Исследование негрубых неподвижных точек отображения плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Г Л А В А I. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ НЕГРУБОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ С ДВУМЯ единичными СОБСТВЕННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

§ I. Определения и вспомогательные леммы.

§ 2. Структура окрестностей неподвижных точек вспомогательных отображений

§ 3. Структура окрестности неподвижной точки отображения с двумя едишчныш собственными значениями и непростыми элементарными делителями.

Г Л А В А 2. БИФУРКАЦИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК.

§ I. Бифуркации вырожденной двукратной неподвижной точки.

§ 2. Рождение К замкнутых инвариантных кривых отображения с двумя комплексно-сопряженными по модулю равными единице собственными значениями.

§ 3. Приведение к специальному виду отображения с двумя единичными собственными значениями в окрестности неподвижной точки типа фокус

§ 4. Рождение замкнутой инвариантной кривой из негрубого фокуса с двумя единичными собственными значениями

Идея сведения изучения решений обыкновенных дифференциальных уравнений к изучению отображений принадлежит А. Пуанкаре [29]. В связи с исследованием периодических решений автономных систем А.Пуанкаре ввел понятие точечного отображения трансверсальной к потоку поверхности, понятия неподвижной точки и инвариантных кривых, проходящих через неподвижную точку. Им же исследованы структуры окрестностей неподвижных точек в случае, если собст -венные значения отображения по модулю отличны от единицы и указаны сложности, возникающие при исследовании комплексно-сопря -женных собственных значений по модулю равных единице. А.Пуанкаре в работе [30] при рассмотрении задачи трех тел были введены отображения,сохраняющие площадь, установлено возможное поведение инвариантных кривых, введены понятия гомоклинической и гетероклинической кривой.

Основная идея А.Пуанкаре об изучении отображений в теории дифференциальных уравнений использовалась затем Да.Биркгофом [б] , который провел большое количество исследований в области теории динамических систем и топологической динамики. Возник новый метод исследования динамических систем, описываемых диф -ференциалышми уравнениями, метод точечных отображений или метод секущей поверхности Пуанкаре - Биркгофа.

Дальнейшее развитие метода точечных отбражений связано, с исследованием многомерных динамических систем, поскольку метод точечных отображений является одним из основных методов изучения таких систем, а также с рассмотрением сложных колебатель -ных процессов £23 - 25] и динамических систем с разрывными и неоднозначными правыми частями £ 9 J . Привлечение метода то чечных отображений позволило А.А.Андронову совместно с Н.Н.Ба-утиным и А. Г. Майером решить ряд задач теории нелинейных коле -баний, таких как задачу о стабилизации самолета автопилотом [I, стр. 231 - 237] . задачу Вышеградского в теории пряного регулирования стр. 250 - 27з] и ряд других /*l] •

Динамическую систему, описываемую дифференциальными уравнениями, связывают с порожденным ею точечным отображением двумя способами: либо с помощью секущей поверхности, либо путем построения отображения сдвига, где последнее есть точечное отображение, ставящее в соответствие каждой точке фазового пространства точку, в которую она перейдет по траектории диф -ференциальных уравнений через время ~ . Получается последо -вательность точечных отображений, порождаемая фазовыми траек -ториями динамической системы, на некоторой последовательности поверхностей без контакта: . , JS> , . , , Jb0 , , • •• » ••• • Секущая поверхность является частным случаем такого построения, когда все поверхности jS совпадают.

Переход от динамической системы, описываемой дифференвд -альными уравнениями, к точечному отображению секущей поверх -ности наиболее эффективен при исследовании окрестности замкнутой траектории динамической системы. На секущей поверхности замкнутой траектории соответствует неподвижная точка отображения. Поведение фазовых траекторий в окрестности замкнутой траектории естественным образом определяется поведением дискрет -ных траекторий в окрестности неподвижной точки на секущей по -верхности. При этом малому изменению правых частей дифференциальных уравнений соответствует малое изменение соответствующего точечного отображения. Обратное также верно: если имеется динамическая система класса L.

Jxi тг и порожденное ею отображение Т: jS /2 С 5 - некоторая гиперплоскость) в окрестности неподвижной точки аМ * , т.е.

ТМ * c/fy* , тогда в малой окрестности точки еМ * для достаточно малого £ отображение jT = Т*+ ? 77 , где 77

- любое 1т» раз дифференцируемое отображение, может быть порождено фазовыми траекториями динамической системы где u): - ho раз непрерывно дифференцируемые по XL ,., Х^ функции, обращающиеся в ноль при $ = о вместе с vn первыми частными производными ( Ю.И.Неймарк /~22j ).

Таким образом, выяснение структуры окрестности неподвижной точки позволяет установить топологическую структуру окрестности периодического решения, а исследование бифуркаций неподвижной точки отображения - описать бифуркации периодического решения динамической системы.

Начатое А.Цуанкаре дальнейшее изучение точечных отображе -ний плоскости в плоскость в окрестностях неподвижных точек продолжалось в следующих направлениях:

1) исследование структуры окрестности неподвижной точки (существование инвариантных кривых, проходящих через неподвижную точку; поведение дискретных траекторий в окрестности неподвижной точки, не лежащих на инвариантных кривых);

2) теория устойчивости по Ляпунову неподвижных точек в критических случаях;

3) теория бифуркаций неподвижных точек отображения плос -кости в плоскость.

Остановимся подробнее на каздом из этих направлений.

I) Дри рассмотрении структуры окрестности неподвижной точки отображения плоскости в плоскость, а также вопросов устойчивости по Ляпунову неподвижных точек, следует различать кри -тичеекие и некритические случаи. К критическим относятся слу -чаи, когда одно или оба собственных значений характеристичес -кого уравнения принадлежат единичной окружности комплексной плоскости.

Исследование структуры окрестности неподвижных точек отображения плоскости в плоскость в некритических случаях, обобщая результаты А.Пуанкаре, продолжил 5. Leu tti<> [461 , установивший существование инвариантных кривых, проходящих через непод -вижную точку не только в седловом случае, как это было показано А.Пуанкаре, но и в случае узла, если одно собственное значение не является степенью другого. Latttустановил структуру окрестности узловой неподвижной точки, а также обобщил результаты Адамара (см. 26] ) нахождения инвариантных кривых как предела последовательности кривых, проходящих через неподвиж -ную точку. В работах А.М.Панова £27,28] показывается, что сохраняются структуры окрестности неподвижной точки при пере -ходе от отображения, имеющего только линейные члены и некритические собственные значения, к отображению с нелинейными до -бавками, а также рассматриваются вопросы существования характеристических направлений (направлений, по которым в непод -вижную точку могут входить дискретные траектории) и возмож -ного поведения дискретных траекторий в окрестностях этих направлений. В случае несохранения ориентации аналогичные вопросы рассматривались Б.М.Шамриковым |~34] .

Общая теорема для некритических случаев принадлежит

Д.М.Гробману, Ф.Хартману [зз\ и утверждает, что отображение, не имеющее собственных значении на единичной окружности комплексной плоскости, топологически сопряжено с линейным отображением.

Дальнейшее развитие теории точечных отображений плоскости в плоскость связано с исследованием критических случаев: когда одно или оба собственных значения лежат на единичной окружности комплексной плоскости.

К критическим случаям относятся следующие собственные значения, Г - матрица линейной а) L , \ ; б) > ; в) - -1 , Аг = £ ;

Г) , ; д) , г=С0\°) ;

Рассмотрим каждый критический случай с точки зрения установленных результатов о структуре окрестности неподвижной точки, устойчивости по Ляпунову, возможных бифуркациях.

СЛУЧАЙ а) Вопросы устойчивости неподвижной точки решены Н.И.Казеевой щ.р.ыиеы /53] . Более общий резуль -тат, устанавливающий структуру окрестности неподвижной точки

С \L , \1 части): получен Р.М.Минц [id] • Показано, что в зависимости от нелинейных членов неподвижная точка может быть узловой, седповой, либо седло-узловой.

СЛУЧАИ б), в). Эти случаи рассмотрением квадрата отображения (т.е. отображения Т* ) сводятся соответственно к случаям а) и з). Бифуркация удвоения периода рассматрива -лась в работе Ю.И.Неймарка [20 J .

СЛУЧАЙ г). На сложности, возникающие при исследовании таких точек, указал ещё А.Пуанкаре /"29] . Дальнейший прог -ресс в исследовании точек такого вида связан с работами Да.Биркгофа /б] (в случае отображения сохраняющего пло -щадь), В.И.Арнольда /4] , Ю.Мозера /19] , Ю.И.Неймарка /20, 21,23 J , С. Mi*a /48,50J . Обобщение на случай отображе -ния, имеющего пару комплексных корней, по модулю равных еди -нице и И корней,по модулю меньших единицы, получен в ра -ботах /36] , [49] .

Общая теорема о рождении замкнутой инвариантной кривой из неподвижной точки, имеющей пару комплексно-сопряженных корней, в случае отсутствия первых четырех резонансов ( У^ О , f , Т ) и неравенства нулю первой ляпуновской величины, принадлежит Ю.И.Неймарку /~20] , R. ,

5Х , RTakebg (см. /17] ). При наличии первых резонансов замкнутая инвариантная кривая может как рож -даться /40] , /47] , /55 ] , так и отсутствовать /4] ,

5] . /8] .

СЛУЧАЙ я). Рассмотрением отображения Т сводится к случаю з).

СЛУЧАЙ е). Критерии устойчивости и неустойчивости неподвижной точки приведены в работе Л.Г.Хазина, Э.Э.Шноля /32].

СЛУЧАЙ з). Возможное поведение дискретных траекторий в окрестности неподвижной точки при наличии конечного числа характеристических направлений обсуждалось в работах C.MVkk [51,52] . При отсутствии характеристических направлений, критерии устойчивости, опирающиеся на функцию JbmyHOBia, получены Н.М.Исаковым [ll] , С.Н.Шамановым, Н.И.Казеевой /~37] , J. /Ье-ъи ц ssou » ^ о^/о but , Нъч-Ll^ /~38] •

СЛУЧАИ ж). Рассмотрению отображения плоскости, имеющего неподвижную точку с двумя единичными собственными значениями и непростыми элементарными делителями, посвящены работы Н.М.Исакова [12] , С.Н.Шиманова, Н.И.Казеевой /37] , Л.Г.Ха-зина, Э.Э.Шноля [32] , J. fbe^nussou , J, оJ(io,it*t , Иъи - Liu /зв] . Однако рассматривалось данное отобра -жение только с точки зрения устойчивости и получены конкретные частные условия устойчивости или неустойчивости неподвижной точки. В работе S/mo Сол<&.% /54] рассматривалась (опираясь на КАМ теорию [а] , /19] ) структура окрестности неподвиж -ной точки такого типа в предположении, что имеется неподвижная точка типа фокус и отображение обладает свойством сохранения площади.

Существование и вид инвариантных кривых, проходящих че -рез неподвижную точку в этом случае, установил /? Я)Готово/ /42] .

Кб всему этому направлению исследования критических точек отображения плоскости в плоскость примыкают результаты R SbufroitUb ' , R Rocli.yucg , R.Rous&ctHe /41] . Ими для отображений, собственные значения линеаризации которых в неподвижной точке лежат на единичной окружности в комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству типа Лоясевича ( ко -нечно кратность неподвижной точки ), имеющих характеристи -ческую кривую - одномерное инвариантное подмногообразие с корректным направлением входа в неподвижную точку, при дополнительных ограничениях устанавливаются условия С определенности диффеоморфизма плоскости некоторой конечной струёй и условия, допускающие вложение ростка диффеоморфизма класса Г 00 в росток потока класса В работах С.М.Воронина и Ю.С.Ильяшенко [ 10] получены необходимые и достаточные условия включения в поток отображение комплексной плоскости : (<£? , 0) ((С , 0) вида , где 5 « ахр (kirl y)t ip^O^L,. р и дробь — несократима, I

В предлагаемой диссертации

1) Устанавливается структура окрестности неподвижной точки отображения плоскости с двумя единичными собственными зна -чениями и непростыми элементарными делителями.

2) Рассматриваются бифуркации вырожденной двукратной неподвижной точки. Устанавливается существование добавок, начинающихся с линейных членов и близких к нулю до ранга 3 таких, что в окрестности вырожденной неподвижной точки у возмущенного отображения возникает гомоклиническая структура.

3) Устанавливается рождение К замкнутых гладких ин -вариантных кривых из К кратной неподвижной точки типа фокус отображения плоскости с двумя комплексно-сопряженными, единичными по модулю собственными значениями.

4) Устанавливается рождение замкнутой инвариантной кри -вой из неподвижной точки типа фокус с двумя единичными собственными значениями при смене знака первой ляпуновской величиной.

Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.

1. Андронов А.А. Собрание трудов. - М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 537 с.

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. -М.: Наука, 1966. 568 с.

3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамичнских систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 488 с.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

5. Барсук Л.О., Белослудцева Н.М., Неймарк Ю.И., Салганская Н.М. Устойчивость неподвижной точки преобразования в критическом случае и некоторые особые бифуркации. Изв. вузов. Радио -физика, 1968, т. II, * II, с. 1632 - 1641.

6. Биркгоф Да.Д. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1940.

7. Валеев К. Г. Исследование неподвижных точек точечных отображений.-Изв. вузов. Радиофизика, 1971, т.14, Jfc 3, с.333-344.

8. Гаврилов Н.К. О бифуркациях периодического движения вблизи внутреннего резонанса 1:3. Исследование по устойчивости и теории колебаний: Сб. статей. Ярославль, 1977.

9. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976. - 368 с.

10. Ильяшенко Ю.С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости. Цущино, 1982. - 38 с. ( Препринт / Научный центр биоло гических исследований АН СССР ).

11. Исаков Н.М. Метод последовательных приближений для одного класса преобразований плоскости. Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений: Сб. статей. Ярославль, 1976, № I, с. 66 75.

12. Исаков Н.М, Исследование последовательных приближений на плоскости в критических случаях. Качественные и прибли -женные методы исследования операторных уравнений: Сб. статей. Ярославль, 1977, В 2, с. 85 - III.

13. Казеева Н.И. Исследование устойчивости систем разностных уравнений с периодическими коэффициентами в критическом случае одного корня равного единице. Математические записки. / Уральск, ун-т, 1970, т. 7, № 4, с. 38 - 45.

14. Лукьянов В.И. О существовании гладких инвариантных слоений в окрестности некоторых негрубых неподвижных точек диффеоморфизма. Дифференциальные и интегральные уравнения: Сб. статей. / Горьк. ун-т, 1979, вып. 3, с. 60 - 66.

15. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Собрание сочинений: M.-JI. Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 272 - 332.

16. Марсден Да., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. М.: Мир, 1980. - 368 с.

17. Минц P.M. Исследование поведения траекторий в окрестности сложного предельного цикла системы трёх дифференциальных уравнений. Изв. вузов. Математика, 1972, № 3, с, 46 - 51.

18. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.167 с.

19. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. Изв. вузов. Радиофизика, 1958, т. I, № I, с. 41 - 66; № 2, с. 95 - 117; В 5/6, с. 146 - 165.

20. Неймарк Ю.И. Исследование устойчивости неподвижной точки преобразования в критических случаях. Изв. вузов. Радиофизика, 1959, т. 2, № 3, с. 507 - 508.

21. Неймарк Ю.И. 0 связи малых изменений системы дифференциальных уравнений и соответствующего точечного отображения. -ДАН COOP, 1963, т. 148, В 2, с. 281 284.

22. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. В кн.: Труды международного симпозиума по не -линейным колебаниям. - Киев: Изд-во АН УССР, 1963, т. 2,с. 268 308.

23. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968, т. I, с. 137 - 156.

24. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

25. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1950.

26. Панов A.M. Поведение траекторий системы конечно-разностных уравнений в окрестности особой точки. Ученые записки / Уральск, ун-т, 1956, вып. 19, с. 89 - 99.

27. Панов A.M. Качественное исследование траекторий разностных уравнений в окрестности неподвижной точки. Изв. вузов. Математика, I960, I, с. 166 - 174.

28. Пуанкаре А. 0 кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: Гостехиздат, 1947. - 390 с.

29. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр. М.:Наука, 1971, т. I, 771 е.; 1972, т. 2. 999 с.

30. Хазин Л.Г. Замечания к работе Ляпунова "Особенный случай задачи об устойчивости движения". М., 1980. - 17 с.Препринт / Ин-т прикл. матем. АН СССР, $ 9 ).

31. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость неподвижных точек гладких отображений ( критические и близкие к критическим слу -чаи ). Динамика систем. Устойчивость, автоколебания и стохастичность: Сб. статей. Горький, 1981, с. 3 - 23.

32. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

33. Шамриков Б.М. Классификация особых точек в дискретных динамических системах. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1975, jfe 3, с. 212 - 216.

34. Шиманов С.Н., Казеева Н.И. Основная теорема о критических случаях разностных систем. Дифференциальные уравнения, 1971, т. 7, № 5, с. 910 - 918.

35. Шиманов С.Н., Казеева Н.И. Устойчивость решения систем разностных уравнений порядка К. + <2. для критического слу -чая пары комплексных корней, по модулю равных единице. -Изв. вузов. Математика, 1973, № 5, с. 20 27.

36. Шиманов С.Н., Казеева Н.И. Исследование устойчивости раз -ностных уранений в критическом случае двойного единичного корня. Изв. вузов. Математика, 1977, № 12, с. 23 - 28.

37. Damortier F.,Rodrigues P.R.,Roussarie R. Germs of Diffeo-morphisms in the Plane«-Leoture Notes in mathematics>1981» ▼#902, p.1-196.

38. Diamond P. Analytic invariants of mappings of two variables. -J .Math.Anal.and Applic.,1969,v.273,p.601-608.

39. Lattea S. Sur les eqatione fonctionnelles qui definis-sent une coube on une surface*invariante par une trans -formation,-Ann.mat.pura ed appl.,1906,v.13»H33»P*1-137*

40. Lemaire-Body F. Bifurcation de Eopf pour les applica -tions dans un cas resonnant.-C .r.Acad.sci.,1978, ser.1, v.287, H.9,p.727-730.

41. Mira C.,Babary J. Sur un cas critique pour und recurren-pe autonome du deuxieme ordre.-C.r.Acad.sci»,1969,ser.A,v.268,N2,p.129-152.

42. Mira С»,Pun L. Sur un cas critique d'une recurrence d'ordre m , m 2,possedant deaz multiplicateurs complexes oon^ngues de module unite.-C.r.Acad.sci.,1971,ser.AjV.272, N7, p.505-508.

43. Mira C. Gas critique d'une recurrence,ou d'une transformation ponctuelle, du quatrieme ordre avee multiplicateurs complexes.-C.r.Acad. sci.,1971> ser.A,v.272,N26,p.1727-1730.

44. Mira C. Sur un cas critique correspondent a deux muli -plicateurs egaux a 1'unite pour une recurrence ou transformation ponctuelle du deuxieme ordre.-C.E.Acad.sci.,1972 , ser.A, v.275» H1, p.85-88.

45. Mira C. Sur un cas critique d'une recurrence ou transformation ponctuelle non lineaire.-Zag.drgan lielin., 1973, H14.P.205-224.

46. Roubellat P. Etude,poor une recurrence du second ordre, des bifurcations liees a la traversee d'un cas critique correspondent a un multiplicateu reel egal a 1 en module .-Zag.drgan Hielin•,1973 14»P.22 5-238.

47. Simo Carles. Invariant curver near parabolic points and regions of stability.-Lecture Hotea in Mathematics,1980, Ы819, p.418-424.

48. Wan I.E. Bifurcation into invariant tori at points of resonance.-Arch.Ration.Mech.and Anal., 1978,v.68,N4»p.343--357.

49. Лейбо A.M, Об устойчивости одной негрубой неподвижной точки отображения плоскости в плоскость. "Материалы Ф-ои научн. конф. молод, учен. мех.-мат. фак." Горький. 1979,с. 25 33. ( Деп. в ВИНИТИ 31 июля 1979 г. & 2856 - 79 Деп.)

50. Лейбо А.М. 0 топологической структуре окрестности одного типа негрубой неподвижной точки отображения плоскости в плоскость. Изв. вузов. Математика, 1980, JS 2, с. 20 - 29.

51. Лейбо A.M. Топологическая структура и некоторые бифуркации негрубых неподвижных точек. Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб. / Горьк. ун-т, 1981, вып. 5,с. 17 19.

52. Лейбо A.M. Устойчивость неподвижной точки типа фокус отоб -ражения плоскости в плоскость. Тезисы докл. научн. конф. молод, учен. Горьк. обл. Горький, 1983, с. 71 - 72.

53. Лейбо А.М. 0 бифуркациях негрубой неподвижной точки типа фокус. Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. / Горьк. ун-т, 1983, с. 50 - 59.

54. Лейбо А.М. Некоторые бифуркации вырожденной неподвижной точки. Материалы 8-ой научн. конф. молод, учен. мех.-мат. ф-та и НИИ механики. Горький, 1983, с. 10 - 19. ( Рукопись деп. в ВИНИТИ М 1846 - 84 деп.)

55. Лейбо A.M. Рождение замкнутой инвариантной кривой из неподвижной точки типа фокус с двумя единичными собственными значениями. Горьк. инж.-строит. ин-т. Горький, 1984, 21 с. ( Рукопись деп. в ВИНИТИ 7 мая 1984 г. Га 2922 - 84 Деп.)