Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом

Коверга, Александр Юрьевич

Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Коверга, Александр Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом»

Автореферат диссертации на тему "Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом"

На правах рукописи

Коверга Александр Юрьевич

ПРИМЕНЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ МЕТОДОВ В ИССЛЕДОВАНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 в дпр тг

Ярославль - 2012

005017904

Работа выполнена на кафедре математического моделирования федерального государствеиного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет имени П.Г. Демидова»

Научный руководитель

О фициал ьные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Кубышкин Евгений Павлович

Рудый Александр Степанович - доктор физико-математических наук, профессор, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, заведующий кафедрой микроэлектроники

Старков Сергей Олегович - доктор физико-математических наук, профессор, Обнинский институт атомной энергетики, заведующий кафедрой комьютерных систем, сетей и технологий

ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Защита состоится мая 2012 г. в «_» часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.05 в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Полушкина роща, д. 1.

Автореферат разослан «11» а^елр. 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Диссертация посвящена исследованию установившихся колебательных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, возникающих при изучении прикладных задач. Изучаются установившиеся решения бифурцирующие из состояния равновесия при изменении параметров уравнения. В качестве основного метода исследования используется метод интегральных (инвариантных) многоообразий, позволяющий сводить изучение поведения установившихся решений исходного уравнения (системы уравнений) с бесконечномерным фазовым пространством к исследованию поведения решений на критическом инвариантном конечномерном многообразии. Поведение решений на критическом инвариантном многообразии может быть описано некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть построена в нормализованном виде и носит название нормальной формы исходного дифференциального уравнения. Установившиеся решения нормальной формы во многом определяют установившиеся решения исходного уравнения с начальными условиями из некоторой фиксированной окрестности изучаемого состояния равновесия.

Указанный подход в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом стал возможен в связи с построением теории инвариантных (центральных) многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов в банаховом пространстве, позволяющей сформулировать принцип сведения в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений. Понятие инвариантного многообразия было введено А. Пуанкаре1 при изучении отображений, порождаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Принцип сведения использовал A.M. Ляпунов2 при изучении устойчивости решений в критических случаях, хотя понятие инвариантного многообразия он не использовал. Различные вопросы теории инвариантных многообразий и принципа сведения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривали Д.В. Аносов3, В.А. Плисс4, S. Sternberg5, A. Kelley6, Ю.Н. Бибиков, Дж. Хейл7.

1Пуанкаре, А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 392 с.

2Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 473 с.

3Аносов, Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара / Д.В. Аносов // Науч. докл. высшей школы (физ.-мат. п.). — 1850. — №. 1. — С. 3-12.

4Плисс, В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения / В.А. Плисс // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1964. — Т. 28, Вып. 6. — С. 1297-1324.

^Sternberg, S. Local constructions and a theorem of Puincarc / S. Sternberg // Arucr. J- Math. — 1957. — V. 79 — P. 175-187.

6Kelley, A. The stable, ccntcr-stablc, centcr-instablc, unstable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat. — 1967. — V. 3 — P. 540-570.

7Хейл, Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1969. — 232 с.

Эти результаты систематизированы в монографиях Ф. Хартмана8, Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой9, а также A.M. Самойленко10 во введении которой имеется достаточно подробный обзор по указанной тематике.

Начиная с 70-х годов, вопросы, связанные с изучением инвариантных многообразий, получили свое дальнейшее развитие в связи с распространением полупенных ранее результатов на динамические системы с бесконечномерным фазовым пространством (банаховым, гильбертовым). Это было связано с запросами качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, вызванные необходимостью исследования устойчивости стационарных решений, обобщением бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим значительный интерес представляло построение теории инвариантных многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов, действующих в банаховых и гильбертовых пространствах. Этому посвящены работы А.Н. Куликова, M. Hireh, С. Pugh11. Систематизированное изложение данных вопросов можно найти в монографиях Дж. Марсдена, М. Мак-Кракена12, Д. Хенри13, Б. Хэссарда. Н. Казаринова, И. Вэна11. Там же можно найти многочисленные приложения указанной теории.

8Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартмап — М.: Мир, 1У70. — 720 с.

9Митрополъский, Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю.А. Митрополъский, О Б. Лыкова — М.: Наука, 1973. — 512 с.

10 Самойленко, А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы / A.M. Самойленко — М.: Наука, 1987. — 301 с.

11 Kirch, M. Stable manifolds and hyperbolic sets / M. Hirch. C. Pugh // Proc. Symp. Pure Math., XIV, Am. Math. Soc. — 1970. - V. 14 - P. 133-163.

12 Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Map еден, М. Мак-Кракен — М.: Мир, 1980. — 3G8 с.

13А'екри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри — М.: Мир. 1985. — 376 с.

нХэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. / Б. Хэссард, Н. Каза-ринов, И. Вэн — М.: Мир, 1985. — 279 с.

15Колосов, Ю.С. Метод нормальных форм для систем с запаздыванием / Ю-С. Колесов // Литовский математический сборник. — 1980. — Т. 20, Ж 4. — С. 73-78.

л6 Кубышкин, ЕМ. Некоторые вопросы динамики распределенных роторов / E.II. Кубышкин // Математика в Ярославском университете: Сборник обзорных статей к 25-летию математического факультета. — Ярославль. — 2001. — С. 157-182.

17Глызин, СД. Нелинейная динамика одного дифференциального уравнения второго порядка с периодически возмущенным запаздыванием / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ

лебательные решения уравнений с запаздывающим аргументом изучались в работах А.Д. Мышкиса, С.Н. Шиманова18, В.П. Рубаника19, В.Н. Фодчука20. В диссертации сформулированные подходы применяются для изучения поведения колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Цель работы

Основной целью работы является исследование колебательных решений, возникающих при изменении параметров, некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, являющихся математическими моделями важных прикладных задач.

Методы исследования

В диссертации использованы метод интегралып>1х многообразий нелинейных систем дифференциальных уравнений с распределенными параметрами, теория нормальных форм дифференциальных уравнений на интегральных многообразиях, теория бифуркаций, асимптотические и численные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы

В диссертации выявлены условия возникновения колебательных решений математической модели Ланга-Кобаяши полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью; выявлены условия возникновения хаотических колебаний в зоне комбинационного параметрического резонанса в математической модели генератора электромагнитных колебаний с запаздывающей обратной связью; исследованы условия возникновения хаотических колебаний в математической модели распределенного ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами, одна из опор которого испытывает вибрацию; изучена в нелинейной постановке задача двухчастотного параметрического воздействия, в случае основного резонанса. В этом случае выявлены условия генерации хаотических колебаний.

Положения, выносимые на защиту

1) Исследованы условия возникновения периодических и двухчастотных решений системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Ланга-Кобаяши, предложенной в качестве математической модели полупроводникового лазера. Построены асимптотические формулы указанных колебательных решений.

информационных систем. — 2005. — Т.12. № 1. — С. 40-45.

18Шимапов, С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием / С.Н. Шиманов // Пятая летняя математическая школа. Киев: Ип-т матем. АН УССР. — 1963. — С- 473-549.

19Яубаник, 11.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубакик - М.: Наука, 1969. — 287 с.

20Фо{Ыук, В.Н. О непрерывной зависимости решения дифференциальных уравпений с запаздывающим аргументом от параметра / В.Н. Фодчук /'/ Укр. мат. журн. — 1964. — Т. 16, 2. — С. 273-279.

2) Выявлены условия возникновения хаотических колебаний в нелинейном уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, являющимся математической моделью генератора электромагнитных колебаний с элементом запаздывания в цепи обратной связи.

3) Исследована математическая модель динамики распределенного ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами, одна из опор которого испытывает периодическое воздействие. Выявлены условия возникновения колебательных решений, в том числе и хаотических.

4) Исследовано влияние двухчастотного параметрического воздействия на нелинейную динамическую систему, в случае основного параметрического резонанса. Выявлены условия генерации хаотичесих колебаний.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при исследовании математических моделей распределенных динамических систем, возникающих в различных областях радиофизики, механики.

Результаты диссертации могут быть использованы при получении научно-обоснованных рекомендаций при проектировании генераторов хаотических электромагнитных колебаний.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005), Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20) (Ярославль, 2007), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2008), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2012), Международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского гос. университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2012).

Кроме того, результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на семинаре научно-образовательного центра «Нелинейная динамика» Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных публикаций в диссертационную работу включены результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 66 наименований. Работа содержит 20 рисунков. Общий объем диссертации составляет 80 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность проводимого исследования, приводятся его цели и задачи. Кроме того, в нем содержится обзор литературы, связанной с тематикой диссертации, а также приводится структура работы.

В первой главе работы исследуется математическая модель Ланга-Кобаяши полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью. Она представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом следующего вида

Ё = fc(l + ia){N - 1 )Е + -ycxp(-i<f>0)E(t - т), (1)

N=-^(N -J+\E\2N). (2)

Здесь E(t) = Ex(t) -+- iEy{t), i = \/—l - комплексная переменная, описывающая электромагнитное поле, N(t) - плотность носителей зарядов, J -ток накачки, к - коэффициент затухания колебаний, 1/7ц - время спонтанной эмиссии, а - коэффициент, характеризующий лазер, j - процент отраженного излучения, фо - фазовый сдвиг излучения, т- величина запаздывания, равная времени, которое необходимо излучению, чтобы достичь зеркала и вернуться обратно.

Изучаются автоколебательные решения системы уравнений (1)-(2), би-фурцирующие из состояния равновесия

E{t) = 0, N(t) = J (3)

при изменении параметров системы уравнений.

Характеристическое уравнение линеаризованной на (3) системы уравнений имеет вид

А - А(1 + га) - ■у ехр(-Ат - гф0) = 0, А = k(J - 1). (4)

Расположение корней характеристического уравнения исследуются методом Г>-разбисиии21. На рис. 1 представлена характерная картина Р-разбиений при указанных значениях параметров.

21 Неймарк, 10.И. D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости лиэлеаризованыых распределенных систем) / Ю.И. Неймарк /,' ПММ — 1949. - Т. 13, №. 4. - С. 349-380.

0.003

-0.003

-0.006

Как следует го рис. 1, потеря устойчивости состояния равновесия (3) может происходить с прохождением одного (гаi), либо двух (ioi, гсг2, |<xi| < |о"г|) корней характеристического уравнения (3) через мнимую ось комплексной плоскости. При этом оказывается, что резонансного соотношения \сг2\/\а\\ = 1 реализовано быть не может.

Изучается характер колебательных решений системы уравнений (1)-(2), бифурцирующих из (3) в случае потери устойчивости, связанной с прохождением двух корней характеристического уравнения (4) через мнимую ось комплексной плоскости. В этом случае поведение решений системы уравнений (1)-(2) в окрестности состояния равновесия (3) определяется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений

¿1 = (¿01 4- (dnlzxl2+d12\zo\2)zi + ... = Zi(zb z2, zu z2; e), (5)

¿2 = (icr2+£\2])z2 + (¿2i|zi|2 + d22\z2\2)z2 + ... = Z2{zuZ2,Zi,Z2-£), (6)

коэффициенты которой эффективно вычисляются, е - малый параметр.

В диссертации выполнен анализ поведения решений системы уравнений (5)-(6), установлена взаимосвязь между решениями уравнений (5)-(6) и системы уравнений (1)-(2). построены асимптотические (по е) формулы для периодических и инвариантных торов системы уравнений (1)-(2).

Во второй главе рассматривается задача параметрического возбуждения хаотических колебаний в дифференциальном уравнении второго порядка с запаздывающим аргументом следующего вида

х + Ах + х + [В + G(x, х, x(t - h(t)),x(t - h{t))\ x(t - h{t)) = 0, (7) где h(t) = h + a- sin(wi); А, В, h,a,u - положительные параметры (h > a),

G(xi,x2,x3,x4) = gin + g2x2 + 53^3+34^4 + gutf + 9i2Xix2 + ...

А т

400 800

П /2 ___ 1 >г\

Рис. 1. л = 4,7 = 0.005, фо = 7г/2.

достаточно гладкая нелинейная функция.

Уравнения вида (7) возникают при моделировании электронных устройств с активными нелинейными элементами и запаздывающей обратной связью.

Изучается возможность возбуждения за счет периодического изменения запаздывания сложных, в том числе хаотических колебаний. При этом предполагается, что при а = 0 нулевое решение уравнения (7) асимптотически устойчиво.

Положим а = 0 и рассмотрим характеристическое уравнение линейной части уравнения (7)

Р( А) = Л2 + АХ + 1 + В ехр(—A/i) = 0. (8)

Анализ расположения корней (8) проводится методом "D-разбиений, из которого следует, что при определенных значениях параметров уравнение может иметь корни ±i<7j, (<jj > 0, j = 1,2). При этом остальные корни имеют отрицательные вещественные части. При этом оказывается, что при А = А0 = \/6/6, В = В0 = y/6/3, h — h0 = 47г\/2/3 уравнение (8) имеет корни ±¿0"! = ±г\/2/2, ±г<72 = ±г\/2, т.е. имеет место внутренний резонанс 1 : 2. Указанный случай рассматривается во второй главе.

Положим А = Aq + eAi, В = Bq+eBi, h = ho + ehi, и а = есц, и выберем ш = o"i + сг2 + (f* - расстройка резонанса).

Таким образом рассматривается случай комбинационного параметрического резонанса в нелинейной постановке при наличии внутреннего резонанса 1 : 2.

Уравнение (7) имеет в окрестности нуля фазового пространства C(—h(t,e), 0) ®C(-/i(í,e),0) четырехмерное 2тг/ш периодическое локальное асимптотически устойчивое гладкое интегральное многообразие поведение решений на котором определяет поведение решений уравнения (7) из некоторого фиксированного шара с центром в нуле фазового пространства. Поведение решений на интегральном многообразии определяется поведением решений следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений

¿i = (»01 + + du|zi|2 + <¿i2|22|2)zx + + £Ci.?2 ехр(г'т) + ... =

= Zi(uJt,zuz2,z1,z2;e), (T = ut), (9)

¿2 = (z'<72 + x\e + <¿2i|zi|2 + d22\z2^)z2 + b2z\ + ec2Zi ехр(гт) + ...=;

= Z2(u)t,zuz2,zi,z2-,e), (Zj = Zj{t) e C,j = 1,2). (10)

В (9)-(10) точками обозначены слагаемые, имеющие по соответствующим переменным более высокий порядок малости. В явном виде приведены лишь „главные" слагаемые разложений.

Комплексные коэффициенты системы эффективно вычисляются.

Рассмотрим линейную часть уравнений (9)-(10). Обозначим А] = rj+iaj и выберем Ai,Bi,hi таким образом, чтобы tJ < 0 (j = 1,2). Как следует из

результатов работы22 в этом случае в плоскости параметров (м, е) существует область параметрического (комбинационного) резонанса определяемая неравенством

£<5(1)(сц) + О(е) < О"! + (72 - w < + о(е), (11)

где

¿(1)Ы = [(r¡ ~ r¡) Im(cic2) + (т? + t})Vb] /(2т{т}) + a¡ -6W(ai) = [(ri - г*) Im(cic2) - (ri + т\)Щ /(2^) + a\ -

В = Im2(cic2) + 4TÍT21 Re(cic2) - 4(r11r21)2. В условиях (11) исследуется поведение решений системы уравнений (9)-

(10)-

Положим в (9)-(10) Zj = tl!2pj ехр(гт), pj > 0,{j = 1,2),t e-1í считая при этом gj = el/2g*,(j = 1,...,4), и выделим главную часть уравнений „медленных" переменных pi,p¿,01 = wí — ri — т2,62 = 2ti — т2. Сделаем это для конкретных значений параметров: д\ ~ 22,0;<?2 = 23,0; Зз = 55> 0; д\ = 6,0; 5зз = -1,8. Остальные gjk = 0, (j, к = 1,..., 4). Нормируем pj pjirj/cijjY'2, (ujj > 0). Выбрав теперь Вг, 1ц таким образом, чтобы Ti = r2 = 1, а\ = о"2, получим систему уравнений

Pi = (-1 ~ р\ + a.up\)pi + ci cos(©L + 7i)p2 + bicos(-©2 + /3i)pip2, (12)

P2 = (-1 + a2ip? - p^)p2 + c2 cos(©i + 72)pi + 62 cos(62 + (13)

©i = <5i - bup\ + bup\ - ci sin(©! + 7i)p2/pi-

~c2 sin(©1 + 72)pi/p2 - h sin(-©2 + pî)p2 - b2 sin(©2 + /?2)Р?/Р2, (14)

-c2 sin(©1 + 72)Pi/P2 + 26x sin(—©2 + p1)p2 - b2 sin(©2 + Р2)р\/P2, (15)

в которой а12 = -5.69; a2i = -0.705; = 8.17; b2 = 4.39; = аг - 0.3; с2 = а1 -0.014; bn = 0.138; b12 = 0.527; Ь21 = 0.454; b22 = 0.367; 7l = -0.222; 72 = 0.322.

Параметры ót и â2 - характеризуют, соответственно, расстройку параметрического возбуждения и расстройку внутреннего резонанса. Это свободные параметры. Таким образом система зависит от трех параметров - Si,62 и ai.

22Кубышкип, ЕМ. Параметрический резонанс в линейных системах с последействием / Е.П. Кубыш-кин ,'/ Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвузовский тематический сборник. — Ярославль. — 1976. — С. 43-76.

Приведем некоторые результаты численного исследования системы (12)-(15). Система численно анализировалась с использованием программы Tracer23 В рассматриваемом случае область параметрического резонанса в плоскости (¿1, ttj) симметрична относительно оси а\. На рис. 2 приведена половина области неустойчивости (она заштрихована). Она определяется функциями 7^l'(ai) и 7^(ai), приведенными в (11). Положим b\ = Ь? = 0, т.е исключим влияние внутреннего резонанса. Уравнения (12)-(13) в этом случае не зависят от 02. При малых ах и любых ¿i решения (12)-(13) стремятся к единственному состоянию равновесия р\ = рг = 0, ©г = ©о- При увеличении а\ и переходе границы области параметрического резонанса от указанного состояния равновесия ответвляется асимптотически устойчивое состояние равновесия вида рхо > 0, р20 > 0, ©о- Дальнейшее увеличение ах приводит к увеличению РЮ:Р20- Отметим, что этому состоянию равновесия в уравнении (7) отвечает асимптотически устойчивый инвариантный тор.

Рис. 2. Область неустойчивости Рис. 3. Проекция аттрактора на (/?ьРг)

Пусть теперь 61,62 выбраны согласно (12)-(15), При 01,61 принадлежащих области устойчивости, представленной на рис. 2, и произвольном ¿2 все решения (12)-(15) по рх и р2 стремятся к нулю. При пересечении границы неустойчивости от нулевого решения ответвляется устойчивый цикл, размеры которого увеличиваются с ростом ах. При ах: ¿1 принадлежащих области параметрического резонанса возможно сложное поведение траекторий. Так, при ах = 37.571,<51 = 5.0 существует хаотический аттрактор. Значения его ляпуновских показателей равны А1 = 0.02; Аг = 0;Аз = —0.01;А4 = —10.14, а ляпуновская размерность с^ яз 3.00. На рис. 3 приведена проекция этого аттрактора на плоскость рх, рг-

Отметим, что в п. 2.5 диссертации рассмотрено приложение указанных результатов к исследованию работы одного генератора электромагнитных колебаний с запаздывающей обратной связью.

23Глызин, Д. С. Пакет программ для анализа динамических систем "ГУасег". Заявка Ж2008610548 от 14.02.2008г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008611464. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008г.

В третьей главе рассматривается математическая модель идеального распределенного ротора постоянного сечения длины /, вращайщийся с постоянной угловой скоростью il, концы которого опираются на подшипники. Предполагается, что одна из опор ротора испытывает периодическое воздействие (вибрацию). Материал ротора считается наследственно вязкоупругим и подчиненным следующей реологической модели вязкоупругого тела24:

a(f) = Е ^/(e(t)) - J R(r)f(e(t + r))drj ,

где a(t),e(t) соответственно напряжение и относительная деформация, Е -модуль Юнга, R(t) - функция релаксации, /(е) = /з£3 + /ье5 + ..(fj > 0) нелинейная функция деформации. Относительно функции Н(т) (—оо < г < 0) предполагается выполнение следующих условий:

J2 ?

Я(г) > 0, ^(г) > 0, / Д(т)йг < 1,

R(t) < Моехр(7от), (Mo, 7о > 0),т -оо.

(16)

Математической моделью рассматриваемой механической системы является следующая краевая задача16

dt2

+ а

du dt

du d2 . , dï + d^ib

д2и

ds2

д2и ds2'

и /

- / Я(т)ехр(-Шт)Ь

<92«

<9s2

"Uo =

д2и [ (

-q~2 ~ I R{T) ехр(-Шт)Ь I

5 = 1

= 2/1 CXp(iLjt + ¿7i),

д2и

ds2

d2u } (

00- ] Я(т)ехр(-гПт)б(

d2u(s,t + '

ds2

(19) !\ d2u{s, t + r)

ds2

2*Работнов, Ю.И. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю.Н. Работнов — М.: Наука 1977. - 384 с.

= vi exp{iíút + ¿72), (20)

где

u(s,t) = ux(s, t) +ivy(s,t),i - >/=í,0 < vuv2 < 1,0 < 71,72 < 2тт,и € R.

Краевая задача приведена в безразмерных переменных

s = z/l, и = u/l, t = t'/to, П --= О.'to, to = ml/2l2(EI0) ~1/2,

функции a(Q,b(Q являются аналитическими в окрестности точки ( = 0 и имеют вид

а(О = а0 + OiC + ■ • •, Ь(0 = 1 -f- 61С +----

Здесь u'(z,t') = u'x{z,V) + iu'y(z,t') смещения средней линии ротора в направлении осей ОХи OY соответственно; ось OZ системы координат OXYZ, связанной с ннерциальным пространством, направлена вдоль средней оси недеформированного ротора; í' - время; тп - погонная масса ротора; OLj = 1^т1-ЦЕ10у-1аГ, bj = (10h = f^dx, = fy¡U+1)dyi моменты инерции поперечного сечения ротора относительно одной из осей соответствующих порядков; функция а'(С) = а!й + + ... (a'j > 0) характеризует внешнее нелинейное трение; Vj, -/j (j = 1,2) и lü характеризуют амплитуду, фазу и частоту внешних изгибающего момента и периодической силы.

Изучается возможность и условия возникновения в краевой задаче (17)-(20) хаотических колебаний (странных аттракторов).

Уравнение (17) является уравнением с бесконечным запаздыванием аргумента. Следуя16 дается определение фазового пространства для краевой задачи (17)-(20), пространства начальных условий и понятие решения.

Положим сначала щ = v2 = 0 и исследуем устойчивость нулевого решения краевой задачи (17)-(20). Показано, что устойчивость нулевого решения (17)-(20) определяется характером расположения корней последовательности характеристических уравнений

Ц\) = А2 + а0Х + ы2( 1 - J R(t) ехр((А - Ш)г)с(г) = 0, (21)

—оо

п = 1,2,..., и>п = ,в2, где рп - положительный корень уравнения chfin ■ cos ¡3n + 1 =0. При этом потеря устойчивости уравнения (21) происходит по соответствующей функции e„(s) = wn(s)/||w„(s)||¿2, wn(s) = (sh/3„ + sin/J„)(ch(/3ns) - cos{/3ns)) - (ch j3n + cos/?n)(sh(0ns) - sin(/?ns)).

Расположение корней удобно исследовать методом 17-разбиений. Положив А = ia и выделив вещественную и мнимую части, имеем

-«^ + ^(1-^-0)) = 0, =

где

ОС ОО

Rc(cг) = J R(—t) cos(<JT)dT, Rs{<r)= J Я(-т) sin(crr)dr,

составляющие нормированного комплексного модуля упругости материала Е*(а) = (1 — Дс(<т) + гЯд^)), который определяется экспериментально.

Отметим, что согласно условию (16) при а > 0, 0 < Нс(сг), Rs(o~) < 1, Rc(cr), Я$(сг) —► 0 при а —> оо. Для Я(т), удовлетворяющих условиям (16), функции (22) качественно имеют вид, представленный на рис. 4. В соответствии с этим, кривые на плоскости (ап, П), соответствующие корням характеристического уравнения (21), расположенным на мнимой оси, качественно имеют вид, представленный на рис. 5. При этом каждая кривая является границей области устойчивости (неустойчивости) нулевого решения (17)-(20) по п ой собственной функции еп(й). Области неустойчивости заштрихованы, = и>п(1 — Rc{О))1/2. Как следует из рис. 5, потеря устойчивости решений может происходить по одному или по двум собственным функциям еДя). В последнем случае каждая функция еп(в) имеет собственную частоту колебаний. Такой случай в дальнейшем и рассматривается.

! 1 1 t 1 1

\Rc ;

I ( 1 1

1 1 / V4TRS ~ 1 \ ^s^ ! ! |

■ ! 1

о а о а0

Рис. 4. Вид функций Rq и Rg Рис. 5. Кривые, соответствующие корням

Пусть теперь i'i, V'i ф 0. Точку пересечения кривых, исходящих из S"2„o и П„+ю обозначим (ап, fin), а соответствующие им значения а через ап и <тп+1. Будем изучать поведение решений начально-краевой задачи (17)-(20) при изменении параметров в окрестности указанных точек. Введем для этого параметр 0<£<1и положим

а = ап + апХе, П = П„ + Пп1е, Vj = i/j0£1/2, (j = 1,2),

ш = и)0 + е8 = 2<тп — crn+l + sSi- (23)

Изучим характер установившихся колебательных решений краевой задачи (17)-(20) возникающих в окрестности нулевого решения при потере его

устойчивости в предположениях (23). Краевая задача (17)-(20) имеет в окрестности нуля фазового пространства четырехмерное 2 тг/о;-периодическое локальное устойчивое гладкое интегральное многообразие, поведение решений на котором определяет поведение решений начально-краевой задачи (17)-(20). Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поведение траекторий краевой задачи (17)-(20) на интегральном многообразии будет иметь вид

¿1 = {гап + еА* + dnl^l2 + (^Ы2)^ + ¿^щА&^г exp(iwi) -f ..., (24)

¿2 = (ivn+i + + d2i\zY\2 + d22\z2\2)z2 + £lj2v0A2z2lexp{-iut) + ..., (25)

коэффициенты которой эффективно вычисляются через параметры краевой задачи (17)-(20).

В диссертации в качестве примера рассмотрено ядро вида

R^ = rt] \ ехР(-т) (0 < « < 1)

1 (1 - а)

где Г(1 — а) - гамма функция Эйлера, (модифицированное ядро Абеля)24. В результате будем иметь

Rc(°) = „ , ^(l1 - a)arctg(a)),

(1 + СГ ) 2

= Sin((l - a)arctg(a)).

(1 + аг) 2

Положим а = 0.84 и обратимся к рис. 5. Соответствующие значения параметра а равны aL = 2.888 и а2 = 21.424.

Выберем Пп1 = 1.2, ап 1 = 1.2, ai = 0.1, i>i = 0.21. Считая г/10 = f2o = щ, вычислим коэффициенты системы (24)-(25). В (24)-(25) положим Zj = ex/2pjexp{iTj), (pj > 0,j = 1,2), t —> e~lt и выделим главную часть уравнений „медленных" переменных рьрг, в = uit — 2ti + т2. Пронормировав теперь pi —» 0.05+pi, р'2 —> 0.02*р2 получим следующую систему дифференциальных уравнений:

Pi = (3.94 - pj - l.2bpl)pi + 1.8I/0PIP2COS(© - 0.46),

P2 = (4.7 - 1.41/э2 - p\)p2 + О.ООЗг^оp\ cos(-© + 0.55), 0 = 5+ 2.28 p\ + 1.93p| - 3.6 щр2 sin(© - 0.46) + 0.003t/0pi/p2 sin(-6 + 0.55),

зависящую от двух параметров i/0 и S.

Система численно анализировалась при разных значениях параметров 7о и S с использованием программы Tracer23. Система может иметь как устойчивые состояния равновесия, периодические решения, так и хаотические колебания. Так, при 5 = 2.1, изменяя ¡/0 имеем следующую динамику. При

щ = 2.8 имеем устойчивое состояние равновесия с координатами рю = 1.624, Р20 = 0.991, ©о = 8.329. Затем из состояния равновесия при г^о = 3.25 происходит рождение цикла и далее при щ = 4.73, щ = 4.961, и0 = 4.997 происходит серия бифуркаций удвоения периода. В результате чего при щ = 5.05 образуется хаотический аттрактор. Его ляпуновские показатели равны Аі = 0.38; Аг = 0; Аз = —7.195, а ляпуновская размерность ~ 2.053.

Р'1

р\

о 2 0 2

Рис. 6. Проекция аттрактора на (pi, рг) Рис. 7. Сечение Пуанкаре В = п/2

Проекция аттрактора на плоскость (р\.р2) приведена на рис. 6. При этом переменная В неограниченно возрастает при t оо. На рис. 7 изображено сечение Пуанкаре плоскостью 0 = 7г/2. Просматривается фрактальная структура предельного множества.

В четвертой главе на примере одного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом изучается поведение решений нелинейной динамической системы в случае двухчастотного параметрического резонанса.

Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом

x(t) + x(t) + кf{x(t - h(t, £))) = 0, (26)

где к > 0 некоторый параметр, /(х) = х + f2x2 + /3х3 + ..., \х\ < х0 гладкая функция, h{t, е) = h{ 1 + eai cos{uiyt + ft) + £a2cos(w2i + ft)) - величина запаздывания аргумента, в которой h,Uj,aj > 0;0 < ft < 2я,j = 1,2;0 < £ « 1.

Изучается возможность и условия возникновения в уравнении (26) сложных, в том числе хаотических, колебательных решений, принадлежащих некоторой фиксированной окрестности нулевого решения уравнения (26) и обусловленных двухчастотным изменением запаздывания малой амплитуды.

Положим в (26) a,j = 0 (j — 1,2) и рассмотрим характеристическое уравнение линейной части уравнения (26)

А + 1 + к ехр(-Щ = 0. (27)

Выберем к = ко таким образом, чтобы уравнение (27) имело корни А = ±гсго (<т0 > 0), а остальные корни уравнения (27) при этом имеют отрицательные вещественные части. Положим к — ко + еку и обозначим А(е), А(е), (А(е) = гсго+сА1 + ...) соответствующие корни уравнения (26). Считаем, что к\ < 0. При этом И.е А^ < 0.

Пусть теперь а,' ф 0 (у = 1,2). Положим и^ = 2а0 + е6^ (<5^ ~ 1,у — 1,2). Таким образом рассматривается случай двухчастотного параметрического резонанса.

В сформулированных предположениях уравнение (26) имеет в окрестности нуля фазового пространства С(—е), 0) локальное экспоненциально устойчивое интегральное многообразие, поведение решений на котором определяется поведением решений некоторой двумерной нелинейной периодической системы (нормальная форма уравнения (26)).

Приведем вид и численные результаты системы для конкретного значения параметров. Положим в (26) — 02 — 0, к = 37г/4, /г = 0.1, /з = —1, V = 1, = —1. При этом ко = \/2, а0 = 1. В результате с учетом некоторых нормировок нормальная форма уравнения (26) примет вид

х = (—1 + 1.6826а! + 1.6826а2 соб(£)):е+

+(-0.1906 + 1.6826аг а т{Ь))у + (х2 + у2){-х + 7.343у), у = (1.6826аг + 0.1906):с+ +(-1 - 1.6826а! - 1.6826аг соз(Ь))у + (х2 + у2)(—у - 7.343ж).

(а)

Рис. 8. Проекция аттрактора на плоскость {х,у)

Положим сначала параметр а2 = 0 и будем изменять параметр а! от нуля в сторону возрастания. Это соответствует периодическому воздействию

на систему. При ai « 0.6069 нулевое состояние равновесия теряет устойчивость, из которого рождаются два ненулевых устойчивых состояния равновесия. Зафиксируем теперь ai ~ 0.8488 и будем изменять а2. Из этих ненулевых состояний равновесия одновременно бифурцируют при 0.2 ~ 4.244 -10~3 два устойчивых цикла. Состояния равновесия при этом теряют устойчивость.

Дальнейшее увеличение параметра а2 приводит к увеличению амплитуды колебаний периодических решений. На рис. 8(а) представлены проекции периодических решений на плоскость (х,у) при ai « 0.8488, а2 ~ 0.8488.

При аз ~ 1.1972 оба цикла теряют одновременно устойчивость, и неустойчивое многообразие первого цикла пересекается с устойчивым многообразием второго, и, наоборот, неустойчивое многообразие второго цикла пересекается с устойчивым многообразием первого. Это приводит к образованию странного аттрактора (хаотического режима), проекция которого на плоскость (х, у) для случая ai « 0.8488, а2 ~ 1.1973 представлена на рис. 8(6). Для этого случая с помощью программы Tracer23 были вычислены ляпуновские показатели и ляпуновская размерность; Хх и 0.1932, \2 « —2.6211, cLl « 1.073.

Дальнейшее увеличение параметр а2 приводит к исчезновению хаотического аттрактора и образованию периодического решения. Если теперь уменьшать а2, то отмеченный выше странный аттрактор возникает из периодического решения через серию бифуркаций удвоения периода.

В заключении подводятся основные итоги работы, а также намечаются возможные пути продолжения исследования.

Список публикаций по теме диссертации Статьи в ведущих рецензируемых журналах:

1) Кубышкин, Е.П. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном дифференциальном уравнении второго порядка с запаздывающим аргументом / Е.П. Кубышкин, А.Ю. Коверга // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т.15. № 2. — С. 67-71.

2) Коверга, А.Ю. Хаотические колебания одной распределенной динамической системы с бесконечным запаздыванием / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ информационных систем. — 2011. - Т. 18. № 1. - С. 46-55.

Другие публикации:

3) Коверга, А.Ю. Об одной математической модели полупроводникового лазера / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции / Самарск. гос. тех. ун-т. Самара, 2005. — С. 127-130.

4) Коверга, А.Ю. Некоторые особенности поведения решений уравнений Ланга-Кобаяши / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2005. — Вып. 7. - С. 146-150.

5) Коверга, А.Ю. Характер поведения решений нелинейной системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Математические методы в технике и технологиях

- ММТТ-20: Сборник трудов XX Международной науч. конференции в 10 т. / Яросл. гос. техн. ун-т. Ярославль, 2007. — Т. 1. Секция 1 — С. 87-88.

6) Коверга, А.Ю. Поведения решений нелинейной системы дифференциальных уравнений в критическом случае кратной пары чисто мнимых корней с жордановой клеткой / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин //О работе семинара «Нелинейная динамика». Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т.Н. № 2. — С. 86.

7) Коверга, А.Ю. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном линейном дифференциальном уравнении с запаздывающим аргументом / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2008. Тезисы докладов / Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 90.

8) Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в ИС-гсператоре с запаздывающей обратной связью / Л.Н. Казаков, [и др.] // Вестник Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Серия Естественные и технические науки. — 2009. — № 1 — С. 59-63.

9) Казаков, Л.Н. Хаотические колебания генератора, обусловленные периодическим изменением запаздывания в обратной связи / Л.Н. Казаков, А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Вестник Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Серия Естественные и технические науки. — 2011. — № 1 — С. 70-74.

10) Коверга, А.Ю. Хаотические колебания одной нелинейной распределенной динамической системы / А.Ю. Коверга // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012. Материалы международной конференции / Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012.

- С. 102-105.

11) Коверга, А.Ю. Хаотическое поведение решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения в случае двухчастотного параметрического резонанса / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012. Материалы

f h

международной конференции / Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012. - С. 105-107.

12) Коверга, А.Ю. Специфика возникновения хаотических колебаний в одной нелинейной распределенной динамической системе / А.Ю. Коверга // Моделирование и анализ информационных систем. Труды международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета им.П.Г. Демидова. — Ярославль, 2012. — С. 116-118.

13) Коверга, А.Ю. Некоторые особенности двухчастотного параметрического возбуждения колебаний в нелинейных динамических системах / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ информационных систем. Труды международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета им.П.Г. Демидова. — Ярославль, 2012. — С. 119-121.

Подписано в печать 10.04.12. Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 19/12. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская, 14.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Коверга, Александр Юрьевич, Ярославль

ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова»

На правах рукописи

Коверга Александр Юрьевич

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кубышкин Е.П.

Ярославль - 2012

Содержание

Введение 4

1. Некоторые особенности поведения решений системы уравнений Ланга-Кобаяши 16

1.1. Постановка задачи................................................................16

1.2. Исследование устойчивости стационарного решения ........................17

1.3. Построение нормальной формы уравнений траекторий на интегральном многообразии......................................................................22

2. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном дифференциальном уравнении второго

порядка с запаздывающим аргументом 31

2.1. Постановка задачи................................................................31

2.2. Анализ линейной части..........................................................32

2.3. Построение нормальной формы уравнения....................................37

2.4. Анализ нормальной формы уравнения........................................42

2.5. Хаотические колебания генератора электромагнитных колебаний..........45

3. Нелинейные колебания одной распределенной динамической системы

с бесконечным запаздыванием 49

3.1. Постановка задачи................................................................49

3.2. Анализ линейной части..........................................................51

3.3. Построение нормальной формы................................................55

3.4. Численный анализ................................................................58

4. Некоторые вопросы колебаний ротора из материала

с нелинейно наследственными свойствами 60

4.1. Постановка задачи................................................................60

4.2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения..........................61

4.3. Построение нормальной формы................................................63

4.4. Анализ нормальной формы краевой задачи..................................67

4.5. Случай невырожденного параметрического резонанса......................71

Заключение 73

Литература 74

Введение

Указанный подход в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом стал возможен в связи с построением теории инвариантных (центральных) многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов в банаховом пространстве, позволяющей сформулировать принцип сведения в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений. Понятие инвариантного многообразия было введено А. Пуанкаре [1] при изучении отображений, порождаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Принцип сведения использовал А.М. Ляпунов [2] при изучении устойчивости решений в критических случаях, хотя понятие инвариантного многообразия он не использовал. Различные вопросы теории инвариантных многообразий и принципа сведения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривали Д.В. Аносов [3], В.А. Плисс [4], S. Sternberg [5], A. Kelley [6], Ю.Н. Бибиков [7-10], Дж. Хейл [11].

Эти результаты систематизированы в монографиях Ф. Хартмана [12], Ю.А. Мит-ропольского и О.Б. Лыковой [13], а также А.М. Самойленко [14] во введении которой имеется достаточно подробный обзор по указанной тематике.

Начиная с 70-х годов, вопросы, связанные с изучением инвариантных многообразий, получили свое дальнейшее развитие в связи с распространением полученных ранее

результатов на динамические системы с бесконечномерным фазовым пространством (банаховым, гильбертовым). Это было связано с запросами качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, вызванные необходимостью исследования устойчивости стационарных решений, обобщением бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим значительный интерес представляло построение теории инвариантных многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов, действующих в банаховых и гильбертовых пространствах. Этому посвящены работы А.Н. Куликова [15-17], M. Hirch, C. Pugh [18]. Систематизированное изложение данных вопросов можно найти в монографиях Дж. Марсдена, М. Мак-Кракена [19], Д. Хенри [20], Б. Хэссарда, Н. Казаринова, И. Вэна [21]. Там же можно найти многочисленные приложения указанной теории.

Метод построение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение траекторий на критическом инвариантном многообразии (нормальной формы) для уравнений с запаздывающим аргументом был впервые предложен Ю.С. Колесовым [22]. Построение ведется в амплитудной форме (полярных координатах). В работе Е.П. Кубышкина [23] предложен более удобный способ построения нормальных форм уравнений с запаздывающим аргументом. Этот метод также использовался в работе С.Д. Глызина, Е.П. Кубышкина [24]. С различных позиций в квазилинейной постановке колебательные решения уравнений с запаздывающим аргументом изучались в работах А.Д. Мышкиса [25-27], С.Н. Шиманова [28], В.П. Рубаника [29], В.Н. Фодчука [30]. В диссертации сформулированные подходы применяются для изучения поведения колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Остановимся коротко на структуре диссертации.

E = k( 1 + ia)(N - 1 )E + yexp(-i0o)E(t - т), (0.1)

NV= -Y||(N -J + |E |2N). (0.2)

Здесь E(t) = Ex(t) + iEy(t), i = л/—1 - комплексная переменная, описывающая электромагнитное поле, N(t) - плотность носителей зарядов, J - ток накачки, k - ко-

эффициент затухания колебаний, 1/7ц - время спонтанной эмиссии, а - коэффициент, характеризующий лазер, 7 - процент отраженного излучения, ф0 - фазовый сдвиг излучения, т - величина запаздывания, равная времени, которое необходимо излучению, чтобы достичь зеркала и вернуться обратно.

Изучаются автоколебательные решения системы уравнений (0.1)-(0.2), бифурци-рующие из состояния равновесия

Е (¿) = 0, N (¿) = а (0.3)

при изменении параметров системы уравнений.

Характеристическое уравнение линеаризованной на (0.3) системы уравнений имеет

вид

Л - А(1 + га) - 7ехр(-Лт - гфо) = 0, А = к(а - 1). (0.4)

Расположение корней характеристического уравнения исследуются методом Т>-разбиений [31]. Потеря устойчивости состояния равновесия (0.3) может происходить с прохождением одного (га1), либо двух (га1, го2, < |о"21) корней характеристического уравнения (0.3) через мнимую ось комплексной плоскости. При этом оказывается, что резонансного соотношения |а2|/|а1| = 1 реализовано быть не может.

Изучается характер колебательных решений системы уравнений (0.1)-(0.2), бифур-цирующих из (0.3) в случае потери устойчивости, связанной с прохождением двух корней характеристического уравнения (0.4) через мнимую ось комплексной плоскости. В этом случае поведение решений системы уравнений (0.1)-(0.2) в окрестности состояния равновесия (0.3) определяется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений

¿1 = (г<71 + еЛ^)^ + (с?ц12 + (¿12|г2|2)<г:1 + ... = ^(¿ь г2, г2; е), (0.5)

¿2 = (гст2 + еЛ^1))г2 + (^211^112 + (122№)г2 + ... = г2{гъ г2, г2; е), (0.6)

коэффициенты которой эффективно вычисляются, е - малый параметр.

В диссертации выполнен анализ поведения решений системы уравнений (0.5)-(0.6), установлена взаимосвязь между решениями уравнений (0.5)-(0.6) и системы уравнений (0.1)-(0.2), построены асимптотические (по е) формулы для периодических и инвариантных торов системы уравнений (0.1)-(0.2).

Во второй главе рассматривается задача параметрического возбуждения хаотических колебаний в дифференциальном уравнении второго порядка с запаздывающим

аргументом следующего вида

X + AX + x + [B + G(x, X, x(t - h(t)), X(t - h(t))] ¿b(t - h(t)) = 0, (0.7)

где h(t) = h + a • sin(wt); A, B, h, a, w - положительные параметры (h > a), G(xi, X2, X3, X4) = giXi + g2X2 + g3X3 + g4X4 + gllX^ + gl2XiX2 + ...

достаточно гладкая нелинейная функция.

Уравнения вида (0.7) возникают при моделировании электронных устройств с активными нелинейными элементами и запаздывающей обратной связью.

Изучается возможность возбуждения за счет периодического изменения запаздывания сложных, в том числе хаотических колебаний. При этом предполагается, что при a = 0 нулевое решение уравнения (0.7) асимптотически устойчиво.

Положим a = 0 и рассмотрим характеристическое уравнение линейной части уравнения (0.7)

P (Л) = Л2 + АЛ +1 + B exp(-Ah) = 0. (0.8)

Анализ расположения корней (0.8) проводится методом D-разбиений, из которого следует, что при определенных значениях параметров уравнение может иметь корни ±ioj, (oj > 0, j = 1, 2). При этом остальные корни имеют отрицательные вещественные части. При этом оказывается, что при А = А0 = Уб/б, в = в0 = Уб/з, h = h0 = 47гл/2/3 уравнение (0.8) имеет корни ±z<7i = ±г\/2/2, ±г<т2 = ±г\/2, т.е. имеет место внутренний резонанс 1:2. Указанный случай рассматривается во второй главе.

Положим А = А0 + еА1, B = B0 + eB1, h = h0 + eh1, и a = ea1, и выберем w = o1 + o2 + e#, ($ - расстройка резонанса).

Уравнение (0.7) имеет в окрестности нуля фазового пространства C(—h(t, e), 0) ф C(—h(t, e), 0) четырехмерное 2n/w периодическое локальное асимптотически устойчивое гладкое интегральное многообразие поведение решений на котором определяет поведение решений уравнения (0.7) из некоторого фиксированного шара с центром в нуле фазового пространства. Поведение решений на интегральном многообразии определяется поведением решений следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений

¿1 = (i01 + Л1е + dn|z112 + d12 |Z2 12)z1 + 61Z1Z2 + ec1^2 exp(ir) + ... =

= Zl(u}t,z г2, г2; е), (т = и;£), (0.9)

-¿2 = (¿02 + А^е + 12 + ^22 |12)+ 62¿2 + ехр(гт) + ... =

= г2(и,г1,г2,г1,г2-,£), = е = 1,2). (0.10)

В (0.9)-(0.10) точками обозначены слагаемые, имеющие по соответствующим переменным более высокий порядок малости. В явном виде приведены лишь „главные" слагаемые разложений.

Комплексные коэффициенты системы эффективно вычисляются. Рассмотрим линейную часть уравнений (0.9)-(0.10). Обозначим А] = т| + ¿а] и выберем А1,В1,^1 таким образом, чтобы т] < 0 = 1, 2). Как следует из результатов работы [32] в этом случае в плоскости параметров (ш,е) существует область параметрического (комбинационного) резонанса определяемая неравенством

е^(1)(а1) + о(е) < а1 + а2 - ш < е^(2)(а1) + о(е), (0.11)

где

б(1)Ы = [(^2 - т1) 1т(с1с2) + (т1 + т^л/в] 1(2т\т\) + а\ - а12, ¿(2)Ы = [(г,1 - т1) 1т(с1с2) - (т! + г,1)у/в] /(2тЫ) + ^ "

В = 1т2(с1 С2) + Ие^) - 4(т1 т1)2.

В условиях (0.11) исследуется поведение решений системы уравнений (0.9)-(0.10). Положим в (0.9)-(0.10) = е1/2р^- ехр(гт), р^- > 0, = 1, 2),£ ^ е-4 считая при этом д ^ = е1/2дз, (] = 1,... , 4), и выделим главную часть уравнений „медленных" переменных р1 ,р2, в1 = — Т1 — т2, в2 = 2т1 — т2. Сделаем это для конкретных значений параметров: дЗ = 22, 0; дЗ = 23, 0; дЗ = 55, 0; д4 = 6, 0; д33 = —1, 8. Остальные = 0, к = 1,..., 4). Нормируем р.,- ^ р.,- (т^/а^ )1/2, (а^- > 0). Выбрав теперь А1, В1, таким образом, чтобы т1 = т2 = 1, = а1, получим систему уравнений

в которой a12 = -5.69; a21 = -0.705; 61 = 8.17; 62 = 4.39; c1 = a1 ■ 0.3; c2 = a1 ■ 0.014; bii = 0.138; 612 = 0.527; 621 = 0.454; 622 = 0.367; 71 = -0.222; 72 = 0.322.

Параметры и - характеризуют, соответственно, расстройку параметрического возбуждения и расстройку внутреннего резонанса. Это свободные параметры. Таким образом система зависит от трех параметров - $1, и а1.

Приведем некоторые результаты численного исследования системы (0.12)-(0.15). Система численно анализировалась с использованием программы Tracer [33]. В рассматриваемом случае область параметрического резонанса в плоскости ($1, а1) симметрична относительно оси а1. Она определяется функциями 7(1) (а1) и 7(2)(а1), приведенными в (0,11). Положим 61 = 62 = 0, т.е. исключим влияние внутреннего резонанса. Уравнения (0.12)-(0.13) в этом случае не зависят от ©2. При малых а1 и любых решения (0.12)-(0.13) стремятся к единственному состоянию равновесия pi = р2 = 0, ©1 = ©о. При увеличении а1 и переходе границы области параметрического резонанса от указанного состояния равновесия ответвляется асимптотически устойчивое состояние равновесия вида p10 > 0, p20 > 0, ©0. Дальнейшее увеличение а1 приводит к увеличению p10,p20. Отметим, что этому состоянию равновесия в уравнении (0.7) отвечает асимптотически устойчивый инвариантный тор.

Пусть теперь 61,62 выбраны согласно (0.12)-(0.15). При а1,^1 принадлежащих области устойчивости и произвольном $2 все решения (0.12)-(0.15) по pi и p2 стремятся к нулю. При пересечении границы неустойчивости от нулевого решения ответвляется устойчивый цикл, размеры которого увеличиваются с ростом а1. При а1,$1 принадлежащих области параметрического резонанса возможно сложное поведение траекторий. Так, при а1 = 37.571, = 5.0 существует хаотический аттрактор. Значения его ляпу-новских показателей равны А1 ~ 0.02; Л2 = 0; A3 ~ -0.01; Л4 ~ -10.14, а ляпуновская размерность dL ~ 3.00.

В третьей главе рассматривается математическая модель идеального распределенного ротора постоянного сечения длины /, вращайщийся с постоянной угловой скоростью П, концы которого опираются на подшипники. Предполагается, что одна из опор ротора испытывает периодическое воздействие (вибрацию). Материал ротора считается

наследственно вязкоупругим и подчиненным следующей реологической модели вязко-упругого тела [34]:

a(t) = E f (є(і)) - R(t)f (e(t + t))dT

где o(t), e(t) соответственно напряжение и относительная деформация, E - модуль Юнга, R(t) - функция релаксации, f (е) = е + f3e3 + f5е5 + • •• , (fj > 0) нелинейная функция деформации. Относительно функции R(t) (—то < т < 0) предполагается выполнение следующих условий:

1 R(T)dT < 1,

R{r) > 0, > °>

R(T) < Mo exp(7ot), (Mq,Yo > 0),T ^ -то.

(0.16)

Математической моделью рассматриваемой механической системы является сле-16

дующая краевая задача

д2и

dt2

+ а

ди

ди д2 . dt ds2

д2и

ds2

д и ds2

- R(t )exp(-iQT )b

d2u(s,t + t )

ds2

d2u(s,t + r) ds2

dT = 0,

(0.17)

. du

= Ts

d2u 2 \ d2u

— - I Д(т)ехр(-гПт)6

ds2

(

= 0,

s=0

d2 u(s,t + t )

ds2

v1 exp(i^t + ¿71),

d2u(s,t + r)

ds2

d2u

ds2

d2u

ds2

- R(t )exp(-iQT )b

d2u(s, t + t)

ds2

<92w(s,i + r)

ds2

(0.18)

s=1

V2 exp(i^t + ¿72),

(0.19)

s=1 (0.20)

где

tt(s, t) = t) + iuy(s, t),l = л/—T, 0 < Pl,P2 ^ 1, 0 < 7l, 72 < 27Г, UJ Є R.

Краевая задача приведена в безразмерных переменных

s = z/l, u = u'/l,t = t'/to, Q = Q'to, to = m1/2l2(EIo)-1/2

—x

— x

—x

функции a(Z), b(Z) являются аналитическими в окрестности точки ( = 0 и имеют вид

а(() = ao + aiZ + ..., b(() = 1 + Ьг( + ....

Здесь u'(z, t') = u'x(z, t') + iu'y(z, t') смещения средней линии ротора в направлении осей OXи OY соответственно; ось OZ системы координат OXYZ, связанной с инер-циальным пространством, направлена вдоль средней оси недеформированного ротора; t' - время; m - погонная масса ротора; aj = l4—2jm1—j(EI0)j—1aj, bj = (I0l2j)-1Ijf2j+1; Ij = J x2^j+l1 dx1 = f y^j+l1 dy1 моменты инерции поперечного сечения ротора относительно одной из осей соответствующих порядков; функция a'(() = a'0 + a1Z + • • • (aj > 0) характеризует внешнее нелинейное трение; Vj, Yj (j = 1, 2) и ш характеризуют амплитуду, фазу и частоту внешних изгибающего момента и периодической силы.

Изучается возможность и условия возникновения в краевой задаче (0.17)-(0.20) хаотических колебаний (странных аттракторов).

Уравнение (0.17) является уравнением с бесконечным запаздыванием аргумента. Следуя [23] дается определение фазового пространства для краевой задачи (0.17)-(0.20), пространства начальных условий и понятие решения.

Положим сначала v1 = v2 = 0 и исследуем устойчивость нулевого решения краевой задачи (0.17)-(0.20). Показано, что устойчивость нулевого решения (0.17)-(0.20) определяется характером располож�