Задача о бифуркации с интегральными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Вариационная задача о бифуркации с ограничениями

1.1 Элементы теории бифуркации.

1.2 Схема расщепления Ляпунова - Шмидта.

1.3 Задача о бифуркации со связью.

2 Функциональные пространства и примеры ограничений

2.1 Формулы интегрирования по частям.

2.2 Функциональные пространства

2.3 Примеры ограничений.

3 Краевые задачи теории бифуркации с ограничениями

3.1 Вариационная задача о бифуркации на плоской кривой.

3.2 Вариационная задача о бифуркации в плоской области.

3.3 Вариационная задача о бифуркации на двухмерных поверхностях в трёхмерном пространстве

Классическая задача о бифуркации имеет следующую постановку. В некоторой окрестности U нуля банахова пространства X и для всех значений числового параметра Л задается отображение f : U хШ. —v Y , где Y- некоторое банахово пространство. Считается, что О, Л] = О для всех Л. Точкой бифуркации называется такое число Л0, что в любой сколь угодно малой окрестности точки (0, Ао) пространства IxM существует решение задачи яг, А] = О (1)

С X фо.

Для дифференцируемого отображения / необходимым условием бифуркации является требование оператор /^[0, А] не является изоморфизмом пространств X и Y. (2)

Классический пример

Х=У = М2, Х = {Х1,Х2), /[Ж,А] = (/1[Х,А],/2[Х,А]), fl[x, А] = Xxi - , /2[ж, А] = Хх2 + х\ показывает, что необходимое условие не является достаточным: А = 0 удовлетворяет необходимому условию, но единственным решением задачи f[x, А] = 0 является х = 0.

Развитие теории бифуркации нелинейных уравнений диктуется, в основном, нуждами прикладных задач. Многочисленные примеры таких задач содержатся, например в сборнике [20].

Одной из первых работ по теории бифуркации следует считать работу A.M. Ляпунова [8], посвященную фигурам равновесия вращающейся тяжелой жидкости и работу Е. Шмидта [23] о бифуркации для нелинейного интегрального уравнения. В данных работах рассматривалось нелинейное интегральное уравнение, в котором ответвляющееся решение искалось в виде некоторого ряда. Техника такого разложения в конечномерном пространстве восходит к работе Ньютона [10] о теореме о неявных функциях при вырождении матрицы Якоби. Такой подход к задаче бифуркации естественно назвать подходом, основанным на дифференциальных свойствах отображения /. Его классические результаты прекрасно изложены в [2]. В случае несильного вырождения оператора /[а;, Ао] вместо диаграммы Ньютона для получения достаточного условия бифуркации естественно применять лемму Морса. Данный подход изложен, например, в [9]. Классификация возможных вариантов бифуркации для отображений "общего положения", основанная на теории катастроф, дана в [15].

Подход, основанный на дифференциальных свойствах отображения /, обладает существенным недостатком. При его применении к конкретным задачам требуется слишком хорошо знать свойства оператора /х[0, Ао]. Исключением является случай, когда ядро оператора fx[0, Aq] одномерно, а его образ - замкнутое подпространство единичной коразмерности. В этом случае достаточное условие бифуркации имеет простой вид и, как правило, допускает проверку. Однако простота собственного числа - вещь исключительная и выполняется всегда лишь для задачи Штурма-Лиувилля для оператора второго порядка с определенными граничными условиями. Тем не менее, с помощью этого метода удается разобраться с бифуркацией даже в ряде нестандартных задач, например, в задачах в переменных областях [21, 22] и в задачах со свободной поверхностью [14, 16].

При наличии дополнительной информации об отображении / можно значительно ослабить требование на плохо проверяемые свойства оператора fx[0, А0]. Если для / справедливо представление f[x, А] = х + Хд[х],

3) где д - компактное отображение, </[0] = 0, то к исследованию задачи обифуркации для отображения (3) применима теория степени [9]. Разумеется, для точки бифуркации Ао должно выполняться необходимое условие (2). Достаточным условием бифуркации является нечетность размерности ядра оператора fx[0, Л]. С теоретической точки зрения переход от простого собственного числа к собственному числу нечетной кратности -это определенный прогресс, однако его сложно использовать при исследовании задач о бифуркации для дифференциальных уравнений. Поэтому возникает естественный вопрос о выделении такого класса отображений /, для которого необходимое условие бифуркации (2) совпадает с достаточным. Оказывается, что таким классом являются потенциальные операторы где х <= Н, Н - гильбертово пространство, G, F - функционалы в пространстве Н. Оказывается, что при определенных ограничениях на функционалы G и F (они приведены в разделе 1.1) необходимые условия бифуркации для отображения (4) совпадают с достаточными. Данное утверждение доказано И.В. Скрыпником.

Вариационная природа задачи (1) позволяет получить ее решение с любой (не обязательно малой) нормой. Для этого задача (1) для оператора (4) сводится к задаче о нахождении критических точек для функционала G на множестве = а. При определенных ограничениях на свойства функционалов G и F (они приведены в разделе 1.1) к задаче о критических точках применима теория Люстерника - Шнирельмана [7, 18], позволяющая доказать существование счетного набора критических точек для каждого а. Задаче о бифуркации при таком подходе соответствуют малые значения параметра а.

Вариационный метод интенсивно развивался и успешно применялся при исследовании различных задач. Одним из его беспорных достижений следует считать анализ уравнений Кармана, описывающих процесс выпучивания упругих пластин (см., наприf[x,\}=G'[x}-\F'[x],

4) мер, работу М.С. Келлера в [20]).

Наряду с задачей (1) в приложениях часто встречается необходимость изучения бифуркации для задачи

А] = 0, Ф[ж] = 0, (5) где Ф - отображение пространства X в банахово пространство Z. Ф[0] = 0. Такую задачу будем называть задачей о бифуркации с ограничением. Классическим примером такой задачи является задача о формах изгиба нерастяжимых упругих колец, исследованная И. Таджбахшем и Ф. Одехом в работе [24]. В этой работе равенство задавалось интегралом от некоторой функции от поля смещений и означало условие нерастяжимости кольца. В данной задаче интегральное ограничение Ф[ж] = 0 скорее помогало, чем мешало исследованию задачи (5), поскольку оно автоматически учитывалось специальным выбором параметризации. Были и другие подобные задачи, однако систематического изучения задачи (5), позволяющего применять абстрактные результаты к исследованию прикладных задач, отсутствовали.

Целью предлагаемой диссертации является

1) выделение класса ограничений Ф интегрального и более общего типа, для которого к задаче (5) применим аналог теоремы Скрыпника,

2) реализация конкретных ограничений Ф из этого класса в пространствах Соболева в ограниченных областях и на поверхностях евклидова пространства,

3) исследование ряда интересных с точки зрения приложений задач о бифуркации для нелинейных эллиптических уравнений и систем в областях и на многообразиях с построенными ограничениями.

Ограничение (5) не единственное, встречающееся в задачах математичской физики. Другим классом ограничений является неравенство Ф[ж] > 0. Это ограничение присутствует в "вариационных неравенствах"[6]. Исследование задач о бифуркации для такого ограничения проведено Е. Цайдлером [25].

Обратимся к содержанию диссертации. В главе 1 описываются различные подходы к теории бифуркации и дается их сравнение. Приводятся формулировки теорем Скрыпника и Люстерника - Шнирельмана. Затем с помощью схемы расщепления Ляпунова -Шмидта (см., например, [2]) дается описание множества всех решений уранения

Ф[ж]=0, хеХ, |И|<£ (6) при достаточно малом 6. Устанавливается, что при определенных ограничениях это множество имеет структуру поверхности (см. [12]). Последнее означает, что а) пространство X разлагается в прямую сумму подпространств Х\ и Хч

X = б) существует такое непрерывно дифференцируемое отображение г малой окрестности нуля пространства Хг в малую окрестность нуля пространства Х2. что г[0] = 0, г'[0] = О и множество всех решений задачи (6) имеет вид х = u + r[u\, и £ X1, ||и|| < р.

После этого устанавливаются ограничения на свойства функционалов /, Q и отображение Ф, при наличии которых к функционалам

J[u] = G[u + г[м]], Q[u] = F[u + г[и]], «Gli, ((«И < p применима теорема Скрыпника (теорема 1.3.1 ). Основным результатом главы является теорема 1.3.2. Приведём её формулировку.

Пусть X - гильбертово пространство, U С X - некоторая окрестность нуля этого пространства, G[x], F[x], х £ U,- два функционала, удовлетворяющие следующим условиям

1) функционал G слабо непрерывен

2) функционал G непрерывно дифференцируем, его дифференциал G' удовлетворяет условию Липшица и

G'[x\ = R(x) = Ах + N(x), где А - линейный компактный самосопряженный оператор, а для отображения N(x) справедлива оценка

1№)||<едр\ с>о, р> 1, хеи,

3) функционал F непрерывно дифференцируем и

F'[x\ = S(x) = Вх + L(x), где В - линейный ограниченный самосопряженный положительно определенный оператор, а для отображения справедлива оценка

ИВДИ < СИ*, ||L(xx) - Цх2)II < cellar1 + iNmki - х2\\,

С > 0, q > 2, х, Xi, х2 eU.

Пусть отображение Ф : U —У У, где Y - некоторое банахово пространство удовлетворяет условиям

4) Ф[0] = 0, кегФ'[0] = N ф {0}, 1тФ'[0] = Y,

5) существует такое банахово пространство Y\,Y С что отображение Ф : U —> Y\ слабо непрерывно.

Тогда число До ф 0 является точкой бифуркации для задачи

J'[u] - ЛQ'[u] = 0 (7) в том и только том случае, если уравнение

РАР - А0РВР)х = 0, (8) где Р проектор в X на подпространство N, имеет ненулевое решение.

Отметим, что при dimF = к < оо (в приложениях такая связь обычно задается интегралом от искомой функции) как правило, Y = Y\. При к = оо правильный выбор пространства Y\ существенно расширяет рамки применимости теоремы.

Вторая глава диссертации начинается с определения касательного к поверхности Г градиента [4] d-d Si = — -n1(x)nJ(x)—, г = 1,2, .,m, х €Г, i j где Г С Mm (m — 1) - мерная поверхность с нормалью n(гг), и касательного к кривой Г градиента

Si~ Ti(x)rj(x)-7-— , г = 1,2,., m , OXj где Г С Rm - одномерная кривая с касательным векотором т(х). Исходя из нужд приложений и ради простоты выкладок, все дальнейшие построения проводятся при размерности гп = 2 и гп = 3.

Приводится формула интегрирования по частям на поверхности (её доказательства для замкнутой поверхности дано, например, в [3, 4], формулировка для многообразия с краем приведено в [1], доказательство можно найти в [13]) и получен ее аналог для кривой (формулы Френе и Дарбу взяты из [5]). Даны стандартные определения пространств C.J1. Соболева на поверхностях евклидова пространства, использующие разбиение единицы и переход к локальным координатам.

Основной материал второй главы разбит на две части. В первой части в ряде соболевских пространств и их подпространств вводится норма, содержащая касательные градиенты и доказывается ее эквивалентность стандартной. Приведем список результатов (теоремы 2.2.1-2.2.10).

1) Пусть О С К2 - ограниченная область, Г = 90е С3. Тогда величины и2 = Jimuf + W^ds, |И2= J\5Mvn)\2ds, \\ф\\2 = 1\5МФт)\Чз, г г г щ<р,фе wf (Г) определяет норму в пространстве W22(r), эквивалентную стандартной. Аналогичные результаты справедливы для кривой Г С К3.

2) Пусть ficl2- ограниченная область, Г = dQ € С3. Тогда велчина

1М|2 = 1Ы1?г|(г) + IKlfer) > u € W22(I\M2), ur = («,r), un = (u,n) задает норму в пространстве Wf (Г,К.2), эквивалентную стандартной.

3) Пусть Q С М2 - ограниченная область, Г = сЮ £ С3. Тогда в гильбертовом пространстве я0(«) = {и е И^О), и|г € W22(r,M2), и|Г1 = 0} , Гг С Г величина u||2 = J а^Дх)^-(«)&./(«) dx + J\5{5{и\2 ds q г где коэффициенты ацы € L^ удовлетворяют стандартным условиям симметрии и положительной определенности, а , ч 1, ди* диг. задает норму в пространстве H0(Q), эквивалентную стандартной.

4) Пусть ограниченная область 11 С К3, <S = <90 6 С3. Тогда величина u||2 = J(\SiU\2 + \U\2)dS, мбИ^(5Д3) s определяет норму в пространстве, И^^М3) эквивалентную стандартной.

5) Пусть ограниченная область О С М3, S С дС1 - открытое связное множество, dS £ С3. Тогда в гильбертовых пространствах o(S,M3) = {г/ G W}(S,R% «|г £ W|(r,M3), «|Г1 = 0}, ГхсГ, величины и||2 = J а^И(х)5^6,ик dS + J|SiSi u\2 ds, и e Я0(5,М3), s г

IMP = J (*ijkl(x)Sj(Vmi)Sl{<pnk)dS + j I SiSi (<pn)|2 ds ,

5 г определяют соответственно нормы, эквивалентные стандартным.

Доказательство этих утверждений близко к доказательству теоремы об эквивалентных нормировках [19]. Выбор пространств диктуется последующими приложениями.

Во второй части главы 2 исследован ряд примеров отображенй Ф в описанных выше функциональных пространствах. Проверено выполнение требований теоремы 1.3.2. Все ограничения носят геометрический характер. Они касаются отображения у(х) = X + и(х), в которых функция и(х) подчинена тем или иным ограничением. Приведем список этих ограничений, не вдаваясь в излишные детали.

Пусть Q С М2 - ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, функция и(х) со значениями в R2 принадлежит некоторому соболевскому пространству. Класс отображений у(х), которые

1) оставляют кривую Г инвариантной: ?/(Г) С Г,

2) сохраняют площадь |f]|: =

3) сохраняют длину |Г|: |Г| = |у(Г)|, имеет структуру поверхности в этом соболевском пространстве.

Пусть Q С К3 - ограниченная область с гладкой границей <90, открытое связное множество S С dti достаточной гладкой границей dS. Класс отображений у(х), которые

4) оставляют границу dS инвариантной на поверхности dQ: y(dS) С dfl имеет структуру поверхности в этом соболевском пространстве.

В главе 3 описывается ряд приложении теории Скрыпника, Люстерника - Шнирель-мана и теоремы 1.3.2 к конкретным задачам о бифуркации вариационного характера. Функционалы исследуемые в них, являются интегральными функционалами в соболевских пространствах в областях и на поверхностях евклидова пространства. Их выбор обусловлен приложением к задачам теории упругости, поскольку исследуемые функционалы моделируют для ряда случаев функционалы энергию деформации. Для функционалов в соболевских пространствах на поверхностях и кривых использован беско-ординатый подход, наиболее удобный для предложений. Разобьём исследуемые задачи на три группы.

1) Вариационная задача теории бифуркации на плоской кривой.

Исследуемые в этом разделе функционалы близки к функционалам, возникшем в работе Таджбахша и Одеха о формах упругих колец. Остановимся сначала на задачах без ограничений.

Пусть ограниченная область ft С I2 имеет достаточно гладкую границу Г. Для функции <р G (Г) определим функционалы

F[<p] = J\$М<рп)\2 ds , G[ip] = J q(<pn,x)ds. г г

Функция q(u,x) предполагается гладкой и удовлетворяющей условиям д(0,ж) = 0, до.-(0,аг)=0, хбГ. (9)

Точка До является точкой бифуркации задачи

F'[p]-\G'[ip} = О, A G1 в том и только том случае, если задача

2 J 5iSi(ipn)SjSj(hn) ds — Xо J quiuj (0, x)n'n^(ph ds = 0 г г имеет ненулевое решение (теорема 3.1.1).

Если данные задачи достаточно гладки, то решение уравнения бесконечно дифференцируемо (теорема 3.1.3).

Если функция q удовлетворяет дополнительным условиям q(u,x) > 0, qui{u,x)ul > 0, иф q(-u,x) = q(u,x) , qui(cu,x) = c?+1qui(u,x), p> 0. (10) то при каждом А задача имеет счётный набор решений (теорема 3.1.2). Аналогичные результаты справедливы для функционалов

F[(p] = JlSA&rtfds, G[p] = J q(<pr,x)ds и для функционалов

F\<p,$\ = J {\6{6{(р\2 + \5{5,4>\2 + l^l2 + \Ф?) ds , С[^ф} = J q(<fT + ipn, x) ds (11) г г теоремы 3.1.4, 3.1.5).

Перейдём к задачам с ограничениями. Рассмотрим задачу о бифуркации для функционалов (11) при дополнительном ограничение у : Г—>М2, у(х) = х + и(х), (12) обеспечивающее сохранение площади |Г2[. Точка Л0 является точкой бифуркации для задачи (7) при таком ограничении в том и только том случае если система

J(SiSjtpSjSjhi + iph\) ds — A J qui((pr + i[>n7x)Tthids = 0 г г

J(SiSitpSiSih,2 + фк2) ds — A J qui (ipr + фп, x)n'h,2 ds = 0 г г имеет неулевое решение (<р, ф) из пространства w? (г) х {h € Wi(T) : J hds = 0} г для всех (hi,h<2) из этого пространства (теорема 3.1.6). Данная задача моделирует поведение упругого кольца в силовом поле, заполненного несжимаемой средой.

Аналогичные результаты получены для ограничения на отображение у, обеспечивающее сохранение длины кривой и инвариантность кривой (теоремы 3.1.7, 3.1.8).

2) Вариационная задача о бифуркации в плоской области.

Рассмотрим сначала задачу без ограничения. Пусть ограниченная область Q С К.2, граница которой состоит из двух непересекающихся достаточно гладких компонент Г и Г1. Для функции и 6 Ho(Q) определим функционалы

F[u] = J aijki{x)^ij(u)^ki(u) dx + J\8Au\2 ds , G[u] = Jq(u,x)ds. n г г

Функция q(u,x) предполагается гладкой и удовлетворяющей условиям (9). Точка Aq является точкой бифуркации задачи

F'[u] - XG'[u] = О, AgM в том и только том случае, если задача

2 J aijki(x)^ij(u)(ki(v) dx + 2 J SiSiuSjSjV ds - A0 J quiuj(0,x)ulvj ds = 0 п г г имеет ненулевое решение (теорема 3.2.1).

Если данные задачи достаточно гладки, то решение уравнения бесконечно дифференцируемо (теорема 3.2.3).

Если функция q удовлетворяет дополнительным условиям (10), то при каждом А задача имеет счётный набор решений в пространстве о {ы е #o(ft), (и, г») = 0, v еи^1 (1),М2)} теорема 3.2.2).

Перейдём к задачам с ограничениями. Рассмотрим задачу при дополнительном ограничение (12) обеспечивающее сохранение площади |0|. Точка Ао является точкой бифуркации для задачи (7) при таком ограничении в том и только том случае если уравнение

2 J aijki{x)in{v)iki{h) dx + 2 J SiSi^SjSj^) ds - A0 j quiuj(0,x)v1h3 ds = 0 n г г имеет ненулевое решение v из пространства и Е : и|г = <рт + фп, J ipds = 0} г для всех h из этого пространства (теорема 3.2.4).

Аналогичные результаты получены для ограничения на отображение г/, обеспечивающее сохранение длины кривой и инвариантность кривой (теоремы 3.2.5, 3.2.6).

3) Вариационная задача о бифуркации на двухмерных поверхностях в трёхмерном пространстве.

Пусть ограниченная область fiCE3c гладкой границей сШ и S С <90 - открытое связное множество, граница которого состоит из двух непересекающихся достаточно гладких компонент Г и Г\. Для функции u G Hq(S,R3) определим функционалы f[»i = faiv№WdS + f\M, «\4s, ад = [q(«,x)is.

5 г г

Функция q(u,x) предполагается гладкой и удовлетворяющей условиям (9). Точка Л0 является точкой бифуркации задачи

- ag'[и] = 0, аек в том и только том случае, если задача

2 J aijki(x)Sju'Sivk dS + 2 J SiSi uSj5j v ds — a0 J quiuj(0,x)u'vj ds = 0 .„ и didi v i s Г имеет ненулевое решение (теорема 3.3.1).

Если данные задачи достаточно гладки, то решение уравнения бесконечно дифференцируемо (теорема 3.3.3).

Если функция q удовлетворяет дополнительным условиям (10), то при каждом А задача имеет счётный набор решений в пространстве

Hi(S,R3) ={mG #o(S,M3) , (u,v) = 0, V ew} (S,M3)} теорема 3.3.2).

Аналогичные результаты справедливы для функционалов

F[p] = j aijki{x)Sj(ipni)8,(ipnk) dS + JfSiSi (pn\2 ds , G[ip] = J q(^pn,x)ds s г г теоремы 3.3.4, 3.3.5, З.З.б).

Перейдём к задачам с ограничениями. Рассмотрим задачу при дополнительном ограничение у : S —у М3 у(х) = х + и(х) обеспечивающее инвариантность границы Г на поверхности 8Q. Точка Лц является точкой бифуркации для задачи (7) при таком ограничении в том и только том случае если уравнение

2 J aijkl(x)5jVz5ihk dS + 2 J SiSi v 8j8j hds - A0 J quiuj(0,x)vlhj ds = 0

5 г г имеет ненулевое решение v из пространства u £ Я0(5,Е3) : (и,п)|г = 0} для всех h из этого пространства (теорема 3.3.7).

Важно отметить, что все сформулированны результаты о бифуркации со связью однотипно получаются с помощью теоремы 1.3.2.

1. Бураго Д.М., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. Ленинград, 1980.

2. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. Москва, 1969.

3. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными, второго порядка. Москва, 1989.

4. Джусгпи Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. Москва, 1989.

5. Картан А. Дифференциальные исчисление. Дифференциальные формы. Москва 1971.

6. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. Москва, 1983.

7. Люстерник Л.А., Шнирелъман Л. Топологические методы в вариационных задачах. Москва, 1930.

8. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvment de rotation, P.l. Записки академии наук. С.-Петербург(1906).

9. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. Москва, 1977.

10. Ньютон И. Математические работы. Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением к геометрии кривых. ОНТИ, 1937.И. Овчинников С.Н. Устойчивость течений Куэтта в случае широкого зазора между вращающимися цилиндрами. ПММ, 34 (1970), 302-317.

11. Осмоловский В.Г. Линейные и нелинейные возмущения оператора div. С.Петербург, издательство С.-Пб университета, 1995.

12. Осмоловский В. Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошных сред. С.-Петербург, издательство С.Пб университета, 2000.

13. Осмоловский В. Г. Бифуркация свободной поверхности в задачах о фазовых переходах в механике сплоной среды. Записки научн. семин. ПОМП т. 243 (1977), 169-200.

14. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. Москва, 1980.

15. Пухначев В.В. Плоская задача со свободной поверхностью для уравнения Навье-Стокса. ПТФ, 3(1972), 365-373.

16. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высокого порядка. Киев, 1973.

17. Скрыпник И. В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т.9, 1976.

18. Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Пространства Соболева. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Ленинград, издательство Ленинградского университета, 1981.

19. Теория ветвлений и нелинейные задачи на собственные значения. Сборник работ под редакцией Дж. Б. Келлера и С. Антмана. Москва, 1974.

20. Borisovich A. Yu. Lyapunov-Schmidt method and types of singularities of critical points of key function in the the problem of bifurcations of minimal surface. Lecture notes in Math. v,1453(1990),201-210.

21. Osmolovskii V.G., Sidorov V.A. Bifurcation Problem for Nonlinear Second Order Equations in Variable Regions. Amer. Math. Soc. Transl.(2) v.164 (1995), 171-188.

22. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, 3. Math.Ann., 65 (1910), 370-399.

23. Tadjbakhan I., Odeh F. Equilibrium states of elastic rings. Anal. Appl. Math. 18,N1 (1967),59-74.

24. Zeidler E. Lokale und globale Verzweigungsresultate fur Variationsungleichungen. Math. Nachr. 71 (1976),37-63.Работы автора по теме диссертации

25. Бифуркация в квазилинейной вариационной задаче па одномерном многообразии. Сб. Проблемы математического анализа, вып. 22. Теория функций и приложения, стр. 27-34, Новосибирск 2001.

26. Вариационная задача о равновесии упругой среды помещённой в упругую оболочку. Сб. Проблемы математического анализа, вып. 24. Теория функций и приложения, стр. 95-102, Новосибирск 2002.pr^v7!'-: ■' "Ai> ^ ) ^глГ 'чг<н Г;v' >■'■;i ------- ' "A- ^-^ъ