Критические случаи устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

; Г) ;

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный соиет К 063.52.00 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

КУРАКИН: Леонид Геннадиевич

КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОТОБРАЖЕНИЙ

01.01.03-математическал физи ии

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзико- математических наук

Ростов-на-Дону 1991

/э Г "

Работа выполнена в Ростовском ордена трудового Красного Знамени государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор ОДОВИЧ В. И.

Официальныз оппоненты:доктор физико-математических наук, профессор СТРЫГИН В.В.;

кандидат физико-математических наук, дошнт ЛЕВЕНПГГАМ В. Б.

Ведущая организация - Московский институт стали и сплавов.

Защита состоится \9 " 1991г. в "/^часов

на заседании специализированного совета Ю 063.52.03 по физико-математическим наукам в РГУ по адресу: 344104, г.Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, мехмат, ауд.

С диссертациеЯ можно ознакомится в научной библиотеке РГУ С ул. Пушкинская. 148 р.

Автореферат разослан " .

Ученый секретарь

специализированного совета, кандидат физико-математических наук

/1

■Гетман И.П.

I...с.,:..'

ЛОЛ : ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

pTOil- .

Актуальность теш. В теорш устойчивости и бифуркаций равновесия дифференциальных уравнений и неподвижных течек отображений особую сложность представляют те случаи, названные' Ляпуновым критическими, в которых задача устойчивости не может быть решена на основе лишь линейного приближения.

Известные критерии устойчивости в критических ' случаях, полученные многими авторами, начиная с A.M. Ляпунова, • формулируется в виде неравенств, наложенных на коэффициенты так называемых модельных систем. Для построения последних предлагаются различные алгоритмы, реализация которых требует громоздок аналитических преобразований и вычисления.

Объем работ, выполняемых во многих областях естествознания и техники .по исследованию устойчивости -в

N '

различных конкретных ситуациях, весьма значителен. Поэтому ясна актуальность разработки экономичных алгоритмов выюда модельных систем. Понятно, что . лучше всего . иметь для соответствующих коэффициентов явныз, насколько это возможно, ■ формулы. До сих пор они выписаны лишь для небольшого числа критических'случаев и при этом . как.правило, динамических систем невьсокого порядка.

' - Значительный интерес представляет решение конкретных задач устойчивости из различных областей естествознания. Одним из таких примеров является задача об устойчивости стационарных движений систем вихревых нитей в жидкости.

Цель работы: исследование критических случаев устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и неподвижных точек отображений; представление известных условий устойчивости и неустойчивости в полуинвариантной

форме - через нейтральные корневаз векторы линеаризованной системы и ее сопряженной; приложение теории устойчивости к гидродинамический задаче об устойчивости движения правильной системы п точечных вихрей.

Научная ьовизна. Многие известные критерии устойчивости динамических систем представлены в полуинвариантной форме, удобной для дальнейшего исследования и вычислений. Получены явные выражения коэффициентов модельных систем через нейтральные корневге Еекторы линеаризованной системы и ее сопряженной.

Формулы этого тина известны в теории ветвления решений операторных уравнений и является существенной частью современной операторной формы -.метода Ляпунова - Шмидта, развитой М.М. Вайнбергом и В. А. Треногиннм.

Для облегчения вывода полуинваризктных форм критериев устойчивости предложен метод частичной нормализации.

Исследован ряд ранее не изученных критических случаев устойчивости неподвижных точек отображения коразмерности вырождения три.

Проведено математически строгое. ■ доказательство утверждения Дя.Томсона С1883 г.,) об 'устойчивости правильной сисями из Д- точечных вихрей, когда д £ 6.

Достоверность полученных выводов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются.в литературе.

Практическая значимость. В то время как большинство критериев устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и неподвийэшх точек отображений формулируется в виде алгоритма, в данной диссертации они представлены в виде полиномиальных неравенств для величин, заданных явными

формулами. Таким образом, применение критериев устойчивости к конкретной системе сводится просто к вычислению по этим формулам.

Указанная форма критериев устойчивости удобна для вычислений4 и программирования на ЭВМ. Она эффективна как для конечномерных, так и для бесконечномерных систем, для которых справедлив принцип сведения. , .•;

Методика вывода полуинвариантных форм может быть полезна и при рассмотрении новых критических случаев.

Новые критические случаи устойчивости неподвижных точек отображений коразмерности три. исследование в диссертации, встречаются неустранимым образом в трехпараметрических семействах отображений, но могут , возникать благодаря специальным свойствам самих отображений и в семействах с меньшим числом параметров. .

Доказательство устойчивости правильных^ вихревых Л- -угольников (. л ^ 6 ) может помочь при изучении устойчивости других вихревых конфигураций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации •докладывались. на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам математической физики (; г. Ленинград, апрель 1985 г.). на Б-^й Школе-семинаре МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Колюбакино, 1988 г.;, на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано Б работ.

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.Работа занимает 140 страниц машинописного текста, список литературы содержит 81 наименование.

- 6 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, изложено краткое содержание и сформулированы основныз результаты, представленные к защите.

Стандартным методом, применяемым при изучении устойчивости равновесий нелинейной автономной вещественной система дифференциальных уравнений является метод линеаризации, обоснованный А.М. Ляпуновым е конце прошлого, века.

Если спектр устойчивости равновесия лежит строго внутри левой полуплоскости, то оно устойчиво, а если есть хотя бы одно собственное значение в •• правой полуплоскости, то равновесие неустойчиво. Здесь и далее под устойчивостью равновесия или неподвижной точки подразумевается их асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Неустойчивость жьз понимается в обычной смысле.

Если спектр устойчивости равновесия нелинейной азтономной системы дифференциальных уравнений содержит точки мнимой оси (нейтральный спектр), а остальная его часть расположена внутри левой полуплоскости, то ответ на вопрос об устслчивости зависит от характера нелинейности и не может быть дан на основе анализа одной только линеаризованной системы. В этом случае говорят, что в задаче устойчивости равновесия имзет. место критический случай.

В задаче об устойчивости неподвижной точки отображения критический случай имеет место , когда спектр устойчивости лежит в единичном круге и его пересечение с единичной окружность» не пусто.

критические случаи, начиная с классических • работ А. М. Ляпунова , бши предметом многих исследований.

Этой теме посвящены работы В. И. Арнольда, Е.А. Барбашина, А. Д. Брше. Г. В. Каменкова. Н.Н.Красовского. А. Л.Куницыка. И.Г.Малкина, 'Л.М.Молчанова, Ю. И. Неймарка, Л.Г.Хазина, Н.Г. Четаева, Э.Э.Шноля и других авторов .

Достигнутые ' к 1985 году результаты иссл^дог-ання критических случаев устойчивости равновесий динамических систен систематизированы и существенно дополнены в книге Л.Г.Хазина к Э.Э.Шноля "Устойчивость критических положений равновесия" С Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР. 1985;.

В этой книге критические случаи классифицируются по коразмерности вырождения. Дан перечет. Есех случаев коразмерности За й Z для динамической системы с дискретны).! временем и X ¿5 для систем с непрерывным временем. В каждом из них. за единственным исключением, приведены полученные разными автораки ноделышз системы и'алгебраические критерии устойчивости равновесий.

Для построения модельной системы' исходная динамическая система долкша быть, приведена на нейтральном (^центральном) многообразии к нормальной форме до некоторого порядка. .Размерность центрального многообразия равна суммарной кратности нейтрального спектра (.размерности нейтрального подпространства;. •

Алгебраический критерий устойчивости равновесия представляет собой, грубо гошря, совокупность алгебраических -неравенств, налояннзшх на козгйициенты модельных систем. При их выполнении равновесие исходной системы устойчиво , а при грубом нарушении хотя бы одного из неравенств неустойчиво. Когда условия нарушаются негруоо (.некоторы? из неравенств обращаются в равенства ) имеет место критический случай более высокого порядка вырождения.

Л.Г. Хазин и Э.Э. Шноль показали, как редукцией к дифференциальным уравнениям можно получить • условия уст о йчивд с т и и неустойчивости неподвижных точек во всех случаях коразмерности £ £ <2. ив некоторых случаях более высокого порядка вырождения.

Редукция к дифференциальным уравнениям состоит из двух этапов.

Этап 1. Сначала условии устойчивости и неустойчивости формулируется как гипотетические. Для этого строится дифференциальное уравнение, отображение сдвига вдоль решений которого совладает с достаточной степенью точности в окрестности равновесия с рассматриваемым отображением или некоторой его итерацией. Условие устойчивости и неустойчивости его равновесия известны. Переформулировав эти условия через коэффициенты членов ряда Тейлора исходного отображения, получаен гипотетические условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки.

Этап 2. Доказывается устойчивость неподвижной точки при выполнении гипотетических условий устойчивости .и неустойчивость при выполнении гипотетических условий неу тойчивости. Ряд критических случаев устойчивости неподвижных точек коразмерности 3, которые также ¡южно свести к исследованным критическим случаям устойчивости равновесия, остались не рассмотренными из-за их больного числа.

В первой главе диссертации получены гипотетические критерии устойчивости неподвижных точек отображений в ряде случаев коразмерности 3. В каждом из них, кроме одного, доказывается .устойчивость неподвижной точки при выполнении _гипотетических условий устойчивости. Неподвижная точка, конечно-же, неустойчива при выполнении гипотетических условий

■ - 9 -

неустойчивости, однако вопрос о строгом доказательстве этого утверждения в диссертации не рассматривается.

В §1.1 изложены теоремы о вложении отображений в фазовые потоки Еекторных полей в окрестности неподвижной точки. ^

В §1.2 обсуждается обоснование гипотетических условий устойчивости С ПОМОЩЬЮ функций Ляпунова.

В §1.3 дан перечень рассматриваемых критических- случаев. Для каждого из них дана предварительная характеристика • получаемых результатов и применяемых методов. Пусть

IV

• аналитическое отображение окрестности нуля пространства к в ^ , имешре нулевую неподвижную точку : 1Г(о)~ О . ^ Каждый из последующих результатов справедлив для &^ С При этом везде Ч-

Ниже для каждого критического случая: (

а} приводятся Есе собственные значенная матрицы ^ лежащие на.единичной окружности, а также условия типа, равенства, ввделящие данный критический случай из случая общего положения;

в}указывается вид модельного отображения; Оформулируются условия устойчивости и неустойчивости. Используются следующие обозначеншя: -собствен- .

нш значения матрицы ^ ; • ^, &, ^, ^ -вещественные переменные; -комплексные переменные; = = ¡¿(¡1 ' )... -действительные числа; А^ -комплексные числа; звездочка означает комплексное сопряжение.

В §1.4-§1.7 раснотренн есс случаи коразмерности вырождения

• - 10 -

три. которые возникают при негрубом нарушении условия устойчивости, наложенных на нелинейные слагаемые модельных систем, в следующих критических случаях коразмерности два: 1° Одна пара сопряженных нерезонансных ^:

отсутствуй все резонансы порядка <5 ; дополнительное вырождение: А = О •

(ЛО : 2= г + /4.Р +

Устойчивость при ® И КЗ'- зтойчиеость при

= (кЁ> + $(1* /О*

2° Две пары сопряженных. нерезонансных у.: .

Лд= ' > М * * • :отсутг

ствуюг все резонансы порядка •

Устойчивость при одновременном выполнении условия: ■ 0 \2) агг -г О \Ъ) хотя бы одно из трех

неравенств является верным: <г О / Яц* О Д= ~алаи>0 -Здесь Дд.

Неустойчивость при выполнении хотя бы одного из условий:

а; аа>о ,в) агг>о,с) аи>о, яи>о,

3° Тройка простых ^ :

_ ^ » ^ ~ ^ ' отсутствуют все резонансы второго и третьего порядков;

(А

-11 -

Устойчивость при одновременном выполнении условий: 1.' ,2) .3) хотя бы одно из трех неравенств

является Еерннн: О ^а^&^^О .Здесь

Неустойчивость при выполнении хотя бы одного из условий:

а} 4 > о .в; й4>о .с; ¿л>о, а,>0,

Двукратноеи жорданова клетка: ,

(ьО-.^цЛ**. ■

Неустойчивость при ь Ф О.

В § 1.4-§1.'7 последовательно рассматривается критические случаи коразмерности вырождения & — 3 _ возникающие при

я

негрубом нарушении условий устойчивости соответственно в случаях 1 4 .

В качестве примера рассмотрим критические случал коразмерности три, • возникающие при - негрубом нарушении

условий устойчивости .наложенных в случае 2° на нелинейные

х I •

слагаемые модельной системы . Всего их два. Приведем, полученнш в §1.5 гипотетические критерии устойчивости:-

^ '= £ ~ 1 ^ » ^ = г Р' й : отсутствует все резонансы порядка £ 5. Дрпслнителыше вырождение:

О; выполняемся одно из неравенств: йО или ^ О; Йй.^',

+ АиА + АиА '+ 4аА*) . М ''¡^/^(/'¿иА' + ЛгаА)

Устойчивость при Щ< О и неустойчивость при $¿>0 •

2в; у н = £ ; отсутствует

все резонансы порядка < 5 ; й{1 ^ 0 » 0 , ®1г>0>

- 12 -

дополнительное вырождение: й - а^ - О; О. = 9±

(I - ЛиР{ + АиЬ* + А1Ч£ +

Устойчивость при ^О и неустойчивость при '•

+1 (а. и + & (А^ф) ; ¿=1,4.

Неподвижная точка устойчива при выполнении приведенных здесь гипотетических условии устойчивости . Доказательство проводится в § 1.5 с помощью квадратичных функций Ляпунова.

Главы 2 и 3 диссертации лосвящзны еыводу полуинвариантных форм критериев устойчивости неподвижных точек отображений (глава 2) и равновесий систем дифференциальных уравнений Сглава 3}. *

Применение критериев устойчивости, приводимых в книге Л.Г. Хазина л Э.Э. Шноля "Устойчивость критических положений равновесия" и главе 1 настоящей диссертации, к конкретной системе сводится в основном к вычислению коэффициентов модельной системы. Последнее требует разработки эффективных алгоритмов.

В данной диссертации расчетные формулы условий

устойчивости и неустойчивости для ряда критических случаев представлены, как нам кажется, в наиболее удобной для вычисления форме. Даны явные выражения для коэффициентов модельных систем в "полуинвариантной" форне-через нейтральны? корневые векторы линеаризованной системы и ее сопряженной.

В этих формулах нигде не фигурирует: размерность системы, так что они применимы и для бесконечномерных задач, скалим, для систем уравнений в частных производных.

'Пример. С А.М. Ляпунов )

Приведем в качестве примера полуинваришггну» форму условий устойчивости и неустойчивости в критическом случае простой пары чисто юпшых собственных значений в спектре устойчивости равновесия диффере}Щиального уравнения, выведенную в § 3.2.

Рассмотрим автономное вещественное. дифференциальное уравнение в ^ с нулевым равновесием :

¡(и) = А и + .

к

(.V

Здесь векторное поле' £ •' л«-* ¡¡-(сс) определено в окрестности О <= & * , / С3 ; А И — & - линейный оператор, $ и*1 - однородный степени ^ оператор &

действувдий в & , определяемый симметричным ГУХ~ -линейным отображением ■ ■ ■ ;им)

н-

причем и±> И», и. * Г

Предполо!Ким, что спектр 6" С А') оператора А представим в виде объединения пары спектральных множеств <э0 С А) и

- 14 -

А) . причем 6^/0 = лежит

строго в левой полуплоскости, а нейтральный спектр (70 = = [±¿0)], •'"О-состоит из простой пары чисто мнимых собственных значений. '

Комплексифицируен естественным образом пространство ^ а , ... продолжим до соответствующих комплексных отображения из £' в ^ .За величинами, связанными с векторным полем, сохраним прежние обозначения.

Нейтральным собственны! значениям — - отвечают собственные векторы.

(.«/>, у*] , | Ф, Ф*} операторов Л,

А*ф*= Ф*, (V,

' Модельная система имеет вид: • г - ¿и>г +- а г? /г/2

где, а £ С ,

■0.=-^ о Щ (г, й+ч (<?*, *),

; (з; -

, к= (2 ¡.л -I-

Теорема.

Пусть весь спектр матрицы линеаризации / (о) лежит строго в левой полуплоскости, кроме простой пары чисто мнимых

собственных значений "Я =+ , и) у О .

х Л

Нулевое равновесие дифференциального уравнения устодчиво, если # и неустойчиво, если Ия.'А'гО

0. Л ~

Лялуновская величина и определяется,выражениями (.3).

Приведенные в данной ' теореме условия устойчивости и неустойчивости равновесия, выраженные через коэффициент а. нодельной системы (2), получены А.М. Ляпуновым.

Главная часть работы при определении устойчивости по ТСолуинваришгишм [формулам - вычисление нейтральных корневых векторов линеаризованной системы и ее сопряженной, а также решение некоторых неоднородных линейных алгебраических уравнений. (Сонечно, кратность спектра и соотвстствувдая жорданова структура системы ка нейтральном подпространстве допускает численное исследование лишь в. тех случаях, когда система содержит параметры, причем вырождение происходит при отдельных, подлежащих' определению, их ■ значениях. В иных случаях, впрочем, кратность определяется общими свойствами системы. ' -

Существенными . моментами использованного в данной диссертации подхода является принцип сЕёдения . согласно которому достаточно рассматривать сужение заданной системы на нейтральное многообразие, а также приведение полной системы к частично нормальной форме - с' изгнанием лишь тех нерезонансных членов, которые содержат лишь нейтральные переменные.

Обоснование перехода к системе на нейтральном

многообразия для 'конечномерных систем следует из принципа *

сведения В.А. Плмсса и получается для тех бесконечномерных систем, для ' которых имеется теорема о нейтральном