Исследование дифференциальных уравнений с градиентно подобными отображениями основного функционала вариационного исчисления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ТАДЖИКСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫМ УНИВЕРСИТЕТ

РГБ ОД

/ В И10/1 1393

Диссертационный совет К 065. 01. 02 На правах рукописи УДК 517.9

БАБАДЖАНОВ ШОПУЛАТ ШОМАШРАБОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ГРАДИЕНТНО ПОДОБНЫМИ ОТОБРОЖЕНИЯМИ ОСНОВНОГО ФУНКЦИО' \ЛА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 199В

Работа выполнена в Таджикском государственном национальном университете и Худжандском государственном университет имени академика Б. Г. Гафурова.

Научный руководитель:

член-корреспондент АН Республики Таджикистан, доктор физико-математических

наук, профессор МУХАМАДИЕВ Э. М.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент АН Республики Таджикистан, доктор физико-математических

наук, профессор ИЛОЛОВ М. И.

кандидат физико-математических

наук, доцент РАУФОВ И. Ш.

Ведущая организация - Ташкентский Государственный

университет.

Защита состоится " ¿Г» 1998 г.в " " час.

на заседании диссертационного совета К 065.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском государственном национальном университете (734025, Душанбе, пр. Рудаки,17).

С диссертацией можно ознокомиться в научной библиотеке ТГНУ. л

Автореферат разослан" " 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н.,доцент О- X. ХОСАБЕКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы.Градиентные системы-системы дифференциальных уравнений, у которых правая часть задается градиентом некоторой гладкой скалярной функции нескольких переменных ит гладких функционалов, исследованы во многих работах.

Описанию структуры траекторий градиентных динамических систем, заданных на компактных многообразиях. посвящены работы С.Смейла, Да. Пали и ряда других авторов.

В ряде работ исследованы свойства решения градиентной системы в окрестности стационарного решения в тесной связи с различными свойствами критических точек скалярных функций многк" переменных и функционалов, заданных в гильбертовом пространстве. Классический метод исследования на экстремум функционалов состоит из двух этапов: первый этап-отыскание экстремалей-нулей градиента функционалов, второй этап-проведение дальнейшего исследования экстремума на минимум,максимум,седло и т.д. Для функ-ионалов определенных и дифференцируемых в некотором гильбертовом пространстве, второй этап многие авторы проводят с привлечением дифференциальных уравнений с. градиентной правой чястью.Здесь важ ную роль играот фундаментальное свойство градиентной системы состоящее в том, что вдоль ее нестационарного решения .функционал строго убывает или возрастает (основная идея второго метода Ляпунова). По этому, по поведении решения градиенной системы дифферен циальних уравнений в окрестности критической точки можно опреде-делоть,является ли эта точка точкой минимума,максимума или седло вой точкой. В последние годи, для исследования дифференциальных уравнений с градиентной правой часть», бит разработаны деформационные метода отыскания минимумов функционалов,позволяющие сводить исследование пгз минимум экстрэмаля одного функционала к пос троению повыроадаемой деформации этого функционала к такому Функ ционалу.для которого данная экстремаль является точкой минимума. К исследованиям такого характера можно "отнести работы Н.А.Бобылева.В одной из них показано, что, если скалярная функция многих переменных имеет единственную нулевус критическую точку, ко.торая

является точкой локального минимума, то нулевое решение градиентной системы асимптотически устойчиво в целом в случае, когда норма градиента равномерно отделена от нуля вне некоторого шара.В других его работах исследуется сохраняемость свойства устойчивости градиентной системы при ее деформации и полученные результаты применяются к анализу бесконечномерных экстремальных задач и т.д.

Следует отметить,что хотя введение и исследование дифференциальных уравнения с градиентной правой частью требует лишь, одно кратной диффероншфуемости функционала «тем пе менее,это условие оказалось достаточно ограничительным.Здесь можно отметить работы II.А.Бобылева, в которых рассматриваются функционалы,заданные в гильбертовом пространстве. В этом случае для введения и исследования градиентных уравнений,т.е.систем фазовым пространством которых является гильбертово пространство необходимо.чтобы функционал имел непрерывный и удовлетворяющий условию Липшица градиент.Эти условия в гильбертовом пространстве резко сужают класс нелинейных функционалов. Многие функционалы вариационного исчисления либо нельзя определить в гильбертовом пространстве, либо они определены,но не дифференцируемы в нем. Вместе с тем, эти же функционалы могут Сыть определены и непрерывно дифференцируемы в некотором пространстве Банаха.Однако,в банаховом пространстве возникает другая трудность: так как градиент функционала действует из банахова пространства в сопряженное к нему, то градиентное уравнение теряет смысл.

В связи с вышеизложенным, актуальными являются следущио вопросы:

- о построении такого отображения, которое действует в ¿амом банаховом пространстве и имеет основные свойства градиента,т.е. градиентяо подобного отображения;

- о введении дифференциального уравнения с градиентяо подобным отображением в банаховом пространстве и исследование поведения решений этих уравнения в' окрестности стационарного решения в связи со свойствами критической точки фугнциовала*

Цвль работы. Для основного функционала вариационного исчисления:

1) выбрать пространство Банаха, в котором он имеет непрерывный градиент (без выполнения тех зестких усоловий, которые возникают в гильбертовом пространстве);

2) построить градионтно подобное отобрааенио, т.е. отобрааение, которое действует в само« банаховом пространстве и имеот основные свойства градиента;

3) ввести дифференциальное уравнение с градионтно подобным отображением в правой части и исследовать некоторые свойства решения этого уравнения в окрестности стационарного решения в связи со свойствами критической точки функционала.

Метода исследования. Использованы общие методы теории дифференциальных уравнения и методы функционального анализа.

Научная новизна.Предложен способ введения даффорэнциольиых уравнений с градионтно подобная! ото бра гениями основного функционала вариационного исчисления,действувдими в банаховом пространстве и проведено исследование поведения решений дифференциальных уравнений вокруг стационарного решения.

Построены градиентно подобные отображения основного функционала вариационного исчисления в конкретных банаховых пространствах.

Доказана теоремы о компактности множества значений ограниченных решений, об асимптотической устойчивости стационарного решения диз&ферешщальнкх уравнений с градиентно подобными ото-брагениями и другие.

Изучены дифференциальные уравнения о градиентно подобными отобразеяиями,зависящими от параметра.Доказана теорема о сохранении свойства асимптотической устойчивости стационарных решений этих уравнения при изменении параметра.

Практическая и теоретическая ценность.Работа теоретическая. В ней изучены: связи свойства изолированной критической точки основного функционала вариационного исчисления и асимптотической устойчивости стационарного решения дифференциального уравнения с

градиентно подобным отображением в правой части; сохранение свойства асимптотической устойчивости стационарного решения диффорэнциального уравнения с градиентно подобным обряжением в правой части при деформации функционала.

Результаты работы найдут приложение в вариационном исчислении и задачах оптимизации.

Апробация работы. Отдельные части диссертации неоднократно докладывались на семинарах в Таджикском Госуниверситете (1990-1995 гг) и Худжандском Госунивэрситете (1995-1998 гг); на апрельских научно-теоретических конференциях профессорско- преподавательского состава в Таджикском Госуниверситете (г. Душанбе 1992 -1995 гг); на научно-теоретических конференциях молодых ученых, аспирантов и специалистов Ленинабадской области ( г. Худжаяд 1996 -1997 гг); на Республиканской конференции -"Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (г. Ташкент, 1997 г); на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава,посвященной $5-летик> Худжандского Госуниверситета (г.Худханд, 1997 г).

Публикации. Основные результата опубликованы в б научных работах,список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно..

Объем и структура работы.Диссертация изложена на Лс страницах машинописного текста, состоит из введения, семи параграфов, приложения и списка цитированной литературы,вклшашего 24) наименований. •

КРИКОВ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель исследования,приводится крат кое изложение содержания и основные результаты рэботы.

В первом параграфе приводятся основные понятия и постановка задач. С помощью теорем Х.Т, 1.2 и некоторых результатов из работ н.А.Еобшюва раскрываются сущность и актуальность постановки задачи . обосноываетоя необходимость введения градиентно подобного отображения.

8о втором параграф© приведено определение градиептно подобных отображений для функционалов,заданных в банаховом пространстве.

Пусть В -банахово пространство,« о: - непрерывное

отображение.

Определение I. Непрерывное отображение с, называется градиентно подобным отображением,если оно удовлетворяет условию:

Существует дифференцируемый по Ореше функционал В*-н1 такой, что

- непрерывное ограниченное отображение . (ур(х) - градиент функционала ? в точке хеВ );

б)для любого х€® ?р(х)=9 тогда и только тогда, когда У(1)

с(х)=о;

в) значение (у?(х)„а(х)) функционала у?(х) на элементе в(х) положительно: (V?(х), о(х))>о при С(х)А>.

В предположении, что для функционала заданного в произвольном банаховом пространстве В, существует непрерывное градиентно подобное отображение о, которое удовлетворяет локальному условию Липшица, изучаются некоторые свойства решения дифференциального уравнения

йх

- = - С(х), Х€В (2)

аь

Справедлива следующая обдая

Теорема 2.2. пусть х0гЕ является локальным минимумом и изолированной критической точкой функционала ?. Пусть для любой последовательности решений хк(4)=.р(*,го5{),к=1,г... уравнения (2) из условий

а) вир вир {|р{|<ш; к ■

б) Схд^: к=1,2,...)- предкомпактно • следует, что множество

и (р(Ь,х0к): оа^)

предкомпактно. Тогда стационарное решение »(К^ урава&иия (2) является асимптотически устойчивым.

Отметим.что обратное утверждение тоже верно, оно приводится в этом же параграфе.

Третий параграф посвящен вопросу построения градиентно подобного отображения для основного функционала вариационного исчисления

Р(х) = £1Г(а,х(а),х'(а)) ¿в, (3)

заданного в банаховом пространстве

= {Х6С1[0.1 ]: х(0)=х(1){ х'(0)=х'(1)}

с нормой

||х|| « шаг |х(в)| + шах |х'(а)|.

Предполагается, что функция х(в,х,у) непрерывна на «и2 и имеет непрерывные частные производные по х и у. В пространстве с^ определим отображение

0£(*,х,х > От,х(1),х'(1 )

С(х)(а) = Г —- (а) + Гв( ---

бх 6 (Эх'

01 , , а М(а,х(а),х'(а» дГ

------) ¿1 - ГТа( -—----—•) (11 с1а, (4)

Ох' 0 0 Ох' Ох'

где

01 ! ДГ(в,х(а),х' (а)) 8х' ~ I Ох'

и Г интегральный оператор (см. лемму 3.1)

(Гх)(в) = К(аД)х(1) <Н

о ядром

К(а,и

з(а-1) 1;(2з-1;-1) 13 ---+-, если

2

в (3-1)

12

I 13

- (--з)(1-^)+ —, если ОСаШ1.

2 2 .12

Основное содержание третьего параграфа составляет Теорема 3.1. Если

0Х(О,х,у) 0Х(1,х,у)

0у

07

(5)

то отображение о непрерывно действует из с^ в с^ и удовлетворяет условиям (16) и Цв). Если К тому 28

функции

дI

дX

"Эх • ~3у локальному условию Липшица

по переменным х и у удовлетворяют

(6)

то отображение о удовлетворяет локальному условию Липшица.

В четвертом параграфе изучаются некоторые свойства решения дифференциального уравнения (2),когда его правая часть с(х)-градиентно подобное отображение определенное формулой (4).

Пусть функция г(п.х.у) удовлетворяет усиленному условию Леаандра:

существует производная на Ю,11 * и2 и положительная.

<5 Х(э,х,у) Зу-•

непрерывная

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (5), (6),(7) и G(x) определено формулой (4). Пусть последовательность решений x^t.s)* p(t,yk). 'ic^t(\<» или тк= -и») уравнения (2) удовлетворяет условию 11хк (t, а) 11 , tks t <тк, к=1, г..... Тогда: -

1)для любого отрезка [a.b], tk4a, ь<тк, кЯ^ мнохество {xk(t,B): a<t<b, компактно в Cq, если tk*-® при к«»;

2)мно*оство {xk(t,a>: tk«t<Tk, к=1,г,...} компактно в с^, если tk>t0,k=l,2,... и множество начально: значений (xk(tk,e)= =yk(s), к=1,2,..;}компактно в с^.

Частным случаем теоремы 4.1. является

Теорема A.Z. Пусть выполнены условия (5),(6},(7) и о(х) определено формулой (4). Пусть последовательность решений (xkCt)} уравнения (г) удовлетворяет условиям ¡|xk(tk)-XQ||*Ck. ||хк(0)-х0|| = Г0 к 6k<||xk(t)-x^|Hr0 при tk$tíO где го>0. бк>о при Тогда мнохество значений {xk(t): tk$t£o, к=1,2,...> решений Xjjít)', к=1,2,... компактно в Oq.

Следующая теорема является обобщением известной теоремы Ляпунова для конечномерных систем.

Теорема 4.4. Пусть изолированная критическая точка x¿ является лекальным минимумом для функционала (3) в cj. Тогда стационарное решение x(t)=ZQ уравнения (2) асимптотически устойчиво по Ляпунову при t*«> и наоборот, если критическая точка Xq - асимптотически устойчива по Ляпунову при t«o, то она является изолированной критаческой точкой и точкой локального минимума функционала (3).

Отметим еще одну теерэму из этого параграфа.

Теорема 4.5. Пусть о(о)=о и х^во является единственной • критической точкой функционала (3) в шаре Тогда

уравнение (2) не имеет нэнулэвых рошеяий x(t). удовлетворяющих условию JJx{t)|¡ca,, ten1.

Пятый, параграф посвящен вопросу о построении градиентно подобного отображения для основного функционала вариационного исчисления (3) заданного в банаховом пространстве cj = {«C1[ü,1i: 2(0)=г(1)=0>. .

-11В пространстве с* определим отображение

% , «(t.x(t).x'(t)) Q(i) = ^K^s.t) -—- dt +

+ g JL,(a,t) -—- dt.

(8)

где

Rq(b,t) -

(a, t) -

t(1-s), если 0$t<a<1 a(l-t), еслио^а^Ш и

1-or если 0<t<e$i -а, если OSa$tS1.

Доказано следувдее утверждение

Теорема 5.1. Отображение а непрерывно действует из cj в cj и удовлетворяет условиям (16), (1в). Если,к тому же, выполнено условие (6), то отображение а удовлетворяет условию Липшица.

В шестом параграфе дифференциальное уравнение (2) рассматрудается когда E=cJ.Имеют место теоремы аналогичные теоремам из четвертого параграфа.

В седьмом параграфе для нелинейного функционала

1

?<х) » / Г(в,х(а),х' (a),Jl)ds, 0«SU1 (9)

О

зависящего от параметра X, о^и1,где функции f(a,x(s),x' (а), df(a,x,y,X) ЗГ(а,х,у,А)

- , --определены и непрерывны на

дх ду

[0,1 ]«R-*lo,i] по совокупности переменных,определено градиентно подобное отображение .зависящее от параметра X, o^ei

öf(«,x,x',\) о Öi(t,x(a),x4t),x) ЭГ*

0(х,Х)=Г- (e)+J(---)d1 -

Ох О Ох' Öx«

1 в а$(а,х{а),х,(а)Л) 2ПГ

-f / (---------)<ttda, (Ю)

О О Ох' дх*

где .

ЭГ* 1 «(в,г{в),1|(о)Л)

-- j -da.

Ох» О Л'

1

которое непрерывно действует из пространства С0 »loti) t снесли выполнено условие

öi(0,x,y,M öi(1,x,y,M

(11)

öy Oy

Если,кроме того»предположить,что öf(а,х,у,Л) öi(a,x,y,X)

функции---,---по переменным х,у-удов

Ох От г («

летворают локальному условию Липшица,

то отображение (10) удовлетворяет локальному условию Липшица. В этом параграфе рассматривается дифференциальное уравнсиис

dx

At

-С(х,М,

(13]

11

где 0(хД):С0>.(0,1] -С0 непрерывное отображение вида (ю). Ясно, что если выполнены услобкя (11) и (12),то для уравнения (13) спрведлива локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши.В' дальнейшем оудем считать,что каждое начальное значение х0(а) из о^ однозначяо определяет решение х(1;,в)=

s

=1>(1,10(а),Х),р(о,10(в)Д)=10(в) уравнения (13).

Основпым результатом этого параграфа является

Теорема 7.2.Пусть функция 1(в,х,у,Х) удовлетворяет усиленному условию Лэ,чаадра, 9 -изолированное решение уравнения оСжД^о при всех X, \е[о,1]|и при Х=0 нулевое реаэиие уравнения (13) является асипмтотически устойчивым.Тогда,нулевое решение уравнения (13) является асимптотически устойчивым при всех Х€[0,11.

Эта теорема допускает эквивалентную переформулировку в терминах функционалов. Такая интепретация приводит к некоторым признакам существования минимума основных функционалов вариационного исчисления в банаховых пространствах.

Эта признаки приведены в приложении.

ОСНОВНЫЕ ;езультаты диссертации

1) Предложен способ введения дифференциальных уравнений с градиентно подобны)® отображениями основного функционала вариационного исчисления .действущими в банаховом пространстве и проведено исследование поведения решений дифференциальных уравнений вокруг стационарного решения.

2) Построены градиентно подобные отображения основного функционала вариационного исчисления в конкретных банаховых пространствах.

3) Доказаны теоремы о компактности множества значений ограниченных решений, об асимптотической устойчивости стационарного решения дифференциальных уравнений с градиентно подобными отображениями.

4) Изучены дифференциальные уравнения с градиентно подобными отображениями,зависящими от параметра. Доказана теорема о сохранении свойства асимптотической устойчивости стационарных решений этих уравнений при изменении параметра.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: ь Бзбадаанов Ш.Ш. исследование критических точек нелинейных функционалов в банаховом пространстве с помошыо градиентно подобных отображений.//Апрельская научно-теоретическая хонфе-

-и-

репция проф.-препод, состава ТГУ. -Душанбе, 1993,-с.7.

2. Бабаджанов Ш.Ш. О критических точках функционалов и устойчивости решений дифференциальных уравнений с градиентно подобными операторами. //Научно-теоретическая конференция молодых ученых, аспирантов и специалистов Ленинабадской области.- Худаанд 1996, -с. 12-13.

3. Бабаджанов Ш.Ш. О градиентно подобных отображениях интегральных функционалов вариационного исчисления.//Конференция!! илмии олимопи чавони вилояти Ленинобод бахшида ба .65 сола-гии ДДХ. Музтасари гузоришот. - Хуч,анд, 1997,-с.'3.

4. Бабаджанов Ш.Ш. О сохранении свойства асимптотической устойчивости одного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. //Научно-практическая конференция преподавателей ХГУ 65 лети» университета, Худжанд,1997, с. 29-31.

5. Бабаджанов Ш. Ш. Об одном методе исследования критических точек функционала качества. // Республиканская конференция "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент",

Ташкент, 1997,с.16.

6. Бабаджанов Ш.Ш. Градиентно подобное отображение основного

- функционала вариационного исчисления, в банаховом простран- 1 стве. // Вопросы вычислительной и прикладной математики, Ташкент, 1998, N 104,- С 69-82.

Пользуясь случаем,автор, выражает огромную благодарность

своему научному руководителю Э.М. Мухамадиеву за руководство

работой.