Дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

^иДф^

Аль-Хассани Мудхар Аббас Маджид

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В МНОГООБРАЗИЕ НЕВЫРОЖДЕННЫХ НУЛЬ-ПАР ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ИАР 2015

Казань-2015

005560973

Работа выполнена на кафедре «Высшей математики» ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, профессор Ивлев Евгений Тихонович.

Официальные оппоненты: Шелехов Александр Михайлович.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа и геометрии ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет».

Банару Михаил Борисович.

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики ФГБОУ ПО «Смоленский государственный университет», СмолГУ.

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта».

Защита состоится «18» июня 2015 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета: Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35, Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан «3 » марта 2015 г. и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: www.kpfu.ru

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081.10, кандидат физ.-мат. наук, доцент,

Е.К. Липачев

§1. Общая характеристика работы

1.1.Актуальность темы

1.1.1. Как известно [7], дифференциально-геометрические структуры на погруженных многообразиях играют существенную роль при исследовании внутренней геометрии этих многообразий.

В соответствии с [11] к внутренней геометрии погруженного многообразия относятся все геометрические и аналитические конструкции, которые формулируются в терминах геометрических объектов, охваченных компонентами внутреннего фундаментального геометрического погруженного многообразия. При этом, как указывается в [11, с. 349], всякое поле локальных геометрических объектов погруженного многообразия, охваченное одним из полей его фундаментальных объектов, является полем, инвариантно присоединённым к этому многообразию.

С развитием новых методов дифференциально-геометрических исследований и в особенности метода Г.Ф. Лаптева [11] происходит расширение объектов исследований по указанным структурам. В соответствии с [13, с. 275] и [7] дифференциально-геометрической структурой на дифференцируемом многообразии М„ называется заданное на этом многообразии поле геометрического объекта, присоединённого к некоторой группе Ли G. Этот геометрической объект называется структурным объектом дифференциально-геометрической структуры, причем всякая G -структура является дифференциально-геометрической структурой. Следует отметить, что всякое оснащенное многообразие так же относится к многообразиям с заданным полем дифференциально-геометрической структуры. Современное положение теории оснащенных многообразий, включенных в общую теорию G -структур и в теорию пространств со связностью, достаточно подробно изложено Столяровым A.B. в [22]. Здесь же отмечается, что геометрия оснащенных многообразий практически неисчерпаема.

1.1.2. Не менее важной проблемой в теории дифференциально-геометрических структур является проблема изучения этих структур для дифференцируемых отображений. Достаточно полный обзор работ по теории дифференцируемых отображений приведен в [19] и [20]. При этом в обзоре [19] приведены работы по дифференциальной геометрии точечных отображений пространств равной размерности (проективных, аффинных, евклидовых). Несколько работ, посвященных отображениям плоскостей, в двадцатые годы XX века отражено в книге [27]. Дальнейшее развитие исследований точечных отображений пространств преимущественно связано с характеристическими направлениями, рассмотренными Борувкой в [25]. Как следует из [19] и [20], значительное расширение точечных отображений с конца сороковых годов 20 столетия происходит благодаря фундаментальным работам Чеха. С 1957 г. дальнейшее развитие точечных отображений получило благодаря работам итальянских, чехословацких и румынских геометров, отражённым в обзорах [19] и [20]. В библиографии, приведенной Щвецем в [31], отражены работы по точеч-

ным отображениям, вышедшие до 1959 г. Среди отечественных работ по указанным отображениям особое место занимают интересные результаты, полученные А. П. Норденом, Рыжковым В.В. и его учениками, Базылевым В.Т., так же отраженным в обзорах [19] и [20].

1.1.3. Наряду с точечными отображениями пространств изучаются так же и двойственные отображения точечного пространства в многообразия линейных подпространств. Такие отображения рассматривались Сегре [28] и [29], Барто-лотти [24] и Сперанца [30]. К этим отображениям относится и статья [8].

Следует заметить, что в текущем столетии появляются не много работ по точечным и двойственным дифференцируемым отображениям пространств. К таким работам можно отнести работы [4] - [6] и [8].

Во всех отмеченных статьях по дифференцируемым отображениям пространств не рассматривались точечные отображения пространств в многообразия невырожденных нуль-пар проективных пространств. В связи с этим возникает необходимость изучения дифференцируемого отображения

аффинного пространства С>„ размерности т в 2п -мерное многообразие М2" всех невырожденных нуль-пар, ассоциированное с и-мерным проективным пространством Р„. Интерес к этому отображению объясняется еще и ниже следующими соображениями.

1) С отображением /т2" всегда ассоциируются точечное VI л и двойственное (тангенциальное) отображения пространств С>т и Р„* (Р* двойственно Р„).

2) Многообразие М2", ассоциированное с пространством Р„, представляет несомненный интерес с геометрической точки зрения, поскольку в этом пространстве с учетом принципа двойственности любой геометрический результат, имеющий место для точек, будет иметь место и для гиперплоскостей пространства Р„, не проходящих через соответствующие точки.

3) С многообразием М2" инвариантным образом ассоциируются хорошо известные в литературе аффинные связности, которые можно использовать для дополнительной геометрической интерпретации полей геометрических образов, определяемых компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения /„2" в смысле [11] и [12].

4) Выбор аффинного пространства (Зт в отображении /„2" :(?„ -> М2" обосновывается в соответствии с [18, §82, с. 369] тем, что оно может быть принято за касательное пространство в текущей точке некоторого дифференцируемого многообразия размерности т.

1.2.Цель работы

Целью диссертации является решение следующих задач:

1. Доказать, что в общем случае при точечном отображении VI „: <Зт Р„ и тангенциальном отображении : <3„ -» Р„' инвариантным образом определяется отображение /т2": (}т -> м2" = Р„ х р*.

2. Провести геометрическую классификацию отображений fl" при всех возможных значениях чисел т и п (т <п,т>п,т<2п,т> 2 л), т. е. выяснить поведение в общем случае полей инвариантных геометрических образов, определяемых компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения fl" при указанных значениях т и п.

3. Провести аналитическую и геометрическую классификацию отображе-

М, ('), W, Г)

ний Vmn, Fm „ и fl" ранга г<тт(т,л) при указанных значениях тип. Здесь г -ранг основных матриц размера их и из компонент соответствующих внутренних фундаментальных геометрических объектов первого порядка указанных отображений.

1.3. Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Проведена в общем случае достаточно полная геометрическая и аналитическая классификация отображений fl" при всех возможных значениях чисел тип.

2. Доказано существование отображении К„„, и /„ ранга г <тт(т,п)

с указанием соответствующих геометрических характеристик. Указано геомет-

м

рическое построение отображения /т .

3. Доказана новая геометрическая интерпретация характеристических направлений отображений и Fm;„ при всех г, удовлетворяющих условиям

1 < г < min(m,ri).

В диссертации приведены доказательства всех основных предложений, сформулированных в виде теорем.

1.4.Научные положения, выносимые на защиту

1. Точечное V'm n: Q„ -> Р„ и тангенциальное Fm2„: Q„ -> Р„" отображения в общем случае инвариантным образом индуцируют отображение fl": Q„ М2" при всех допустимых значениях тип.

2. Новая геометрическая интерпретация характеристических направлений отображений и Fm2„ при всех допустимых значениях тип.

3. Аналитическая и геометрическая характеристика классификации отображения fl" при всех допустимых значениях т и л с помощью полей инвариантных геометрических образов и инвариантных ассоциированных связностей.

4. Классификация отображений , v\„ и "fl" ранга г < min(m,n) при всех

указанных значениях т и п с доказательством геометрических характеристик,

„ м,

теорем существования и геометрическим построением отображении /„". 1.5.0сновные методы исследования

В диссертации используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований:

1. Метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [11].

2. Метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [23].

3. Метод канонизации подвижного репера погруженного многообразия Н.М. Остиану [16].

4. Некоторые фрагменты метода нормализации А.П. Нордена [14].

Использование указанных методов позволило ввести в рассмотрение те

геометрические факты, которые связны с дифференциальными окрестностями образующих элементов исследуемых многообразий до третьего порядка включительно. Все рассмотрения проводятся с локальной точки зрения. При этом встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми. Заметим, что результаты по геометрии отображений fl": Qm м2" получены с применением фактов дифференциально-геометрических исследований в смысле Г. Ф. Лаптева [11].

1.6. Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при геометрическом и аналитическом изучении дифференцируемых отображений многообразий, оснащенных полями некоторых линейных структур.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в спецкурсах для студентов и научных работах для аспирантов по геометрии дифференцируемых отображений погруженных многообразий.

1.7. Апробация

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. На международной научно-практической конференции «Наука в современном информационном обществе» (Москва, Россия), 2013 г.

2. На VIII всероссийском смотре-конкурсе научных и творческих работ иностранных студентов и аспирантов вузов (Томск, Россия), 2014 г.

3. На научном семинаре кафедры вышей математики Томского политехнического университета (2010-2014 гг.).

4. На геометрическом семинаре им. Н.Г. Туганова при кафедре геометрии Томского государственного университета (2014 г.).

1.8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 8 работах [32] - [39], пять из которых опубликованы в журнале « Известия Томского политехнического университета», включенного в список ВАК®.

1.9. Вклад автора в разработку избранных проблем

Диссертация является самостоятельным исследованиям автора.

В семи опубликованных в соавторстве работ результаты получены в основном самим автором.

1.10. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списки цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 153 страниц, а список литературы содержит 122 наименования.

§2. Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, представлена цель исследования, научная новизна, практическая значимость, положения, выносимые на защиту, апробация результатов работы, структура и объем диссертации.

2.1. В первой главе изучаются точечные и тангенциальные дифференцируемые отображения т -мерных аффинных 0т и и-мерных проективных Р„ и Р* пространств, с которыми инвариантным образом ассоциируется дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие всех невырожденных нуль-пар проективного пространства М2" =Р„х рп".

2.1.1. В §1 аффинное пространство С2„ и проективное пространство Р„ относятся к подвижному аффинному (3 = {Д,80}(а = 1,т) и проективному Р ={Л,} (I = К") реперам с соответствующими деривационными формулами и структурными уравнениями. В этом же параграфе приводятся следующие дифференцируемые отображения, изучаемые в данной главе:

1) Точечное отображение VI „: -> Р„, которое каждой точке Ве (3„ в

проективном пространстве Р„ сопоставляет вполне определенную точку Д, е Р„.

2) Тангенциальное отображение VI„: <3„ -> Р„', которое каждой точке Ве()„ сопоставляет в Р* вполне определенную гиперплоскость Ь„.1=(Д,^2,...,Л„)с Р„, не проходящей через аналитическую точку А0, соответствующую геометрической точке А0.

Здесь символ = (Х1,...,Х,) означает 0-1)-мерную плоскость (0-1)-плоскость) пространства Р„, проходящую через линейно независимые аналитические точки (или псевдовекторы в смысле [15, §17, с. 59 - 60]) Х1,...,Х1 этого пространства.

3) Отображение /„2": (2„, -> М2" = {Л.Ч-Л. А « , которое каждой точке В е <Зт сопоставляет вполне определенную невырожденную нуль-пару {Л.^-Л 2и -мерного многообразия М2" = Р„ х Р*.

Выводятся дифференциальные уравнения каждого отображения 1) - 3), которым удовлетворяют компоненты соответствующих внутренних фундаментальных геометрических объектов г? и Г, (т = 1,3) первого и второго порядков в смысле Г.Ф. Лаптева [11] и [12].

В данном параграфе отмечается, что при тип, удовлетворяющих каждому из соотношений (т = п,т<п,т>п), решаются следующие задачи:

1) С отображением инвариантным образом ассоциируются отображения

и с.

2) С отображением VI „ инвариантным образом ассоциируются отображения

С и/т2"-

2.1.2. В §2 решается указанная задача 1 в случае т = п.

Точке В е <2,, в соответствующем при отображении У'п :<3„ -> Р„ проективном пространстве Р„ сопоставим гиперплоскость у э А0. Тогда каждой точке В е и соответствующей гиперплоскости у с Р„ отвечает гиперплоскость и„.,Ы = {" = (В,г>' е <}„ | Уп\(и) е у) с 0>„.

Пусть характеристикой С11{(и„_,(>)}» этой гиперплоскости вдоль направления т. е. пересечением и„.1(.у) со своей бесконечно-близкой первого порядка, будет (и-2) -плоскость и„_20>,у)с(3„. Обозначим и„_,О^Д) - пучок гиперплоскостей в (3„, проходящих через и„.,00 и пучок гиперквадрик <&!(**■) = {V е <3„ | у е и„_, (у,у-Х)} с ()п.

Тогда каждой гиперплоскости у <=Р„, соответствующей точке отве-

чает в Р„ гиперконус К2_,(.>>) второго порядка с вершиной в точке А0 - образ асимптотического гиперконуса гиперквадрик О^Ок^)- Следова-

тельно, полярой направления геРп, отвечающего точке В е <3„, относительно К-чОО будет гиперплоскость, которую обозначим у. В итоге каждой точке гег, соответствует пучок проективных преобразований ЩЛ,г) пространстве Р„, такой, что у является неподвижной гфи всех П(Л,г).

Оказывается, что на каждой прямой г е Р„ существует по одной точке С(г) не совпадающей с А0, в которой след преобразования П(Л,г) нулевой независимо от Л. Поэтому точке Ве()п в проективном пространстве Р„ отвечает гиперплоскость Ь„_,; А0 г Ь„_,, проходящая через точки С7(г) всех направлений г.

Таким образом, в случае т = и имеют место следующая теорема

- С каждым невырожденным отображением У'п в общем случае инвариантным образом ассоциируется отображение К„2„: (2„ -> Р„ а, следовательно, и отображение

/„2":д„->м2\ М2"=К;Ь„Ч},

2.1.3. §3 посвящен решению аналогичной параграфу 2 задачи для отображения у'„: -» Р„ (т < п). В этом случае отображение У^ „ является инъек-тивным отображением, с которым инвариантным образом ассоциируется невырожденное отображение V* т : Ьт. Здесь Ьт - касательная т -плоскость

к т -поверхности ={А0}т в текущей точке А0, соответствующей точке Ве()т при отображении У' „: ()т -> Р„.

Каждой точке ВеС}т в соответствующем пространстве Р„ сопоставляется оснащающая (нормальная) (и-т)-плоскость (Р^.„ПЬт =А0, =рл) в

точке \ е 8„ <= Р„.

Символом обозначается (и - т -1) -плоскость в Р1.Д€Ь,..4! отве-

чающая точке В е С?т и являющаяся линейной полярой точка Аа относительно фокусной алгебраической поверхности (и-т)-плоскости Р^_т в смысле [1].

Каждой гиперплоскости проходящей через (и -т)-плоскость

с рп, соответствующей точке Ве<)т, в пространстве Р„ отвечает гиперконус К2_,00 с Р„ второго порядка с вершиной в точке А0. Этот гиперконус К2_,(у) пересекается с Ьт по конусу К^.ОО. Обозначим у сЬ„ линейное подпространство, которое полярно сопряжено некоторому направлением :еЬт, относительно конуса К^^сЬ.. Тогда каждой точке ге: отвечает пучок проективных преобразований ЩЛ,:) т -плоскости Ьт в себя для которых (то-1)-плоскость у <=Ьт неподвижна. Следовательно, точке ВеС^ в т -плоскости сР, отвечает (то-1)-плоскость

С„_, = е Ьт I ГегЩЛ,:) = 0}, Д, <2 Оказывается, что каждой нормальной (и-т)-плоскости соответствующей точке Ве<Зт, с отображением У'тп: <3„: -> Р„ (т < п) инвариантным образом ассоциируется отображение:

С ■ О™ м2", М2" = ь„_, = иь№,

В §3 определенным аналитическим и геометрическим образом показывается, что каждой точке Ве()„ в пространстве Р„ отвечает конечное число нормальных (и-то)-плоскостей Поэтому справедлива теорема

- С каждым отображением :<Зт ->Р„ в случае т<п, т + 2<п<

конечным числом способов ассоциируется отображение /Ц?.

2.1.4. В §4 данной главы выше указанная задача 1 решается для отображения : С>т -> Р„ в случае (т>п).

Обозначим г'_„ - (ю-п)-плоскость в От, проходящую через точку Ве(}т, которая представляет собой совокупность всех направлений и = (В,еа)и'' принадлежащих ядру отображения Эта (то-и)-плоскость определяет голо-номное распределение д'„т_„ вдоль интегральных кривых которого,

описываемых точкой В, точка Д, е Р„, соответствующая точке В е()т при отображении является неподвижной. Оказывается, что каждая (то-и+1)-плоскость

с„+1(«)=(г:_„,Ёа1)Иа- ср., при отображении У^ „: (Зт -> Р„ (то > л) переходит в некоторое направление х = (А0,А,)х'е Р„.

Точке Ве()„ в соответствующем проективном пространстве Р„ сопоставляется гиперплоскость Ь „_,(*) э . Тогда каждой точке этой гиперплоскости отвечает (т-п-1)-мерный конус 02я.„.,(1)сГ^ второго порядка с вершиной в точке В е (2т. Этот конус представляет собой совокупность всех направлений в , касательных к интегральным кривым распределения Д'„_„ в точке В е()т,

вдоль которых Г^.,, и бесконечно близкая к ней (Г^_п)' первого порядка при отображении принадлежат ^_,(х)сР,. Рассмотрим множество всех гиперплоскостей Ь„_,(*) с Рп, которым в аффинном пространстве <3„ отвечают вырожденные гиперконусы _„_,(*) по крайней мере с прямолинейными вершинами, проходящими через точку В е()т. Оказывается, что множество {Ь„_,(х)} образует в точке В е()т гиперконус К™;" с Р„ класса т-п с вершиной А0еР„, который определяется при т > п, удовлетворяющих неравенствам

т-2> 2, ,<(т-")(т-" + 3>.

2

Каждой точке Ве(^т в проективном пространстве Рп сопоставляется система кР(х) из п линейно независимых направлений в точке А0 е Р„: х^^А^х} , с1е1[х/]*0, (г,У = й).

Эта система "?(*) называется основной относительно гиперконуса К™~" с Р„, отвечающего точке если каждое направление х1 е является линей-

ным полюсом соответствующей гиперплоскости (/ * у) относительно К "Г" с Р„ (/ * _/), проходящей через все остальные направления этой системы.

Оказывается, что точке Ве(}т в соответствующем проективном пространстве Р„ в общем случае отвечает конечное число (основных) направлений Ц е Р„, проходящих через точку А0 и принадлежащих основной системе У(х).

Таким образом, в соответствии с [3] в каждой точке йев проективном пространстве Р„ инвариантным образом определена линейная и-сеть из прямых

В соответствии с [3] и [26] замечаем, что в точке Ве(±т на каждой прямой Ц еР„ (у = 1, и) существует по одной точке С}, которая является гармоническим полюсом точки 6 Р„ относительно фокусов на этой прямой вдоль интегральных кривых гиперраспределения :3->Г^| =1",о,-фиксировано), а Г°|_, -прообраз гиперплоскости , Ц1 г при отображении УЦ„: ()т -> Р„ (от > и). Поэтому каждой точке Ве()т в пространстве Р„ отвечает гиперплоскость ^н'^О^1.»). причем А0 <гР„. Следовательно, в §4 справедлива следующая теорема.

— С отображением У^ я: ()т -> Р„ при тип, удовлетворяющих неравенствам

(т — п)(т - п +1)

т>п,т-п>2,п<-----,

2

инвариантным образом ассоциируются отображения:

->М*\ М2" = Н,Ь„_,},

2.1.5. В §5 главы 1 решается задача 2 аналогично решению задачи 1 с использованием принципа двойственности между точками и гиперплоскостями в проективном пространстве Р„.

Доказывается следующая теорема

- С каждым отображением К„2л в общем случае инвариантным образом ассоциируется отображение У'„ а, следовательно, и отображение /„2".

2.1.6. В заключительном §6 главы 1 доказывается теорема

- Направление у = (В,ёв)у° е будет характеристическим направлением (первого типа) в смысле [24] и [21] тогда и только тогда, когда его образ : = при отображении У'у„^„->Р„: невырожденном в случае т = п (невырожденном ассоциированном отображении У{тт :<Зт Ьт в случае т<п), является неподвижным при центропроективите П(;) пространства Р„ (от -плоскости Ь„) в себя.

Пользуясь принципом двойственности между точками и гиперплоскостями в проективном пространстве, доказывается справедливость следующей теоремы.

- Направление v = (B,Ëa)v'' eQli будет характеристическим направлением (второго типа) тогда и только тогда, когда его образ гсР„ при невырожденном тангенциальном отображении Кп2„: (}„ -> Р* является неподвижной гиперплоскостью при проективитете П(г).

В этом же параграфе делается вывод о том, что для детального изучения отображений у' „ и У^п следует подвергнуть детальному анализу отображение , инвариантно возникающему при рассмотрении этих отображений.

2.2. Вторая глава посвящена изучению основных полей геометрических образов дифференцируемого отображения /I": М2", которые определяются компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта этого отображения в смысле Г.Ф. Лаптева [12]. В данной главе проводится классификация отображений /„2" по размерностям тип, удовлетворяющих каждому из следующих соотношений: 1) т<п;2) п<т<2п; 3) т>2п>п.

Геометрическая интерпретация этой классификации обеспечивается полями указанных геометрических образов.

2.2.1. В §1 отмечается, что основным объектом рассмотрения в главе 2 является отображение /I": -> М2", с которым инвариантным образом ассоциируются точечное отображение У^ „: С}„ -> Р„ и тангенциальное отображение

В §2 уточняется, что направление /=(5,е„)/° е(2т, касательное к кривой к(0, описываемой точкой В, при отображении У1тп перейдет в направление Т(Д,), =(10,Л,)х', касательное к линии (А0),. При тангенциальном отображении направление перейдет в СЬ(Ь„_,), сР„ - характеристику гиперплоскости

Ь„_, с Р„ вдоль кривой к(1). Поэтому при отображении /т2" имеем:

Т(Л),=/„2"'.

2.2.2. В §3 детально анализируется случай п>т>2. Рассматривается гиперконус

<Й-1 = (« = (В,га)и° б С}т I /т2" и 6 [СЬ(Ь„_,)„ ил]} с С,

В случае т = п этот гиперконус уже рассматривался в §2 глава 1. Оказывается, что при т = п каждой точке В е С2п в соответствующим проективном пространстве Р„ отвечают следующие гиперконусы с вершиной в точке А0 второго порядка и второго класса, соответственно:

31!= С <2*-., = С

Каждый из этих гиперконусов в общем случае не имеет по крайней мере прямолинейной вершины, проходящей через точку А0. Гиперконусы ц2_, и 2 огибают друг друга. В этом же параграфе 2 в случае т < л возникают линейные подпространства: Ьт - касательная т -плоскость к от-поверхности Ят={А0}т в точке А0 и = П СЬ(Ь„_,),, отвечающие точке Поэтому (л-от)-

плоскость ?1т = Ааи<= Рл является оснащающей (и-от)-плоскостью к8, в точке Д, — нормалью первого рода, а нормалью второго рода является (от-1)-плоскость ьт_, =ЬППЬ„_,. Следовательно, от-поверхность 8„сР„ оказывается нормализованной в смысле А. П. Нордена [14].

2.2.3. §4 посвящен геометрической интерпретации случая от > л. Доказаны следующие теоремы:

- В пространстве при т > л инвариантным образом определяются голо-номные распределения: Д'т га_„: В -» , Д2т тп-.в-> Г2_„.

Здесь (от-и)-плоскость в 0т представляет собой совокупность

всех направлений и = {В,га)и" е(2т, вдоль которых при отображении „)

соответствующая точка А„ (гиперплоскость ) в проективном пространстве Р„ неподвижна.

- Отображение }, ассоциированное с отображением /„2":->м2\ в случае т<п {в случае от > л} каждую (т-п+1)-плоскость в :

Г:_„+1(") = (г:_„,ё01 )и- {Г2_„+1(") = (Г2_„,г01 )и" }, (я, = й) переводит в направление х = (А,,,^) А^и* { в (и-2)-плоскость Х„.2 = СЬ(Ь„_,)|(}.

- Гиперконус (£_,с(т = 2п) в каждой точке ВеОт является в общем случае невырожденным, т. е. не имеет по крайней мере прямолинейной вершины, проходящей через точку В, причем л -плоскости Г| и Г2 принадлежат этому гиперконусу (32_, .

- Гиперконус 02ч с в случае от > 2л в каждой точке В е является вырожденным, т.е. его вершиной служит (от-2л)-плоскость Гт_2„с(Зт, проходящая через точку Ве()т.

- Гиперконус С>2с С>т в точке ВеС},, в общем случае при л < от 2 2л является невырожденным, т. е. в общем случае не имеет по крайней мере прямолинейной вершины, проходящей через точку В.

— Каждой точке ВеQm в общем случае при п<т<2п инвариантным образом отвечают в пространстве Q„ следующие линейные подпространства (плоскости соответствующих размерностей):

1°. (от- п) -плоскость Г2_„ представляет собой совокупность всех таких направлений и е Q„, вдоль которых при отображении /п2": Q„ -> М2" гиперплоскость L„_, <= Р„ является неподвижной.

2°. 2(от-и) -плоскость Г23(„_п) = Г2_„ U .

3°. л-плоскость Г„4 полярно сопряжена 2(т - п) -плоскости Г23(„_п) относительно гиперконуса Q2 с Q„.

4°. (2п- т) -плоскость Г2п_т полярно сопряжена (от- п) -плоскости относительно конуса Q2_, ПГ„4.

Оказывается, что оснащающей плоскостью инволютивного распределения :Q™ (2п>от) является и-плоскость Г^ =(й,81,...,Ё„) = Г2_„иг23„.т .

2.2.4. В §5 находятся инвариантные поля гиперконусов QcQ, и некоторых локальных центроаффинных преобразований пространства Qm (т<п).

В пятом же параграфе после несложных рассуждений, свойственных случаю т>п(т = 2п, т<2п и т>2ri), показывается существование в каждой точке ВеQm гиперконуса Q„2_, cQ. и аффинного преобразования П аффинного пространства Qm в себя с центром в точке В. Например, в случае (от = 2п) доказана следующая теорема.

- Точке BeQm отвечает в случае т = 2п центроаффинное преобразование П пространства Qm в себя с центром в точке В, которое удовлетворяют следующими свойствами:

1) Линейные подпространства Г2 и Г^ неподвижны при этом линейном преобразовании в точке В е Qm.

2) Линейное преобразование П разбивается на два линейных преобразования с центром в точке В е Qm:

а) В(1) — центроаффинное преобразование п -плоскости Г^ в себя;

б) В(2> — центроаффинное преобразование л-плоскости Г2 в себя.

Аналогичные теоремы имеют место и в случаях m> 2п и т<2п.

2.3. Третья глава посвящена изучению инвариантных связностей, ассоциированных с отображением fl": Q„ М2". При этом в этой главе отображение fl" интерпретируется как (от+2/7)-мерное расслоенное пространство (расслоение) с от-мерной аффинной базой Q„ и 2п -мерными слоями М2" с заданным гладким сечением : каждой точке В е Qm сопоставляется вполне определенная невырожденная нуль-пара (A^L^) е М2".

В главе 3 изучаются только те связности расслоения Пт 2л, которые инвариантным образом ассоциируются с полями геометрических образов отображения /т2", изученных в главе 2 и в §2 главы 3.

2.3.1. В §1 определяется расслоение Пт2„. В §2 изучаются некоторые поля инвариантных геометрических образов на базе С>„ расслоения Пт2л или отображения Ц".

В точке Ве()т рассматриваются два направления ы=(в,Ёа)ю" е(±т, * = (.В,еь)гь е()т, касательные к соответствующим кривым к„ и ку в точке Оказывается, что точке В е ()т отвечают две гиперплоскости в : = [Т(Л0)„ пь„.,]е СЬ(Ь„^)Л;

К(V) = [Т(Л0)„ п ь„_, ] 6 СЬ(Ь„_,) Л,

которые определяются в общем случае несимметрическим тензором лаь (а,Ь = 1,т). С симметрической частью этого тензора, удовлетворяющего дифференциальным уравнениям Vgab = gllbcQc, £,„„,,= 0 ассоциируется гиперконус

= {У 5 Ри I (V) = Н* (V)} ,

который в общем случае является невырожденным. При отображении /т2" этот гиперконус перейдет в конус второго порядка с вершиной в точке А0 е Р„, который принадлежит т -плоскости Ьт, касательной к т -поверхности 8т с Р„ в точке Ац.

С кососимметрической частью /аЬ =-^А[аЬ] тензора Ал в точке В<=()т ассоциируется линейный гиперкомплекс с который каждому направлению в нуль-системе сопоставляет гиперплоскость Н..,(у)ср,, проходящую через у и Н^ООПН^О). Заметим, что при т<п в общем случае

, хГ Г?10, т-четное;

[О, т- нечетные.

Поэтому в случае нечетного т гиперкомплекс К^ будет иметь особое направление 2 = (В,га):° ед„. Геометрически это означает, что гиперплоскость нт-1<» при любом направлении у е (}„, проходит через особое направление г.

Заметим в соответствии с главой 2, §5, что в каждой точке ВеС}^ определен инвариантным образом гиперконус с ()т во всех случаях т<п,т>п:т>2п,т<2п,т = 2п, с помощью которого определяется гиперконус второго порядка К2_[(у)с<2т, отвечающего направлению у еС>„.

Поэтому аналогичным образом получаем, что каждому направлению уеС}т с гиперконусом ф2 с <)т инвариантным образом ассоциируется гиперконус к1-1 сО™. аполярный гиперконусу . Следовательно, гиперконусы С22_1 и к1-1<» каждому направлению уеС>„ в точке 5еС>т сопоставляет центроэквиа-ффинное отображение П(у) базы 0т в себя с центром в точке Ве()т. Это отображение П(у) = {Р^.} при каждом направлении уе(3„, направлению ие()т сопо-

ставляет направление ^еС?,,, которое является полюсом гиперплоскости относительно гиперконуса (З^МсР,,, являющейся полярой направления и относительно (у).

2.3.2. В §3 рассматриваются базовые инвариантные связности, т. е. связности, определенные на базе расслоения Пт2„.

В соответствии с [15] и [18] на базе <3„ расслоения Пт2п (т<п) определена связность Вейля IV. Система величин

8саь=\8рс(ёаа+всы,-8аьс1 8м = Яо4Я6с = 5с0, {а, Ь, с, /7 = 1, т),

образует объект связности №. При этом в соответствии с [18], как и следовало ожидать, симметрический, тензор g<¡ь, определяющий гиперконус с(Зт, ко-вариантно постоянен в связности Ш.

Справедлива следующая теорема.

- Если пространство <3„ является эквиаффинным, то связность IV будет эквиаффинной на базе расслоения Пт2л тогда и только тогда, когда

1=81 = 0 на базе <Зт.

Отметим, что связность IV существует на базе О, ив случае т = 2п. В этом случае линейные подпространства Г| и Г2 с(Г' ПГ„2 = Ве()т) определяют на базе 0>т голономные распределения &'т„ :В-уГ', Д2„ „: В Г2.

Как отмечено выше, каждому направлению V е отвечает гиперконус К2_,(у) с: С>п второго порядка с вершиной в точке Ве. Поэтому направлению у = (В,б„)у" е(3„ отвечает центроаффинное преобразование базы на себя с центром в точке Ве()„: 0(у) = {С^у"}, которое каждое направление пе-

реводит в направление так, что направлению и<в()т относительно гипер-

конуса К2_,(у) с (2т полярно сопряжена такая гиперплоскость в для которой направление н>еС>т является полюсом относительно гиперконуса (32_1 с

Справедливы следующие теоремы. _

- Система величин , определяющая центроаффинное отображение О(у) базы ()т на себя для любого направления является объектом некоторой аффинной связности IV (т*п) с нулевым кручением и с соответствующим тензором кривизны. При этом связность будет эквиаффинной тогда и только тогда, когда база <Зт расслоения Пт2„ будет эквиаффинным пространством.

- Система величин Рьт, несимметричная в общем случае по индексам а и с и определяющая отображение П(у) базы на себя с центром в точке Ве<)т при любом направлении у б , является объектом некоторой аффинной связности IV в общем случае с ненулевым тензором кручения и с соответствующим тензором кривизны.

- Объекты связностей Вейля и Ф в каждой точке В е()т связаны соотношениями:

£1=Р(<,с) ~\&аср 8РЬ> ё^ёьс = •

- Кручение аффинной связности IV тождественно равно нулю тогда и только тогда, когда линейной гиперкомплекс КтЧ с()т(т<п) является неопределенным.

В §3 рассматриваются перспективные связности [7], определяемые линейными подпространствами г'_„ <=<Зт и Г„2 с 0„ при т >п:

1°. Связность ^ - отображение бесконечно близкой первого поряд-

ка на исходную в направлении га-плоскости г2.

Связность 5* (/¡ = 1,2; й-фиксировано) - ограничение связности на соответствующее распределение Д4:

А1 = &'„,„_„: В Г!,, Д2 = Д; „: В -> Г2.

2°. Связность 52 - отображение бесконечно близкой (Г2)' первого порядка на исходную Г2 в направлении Г1т_п.

Связность (Л = 1,2; й-фиксировано) - ограничение связности на соответствующее распределение Д*.

Справедливы следующие теоремы.

- Связности и 522 имеют нулевое кручение при т = 2п.

- Связность Вейля на базе расслоения Пт 2п при т = 2п является локально плоской тогда и только тогда, когда каждое линейное подпространство Г* параллельно переносится относительно связности Ж вдоль интегральных кривых соответствующего распределения д* „ (А = 1,2).

- Если связность Вейля на базе <3Я расслоения П„ 2„ при т = 2п является локально плоской, то связности 5*(г,А = 1,2) являются локально плоскими на базе <3„.

2.3.3. В соответствии с [18] и [22] заключаем, что гиперплоскость сР»> соответствующая точке ВеС},,, (базе расслоения Пт2(1), порождает вертикальную аффинную связность С. Существует гиперраспределение

: в Е„_,, где гиперплоскость Ет-1 с , вдоль интегральных кривых которого эта связность эквиаффинная. Оказывается, что распределение Д„„_, на базе (}„ голономно тогда и только тогда, когда линейный гиперкомплекс к™-1 <= С>„ является неопределенным. Если связность С - эквиаффинная, то гиперкомплекс Кт_[ является неопределенным.

2.4. В главе 4 изучаются специальные классы отображений и /т2".

Прежде всего отметим, что с каждым из этих отображений, изученных в главах 1-3, ассоциируются соответствующие матрицы размера тхи, соответственно: IX] и [А1а] (а = 1,т; х = 1,и). Во всех рассуждениях предыдущих главах предпола-

галось, что ранги г этих матриц равны тт(от, л). При этом каждое из этих отображений называется регулярным.

Глава 4 посвящена изучению указанных отображений, когда г < min(m,n) (от < л и от> л).

2.4.1. §1 каждое из отображений и /j" называется отображением

М, (г), м „

ранга г и обозначается , VJ„ и /„ , если в каждой точке BeQm выполняются соответственно условие

м

К,»: г ~ гапк[Аа\< тт(т,п);

м

■ г = rank [ Д. J < min(OT, л);

(О

/„ • г = rank [Д„] = rank [А'а] < min(OT, л);

2.4.2. §2 посвящен изучению отображения v\n. Оказывается, что при

т = п совокупность всех направлении не Q„, которые при отображении У'п переходят в точку Д > еР„, образует (л-г)-плоскость Г„_г с Q„, В е Г„_г, которая яв-

(г)

ляется ядром отображения F„'„. Эта (л-r)-плоскость определяет голономное распределение Д„„_г: В -> Г„_г (т = и). При этом точка Д, в соответствующем

м.

при отображении F'n пространстве Р„ описывает г-поверхность Sr <=Р„ с касательной г-плоскостью Lr. Справедливы теоремы.

М

— Дифференцируемое отображение ранга г: F„'„: Q„ -» Р„ при от = л характеризуется тем, что оно каждую (л-r + l)-плоскость Г„_,+|(и) = (Г„_г,ёП|)»"' cQ, переводит в соответствующее направление x = (A0,Aji)A^ ua' eLr <zP„, (a, =l,r; /, = l,r).

(О

- Дифференцируемое отображение ранга г: F' „: Q„ -> Р„ (от < л) характеризуется тем, что оно каждую (от-г+ 1)-плоскость Гт.г+1(«) = (Гт.г,ба1)ы"' <= Q„ переводит в соответствующее направление х = (Д,, Д)Д^и"' eLrcL. сР,.

Здесь (от-г)-плоскость Гт_г cQ. является ядром указанного отображения, а г -плоскость Lr с L„ касается г -поверхности Sr с: Р„. При этом от -поверхность S„ с касательной m -плоскостью Lm в точке Ад е Sm является тангенциально вырожденной в смысле М.А. Акивиса [2].

В случае от>л в соответствии с §4 главы 2 в точке BeQm определена (от-л)-плоскость r'_„cQm, ВеГ'_„, представляющая собой совокупность всех таких направлений «eQ„ при которых при отображении V'mn точка А0 неподвижна.

Справедлива теорема

— Дифференцируемое отображение ранга г: : Р„ (т > и) характеризуется тем, что оно каждую (т-г + \)-плоскость =(Г^_г,ёа1)и°' с<Зт переводит в соответствующее направление х = (А0,А^)А^ищ бЬ, с Р„.

Здесь , является ядром указанного отображения, а г-плоскость Ъг с Р„ касается

г -поверхности 8, сР, в точке ^ е Б,. При этом г -поверхность <= Рл является тангенциально вырожденной в смысле М.А. Акивиса [2].

В этом же параграфе доказывается, что каждой гиперплоскости Н„_1 с Рп,

м

А0 £ Н^, отвечающей точке Ве<)т при отображении К„'„ в пространстве ()т отвечает (основной) гиперконус О^ДН^^ второго порядка с вершиной в точке Ве()т. Этот гиперконус представляет собой совокупность всех направлений ие<)т, вдоль которых при отображении соответствующее направление хеР„ пересекает гиперплоскость н.^ в точках характеристики а^Н^,)^. Справедлива следующая теорема.

- Каждой гиперплоскости А0 ч Н„_, проективного пространства Р„, соответствующего точке йеОш при отображении : С>т -> Р„, отвечающий ей основной гиперконус проходит через (т- г) -плоскость Гт-г с О™ (при любых т> 2 и п>2).

2.4.3. В §3 изучается отображение у}п:р* во всех случаях т<п и т > п. При этом, пользуясь принципом двойственности между точками и гиперплоскостями в проективном пространстве Р„, можно получить геометрические

свойства отображения VI п, аналогичные свойствам отображения „.

2.4.4. §4 посвящен изучению отображения ранга г. Поскольку это

отображение является как бы объединением отображений VI п и , то оно обладает одновременно теми же геометрическими свойствами, которыми обладают указанные отображения. В этом же параграфе доказывается существование

отображения , а , следовательно, и отображений у\ п и . Оказывается, что можно дать следующее геометрическое представление дифференцируемого отображения В аффинном пространстве С>„, с произволом г функций Ст-г) аргументов задается голономная (т-г)-поверхность = {В}т_г с С>„, с касательной (т-г)-плоскостью Тт_г в текущей точке ВеКаждой точке в е сопоставляется центропроективное пространство Р„ с центром в точке А0 так, что в этом пространстве задаются г-плоскость Ьг э А0 и (п-г-1)-

: . В итоге вдоль §т_г с С>т точка А0 является текущей точкой г-поверхности 8,сР, с касательной г-плоскостью Ьг, а гиперплоскость Ьг_! будет текущим элементом г-семейства {Ь„_,},. с характеристическим элементом Ьп_г_,.

2.4.5. В §5 изучается специальной вид характеристических направлений в

г-плоскости Ьг в случае отображения „ в смысле [24] и [21].

_ м.

Каждой точке А0 е8г, отвечающей точке Ве()т при отображении К„„ сопоставим оснащающую (и-г)-плоскость Ь'„_г к в, в точке А0. Так же, как и в регулярном случае, показывается, что (и-г)-плоскость Ь'„_г отвечает центропро-ективное преобразование П(г) /--плоскости Ьг в себя с центром в точке А0, отвечающей точке г еЬг. Справедлива теорема

— Каждой оснащающей (и-г)-плоскости Ь'„.г г-поверхности 8Г в точке А0,

отвечающей точке В е <3„ при отображении Уп'п в аффинном пространстве 0„ соответствуют характеристические (и-г+ 1)-плоскости, образами которых при указанном отображении являются неподвижные направления г = Ай2 е Ьг при

центропроективном преобразовании П(г), отвечающим любой точке 2 прямой г. Эти направления в г -плоскости Ьг касательной к 5, в точке А„ называются характеристическими направлениями.

Эта теорема дает дополнительные геометрические свойства отображений

У'„. Отметим, что при заданной оснащающей (и-г)-плоскости в точке А0 Р„ существует не более 2г-1 характеристических направлений в г-плоскости Ьг. Так же, как и в §3 главы 1, можно провести инвариантное построение оснащающей (и-г)-плоскости Ь\_Г к в точке А0еРп в случае

г(г + 3)

г+2<п<—--.

2

Справедлива теорема

- Каждой точке Ве(Зп в /--плоскости Ьг, касательной в точке А0 к г-

поверхности Б,, в случае отображения при и и г, удовлетворяющих неравенствам

г(г+У)

г + 2<п<—--,

2

отвечает в общем случае не более 2' -1 характеристических направлений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга г II Известия вузов. Математика - 1957. - № 1. - С. 9-19.

2. Акивис М.А. Об одном класс тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АНСССР. - 1962. - Т. 146. - № 3. - С. 515-518.

3. Базылев В.Т. К геометрии плоских многомерных сетей // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В.И. Ленина. М., 1965, - № 243. - С. 29-37.

4. Болодурин B.C. О проективно-дифференциальных свойствах точечных соответствий между тремя гиперповерхностями // Известия вузов. Математика. -2012,-№ 12, - С. 16-29.

5. Болодурин B.C. О свойствах точечных соответствий между тремя многомерными поверхностями проективных пространств // Известия вузов. Математика, - 2013. - № 9, - С. 3-15.

6. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) О классификации эквиобъемных отображений псевдоримановых многообразий / Зудина Т.В., Степанов С. Е // Известия вузов. Математика, - 2006, - № 8, - С. 19-28.

7. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. - 1979. - Т. 9. - С. 3-246.

8. Ивлев Е.Т., Лучинин A.A. Отображение аффинного пространства в многообразие гиперконусов другого пространства // Известия Томского политехнического университета. -2010. - Т. 317. - №2. - С. 5-8.

9. Ивлев Е.Т., Лучинин A.A. Отображение аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 317. -№ 2. - С. 8-14.

10. Ивлев Е.Т., Молдованова Е. А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразия m -плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Математика. - 2009. - № 11. - С. 24-42.

11. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. - М. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

12. Лаптев Г.Ф. К инвариантной аналитической теории дифференцируемых отображений // Тр. Геом. Семинара - М. - 1974. - Т.6 - С. 37 - 42.

13. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // В сб. Алгебра. Топология. Геометрия, (Итоги науки и техники). - Т. 13 - М. - 1975. -С. 273 - 340.

14. Норден А.П. Обобщение основной теоремы теории нормализации // Известия вузов. Математика. - 1966. - № 2. - С. 9-19.

15. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. -С. 432.

16. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RNR). - 1962. - № 2. - C. 231-240.

17. Остиану Н.М. Распределения гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Труды геометрического семинара. - Т. 4. - М.: ВИНИТИ АНСССР, - 1973. - С. 71-120.

18. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ // М.: Наука, 1967.-С. 664.

19. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Геометрия. — М., 1965. — С. 65-107.

20. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. - М., 1971.-С. 153-174.

21. Рыжков В.В. Характеристические направления точечного отображения Рт в Р„ // Труды геометр, семинара. - М. - Т. 3. - М. - 1971. - С. 235-242.

22. Столяров A.B. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография // Чебоксары: Изд-во Чувашский гос. пед. институт, 1994. — 290 с.

23. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.; Л.: ГИТТЛ. - 1948. - 432 с.

24. Bortolotti Е. Sulla geometría proiettiva differenziale delle trasformazioni dualiatiche // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sei. Fis. Mat. Natur. - 1938, 28, -С. 224-250.

25. Boruvka О. Sur les correspondances analytiques enter plans projectifs. I, II // Spisy prfrodovèd. Fak- Brnè, 1926,27, 72, 85.

26. Casanova. La notion de pole harmonique // Rev. math. spec. - 1955. - T. 65. — № 6. — P. 437-440.

27. Fubini G., Cech E. Introduction à la géométrie projective différentielle des surfaces, Paris, Gauthier-Villars, 1931.

28. Segre B. Corrispodenze analitiche e trasformazioni cremoniane // Univ. E Politecn. Torino Rend. Sem. Mat., - 1949, 8, - 49-55.

29. Segre B. Some properties of differentiable varieties and transformations // Springer. Berlin - Göttingen, - 1957.

30. Speranza F. Sunerficie anolonome e corrispondenze dualistiche // Atti Accad. Naz. Lincei Rend Cl. Sei. Fis. Mat. e natur. - 1961, 30, - №4. - 479-486.

31. Svec A. Sur les correspondances enter deux espaces // Bibliographie. Comment. math. Univ. Carolinae. - 1960,1, - № 2, - 23-37.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

32. Аль-Хассани M. А. Связности аффинного расслоения многообразия невырожденных нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани // Том. политехи, ун-т. - Томск, 2013. - 50 е.: ил. - Библиогр.: 37 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ. - № 288. - В 2013 от 18 октябрь.. - 3.03 п.л.

33. Аль-Хассани М.А. Поля инвариантных геометрических образов дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани // Том.

политехи, ун-т. - Томск, 2013. - 47 е.: ил. - Библиогр.: 17 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 08.08.2013, № 236 - в 2013. - 2.85 пл.

34. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение ранга г аффинного Qm и проективного Р„ пространств / М.А. Аль-Хассани, A.A. Лучинин // Известия Томск, политехнич. ун-та. - 2014. - Т. 324. - № 2. - С. 35-39. - 0.15 пл.

35. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного Q„ и проективного Р„ пространств / М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова // Известия Томск, политехнич. ун-та - 2013 - Т. 323 - № 2 - С. 28-32. - 0.15 пл.

36. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова // Материалы международной научно-практической конференции «Наука в современном информационном обществе». -М. - Том. 2. - 2013. - С. 158-160. - 0.09 пл.

37. Аль-Хассани М.А. Отображение аффинного пространства в многообразие нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова // Известия Томск, политехнич. ун-та. - 2013. - Т. 322. - № 2 - С. 24-28. -0.15 пл.

38. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного Qm и проективного Р„ пространств (т>п) / Е.Т. Ивлев, М.А. Аль-Хассани, A.A. Лучинин // Известия Томск, политехнич. ун-та. - 2014. - Т. 324. - № 2. - С. 47-51. -0.1 пл.

39. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного Q,„ и проективного Р„ пространств (т<п) / Е.Т. Ивлев, М.А. Аль-Хассани, A.A. Лучинин // Известия Томск, политехнич. ун-та. - 2013. - Т. 323. - № 2. - С. 16-20. -0.1 пл.

/ V

Л

Подписано к печати 03.03.2015. Формат 60x84/16. Бумага «Снегурочка». Печать XEROX. Усл. печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,16.

_Заказ 107-15. Тираж 100 экз._

Национальный исследовательский Томский политехнический университет Система менеджмента качества Издательства Томского политехнического университета сертифицирована в соответствии с требованиями ISO 9001:2008

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТПУ. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30 Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru