Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Жуковский Евгений Семенович

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ , диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2006

Рабом вып» шена на кафедре алгебры и I соме грин Тамбонско! о государе гвенноп» университета им. Г.Р.Державина

Па\ чныи кош удьганг: док юр фи шко-члтематических на\к,

профессор Булгаков Александр Иванович

()фини;1Л1.ные ошкжен 1 ы: локшр фи шко-млаечш ических наук.

профессор Долгий Юрий Филиппович

докюр фи'шко-матемашческих на\'к, профессор Павленко Вячеслав Николаевич

ДОМОр <1)11 ШКО-ЧЛ ГСМ. 1ГИЧеСКИ.\ ii.iv к. профессор Сумин Владимир Иосифович

Ведущая орыпи мцим: Пермскии государеIвенный универси нч

Чащи 1>1 соооигси "_"__2006 года в _ часов на ¡асе дании

дис< еришионшло совем Д()()4.(Н)б.01 по ¡ищите дис(ер|аций на (Онегине ученой (чепенн доктора фи «ико-математических иа\ к при Иисшхуте мак'машки и механики Уральского отделения Российской Академии на-\к по адрес\. (>2112И). 1.Екатеринбург, ГСТ1-.Ч84. ул. (.'.Ковалевской, 16.

С диссерыпией можно ожакомшься в библиотеке Инсшту та ма1ем.пики и механики Ур;*льского отделения РАН.

Авюрефер,! I р.ти'.ин "__"_____'2006 I.

Ученый секремрь дисс ерыниошкхо совеы.

докюр фи ¡ико-мак>ма 1 ических нал к. Н.К). Л\ коянов

о

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Уравнениям отклоняющимся (запаздывающим) аргументом давно привлекли внимание исследователей. Первые результаты датируются XVIII веком. (Кондорсе, 1771 г.). Систематическое изучение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом было начато в середине XX столетия в СССР А.Д. Мыш-кисом и в США Р. Беллманом. Уравнения с отклоняющимся аргументом и другие представители многочисленного семейства функционально-дифференциальных уравнений возникают в моделях, учитывающих конечность скоростей распространения сигналов,, инерцию конкретных объектов и т.д. Эти уравнения нашли многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении процесса сгорания топлива в ракетных двигателях, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах электродинамики, биологии, медицины, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается1. Актуальность приложений, сложность и новизна проблем, серия загадок и парадоксов привлекают к функционально-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. Их усилиями теория функционально-дифференциальных уравнений прошла путь от первых разрозненных результатов до самостоятельного, имеющего многочисленные приложения, давшего новые идеи и методы, обширного раздела современной математики. Большой вклад в развитие теории функционально-дифференциальных уравнений внесли Н.В. Азбелев, Б.И. Ананьев, Р.Р. Ахмеров, Е.А. Барбашин, JI.A. Бекларян, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, Ю.Ф. Долгий, М.И. Ка-

^одели реальных явлений и процессов, библиографию можно найти, например, в

1. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // В кн. Марри Дж.- Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М: Мир, 1983. С. 383-394.

2. Ким А.В;, Пименов В.Г. г—Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 256 е.-

3. Копелович А;П; Автоматическое регулирование в черной металлургии. Краткий справочник.-М.: Гос. научно-техн. изд-во по черной и цветной металлургии, 1963. 408 с.

4. Мееров М.В. О стабилизации систем, содержащих элементы с запаздыванием // Автом. и телемех. 1953. Т.14, № 5. С. 87-91

5. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

6. Титов Н.И., Успенский В.К. Моделирование систем с запаздыванием. Л.: Энергия, 1969. 97 с.

менский, Л.Ii. Ким. В.Б. Ко 1мановский. H.H. Красовский. A.B. Кря-лпм(м|н. Л.Fi. К\ржанский. П.II. Мам и\шв. A.A. Мар1ынюк, Г.И. Мар-4VK, А.Д. Ммшкис. С.Б. Норкин. В.Р. Носов, К).С. Осипов, В.Г. Пименов, В.П. Р\баннк, Б.Н. Садовский. А.Л. Ск\бачевский, Т.А Тад\-ма.не. ['..1 Харашшвпли. V.T. Ченцов, С.Н. Шиманов. Л.'-З. Зль-mi 11>и. D.D. Baiuov, С'.Н.Т. Bakei, Н. Bellman. R.T. Batiks. К. Cooke. С. Coi<lum\imi. М. Delfom. R.D. Driver. S.I. Стьышш. A. Halanav, X.CJ. Ka/akova. V*. Lakihmikaiitliain, R.K. Millei, мшиие друте авюры.

H.B. Л ¡беленым. A.B. Лночиным. Л.Ф. Рахмагуллиной была pa i-рабоьша нория линейных "абсграк шых" (по терминологии авторов) ф\ нкнионалыю-дифференциадьных Уратшений. сводящихся к операторным уравнениям и банаховом npocipitm inc. F.e основным ре ¡\ платом < ¡ало всестороннее и ¡умение общей линейной краевой задачи. Для применения ной leopnn к конкретным уравнениям необходим удачный выбор upoc ipanc i ва. в ко юром буде! рассматриваться соответствующее опера-юрное уравнение, после чего появляется во ¡можность "применять стан-lapiHbie схемы и LeopeMbt анади ¡а к ¡адачам, исследование которых тре-бош!ло раще нндиви,дальней о подхода и специальных построений".""' От-хнмим. чю общность рассма ¡риваемыч абстрактных уравнений не шн-воляе1 форму шровать конкрежые при !наки ра¡решимости линейных \ равнений, определить оператор Коши. получить предетавдение опера-юров Грина и Коши. строшь приближенные решения. Как показа но в шс( ер танин, перечисленные проблемы удается решить, если рас сматри-1шь абстрактные уравнения в функциональных прос Lpanciкак с опера юрами. обладающими определенным в pauoie свойсгвом обобщенной во нлерровости. Колее 1010, при 1аком нредположешш. открывается Boi-можпость нее ¡едования нелинейных абстрамиых уравнений, и ¡учение коюры\ в обшем случае "вечречает mhoi очисленные кируднения"."

Диссер ыиия посвящена nocipoennio leopmt линтштых и не пшейных абс1рак1ны\ функциона гьно-дпфференциальпьтх уравнений с обобщен-ио по плерровыми онера юрами (натываемых эволюционными уравнениями. \ равнениями с наследственностью, с последействием) и ее приложениям. Cnoiu i во во гьгерровосги операторов впервые, определил А.Н. Ти-

\онов'!. Во 1ыерровые операторы широко применяются при описании ди-

>

"Aiiic.ini II.И . Макси'кш В П., Pax тагул.шнаЛ.Ф '-)л«\к-нты < онречепной иории 11>V Ш.ПШНЫЛЫШ Д||фф<*рН|1Ш.1.1ЫТ1 1\ \ равнени.Ч. Ml" I оды и приложения М Инспичт

KD'Hibioifpiu 1ч и(С И'I'm,urvur, -ООЛ is 1 t.

1 \ 11 I II NUN Ol l о ф\ HKIUfOH,) 1М IT I \ V prlltia 11 it л \ гш .t Hi) 1ЬП pp.l » il\ IIpHMt Ш111|»\ u lifUoHipir i.i c.im.ri '.',UfV„iniMnK"fi ф» шы1 Rio i шпень Mckwwwuii мтверсв-

!• i.t. l'Hn I 1. Ui in ч С 1 _>->

намики явлений, процессов, поскольку они отражают зависимость настоящего состояния объекта от его развития, его "прошлого" и независимость от "будущего". Эти операторы подробно изучены благодаря исследованиям А.Н. Тихонова, Г1.Н. Красовского, С^Н. Шиманова, V. УоНегга, Ь. ТопеШ. Абстрактные трактовки свойства всшьтерровости операторов предложены в работах М.С. Бродского, А.И. Булгакова-, А.Л. Бухгейма, Ю.А. Дядченко, И.Ц. Гохберга, С.А; Гусаренко, П.П. Забрейко, Г.Э. Киселевского, М.С. Крейна, В.Г. Курбатова, М.С. Лившица, В.И. Сумина, С. Сог<Зипеапи,А-. РетШсИ, И. Баекз, М. других авторов.

Предлагаемая в диссертации теория эволюционных абстрактных функционально-дифференциальных уравнений применима к линейным и нелинейным уравнениям с отклоняющимся аргументом, интегро-диффе-ренциальным уравнениям, уравнениям нейтрального типа, другим классам функционально-дифференциальных уравнений относительно абсолютно непрерывных неизвестных функций, а также к сингулярным уравнениям, уравнениям с импульсными воздействиями, уравнениям на графах, гибридным системам и т.д.

Объектом исследования являются линейные и нелинейные эволюционные функционально-дифференциальные уравнения. Наряду с абстрактными уравнениями общего вида рассматриваются их конкретные реализации: интегро-дифференциальное уравнение и уравнение нейтрального типа в пространстве абсолютно непрерывных функций, уравнение нейтрального типа с несуммируемыми коэффициентами, уравнение нейтрального типа с сингулярным оператором внутренней суперпозиции, обыкновенное дифференциальное уравнение с разрывной правой частью, уравнение с авторегулируемым запаздыванием.

Цель диссертационной работы состоит в разработке общей теории эволюционных: функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, исследовании разрешимости, непрерывной зависимости решений от параметров; построении оценок решений, нахождении приближенных решений и применении полученных результатов к конкретным уравнениям, ранее не поддававшимся исследованию.

Научная новизна. В диссертации сформулированы положения общей теории эволюционных функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Эта теория позволила получить новые утверждения о разрешимости и свойствах решений конкретных функционально-дифференциальных уравнений. Наиболее значимыми являются следующие результаты:

- для операторов, действующих в банаховых пространствах опреде-

ленных на [(/,, />] (рушений, предложено определение вольтерровосги на ( овокупности подмножеств офе !ка [и, 6], обобщающее н шестое опреде-кнше А.Ы. Тихонова, и ¡\ мены свойства линейных вольтерровых опера-юров. по 1учены утверждения о вольтерровосш и спектре ин тегрального оператора и оператора внутренней суперно шции в конкрешых функциональных пространствах:

л 1я линейнот функционально-дифференциального уравнения в банаховом прос фашчве дано определение абстрак гных функций Грина и Коти, которое в случае обыкновенного дифференциального уравнения, 1ру1 их уравнений относительно абсолюшо непрерывных функций равносильно классическому онреде 1еншо, исследованы свойства абстрактных ф>нкщт Грина и Коши;

предложен метод приближенного нахождения абстрактной функции Коши и общего решения линейною >во иоционною функционально-дифференциального уравнения в банаховом пространстве, доказана сходимость;

,ия уравнения нейтрального типа при ра (личных условиях (с суммируемыми коэффициентами, с несуммируемьши коэффициентами, с сишулярным операаором внутренней суперпозиции) сформулированы новые признаки рафешимости. исследована (функция Коши и предложены алгоритмы ее приближенною нахождения:

исследована разрешимоеIь в банаховом пространстве нелинейного уравнения с вольгерровым на совокупности подмножеств отрезка [а, 6] оператором, подучены утверждения о существовании локальных решений. о продолжении решений, о единственности решения, доказаны теоремы о компактности множества решений и о непрерывной зависимости решений 1)1 парамефов. найдены оценки области определения предельно продолженных решений; следствием -л их ретультагов являются известные и новые утверждения об уравнениях с во 1ьгерровыми по Л.Н. Тихонову операторами: ко всех дока ¡анных утверждениях 1 данными требованиями являю гея предложенные в рабою условие . юкальной сжимаемости п ш условие улучшаемое ш операторов;

предложено новое понятие волыеррового конуса, определяющею по IV\ порндоченность в банаховом функциональном пространстве, исследованы свойства таких конусов, докатаны утверждения о локальной рафешимосш уравнения с .монотонным вольтерровым на совокупности но (множегп! офетка [а, (>] оператором, о продолжаемости решений, их оценке, о с\щ< ствованшт нижнею и верхнею решений:

исследована разрешимость тадачи Копти л ш нелинейного чволюпи-

онного функционально-дифференциального уравнения, получены утверждения о существовании локальных решений, о продолжении решений, о единственности решения, о непрерывной зависимости решений от начальных условий, найдены оценки области определения предельно продолженных решений, доказаны теоремы о дифференциальных неравенствах, все полученные утверждения применены к дифференциальному уравнению с авторегулируемым запаздыванием, к обыкновенному дифференциальному уравнению с разрывной правой частью;

- предложен общий метод приближенного решения эволюционного функционально-дифференциального уравнения, частными случаями которого являются известные методы решения дифференциальных уравнений (методы Тонелли, Эйлера, Рунге-Кутта) и новые методы, найдены условия;сходимости, получена модификация численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющая за счет автоматического выбора шага находить решения, имеющие вертикальные асимптоты, (без обычно применяемой предварительной оценки максимального промежутка существования решения). Все вошедшие в диссертацию результаты являются новыми.

Методы исследования. Используется методика сведения задачи Коши и краевых задач общего вида к операторному уравнению в банаховом пространстве. Систематически применяются предложеннные автором методы анализа вольтерровых операторов. Основным инструментом < исследования являются методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории функционально-дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертации понятия,.полученные результаты открывают новые возможности при исследовании устойчивости решений, задач управления для линейных и нелинейных эволюционных функционально-дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. При решении самых разных вопросов теории функционально-дифференциальных уравнений найдут широкое применение абстрактные, функция; Грина и функция Коши, утверждения о разрешимости, о непрерывной зависимости решений от параметров, теоремы, о неравенствах. Полученные результаты исследования обобщенно вольтерровых операторов могут быть использованы в функциональном анализе, теории интегральных уравнений, теории численных методов, в математической физике и т.д. Предложенные в работе приближенные методы нахождения функции Коши позволяют решать задачу построения общего решения линейного уравнения. Такая

upon u"ia вошикает upti расчетах ipaouuipnii дпнжении небесных тел1, в îeoprnt vпр.тлении", в ич>рии \( юйчивсх in1'. Ра фабо тонные в диссер-1.ШИИ методы численною решения не пшенных уравнении ыкже можно испо п. ioBaib в прикладных (адача.ч. Практический UHiepec предетавля-ег исследование рассмотренных в диссертации конкреi пых уравнений, вошикших в приложениях, например. уравнения с лиюре! \лир\емым îan.i ¡дыванием, описывающего в ¡аимодейс! вие быстро движущихся ма-|ериальных точек или "¡арядов7.

Р< чудь силы диссертации включены в спецкурсы, читаемые студентам Тамбовскою 1 осударственного университета им. Г. Р. Державина.

Апробация работы. Ре!ульгаты диссертации докладывались и об-(Ч'жд.тлись па II BcecoiomoM совещании по гравитации и обьединеншо <|эv ндамепт.1 сьных полей (Киев. 1982). на VII Школе по теории опера юров в ф\ нкциональных пространствах (Рига. 1983), VI Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Ирку ick. 1986). на. I Оеверо-Кавкалской региональной конференции "Ф> нкпионально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 1986). на Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь. 1988), на XVI Всесоюшой школе но теории операторов в функциональных иро-cipanciua4 (Нижний Новгород. 1991), на I Научной конференции ТГТУ (Тамбов. 1994). на. IV Всероссийской конференции "Повышение эффек-1ивнос1и среде i в обработки информации на ба ie математического и машинном) мо |елирования" (Тамбов. 1995). на ежеюдных научных конференциях 'ГГУ "Державинские чтения" (Тамбов, 1996-2006). на Воронежских весенних магматических шкодах "Современные методы в îeopmi краевых i;u.i>t. Понтрягинские Ч1ения VIII-XVI" (Воронеж. 1997-2005). па Воронежских шмннх математических ihko tax "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж. 1999-2001). на Всерос-

1 b.ixii.uroR H С 'Ira юнные четоды 4.1. VI.: Наука, 1Г)Г1 h ij с .

'Крш diu кик Н.Н Георим управления движением. \1 Наука, I ЧТ2. 17f) с \ ib( im Fl R .Симонов П M V< roii'iimot 1Ь решений \равнений t обыкновенными .||»1И шо tin.r ni Пермь* и ч-во Перм ft- га, 'j0u1. 2 ш t

'llHi.ipeiiun Ц.1. X'p.iuHemiH ( игклшшмшимся аргументом, ш> ¡пикающие в rtpo-о it ie hoi it\ синеющих (лекфи'пч кн (аряженныч тел при \чеге jana i 1ывания «и i и t.iii'io lent гния ' Дифферент!. уравнения < огк юняв>щич(я aprvMeHio** Киев И.пыжа |\чка 111ТТ. С. Jl"i-••.'(>').

Dmti Ii L) \ fninlional-iliffiTtnti.tl swem of rientt.il t>pe atiMtig m a two both nt»Mt m of t la^-at al eWc trodvnamii s Internat", ^vmpos Nonlinear Ditfetential Lunatums .m«1 Xtinlitn a* \lt t battu s, l<)hl V( ail Press, New \ork. l'Kil H 171 1S4

сийской конференции "Общие■ проблемы управления и-их приложения к математической экономике" (Тамбов; 2000), на Всероссийской конференции" Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" (Рязань, 2001), на Международной конференции "Общие проблемы управления и;их приложения. Проблемы преподавания математики", посвященнойДОО-летию А.Н. Колмогорова (Тамбов, 2003), на Международном семинаре "Теория управления и-теория: обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби", посвященном 60-летию А.И. Субботина (Екатеринбург, 2005), на I, II Всероссийских:конференциях "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, февраль, июль 2006), на Международной: конференции "Тихоновуи современная математика", посвященной 100-летию А.Н; Тихонова,(Москва, июнь 2006), на семинаре профессора В .Г. Писаренко (Киев, 1983), на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора Н.В. Азбелева (Пермь, 1983-1986, 2004), на,Ижевском семинаре по дифференциальным, уравнениям и теории управления под руководством профессора E.JI. Тонкова (Ижевск,-2003)^ на Тамбовском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям и включениям под руководством профессора А.И. Булгакова (Тамбов, 1999-2006), на совместном семинаре отдела управляемых систем, возглавляемого член-корреспондентом РАН А.Г. Ченцовым,-,и; отдела динамических систем, возглавляемого член-корреспондентом.РАН В.Н. Ушаковым, в Институте математики и механики Уральского отделения РАН (Екатеринбург, 2004), на семинаре кафедры общих проблем управления Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова под руководством,профессора В.М. Тихомирова (Москва, 2004, 2005), на семинаре по математической теории оптимального управления в Нижегородском государственном университете под руководством профессоров В.И. Сумина, М.И. Сумина (Нижний Новгород, 2005), на семинаре кафедры-вычислительной математики Уральского государственного университета под руководством профессора В.Г. Пиме-нова (Екатеринбург, 2005), на семинаре кафедры вычислительной математики Челябинского государственного университета под руководством профессора В.Н; Павленко (Челябинск, 2006), на семинаре в Universidade Eduardo Móndlane под руководством профессоров М. Alves, A. Shindiapin (Мапуто, Мозамбик, 2006), на семинаре в Norwegian University of Life Sciences под руководством профессора A. Ponossov (Aac, Норвегия, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[46]. Предложенные понятия, утверждения, методы исследова-

ния вошли и ш'К'гы но I раны>; Российского фонда фундаментальных исследовании (проекты .V» 01-01-00140, .V» 04-01-00324). Министерства Обра (ования РФ (проект ,\Ь Е02-1.0-212), Норвежского Комитета по ралви-1Шо универеи тетской науки и образования Хт* (проем Р1Ш 06/02).

Все включенные в диссертацию речудыа г 1.1 получены автором.

Структура и об-ьем работы. Диссертация сосгош и < введения. дв\х частей. ра ¡битых на главы, которые в свою очередь делятся на параграфы, списка литературы, включающего 253 наименования, предметного ука!а1еля и обо шачений. Общий объем работы 301 страница.

Содержание и основные результаты

Часть I посвящена теории абстрактных линейных эволюционных функционально-дифференциальных уравнений. В 1 1аве 1 ш иг.иоюя основы общей теории.

Пусть е С [а, Ь] С /?, и пусть О (с, Я'"). В (е, II'") банаховы гтро-с гранства вектор-функций у : е —> Я"1. Если в предлагаемых далее утверждениях ясны и ней менны область определения или множество шачеиий функций, то будем опускать соответствующие симво-1Ы в обозначении пространств. Будем предполагать, что пространство

0 = £> ([а, Ь], Я'") июморфно н томе 1 рично прямому произведению пространств В = В {[а. />]./?"') и Я". Пусть, кроме ки п. в пространстве й выпо гнено следующее условие: дли любой последовательности {//г} С О Н1 ||,!/г||/з 0. при / —у ос , следует |(уг(£)| —> 0, дш всех t ё [а, /)]. Рассматривал» и-я краевая чадача

Сх — / . I х = а, (1)

ые С ". I) —> II. I : О -> Н" - линейные о1раниченные операторы.

В параграфе 1 нредлалается следующее определение абстрактного ан.игога (функции Грина,. Если при каждой паре (/, а) € В х П" та-1а,ча (1) имеет единственное решение, то зто решение представимо8 равенством г = О/ Ь Л'о. 3 кч'ь Л' : IIй —+ и фундаментальная си-с н'ма решений уравнения С.г = 0; линейный ограниченный оператор (! : Л -г /Л панящий в соотвектвие каждой правой чао и / решение ыдачи (1) при с» = 0. на(ываюг операторам Грина. При каждом фиксированном t £ [«. й] вследствие с)1 раниченности оператора Грина С! : В -• О тнейный век [ор-фуикциоиал / опреде-н'нный на 1!, непрерывен. Запишем леи вектор-функционал в виде

* \ (Г>н № и Н (3, Р,|\-1.пл гшнл 'I Ф \6< трлкгные функцион.игыт-дифферешщ-|~1ьньи- \рлнш'ним Фмткциопально-лифференцнлльиы** урлвнекил Пер\'ь 11ц во

1 Ь р'зс кс)1 о но ш И'\н. ии ы, 1087 С' [Д

(Gf)(t) = (g(t), f), где компоненты m-.мерного вектора g(t) являются элементами сопряженного пространства В* . Построенное таким образом отображение д : [а, Ь] —> В*т названо в диссертации функцией Грина задачи (1). Определенная здесь функция-Грина в частном случае, когда В - пространство суммируемых функций, a D - пространство абсолютно: непрерывных функций, отождествляется с "классической", так как в этом случае функционал (£?■)(£), имеет интегральное представление ь •

(Gf)(t) = J0(t, s) f(s) ds. Абстрактная функция Грина сохраняет мно-

а .

гие свойства "обычной" функцииТрина и является удобным инструментом при исследовании периодической," апериодической и других краевых задач, при построении оценок промежутков неосцилляции решений, при рассмотрении проблем управления.

Теорема 1.1.1. Функции Грина g и д\ двух однозначно разрешимых краевглх задач для уравнения Lx = f с вектор-функционалами I и h связаны соотношением g(t) = gi(t) — X(t) (1Х)~12), где X - фундаментальная матрица решений уравненияСх = 0, вектор-функционал 2) : В —Rn определяется равенством 2)/ — lgi(-)f.

Пусть изоморфизм £> =В х R" задан операторами :D—>BxRn,

(Л,У) = (г) : х -D- Тогда1,краевую задачу (1) можно

записать8 в виде

Сх ■= Q5x + Arx = /, lx — Ф5х + Фтх = а, (2)

где операторы О = £Л : ЯВ, А-СУ : Rn В, Ф —1А: В R", Ф — IY : Rn Rn. Согласно8 "главная" краевая задача

Сх = QSx + Arx = f, rx — a, (3)

однозначно: разрешима тогда и только тогда, когда оператор Q имеет ограниченный обратный, решение задачи (3) имеет представление ж, = ЛQ~lf + (Y - ЛQrlA)a. Пусть функционал: Л(t) : В -к Rm определен равенством (A(i),/) = (Лf)(t). Тогда функция Грина с(-) задачи (3) находится по формуле c(t) = \(t)Q~l. Теперь на основании теоремы 1.1 ;1 получаем представление' функции Грина задачи (2) g(t) = X(t)Q~l - X{t)(1Х)~1 IKQ~V.

Теорема 1.1.3. При каждом t & [а, Ь] пара (g(t), X(t)) является ре-

j Q*g(t)+X(t)<f> = \(t), шепием системы J

{

g(t)A+ X{t)9 = Y(t)-

И юрой нарахраф посвящен и ¡учению тлавной краевой ¡адлчи (3). краевое условие которой опреде шется и ¡оморфи шом пространств Л. F1 х Н". В теориях обыкновенно! о дифференциального уравнения, уравнения с сосредо юченным и распределенным ¡ana ¡дывание.м api умен-м. друтч уравнений с последействием обычно исчшль ¡ve гея п ¡омор-

фн ¡м .!•>-• проем ранггва .-1С'([а' '']• ) абсолютно непрерыв-

ных функции и прямою rtpoirmeденин пространства £([«, 6]./?"') суммируемых функции на конечномерное пространство IV". В этом случае i.миной является ¡адача Коши. Мы предлагаем аналог ичный подход к 1лавной ¡адаче для абстрактного уравнения, исполь ¡ующий следующее определение. Пусть каждому 6 [0. Ь — н] поставлено в соответствие некоторое и ¡меримое множество е^ С [u, í>] с мерой9 met, ( е-. ) -- гаки vi обралом, что

V",.// 6 [0,Ь -а] < п => е-, С е„. (4)

Обошачим г — { i - }. Пусть 91, 5Ut - некоюрые множества функций / : [c/,/íj —v R,n. Онераюр F : ~> ЗЛ называем волыпгрривым на i mme.w г, ее ш д 1я каждого t-, € г и любых у, z S и» y(f-) = z(->) ты сследуст (F ,1/)(л) = (F на <- . Краевую чадачу (.'i) считаем

начальной .шдичгн (шОачгй Коши) в го.м случае, когда оператор С : D —> В является волыерровым па г, вектор-функционал г : D —> R". на ¡ываемый в работе функцштилолг Ktnti.ii. удовлетворяет условию

V; > I) Vi/, z е D { у{1) = z(t). fee. => ry - rz }.

Решение однозначно разрешимой ¡адачи Коши иредставимо в виде х — Хч + C'f, 1де линейный oí раниченный оператор С = AQ 1 : В —D онераюр Грина начальной ¡адачи называемся в paóoie ош ¡¡атором Коти. Для М1Ю1ИЧ классов функционально-дифференциальных уравнений оператор Коши un intiei ральный оператор Волыерра (Г"/)(£) = t

¡ C(t.*) /(.ч) с/ч, ядро которого C(t, s) налыванн функцией Коши. Для

ti

построения .¡на [oía iai<oio преде мвления решения ¡адачи Коши (.'i) общею фучпшионалыю-дпфференииальнсно уравнения ¡аиишем онераюр Коши в виде (C/)(t) — (с (t). /). |де компонент /н-мерном» вектора, f{t) - 1 являются ) 1ем(чиамп сопряженного и рос транс i ва В".

Построенное ¡акнм обра ¡ом отображение с : [и. Ь] - у В"'". яв щюшее-<н функцией Грина ¡,i ычи Коши. на ¡вано в диссерт.нш функцией Коши

'*¡ и ( ь .г м к г ( ip 'luí 1(1'' lm («no uul'k'ii.l 41'p.l It Гнч .1.

Теорема 1.2.1. При каждом t € [а, £>]' функция Коши является решением уравнения•

Q*c(t) = A(i),

фундаментальная матрица решений однородного уравнения определяется равенством

X(t) = Y(t) - c(t)A.

Пусть сопряженное пространство В* является пространством функций у : [а, Ь]~> Rm. Для любого 7 € [0, 1] определим подпространства В-у С В, В* С В*, В^ С В* равенствами

В1 = {у € B\y(s) = 0 при всех s е е7}, Щ — (f 6 -S* ls(s) — 0 при всех s € [а, Ь] \е7}, = {9 е в* \ 9У = 0 при всех у е Ву}.

Обозначим значение функции c(t) : [а, Ь] —> Дтхт при s € [а, Ь] через c(t, s).

Теорема 1.2.2. Пусть при каждом 7 € [0, 1] имеет место включение В^г С В*. Тогда для вольтеррового на v оператора Коши. С : В —> D при любом е7 6 «• и всех е7, s £ [а, Ь] \ е "7 выполнено c(t, s) = 0.

Дальнейшее изучение линейного эволюционного функционально-дифференциального уравнения основывается на исследовании свойств воль-терровых операторов, предпринятом в третьем параграфе. Оказывается, что если в пространстве В выполнено V -условие: Ve7 £ v V {t/j} с В

.....rtO-O-.y«^.

то вольтерровые на совокупности v операторы сохраняют все основные свойства своего "родоначальника" — интегрального оператора Вольтерра. Обозначим В ( е7) - пространство сужений функций из В на множество е7. Норму в пространстве В ( е7 ) зададим формулой \\y-t\\в(е^) = inf || у || в , где нижняя.грань берется по всевозможным продолжениям у* € В функции у7 ' € 5 ( е7). Если. выполнено V-условие, то, при таком определении нормы, пространство ß(e7) является банаховым. Определим операторы П^ : В -> ¿?(е7), (П^у)(*) = y(i), £ € е7;

: [0, 6 — о] х 2? —» Ii, zBb,y)■■= l|nfy||B(e,), 7 S (0, ö - о], ZB (о,у) = lim^Zß (7 ,у). Пусть оператор Р® : В(еу) В некоторым образом продолжает каждую функцию уу навесь [а, Ь]. Линейный оператор К : В —> В назовем улучшающим на системе v, если

обра юм единичной сферы Г С В является множество элементов с равное геиенно непрерывными нормами, г. е. V_>0 3 7 > О Vj- £ Г V-i.-j € [О, Ь -а]

h . - - v| < г => | Z„ K.r) - Z„ (- ь Kx)\ < с,

и. кроме гою. Zf¡ (0. Кх) = 0 при всех х € V.

Теорема 1.3.1. Пусть в банаювом пространстве В выполнено усло-<¡111 I": линейный оператор К : В —> В являепн.я улучшающим, воль-терровым на < ш iiif.Hr с. Тогда спектральный радиус .¡того оператора [> ( Л. ) = 0, а обратный оператор (J — ji К)~ 1 при любом р будет воль-шерровым ¡ш v.

Теорема 1.3. t обобшаеi и шестный pe ¡y. n.rai10 не iолько тем, что мест, рассмафиваетсн абстрактное пространство, но и благодари условию улучшаемостн оператора /V, являющемуся, как покатано в работе, более слабым по сравнению с " ¡ радиционным " требованием компактно-( in. Следующая теорема та1сже oóoómae г утверждение11, и useei пое для пространства суммируемых функций.

Теорема I 3.6. Пусть в банаховом прострат тве В выполнено условие Г; линейный оператор К : В —> В является улучшающим воль-терровы.и па системе с, линейный оператор Я : В В ограничен и но 1ьтерров на системе v. Тогда, если один u-i операторов I — К — S. í S обратили и обратный к нему оператор вольтперров на и. то обратим и другой и обратный к нему также волыперров.

В последнем параграфе первой главы формулируется следующее определение, но шоляющее перенести на бо тее широкий класс ряд свойств водыерровых на системе с операторов. Пусть дана конечная система гц и i меримых множеств

0 = С е- С ... С = [«. й]: шеч(с- ^) = л ,, i — l.k\

Отображение F : X —> Y на тываем ква.шм>льтерровым на системе 17,, если для ка.кдо! о / -— 1. /,• и любых у, z & X и i </(>) = с(.ч) на е. следит (F y)(s) — (F с)(л) на с- . В рабене получены формулы. по шо-ипощие вычис,1Я1ь спектральный радиус ква шводыерровото на системе с; линейною оператора К : В —г В.

'"'i.itjpciÍKO II II., kimif.ren \.И. и [|>. I hi i i'i р.ик.пг.и- v р,шнсиш|. CMH. М El.ivKa, 141,s I IK < (( -i < .Г, П

'' \>Гк .iimi ii it.. \l,ikc hmub li.ii , 1'ач ij.iv i ним .. 1.Ф, ButjmJit* и u'upmo фч ккцио-ii.iii.iii> шфф*-р1"нци,и1Ы!ЫЧ \p.iiuicHini M' tlavKj, L'l'H '-'SU i. (( v < ^b)

Во второй главе предложен метод приближенного нахождения функции Коши (и, следовательно, общего решения) абстрактного уравнения. Функция Коши строится таким образом, чтобы значения приближенного оператора Коши совпадали с точными на заданной системе функций - узлов интерполяции. Получены условия, которым должны удовлетворять узлы интерполяции и оператор Q : В —> В, чтобы можно было гарантировать близость приближенного оператора к "точному" оператору Коши абстрактного функционально-дифференциального уравнения.

В третьей главе формулируются условия обобщенной вольтерровости и исследуются спектральные свойства интегрального оператора и оператора внутренней суперпозиции в пространствах Lp — Lp ([a, b], R) суммируемых с р-ой ( 1 < р < оо) степенью функций.

В первых двух параграфах главы рассмотрен интегральный оператор

ь

(Ky)(t) = f ic(t,s)y(s)ds,- i€[a,b]. (5)

a

При каждом t E [a, b] найдем ç(£)= inf{7| t G e7} и определим множество ê(t) = f~| e7..

7>ï(i)

Теорема 3.1.2. Для того, чтобы оператор К : Lp —> Lp, заданный равенством (5), являлся вольтерровым на системе v, необходимо и достаточно выполнения равенства IC(t,s) — 0 при почти всех (t,s) € £ [а,Ь] х ([a, b]\e(t)).

В предположении регулярности оператора К : Lp —> Lp вычислим п-ую (п = 1,2,...) степень оператора \К\ :

(М^Х*) = (|ii|2/)(i) = JICl(t,s)y(s)ds, где = |/С(М)|;

а

(j)K\ny)(t)=JXn(t,s)y(s)ds, где )C"(t,s)=fJCl(t,OJCn-1(Ç,s)dl;.

a a-

При каждом t £ [a, b] зададим множества ui" = { s € [a, 6] | fCn(t, s) ф 0 },

oo

Ш(= U w,"' Пусть Mn(t,s) =/C1(t,s)+/C2(i,s) + --- + X:n(i,s).

71=1

Теорема 3.1.3. Для того, чтобы существовала такая система множеств v, удовлетворяющая условию (4), на которой регулярный интегральный оператор (5) являлся бы вольтерровым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1). Mn(t, s)Mn(s, t) — 0 при любом п и почти всех (t, s) € [a, 6] х [a, £>];

2). mes { 11 mes (ut) ^ 7 } >7, при всех 76 [0, b — a].

Trope-ta З.'Л 1 ./(ля muso, чтопы nrj.it/ m unit и,шла intuit гра.1ьныа оператор |ЛГ| : L¡, -■> I.,,. I vi p < "ч, я^дядсл члччшанкца-и. неибгодимо, и при ¡/— 1 и достаточно, чтобы для .ш/бо/t/ z > 0 ( ущ> t п/вива ю такое по ю m ителыше т. чпю tLui лн/Г/ьч u.iAtepiiAiM,.i .uno m et mu E. i С [«. ?>] и i неравеш пит rueir < г следовало ) (J | fC(t, s) J t/s ) tit ^ с îrie-i E .

r

Приведенное и .ipyi lie ikii\ ченные в работе угверж кдгия по ¡во мни chaiaib. что при "естественных" ограничениях интегральный онерашр яв шек'я улучшающим. В -т>м tviv4ae и ) волыерровосч и оператора сле-i\ei равенс i во нулю ею спекгральшн о радиуса. Ока ¡ывается, что для iiiiiei радьною но южигелыюто оператора. |А"| вольтерровость на какон-Hitó\,n. системе г является и необходимым условием тою. что ею спек-i]>a.чьный ра шус t>{\K\) — 0.

'Георема 3.'2. t. Если интегральный оператор К : £,, -> L¡,. опре-t)e un мы ¡i jiatirnt твом (Г/), являепп я регулярным, а если спектральный, piithn/r поло /нчипельного оператора | Л' | : Ly —> Lp равен нулю, то суще-I m tiife m mat ал t не тема unt/./ieet me г, удовлетворяющая условию (4), что оператор К волыперров па cut теме г.

li фегьем и чешерюм iiapai рафах главы 3 рассмотрен оператор

i4„)if) - I A(f) ''WW • ('am е t"- ''f • m)

I •">.'/дt) - ^ () если h{f) ^ А| _ w

на зынлемыи1-' оператором г.пу i pemieii суиериозищш. ' >дееь функции I. h : [<í. h] - • H н ¡меримы.

live п. E — {/ S [a, b] I MO la. />]}, О = {/ € [«. b] | .1(0 = 0}. Эти множтпва и ¡меримы. Преднола1ае1Ся выпо гнение условий:

.lek. Mip ---< -4-•

mes/?

int". h' I)

обеспечивающих1 'непрерывное действие операюра S в ирогтраш те Lfl.

[еореча 3.3.1. ()перагш/р S : L¡t —> . определял иый pti.eeut шьи.м (1>). 1>олыш щюн ни гш теме г тогда и толпы/ тогда, ьпгдп при почта t.ii /icilo v< t Ç [a. ft] \ ((-) U E) выпо теш/ h(t) 6 P(t).

u~('itoiH ii!.i nui pal opa HHVipeHHert t v iii'puo шиин начались u p.ifiowix ."I M. Rppe-miiii.oii). H) \ l>i ikci wpoii.i. M Ь , Ipaxirtiia, Н.Г К \ pGd. i она. Г H III 1к>ча. 1 К II i ь пи i>< i oil, \ H I Парком Koi и \.B '11» ihkobci, t P.ist.Uc, fc. ЧКф.тт

1 1 I.iiii))ii|> ill, Шварц bi. liiiH'ttin n ouep.uopu. [. 1. ООшая корил. \i . VI 1, l'lhj.

U)

( h(f). если h{t) € [«. ft] \ в.

Обошачим tf(0 = < t-r b-a, если /i(i) £ (-).

^ i . если t £ [u, ft] . H"(t) = H{H" 40). K(t) = inf { H(t).fl~[t). //*(t). - - - }.

#(i) = -.up { #(£)• H-'U)- ^''(Oi ' ' ' } • Все )ги функции и ¡меримы.

Теорема .'i..'i„'i. Пусть при любых Щ.Щ £ [«• '>] чыполш но

mes ({t е [«. ft] I Hit) = m} n {t g [«. ft] | Ti(t) = П2}) = и.

Тогда ( (ццгствцет такая совокупность .ино wri та г. цдонлстворяю-щая условию (i). что ладанный равенством (6) оператор S : L р —.* L р является волыперровым на система v.

Существенность сформулированных здесь условий но плерровости оператора внутренней суперпозиции продемонстрирована в диссертации на примере оператора (Sy)(t) = y(h{t)), где h(t) — {f f t £ РЬ M'

(здесь о G R, символом {•} обозначена дробная часть дейс1 ни 1ельного числа). Доказано, что если число g рациональное. i о функция h удовлетворяет условиям теоремы 3.3.3 и оператор S : £([0, L], R) -> ¿([О, 1], R) является вольтерровьш на некоторой системе множеств, если же число и иррационгьльно. то функция h не удовлетворяет условиям т>ремы 3.3.3, а оператор S не является вольтерровьш ни на какой ежмеме множеств.

В и »учении спектральных свойств вольтерровою но À.H. Тихонову оператора внутренней суперпозиции важную роль играю t "особые точки"1i.e. такие точки t G [ft, ft], что для любой функции h : [et, ft] Я, эквивалентной h(• ), существует последовательность t, G [с;, ft], t, —> t. h{tt) —> t. Однако, такие особые точки не определяют спектральные свойства вольтеррового на системе v оператора S. Во (ьмем cï > 0 и обозначим

= {Ч(0 | t G [fi. b\ \ ((-) U E) , h(t) G Ps(() \<\<f)-

Точку " G [0, h — a] на тана в диссертации особой для но плеррового на системе v оператора 6'. если для любых положи тельных чисел S, г имеет место rues ((-, -1- -') П > 0. Ocoovio сочку на (ываем

особой точкой первою рода, ее. га существует ta кое а > 0, что

Г rues ((Я. „,т \ Г. ) П h fa \ р., )) - 0. \ mes ((е., \ è^-cr) П \ - 0 ■

11 \ i6e сев Н.В., F>epeMHCKim . I \1 , Раччагуллина Л.Ф О ншейнич функциона-дьни-лифференцнадьнич \ равнении нюлюцшшного 1И11.1 Дифференц >р,шнинин 1477 I'. I 1. .М 11. С Г')Г>-]<».>г,

Педюч 1 II . Шаркош KHii A.H Введение в П'орию функциои.1 1ын t\ % равнений. Km в' Наччта ,iv чьа. 1471. 1J0 i

L7

В противном случае 7 называем особой точкой второго рода. Пусть Vlj - множество, состоящее только из S -окрестностей особых точек второго рода, Щ = {t e [a,.b]q <;(i) 6 Of }.

Теоре.ма'3.4.2: При отсутствии особых точек второго рода определяемый равенством (6) волътерровыйма системе :v оператор S: Lp —> Lp будет нильпотентным: Если-же особые точки второго рода есть, то для спектрального радиуса этого оператора справедлива- оценка

p(S) ^ inf• (yrai sup i4(i) ■ ( sup---*--^ ).

5>o V, 1 '\ЕС&ь). mesE J )

В четвертой: главе рассматривается функционально-дифференциальное уравнение вида

i-A(t)x(h(t))- B(t) x(g(t)) = /(«), t S [а, Ь], .

x($) = <p(S), ¿(0 = Ш), если Ц [а, 6],

называемое в литературе уравнением нейтрального типа. Это, имеющее многочисленные приложения уравнение, вследствие неразрешенности относительно производной решения ж(£); и наличию суперпозиции x(h(t)), обладает специфическими, особенностями и вызывает ряд затруднений при исследовании. Пусть fo£'[a, Ь].. Обозначим

{: B(t), если io $ s < g(t) < b, —B(t), если о ^ g(t) < s ^ to,

О,: при остальных (t, s) е [а, Ь]2;

пол - / Б00> если 9(t) € [а, 6], \ 0, ; если g(t) i [а, 6];

fgn\- i-'B(*)v{g(t)), если g(t)<£[a,b], J W \ 0, если g(t) G [а,Ь];

если h(t) £ [a,b],.

\ 0, если h(t) e [a, 6];.

f(t) = f(t)+f°(t) + fh{t). Эти обозначения позволяют представить уравнения (7) в виде

(I - S - К)х + Bx(tQ) = I,

и применить к его изучению результаты иссде,цшания свойств интегрального оператора К и оператора внутренней суперно шции .V.

В первом паратрафе четвертой главы рассмотрена ситуация, когда коэффициенты уравнения нейтрального типа удовлетворяю! "классическим" условиям, гарантирующим непрерывное, 1,ейс1 вне оператров К, .5 в пространстве суммируемых функций и (вставляющим счиыл ь решение абсолютно непрерывной (функцией. Предполагается, что операторы К. Я являются вольтерровыми на совокупности множеств е., — [//(">). «/(-.)]. где функции '/(•). и(-) монотонны, 1/(7) — = " при всех € [О, Ь —«], 77(0) = г/(0) = ¿о- '){р — а) — а, и(Ь — и) = Ь. Частными случаями такой системы множеств является система, порождающая вольгерровые по А.Н. Тихонову, т.е. запаздывающие операторы и их "противоположность" опережающие операторы. Доказаны утверждения об однозначной разрешимости (в пространстве абсолютно непрерывных функций) тадачи с условием .с(£о) = а для уравнения (7), получено представление общего решения, предложен метод приближенного построения функции Коши.

Во втором параграфе исследуется уравнение нейгралышто типа с несуммируемыми коэффициентами. Предлагаются пространства, в которых операторы Л", ¿> обладают свойствами, открывающими возможность применения общей теории. В диссертации сформулированы условия разрешимости ¡а дач и Коши уравнения ней тра льного тина с несуммируемыми коэффициентами, получено представление общего решения.

В первых двух параграфах четвертой главы, как и бо тьшинстве исследований уравнения нейтрального типа, предполагается, что оператор ■Ь' действует в пространстве измеримых по Лебегу функций. Необходимым условием -»того является выполнение для функции 1г : [<;, /») -> Я следующего условия15

С [а. Ь] птеь Е = 0 =>■ шеь (/¿"' (Е) \ (-)) 0, (8)

получившего обра (ное нашание "условия не тависания". В третьем параграфе рассмотрено уравнение нейтрального типа в случае, кома функция 1> не удовлетворяет условию (8). Для форма, ш 1ании такою уравнения в виде операторного уравнения относительно производной решения непригодны не только лебеговы пространства, но и ггрое I рапе I по непрерывных функций, так как функция (Яу)(-) может иметь разрывы в тех

точках, в которых /*•(■) « меняет знак. Чтобы и тучить уравнение (7) бе !

[ ^

Данфорд Н,, Шпарц Дж Линейные операторы. Т 1 < Н>пыи 11 орин \1.. ИЛ, 1'ДГ2.

ЯЧ(> 1

предположения (8) в работе, построено специальное банахово пространство кусочно непрерывных функций, возможно терпящих разрывы в фиксированных точках, определяемых по точкам перемены знака функции Л(:)—а. Это пространство изоморфно декартовому произведению конечномерного пространства и ¿пространства; непрерывных функций; что позволяет исследовать это пространство, найти удобное представление, линейного функционала}.сформулировать критерий компактности множества, и т.д. В диссертации приведены условия действия в построенном пространстве оператора внутренней суперпозиции и интегрального оператора, получены оценки спектрального радиуса этих операторов, изучены их свойства;. Эти исследования позволили применить к рассматриваемому сингулярному функционально-дифференциальному уравнению теорию абстрактных■ эволюционных уравнений- Сформулировано утверждение об однозначной разрешимости задачи Коши (в классе функций, производная которых принадлежит описанному выше пространству кусочно непрерывных функций), получено представление оператора Коши.

Часть Л-посвящена абстрактным нелинейным эволюционным функционально-дифференциальным уравнениям. В главе 5 излагаются основы теории.нелинейных операторных уравнений Вольтерра. К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра сводятся многочисленные прикладные; и. теоретические: задачи, например, задача Коши для ; обыкновенного дифференциального:уравнения, краевые задачи^ для ¡уравнений: параболического типа и.т.д.16. Современные математические модели^.физике, экономике, биологии, учитывающие инерцию объектов, конечность скоростей распространения'сигналов,, факторы запаздывания, описываются .функционально-дифференциальными уравнениями, задача Коши, для которых, эквивалентна уравнениям с вольтерровыми операторами в некотором банаховом функциональном пространстве. Такие операторные уравнения' наследуют многие свойства классических уравнений Вольтерра и являются;их естественным обобщением.

Пусть, 9Т, Ш - нормированные пространства функций / : [а, Ь] —В."1. Рассмотрим; уравнение'

(ГхЩ = О, I е [а, Ь], (9)

с вольтерровым на системе и оператором Е :9? —> ЭЛ. Если существует число 7 € (О, Ь — а) и элемент -6 удовлетворяющий равенству

II®1 .РР®1;^ = 0, . то уравнение (9) будем называть локально разрешимым,

16Математическая энциклопедия..Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1977. 1152 с. (см. с. 754)

а функции; юь,ильным решением, определенным па <-,. Элемент

€ удовлеширяющий уравнению (9). па ¡ином глобальным решением. Будем говорить, что (функция : и < -> /?т. г/ С (0. Ь — «]

1<Ч

является предельно продолженным решением уравнения (У), если при любом л 6 (0.//) сужение функции z,l на множеспю < -. является локальным решением и Гни || = ос. Вследствие во илерровосги

оператора К сужение г-, решения г<; (локальною, глобального, или предельно продолженною) на произвольное множество <-, ~ (0, (,"), будет локальным решением уравнения (9). Будем называть решение с-, частью решения . а решение продолшсеиием решения z-,.

В первом параграфе предлагаются утверждения о неподвижных точках вольтеррового на и оператора К : В —> В, т.е. псследуегея ра »решимость уравнения

.г(0 - (А\с)(£) = 0. ( € [а, 6]. (10)

являющегося частным случаем уравнения (9). Оператор К : В —> В называем локально с.»амающим на системе и, если существуют такие </ < 1, т > 0, что выполнены условия:

1. V", е (о. г) Ух. уев гвЬ, Кх - ки) ^ у ■ -;/). •2. е (о, ь - «] £<•><£ + г Ух.уе в

=у(п, уг € => гв{-,,кх-Ку) - у)}.

Класс локально сжимающих на системе V операторов достаточно широк. Ему, конечно же, принадлежат не только сжимающие операторы. К локально сжимающим операторам относятся еще, например, г -воль-герровые операторы. В диссертации доказано, что если для оператора К : В —У В суще< твует такой линейный волътерроный и цлучшат-ш,!!,и. ни. системе о оператор И7 : В —у В, что при всех -■ 6 [0. Ь — а], х, у 5 В выполнено неравенство Кх — К у) ^ II' (.г — '/)), то

оператор К является локально сжимающим на, системе с. Важно также, заметить, что свойством локальной сжимаемости мен у I обладай* даже разрывные и неограниченные операторы (о чем свидеге гьсгиунп рассмотренные в работе примеры).

Теорема 5.1..4. Пусть в баниловом пространстве В выполнено V -ус-,ювие; оператор К : В —* В является вольтерровым ч локально с.нси-мающим на систе.ие с Тогда при любом ~ € (О. Ь — а] < 1/111,14 твует единственное решение 1 , е В(еу)

- П? К Р» .Г, . Друг ими слова,чг1. < цща тнует единс пшенное глобальное решение уравнения (10). и всякое локи.ььпое решение является частью .¡того решения.

Следующее определение позволяет, распространить понятие улучша-емости на нелинейные операторы. Оператор К : В —> В называем улучшающим на системе V, если выполнены два условия:

1. 3 2^0 Уж € В гв(0,Кх)

2. Ур>0 Уг > 0 Эг > 0 Ухе В V 71,72 С [0,6-а]

^ \гв(-у2>Кх)-гвы,Кх)\<е.

Теорема 5.1.4; Пусть в банаховом-пространстве В выполнено V -условие; оператор К : В —> В является вполне непрерывным, вольтерро-вым и. улучшающим.на . системе V. Тогда уравнение (10) локально'разрешимо, любое ; локальное, решение является частью глобального либо предельно, продолженного ¡решения.

Большое значение при исследовании нелинейных интегральныхурав-нений," обыкновенных дифференциальных уравнений имеет ответ на вопрос о наличии (или отсутствии) у решения вертикальной асимптоты, оценка максимального промежутка* существования решения. Например, , промежуток- существования-непрерывного- решения уравнения Рикатти является промежутком неосцилляции решений соответствующего линейного дифференциального уравнения второго порядка17. В терминологии данной работы наличие вертикальной; асимптоты £ = 77 означает, что решение г^ является , предельно продолженным. В случае, когда уравнение (Ю)имеетбесконечное множество {гп} предельно продолженных решений; интерес представляют оценки нижней грани 770 ; всевозможных чисел- 77, — мер множеств .е,,, на которых: определены предельно, про, долженные решения. Для ¿уравнений и включений с вольтерровыми по А.Н. Тихонову отображениями в-пространстве непрерывных функций такую.задачу рассмотрел,А.И..Булгаков. Он доказал18, что т]о > 0, т.е. асимптоты решений отделены от начальной точки Ь = а,.и существует промежуток,- входящий-,в.область, определения любого предельно продолженного решения. В диссертации сформулирован соответствующий результат для, уравнений в банаховом пространстве.

Теорема 5;1;6. Пусть оператор К : В В является,волътерровым и улучшающим на, системе; V;. Тогда для,произвольного §о, г?о '> 2,

17Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ' Наука, 1976. 576 с. (см: с. 42)

18Вулгаков А.И.. Элементы теории краевых задач для функционально-дифференциальных включений. Дис.-докт. физ.-мат. наук. Тамбов. Тамбовский институт химического машиностроения. 1993:.300 е..

существует такие г > 0. что для любого локального решения уравнения (W). онреде генного на некотором множестве е-, £ о. если H^Hsif ) ^ »и. то - = mes(e7) ^ т. В частности, существует такое поао.нсительшн i. что для области определения IJ е- любого

Кп

предельно продолженного решения zn выполнено i¡ = теь( [J е-,) > i.

Завершает первый пара[раф пятой главы исследование нелинейных квазивольтерровых и r-кваливольтеррокых операторов. Полученные здесь результаты в дальнейшем исполь тотся для приближенного решения функционально-дифференциальных уравнений.

Во втором параграфе исследуется непрерывная ишисимость решения уравнения Вольтерра от параметров. Здесь дано определение совокупной локальной сжимаемости операторов, найдены условия, при которых операторы обладают таким свойством.

Теорема 5.2.1. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V-условие; волътерровые на t иг теме v операторы Кг : В —> В, i — 1,2.....

являются в совокупности локально ежммающими, и для любой сходящейся последовательности {x.t} С В, ||jr¡ — х\\ —> 0, имеет место ||Ktxt — А'х'Ц —> U, где А* : В —> В. Тогда при каж-дом i уравнение

s,(t) - (A>,)(í) = 0. l£[a,b}. (И)

имеет единственное глобальное решение Zlt всякое локальное решение будет частью соответствующего глобального решения: уравнение (10) такмее имеет единственное глобальное решение г, всякое локальное решение будет его частью а Ц;, — с|| —> 0.

В случае, когда операторы К, не являются в совокупности локально сжимающими, для исследования непрерывной ¡ависимости решений уравнения (10) от параметров мы предлагаем понятие совокупной улуч-шаемости операторов. Особенностью «ой ситуации является ю, что решения уравнений (11) могут быть определены на рашых множеовах. В работе доказано существование множества ej, иолпжшслытй меры, входящего в об.теть определения любого решения. На -»том множестве устанавливается компактность последовательности решений уравнений (11). и т.ока лынаен'я. что предельные точки -»той ш>следова1ельиосги удовлетворяют уравнению (10).

Последний параграф главы посвящен оператрным неравенствам Вольтерра. Утверждения о неравенствах являются важнейшим инструментом исследования уравнений. Так в теории обыкновенных дифференциальных уравнений широко ис ноль ¡уютея теоремы об инtei ралышм и

дифференциальном, неравенствах. Исследования дифференциальных и интегральных неравенств ведут свою историю от классических результатов С.А. Чаплыгина10. Благодаря работам Н.В Азбелева, II.С. Кур-пеля, A.A. Мартынюка,- А.Ж Перова, Б.Н. Садовского, С.Ш Слуги-на, З.Б. Цалюка, Б.А. Шувара, R. Bellman, Е. Bickenbach, J. Chandra, V. Lakshmikantham, W. Mlak, B.G. Pachpatte, G.R. Shenge, T. Wazewski,. J'. Wilkins и других; авторов;, методы; использующие неравенства; нашли широкое применениелрактически во всех.разделах общей и качественной теории-дифференциальных .уравнений, , приближенных методах. .Развитие теории, функционально-дифференциальных уравнений потребовало изучения операторных- неравенств в различных функциональных пространствах. В »диссертации рассмотрены вольтерровые операторные неравенства в произвольных банаховых пространствах. Основным-аппаратом исследования является теория монотонных операторов, разработанная в работах И;А. Бахтина, Ю.Г. Борисовича; Г.М. Вайнико, II.П. Забрей-ко, М.А. Красносельского, Н.В. Марченко, А.И: Перова, Ю.В. Покорного, Я;Б. Рутицкого, A.B. Соболева, В.Я: Стеценко, Ю.В". Трубникова и других авторов. Для того,-чтобы-адаптировать эту теорию к уравнениям и неравенствам Вольтерра, в диссертации предложено следующее понятие. Конус, В+ в пространстве В назван вольтсрровьшна v, если при любом 7 € (0; b — а) множество = Пу В+ будет конусом в• пространстве ß(e7). Определены также свойства вольтерровой ми-ниэдралъности, сильной'вольтерровой миниэдральности, вольтерровой вполне правильности и вольтерровой нормальности конуса. В предположении, что конус обладает перечисленными свойствами, доказаны утверждения о локальной разрешимости уравнения (10) с вольтерровым, монотонным оператором К : В —> В; о продолжаемости решений, их оценке, о существовании нижнего и верхнего решений.

В шестой главе рассматривается нелинейная задача Коши

где.г-: - функционал Коши, а оператор Р : ^ В, является

вольтерровым-на'совокупности?-V. В первом параграфе исследуется разрешимость задачи-(12,13)': Вследствие вольтерровости операторов д, Р, г к-уравнению (12) изадаче.(12,13)-применимы определения локального,

6х>= Fx: гх — а,

(12) (13)

1ЭЧаплыгин С. А.. Новый .метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.,JI: Гостехиздат, 1950. 102 с.

предельно продолженного и глобального решений. Представление. )ада-чи (12.13) в виде уравнения у = F(Y<y 4- А;/) шшк'икмыю неи шеечного I/ = Sj' в пространстве В позволило воспо п> ¡оваться ре ¡уды,нами предыдущей главы. В работе получено утверждение о корректной разрешимоеги ¡адачи Коши, доко'зательство которого своди i си к проверке совокупной локальной сжимаемости операторов /v',v : В —У В, К и И = F(Ya + А у). Если же г го условие не выпо шено, но оператор F : D —г В является вполне непрерывным и улучшающим, ю докапаны локальная разрешимость, продолжаемость всякою локального решения до глобального или предельно продолженного: noKaiano, что для любою положительного числа а. существует множество с; положшельной меры. являющееся подмножеством области опеределения любого решения, начальное ¡начение которого удовлетворяет неравенству |а| ^ cl: уста-понлена компактность в пространстве D(e,j) множества таких решений, имеющих ограниченные начальные значения.

Во втором napai рафе предлагаются теоремы о дифференциальном неравенстве для эволюционного функционально-дифференциального уравнения (12). основанные на следующих соображениях. Если оператор Кп : В —> В. [\пу — F(Ya + А у), окажется монотонным, то можно испольчовать результаты параграфа 5.3. Во всех полученных таким образом у тверждениях не предполагается непрерывность оператора F : D В. Это позволило применить их к изучению скалярного дифференциального уравнения

м (t) = f{t, x{t)), te[a.b]. (14)

в ко юром функция / : [а. b] х R —> R не удовлетворяет условиям Kapa-теодори. К таким уравнениям приводят' некоторые ¡адачи управления, автмагического регулирования20, теории игр-'1. К шссические схемы исследования, использующие непрерывность операторов, к уравнению (11) не применимы. Наиболее "продуктивным" и общепри шанным является предложенный А.Ф. Филипповым2* метод, основанный на построении

-°Берщашкий Я.М. Траектории линейных счютсч i нелинейное 1 ыо luila реле ,

Авточашка и телемеханика. IU82. № 7. С. 10-27.

Фуллер V.l. Оптимизация релейных систем релулиретания liei ра-)литшым KpHie-

риям капеелва /, 1еория дискретных оптимальных и самонае траивающпчея систем.

Труды Г конгреге-а ИФАК. М.' И !Д-во АН ('ССР. 1061. С l-b(>=i

Крае eJBLKHii H.H., (ЧЬбошн А.11. Пеницнонные дие|>е|1ере цщыльные игры. \I.: Ца-

v ка, ¡071. Г>Ь е..

Фи пганои \.Ф Дифференциальные ,v равнения е paapi ншой npanoii чае пао

Ман'чат еГ| ЮЫ) I. ">1 (43). С-. 00-L28

соответствующего дифференциального включения. Нами предлагаются условия, при которых уравнение' (14) приводится к уравнению с монотонным вольтерровым оператором, что.позволяет воспользоваться полу, ченными. в работе утверждениями, о дифференциальном» неравенстве и исследовать само уравнение; не прибегая к замене его включением;

В заключительном параграфе шестой; главы полученные-результаты применены к уравнению с авторегулируемым запаздыванием

х (Ь) = /(Ь, ®(А(4;-а(*))))-, «-е[в, 6], /15ч

®(0-=¥>(€).• V 7 Отсутствие непрерывности оператора- .Р : АС {[а, Ь],Л) 1-([а,6],Д), порождаемого: правой "частью уравнения (15), становится преградой в использовании методов функционального анализа. Этой же причиной можно объяснить ряд необычных свойств уравнения (15): задача Коши может не иметь локальных решений, или иметь непродолжаемые решения, в ряде случаев, задача Коши оказывается некорректной относительно импульсных-воздействий и т.д. В диссертации получены условия, при выполнении которых задача Коши обладает "традиционными" свойствами. Прежде всего;* поведение решений уравнения (15) оказалось "естественным "вел у чае монотонностиоператора Р. Это следует из результатов предыдущего;параграфа о дифференциальном неравенстве (напомним, полученных без предположения непрерывности соответствующего оператора): Исследование уравнения (15) в ситуации, не сводящейся к уравнению с монотонным оператором, основано на выделении специальных множеств пространства абсолютно непрерывных функций, на которых, оператор Е- оказывается вполне непрерывным. Для нахождения таких множеств мы используем априорные " неравенства, существование которых устанавливаем и которые строим с помощью полученных в ¡работе утверждений о дифференциальных неравенствах.

Седьмая • глава посвящена приближенному решению задачи. (12,13). Необходимость разработки приближенных методов диктуется тем, что функционально-дифференциальные уравнения интегрируются в замкнутой форме; лишь-в,- исключительных случаях. Многие методы23 приближенного решения используют вольтерровосгь по А.Н. Тихонову соответствующих операторов. На? основе исследования обобщенно воль-терровых операторов, в работе:, предложен единый подход к: построе-

23 Ким А.В:, Пименов В:Г. г—Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных. уравнений. М.-Ижспск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004; 256 с-

нию алгоритмов приближенного решения абстрактных функционально-дифференциальных уравнений эволюционного шна.

Пусть при каждом к = 1,2,... выбрана некоторая подсистема ь\ =

= 0. е-^.....= [а. Ь]} С в и построен т-квазивольгерровый на

совокупности оператор /<"/,- : О — !3. Пусть, кроме того, последовательность } при к —> ос в каком-1 о с мыс. к1 сходится к оператору Метод состоит в ¡амене ¡адачи (12). (13) приближенной задачей

<)хк = Ркхк, гхк = а. (16)

Так как оператор : О —> В является т-квашвольтерровым на совокупности гк С о, аонера.чор Л : В —> О вольтерровым на и, то решение г/, !адачи (16) определите гея равенствами:

zk - Щч (Га + АГк 0), 0 е О, при -к-,, = ГЦ (У а +• ХЕк р.1] ). при £ €

Ч = - ) Ч-, >• "Ри ' £ "

Доки ¡ательство сходимости основано на теоремах о непрерывной записи мости решений от параметров, полученных в параграфе Г).2. В диссертации рассмотрены конкретные методы, в юм числе, аналоги известных методов Тонелли, Эйлера, Рунге-Кутта, кслорые можно получить и! "приближенной" задачи (16), при соответствующем выборе операторов 1;. Предложенный метод используется для приближенного решения функционально-дифференциального уравнения

ь

■Г (*) = / ^(¿о), J 1С{Ь, .ч) х («) с/.ч ^ . I € [«, 6].

а

частными случаями которого являются уравнения с сосредоточенным и распределенным отклонением аргумента, интегро-дифференциальные и друтие уравнения, разрешенные относительно прои ¡водной.

Список основных публикаций по теме диссертации Публикации в журналах, входящих в перечень ВАК

1 . Жуковский Е.С. Об интегральных неравен« твах в прск транс 1вах суммируемых функций / / Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. .V» 4. С. 580-584.

2. Гусаренко С. А., Максимов В.П., Жуковский Е. С. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторами //Докл. АН СССР. 1986.; Т. 287. №2. С. 268-272. 3V ЖуковскийЕ.С. К теории^уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения! 1989. Т. 25. № 9; С. 1599-1605.

4 . }KyKOßcnuüE. С. Вольтерровость и спектральные свойства оператора

внутренней суперпозиции//Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. №2; С. 250-255;

5 . Жуковский ЕЮ. О параметрическом задании решения дифферен-

циального уравнения и: его приближенном построении // Известия вузов. Математика; 1995. № 4 (407). С. 31-34. 6\ Жуковский ЕЮ: Использование ряда Неймана для построения функции Грина // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и .технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 1997; Т. 2. Вып. 2. С. 205-206.

7 . ЖуковскийЕ.С., Жуковская Т.В. Монотонные операторы и разре-

шимость функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во-ТГУ; 1998. Т; 3. Вып. 2. С. 171-176.

8 . ЖуковскийЕ.С. К теории абстрактного функционально-дифферен-

циального уравнения: // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 1998. Т. 3. .Вып..2;С. 177-179.

9 . ' Жуковский ЕЮ. -Оператор; внутренней суперпозиции в пространстве

кусочно-непрерывных функций / / Вестник Тамбовского университета.. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 1999. Т. 4. Вып. 4. С. 481-483:

10 . Булгаков А. И., Григорепко A.A., ЖуковскийЕ.С. Бэнг-бэнг принцип

для возмущенного включения с компактнозначным отображением // Вестник-Тамбовского университета. Серия: Естественные. и тех- ническиенауки.Тамбов: Изд-во ТГУ, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 427-429. 11. Жуковская Т.ВС, Жуковский(Е. С: Начальная задача для линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения // • Вёстник Тамбовского университета.. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2000. .Т. 5. Вып. 4. С. 448-449. 12 . Жуковская Т.В., Жуковский Е. С. Об операторах Вольтерра в банаховых, функциональных пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия:: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2001. Т. 6.-Вып. 2. С. 147-149.

13 . Жуковский E.С. Квазиволыерровые операторы / Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Шд-во ТГУ, 200L. Т. 6. Вып. 3. С. .'i 13-319. 11. Жуковский Е.С. О представлении оператора Грина аб( тракгното функционально-дифференциального уравнения , , Известия вуюн. Математика. 2001. 6 (4G9). С. 30-33. 15. Жуковский Е. С. К теории линейного функционально-дифференциальной) уравнения с вольтерровыми операторами , , Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: 1Ьд-воТГУ, '2002. Т. 7. Вып. I. С. 32-11. 16 . Л.трое И.В., Жуковский Е.С. Условия вольтерровосги оиераюра внутренней суперпозиции / / Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Илд-во ТГУ, 2003. Т. 8. Вып. L. С. L54.

17. Жуковский Е.С. К теории сингулярных функционалыю-дифферен-циальных уравнений // Вестник Тамбовскою университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ. 2003. 'Г. 8. Выи. I. С. 159-161.

18. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Принцип плотности фундаментальное свойство возмущенных включений /'/ Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2003. Т. S. Вып. 3. С. 351-352.

19. Жуковский Е.С. К теории линейного «юлюциошшю функциоштль-но-дифференциального уравнения . / Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: йзд-во ТГУ. 2003. Т. 8. Вып. 3. С. 383.

20 . Булгаков А.II., Григоренко .4..4.. Жуковский Е.С. Некоторые ре-

сулыатьт теории вошущенных включений Вестник Тамбовскою университет. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ. 2004. Т. 9. Вып. 1. С. 104-10(5.

21 . Жуковский Е.С. Неравенства Вольтерра it функциона щных про-

странствах , Матем. сб., 2004. Т. 195. .V» 9. С. 3-18.

22 . Жуковский Е.С. Уравнения Вольтерра в ¡адачах математической

фишки , Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: II тд-во ГГУ, 2004. 'Г. 9. Вып.1. С. 106-107.

23 . Жукове ъи й Е.С. Об условиях однозначной ра фешимех ш уравнений

Вольтерра Вестник Тамбовскою универси мча. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Пи-во ГГУ. 2005. Г 10. Вып.1. С. 302-304.

24 . Жуковский Е.С-, Мишина М.Г. О глобальной продолжаемости ре-

шений включений Вольтерра/ / Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2005. Т. 10. Вып. 1. С. 305-307.

25 . Жуковский E.G. Нелинейное уравнение Вольтерра в- банаховом

функциональном 'пространстве // Известия - вузов. Математика. 2005. № 10 (521). С..37-48. 26; . Жуковский Е. С. Функция Коши функционально-дифференциального уравнения в банаховом: пространстве // Известия вузов. Математика. 2006. № 5 (528). С. 38-47.

Прочие публикации

27. Жуковский Ж С. К вопросу об интегральных неравенствах // Всесоюзная^ конференция по асимптотическим методам в теории сингу-лярновозмущенных уравнений. Алма-Ата, 1979. 4.2. С.189-190. 28::. Жуковский E.G." К вопросу обгуравнении с запаздыванием, завися- -щим от неизвестной функции // Краевые задачи. Пермь: Изд-во Пермского политехи, ин-та, 1982. С. 9-12.

29 . Жуковский Е. С:', Матушкина Т.В. Об одном методе решения диф-

ференциального уравнения с авторегулируемым запаздыванием // Космические исследования на Украине. Республиканский межведомственный сб: научн. тр. Киев: Наукова думка, 1983. Вып. 17. С. 123.

30 :. ЖукоаскийЕ.С. О дифференциальных неравенствах и оценках ре-

шений одного функционально-дифференциального уравнения // Краевые задачи. Пермь: Изд-во Пермского политехи, ин-та, 1983. С. 22-24:

31Жуковский E.G., Шиидяпин А.И. К вопросу об исследовании краевых задач, методом априорных неравенств // Краевые задачи. Пермь: Изд-во Пермского политехи, ин-та, 1983. С. 24-28.

32 . Жуковская-Т.В., Жуковский E.G. К вопросу о функционально-

дифференциальных уравнениях // Шестая Всесоюзная конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений". Иркутск, 1986. С: 76-77.

33 . Жуковская Т.В., Жуковский E.G. Численные методы решения

функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: Изд-во Пермского политехи, ин-та, 1988: С. 110-113.

34. Жуковский Е.С. О вольтерровости оператора Bnvipeinieii суперпозиции Функционально-дифференциальные уравнении. Пермь: Ичд-во Пермского по штехн. ин-та, Lyc.)l. С. 138-1 К).

35. Жуиовский E.V. О во 1ьтерровости операторов ILlec i надшиая Всетючная iiimijuio теории операторов в функциональных иро-

Ни^ЯЩрНовгорол, 1991. С. 71.

36 . ЖуковскийЕ.С. Опенка спектра.еьною радиуса оператора внуфен-

ней суперпозиции ' Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: И ¡д-во Пермского политехи. ин-та, 1992. С. 212-213.

37 . Жуковская 'Г. В.. Жуковский Е.С. О функции Коши уравнения ней-

трального шпа Повышение зффективнос i и средств обработки информации на бале математического и машинного моделирования. \1а1ериалы IV Всероссийской конференции. Тамбов, 1995. С. 322323.

38 . Жуковский Е.С. О функционально-дифференциальных уравнени-

ях с вольн-рровыми операторами // Повышение эффективности средств обрабоЕки информации на бале математическою и машинной) моделирования Материалы IV Всероссийской конференции. Тамбов. 1995. С. 321-325.

39. Булгаков А.П.. Гриюренко A.A., Жуковский Е.С. Во тушенное включение с компак1 ношачным отображением. // Вес шик Удмуртского уциверситеы. Ижевск: И м-но УдГУ, 2000. .Y» I С. 33-К).

40. Бч^^^рв А.П., Г^^оренко A.A., Жуковский Е.С. Вошущениое вю^^ение с пел1\^^1ым оператором // Дифференциальные уравнения. Ичвесшя Российской Академии ее ieci венных navu. Ря тнь: Ичд-во РГПУ. 2001. > 5. С. 31-33.

11 . Жуковская 'Г.В., Жуковский Е.С. Об одном обобщении понятия т-вольтерровости Дифференциальные уравнения. Ичвестия Российской Академии естественных наук. Рячань: Ичд-во РГПУ, 2001. .Y« 5. С. 59-60.

42 . Жуковский Е.С. . Чиненные эволюционные фу н кино палы ю-диффе-ренциальные уравнения в банаховом ирос транс ine. Тамбов: Изд-во ТГУ. 2003. 118 с.

43. Жуковский Е.С. О корректности уравнений Во пдерра и приближенном решении функционально-дифференциальных уравнений ' Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамилыона-Якоби. Труды международного семинара. Ека ie-ринбурт. 2006. Т.1. С. 129-137.

44 . Жуковский E.G. Задача Коши для нелинейного функционально-

дифференциального уравнения // Известия Института математики и информатики. Ижевск, 2006.'JV 2 (36). С. 53-56.

45 . Жуковский E.G. О неравенствах Вольтерры и оценках решений

функционально-дифференциальных уравнений //• Известия Института математики; и. информатики. Ижевс^|^|96. № 3 41-42. 46:. Жукове кий Е. С. Развитие идей А.Н. Тихонова в теории и приложениях вольтерровых операторов // Тихонов и современная математика: Функциональный анализ и дифференциальные уравнения. Тезисы докладов Международной конференции. Москва: ВМиК МГУ, 2006. Т.1. С. 307-308.

т •••

. Лицензия ИД № 02973 от 06.10.2000 г. Подписано в печать 08.08.2006 г.. Формат 60 х 84у^ . Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,95. ТиражЛООэкз. Заказ № 1329.

Издательство

Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина 392028; г. Тамбов, Советская, 181а.

Введение.

I Линейное эволюционное функционально-дифференциальное уравнение

1 Общая теория

1.1 Элементы общей теории абстрактного линейного функционально-дифференциального уравнения. Представление оператора Грина.

1.2 Начальная задача. Функция Коши

1.3 Вольтерровые операторы.

1.4 Квазивольтерровые операторы.

2 Приближенное нахождение функции Коши

2.1 Алгоритм приближенного нахождения функции Коши.

2.2 Модификация метода в случае = const.

2.3 Сходимость метода.

3 Вольтерровые операторы в пространствах суммируемых функций

3.1 Условия вольтерровости интегрального оператора

3.2 Спектральный радиус интегрального оператора

3.3 Условия вольтерровости оператора внутренней суперпозиции.

3.4 Спектральный радиус оператора внутренней суперпозиции.

4 Уравнение нейтрального типа

4.1 Уравнение нейтрального типа в пространстве абсолютно непрерывных функций

4.2 Уравнение нейтрального типа с несуммируемыми коэффициентами

4.3 Уравнение нейтрального типа с отклонением аргумента, не удовлетворяющим условию "независания"

II Нелинейное эволюционное функционально-дифференциальное уравнение

5 Нелинейные операторные уравнения Вольтерра

5.1 Неподвижные точки нелинейных вольтерровых операторов.

5.2 Непрерывная зависимость от параметров решений уравнения Вольтерра.

5.3 Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах

6 Нелинейная задача Коши

6.1 Разрешимость. Непрерывная зависимость решений от начальных условий.

6.2 Теоремы о дифференциальном неравенстве.

6.3 Дифференциальные уравнения с авторегулируемым запаздыванием.

7 Приближенные методы решения нелинейной задачи Коши

7.1 Приближенное решение задачи Коши.

7.2 Метод Тонелли, простой и улучшенный методы Эйлера

7.3 Приближенное построение предельно продолженных решений.

Уравнения с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом давно привлекли внимание исследователей и имеют богатую историю. Еще во второй половине XVIII века в литературе появились первые результаты (Кондорсе, 1771 г.). Уравнения с отклоняющимся аргументом и их многочисленные обобщения, объединенные названием "функционально-дифференциальные уравнения", возникают в моделях, учитывающих конечность скоростей распространения сигналов, инерцию конкретных объектов и т.д. Эти уравнения нашли многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении процесса сгорания топлива в ракетных двигателях, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах электродинамики, биологии, медицины, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается. Систематическое изучение дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом было начато в середине XX столетия в нашей стране А.Д. Мышкисом [172]-[175] и в США Р. Беллманом [24, 237, 238]. С тех пор актуальность приложений, сложность и новизна проблем, серия загадок и парадоксов всегда привлекали и подолжают привлекать к функционально-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. За полвека своей истории теория функционально-дифференциальных уравнений прошла путь от первых разрозненных результатов до самостоятельного, имеющего многочисленные приложения, давшего новые идеи и методы обширного раздела современной математики. В ее построение внесли вклад многие исследователи. Этапы создания теории нашли отражение в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной, П.М. Симонова [12, 13, 15], JI.A. Бекларя-на [29], Р. Беллмана, K.JI. Кука [24], Н.Н. Красовского [139], В.Б. Колма-новского, В.Р. Носова [135], Ю.А. Митропольского, Д.И. Мартынюка [171], А.Д. Мышкиса [175], Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина [177, 233], Э. Пинни [184], В.П. Рубаника [190], А.Халаная [244], Г.Л. Харатишвили, Т.А. Тадума-дзе [200, 214, 215].

Большой вклад в развитие теории уравнений с отклоняющимся аргументом внесла Свердловская (Екатеринбургская) математическая школа. В работах Н.Н. Красовского [138]-[145] получены условия существования периодических решений, изучены задачи оптимального регулирования, наблюдения систем, описываемых уравнениями с запаздывающим аргументом. Чрезвычайно плодотворными оказались идеи Н.Н. Красовского, предложившего трактовать решение, как элемент подходящего функционального пространства. Проблемы устойчивости уравнений с запаздыванием, стабилизации управляемых систем, дифференциально-разностные игры рассмотрены в работах Ю.С. Осипова [178]-[181]. Задачи управления и наблюдения систем с последействием исследованы А.Б. Куржанским [158]-[159]. Многочисленным аспектам теории дифференциальных игр посвящены статьи Н.Н. Красовского, А.Ф. Клейменова, А.В. Кряжимского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, В.Н. Ушакова, А.Г. Ченцова [133, 145, 146, 152, 181,196, 220, 208]. Проблемы разрешимости дифференциальных включений с запаздыванием исследованы Б.И. Ананьевым [18]. Задача о выживаемости рассмотрена А.Б. Завариным, В.Н. Ушаковым [124], Т.Ф. Филипповой [210]. Глубокое, всестороннее изучение уравнений с отклоняющимся аргументом проведено в работах С.Н. Ши-манова и его учеников [223]-[228]. Задачи устойчивости рассмотрены в работах Ю.Ф. Долгого [68],[69]. Созданию эффективных численных методов посвящены работы А.В. Кима, В.Г. Пименова [132],[183]. Уравнения с импульсными воздействиями исследованы С.Т. Завалищиным, А.И. Сесекиным и др. авторами [122, 123]. В работах С.А. Брыкалова [36, 37] рассмотрены краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений и включений.

Единая теория различных классов функционально-дифференциальных уравнений разработана участниками Пермского семинара, руководимого Н.В. Азбелевым. Начало ей положил отказ от обязательного выполнения условия "непрерывной стыковки" решения и начальной функции. Такой подход позволил представить дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом в виде операторного уравнения Сх = f, где С : D^щ Ца,ь}

Таким же образом представляются уравнение нейтрального типа, уравнение с распределенным отклонением аргументом, интегро-дифференциальное уравнение, другие функционально-дифференциальные уравнения. В исследованиях участников Пермского семинара была построена общая теория функционально-дифференциальных уравнений. Использование методов функционального анализа позволило получить представление общего решения, сформулировать и изучить общую краевую задачу, исследовать свойства функции Грина и Коши, предложить новые идеи в качественной теории уравнений. Разработанные методы оказались применимыми не только к "классическим" уравнениям в пространстве абсолютно непрерывных функций, но и к уравнениям в других функциональных пространствах (импульсным системам, сингулярным уравнениям и т.д.). Возникла идея рассмотрения абстрактного аналога функционально-дифференциального уравнения в произвольных банаховых пространствах. В работах Н.В. Азбелева, А.В. Анохина, Л.Ф. Рахматуллиной [10, 19] была предложена теория "абстрактных" (по терминологии авторов) функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. В этой теории удалось сохранить большинство фундаментальных положений теории краевых задач, получить представление решения с помощью оператора Грина, доказать утверждения о непрерывной зависимости решений от параметров. Идеи и основные положения теории нашли применения в исследованиях А.В. Анохина, В.П. Плаксиной импульсных систем в пространствах кусочно абсолютно непрерывных функций [20, 186], в изучении сингулярных задач А.И. Шиндяпиным [230], Е.И. Бравым [33], в работах Г.С. Бондаревой [34], С.А. Гусаренко [65] о разрешимости краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений в частных производных и многих других исследованиях.

Предлагаемая диссертация посвящена построению теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами, являющихся естественным обобщением уравнений с запаздывающим аргументом. Исследование базируется на изучении свойств вольтерровых операторов. Сделаем краткий обзор известных нам определений вольтерровых операторов.

Различным обобщениям классических результатов Вольтерра, исследовавt шего интегральный оператор (Ky)(t) = f K(t,s)y(s)ds, посвящены многоа численные работы. Ряд авторов абстрактными вольтерровыми операторами называют линейные вполне непрерывные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, спектральный радиус которых равен нулю. В работах М.С. Бродского, A.JI. Бухгейма, И.Ц. Гохберга, М.С. Крейна, М.С. Лившица и других исследователей создана плодотворная теория таких операторов [35, 48, 63, 163], устанавливающая глубокую связь между абстрактным и "классическим" интегральным операторами Вольтерра.

В основе других определений вольтерровости свойство интегрального оператора, называемое разными авторами "последействием", "эволюцией" и т.д. Эти определения ведут свое начало от определения А.Н. Тихонова [202], согласно которому оператор является вольтерровым, если образ любой функции в каждый момент "времени" to зависит от значений этой функции только при аргументах t < to. Функционально-дифференциальные уравнения с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами (эволюционные уравнения) подробно изучены в работах участников Пермского семинара (см., например, [5, 7, 66, 165]). Некоторые проблемы (например, задача устойчивости решений) ставятся только для эволюционных уравнений [15, 136, 137, 207]. Многие результаты исследования сингулярных [230, 33], импульсных [20, 186], стохастических [222,188] функционально-дифференциальных уравнений также получены в предположении вольтерровости операторов в соответствующих пространствах. Рассмотренная в работах А.И. Булгакова [38]-[47] теория функциональных и функционально-дифференциальных включений базируется на свойствах вольтерровых по А.Н. Тихонову многозначных отображений. Современные абстрактные трактовки свойства "эволюции" операторов предложены в работах [64, 77, 79, 92, 95, 100, 120, 154, 197, 198, 199]. С.А. Гу-саренко в [64] при определении обощенной вольтерровости оператора F, действующего в банаховом пространстве В, использует такие цепочки проекторов Рт : В В, т € [0, 1], что Р° = 0, Р1 = /, Р^Ра = Pmi Оператор считается вольтерровым, если при всех у Е В и всех г 6 [0, 1] из условия Рту = 0 следует PTFy = 0. Уплотняющие, вольтерровые по А.Н. Тихонову операторы, действующие в функциональных пространствах исследуются Ю.А. Дядченко [77, 79]. В определении вольтерровости, предложенным В.Г. Курбатовым [154]-[156], в линейных пространствах X, Y вы» деляются упорядоченные по вложению семейства подпространств {Xt j t Е Е R}, {Yt | t E R}. Оператор F : X Y назван вольтерровым, если при всех t Е R выполнено включение F(Xt) С Yt. В связи с исследованием задач математической физики и проблем оптимального управления В.И. Суминым [197]-[199] предложено определение вольтерровости для операторов, действующих в пространствах L™(П) функций, суммируемых на ограниченном измеримом подмножестве П С Rn. Пусть Ец - о -алгебра измеримых подмножеств П, Т С Ец. Оператор F вольтерров на системе множеств Т, если для всех множеств Н G Т и всех х, у G ^(П) из x(t) = y(t), t Е Я, следует (Fx)(t) = (Fy)(t), t <Е Н.

Приведем определение вольтеррового оператора, которое используется в настоящей работе. Пусть каждому 7 Е [ 0, Ь — а ] поставлено в соответствие некоторое измеримое множество е7 с мерой ц (е7) = 7 таким образом, что

V7, г] Е [0, b - a] J < V e7CeJ?. (1)

Обозначим v = { е7}. Пусть У, В - некоторые множества функций / : [а,Ь\ -»■ Rm. Отображение F : Y В называем вольтерровым на системе v, если для каждого е7 Е v и любых у, z £Y из ?/(s) = 2(5) на е7 следует (Fy)(e) = (F2)(e) на е7.

Это определение не претендует на максимальную общность, но позволяет охватить широкий класс операторов, для которых возможно построение содержательной теории и ее применение к функционально-дифференциальным уравнениям.

Приведем краткое описание работы и сформулируем основные результаты нашего исследования, сопровождая их цитированием работ, относящихся к рассматриваемым вопросам.

Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на главы, которые в свою очередь делятся на параграфы, списка литературы, предметного указателя и обозначений.

1. Вестник ПТГУ. Математика и прикладная математика. Нермь: Изд-во

2. ЭВМ отрывного обтекания нрофилей с угловыми точками // Докл. АН

3. АН УССР, Черновицкий ун-т. Черновцы, 1972. 213 с.60 . Бестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки.

4. Известия вузов. Математика. № 11 (402), 1994. 11-13.69 . Долгий Ю.Ф. Устойчивость движений в периодических системах с последействием // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. Тезисы докладов международного семинара.

5. Качеств, и приближ. методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1978. № 3. 48-60.78 . Дядченко Ю.А. О зависимости решений операторного уравнения типа

6. Тамбовского университета. Естественные и технические науки. Тамбов:

7. Изд-во ТГУ, 1998. Т. 3. Вын. 2. 171-176.85 . Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Начальная задача для линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения // Вестник

8. Тамбовского университета. Естественные и технические науки. Тамбов:

9. Якоби. Труды международного семинара. Екатеринбург, 2006. Т. 1. 129-137.

10. Института математики, физики и информатики ТГУ. Тамбов, 2005. 56-67.119 . Жуковский Е.С, Шиндянин А.И. К вопросу об исследовании краевыхзадач методом априорных неравенств // Краевые задачи. Пермь: Изд-во

11. Пермь. 1981. 11 с. Деп. в ВИНИТИ, № 3820-81.235 . Azbelev N.V. The ideas and methods of Perm Seminar on boundary valueproblems. Boundary value problems for functional differential equations.

12. World scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995. P. 13-22.236 . Artstein Z. Continuous dependence of solutions of operator equations //

13. Volterra of Volterra functional differential equations of neutral type // Appl.

14. Univer. Minnesota, June 26-30, 1967. Eds Harris W. A., Sibuja Ir. Y.,

15. HO возрастающая абсолютно ненрерывная функция, удовлетворяющаяусловию и{а) = 0);*(•) - транспонирование матрицы;•. - целая часть действительного числа;

16. Хе(') - характеристическая функция множества е С R, определяемая ра1, если i € е,венством1. О, если t ^ е.301