Методы квантовой теории поля в задачах статистической гидродинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

УДК 532.517.4, 534.322.3

АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович

МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Специальность 01.04.02. "Теоретическая физика".

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фпэико-математическтс наук

Москва, 1992г.

/

Работа выполнена в Институте космических исследований РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор С.С.Моисеев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Э. В. Теодорович кандидат фиоико-математических наук В. Н. Нескоромный

Ведущая организация: Харьковский физико-технический институт

Защита диссертации состоится ¿//¿^-^ 1992 г.

в ^часов на заседании специализированного совета К047.01.01 при Лаборатории теоретической фиоики Объединенного института ядерных исследований по адресу: Московская обл. г.Дубна.

у

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослал/^ мая 1992 г. Ученый секретарь

специализированного совета К047.01.01 кандидат физико-математических наук

(А.ЕДорохов)

1 Общая характеристика работы 1.1 Актуальность темы

Применение методов квантовой теории поля (КТП) к системам, описываемым стохастическими дифференциальными уравнениями, является весьма актуальной задачей, так как позволяет получать статистические характеристики физических, химических, биологических и других систем без» использования теории возмущений. В тех же случаях, когда это не удается, методы КТП существенно упрощают построение теории возмущений.

В случае гидродинамической турбулентности сложность ситуации усугубляется тем, что нелинейное межмодовое взаимодействие является предельно сильным, вследствие чего параметр асимптотического разложения не является малым И обычная теория возмущений, построенная по этому параметру, не может дать сколько-нибудь надежных результатов. Все это делает необходимым использование для исследования гидродинамической турбулентности непертурбативных методов КТП.

Актуальность исследования связана также и с возможностью применения функционального интеграла к процессу зарождения хаоса как в открытых, так и в замкнутых системах.

1.2 Цели исследования

Основной целью данной диссертационной работы является развитие математического аппарата, позволяющего использовать свойства симметрии классических систем с флуктуирующими параметрами для исследования статистических характеристик этих систем. Целью данной заботы, в частности, является применение этого аппарата к псследо-заяию спектров гидродинамической турбулентности.

В работе также исследуются градуированные симметрии, появляго-циеся при статистическом описании процесса перехода к хаосу.

1.3 Научная новиона

Интенсивное применение методов КТП к описанию случайных процессов, в.т.ч. гидродинамической турбулентности, началось с установления П.Мартином, Е.Сиджиа и Г.Роуоом (1973 г.) эквивалентности между статистической задачей и некоторой теорией поля.

При этом в гидродинамических задачах, как правило, использовалось представление характеристического функционала поля скорости в виде функционального интеграла. Для исследования асимптотического поведения корреляционных функций использовался аппарат ренормали-зационной группы. В рамках ренормгруппового подхода проводились обоснование холмогоровского спектра турбулентности, вычисление коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии, а также поиск поправок к колмогоровскому спектру.

Для простейших систем со случайными параметрами, кроме того, начиная с работ М.В. Фейгельмана и A.M. Цвелика (1982) и Е.Гоцци (1983), для исследования поведения системы вблизи равновесного состояния использовалась суперсимметричная теория поля, возникающая при описании ланжевеновской системы в терминах функционального интеграла.

Связь между симметрией характеристического функционала статистической гидродинамики, а именно, галилеевой инвариантностью, и структурой расходимостей соответствующих диаграммных рядов, исследовалась в работах Л.Ц.Аджемяна, А.Н.Васильева, М.Пгатича, Ю.М.Письмака, Э.В.Теодоровича,> Н.Тору и других авторов. Э.В.Теодоровичем было показано, что галилеева инвариантность позволяет сократить число констант перенормировки с трех до одной и приводит к тождествам Уорда, связывающим массовый оператор с вершинной функцией.

Описание классических динамических систем в терминах функционального интеграла проводилось в работах Е.ГЪцци начиная с 1986г.; при этом рассматривались лишь гамильтоновы системы с конечным числом степеней свйбоды. Позднее метод функционального интеграла применялся к задачам классической механики также и другими авторами.

Новиона результатов диссертации состоит в следующем:

• Производящее уравнение для тождеств Уорда в теории поля, по-

рождаемой некоторым стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ), построено бео конкретных предположений о группе симметрии (задачи.

о Найдены ограничения на корреляторы и функции отклика гидродинамического поля скорости, в случае, если турбулентность остается инвариантной относительно группы симметрии системы уравнений Навье-Стокса. Доказана возможность сохранения этой? инвариантности.

в На основе разработанной процедуры вывода тождеств Уорда для теорий поля, порождаемых СДУ, получены соотношения для хсор-реляционных функций гидродинамических полей, следующие из инвариантности задачи относительно группы Ли масштабных преобразований системы уравнений Навье-Стокса

f —► е2"Ч, х —> е^х, V —» е'^и, р —» е-27р;

. покапано, что стационарный спектр масштабноинвариантной ■ турбулентности имеет вид

Е{к) ос /Г1

в Покапано, что спектры турбулентности, как в стационарном случае, так и при вырождении, могут быть объяснены с помощью гипотезы беавязкого стока энергии (и —> 0) в нуль-моду к и -0'. На этой основе в первом случае получен колмогоровский спектр А--5/3, а во втором, с учетом соображений масштабной инвариантности и подобия, — спектр вырождающейся турбулентности

ЕЦ, к) ~ Ггк~3

• Связь между существованием беспотокового стационарного состояния в ланжевеновской системе и супер симметрией соответствующего уравнения Фоккера-Планка исследуется для систем с мультипликативным шумом. Показано, что для уравнения Лан-жевена с мультипликативным шумом простейшего вида

возможно спонтанное нарушение супер симметрии, обусловленное мультипликативным характером шума. Для систем, имеющих более сложное мультипликативное взаимодействие с флуктуирующей средой, суперсимметрия может не нарушаться т.е. может существовать стационарное состояние.

в Описана алгебраическая классификация ланжевеновских систем на основе Ли-алгебраических потенциалов.

в Показано, что ¡зарождение каскада ь каскадной модели Гпедоера-Должанского-Обухова связано с нарушением супер симметрии.

• Функционально-интегральных! подход к оадачам классической механики распространен на гамильтоновы системы вида

с континуальным числом степеней свободы.

• С использованием связи между "духовыми" полями в функциональном представлении стохастической задачи и полями Якоби показано, что асимптотика функции Грина духовых полей играет роль, аналогичную показателю Ляпунова.

1.4 Практическая и научная ценность работы

Предложенные в диссертации методы исследования систем с флуктуирующими параметрами могут быть использованы для:

• исследования спектральных характеристик открытых систем с нетривиальной группой (Ли) симметрии;

• исследования статистических характеристик физических, биологических и других систем с флуктуирующими параметрами вдали от термодинамического равновесия;

• исследования устойчивости стационарного состояние открытых систем;

• исследования процессов перехода к хаосу в классических динамических системах

Представленные в диссертации спектры турбулентности Е(к) ос к

и

E(t,k)~r2k~3

реально наблюдались в атмосферной турбулентности и натурных экспериментах.

Предложенный метод алгебраической классификации ланжевено-вских систем легко алгоритмизируем и может быть полезен для решения вопрос о существовании равновесного стационарного состояния таких систем. Этот же метод может быть использован и при построении нестационарной теории возмущений. '

1.5 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на 5-й международной конференции по жидкому состоянию материи (Москва, октябрь 1989г.), международной конференции по самоорганизации в химических и биологических возбудимых средах (Пущино, май-июнь 1990г.), Международной конференции по Генерации крупномасштабных структур в сплошных средах (Пермь-Москва, июнь 1990г.), 3-й Европейской конференщш по турбулентности (Стокгольм, июль 1990г.), XV сессии Европейского геофизического общества (Висбаден, апрель 1991г.), на семинаре в Институте экспериментальной физики Словацкой АН (г.Кошице, ноябрь 1991г.), на семинаре ЛТФ ОИЯИ (г.Дубна, январь 1992г.), на международной школе "Турбулентность в распределенных системах" (Франция, Ле Зуш, январь 1992), а также на семинарах Института космических исследований АН СССР.

Всего по теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

1.6 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Список цитируемой литературы составляет 71 наименование. Общий объем диссертации - 73 страницы.

2 Краткое содержание диссертации

2.1 Введение

Во введении (главе первой) дается краткий обзор основных проблем, возникающих при применении заимствованных из квантовой теории поля методов к гидродинамическим задачам, и методов их решения. Здесь же изложена структура диссертации.

2.2 Квантово-полевой подход к описанию гидродинамической турбулентности

Во 2-й главе дается изложение основных принципов статистического описания гидродинамической турбулентности, основанного на представлении характеристического функционала в виде континуального интеграла.

В §2.1 приводится формулировка метода

пространственно-временого характеристического функционала (ХФ)

Я[Ч(*)1 = (ехр(гУ 6хт1{х)ф{х))), (1)

где скобки (...) означают усреднение по ансамблю реализаций случайной функции ф; содержащего полную информацию о статистических свойствах случайного процесса ■ф. Дается исторический обзор применения ХФ к различным статистическим задачам.

В §2.2 рассматривается формализм описания гидродинамической турбулентности, основанный на представлении ХФ для статистической. задачи вида

л*, ¥>(*)!-€(*) = О, (2)

где Р-пнтегро-дифференциальный оператор (для гидродинамики - Р1 представляет собой систему уравнений Навье-Стокса), а £(х)-гауссова 'случайная сила с коррелятором = В(х, х'), в виде теории

поля

2[г),ч,в,9} = I ехр(»! г}у + г\ф-\- §с+.вс + В\<р,ф,с,с))ВфВфВсВс

с действием

. . „ 6]Г г

8[<р,(р,с,с] = ч>Р+с—с+-<рВ<р (4).

содержащей, кроме физического поля у, вспомогательное поле ф и пару духовых полей с и с.

В §2.3 описаны принципы построения теории возмущений для вычисления корреляционных функций и функций Цжна гидродинамических полей.

2.3 Симметрии в стохастической гидродинамике

Третья глава посвящена роли непрерывных групп симметрии в стохастических задачах.

В §3.1 дается обзор применения группового анализа к задачам классической физики и, в частности, к гидродинамическим задачам.

В §3.2 понятие о симметрии дифференциального уравнения следующим образом обобщается на стохастические дифференциальные уравнения:

Группу преобразований (7

(«(*)) ° (и'(*о)

назовем группой симметрии стохастического дифференциального уравнения

*>,«(*),{(*)] = О,

где £(х)-заданный случайный процесс, если и только если она переводит каждое решение снова в решение с тем же статистическим. весом.

Или, эквивалентно, если преобразования из <7 оставляют инвариантным характеристический функционал.

Указывается, что ввиду наличия антикоммутирующих (нечетных) полей в ХФ (3) для стохастических дифференциальных уравнений могут возникать не только обычные, но и градуированные симметрии, смешивающие четные и нечетные (грассмановы) поля.

§3.3 посвящен исследованию симметрии системы УНС с гауссовой случайной силой в правой части

^ + + = £ (5)

(где ф ~ вектор скорости, фа - давление). ^ Показано, что полная группа симметрии системы УНС, состоящая ио следующих преобразований:

сдвигов по времени

t í 4- а, (6)

переносов в пространстве

х —♦ х -Ь 6, (7)

изменения давления на произвольную функцию времени

p(x,t)p(S,t) + (8)

вращений

х Úx ф —* íhj>, (9)

преобразований Птилея

x—tx—vt t/» —i+ (10)

масштабных преобразований

t-ie^t х-*еух ф-^е^ф ф° е'^ф0, (И)

может быть сохранена и в случае если только

{«(*!, ri)í(i2t Г*)) = S(tj - t,)|f, - Т,Г4

J

§3.4 содержит вывод производящего уравнения для тождеств Уорда в теориях поля типа (3). Под тождествами Уорда здесь понимаются соотношения в функциональных производных, которым удовлетворяет ХФ вследствие определенной симметрии.

Отличие от обычной процедуры вывода этих соотношений, характерной для КТП, состоит в том, что благодаря неоднозначности в законе преобразования вспомогательного поля ф, входящего в Мартии-Сиджиа-Роузовское действие для получения тождеств Уорда

достаточно варьировать лишь члены с источниками. Это (если ограничиться проективными преобразованиями, не меняющими функциональной меры) приводит к соотношениям

{% / М*М*) + = 0, (12)

где

% - £(х) • дх + + С{х,ч>,Ф)9ф, (13)

— инфинитезимальная образующая группы С, а ^ - вспомогательное поле, оакон преобразования которого может быть выбран так, что "действие" 5(9,$ остается инвариантным.

Тождества Уорда — соотношения в вариационных производных, которым удовлетворяет производящий функционал вследствие определенной симметрии, — получаются из представления (12) в виде функционального интеграла после замены у? и ф на соответствующие вариационные производные

А- - Л* ¿«5»?' 9 1Ц

с последующим дифференцированием получившегося выражения по источникам ц и т) нужное число раз.

Здесь же выписаны тождества Уорда для корреляционных функций и функций отклика, следующие из масштабной инвариантности (11):

„>, к) + ба^ы, к) - [Ц- + 2ОаР(и>, к) = 0, (14) 6цк) + ¿а1С,0(ьи, к) + [Щ + Ь>д« + £> -2] СаР{и, к) = 0 (15)

Последнее иэ этих соотношений приводит к выражениям для стационарного к'1 и нестационарного Е(к, I) ~ к[(к2() спектров масштабно-инвариантной турбулентности.

§3.5 посвящен гидродинамическим тождествам Уорда, отвечающим масштабной инвариантности (11) и содержащим моменты поля скорости выше второго порядка. Показан вариант построения ¡этих тождеств, идентичный обычно применяемому в КТП и паключающийся в выражении вариации действия через дивергекцих > нетсповского тока.

В §3.6 рассматривается связь непрерывных симметрии системы УНС с преобразованиями подобия

Г = сс1, 1' = ах~>4 (16)

где 1,1' и пространственные и временные масштабы, соответственно, при которых все величины, включая вязкость, скорость диссипации энергии и.т.д., преобразуются согласно своим размерностям.

Показано, что гипотеза беэвяэкого {и —> 0) стока энергии в моду к « 0 приводит к правильному выражению для колмогоровского спектра и спектра вырождающейся турбулентности Е(к,+.) ~ к~Н~2, что, с формальной точки зрения, не доказывает, однако, саму гипотезу.

В §3.7 замечено, что индекс расходимости диаграмм в гидродинамической теории поля есть собственное значение генератора группы масштабных преобразований (11) на данной диаграмме.

2.4 Градуированные симметрии в стохастических задачах

В четвертой главе анализируется широкий класс симметрий, связанных с преобразованием функциональной меры в характеристическом функционале. С формальной точки зрения эти преобразования (градуированные симметрии) смешивают динамические поля, зависимые переменные исходного уравнения с "духами" — вспомогательными анти-коммутирующими полями, присутствующими в функциональном представлении ХФ. Указано, что наличие суперсимметрии;— одной из градуированных симметрий — может служить критерием существования равновесного состояния.

В §4.1 используется представление пары уравнений Фоккера-Планка и обратного уравнения Колмогорова, соответствующей ланжевено-вской системе с аддитивным или мультипликативным шумом простейшего вида, в виде суперсимметричного уравнения Шредингера с мнимым временем. Покааано, что в случае мультипликативного шума возможно спонтанное нарушение суперспмметрии в данной системе, даже для тех видов потенциала, которые не давали такого нарушения при аддитивном шуме. Это нарушение супер симметрии связывается с разрушением мультипликативным шумом равновесного стационарного состояния. .

Здесь же показано, что процесс зарождения каскада в каскадной модели гидродинамического типа Гледоера-Должанского-Обухова также связан с нарушением суперсимметрии.

В §4.2 положен метод исследования алгебраических свойств УФП

&Р(у,<) = +о2дХу)ду:(у)РМ (17)

для ланжевеновской системы

д'ф + Тф + *{ф)т = = - *') (18>

Показано, что суперсимметрия, отвечающая существованию у системы (18) равновесного стационарного состояния, является лишь частным случаем факторизации дифференциального оператора

(19)

где Т>{(х) - дифференциальные операторы первого порядка, к которому приводится правая часть УФП (17) после замены

= Ф) = /

¿У

<гг(у)

»<10 - _2 2~г(у) ~ (.г/

В §4.3 функциональное представление стохастической задачи исследуется с топологической точки зрения. С использованием связи между "духовыми" полями в функциональном представлении стохастической задачи и полями Якобп показано, что асимптотика функции Г^ина духовых полей играет роль, аналогичную показателю Ляпунова.

В §4.4 исследуются свойства теории поля (3), возникающей при описании распределенных гамильтоновых систем „

F0 = ¿"(г,4) - шаЬ(х)дьН(ф{х^)) = 0 (20)

в терминах функционального интеграла.

- п-

Показано, что сохранению ¡завихренности в идеальной жидкости (описываемой, в переменных Кяебша, гамильтоновыми уравнениями) соответствует сохранение духового заряда в теории поля типа (3).

,, В §4.5 показано, что каждой непрерывной симметрии системы дифференциальных уравнений ^[у] = 0 соответствует нетривиальная симметрия действия в (3). Выписано производящее уравнение для соответствующих тождеств Уорда.

2.5 Заключение

В заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту:

1. Понятие о симметрии дифференциального уравнения используется для случая стохастических дифференциальных уравнений. Для уравнения Навье-Стокса с гауссовой случайной силой в правой части найдены виды корреляторов случайной силы такие, что рассматриваемая статистическая задача остается инвариантной относительно группы симметрии уравнения Навье-Стокса.

2. В предположении, что случайная сила не нарушает инвариантности системы УНС относительно масштабных преобразований

а?-»е7х ¡7-»«"1? р е~2ур,

показано, что стационарный спектр масшт&бноиявариантной турбулентности имеет вид

Е(Ь) ос к'1

3. В предположении безвязкого стока энергии (у —► 0) в нуль-моду к и 0, обосновывается колмогоровский спектр стационарной турбулентности. '

4. В предположении беовяэкого стока энергии (и —» 0) в нуль-моду к « 0 из соображений масштабной инвариантности и подобия получен спектр вырождающейся турбулентности

Е{^к)~Ггк

21.-3

5. Построено семейство тождеств Уорда, связанных с масштабной инвариантностью, которым удовлетворяет характеристический функционал статистической гидродинамики.

С. Замечено, что причиной расходимостей в диаграммных рядах статистической гидродинамики является нарушение масштабной инвариантности внешней случайной силой.

7. Анализируется связь между существованием беспотокового стационарного состояния стохастической системы и суперсимметрией соответствующего уравнения Фоккера-Планка. Показано, что для уравнения Ланжевена с мультипликативным шумом простейшего вида

+ ~ {(МММ) = 0

возможно спопталное нарушение суперсимметрии, обусловленное мультипликативным .характером шума.

Покапано, что процесс зарождения каскада в каскадной модели гидродинамического типа Ггседзера-Должанского-Обухова также связан с нарушением суперсимметрии.

8. Описана алгебраическая классификация ланжевеновских систем на основе Ли-алгебраических потенциалов.

9. Функционально-интегральный подход к задачам классической механики распространен на гамияьтоновы системы вида

ф\х,1)=и>аЬ(х)дьН(ф(х^)). с континуальным числом степеней свободы.

10. С использованием связи между "духовыми" полями в функциональном представлении стохастической задачи и полями Якоби показано, что асимптотика функции Г^ина духовых полей играет роль, аналогичную показателю Ляпунова.

Здесь же рассматриваются перспективы их дальнейшего использования.

Литература

[1] Altaisky M.V., Moiseev S.S. and Pavlik S.I. Scaling and super-symmetry in spectral problems of strong turbulence. Phys, Lett. A147(1990)142

[2] Altaisky M.V. and Moiseev S.S. On scale invariance and Ward identities in statistical hydrodynamics, J. Phys. I France 1(1991)1079

[3] Altaisky M.V. and Moiseev S.S. Supersymmetry in hydrodynamics: vorticity as a ghost charge. J. Phys. France 51(1990) 2501

[4] Altaisky M.V. and Moiseev S.S. Distributions with non-zero flux in strong turbulence theory and statistical mechanics, Материалы 5-й международной конференции по жидкому состоянию материи, Москва 16-21 октября 1989 г., с.21

[5] Altaisky M.V. and Moiseev S.S. Supersymmetry in hydrodynamics, Proceedings of International Symposium on Large-Scale Structures in Continuous Media, Perm-Moscow, 1990, p.21

[6] Altaisky M.V. and Moiseev S.S. On some helical turbulence and convection symmetry features, Annales Geophysicae Suppl. 9(1991)0559

[7] Altaisky M.V., Moiseev S.S., and Pavlik S.I. Scaling and supersymmetry in strong turbulence and turbulence modeling. Материалы 3-й Европейской конференции по турбулентности, Стокгольм, 1990