Колебания в системах, описываемых дифференциально-разностными уравнениями с мгновенной коррекцией начальных данных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

АНДРОСЕНКО Николай Павлович

КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, ОПИСКВАЁШХ ДИКЕГСНЦЯАЛЬЙО-РАЗНОСТШМИ УРАВНЕНИЯМИ С НГНОВЕННОЙ КОЯЕКЦИЕЙ -ЙАЧДЛШЫХ ДАННЫХ >.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автор ф е р а т -' , диссертаций н& соискание ученой сгепени кандидата.физико-математических наук

Киев - 1992

Работа выполнена в Институте математики АН Украины. -Научный руководитель: > академик, профессор

,. _мгщшольсжиа Ю.А. .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Профессор ПЕЕЕСТЕК H.A., -

кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник КОРЕНЕЗСКШ Д.Г.

V

Институт прикладных проблем механики ^ и математики АН Украины .

4 Ведущая организация:

• \

. Защита диссертации состоится "/£' " (Л1о{1199в _ часов на заседании специализированного совета Д 016.50.02 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 - Киев 4, ул. Репина, 3,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан «if " ЛОЛ 19Э.1г7

\ .

Ученый секретарь специализированного совета ЛУЧКА А.Ю.

Г.ГСШЗ«:

сеш г дол свртлций

Общая характеристика работы

Актуальность теки. Развитie современной науки характеризуется проникновением математических методов во все новые отрасли науг/. Наряду с физикой,происходит такхе математизация химии, бно-тогии, других естественных наук. Математическое описание процессоз к яи -.тений требует tee более полного учета факторов, оказывающих влияние на изучаемый феномен, что приводит к более сложным математическим моделям. Учет запаздывающей обратной связи, т.е. ал и дни з прошлого состояния систем (предыстории, наследственности) на ее поведение а настоящий момент времени приводит к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом. Больной вклад з теорию нелинейных колебаний в системах с запаздыванием внесли Ю.А.Митрополь -ский, Дк.Хейл, В.И.Фодчук, Б.П.Рубаник, Д.И. Лартышж, А.Халанай, С.Н.Шиыанов.

Простейшими дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом являются уравнения о постоянным запаздыванием, т.е. дифференциально-разностные уравнения, которые находят широкое применение, например, в теории автоматического регулирования.

В последние 20 - 30 лет бурно развивалась теория обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. В этом направлении в первую очередь следует отметить работы киевской школы математиков и, превде всего, Ю.А.Митропольского, А.М.Самойленко, Н.А.Перестюка и их учеников. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием позволяют описывать более широкий класс нелиней -ных колебательных системен к ним можно успешно применять асимптотические методы нелинейной механики» в частности, ставшие уже классическими метод усреднения и асимптотический метод Крылова-Боголюбо-ва-Митропольского.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и о мгновенной коррекцией начальных данных являются естественным обобщением как дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, так и дифференциальных уравнений с запаздывающе.!, аргументом, и возникают при учете процессов последействия и импульсного воздействия. Хотя до настоящего времени таят уравнения изучались мало, в связи с изложенным тле можно сделать вывод, что изучение диф -ференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных является весьма актуальной задачей как в теоретическом7так и в практическом плане.

Настоящая диссертация посвящена изучению колебаний в системах, описываемых дифференциально-разностными уравнениями, подверженных мгновенной коррекции начальных данных в некоторые (фиксированные) моменты времени.

Объект исследования. Исследуются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом И с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени.

Цель работы - изучение систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных (существование и единственность решения, непрерывная зависимость реаений от параметра, наличие периодических реше -ний, асимптотитческое интегрирование).

Методика исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием и асимптотические методы нелинейной механики.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. В частности,

- сформулировано понятие дифференциально-разностного уравнения с мгновенной коррекцией начальных данных и дано определение его решения;

- для дифференциально-разностного уравнения с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени доказаны теоремы о существовании и единственности решения и его непрерывной зависимости от параметров;

- предложен алгоритм построения общего решения линейного однородного дифференциально-разностного уравнения с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени при условия непрерывности решения;

- предложен, алгоритм построения асимптотических приближений для слабо нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого

и второго порядка и с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени с помощью метода Крылова-Боголюбова-Митропольского в нерезонансном и резонансном случаях.

Достоверность работы. Результаты диссертации сформулированы в виде теорем, для которых даны доказательства.

Теоретическая и практическая ценность. Работа в целом иоелт теоретический характер. В диссертации рассмотрена новая математическая задача, состояцая в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных. Автором ус -

тановлена корректность рассматриваемой задачи (доказаны теоремы о существовании и единственности решения и его непрерывной завис/ -мости от параметров), получены достаточные условия существования периодических решений, разработан алгоритм построения обш.его решения линейного однородного диф^еренциаоьно-рааиостного уравнения с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени при условии непрерывности решения, изучен вопрос о применении асимптотического метода Крылова-Боголюбова-Митропольского для исследования рассматриваемого в диссертации класса задач,и на его основе развит алгоритм построения асимптотических приближений для слабо нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого и второго порядка с мгновенной коррекцией начальных данных в фик -сированные моменты времени в нерезонансном и резонансном случаях. Тем самым получена возможность применения данньтх результатов для исследования прикладных задач и для дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по нелинейным колебаниям и математическом физике в Институте математики АН Украины (руководитель - академик Ю.А.Митропзль-ский) и на семинаре по дифференциальным уравнениям з Киевском го -сударственном университете им.Т.Г.Шевченко (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Перестюк).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - зЗ .

Структура и объем работы. Диссертация, изложенная на III машинописных страницах, состоит из введения, трех глав и списка ис -пользованной литературы, включающего 118 наименований .

Основное содержание работы

Во введении дан краткий обзор исследований, посвященных воп -росам теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Формулируются постановки зада", рассматриваемых в диссертации, и приведены основные результаты, полученные в ней.

В §1-1 изложены вспомогательные сведения и результаты из различных разделов теории дифференциальных уравнений как с запаздывающим аргументом, так и с импульсным воздействием, используемые в диссертации.

В 51.2 вводится понятие дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом и с мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени* Рассматривается следующая задача. Предположим« что йекоторый физический Процесс в моменты времени

• ! » - » о - некоторое действи-

тельное число, описывается дифференциально-разностным уравнением

<¡>0,

а при происходит мгновенная коррекция начальных данных

для указанного уравнения» определяющая закон эволюции процесса на промежутке » причем правило коррекции начальных дан-

ных считается априори известным для каждого момента времени {= ^ К= 1,1, ••.

Предположим тате, что новые Начальные данные получаются в результате преобразования вида

«.е^ для получений новых начальных данных используется информация о траектории системы до момента времени . . Наиболее простым

(I естественным способом получения новых начальных данных является задание соотношения вида

Математическую модель такого процесса можно записать в следующем виде;

Где {;« > 1к*1,21--- - некоторые непрерывные функ-

ции, определенные на й , или некоторые операторы.

Решение задачи (I) - (2) будет состоять из кусков решений урав нения (I) с начальными данными (2), определенных на интервалах времени Ик, ), К»1,3--,При этом подразумевается, что на интервале [Ь, решение задачи (I) - (2) определяется некоторой начальной функцией , заданной на начальном промежутке

V.«! . (3)

В §1.3 для задачи (I) - (3) доказывается следующая теорема о существовании и единственности решения.

Теорема 1.1. Предположим, что выполняются условия!

а) функция является непрерывной го совокупности своих аргументов и равномерно относительно I, у удовлетворяет условии Лигшица по х , т.е.

У)II - ЬН*-х'И ;

б) Ак М, - непрерывные функции в К )

в) % Ю непрерывная функция, определенная на Ед-СЪ-Т,!^] Тогда решение задачи Коти (I) - (3) существует и единственно

На Некотором конечном или бесконечном промежутке временя ГЬ^Т1),

В 51.4 доказывается теорема о непрерывной зависимости решений задачи (I) - (3) от начальных функций и правых частей в (I), (2). Для формулировки теоремы рассмотрим наряду с задачей (1)~(3) Следующую систему:

$ - Шг^^адедно, г^ ^ , (4)

(5)

Ле^ед, «в,

»Де величины

те же, что и в

системе (I) - (3); 4*0 И) - непрерывная фгячцип, определенная на начальном множестве Е0 , а функции ^({-Т)),

?,•••, таковы, что решение (4) - (6) существует. Справедлива теорема.

Теорема 1.2. Предположим, что выполняются условия: а) функции Ак Гх) непрерывны по всем своим ар-

гументам и удовлетворяют услсзию Липшица, т.е.

III и, х', У)- {К,*;У'! II * Ь О*'-*'"+ъч'-ч'9), НАЛ*')- АЛхЦи ь ;

б) выполняются неравенства

ИЖ-ММ.уК-'ПН* у.

Тогда для решений задач (I) - (3) и (4) - (6) Х(-(/ и у ({) на отрезке С^Т] справедлива оценка

где

- количество точек на

отрезке £•{.<> Д 7 .

Глава 2 посвяцена изучению линейных однородных дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами и с мгновенно!, коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени, В §2.1 рассматривается характеристический полином вида

для дифференциально-разностного уравнения

(7)

Здесь приводится условие отсутствия действительных корней такого уравнения, детализирована структура общего решения уравнения (7).

В §2.2 рассматривается характеристический полином вида для дифференциально-разностного уравнения

(8)

описана методика решения вопроса об отсутствии действительных корней указанного характеристического уравнения, детализироьана структура общего решения уравнения (8).

В §2.3 описана процедура построения общего решения зацачл (I)-(3) для уравнений (7) и (8) при выполнении условий

лт! , - ^х(^о) _ <1x1^._ т

В 52.4 проведено интегрирование задачи Х(4) + «А,Х(4)+ ¿¿ХШ +у1±(1-7)^в1х(-(-г}=01 (9)

Вк{(х(Цх(Щиф Ък) 1 (10)

(II)

для некоторых наборов функций 1%«!}. {ЧШ].

Здесь получены достаточные условия существования периодических решений задачи (9) - (II), которые формулируются в виде еле -дуюцих теорем.

Теорема 2.1. Пусть: I. функции к:-1,г, • • • , и Уо принадлежат одному и

тому же двупараметричсскому семейству функций вида =

г С, -I Сг Сояо^ , причем * ^ - корень характеристи -

ческого полинома уравнения ( 9 ), УкН), > = >

выполнены условия:

а) 1^= Гр, =

где - некоторое натуральное число, Р-1,2, ■■■ ;

б) Ю Т= 20Т<^, ) (}, - некоторое натуральное число; )■>!_ »1

в) > Ъыо>}г = = 0 •

Г-"' г

Тогда существует двупараметрическое семейство Т - периодических решений зацачи (9) - (II), каждое из которых составлено из кусков функций вида С^ 5<л и} { + С2 соЬ . Теорема 2. Пусть:

1. коэффициенты уравнения (9) удовлетворяют условиям вида

= о , , 1 Ц^ = о •

2. функции К-1,1,---, То Ю принадлежат двупараметрическому

со'.'р/сг";,' функций вида

3. выполнены условия; ^ __ _ „

а) =

<» £+- = 0, ¿21Л-о.

Тогда существует однопараметрическое семейство ■ - периодических решений задачи (9) - (II), Калцое их которых составлено из кусков функций вида хН,А,С)х А-{г*С .

Теорема 2.3. Пусть;

1. число Л* ¿1»> является корнем характеристического полинома для уравнения (9);

2. функции принадлежат одному и тому же двупарамет-рическому семейству функций вида ^ ^

Ф^ДС^ФН^С^С.е

И &(-(!,

3. выполнены условия: _

а) = ЪВ1, г>о ;

б) Х¥о.

Тогда существует единственное Т - периодическое решение задачи (9) - (XI)« состоящее из кусков функций вида

Сх Л^иЫ^ Сг^оомо-Ь .

Глава 3 посвящена асимптотическому интегрированию слабо нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого и второго порядка о мгновенной коррекцией начальных данных в фиксированные моменты времени. Рассмотрены нерезонансный и резонансные случаи.

В §3.1 изложен алгоритм построения асимптотических приближении для задачи вида

±{{)+о1хт]1ха-1) = (12)

в нереэонансном случае.

Предполагается, что нсвоэмуценная ( £ = О ) задача (12)-(Г1) имеет решение Н (1)^-аай(и)1+е), где 2.(1) - Т - периодическое решение задачи (12) - (14) при £ = 0 , а ± - корень характе -ристического уравнения /1+ сЦ-^>ехр(~ЛТ) ~ О , причем Ы ^^-У

частота импульсных воздействий) для всех ьзаимно простых целых чисел р и ^ .

В §3.2 изложен алгоритм построения асимптотических приближе -ний для задачи (12) - (14) в резонансном случае, т.е. в предполо -жении, что 10ч;^-у при некоторых целых взаимно простых числах (}, и р .

В §3.3 изложен алгоритм построения асимптотических приближе -ний для задачи вида

Х(1) + + Д1хН) + е4х(|-Т)+ да=

(15)

= е (I), ос И-т), ±Н), ±Ц -т)) , ^

Дтс

сЫ^о) ¿х(К-о)

м

;гб)

(17)

в нереэонансном случае, т.е. в предположении, что характеристи -ческое уравнение '

я,

Я + «¿Д+ о^^Хедср^Т )+ДехрГ-ят] =о

имеет простой корень * й*) , а невозмущенная ( Е-0 ) система (15) - (17) имеет Т - периодическое решение и Ыт^у для всех целых взаимно простых чисел р и • гДе \>-23Г/*'' " час~ тота импульсных воздействий.

Решение задачи (15) - (17) ищется в виде х(-£)= 2("£)+ ( где В К) - Т - периодическое решение невозмущенной задачи, а - решение уравнения

дш+и^т щ ум у и-т) = (1в)

Асимптотические приближения для уравнения (18) строятся в

виде

у(1) = ас1** + Е ^ . • ,

где величины а(-{| и

пи , как обычно, определяются из системы уравнений

£ =£ АЛаЦс* + £'... ,

а функции

удовлетворяют условию ЯГ ¿¿^

$%(<*, ^«о .к^г,-.

• о

В результате обычных вычислений получены формулы для функций Ц^а^М), тем самым, задача построения первого и перво-

го улучшенного приближений для рассматриваемых уравнений свелась к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

В §3.4 описан алгоритм построения асимптотических приближений для задачи (15) - (17) в резонансном случае, т.е. в случае; когда СО ~ -ф: V , где tO - собственная частота колебательной системы, a V= - частота импульсных воздействий. Решение уравнения (18) строится в виде

уш = <ш>5 Í £ М* iv-éj+ f $ v-f. * • ■ •,

где

величины а(-(/ и определяются из системы дифференциальных уравнений

^ = £ Aja, +

a функции

удовлетворяют условиям йГ 4¿V .

о

Для функций ll^a^yi) , A, fai ¡j) и (а, получены соответствующие формулы. Тем самым рассматриваемая задача сведена к интегрй -рованию системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида '

В §3.5 рассмотрен пример. Описанный выше алгоритм построения асимптотических приближений для решений задачи вида (15) (17) применяется для построения асимптотических приближений следующей задачи:

Xttlj-tfft.Tск Síltldi + CkCOSüAÍ ,

li* ft-T, C«súmi f ^ COSCOi) I

= X(Vo)-X(Vo1 =0,

• _ cíxf^ol _ T

AXit=A< - "—~ jLt

¿к+Т,

V >

л _ ззг . к _ зж

I 'г~ V ' ~яГ >

I, гл=1тг.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аидросенко Н.Л. О ди^ренциачьно-разностных уравнениях второго порядка с мгновенной коррекцией начальных данных. - Киев, 1991. -19 с. - (Препр./АН Украины. Лк-т математики; 91.26).

2. Нитропольский Ю.А., Андросенко Н.П. Асимптотическое интегрирование дифференциально-разностных уравнений второго порядка с мгновенной коррекцией начальных данных. - Киев, 1992. - 24 с. - (Препр./ АН Украины. Ин-т математики; 92.4).

3. Млтропольский Ю.А., Аццросенко Н.П., Елгондыев К.К., Самойлен-ко В.Г. Построение асимптотических приближений для слабо нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого порядка с мгновенной коррекцией начальных данных/^Операторные методы исследования нелинейных динамических систем. - Киев, 1992. - С. 1-13. - (Препр. / АН Украины. Ин-т математики; 92.6).