Поведение жидкостей с горизонтальной поверхностью раздела при касательных вибрациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Хилько Григорий Леонидович

ПОВЕДЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ РАЗДЕЛА ПРИ КАСАТЕЛЬНЫХ ВИБРАЦИЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕН 2011

Пермь-2011

005005514

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного национального исследовательского университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Любимов Д. В.

Официальные оппоненты:

• д.ф.-м.н., профессор Козлов Виктор Геннадьевич

• к.ф.-м.н. Садилов Евгений Сергеевич

Ведущая организация: Челябинский государственный университет, г. Челябинск

Защита состоится 27 декабря 2011 г. в 15.15 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в ФГБОУ ВПО "Пермский государственный национальный исследовательский университет" по адресу: 614600, г.Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия автореферата доступна на сайте ПГНИУ по адресу: http://www.psu.ru

Автореферат разослан ^ ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Работа выполнена в рамках развиваемого в пермской гидродинамической научной школе направления фундаментальных исследований по влиянию вибраций на неоднородные гидродинамические системы. Известны некоторые общие для всех вибрационных систем с поверхностью раздела эффекты, в частности, известно, что нормальные к поверхности раздела вибрации стабилизируют ее, касательные дестабилизируют, пространственно неоднородные пульсационные течения создают осредненное движение жидкости. Однако, качественное разнообразие эффектов в специальных случаях намного больше. Это делает данное направление исследований интересным не только с практической, но и с теоретической точки зрения.

Вибрации могут не только значительно влиять на гидродинамические потоки, но и непосредственно их создавать. Так, тепловая конвекция в вибрационном поле возможна и в отсутствии поля тяжести.

В технике с одной стороны, вибрации являются трудноустранимым фактором, с другой стороны могут быть простым и энергетически экономным методом воздействия на систему.

Гидродинамические датчики могут выступать в роли детектора вибраций в автоматических и автономных системах. Для этого используют термовибрационные конвективные датчики, позволяющие определять, в том числе, сейсмические колебания.

Другой перспективной областью применения вибраций является выращивание кристаллов. К примеру, полупроводники, основа электронной промышленности, получаются кристаллизацией расплавов. Их однородность является одной из ключевых характеристик. Обеспечение однородности в свою очередь требует управления течениями в расплаве. Было обнаружено, что ультразвуковые и низкочастотные вибрации могут значительно улучшать однородность расплава.

Особенно большую роль вибрации играют в условиях невесомости.

Цель работы

Исследование генерации средних течений в динамических пограничных слоях

и поведения поверхности раздела под действием вибраций для идеальных и

вязких жидкостей.

Научная новизна результатов

• выведено эффективное граничное условие типа Рувинского-Фрейдмана, обобщенное на случай поверхности раздела сред;

• эффективные граничные условия Шлихтинга и Дора обобщены на случай неоднородных по фазе трехмерных течений;

• рассчитано пульсационное течение жидкости в цилиндрическом сосуде при поступательных вибрациях круговой поляризации в горизонтальной плоскости при наличии поверхности раздела жидкостей;

• рассчитано осредненное течение в цилиндрическом сосуде при поступательных вибрациях круговой поляризации в горизонтальной плоскости за счет генерации в динамических пограничных слоях и дрейфа Стокса;

• получено аналитическое описание двумерных длинноволновых нелинейных режимов поведения жидкостей под действием горизонтальных вибраций; доказана неустойчивость этих режимов;

• для случая тонких слоев вязкой жидкости получено критическое значение вибрационного параметра, при котором система теряет устойчивость;

Автор защищает

• вывод модифицированных эффективных граничных условий Рувинского-Фрейдмана, Дора и Шлихтинга для неоднородных по фазе трехмерных течений возле поверхности раздела жидкостей;

• результаты численного расчета профилей осредненных течений в цилиндрическом сосуде при воздействии поступательных вибраций круговой поляризации в горизонтальной плоскости;

• расчет длинноволновых нелинейных режимов в двухмерном сосуде с тонкими слоями несмешивающихся идеальных жидкостей при воздействии горизонтальных поступательных вибраций;

• расчет поправки с учетом вязкости порогового значения вибрационного параметра, при котором начинается развитие вибрационной неустойчивости Кельвина-Гельмгольца;

Практическая ценность. Разработанные в работы эффективные граничные условия Дора и Шлихтинга для неоднородного по фазе трехмерного поля пуль-сационных скоростей могут быть использованы в решении других задач. Изученные в работе механизмы осредненной генерации могут использоваться для интенсификации процессов перемешивания, в том числе в химической промышленности. Обобщенное на случай поверхности раздела сред условие Ру-винского-Фрейдмана может оказаться полезным при изучении систем, содержащих поверхность раздела слабовязких жидкостей.

Достоверность результатов обусловлена корректностью математической постановки задач, адекватностью используемых методов и подтверждается сравнением в предельных случаях с результатами исследований других авторов.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на конференциях "Неравновесные переходы в сплошных средах - 2009", Пермь, и XX школе-конференции "Математическое моделирование в естественных науках - 2011", Пермь, а также неоднократно на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в трех печатных работах [1-5], в том числе в одной статье [1] в журнале из перечня ВАК ведущих периодических изданий. Во всех работах автор диссертации проводил основные вычисления и участвовал в обсуждении результатов. В [5] автор принимал участие также в постановке задачи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав и заключения. Объем диссертации 132 страницы, в работу включено 24 рисунка. Список литературы содержит 107 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан анализ работ по основным темам, затрагиваемым в диссертации: параметрическому резонансу при нормальных или касательных вибрациях, стационарной неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, вибрационной неустойчивости Кельвина-Гельмгольца для двухжидкостной системы, а также для системы жидкость-взвесь, поведению поверхности раздела при поступательных вибрациях круговой поляризации, генерации осредненных течений в динамических пограничных слоях.

Сделан вывод о том, что рассматриваемые в диссертации задачи не были решены ранее другими авторами, и в то же время являются актуальными.

В общей характеристике обсуждается актуальность и апробация работы, научная новизна, практическая ценность и достоверность результатов.

Первая глава посвящена вопросу генерации осредненных течений в динамических пограничных слоях в системе несмешивающихся жидкостей в вертикально ориентированном цилиндрическом сосуде, совершающем поступательные колебания круговой поляризации в горизонтальной плоскости. Толщины слоев жидкостей /г,, в общем случае различны. Индекс "1" относится к верхней жидкости, "2" - к нижней.

Для описания пульсационного течения использовано малоамплитудное приближение ас Я, позволившее исключить нелинейные члены из уравнений Навье-Стокса. Здесь а — амплитуда вибраций, Я - радиус сосуда. Рассматриваются высокочастотные вибрации оЕ? » V, что позволяет пренебречь вязкими слагаемыми в уравнениях Навье-Стокса. Здесь со - циклическая частота. При этом, однако, частота вибраций считается много меньше акустических частот, что позволяет пренебречь сжимаемостью жидкостей. Таким образом, задача

ф = ()..-

сведена к уравнению Лапласа для потенциала <р пуль-сационной компоненты скорости.

Для более адекватного описания течения с учетом малой вязкости разработано обобщенное на случай поверхности раздела квазипотенциальное приближение Рувинского-Фрейдмана, приводящее к эффективным

Рис. 1 Поверхность раздела С, в направлениях Ф = 0 и

граничным условиям на ПО- Ф = яг/2 при I/. = 0.148 Ст, v2 = 0.01 Ст, р, = 0.71 г/см3,

р2 =1.00 г/см3, ст = 50.8 дин/см, Л> =1.5 см, /г, = 1.5с-», R = 5.0СМ, g = 980см/с2, а = 0.072 см,а = 30с"1

верхности раздела сред:

2Д,

дер

+ [p] + aK¿ = 0

ас/

)-

Sí

= 2А.

да

dt l 1 йг

№0

где Д2 - лапласиан в плоскости ху, касательной к невозмущенной поверхности раздела, а - коэффициент поверхностного натяжения, и - нормальная компонента вихревой части скорости, квадратными скобками обозначается разрыв соответствующего поля на поверхности раздела г = £(х,у,г).

Для пульсационного течения была решена задача о собственных колебаниях, определен спектр собственных частот. Для случая вынуждающей силы инерции, создаваемой поступательными вибрациями круговой поляризации в горизонтальной плоскости, аналитически найдено пульсационное течение.

Задача решена как в невязком, ом так и в квазипотенциальном приближениях. Решение в

0.02 -

обоих случаях имеет вид сейши, вращающейся без изменения формы с частотой вынуж- 0. дающей силы: <р = ф(г, г,Ф), £ = Ф), Ф = 0-юг, где г,

-0.02 -

г, в - радиальная, вертикальная и азимутальная координаты соответственно, причем за-

С,,см

Ф = О

/ \ / \

777

г/К

т

т 0.6

и91 хЮ

ВИСИМОСТЬ <Р И £ ОТ фазы Ф - Рис.2 Поверхность раздела £ в направлениях Ф = 0 и

гармоническая. ф=кI1 при ".=°-0Ст> ^ =°-°Ст- А = 0.71^.

рг-1.00г/си', а = 50.&дин1см, \ = 1.5см, А, =1.5см, Проведен анализ полу- д = 5.0«, е = та = 0.0720 = 300'

ченных решений. Отмечено,

что в квазипотенциальном 02

приближении решение имеет

интересную особенность — от-

0.1 -

сутствие вязкого демпфирования в окрестностях собственных частот при некотором о -соотношении параметров сред, для толстых слоев при-

-0.1 -

нимающем вид

аЧ=Р2Ч

При этом же соотношении -возможны собственные неза-

Рис.З. Профили радиальной и азимутальной скоростей тухающие колебания С учетом верхней жидкости при р = 1.41, V = 1.35 = 5.20,

демпфирующих членов. Во-Ш.Л« = 4.14x10-, д = 1.02x10-

0.4

Для неоднородных по фазе вибраций были получены эффективные граничные условия, аналогичные условиям Шлихтинга и Дора, описывающие генерацию осредненных течений механизмами, связанными с вязкостью, в динамических пограничных слоях. Для этого использовался метод многих масштабов с введением разных пространственных и временных масштабов. Граничные условия по форме представляют собой условия на значение эффективного скачка осредненных касательных напряжений и осредненных касательных скоростей на поверхности раздела для потока жидкости в основном объеме

-А (V Д) ■+ ( A'v2)ds+2 Д (v2 d,)+А (уд)) r ,—(Av2) A+(Av2) Д+Д (v Д)+Д (v Д)

M = P,Pl4ViV2 -—-—-—--

где а — осредненные касательные напряжения, V2 -оператор градиента в горизонтальной плоскости,

(р = <рс cos cot + cps sin at.

Получены осредненные течения с учетом подстановки найденных пульсационных потоков в обобщенные граничные условия Шлихтинга и Дора. При этом нелинейные члены были исключены из уравнений как малые величины, а решение искалось стационарное и азимутально-симметричное. Решение

Рис.4. Профили радиальной и азимутальной скоростей нижней жидкости при р = 1.41, V = 1.35 , £2 = 5.20, Во = 140,Лы = 4.14 хКГ'.д = 1.02 х КГ1

строится в виде сумм рядов, коэффициенты которых определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений, полученной с учетом разложения граничных условий Дора и Шпихтинга по тому же функциональному базису. Безразмерными параметрами задачи являются р , —,

Р\ ^

Во^8{Рг~Р\ Аи^В^РО1, дн^ЕК+а. От-

а \gP2-P1 В\Рг+Рх) Кг^8Р2~Р1

метим, что безразмерная амплитуда Аи входит лишь множителем в выражения для осредненных скоростей, а число Бонда Во при значениях от 102 и выше практически не влияет на профили осредненных скоростей. Осредненные скорости измеряются в единицах аю. Коэффициенты рассчитаны численно для различных значений безразмерных параметров, построены профили осреднен-ной скорости.

Проведен анализ рассчитанных течений. Показано, что на внешней границе пограничного слоя Стокса, сгенерированное вязкими механизмами осред-ненное течение будет стягивать любые частицы к кольцам аккумуляции. Каждое из колец имеет свою скорость вращения. Картина течения по мере изменения параметров вибраций, вообще говоря, сложным образом изменяется — могут образовываться новые кольца, сильно изменяться радиус текущих. Аккумуляционные кольца в верхней и нижней жидкости различаются, и в общем случае вопрос, течение в пограничных слоях какой жидкости будет определять поведение трассеров, в рамках этой теории остается открытым.

Рассчитан дрейф Стокса для пульсационных течений. Показано, что дрейф Стокса по своей величине может быть поправкой к скорости вращения аккумуляционного кольца, но радиальная компонента дрейфа Стокса слишком мала, чтобы оказать влияние на формирование таких колец.

Произведен анализ задачи о круговых качаниях цилиндрического сосуда, для которой существуют дополнительные экспериментальные данные. Разобрано, когда именно она может быть эффективно сведена к задаче о поступа-

тельных вибрациях круговой поляризации. Произведен анализ опубликованных результатов экспериментов с круговым качанием сосуда. Показано, что не все экспериментальные серии в этих работах можно описывать как аналог вибрации круговой поляризации.

Сравнение с экспериментальными работами позволяет говорить лишь о качественном подтверждении существования эффекта

Вторая глава посвящена рассмотрению поведения поверхности раздела при горизонтальных поступательных вибрациях бесконечно протяженного в горизонтальном направлении сосуда, содержащего два тонких слоя несмеши-вающихся жидкостей равной толщины.

Как известно1, вибрационная неустойчивость Кельвина-Гельмгольца носит длинноволновый характер, если /г = л/з, где И — толщина слоя одной жидкости, измеренная в капиллярно-гравитационных; единицах 1тр = - /?[)#), которые в случае толстых слоев являются характерным

пространственным масштабом наиболее опасных, ячеистых возмущений.

Рассматриваются высокочастотные неакустические вибрации малой амплитуды. Вязкие члены исключаются не только из уравнений для пульсацион-ных, но и для осредненных течений. При выводе основных уравнений использовано приближение "мелкой воды", связанное с большим отношением горизонтальной протяженности сосуда и гидродинамических структур к вертикальным размерам сосуда. В рамках этого приближения была получена эволюционная система дифференциальных уравнений для идеальной жидкости.

Найдены стапионарные решения системы. Помимо тривиального режима с плоской поверхностью раздела, в подкритической области существует однопа-раметрическая серия решений с кноидальным профилем поверхности раздела. При особенном значении параметра серии кноидальный профиль переходит в

1 Любимов Д. В., Черепанов А. А. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле И Изв. АН СССР.МЖГ. 198б.№6.С.8-13

солитонный, который был обнаружен ранее в работе2. Кроме того, в надкритической области существует другая серия кноидальных режимов.

Показано, что в критической точке имеет место двухсторонняя бифуркация: от тривиального режима в критической точке в направлении уменьшения и увеличения вибрационного параметра ответвляются кноидальные режимы, в критической точке имеющие нулевую амплитуду рельефа.

Выведено эволюционное уравнение для малых возмущений; проведен линейный анализ устойчивости всех режимов. Для тривиального режима аналитически показано, что до достижения вибрационным параметром критического значения он устойчив, после неустойчив. С использованием численных и аналитических методов показано, что кноидальные режимы неустойчивы.

В третьей главе рассматривается та же физическая система, что и во второй главе, но основным объектом исследования является влияние вязкости на границу вибрационной неустойчивости Кельвина-Гельмгольца.

Для описания вязких эффектов использован метод многих масштабов с введением погранслойного пространственного масштаба в вертикальном направлении подобно тому, как этот метод был использован для расчета генерации осредненных течений в первой главе. Но в третьей главе для тонких слоев

2 Любимов Д. В., Хеннер М. В. О длинноволновой неустойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Гидродинамика №1 ]_ Пермь, ПГУ, 1998 с. 191-196

Рис. 5. Влияние вязкости на порог неустойчивости

учитываются динамические пограничные слои не только возле поверхности раздела, но и возле жестких верхней и нижней стенок.

Для случая тонких слоев в третьей главе определено критическое значение вибрационного параметра Вт = В(к)для различных значений параметров. Установлено, что с хорошей точностью Ва, пропорционально к, как и в невязкой теории. Отношение Вш к пороговому значению вибрационного параметра в невязкой теории В„ зависит 24 _

вязкость дестабилизирует

систему и наоборот. В зависимости от V, 8, р меняется также пороговое значение ксг, в слоях тоньше которого неустойчивость носит длинноволновый характер. При различных р и V построены графики Ва,{5)1В0 и Исг(5). Показано, что они выходят на асимптотику при больших 8.

Асимптотика больших 8 рассчитана аналитически. Получены критическое значение вибрационного параметра и критическая толщина слоев, при которой неустойчивость носит длинноволновый характер.

К

сти, отличающиеся на несколько порядков, и параметр 8 не очень мал. Если верхняя жидкость более вязкая, то

о = 7.0 у —10"3

0.8---j—I I I ||]1|-1—ГТТТТТТ]-1-ГТ I llllj " I I М 1П|-|Д

0.01 о.1 1 ю,

Рис. 6. Влияние вязкости на границу между областями

длинноволновой и ячеистой неустойчивости

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Получено обобщение на случай поверхности раздела сред квазипотенциального приближения Рувинского-Фрейдмана.

2. Аналитически рассчитано пульсационное течение двухжидкостной системы при воздействии горизонтальных поступательных вибраций круговой поляризации.

3. Выведены обобщенные на трехмерный случай неоднородных по фазе вибраций граничные условия типа условий Дора и Шлихтинга.

4. В задаче об осредненных течениях в цилиндрическом сосуде при вибрациях круговой поляризации получены поля скоростей и форма поверхности раздела.

5. Найдены серии стационарных режимов с кноидальным или солитонным профилем поверхности раздела двух тонких слоев идеальных жидкостей в сосуде, совершающем поступательные горизонтальные колебания.

6. Изучено влияние вязкости на порог вибрационной неустойчивости Кель-вина-Гельмгольца в случае длинноволновых возмущений, найдены области стабилизации и дестабилизации для большого контраста вязкостей. Для асимптотики больших вязкостей получено аналитически отношение вибрационного параметра к невязкому значению и значение критической толщины жидкостей.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Любимов Д. В., Хилько Г. Л. Генерация средних течений в двухслойной системе под действием вибраций круговой поляризации // Изв. РАН, МЖГ. -2011. - № 4. - С. 35-46.

2. Любимов Д. В., Хилько Г. Л., ¡Черепанов А. А. Течения в двухслойной сис-

теме при горизонтальных линейных вибрациях круговой поляризации. // Материалы конференции "Неравновесные переходы в сплошных средах-2009", г. Пермь, с. 157-160.

3. Хилько Г. Л., Любимов Д. В., Иванцов А. О. "Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела сред в высокочастотном вибрационном поле" // Тезисы конференции "Математическое моделирование в естественных науках-2011", г. Пермь, с. 105-106.

4. Хилько Г. Л., Любимов Д. В. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела при касательных вибрациях // Вестн. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика-2011. — вып4.-С. 172-175.

5. Хилько Г. Л., Любимов Д. В. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела вязких сред при касательных вибрациях // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика - 2011. - вып 3. - С. 83-91.

Подписано в печать 21.11.2011 г. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ Типография Пермского государственного университета 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15.

61 12-1/330

пермский государственный национальный исследовательский университет

На правах рукописи

Хилько Григорий Леонидович

поведение жидкостей с горизонтальной поверхностью раздела при касательных вибрациях

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Д. в. Любимов

Пермь-2011

Содержание

Введение...............................................................................................................3

Обзор литературы............................................................................................3

Общая характеристика работы.....................................................................20

Глава 1. Генерация средних течений в двухслойной системе под действием вибраций круговой поляризации.....................................................................27

1.1. Постановка задачи..................................................................................28

1.2. Квазипотенциальное приближение.......................................................30

1.3. Собственные колебания.........................................................................32

1.4. Пульсационное течение.........................................................................33

1.5. Динамический пограничный слой........................................................45

1.6. Осредненное течение..............................................................................54

1.7. Результаты численного счета................................................................61

1.8. Круговые качания...................................................................................66

Глава 2. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела сред в высокочастотном касательном к поверхности вибрационном поле. Невязкая теория.................................................................................................71

2.1. Постановка задачи..................................................................................72

2.2. Приближение "мелкой воды"................................................................76

2.3. Длинноволновые нелинейные режимы поведения жидкостей..........79

2.4. Устойчивость границы раздела.............................................................85

2.5. Результаты численного моделирования...............................................89

Глава 3. Длинноволновая неустойчивость поверхности раздела в высокочастотном горизонтальном вибрационном поле. Вязкая теория.....94

3.1. Вывод основных уравнений..................................................................95

3.2. Линейная теория устойчивости. Результаты численного решения задачи о возмущениях.................................................................................106

3.3. Решение задачи в асимптотическом случае больших вязкостей.....114

Заключение......................................................................................................119

Список литературы.........................................................................................122

Введение

Обзор литературы

Вибрации нередко приводят во множестве механических систем, в том числе гидродинамических, к крайне интересным резонансным и осредненным эффектам.

Даже столь простая система, как математический маятник с колеблющейся точкой подвеса демонстрирует нетривиальное поведение [1]. В отсутствии вибраций в поле тяжести маятник имеет два положения равновесия: неустойчивое верхнее и устойчивое нижнее. Вертикальные вибрации точки подвеса с частотой, равной или кратной собственной частоте маятника, могут сделать нижнее положение неустойчивым, а верхнее устойчивым. Горизонтальные высокочастотные вибрации [2] точки подвеса при достаточной интенсивности приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия.

В экспериментах [3] наблюдались парадоксальные с интуитивной точки зрения эффекты поведения твердого тела, погруженного в жидкость, сосуд с которой совершал вертикальные колебания высокой частоты. При достаточной интенсивности колебаний тела с плотностью, превышающей плотностью жидкости, всплывали.

Хотя первые эксперименты, продемонстрировавшие осредненные эффекты были проделаны еще Фарадеем в первой половине XIX века, вновь интерес к вибрационному поведению гидродинамических систем появился лишь в середине XX века. Отчасти это было вызвано многочисленными техническими приложениями для вибраций, в том числе в космической области [4, 5].

Большое количество вибрационных эффектов описано в [6].

Рябь Фарадея

Среди тем исследований влияния вибраций на поведение гидродинамических систем с поверхностью раздела, вне всякого сомнения, одной из наиболее популярных в научной литературе является т.н. "рябь Фарадея" - параметрический резонанс при нормальных к поверхности раздела вибрациях. Первая работа, посвященная параметрическому резонансу колебаний свободной поверхности жидкости [7] была опубликована Фарадеем в 1831 г. В ней описан ряд экспериментов, в том числе эксперименты по возбуждению стоячих волн на поверхности жидкости, налитой на вибрирующую в вертикальном направлении пластинку. Теоретически эффекты в [7] были объяснены в [8, 9] Рэлеем на основе теории идеальной жидкости. Рэлей показал, что рябь Фарадея есть проявление параметрического резонанса, что объяснило наблюдавшиеся соотношения частот: частота возбуждаемых волн была равна половине частоты вибраций пластинки.

Интерес к теме вновь возродился в 50-х годах XX века, когда появились эксперименты с количественным описанием эффекта. В экспериментах Вольфа [10, 11] было обнаружено, что высокочастотные вертикальные вибрации сосуда, содержащего несмешивающиеся жидкости, могут подавить развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора, возникающей при инверсном положении сред - тяжелая жидкость расположена поверх легкой. Ранее этот же эффект наблюдался в [12].

В работе [12] развита линейная теория ряби Фарадея для свободной поверхности невязкой жидкости. В ее рамках возбуждение возможно при сколь угодно малой амплитуде вибраций. В экспериментах, однако, рябь всегда возбуждается пороговым образом. Связано это с диссипативными эффектами, и потому порог не может быть определен в рамках модели идеальной жидкости.

Теоретически эффект изучался в [13], граница устойчивости определялась численно путем приближенного расчета определителя Хилла.

Порог возбуждения параметрических волн впервые определен в [14], где учет вязкости произведен феноменологически с проведением экспериментальной работы, путем подстановки демпфирующего слагаемого, квадратично зависящего от скорости колебания границы раздела, в уравнение Матье, описывающее поведение поверхности

о <» о

невязкой жидкости при наличии вертикальных вибрации.

Стоит отметить, что значительная часть работ по данной тематике, выполненное советскими учеными была опубликована в составе сборников статей и препринтов, а не в центральных журналах, поэтому не имеет известности в мировой науке.

Аналитически задача описания ряби Фарадея с учетом вязкости была решена в работах [15, 16, 17, 18].

В работе [16] экспериментально и аналитически рассматривалась стабилизация поверхности раздела не только вибрационными вертикальными инерционными полями, но и вращающимися электрическими и магнитными, жидкость была диэлектриком и диамагнетиком. При этом, как оказалось, для воздействия магнитными и электрическими полями также имел место параметрический резонанс.

В [17] аналитически рассматривается влияние переменных полей инерционной, электрической, магнитной природы на устойчивость равновесия плоской поверхности жидкости. Показано, что переменные поля могут предотвратить развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора.

В [18] построена нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн на поверхности жидкости с учетом вязкого скин-слоя. Определены области существования стационарных волновых структур, исследована их устойчивость. Основные результаты [15, 16, 17, 18] была впоследствии включены в [19].

Стоит отметить также ряд теоретических и экспериментальных работ [20, 21, 22], в которых изучались параметрические волны не на свободной поверхности жидкости, а на поверхности раздела несмешивающихся жидкостей.

На Западе впервые нелинейная теория ряби Фарадея была построена в [23] на основе модели идеальной жидкости. Вязкость либо не учитывалась, либо вводилась феноменологическим образом в предположении, что вязкая сила действующая на элементарный объем жидкости пропорциональна его скорости. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30].

Более подробный обзор работ по ряби Фарадея есть в [19, 31, 32].

Касательные колебания линейной поляризации. Параметрический резонанс

В [33] исследовалась устойчивость плоской поверхности раздела двух осциллирующих параллельных потоков идеальных жидкостей, при этом вид вынуждающей вибрационной силы не конкретизировался, что делало рассмотрение пригодным как для вертикальных, так и горизонтальных вибраций. Рассмотрение проводилось для бесконечно глубоких жидкостей. Было показано сведение задачи о параметрическом резонансе к уравнению Матье.

В работе [34] продолжено построение теории параметрического резонанса для касательных вибраций. В отличие от [33], рассматривается случай слоев конечной глубины, для которого также выполнено сведение невязкой задачи к уравнению Матье. Численно исследована эволюция нейтральной кривой с учетом вязкости. Показано, что для значительных вязкостей наиболее опасной является часть кривой, соответствующая неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. В случае же высоких частот резонансная неустойчивость вытесняется в коротковолновую область, где она, видимо, подавляется вязкостью. При этом высказывается

предположение, что неустойчивость Кельвина-Гельмгольца слабо зависит от вязкости.

В работе [35] задача решается аналитически подстановкой демпфирующего слагаемого в уравнение Матье в приближении малых вязкостей. Результаты качественно совпали с результатами [34].

В [36] задача решалась численно другим методом для жидкостей, вязкости которых отличаются на два порядка. Были построены нейтральные кривые для различных наборов параметров системы. Построенные нейтральные кривые зачастую сильно отличаются от тех, которые рассчитываются в невязкой теории.

Касательные колебания линейной поляризации. Неустойчивость Кельвина-Гельмольца

В экспериментальной работе Вольфа [10] было обнаружено, что при горизонтальных колебаниях сосуда поверхность раздела оставалась практически плоской, пока интенсивность вибраций не достигала некоторого порогового значения. После этого поверхность раздела жидкостей могла принимать форму волнового рельефа, практически неподвижного. Сейчас это явление в литературе нередко называют "застывшей волной".

Экспериментальное исследование было продолжено в работах Безденежных [37, 38]. Было обнаружено, что после установления волнового рельефа при дальнейшем увеличении значения вибрационного параметра в системе удваивался пространственный период, а при еще большем росте вибрационного параметра происходило разбиение системы на последовательность чередующихся вертикальных страт тяжелой и легкой жидкостей.

Классическая неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на поверхности раздела сред для стационарного потока имеет место, например, при

генерации волн на воде ветром. Впервые она теоретически была рассмотрена Кельвином [39] для невязкой жидкости. Однако, оказалось, что модель Кельвина дает сильно завышенные значения для критической разности скоростей для порога устойчивости, в частности из-за вязкости жидкости. Грубые эмпирические подходы по учету вязкости в задаче о неустойчивости Кельвина-Гельмгольца использовались в частности в [40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47]. Особенность отличий вибрационной задачи, таких как вид невозмущенного течения, делает неперспективным применение этих методов для ее решения.

В случае горизонтальных вибраций теория, описывающая в невязком приближении неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и образование "застывших волн", была построена в [48] еще до решения в [34] задачи о параметрическом резонансе. При этом рассматривалась серия нейтральных квазиравновесных возмущений, а прямо устойчивость не анализировалась, что сделало теорию [48] весьма компактной. Выражение для критического значения вибрационного параметра по форме аналогично выражению для неустойчивости Кельвина-Гельмгольца для стационарных потоков. В [48] рассматривались слои равной, но конечной глубины, было показано, что для глубоких слоев жидкости наиболее опасны возмущения с длиной волны порядка капиллярно-гравитационного масштаба, а для тонких слоев имеет место длинноволновая неустойчивость.

Особо случай тонких слоев, когда неустойчивость носит длинноволновый характер, рассмотрен аналитически в [49]. Обнаружено, что в подкритической области существует стационарный режим с солитонной формой поверхности раздела, высказано предположение, что он может быть устойчив. Работа [49] наиболее близка к теме второй главы настоящей диссертации, где эта теория получает дальнейшее развитие.

В работе [50] численно-аналитически рассматривается эволюция возмущений в длинноволновом случае. Авторы [50] не нашли устойчивых квазистационарных режимов, подобных волновому рельефу,

наблюдаемому в случае толстых слоев, удалось наблюдать лишь опрокидывание слоя нижней жидкости к одной из стенок сосуда.

Для глубоких слоев аналитическое и численное рассмотрение поведения системы при горизонтальных вибрациях после прохождения порога неустойчивости выполнено в [51, 52, 53]. В [51] аналитически рассматриваются предельные случаи малых скоростей вибраций (произведения амплитуды на частоту), когда поверхность раздела деформирована слабо, и больших скоростей вибраций, когда тяжелая жидкость в сосуде "опрокидывается" на одну из сторон, вытесняя в другую сторону легкую. Также в [51] сформулирован вариационный принцип для задачи о квазиравновесии, с использованием которого доказывается, что эволюция системы всегда приводит ее к квазиравновесному состоянию. В [53] вариационный принцип был использован для численного поиска квазиравновесных состояний методом минимизации. При этом показана постепенная эволюция системы по мере увеличения параметра скорости вибраций. Показано также, что при одном и том же значении вибрационного параметра система имеет несколько возможных квазиравновесных конфигураций. При этом рассматривался прямоугольный сосуд, с соразмерными высотой и шириной.

В [54] удалось провести слабо-нелинейный анализ при малых надкритичностях с выявлением областей параметров жесткого и мягкого характера неустойчивости в зависимости от высот слоев и соотношения плотностей. Показано в частности, что для случая тонких слоев, когда неустойчивость носит длинноволновый характер, возбуждение всегда носит жесткий характер.

В [55] авторы при моделировании системы развивают подход Level Set. В гидродинамических системах при моделировании методом сеток возникает ряд сложностей при описании поверхностей раздела. Типично это решается введением маркерной функции, в роли которой может выступать плотность, для пограничных ячеек задающей объемную долю

той или иной фазы. В методе Level Set вводится эмпирическая объемная сила, "стягивающая" жидкость к поверхности раздела и препятствующая диффузии маркерной функции. Более подробное описание метода есть в [56, 57]. В [55] искалось течение с квазиравновесной поверхностью раздела, что минимизировало сеточную диффузию маркерной функции и размытие границы раздела. В [55] также наблюдались известные из экспериментов [37, 38] эффекты удвоения пространственного периода и разбиения системы на страты при росте интенсивности вибраций.

В [58] численные расчеты были проведены заново с использованием технологий параллельных вычислений, основные эффекты были подтверждены.

Все основные результаты [39, 48, 49, 52, 53, 54, 55] включены в [19].

Описывая экспериментальное исследование неустойчивости Кельвина-Гельмгольца для касательных вибраций, следует помимо работ Вольфа [10] и Безденежных [37, 38] рассмотреть также более поздние эксперименты.

В [59] был проведен эксперимент, причем кинематическая вязкость верхней жидкости была огромной. Удалось обнаружить неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и увидеть образование волнового рельефа.

В экспериментальной работе [60] в качестве жидкостей использовались жидкий углекислый газ и его пары возле критической точки. Причиной столь необычного выбора сред было желание авторов уменьшить капиллярно-гравитационный масштаб, сделав его много меньше размера сосуда. Был получен ряд результатов, в том числе зависимость периода рельефа от отклонения температуры от критической, однако, критическое значение вибрационного параметра было определено грубо, что не позволяло проводить сравнение с [48], можно говорить лишь о качественном соответствии.

Ранее с такой же системой работали в [61], однако, наблюдали иной эффект - вместо квазистационарного рельефа был обнаружен волновой

рельеф, медленно двигающийся в одном направлении со скоростью много меньше скорости вибраций. Пространственный период рельефа в [61] был на порядок больше капиллярно-гравитационного масштаба. Кроме этого наблюдался