Критические точки функционалов, дифференцируемых по подпространству и уравнения Гаммерштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^ п

О . 1

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.948

МОРОЗ Виталий Борисович

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИОНАЛОВ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПО ПОДПРОСТРАНСТВУ И УРАВНЕНИЯ ГАНМЕР1ТЕЙНА

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1995

Работа выполнена на кафедре математических методов теории управления Белорусского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Забрейко П.П.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор Красносельский U.A.

доктор физико-математических наук доцент Килбас А.-А.

Оппонирующая организация - институт математики АН Беларуси

^------

Защита состоится "1Ь" г. в 10 часов на заседании

Совета Д. 02.01.07 в Белорусском государственном университете (220050, г.Минск, пр.Ф.Скорины, 4, Велгосуниверситет, главный корпус, к.206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Велгосуниверситета

Автореферат разослан " (Ь " 1995 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук,

профессор Корзюк В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большинство результатов современной теории критических точек относится к заданным на банаховых пространствах (или банаховых многообразиях) функционалам класса С1. Известно однако, что функционалы ряда классических вариационных задач оказываются дифференцируемыми лишь относительно некоторых плотных подпространств исходного банахова пространства, а условие их гладкости либо приводит к жйг.ткии пгрчниченя»;? рост либо вообще нн выполняется. С паппла 00-х гсдоа рядом авторов предпринимались попытки перенесения основных результатов теории критических точек на негладкие функционалы. Возникающие при этом трудности очевидны - само понятие критической точки, т.е. точки, в которой градиент функционала обращается в нуль, при переходе к негладким функционалам теряет привычный смысл и нуждается в определении. К настоящему времени в этой области можно выделить три основных направления исследования.

Первое направление, восходящее к классическим работам М.Морса Л.А.Люстерника 40-х годов занято построением "метрической" теории критических точек, т.е. теории критических точек для непрерывных и даже полунепрерывных снизу функционалов в метрических пространствах. Интенсивные исследования в этой области начали вестись лишь в самые последние годы.

Второе и, по-видимому, наиболее развитое к настоящему времени

• «

направление примыкает к многозначному анализу и связано с изучением различных классов локально-липшицевых функционалов, при исследовании которых может быть применено понятие субградиента.,

Наконец, третье направление, к которому может быть отнесена и настоящая диссертационная работа, связано с изучением функционалов, дифференцируемых (в том или ином смысле) по подпространствам исходного гильбертова пространства. В работах М.А.Красносельского, Н.А.Бобылева и др., посвященных исследованию вырожденцы;: экстремалей многомерных вариационных задач было введено понятие (Е,И)-правильного функционала, эффективное при решении локальных задач теории критических точек. М.Струве рассматривались полунепрерывные снизу функционалы, дифференцируемые относительно, некоторого семейства подпространств исходного гильбертова простран-

ства (т.н. условие ,(А) ), что позволило получить ряд новых результатов о нетривиальных решениях полулинейных эллиптических уравнений, уравнения Шредингера и др.

П.П.Забрейко была предложена схема исследований вариационным методом разрешимости нелинейных интегральных уравнений Гаммер-штейна, при которой соответствующий исходному уравнения функционал Голомба дифференцируем по подпространству исходного гильбертова пространства Н в Следующем смысле. Пусть <р : Н -» К и {+») -функционал на Ь и V с М - подпространство К. Функционал ? дифференцируем по подпространству V в точке х е Dornig), если при г е IR для всех v e.V функция <p(x+xv) дифференцируема по т в точке х =■ О, т.е. существует конечный предел

#>(x+tv) - »>(x)

-2—a>(x+tv). = lim --- ,

dt T 1-0 x

который называется производной функционала tp' в точке х с Dom(q>) по направлению v e V. . Настоящая диссертационная работа посвящена развитию этого подхода.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках госбюджетной научной темы: "Линейные и нелинейные проблемы анализа и теории операторных уравнений и их приложения в теории управления и математической экономике", № 19941353 - 37.39 Белгосуниверситета.

> Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение варианта теории критических точек для функционалов, дифференцируемых по подпространству и приложение полученных результатов к исследованию интегральных уравнений Гаммерштейна.

Научная новизна полученных результатов:

- построен вариант теории критической точки для функционалов, дифференцируемых по подпространству;

- при помощи вводимого в работе понятия существенного критического значения доказаны новые теоремы о критических значениях функционалов, дифференцируемых по подпространству;

- доказаны новые теоремы о разрешимости и нетривиальных решениях интегральных уравнении Гаммерштейна с условиями типа односторонних оценок;

- доказана новая теорема о нетривиальных решениях уравнений Гаммерштейна с суперквадратичными нелинейностями.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Вариант теории критических точек для функционалов, дифференцируемых по подпространству.

2. Тзоремы о критических значениях функционалов, дифференцируемых по подпространству.

3. Теоремы о разрешимости и нетривиальных решениях инте-

"рт.тт,тт:.-тс с условии««* тип« ""«""Т^Р^^ГТ'Т'Г

4. Теорема о нетривиальных решениях уравнений Гаммерштейна с суперквадратичными нелинейностями.

Практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты в дальнейшем могут Сыть применены при исследовании разрешимости различных классов нелинейных интегральных

уравнений и уравнений с частными производными, а также использованы при чтении специальных курсов на механико-математическом факультете.

Публикации,' апробация работы, личный вклад. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ. Отдельные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Функциональный анализ и уравнения с частными производными" (Минск ноябрь 1994 г.), на семинаре кафедры математических методов теория управления (руководитель - профессор П.П.Забрейко) и на семинаре кафедры функционального анализа (руководитель , - профессор Я.В.Радыно).

Все основные результаты, приводимые в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Часть результатов получена в соавторстве, что отмечено в тексте работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованных источников, включающего 93 наименования. Общий объем работы составляет 95 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана оценка современного состояния исследований в области теории критических точек негладких функционалов и ее применений при исследовании разрешимости различных классов нелинейных уравнений.

В первой главе работы рассматривается нелинейное интегрально.' уравнения Гаммерштейна

хШ - | ки.вЖв.хШ) ав, (1)

<

здесь (1 с II* - ограниченная область, х(в): (1 И - неизвестная измеримая функция, ядро к(Ъ,в): П х П И измеримо по совокупности переменных и симметрично (к(Ъ,а) - к(8,Ъ), « о), функция ¿Чв,и): (1 х Я -> Я удовлетворяет условиям Каратеодори.

Уравнение (1) может быть записано в операторном виде, как

X - КГх.

здесь Г - порожденный функцией £(в,и) нелинейный оператор суперпозиции

Гх(в) - 1(в,х(а)).

и К - порожденный симметричным ядром к(Ъ,з) линейный интегральный оператор

КхШ - | к(Ъ,8)х(в) йз,

о котором предполагается, что он действует и положительно определен в пространстве I. (со стандартным скалярным произведением <-,->о и нормой <•*„*= <-,->;/г). Его норма в I. обозначается через 1К1. В случае, когда К компактен в Ц, его спектр <т(К) состоит из счетного набора положительных собственных значений

А * А * ... * А_ * ... , 12 к

имеющих своей единственной предельной точкой нуль,, а *К1 - А4. Через обозначается пополнение I. по норме

Ш1/2 - ■К1'аМ0 .

которое является гильбертовым пространством со скалярным произве-

дением

где под К понимается продолжение по непрерывности оператора К с Ц на .

Основным объектом исследования в первой главе работы является построенный по оператору К и нелинейности ¿(з.и) функционал

Голомба на пространстве И-*'2

*>(Ю - <Ь,Ь>1/2 - | *(з,Шз)) ¿а.

ядвсь

$(з,и) - | ¿V

о

потенциал функции £(з,и), при этом ф(з,0) - О.

Без дополнительных предположений вообще говоря, не опре-

делен на всем /г, однако для существования его минимума достаточно потребовать, чтобы потенциал фСв.и) удовлетворял одностороннему условию роста (.' Л):

¿(в, и) а — аи2 + а , где а И КII < 1.

2 'О

Тогда <р слабо полунепрерывен снизу и является растущим на ,

что позволяет применить к нему принцип Вейерштрасса.

Теорема Х.Х ("принцип Вейерштрасса для функционала Голомба"). Пусть функция ф(з,и) удовлетворяет условию роста (А). Тогда функционал Голомба р достигает минимума на любом 'слабо замкнутом множестве Я с

В частности, <р достигает минимума на

Утверждения такого типа для функционалов Голомба хорошо известны. Новым в формулировке теоремы 1.1 является отсутсутствие каких-либо ограничений на ядро или нелинейность типа компактности:

слабая полунепрерывность снизу функционала <р оказывается следствием условия роста (А) и естественного свойства компактности по мере линейных интегральных операторов в пространстве 1. .

При классическом подходе к исследованию уравнений Гаммерштей-на прямыми вариационными методами требуется, чтобы соответствующий исходному уравнению функционал Голомба был дифференцируем по Гато, тогда принцип Ферма позволяет из существования точки минимума

сделать вывод о разрешимости уравнения (1). Оказывается однако, что "гладкость" функционала Голомба не является для этого необходимой - достаточно, чтобы р был дифференцируем по подпространству V - 1.в .

Теорема 1.2 ("принцип Ферма для функционала Голомба").

Пусть для р е 12,+») и я в [р',1] выполнены условия:

Ах) оператор К действует из I. , в V ;

р р

Аз) функция £ в,и) удовлетворяет оценке IГ (в ,и) I а Ь^иГ'4 + Ьа;

Аз) оператор К действует >9 I в I. , .

СО <|

Тогда для всех 11 Вот(.<р) функционал Голомба р дифференцируем по подпространству и

—р(Ь+ти). - <Ь-ГКЬ,Ки>„. а* г |т«о о

Если Ь*, « Оот(р) - точка локального минимума ч>, то х* - КЬ* € I.

р

является решением уравнения Гаммерштейна (1) .

При Ч ~ р' функционал Голомба непрерывно дифференируем на I.*'8, т.е. фактически мы оказываемся в рамках "гладкой" вариационной схемы. Однако при ч с (р',1] функционал р, вообще го-

воря, не определен на всем и недифференцируем в класси-

ческом смысле.

•

Объединение условий теорем 1.1 и 1.2 позволяет получить следующую теоорему о разрешимости уравнения (1).

Теорема 1.3. Пусть для р б [2,+») и q е [р',1] выполнены условия СА1-А3).

Пусть функция Ф(в,и) удовлетворяет условию роста (А).

Тогда уравнение Гаммерштейна (1) имеет по крайней мере одно решение в пространстве L .

Теорема 1.3 является новой даже для "гладкого" случая q = р', поскольку в ее условиях полностью отсутствуют какие-либо ограничения типа компактности на ядро либо нелинейность. В случае, когда q е (р',1], теорема 1.3 позволяет рассматривать уравнения, к которым ' стандартная вариационная схема неприменима. Так например, если о ядре k(t,s) известно, что оно квадратично суммируемо, функция f(s,u) может иметь квадратичный рост, тогда как классический подход требует, чтобы f(s,u) была подлинейна.

В случав, когда для некоторого а е R функция #(я,и) пред-ставима в виде

и) - -jpau2 + CJ(S,U),

где w(s,u) - о(1и|2) при lui О, уравнение Гаммерштейна (1) имеет тривиальное решение xCs) - О. Для доказательства существования нетривиальных решений уравнения (1) приходится накладывать дополнительное (по сравнению с теоремой 1.3) ограничение на рост функции 0(s,u), при выполнении которого функционал Голомба ока-

1ЧРЯ0ТРЯ лтттютюпая«*» м uennii»\imni, в* Ï. *''~ , * 7Т 77р

может не быть дифференцируемым в классическом смысле.

Теорема 1.4. Пусть для р е [2,+») и q с [р',1] выполнены условия (Ai-Аз),

Ао) функция ф s,u) удовлетворяет оценке

|0(s,u)| * atlui" + а2; А*) оператор К компактен в t2.

Пусть функция ф(з,и) удовлетворяет условию роста (А). Тогда при a > А-1 уравнение Гаммерштейна (1) имеет по крайней мере одно' нетривиальное решение в пространстве L .

р

Теорема 1.5. Пусть для р е [2,+») и q е [р',1] выполнены условия (Ао-А 4),

Пусть функция 0(s,u) удовлетворяет условию роста (А) и, кроме того,

u(s,u) s о при всех и « й.

Тогда при a ш (А"1, А~1 ] уравнение Гаммерштейна (1) имеет

по крайней мере два нетривиальных решения в пространстве L .

р

Как показывают результаты, полученные в первой главе,' плямые вариационные методы эффективно применимы при исследовании разрешимости нелинейных уравнений в случае, когда соответствующий исходному уравнению функционал не дифференцируем в классическом смысле , но оказывается дифференцируемым по подпространству. Поскольку, однако, прямые вариационные методы позволяют доказывать существование лишь небольшого числа "критических точек" таких функционалов, а именно точек типа локального минимума, возникает естественный вопрос о том, в какой степени восходящие к идеям М. Морса, Л.А.Люстерника и Л.Г.Шнирельмана топологические методы теории критических точек применимы для исследования функционалов.

дифференцируемых по подпространству.

Использование методов теории критических точек требует привлечения ряда специальных конструкций. Понятия дифференцируемости по подпространству для этого недостоточно - необходимо наложить на функционал ряд дополнительных ограничений.

Целью второй главы настоящей работы является построение теории критических точек для вводимого нами класса функционалов, которые естественно назвать непрерывно дифференцируемыми по подпространству, и к которым, в частности, относится функционал Го-ломба для уравнения Гаммерштейна (1).

Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением <•,•> и нормой «•«-<-,->1/a, W с Л - банахово пространство с нормой й•и Ы* - сопряженное к W пространство с нормой I • * т . Пусть функционал <р: И ■* Я дифференцируем по под-ространству 'V в точке х б И. В случае, когда производная (р в точке х по направлениям п е V явлется линейным непрерывным _ функционалом на W, этот функционал называется градиентом <р по подпространству V в точке х и обозначается через V^Cx):

<V(X)'W>W - TT^^Ix-o

(где <J,w>„ - значение линейного функционала Je V* на эле-иг

менте w е W).

Определение 2.1. Функционал <р: Н -» R непрерывно дифференцируем по подпространству V (или коротко: "принадлежит классу "), если V непрерывно и плотно вложено в Н и выполнены следующие условия:

i) <р непрерывен на И;

ii) в каждой точке х е Н существует градиент <р по подпространству V;

iii) градиент непрерывен, как оператор из Н в V*.

ff

. Критические точки функционала класса С, определяются есте-

п

ственным образом: как точки, в которых градиент функционала по подпространству Ы обращается в нуль. Его критические значения - это значения, принимаемые в критических точках. Играющее центральную роль при исследовании критических точек функционалов условие Пэли-Смейла (PS) также может быть сформулированно по аналогии с гладким случаем.

Определение 2.4. Последовательность Сх ) с Н называется

XI

последовательностью Пэли-Смейла для функционала <р класса С^ , если

1?(х )| < с и »7 »(х )». -* О.

т* и п

Определение 2.5. Функционал <р класса С удовлетворяет

if ...

условию Пэли-Смейла (PS), если любая последовательность Пэли--Сыейла для <р содержит сходящуюся подпоследовательность.

В разделе 2.1 показывается, что выполнение условия (PS) для (МЖКНИПНЯ Ппп упол;« р -"CIQI ^оСоЛ схаилаигный ЧЯЛПТ! л"»';-отриЙ. аналогичных соотаетстаующим утверждениям для гладких функционалов. В частности, ограниченный снизу'функционал класса с ,

п

удовлетворяющий условию (PS), достигает минимума на Н, более-того, любая его минимизирующая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Раздел 2.2 посвяг.ен построению псевдо-градиентного векторного псля для функционалов класса С , которое также ' обладает стан-"яртным набором свойств, аналогичных соответствующим свойствам и еадо-градиектного векторного поля для гладких функционалов.

Раздел Я.3 посвящен построению понижающей деформации для функционалов класса С . Этот результат является центральным, поскольку при наличии понижающей деформации (того или иного типа) топологические по своей природе доказательства теорем о критических точках осуществляются по стандартным схемам, которые уже не зависят от "степени гладкости" рассматриваемого функционала. Далее

™ !х е Н ! f(,y.) s с J лебегово i "о^еотзо функционала <р

Теорема 2.2 ("лемма о понижающих деформациях"). Пусть <t -функционал класса С„ , удовлетворяющий условию (PS).

п

Пусть промежуток [а,Ь] £ R и [+«} не содержит критических значений (р. •

Тогда f>a - строгий деформационный ретракт <рь.

При помощи леммы о понижающих деформациях для функционалов класса Сщ , удовлетворяющих условию Пэли-Смейла (PS), могут быть доказаны многие результата "гладкой", теории критических точек, однако развиваемый нами в последующих трех разделах главы подход не сводится к перенесению уже известных результатов и является .новым *

даже для функционалов класса С1. В его основе лежит вводимое нами понятие существенного критического значения функционала. Грубо говоря, существенные критические значения '- это значения функционала, при прохождении через которые его лебеговы множества меняют гомотопический тип - именно такие критические значения "улавливаются" при помощи доказанной нами леммы о понижающих деформациях.

Определение 2.7. Значение с е П функционала р класса удовлетворяющего условию.(PS) называется существенным критическим значением, если найдется сколь угодно малое с > О, для которого лебегово множество р°~с не является строгим деформационным ре-

О «-С V

трактом ■ р . ■ ...

Отметим, что согласно лемме о понижающих деформациях, существенное критическое значение функционала класса ' С^, удовлетворяющего условию (PS), действительно является его критическим значением .

В разделе 2.4 исследуются основные свойства существенных критических значений и приводятся примеры "естественных" геометрических условий их существования. В частности, для функционалов класса С доказывается аналог теоремы Бенчи-Рабиновица о зацеплении и

я

показывается, что определяемые при помощи этой теоремы критические значения являются существенными. Доказывается также следующий удобный в приложениях признак "существенности" критического значения .

Леииа 2.8. Пусть Н - Е" в V*, где dim £' < » и лусгь р - функционал класса С^ , удовлетворяющий условию (PS).

Пусть р(0) - 0 и для любого достаточно малого р > О

i) inf {р(х) | х € V*. 1х» - р) > О,

ii) вир (f>(x) I x « E", ixl - pj < o:

Тогда с - О - существенное критическое значение р.

В разделе 2.5 для функционалов класса Сп доказывается вариант теоремы о трех критических точках ограниченного снизу функционала, который является новым даже для "гладкого" случая. В отличии от предыдущих авторов, мы доказываем существование не трех критических точек, но либо существование трех различных критических значений, либо "массивность" множества точек глобального минимума функционала.

Теорема 2.4 ("теорема о трех критических значениях"). Пусть р - ограниченный снизу функционал класса С , удовлетворяющий

*т

условию ( РБ).

Пусть р имеет существенное критическое значение

с > р.

Тогда либо р имеет не менее трех различных критических значений , либо множество точен глобального минимума р не стягиваемо по себе. В частности, р имеет не менее трех различных критических точек. «

Целью раздела 2.6 яяля«тсч изучение футттяртспалов класса С

№

специального вида, часто встречающегося в приложениях.

Определение 2.9. Функционал р: Н ■* К называется квазиубы-вающим, если р неограничен сверху и убывает на любом конечномерном подпространстве Е с Н:

р(х) -» при «хи -» м, X « Е.

При выполнении некоторого усиленного варианта условия Пэли-

-'"•шйла - условия (РБ) мы доказываем следующую теорему о кри-'ических значениях квазиубывающих функционалов класса С .

VI

Теорема 2.7 ("теорема о двух критических значениях"). Пусть. Р - квазиубывающий функционал класса С , удовлетворяющий условию (РЭ)* .

Пусть р имеет существенное критическое значение с е Я.

Тогда р имеет не менее двух различных критических значений.

Формулировки теорем 2.4 и 2.7 являются слишком общими и неудобны для причинения к исследованию конкретных вариационных задач Понятно, однако, что лемма 2.8, также как и любое другое утверждение, гарантирующее существование у функционала р существенного критического значения, позволяет получить соответствующие варианты теорем о двух и трех критических значениях.

В разделе 2.7 рассматривается функционал Голомба р на гильбертовом пространстве Н «■ • Мы показываем, что при ыполне-нии естественных условий, которые налагались в первой главе на ядро и нелинейность для доказательства теорем о нетривиальных решениях уравнения Гаммерштейна (1), функционал Голомба непрерывно дифференцируем на по подпространству Л - I .

2, .09

Теорема 2.9. Пусть для р е [2,+ю) и ^ « [р*.1] выполнены условия (Ао-Аз).

Тогда функционал Голомба <р непрерывно дифференцируем на 11/г по подпространству Ы - I и

А <Я

^»(М - КЬ - КПСЬ.

При этом каждой критической точке Ь* е функционала <р

соответствует решение

X* - КЬ* с 1.

р

уравнения Гаммерштейна (1).

Приводимый нами пример показывает, однако, что в "негладком" случае ч е (р* »11 функционал Голомба, вообще говоря, перестает удовлетворять условию Пэли-Смейла (РБ). Иначе говоря, естественных условий, при выполнении которых в первой гЛаве прямыми вариационными методами доказывается существование точек минимума <р, по-видимому, недостаточно для доказательства существования критических точек седлового типа. Тем не менее, теоремы 2.4 и 2.7 позволяют получить новые утверждения о нетривиальных решениях уравнений Гаммерштейна, оставаясь в рамках "гладкого" случая.

В третьей главе рассматривается задача о нетривиальных решениях уравнения Гаммерштейна (1). Мы предполагаем, уто при некотором вей функция представима в виде

♦(в,и) - + ы(а,и),

где ы(з,и) - о(|и|г) при |и| О, т.е. уравнение (1) имеет тривиальное решение. Кроме того, предполагется, что для некоторого р € [2,+«) выполнены условия: "

' В1) оператор К действует и компактен из 1. , в I. ;

• р р

Вг) функция { з,ц) удовлетворяет оценке

I £ (а ,и) I * Ь, 1и| + Ь,

оператора К в •• I.

Через а"1(К) - (А*1, А"1. ... } обозначается "обратный" спектр 12'

г

Прй выполнении условий (В1,Вг) функционал Голомба для уравнения (1) непрерывно дифференцируем (в классическом смысле), а его градиент имеет вид "тождественный" + "компактный", когда проверка условия Пэли-Смейла не представляет труда.

В 3.2 рассматривается'случай, когда функция

удовлетворяет одностороннему условию роста (А). Тогда, согласно гаораме 1.4, при а > А"1 уравнение (1) имеет по крайней мере тдно нетривиальное решение. Теорема 2.4, позволяет, при несколько . ?элее сильных условиях на нелинейность, установить существование по крайней мере двух нетривиальных решений уравнения (1).

Теорема 3.1. Пусть для р « [2,+ш) выполнены условия (В1 ,Ва)

Пусть функция $(з,и) удовлетворяет условию роста (А) и при а > ¡Г1 выполнено одно из условий:

«и ) <* * ~' (К ; ;

аг) о е о,"1(К) и для некоторого г > О

ы(з,и) * аг1и|р при всех |и| а г ;

аз) а « <г-1 (К) и

ы(в,и) < О при всех и * О.

Тогда уравнение Гаммерштейна (1) имеет по крайней мере два

нетривиальных решения в пространстве 1. .

р

' В разделе 3.3 рассматривается случай, когда функция ы(а,и) Алл некоторого д е (2,р] и И > О удовлетворяет условию:

О < д и(з,и) а и и'(з,и) + а для всех |и! ь И.

и н

Нелинейности такого типа получили название суперквадратичных. Функционал Голомба для уравнений Гаммерштейна с суперквадратичными нелинейностями неограничен снизу и является квазиубыэающим, т.о. к нему может Оыгь применена теорема 2.7, которая позволяет получить следующий результат.

Теорема 3.2. Пусть для р щ [2,-ич) выполнены условия (В1,0а).

Пусть функции ы( з, и1) суперквадратична для д « (2,р) и при а е К выполнено одно иэ условий (сп),(аз). ,

Тогда уравнение Гаммерштейна (1) имеет по крайней мере одно нетривиальное решение в пространстве В. ..

Отметим в зсклгченяе, что все псяуче'шгэе утверждения о разрешимости уравнений Гаммерштейна (1) без труда переносятся на уравнения с ядрами, имеющими конечное число отрицательных собственных значений, а также на системы уравнений Гаммерштейна в идеальных пространствах вектор-функций.

вывода.

1. Построен вариант теории критических точек для функционалов, дифференцируемых .по подпространству.

2. Для функционалов, дифференцируемых по подпространству, доказана теорема о трех критических значениях ограниченного снизу функционала, являющаяся обобщением теоремы о трех критических точках, и теорема о двух критических значениях квазиубывающзго функционала, обобщающая вариант теоремы о перевале для таких функционалов. Полученные теоремы являются новыми даже для случая, когда функционал является гладким.

3. Доказаны теоремы о разрешимости и нетривиальных решениях интегральных уравнений Гаммерштейна с условиями типа односторонних оценок с ослабленными требованиями согласования между ростом нелинейности и особенностью ядра.

4. Доказаны новые теоремы о нетривиальных решениях интегральных уравнений Гаммерштейна с условиями типа односторонних оценок и теорема о нетривиальных решениях уравнений Гаммерштейна с суперквадратичными нелинейностями.

\

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ АВТОРА, ВЫПОЛНЕННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

L. Appel J., Moroz V.B., Vlgnoli A., Zabrejko P.P. On the applications of Kielhofer's bifurcation theorem to Hammerstein equations nith potential nonlinearity // Boll.Unione Mat. Ital. 1994, v.8-B, p.833-850.

л. Зайрнйко il П., Иорпч P.B. Г ""-"Г-?,- pZZpsZZHGCTZ ■■■■

тегралышх уравнений Гаммерштейна с потенциальными нелиней-ностями // Дифференц.уравнения - 1995, т.31, с.690-695.

3. Мороз В.Б. О разрешимости уравнений Гаммерштейна с нвази-положительн'о определенным ядром ./'/ Операторы и операторные уравнения - Новочеркасск: .1995, с.78-81.

4. Мороз В.Б. Об одной схеме исследования интегральных уравнений Гяммерштена // Доклады АН БССР - 1995, т.4, с.31-35.

Ногой V.D., Vignoli A., Zabrejko P.P. On the three critical point theorem // Preprint: Ruhr Universität, Bochum, 1995.

6. Moroz V.3., Zabrejko P.P. A variant of the mountain pass theorem and its applications to Hammerstein integral equations ' Preprint: Ruhr Universität, Bochum. 1995.

РЕЗЮМЕ" Мороз Виталий Борисович

Критические точки функционалов, дифференцируемых по подпространству и уравнения Гаммерштейна.

Ключевые слова: негладкие функционалы, диффереицируемость по подпространству,, теория критических точек, нелинейные интеграль-льные уравнения.

Построен вариант теории критических точек для функционалов, дифференцируемых по подпространству. Доказаны новые теоремы о критических значениях функционалов, дифференцируемых по подпространству .

Полученные результаты применены для исследования вариационным методом нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна. Получены теоремы о разрешимости и нетривиальных решениях уравнений с условиями типа односторонних оценок и о нетривиальных решениях уравнений с суперквадратичными нелинейностями.

с

РЭЗЮМЭ Мароз Витал1й Барысав1ч

Крытычныя пункты функцыяналау, дыфференцавальных па падпрасторы 1 раунанн! Гаммерштейна

ч

Ключаоыя словы: негладк1е функцияналы, дыфферэнцавальные па падпрасторы, тэорыя крытычных пунктау, нелинейный 1нтегральныя раунанн1. .

Пабудаваны варыянт тэоры! крытычных пунктау для функцыяналау, дыфферэнцавальных па падпрасторы. Даказаны новыя тэарэмы аб крытычных значэннях функцыяналау, дыфферэнцавальных па падпрасторы.

А^рыманныя результаты выкарыстаны пры даследовашй варыяцый-ным метадам нел1нейных 1птегральных раунанняу Гаммерштэйна. Атры-маны тэарэмы аб вырашальнасц1 1 аб нетрыв!яльных рашеннях раунанняу з умовам1 типу аднабаковых ацэнак 1 аб нетрыв1яльных рашеннях раунанняу з суперквадратычнымх нел1нейнасцям1.

SUMMARY

Moroz Vltaly Borleovlch

Critical.points of functional«, differentlabia with respect to subspace and Haoaersteln equations

Key words: non«m/v»*.v» UiiiereiiLini-.inn —itf!

pect to aubauHO«, «ntïenl point theory, nonlinear Integral equations.

A variant of the critical point theory for the functionals differentiate with respect to a subspace are developed. The new theorems on the critical values of the functionals differentiate with respect to a subspace are derived.

The obtained results are applied to the investigation of the lammerstein nonlinear integral equations by means of the variational method. The theorems on solvability and nontrivial solutions jf the equations with the one-sided estimates type conditions as. rell as on nontrivial solutions of the equations with superquad-•atic nonlinearities are proved.