Экстремальные задач для операторных уравнений типа Гаммерштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

i ' >;

Н, ",1

Киевский государственная университет им. Т. Г. Шевченко

На правах рукописи АКБАРОВ Давлатали Егиталиевич

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДО ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИИ ТИПА ГАММЕРШТЕИНА

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1992

РасЗота выполнена в Киевском политехническом институте и Институте кибернетики АН Узбекистана.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В. С. МЕЛЬНИК

Официальные олпонс-нти: доктор физико-математических

наук, профессор А. А. ПАНКОВ ,

кандидат физико-математических наук

Э.Ё. КАПУСТИН.

Ведущая организация: С. -НегердурхскиП гасударстьенниЯ университет.

Защита состоится ■¿■ММ 1992 г, в {Ь_ часов на заседании специализированного совета Д 068.18.16 при Киевской государственном университете им. Т.Г.Шевченко пс адресу: 252127 Киев 127, просп. Академика Глушкова, 6, КГ/, ф~т кибернетики, ауд. 40.

С диссертацией ыожно ознокошпъся в библиотеке университета.

Автореферат разослан 1992 г.

Учений секретарь' Специализированного совета КУЗЬМИН

ьйвдиотека * осшля ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'Д • | Актуальность темы. Функциональные уравнения уже долгое время г" Занимают значительное место в работах математиков. Особенное вни-' "мание направлено на такие специальные виды функциональных уравнений, как интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения. При некоторых условиях можно получить эквивалентные друг другу уравнения этих видов. В этом плане интегральные уравнения имеют большое теоретическое я прикладное значение. Появление интегральных уравнений при исследовании краевых задач является естественным, так как такие уравнения связывают метлу собой значения известных и неизвестных функций на конечной области, а не на бесконечной малой, как дифференциальные уравнения.

Математическое списание физических явлений обязательно влечет некоторые упрощения. Если бы при описании учитывались все возможные фактора, то часто бы возникали математически неразрешимые задачи. Поэтому математическое описание является, по сути, не более, чем приближением к физической реальности. Описание, приводящее к .шшеИному /равнению, является, в некотором роде, первым приближением, преимущество которого в том, что оно приводит к математическим задачам, разрешимым с помощью имеющегося на насто.тапИ комент мощного математического аппарата. Более точное ' описание физического явлс ля привело бы к нелинейным уравнениям. Таким образом, нелинейное описание является следующим приближением, позволяющим рассмотреть допрлнительные факторы.

В последнее время значительно возрос интерес к задачам управления объектами, опнеиваемьши нелинейным! функциональными уравнениями /или системами/ в бесконечномерных пространствах. Эти задачи являються более богатыми н разнообразными по сравнение с конечномерными задачами.

Начало исследований управляемых систем с распределенными параметрами /СРП/ было положено в 60-х годах советскими учеными /А. Г. БутковскиЯ , А. II Егоров, Ю.В.Егоров, К.А.Лурье, В. И. Плотников, Т.К.Сиразетдинов и др./. в работах которых основное внимание

уделялось необходимым условиям оптимальности /НУО/ для определенных классов задач. Затем в этом направлении работали зарубежные математики /К.Еайоки, А.Балакркщнан, Р.Вонг, Т.Эояесси. Ж.Лионе, А.Фридман, Л. Чезарм и др./. В результате была в основном создана теория оптимального управления линейными системами с квадратичными функционалами. дальнейшее развитие в данном направлении стимулировано успехами современной математической физики и методов математического моделирования, а также прогрессом в нелинейном анализе. Отметим в данном направлении ./ренвополагакш* работы В.Барбю, В.И.Иваненко, В.Г.Литвинова, Ж. Лионса, В. И. Максимова, В. С. Мельника, А. Г. Наконечного, У.Е. Райтуа, С.Я.Серовойского, В.И.Сумина, А. В.Фурсикова и др.

Значительный прогресс в изучении нелинейных функциональных уравнении обусловлен глубоким развитием методов нелинейного анаииза, нашедших применение в различных разделах математики.

В настоящее время стало естественным сводить эти задачи к нелинейным операторным уравнениям в функциональных пространствах. При этом подходе результаты для конкретных СРП получаются как следствие операторных теорем. Тем не менее малоизученными оказались классы объектов управления, описываемых нелинейными операторными уравнениями типа Гаммерштейна с фазовыми ограничениями.

Цель работы. Цельо данной работа является исследование вопросов существования и свойств совокупности решения и далее, разработка методики исследования задач оптимального управления объектами, описываемыми нелинейным операторным уравнением типа Гаммерштейна в банаховых пространствах с ограничениями на управляющие и фазовые переменные. Для этого следуя монографии В.И.Иваненко, В. С. Мельника "Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами", Киев, Наукова думка, 1988, 288 с., необходимо развить подходящие методы нелинейного анализа, в частности изучить

функционально-топологические свойства разрешающих операторов рассматриваемого класса систем, установить достаточные признаки разрешимости и регуляризуемости оптимизационных задач, получить

необходимые условия оптимальности в виде вариационных неравенст" для систем с фазовыми ограничениями, разработать методы и алгоритмы аппроксимаций.

Научная новизна и практическая ценность. Введено определение оператора с полуограничениоя вариацией /п.о. в./ на основе компактной полунормы; рассмотрен вопрос существования решений операторного уравнения типа Гаммерштейна

х + ВГ(х) = О , (*)

для операторов Г с п.о.в., а такжэ свойства совокупности решении при некоторых условиях на Г и В . Используя эти результаты исследованы некоторые экстремальные задачи с ограничениями для уравнения С >0; доказаны теоремы разрешимости и регуляризируемости решений оптимизационных задач; получены НУО е форме вариационных неравенств; построены регуляризирующие аппроксимаций рассматриваемых задач и условий оптималиости для них.

Результаты диссертационной работы демонстрированы на практических примерах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на республиканском семинаре "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах" /шифр ХЭ1-254. Донецкий гос. университет./, на сминаре отдела синтеза управляющих систем Института кибернетики им.В.М. Глушяова АН Украины, кафедры математических методов системного анализа и кафедры математического моделирования экономических систем Киевского политехнического института, кафедра моделирования слоышх систем факультета кибернетики «Киевского гос. университета, на международной конференции "Контроль и управлении в технических системах" /г. Винница. 1992./ и на международной математической конференции "Ляпуиовские чтения" посвященной 100-лепш создания академиком А. М. Ляпуновым теории устойчивости движения / г.Харьков. 1992./

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Основное содержание опубликовано в работах - 6 /.

Структура работы. Диссертацт состоит из введения, двух глав.

списка лшера^ури. Библиография 133 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во ьведешш приведены типичные примеры, приводящие к

уравнениям типа Гаымерштейна, дан обзор литературы по вопросам

существования решений и по задачам оптимального управления СРП, в

том числе для уравнения типа Гаммерштейна, а также краткое

содержание диссертации.

В_пе£Еой__гцаь^введены конструкции операторов с п.о.в.,

изучена их сво<1ства и приведены примеры; рассмотрены вопроси

существования решений операторного уравнения типа Гаымерштейна в

специальных банахоьых пространствах, обладающих свойством СП), а

такке изучены свойства совокупности решений. Эти результат«

являются основной для.последующего изложения, хотя представляют и

самостоятельный интерес.

Пусть: X - банахово пространство, X* - пространство,

сопряженное с К; <•. , . > : X * К К - кононическая двойственность

1. Оператор А : X —♦ X* называется с п. о. в..

если для произвольных у , у с X таких, что при некотором Е > С

Ну || < й, 11Уг11х- К справедливо неравенство < Ау[ - Ауг, у( -

- С( К; Ц|у - уа|||х ) , где Ц И- полунорма, компактная п<

отношение ||'II,. , а Функция С(р;т) непрерывна и такая, чт( 1 "

£ ССр-,1) 0 при I 10 , V р > 0 .

Предложение 1. Пусть А : X X* - оператор с и.о. в. Следующие условия эквивалентна:

а) оператор А радпально непрерывен на X ;

б) из < ! - А?, у - { >х> - С (К; |||у - и У . V 4 € X

(|К ¡¡х- Н, ||у|1к£ к) следует Ау = Г ;

в) оператор А обладает свойством СМ);

г) оператор А * - деминелрерывен на X ;

д) для любого плотного множества DC А) с X иа cf - А?, у - f>y >

• * ~ 111У - illlx) - V ? е DC А? следует, что Ay = f ,

Предложение 2. Каждый оператор А : X - X* о п, о. в. обладает свойством С м ) : если найдется множество К с К такое,, что II у IIjj < к и < Ау,у >•,. 5 к , уу е К , то сущуствует число С>0 , при котором IIAylljj* <. С уу е К .

Теорема 1. Пусть банахово пространство К обладает свойством СГО :1) X - рефлексивно ;2) существует монотонный хеминепрерывный оператор Л : X X* т-ж.оя , что АО = О ,А непрерывен в нуле пространства Xм и < к?.,г > > с llzll® , где с>0 , а>1 ; оператор FCu, ) : X —» X* радиально непрерывный с п.о.в. и yu е U , удовлетворяющий условии : ,<F(u,x) ,я>х > 0 если ■

!]х(| > к > О, X - const ,а оператор В : X* -* X линейный, X

ограниченный положительный. Тогда множество

•) х € X : х + BF(u,x) - О } непусто yu е U . Кроме того, если X , вложнмое, а оператор В самосопряженный, то множество слабо компактно.

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

1.. Банахово пространство X обладает свойством 0Г). .

2. Хеминепрерывный ограниченный и полумонотонный оператор FCu, О : X —» X* удовлетворяет неравенству < FCti,x) ,х > 2 О

если ||х|| > X > О С К = const ) yu е G , где G с U -ограниченное множество.

3. В - линейный ограниченный и положительный оператор из X* в X.

Тогда множество : х ♦ BFCu,x) = Of непусто и слабо

компактно.

Предположение 1. ГЩусть X ' - вещественное вложимое рефлексивное банахово пространство и Н соответствующее

гильбертово пространство (X с Н с X*) , линейный оператор В из X* в X удовлетворяет следующим требованиям: 1. он представим в виде В = СА , где А - ограниченный линейный оператор с плотной область» определения из пространства X* в Н,

С - лииениии оператор из H n X с плотной областью определения, имеющий ограниченный правый обратный С"1, т.е. (ХГ'х = х для гсякого вектора х e X ,

2. операторы С"1 и С"1А* положительны, причем b , у х е X

1Мх~ ш* + alJC-'xHJi (есл" Р*х!|х<ш), где а,Ъ,ш - постоянные.

Теорема 3. Пусть выполнено предположение 1 и условия теоремы 2 ; кроме того при всяком натуральном п оператор ы = ^ С"1* AFA* коэрцнгивен. 'ù Тогда множество { х : х + BF(u.x) = 0} непусто и слабо компактно.

Во второй главе изучаются некоторые экстремальные задачи .

Пусть X - рефлексивное банахово пространство, обладающее свойством (П), X* - пространство,сопряженное с X .Далее, U -пространство управлений, которое является сопряженным к некоторому банахову пространству Z , U - подмножество допустимых управлений в U , PQQ - совокупность непустых подмножеств пространства X , К : U х X —► Р(Х) - некоторое отображение, Y - банахово пространство, полуупорядоченное воспроизводящим конусом 'Л .

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу:

Lfu.xCtO) = I(u) inf , Cl)

ueU

' x{V) + BF£u,x(u)} = 0 , C2)

' 0 (u,x(u)) > 0 , С 33

x(u) e K(u,x(u)3 . (4)

Здесь нелинейный оператор F : 0 * X ч f ; В : X* —» X - линейный непрерывный положительный оператор; F : il х X —► Y некоторое нелинейное отображение; L ; U х X —+ К - функционал качества.

Разрешимость экстремальной задачи С13—С 43 .

Определение 2. Оператор А : U х (рСАЗ с X) X* будем называть оператором с равномерно нолуограниченной вариацией Ср.п.о,в.3.если для произвольного ограниченного множества G £ U и любых у , уге DCA) таких, что |} < R < œ Ci = 1,23 ,

удовлетворяется неравенство

< ACu.y,) - A(u.yJ .у,- уг>х г - inf с о?; Ill/,- yJU -

Vtu **

где

при каядом v с U Gv(- , ■) : lRfx —♦ R - непрерывная функция, причем р С (р;1 г)) —» 0 при t —» + О у р > О, ^ > О, III - III

х

- компактная полунорма относительно ¡|. |j .

х

Определение 3. Задачу (1)-(4) будем навивать регулярной, если найдется, по крайней мере, один элемент и с U , при котором уравнение С2) разрешимо С возможно, неоднозначно) и пара (u,x(u)), где x(u) - соответствующее решение уравнения (2) удовлетворяет ограничениям (3), (4). При этом пару (u,x{u)) будем называть допустимой.

Оператор F : U х X —» К" для произвольного ограниченного множества 6 ё U удовлетворяет следущим требованиям:

1. Он обладает свойством с р. п. о. в. и при каждом V u <s G оператор F(u, •) : X —X* радиально непрерывен.

2. <F (и, х (и)), х (и) > > 0 , если |(x(V}|| > X(G) > 0 , у u € G, X(G) = const .

3. Для у х е X отображение F(-,x) : G —+ X* непрерывно отнс :ителыю «-слабой топологии в D и слабой топологии на X*. причем, если и з и —» и слабо в V ,а X э л —* х слабо в

по по

X , то < F Гп , х ), х - х ) —♦ 0 .

и oJ о и

Теорема 4. Пусть К(и,х) 5 К - слабо замкнутое подмножество в X .оператор F : U х X —• X* удовлетворяет предположению 2, функционал L. : U * X —» К полунепрерывен снизу Спн. сн.) в * топологии QJ и топологии слабой сходимости в X ,F : U к К —♦ У -слабо непрерывное отображение, кроме того, U - » - слабо замкнутое ограниченное множество. При этих условиях задача (1)-(4) разрешима тогда и только тогда, когда она регулярна.

Тео£ема_5; Пусть В, Fj, L, U, К , удовлетворяет условиям теоремы 4 , оператор F : U х X —v X* удовлетворяет условиям теоремы 2 и условии 3) предположения 2. При этих условиях задача Ш-С4) разрешима тогда и только тогда, когда она регулярна.

Теорема 6. Пусть В, Fj, L, U, К удовлетворяет условиям

чьорс-иц 4 , оперы ар Р ; и х X - X* удовлетворяет ^словца«* теоремы 3. При этих условиях задача(1)-(4) разрешима тогда ,ч только тогда, когда она регулярна.

Пусть И ~ множество допустимых элементов в задаче (1)44), т.е. Ь = { [и,к) е и к X ¡пара (и,х) удовлетворяет ограничениям (^)Ч4) } .где каждое И определяется некоторым набором

ограничений из С15-(4), например,

(и;х) е I) » X : х + ВРСи.х) = 0, х(и) е К } и «/= < (и;хЗ е и х X : ^ (и.х) > О )•.

Ми предполагаем, что Ь. •• 0 а, например, и * 0 . С множеством 'и связывается некоторый функционал ; Ь —♦

г

характеризующий "меру уклонения" точки (и,х) е и от множества , причем (и, х) = О тогда и только тогда, когда [и,к) е Ь1.

Определение 4. Пусть & * 0 . Система ограничений Ь^ называется: - регуляриэуемой, если найдется ( е И такое,

что 1„ Й) = 1пГ 1„. (71) ; достижимой, если существует (

г ЦеЬ а '

что 1Ь К) = 0 .'

Теорема 7. Пусть Ъ* 0 и Г, В, Е(, К, и. I, удовлетворяют условиям теоремы 4. Тогда задача (1)-С4) регуляризуема и существует оптимальный регулярмзатор, т.е. такой элемент О , что I (? ) 5 1(0 при у ? е 0 ,

^феделение_5. Задача С13-С4) называется с

разрешимой если уг>0 3 и£е и такое , что X (и£) £ с1 + ь . При этом управление и называется £ - оптимальным.

Теорема._В условиях теоремы 4 (без требования

коэрцитивности Р и ограниченности и, К ) задача (1)44) с -разрешима и с ~ оптимальное управление может быть найдено ю решения задачи

1,(и) = ьв(и,х(и)) = 1(и,х(и)) ♦ йГ||и|!^||хГ].- и* * с V х-1 иеи

при условиях С 2)-С 4).

Теорема 9, Пусть выполнены условия теоремы 7, кроме коэрцитивности Р или ограниченности К и ограниченности и . Если при этом Ь : К к —» К, то в задаче С1)-С4) существует а

- оптимальный регуляризатор, который находится на решения следувдей вспомогательной задачи

- (а ♦ V)

раниче!

си =

+ V

М12 + !МП 1пГ (2.9) I • X . цу цеи при ограничениях С2),С45, где

5,3)0 0 , з < О

Необходимый условия оптимальности в форме вариационных керавенств .

Рассмотрим оптимизационную задачу (1)-С4). Предположение 3. Пусть выполнены следующие условия:

1) Отображение Р : и * X —+ X* в некоторой окрестности У с и х X имеет' частные производные В Г : V —+ £(Х;Х")"

В Г : V —♦ ¡СрЛХ") в смысле Гато, непрерывные в равномерной операторной топологии. •

2) Функционал I. : и * X —♦ й в окрестности V обладает частными производными и смысле Гато я отображения 0 Ь : V —ЧГ, С, I, : V X* - непрерывные.

3) Пара (ц,х(и)) <= V с I) к X удовлетворяет уравнение (2), •гогдр на этой паре

Хег[ I + Бй^Р (и,х О-1))] :: {°}

< I ВО РСи,хСи)Э?>„ „ -->1 4 « при к; их -н Ш ,

(1ч

где I - тождественный непрерывный оператор,

Определение 6. Функционал I : II х X —¥ й называется слабо яолукомпактним снизу Сел. пк.сц.), если для произвольных последовательностей и э и —* и * ~ слабо а и , X э хп —+ я слабо в X можно указать такие подпоследовательности {ип| с ' С ' ЧТа Ии 1ПГ 1"С11т,ХтЗ ЬСи.х) .

т 93

Теорема 10, Пусть выполнены: 1) все условия предположения 3;

2) функционал L : (J x X —> ffi сл. пк.сн. ;

3) оператор f : U к X X* для произвольного ограниченного шюкестьа G с U удовлетворяет следующим требованиям:

а) при каждом и е G оператор F(u, ) : X —♦ X* радиально непрерывный и монотонный;

б) < F(ii,x(iO).x(u) О V" б G, если ||х||х> к (G) > 0 , A (G) = const;

в) V х X отображение F( , х) : U —» X* непрерывно относительно » - слабой топологии ь U и слабой топологии на X*, причем, если U э и и « - слабо в li , а Хэх К слабо в X , то < Ffu ,х),х - х >v —* О

п '' n X

4) множество U ~ *- -слабо замкнутое ограниченное выпуклое. Тогда для задачи (13,(2) существует оптимальное управление и, удовлетворяющее соотношениям

х + BF[u.x) О [I ♦ BDaF(u.x)]*p = DgL(u.x)

< D L(u,k) - [BD F(u,x)J p, v - и >v > 0 у v e U ,

где p ё X* .

Предположение 4. Пусть оператор F : U к X —» X* в некоторой выпуклой окрестности V-Vu* V^ точки (u,x) <= V с U х X удовлетворяет следующим требованиям: 13 К + BF (и, х) = 0; 23 F непрерывен в точке (и, х} ;

3) в Vl( существует неявная функция х (v) , такая, что х(и) = х, х(Х) е и x(v) + BF{Y,x(y)3 = 0 для v е

43 в окрестности Vx оператор К (и, ) имеет частную производную Гато D F(u,x{v)) , такую, что для каждого фиксированного хо е X отображение

xCv) (-» D,F(u,x(v))xo е К* непрерывно по x(v3 е Vx ;63 в V оператор F имеет частную производную Гато D F(y,x(v))

такую, что для каждого фиксированного v e U отображение

(y.xCv)) ^ D( F(jv,x( v3)vo £ X* непрерывно по (V.xCv)) н существует константа С = C(v ) такая, что

||D FCv.üCv))vo|| ^ < C(Vo) для всех (V.xCv)) € v :

81 существует положительная константа С , такая, что для каждого x(V) 6 Vx и любого е X

I

HjD/tMCu)) + т(хМ - *C«))*pdT|| , i CJxJ ;

X X

о

7) оператор [I + В D г (ид(и))] : X —» X имеет ограниченный обратный.

Тесрема_11_. Пусть:

1) функционал L : U х X —♦ R в окрестности Vu X Vx = V с и * X точки ¡и,х) обладает частными производными в смысле Гато и отображения D(L : V —♦ <U* DaL : V —♦ X* непрерывные, а также функционал L сл.пк.сн.;

2) для оператора с р. п. о, в, F : U х X -* X* выполнено условие 3) теоремы 10, кроме монотонности F(u,») : X —♦ X* ,:t все условия предположения 4.

3) U - * - слаоо замкнутое ограниченное выпуклое множество. Тогда для задачи С1),С2) существует оптимально? управление и,

удовлетворяющее соотношениям:

х » BF(u,x) = 0 LS)

[i + BDaFCu,x3j*p = DeL(u,x) C6)

< l (u, x) - fßDj F (u, x}l*p, v - u > О C7)

у v 6 U p' б X* ,

Теорема 12. Пусть выполнены все условия теоремы 10 или теоремы И, а оператор F Си,»): X —* У слабо компактен, при каждом u е U , дифференцируем по лЬбому направлению как отображение из X в У , и

• ||F (у. О " F(v,08 < М||х - х ||

' « у X

у v « V cU. у х ,х бХ, М > 0 ,

* u 1 z

- окрестность точки и ; а отображение F( f- , х) : U —♦ У такое, что F (u + sh,x) = F't (и,х) + 5 V[ F( (u,x;h) + d(s.н,к;h) ,причем

lim -i—=-- = 0

s-ȣ0

равномерно по ? из некоторой (малой) окрестности точки х б X ; К(и,х) = К - слабо замкнутое подмножество в X ; Функционал ft : X —► IR^ ограничен сверху в некоторой окрестности точки х £ X (точка х может быть произвольной).

Тогда: Са) семейство {fu :xj б : с , с > О

^ £ £ ^ С С i г

с = определяемое С2) и

I£(u) = L£ (u,x(u)) = L(u,xCu)3 + i- suj P.F (u.x(u)) >J +

+ ' \ 0[xCu)) mf , S ueU

является оптимальным при всех еt ,£г> 0 и удовлетворяет

системе

хг4 вF(V>g = о

[i ♦ ю/еу.*е}]"ре = caLCuc;xE)

D L(vx£) - [BDtFCucix£)]*p£ . V - Vy *

+Plfu l к CVV" V " Ue) + V'F' CW'*iCue)

■ (v - "£))>Y} + ~ Cup о - ue)) >0. v V € и •

где

Z(u/) = {a e Я*п S* : g(a;u£) = max g&3;u£)} ;

через Z обозначено пространство Y* со слабой топологией, т.о. К*о S* - компакт в 2 , функция £ —» fj(< >Y) дифференцируема по направление , следовательно является липшицевой.

Сб) Из семейства с • nPH £ —■» О межно получить

подпоследовательности fic [ , jx } такие,что ис ао * -I, ¡.J I y-J у

слабо в № , хс хо слабо в X .причем ClI0>x0) « U * К , х + BF (и„, х ) = О , F, (и ,х ) > 0 .

р 4 о j 4 о о'

Конечиомвриыэ апроксиыаиии.

Пусть X - вложимое пространство, тогда X с Н с X* .

Допустим, что X , и , У - сепарабельные. Пусть ^ }■ ,

} . } ~ полные линейно независимые системы в X , и и У

соответственно. Обозначим Н = зреп 1Ъ .....Ь 1 .

А 1 П"*

= эреп ..... у ] эреп [1 ..... 1д3 с индуцированными

нормами из X , и и У соответственно, и положим 11_ = и п (Ц К = КпН,К = КпН

п п п п

М

, тогда

1*11

н

Пусть I : Хг

п »

При этом, если изхеНпХ и и е и п и И |и| а II, .

п

и

вложения, причем ||1 х | = ||х ]|

п г х п х

п

и

ю и

" п п

непрерывные операторы ||и || . Операторам

В : X*

п

X

и к X

г\ л

и В : х:

К : и X X X* и отображения -п„ „п ..„ _ условия коммутативности диаграммы

г

поставим

п I) п

в соответствие определяемые иа

и * X X*

О Т [I ' «I I'п р

и * X

II п

х:

в

в

р

1" X.

то есть Р = .1 ) и В = Р ВР*, где

п л * iv п' п 11п

непрерывный оператор,

X

удовлетворяющий Р..!. - Ь : —» X , следовательно, и*1*

Хп, линейный

Р*Г = I* : X"

П (1 а

условий * X*

Теперь конечномерным аналогом уравнения (2) является уравнение

х + В Р Гц .х 1 = х + Р ВР*1*Г(С и ,1 х 3 - О п п п*" п п-1 и п п п п п' п п*

Определим 0п: У У - непрерывный оператор и определим 1.1 * X —»У из того, что диаграмма

11 П п г

и * X — А-» У

Р

и * X

п п

коммутативна. Тогда п (иг,• :!г,) - 0[Т1 ■ Таким офазом

.задаче С1)-(3) поставим в соответствие систему аппроксимаций

} Си ) = Ш х (и и )

п п п л п мп Ц £1]

п II

СГ)

х + В Г Ги ,х ) = 0

и п п 4 п гг

р (и »X 3 0 - п=1,2,...

С2'3 -

СЗ'З,

где -некоторый полупорядок на У

Определение 7, Набор последовательностей

Г = <Хп>, -|СПЬ «и)

называется Г - аппроксимационной схемой для отображений

условию: для любой последовательности с У , слабо сходящейся

к т} в пространстве У , 0пт?п п слабо в У .

Определение 8. Скажем, что задача (13-(33 допускает: а) слабо регулярные конечномерные аппроксимации Со. р. к. а.З -(и^х^ , если задача С1'),С2'3.СЗ'З разрешима при каждом п = 1,2,..., и из ее решения ■{ип;хп}- можно извлечь такую подпоследовательность <и , ;х Л что и . —* и » -слабо в К . х . —» х слабо в X ,где -{и;х} - решение задачи С13-СЭ);

63 регулярные конечномерные аппроксимации (р.к.а.З, если в

с. р. к. а. х —► х слабо в X , и —» ц и • - слабо в У ; г п л

в) усиленно регулярные конечномерные аппроксимации

(у. р. к. а. 3, если задача допускает Ср. к. а.З и х —♦ х сильно в X.

Теорема 13. Пусть в условиях теоремы 4 отображение» Р: 4 х X —♦ X* ограничено, оператор Р(и.') : X X* строго монотонный у и е и : и X X •-» У - непрерывное отображение и

задача С1'3-(3") регулярно при каждом п - 1,2..... Если, кроме

того, функционал I : 11 х X —» К непрерывен в слабой топологии X и сильной Ш , то задача (13-(3) допускает с. р. к. а.

Определение 9. Будем говорить, что система неравенств С53-С73 НУО задачи С13-С43 допускает с. р. к. а.

Г : и х X У , если 0 : У —» У

, ' п 1

П

удовлетворяют следующему

Со' 3

16')

у v е и у Р 6 х* ,

' п л гп п

если последняя имеет решение при каждом п = 1,2,... и из последовательности решений {ип.хп> можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность и —» и , х —» х , причем

я то то

найдется такое р е X , что {и ;р ;х ^ - решение системы С5>-(7).

Теоре_ма_14. Пусть операторы В, Г и функционал I, удовлетворяют условиям теоремы 10. Тогда система необходимых условий (5)-(7) допускает с. р. к.а. С5')-(7').

В приложения вынесены доказательства некоторых вспомогательных утверждений и примеры.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Акбаров Л- Е. .Иваненко В. И. Об экстремальных задачах для уравнений типа Гаммерштейна .-ДАН СССР.-1991.-Т. 320.-м 5. -с. 1033-1036.

2. Акбаров Д. Е. Экстремальные задачи для уравнений типа Гаммерштейна. -Деп. в Укр НИИНТИ. 28.08.91. и 906-/к91. -19 с.

3. Акбаров Д.Е. О некоторых свойствах решений уравнений типа Гаммерштейна. -Деп. в Укр НИШИ. 26.08.91. к Э05-Ук91.-24 с.

4. Акбаров Д. Е. Задачи оптимального управления для уравнении типа Гаммерштейна. -Гр. международной коиф. "Контроль и управлении в технических системах", г.Винница, 1992.

5. Акбаров Д. Е., Губег дэе Н. ,111ералнев Н. К. Некоторое олтимизачионные задачи для объектов , списываемых системой операторных уравнений. -Гр. международной конф."Контроль и управлений в технических системах", г.Винница, 1992.

6. Акбаров Д.Е. Некоторые экстремальные задачи для операторного уравнения типа Гаммерштейна.-Тр. международной математической конференции "Ляпуновские чтения" посвященной 100-летип создания академиком А. М. Ляпуновым теории vcтoйчивocти движения. г.Харьков, 1992.