашвили//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. №.10. С. 1710-17161. Глава 2

47. Leadke E.W., Spatschek К.Н. Nonlinaer ion-acoustic waves in weak magnetic fields// Physics of Fluids. 1982. V.25. №.6. P. 985-989.

48. Захаров B.E., Кузнецов E.A. О трехмерных солитонах //Журн. эксп. и теор. физ. 1974. Т. 66. Вып. 2. С. 594-597.

49. Жук В.И., Попов С.П. О солитонных решениях двумерного уравнения Захарова-Кузнецова// Журн. вычисл матем. и матем. физики. 1998. Т. 39. №.1. С. 1-14.

50. Nouri F.Z., Sloan D.M. A Comparison of Fourier Pseudospectral

51. Methods for the solitons of the Korteveg-de Vries Equation // J. Comput Phys. 1989. V. 83. №.2. P. 324-344.

52. Aoyagi Akira, Abe Kauji. Parametric Excitation of Computational Modes Inherent to Leap-Frog Scheme applied to the Korteveg-de Vries equation//,!. Comput. Phys. 1989. V. 83. №. 2. P. 447-462.

53. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states// Phys. Rev.Lett. 1965. №.15. P. 240-250.

54. Burggraf O.R., Duck P.W. Spectral computation of triple-deck flow. In Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows// N.J. Acad.Press. 1982. P. 145-158.

55. Жук В.И., Попов С.П. Двумерное солитоносодержащее эволюционное уравнение КдВ2. М.: ВЦ РАН. 1995.

56. Попов С.П. Двумерные солитоны и их взаимодействие// Изв. РАН. Механ. жидк.и газа. 1999. N2. С.101-109.

57. Попов С.П. Особенности численного моделирования двухсо-литонных решений уравнения Захарова-Кузнецова// Журн. вычисл матем. и матем. физики. 1999. Т.39. №.10. С. 1756-1764.

58. Ryzhov O.S.,Bogdanova-Ryzhova E.V. Forsed Generation of Solitary-Lake waves related to Unstable Boundary Layers// Advanced Applied Mechanics. 1998. V.34. P. 317-417.1. Глава 3

59. Новиков С.П. Теория солитонов. М.: Наука. 1980.

60. Зайцев А.А.,Лебле С.Б. Теория нелинейных волн. Калининград. 1984.

61. Oevel W., Fuchssteiner В. Explicit formulas for symmetries and conservation Laws of the Kadomtsev-Petviashvili equation// Phys. Lett. 1982. V. 88A. №.7. P. 323-327.

62. Фаминский А.В. Задача Коши для обобщенного уравнения Ка-домцева-Петвиашвили// Сиб.мат.журнал. 1992. Т.33. № 1. С. 34-43.

63. Попов С.П. Численное решение уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниковыми членами. М.: ВЦ РАН. 1995.

64. Кадомцев Б.Б.,Петвиашвили В.И. Об устойчивости волн в слабо диспергирующих средах// Докл. АН СССР. 1970. Т. 192. № 4. С. 26-29.

65. Фаминский А.В. О задаче Коши для уравнения Кадомцева-Пет-виашвили// Успехи.мат. наук 1990. Т. 45. №. 1. С. 193-194.

66. Попов С.П. Устойчивость и парное взаимодействие солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили. М.: ВЦ РАН. 1996.

67. Жестков С.В., Кувшинов В.И. Об одном варианте распространения метода Хироты на многомерный случай// Докл. НАН Беларуси. 1998. Т.42. №. 5. С. 51-54.1. Глава 4

68. Зейтунян Р.Х. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны// Успехи физ.наук. 1995. Т. 165. №. 12. С. 1403-1456.

69. Kastis С., Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution. Part 2. Three-dimensional effects// J. Fluid Mech. 1987. V.177. №.1. P. 49-65.

70. Boris J.P.,Book D.L. Flux-corrected transport. 1. SHASTA, a fluid transport algorithm that works// J. Comput. Phys. 1973. V.ll. №.1. P. 38-69.

71. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. 3. Minimal-error FCT-algorithms// J. Comput. Phys. 1976. V. 20. №. 3. P. 297-331.

72. Ertekin R.C.,Webster W.C.,Wehausen J.V. Ship-generated soli-tons// Proc. 15th Symp. Naval Hydrodyn. Natio. Washington, DC: Acad. Sci., 1984. P. 1-15.

73. Baines P. G. Observation of stratified flow over two-dimensional obstacles in fluid of finite depth// Tellus. 1979. V. 31. P. 351-371.

74. Beines P.G. A unified description of two-layer flow over topography// J. Fluid Mech. 1984. V. 146. №. 1. P. 127-167.

75. Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution// J. Fluid Mech. 1984. №.2. P. 455-466.

76. Mei С.С. Radiation of solitons by slender bodies advancing in a shallow channel// J. Fluid Mech. 1986. V. 162. №.1. P. 53-67.

77. Ertekin R.C.,Webster W.C.,Wehausen J.V. Waves caused by a moving disturbance in a shallow channel of finite width// J. Fluid Mech. 1986. V. 169. №. 2. P. 275-292.

78. Махмудов А.А. Численное решение некоторых задач теории мелкой воды// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. №. 5. С. 788-791.

79. Махмудов А. А. Двумерный сверхкритический режим течения "мелкой воды" в канале с придонным препятствием// Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. №. 6. С.168-170.

80. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений//Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. Вып. 6. С. 183-208.

81. Hammak J., Scheffner N., Segur H. Two-dimensional periodic waves in shallow water// J. Fluid Mech. 1989. V.209. №. 3. P. 567-589.

82. Попов С.П. Примеры численных решений устойчивого уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниками// Журн. вычисл.матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. №. 4. С. 62-70.1. Глава 5

83. Наполитано М. Расчет отрывных течений с большими числами Рейнольдса на основе решения уравнений Навье-Стокса и приближенных уравнений// Аэрокосмическая техника. 1987. №. 12. С. 3-9.

84. Нейланд В.Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений// Тр. ЦАГИ. М.: 1974. Вып. 1529. С. 110-140.

85. Stewartson К. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies// Advances Appl. Mech. 1974. V. 14. P. 145-239.

86. Сычев В. В., Рубан А. И.,Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений. М.: Наука. 1987.

87. Махмудов А. А., Терентьев Е.Д. О течении жидкости по наклонной плоскости при больших числах Рейнольдса// Прикл. мех. имат. 1988. Т. 52. Вып. 4. С. 601-609.

88. Жук В.И., Рыжов О.С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением// Докл. АН СССР. 1982. Т.263. №. 1. С. 56-59.

89. Попов С.П. Структура волновых возмущений, развивающихся в пограничном слое с самоиндуцированным давлением в тонких пленках// Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. №. 2. С. 309-311.

90. Попов С.П. Нестационарный отрыв пограничного слоя с неблагоприятным градиентом давления. М.: ВЦ РАН. 1995.

91. Peridier V.J., Smith F.T.,Walker J.D.A. Vortex-induced boundary-layer separation. Part 1. The insteady limit problem Re —> oo// J. Fluid Mech. 1991. V. 232. P. 99-131.

92. Peridier V.J., Smith F. T. Walker J.D.A. Vortex-induced boundary-layer separation. Part 2. The unsteady interacting boundary layer theory// J. Fluid Mech. 1991. V. 232. P. 133-165.

93. Махмудов А.А., Попов С.П. Численная схема для решения уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 30. №. 2. С. 330-333.

94. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.: Мир. 1984. Т. 1.

95. Шокин Ю. И., Чубаров Л.Б.,Марчук Ан. Г., Симонов К.В. Вычислительный эксперимент в проблемах цунами. Новосибирск: Наука. 1989.

96. Таганов Г.И. О некоторых задачах струйных течений. Аннот. докл. Ш Всес. съезда по теор. и прикл. механике. М.: Наука. 1968.

97. Губкин К.Е. Распространение взрывных волн. Веб.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. 1970. Т. 2. С. 286-311.

98. Гордейчик Б.Н., Немчинов И.В. Образование предвестника при взаимодействии ударной волны с теплым слоем. В сб.: Прикладные методы механики. М.: Деп. ВИНИТИ. 1984. №. 2529.

99. Глухов О.П., Сахаров М.Ю., Ткаченко Б.К. Бифуркация обру-шающихся волн на мелкой воде// Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической физики. М.: 1991. С. 9-12.

100. Немчинов И.В., Попов С.П. Эффект "тонкого углубленногоканала" в мелкой воде// Докл. АН СССР 1993. Т. 328. №. 1. С. 43-45.

101. Немчинов И.В., Попов С.П. Взаимодействие плоского гидравлического прыжка с резкими изменениями рельефа дна в мелкой воде// Инж.-физ. Журн. 1993. Т. 65, №. 3. С. 291-295. ^

102. Aherns Т. J., О' Keffe J.D. Impact on the Earth, ocean and atmosphereT/Tnt. J. Impact Eng. 1987. V. 5. №. 1-4. P. 13-32.

103. Roddy D.J., Shuster S.H., Rosenblatt M. et. al. Computer simulations of large asteroid impact into oceanic and continental sites-prelimimary results on atmospheric, cratering and ejecta dynamics// Int. J. Impact Eng. 1987. V. 5. №. 1-4. P. 123-135.

104. Немчинов И.В., Попов С.П., Тетерев А.В. Оценка характеристик волн цунами, вызванных падением астероидов и комет в океаны и моря// Астрономический вестник. 1994. Т. 28. №. 3. С. 81-99.

105. Козаченко Л.С., Христофоров Б.Д. Поверхностные явления при подводном взрыве. Физика горения и взрыва. 1972. Т. 8. №. З.С. 433-438.

106. Holsapple К.А. The scalling of impact phenomena// Int. J. Impact Eng. 1987. V. 5. P. 343-355.

107. Пандольфи M. Численные эксперименты при движении воды со свободной поверхностью и ступенчатыми волнами// Численные решения задач гидродинамики. М.: Мир. 1977. С. 64-75.

108. Коробейников В.П., Христофоров Б.Д. Подводный взрыв. Итоги науки и техники.М.:Гидромеханика. 1976. Т. 9. С. 54-119.

109. Кот К.А. Мощные подводные взрывы//Подводные и подземные взрывы. М.:Мир. 1974.

110. Nemtchinov I.V., Teterev A.V., Popov S.P. Waves created by comet impact into ocean. Abstract LPSC XXV. 1994. part. 2. P. 989-990.

111. Nemtchinov I.V., Teterev A.V., Popov S.P. Tsunamis caused by the Impact of cosmic bodies in oceans or seas. Abstract for Hazards Due to Comets and Asteroids. Tucson. Arisona. USA. 1993. P. 64.1. Иллюстрации1. ГЛАВА 111. ТаО.ог, к* 0.1

112. М(х,<) 1 1 1 1 1 Uso L-Ù,7S -s^5 1 г 1•0,1tt i . i i А -i A-1 / \ А/ M =0,1 ;Т=30