Элементы теории краевых задач для функционально-дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

■А «-13 3,

российская академия нот

УРАЛЬСКОЕ одашш ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Булгаков Александр Иванович

ЭЛЕМЕНТЫ TSORM КРАЕМ ЗАДАЧ ДЛЯ

вшяешк

I.0I.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат ;сертацяи на соискание учено!; сгеленл доктора физико-математических наук

ilitarepEîCypr — 1993

Работа вшолнена на кафедре высшей математики Тамбовского института химического машнос троения

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор В.И.БШЮДАТСКйХ,

- доктор физико-математических наук, профессор Е.Д.ТОНКОЕ,

. - доктор физико-математических наук, профессор А.Г.ЧЕЩОВ.

Ведущая организация: Иркутский вычислительный центр СО РАН

Зацата состоится и_* _1993 г. б_час

кс заседании специализированного совета Д 002.07.01 пи защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук е Институте математики и механики Уральского отделения РАН хд адресу: 620 066, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института л:атеь;атгш! и механики Уральского отделения РАЯ

Автореферат разослан "_" 1993 г.

>чекый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

! ;

ежь

Актуальность темы. Изучение управляемых■систем и задач с (елолной информацией" привело к новой проблематике - даффе-'.нциалъным включениям. Дифференциальное включение^можно рас-(атривать как непосредственное обобщение дифференциального явнения. Поэтому, естественно, в теории дифференциальных лючений сохраняются все проблемы, присущие дифференциальным авнениям. Это - теоремы существования решения, продолжаемос-решения, ограниченности, непрерывной зависимости от началь-х условий и параметров и др. 3 то же время многозначность авоЯ части включения порождает свои специфические вопросы. Меренциальные включения - это интенсивно развиваемый в катящее врекя раздел общей теории дифференциальных уравнений, шикнув первоначально, как естественное обобщение понятия ¡кновенного дифференциального уравнения, дифференциальные ючения проникли в различные разделы науки благодаря своим >гочисленным приложениям.

Дифференциальные включения в настоящее время достаточно ото изучены. Однако до сих пор основное внимание исследова-

ей сосредоточивалось на задаче Коки, за исключением работу х

асотн и З.Опяля , э которой рассматривался вопрос о раз-имости краевых задач с выпуклой правой частью. В то же вре-как известно, в теории дифференциальных включений один из сальных вопросов - вопрос о разрешимости краевых задач, не-злетзоряюцих условию выпуклости, т.е. з случае непримени-:y. классических теорем о неподвижных точках для многознач-птображенкй. Таким образом, изучение разреоимости и иссле-

aotn .-x,,üpi.il i. ?ixed-coínt thsorens fer nultivelued лаз-щ-п >зл<1 з Dtî:nal control nroblens//3ull. АсаЦ .Polon.Sci.oer. ta.-', 11-12. ?.781-7üb.

'ir-.— rz^vx à.y„ Филиппа А.г.^ийг^ррнпкалмме «хл«чечия и

г,--..-ыюе:.ирпрл(жи£//Тр.?.::х; ucc?.-icw. -т.lœ.c.

дование свойств множества реоений краевых задач с невыпуклой правой частью /с правой частью, не обладающей свойством выпуклости множества значений многозначного отображения/ является актуальным.

Объект исследований. В диссертации рассматриваются функционально- дифференциальные включения, в частности, обыкновенные дифференциальные включения. Особое внимание уделяется многозначным отображениям с выпуклыми по переключению образами, которые задаются непрерывными /по Хаусдорфу/ или полунепрерывными снизу, слабо компактными операторами, определенными не пространстве непрерывных функций.

Цель работы. Показать, что одним из фундаментальных понятий теории дифференциальных включений является понятие выпуклости по переклвчению. Это понятие объединяет функционально-дифференциальные включения с выпуклыми по переключению образами, у которых сохраняются основные свойства решений обыкновенных дифференциальных включений с невыпуклой правой честью.

Научная новизна. Разработана новая методика, применимая для широкого класса включений. На основе этой методики и теорем об интегральных неравенствах доказан ряд оригинальных утверждений о существовании и об оценках решений краевых задач.

Общая методика исследования. Используются понятия и метода теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включений, функционального анализа, теории функций вещественной переменной. Существование решений краевых задач устанавливается с помощью теории непрерывных ветвей многозначных отображений с выпуклы!.™ по переключению образами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты расширяют наги представления

> уравнениях и позволяют устанавливать разрешимость задач с :сьма общими краевыми условиями. В диссертации исследованы ¡которые качественные свойства множеств решений функцяональ-|-дифференциальных включений /в том числе доказан бэнг-бэнг жнцип/. Предложены способы оценок нормы разности решения >аевой задачи функционально-дифференциального включения и перед заданной абсолютно непрерывной функции.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 42 работы, новные приведены в списке публикаций а конце автореферата.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и об-ждались на семинарах кафедр "Оптимального управления"(1978, 66-1992), "Общие проблемы управления" (1388,1991) МГУ, на спиренных заседаниях Семинара Института прикладной математики илисского университета (1988,1990), на семинарах Института тематики и механики УрО РАН (1990-1992), на семинаре Москоз-ого института электронного машиностроения (I991), на семкна-кафедры "Численный и функциональный анализ" университета кнего Новгорода (1978), на 4 (Рязань, 1976) и 5(Нииинев, 79) Всесоюзных конференциях по качественной теории дифферента ьных уравнения, на Всесоюзной конференции по теории и прило-■шям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 37), на Всесоюзной школе по теории операторов (Тамбов,1967), Всесоюзной конференции по функционально-дифференциальным мнениям (Магнитогорск, ÍSoO, Уральских региональных конвенциях "функционально-дифференциальные уравнения" (196659), на конференции Латвийского университета (1987), на {ференции "Теория и численные методы решения краевых задач

дифференциальных уравнений" (Юрмала, 1966), на Всесоюзной школе-семинаре "Численные методы и математическое моделирование" (Владивосток, 1989), на 3 Всесоюзной школе "Понтрягин-ские чтения" (Кемерово, 1990), на школе семинаре "Разрывные динамические системы" (Киев, 1969), на конференции по качественной теории и приложениям дифференциальных уравнений (Воронеж, 1990), на Воронежской зимней математической, школе (1991), на школе "Современные методы качественной теории краевых задач" (Воронеж, 1991), на 12 школе по теории управления и исследованию операций (Ижевск, 1989), на Ижевском математическом семинаре (1978, 1969-1992), на Пермском городском семинвре по функционально-дифференциальным уравнениям (1976-1992).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Объем диссертации 'составляет 300 страниц машинописного текста. Библиографический список включает 226 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор основных результатов диссертации, а также приведен список основных обозначений. 3

\г

автореферате используются следующие обозначения. Пусть -- банахово пространство с нормой iMi, X^Y, )С замыкание множества СоХ - выпуклая оболочка мно-

жества - замыкание множест-

ва крайних точек множества X ; tt У *i у

s sap jftKli'.'Xc'X. ', bj*.*^ ~ открытый вар пространства У

с центром з точке и радиусом Х>0 ; ОсУ) множество всех непустых выпуклых ограниченных замкнутых подоножеств пространства У. Пуста Ф.СР^У . Тогда к^ф^Сф -3 ■5 ьир, где ~ расстояние между точкой

и ыно:хестБом, Ц^О^ хаусдорфово

расстояние между множествами 0\ и

Далее, пусть Е - множество, - ^ -алгебра его дод-

мноаеств, на которой задана неотрицательная неатомическая ограниченная мера - банахово пространство функций и'Ь—интегрируемы з смысле Бохнера с нормой

Будем говорить, что множество. СРс по перек-

лючении, если для любых Етаких, что и любых Ср . справедлазо включение ^сЕхН-кУС.Е^у ^ Ср ^ где ^О) - характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через Пу-дСБ.Г^Г( ОсПц-^Н^] ^ ) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению) ганохеств из

Отметим, что понятия выпуклого и выпуклого по переключению множеств суть два независимых понятия.

Пусть К - пространство И, -мерных вектор-столбцов с норкой I • |. ; 1_ множество всех непустых компактов пространства К., . Обозначим пространство вектор-|ункций .'с суишруекшаи по Лебегу котженгали; 1) 10,^ - яро-:тогнстЕО абсолютно непрерывных аункцШ; с нормо;:

- пространство кеярервв-

шх функций ^ с нормой ЦЩ =5 жок

- конус неотрицательных "функций пространства Пусть 2 - банахово пространство функций XI Цусгъ йОйДД, элемент Хб:и Мс2- Обозначай-; V.*5 -

суяение функции X на отрезок и

Непрерывность шогозначных отображений будем понимать по Хаусдорфу, а замкнутость отображения будем понимать в смысле замкнутости его гаафика.

Первая г лав'а диссертации посвящена включениям с выпуклыми образами. Результат' згой главы обобщают результаты, полученные ранее как для уравнений, так а для включений.

Б первом параграфе этой главы рассматриваются вопроси разрешимости и продолжаемое ти решений уравнений и включений. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Ю.И.Алимов, Н.В.Азбелев, Б.И.Ананьев, Е.А.Барбаиин, В.И.Благодатских, С.А.Брыкалов, З.А.Ганго, Н.Н.Красовский, А. Б.Курганский, Б.Б.Ко-лмановский, Л.Н.Лялин, АЛ.Мшкис, В.Р.Носов, А.И.Поволоцкий, Р.К.Рагимханов, А.И.Субботин, А.Н.Сесекин, А.А.Толстоногое,. С.Т.Завалищин, А.Ф.Филиппов, И.А.Синогенко, А.ГЛенцов.З.Б.Цздюк, Л.йату, Е.Цегтег., 1.Т.К1кисМ, li.Kisieleyd.cz, А.ИагсЬаш!, А.Киз Т.'ЛагеюаИ, Е.яагетЪа И др.}.

Здесь рассматривается семейство включении, зависящих от параметра (0.4С4оэ )

С1£)

где семейство операторов {Т^ удовлетворяет условиям: I) для любого.Ь^аД ;

• 2) для любого £<=}й,с1 множество {С^ЛИй*. ограни-

чено;

3) при каздсм для любого Х^С^Чй,^ и любого й^З&.'сХ

выполняется равенство (таким образом, при Каг-

ЮМ оператор вольтерров по А.Н.Тихонову);

I) для любого оператор "Т^ компактен и замкнут.

Под решением включения (1^) понимается функция 'доБлегБоряюдая вюшчению (1^).

Теорема I. Пусть выполнены условия 1)-4). Тогда су-.ествует такое , что мнокество решений включения (1^)

епусто и замкнуто в

СЧалТ ,

* „-.ем, что непрерывная функция К'. ^.О^Тг^является реке-аем семейства включений на

вела

ля произвольного £:сужение функции 51 на отрезок Ш.'йЛ вляется решением включения (1^). Решение * семейства вкличе-ки •[ на (6<£"\0цС\[.) назовем непрододзаемым, если

з существует такого решения ^ вкдэченая (1^), где ,

го для любого 4:6ХАЛ! справедливо равенство ХсЪ - . Ес-

I У. 'является решением семейства включении на ,

> будем считать решение я непродслааекш.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1)-4). Для того ?обы решение ^ семейства включений на

¡ло продолжаемым необходимо а достаточно, чтобы ^ было огранено . .

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1)-4). Если Ч -такие включения (I ), то существует такое непродолкаемое реггз-:е У. семейства включений {на ^УсС'Сй.сХ , что У. -■одолжение Ч. ■

3 1.1 диссертации. рассматривается также семейство зключе--5 . зависящее от параметра 1<, £де (< - метричес-

з пространство. Для такого секе^стьа рассматривается следутаее

утверадение. Пусть Н(Х) - множество всех непродолнаешх решений семейства включений , зависящее ог параметра к. Отме-

тим, что каздоод УлНш соответствует интервал на кото-

ром непродолжаеше решение % определено, причем, если Ск&<.С,,

то ДЬ*1 lX(4\\=oo. Обозначим через Q0O€)Q..ct правый конец кн* „

тервала, на котором решение X. определено, т.е. С^ОО ~ Ь. Оп-ределш отображение jb'.K—'*-1й,с[. равенством .

При определенных условиях- доказано,что для яаздого сущест-

вует. такой Xt

, что выполняется равенство (\Ы) - JiCA\ а отображение полунепрерывно снизу на К.

В § 1.2 диссертации рассматривается структура множеств решений включений. Ошетим, что вопрос о связности множества решений задач эволюционного типа имеет богатую историю и восходит к классическим работам А'.Кнезера, Ы.&укухары, где он был.решен для обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот результат переносился затем многими авторами на объекты более общего вида, в том числе на дифференциальные и интегральные включения (Р.В.Ахмеров, Е.Е. Викторозский, Б.Д.Гельман, И.Т.Кигурадзе, А.Я.Лепин, Л.Н.Ляшш, В.П.Максимов, А.Д.Мьшшис, А.Е.Родхина, Б.Н.Садовский, А.А.Толсто-ногов, А.Ф.Филиппов, И.А.Финогенко, J.Davy, iV.Kelley, H.Kikuchi, S.Kakagiri, H.Kurakarai, S.Szufla и др.). Плодотворную

роль при исследовании вопроса о связности для задач с однозначными операторами сыграла топологическая схема доказательства, §ЗЩ)йботанная М.А.Красносельским и А.И.Перовым. Лдя задач с мно-гоздяаш&ь. оператором она неприменима и поэтому ис-

сдедзаавш структуры множества реыекий включений кадай р'аз встречает определенные, трудности. В связи с экм в данном параграфе •

доказывается принцип связности множества решений абстракт-

ного включения, который является обобщением схемы М.А.Красноселв-ского, А.И.Перова. 3 качестве приложения этого принципа получено утверждение о связности множества решений включения с зодьтерро-В1зл по А.Н.Тихонову оператором.

Приведем критерий связности множеств решений включений в метрическом пространстве. Пусть N, - полные .метрические

" Yi

пространства, 2 1 - ишоаество всех непустых подмножеств пространства Рассмотрим огобракеине Р* JU—2^* , где JUcY" замкнутое ограниченное множество, а тают включение

q, Роо, (3)

где g éf^ . Под решением включения (3) понимается всяей: xs-iu, удовлетворяете (3). .Через обозначим множество всех рз~

uisKiiîi включения (3). ■ '

Будем говорить, что оператор Р -замкнут, если из услс-вш Qt PC с ) вытекает, что C^Ç г.ля любого занижу того мно-

жества Е С JU..

Т е о р е м а 4. пусть оператор Р Q, -замкнут. Тогда, шсиеетао ^Ц^Л связно тогда » только тогда, ксгдо со мсбгку

шшо иаагн связное множество X(?i}C.jU.' , удовлетворявшее услоБНям:^кШКЗ\<С}; для любого Х^Х^Увкполкяется неравенство

Ч

Из теоре;."; 4 дай семейства включений {(1^ шгакагз следу-' oœid результат. Пусть - мсл:ество включения (1^)

i пусгь число ^Ъ определено равенстве« <2) для секе^сгьа {<1^.

Теорема 5. Gycis випслиеш услсггя -1),3),4) пусть У* любого к лзСого-Ч<сСП1^1 выполхеегся cascacri-o

V X^i.) №л - о. Тогда для люоого pi :г5сгеоГ5С ЯI

непусто, компактно ж связно в пространстве .

В § 1.3 диссертации применяются результаты §§ 1.1,1.2 для исследования дифференциальных уравнений, как с непрерывным, так и с разрывным оператором.

Вторая глава диссертации посвящена систематическое изучению задачи

(4)

когда многозначное отображение удовле-

творяет условию: для каждого ограниченного множества образ 0Р(ЛМ имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы. Отметим, что в эхом случае значения оператора могут быть невыпуклыми множествами пространства

Под решением, задачи (4) будем понимать абсолютно непрерывную функции удовлетворяющую включении (4) и равенству У.1Сй-=У0 .. Залепил, что производная решения X пониыает-• ся как элемент пространства и включение (4) понимается как принадлежность элемента нзЬ^й.Ь"! некоторому множеству из гтого пространства, определяемому правой частью включения'(4).

Первый параграф второй главы диссертации посвящен вопросу существования непрерывных ветвей многозначных отображений со значениями в пространстве итерируемых по Бохнеру функций, который леяит в основе изучения дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Метод непрерывных ветвей многозначных отображении предложен в 1975 году Антосиевичем и Челлиной и получид развитие в работах Брессана, Коломбо, А.В.Богагырева, Лоясевича, Пиа-низиани, А.Е.Крисова, Е.Л.Тонкова, фризсковского, И.А.Финогенко и др. Этот метод позволяет сводить вопросы существования решений включения к классическим задачам функционально- дифференциальных

равнешй с вполне непрерывна« оператором и изучать некоторые войства шояества решений включений. •

Развивая идею Аягосиевэта а Челлины, А.М.Долбнлов, А.А.Тол-тоногов, И.Я.Шнейберг, Д.И.Чугунов получили условия суцествова-ет тахшх непрерывных ветвей, когда по заданному однозначному ¡¡обращению с наперед заданной точностью реализуется расстояние гаду образггж.однозначного и многозначного отображений. Такие ;тее, как оказалось, позволяет применять к исследованию свойств гпений дифференциальны:*: и интегральных вхишчениЯ метод интегра-

Г

)Нкх неравенств. Имеет место следувдее уточнение результатов юмянугнх авторов о таких непрерывных ветвях;

Теорема 6. Пусть - сепарабельное ¡.гетрическое юмранстБО, однозначное отобрахение Я шого-

ачнсе огобрахешюО^гХ-^П^СНХ^ непрерывны. Тогда для лдаго 'с">0 существует непрерывное отображение ) ,

овлетворявдее для лкбнх

и АЛб-ЗУс условиям: (^ОО^Фсх^

В § 2.2 диссертации расиагрсваатся свойства выпуклых по пе-гавчеша) множеств, на оснозе ютторкх корректно определяется п :ледую,тся свойства квазнресенна д^еренциальнкх н кнтеграль-: включений общего вида, аналогично известному принципу кгазк-юней Вазовского.

В § 2.3 рассматривается задача (4) с неЕСлыерровк:.; (как с 1унепрерывншл снизу, так л с непрерывна:.?) оператором Ср Ю£Ш основные результаты этого 'ггзрагрзйа.

Будем 'говорить, что ¿ля непрерывного кзстонного оператора ецраведлпго утвсг:.-дс1п:о с-б глгегрзльннх ке-еасгзах, если существует верхнее согекге X уравнена К-Рх

с для ждой функции \) € С^йД, , удовлетворявшей керазенотву

. справедливо неравенство ^ 4 X. . Отметим, что если оператор Р снимающий, то для оператора Р справедливо утверадение об интегральных неравенствах.

1*7дем говорить, что отображение обладает сеоествоьГГ^ , если найдется изоюнный непрерывный оператор Г^:. удовлетворяла: условия:.!: для жабой функции и любого "Ь^й Довыполняв гея неравен-

ство непреоьшного изотон-

ного оператора М^С+1А1 \ » определенного равенством

^«М^^ч. 1*01 . >

справедливо утверждение об интегральны?: неравенствах. Здесь непрерывное отобраке1шеЪСН[й,1Д^С.Вф]зздано соотношение:,;

-(5)

Теорема 7. Пусть отображение Ф: С" Ш^^П^Ш^ полунепрерывно снизу и обладает свойством." : Г^. Тогда задача (4) имеет решение. '

Теорема 8. Пусть отображение непрерывно и обладает свойстео:.1 . Тогда для любо;: функции и любого £>0 существует такое решение задачи (4), что для любого измеримого множества выполняется не-

иавекство

Если , то утверждение справед-

ливо и при 'с-О

Е § 2.4 диссертации вводится определение клазиреиеЕЕ- зада-

и (4) к исследуются свойства кэазиреданий. Отметим, что это по-

ятие было введено ВаЕевсклм для обыкновенного дифференциального

ключешш, которое , как, по-видш.'.оыу, впервые показано А.Ф.Фили-

зовкы, играет ерунда»,¡енгальнуы роль в теории дифференциальных

сличений с незыпуклои правой частью.

Будем говорить, что функция ~ квазирешение зада-

I (4), если найдется такач последовательность функций

=1,2,..., что выполняются условия:^ в при

,->«>: для любого 1=1,2,... выполняется включение ¿Л

и

: оавепсгво •

Отметим, что в случао ооикиогенкого дкуйеренипального вклю-с:п!Я предложенное определение гаазноеаешш отличается от квазн-ешекия по Зааозскоиу наличием условия У-Л^ £ при

•з. т.<5 . 3 связи с отпы сфсрмулпровашое вше определешю элее удобно для лрилеяешш л_оно позволяет получать более общи ззульгагы дакв для обыкновенного дпЛ^ереьхкгльксго зклачешя. Пусть ЗД00 - мюяесгво всех кваз:1рсие:с:11 содачк (4). Рассмотри задачу (4) с "овшуклешкы" оператором СР :

¿^со СРоо, . с 7)

'сть - кноаесгво всех решсШ зздвот (7).

Теорема 9. «гК*^-^4^ -

_Пусть огосракашхя СОигрШКА >

¡¡А опподело1а разсийЕзош

,е С^ОПкЪ -= РА,*), а

^СР^Ы^даЬ чсЫРс-^ п.з.ЫдМ.

чго т^ссе Р еуце^чг, г а:-: с^чс-

ния отображения тяуклы r¿o переключению. Далее, отображение определено равенством

= SU&FfcÜ, (8)

где

Рассмотрим задачу ' ;

¿ к («Й ф)00 (9)

Пусть ^ÍjOí-o'Í - множество всех квазирештп. задачи (9).

Так как для отображения справедливо равенство

~ СО (^Pc^i). 10 23 геореш 9 вытекает следующее утверждение, которое содеркпг в себе теорему Баневского. Следе i в и = Ц^С*^..

В « 2.5 рассматривается задача (4) с во.тыерровым операторо:

как с юлунецреривнш снизу, гак z с непрерывным отобракеккем Ср. В этом параграфе для задачи (4) с полунецрерцзкым снизу отображение;.: QP с помощью теории непрерывных ветвей рассматриваются вопросы о локальной, глобальной разрешимости и продолжаемоети решений, аналогично результатам 1,2 первой глазы. Здесь также уточняются результаты

§ 2.3. _ .

Б § 2.S рассмотрен вопрос 'об оцеш:е кормы резкости решения

задачи (4) и заданной абсолютно непрерывной ¡[ункцпп. Впервые зта задача решена для обыкновенного дифференциального вхглюченпя с выпуклой правой частью Егшпои. Решило этой задачи для обзяоюзен-ного дифференциального включения с невыпуклой правей частью, удовлетворявшей условии Липшица в метрике Хаусдсрфа по второму ар--гументу, предложено впервые А.с.йшпяшовым. Впоследствии устансв-денпе Солее обеих оценок были поовязехс работы А.А.Толстоногова, П.К.Чугунова и др. В диссертации устанавливается отп сценш для

здачи (4), как с вольгерровым, так л с невольтеррсвгш огображе-

СО. _ ^

Будем говорить, что отображение

Злздает ; в о ¡¡'С г а о в \ ^ , если найдется изотонкпп ;лрерпхны2 оператор П : С t^^ l^iAbl. удоадетзорязздий ус->зисл: для диопд функций J- «збого измерадл-о кяо-

¡ства UclAX'l выполняется неравенство

л непрерывного изотопного опера-тора JU^' ' *. C^î&bl^ редзденаого равенством

Oif'V-h

- I ms~))às +р, \:<=\№,

разсддиъо угверйдешю об пгтегралышх неравенствах. Здесь о cessas» определено соотношением (5),

числа S.P^Q.

Будем предпэдзгагь, что йушецнп я К2гдсг? измеримого гдожеетва 11с10,Ь]удоьлетзсря::г неравенству

• CD

lieu) -u

ï боре а 10. Дуссь oyiLi;^: У^Сй,^ ::

s етЕДого хзкержжго iscseoTsa Uclû,%5 удовлетворяю? аерс&гн-

Ф^ ^ ?

обладает свойством Ij, ' ' , - начальное уедез::« задача (4). Долее, згь дая Ч и числа Ъ^Осукестзуа? Ч задачи Ci),

звлегзсрягц<»с для ^гбогс изморигссго UcîiVol неравен-

iy'-в) С , д.^; роде, „г Ч zpz :хсс:.:

;îû,tT\ одсп.:.: ^Г С^ и г.гн печ-

где ^ - верхнее решение уравнения I •= Л1 . с операго-

ром ДА^ , заданнш равенством (10) при , "сг-0

В § 2.7 устанавливается связь мезду множествами решений задачи (4) и задачи (7)..Впервые эта взаимосвязь ыезду множествами ревеий задачи Коей для обыкновенного дадперевдиальнсго включения с невыдуклой (удовлетворяющей условию Лилшца в метрике Хаусдорфа по второму аргументу) к овыпукленной а]равыми частями была установлена А. £?. Филипповым. Затем Пиаш-шиаш распространил результат А.о.йилишова на.случай! , когда расстояние ыедду лак-дама двумя значения:,ш правой части дифференциального включения оценивалось функцией Камке. Далее этим вопросом зашатались А.Б.Курганский, С.И.Суслов, -А.А.Толстоногое, А.А.Леваксв, П,И.Чу-гунов, И.А.ФиНОГеНКО, А.Вгеозаи, Н.Гарагееог^ои и др. Нияе

сформулировано утверждение, которое справедливо, как с вольгерро-вкм, так и с' невольтерровыы отображением Ф.

говорить, что отображение обладает с в о и с г в о м Гя,, если выполняется свойство

Гг ' \ в котором отобракенне удовлетво-

ряет сл^душим условиям: - О, уравнение

при Р—0 имеет только нулевое решение; существует 'В>О , что при всех

для оператора

определенного равенством (10), егграведлпзо утверждение со интегральных неравенства!:.

Пусть И _ множество всех решений задач:: (4).

Теорема II. Пусть огоорааенне Ф обладает свойства-

Mil П Л Q, . Тогда Ни справедливо равенство Ц^Д

где Н(х0> ~ замыкание множества в пространстве ChLQ,ibi.

В § 2.8 на основе результатов §§ 2.6,2.7 рассматривается вопрос о непрерывной зависимости множества решений задачи (4) от параметров (от правок части и от начальных условий). Отметим, что этим вопросом заЕЕшшсь В.И.Елагодатских, А.А.леваков, Е.С.Полсвинкин, А.А.Толстоногов, П.И.Чугуноь, Л.А.&ниогенко и др. В 5том параграфе продолжены исследования упомянутых авторов.

3 S 2.9 рассматривается вопрос о приводимости задачи Кош;; для фушсционально-дн^/ферендиального включения вида:

»the .ДдсЫ}, №)

У. Л — Lp ^ ^ 0 il^} - UTl^ > > если "^t^Ll. В этом параграфе доказано, что при определенных условию; найдемся такое слабо компактное непрерывное отображение

ЧЧЮ множество реаевяй задачи

ы у.о

совпадает с множеством ренеты; задачи (12).

Заключительны!! § 2.10 второй главы диссертации посЕязен изучению задачи (4) в случае, когда образы многозначного отображения ^-Р, вообще говоря, не обладают свойством выпуклости по переключению. В этом случае нельзя гарантировать разрешимость задачи (4) и, как показывают.простые примеры, нарушаются утверждения о структуре множества решении задачи (4). В связи с отел имеет смысл Евестк понятие сссбсенкогэ решения задачи (4). Предложенное в дессергаща: опоеделеыие ресевпя задачи (4) использует

m

спеоацкз овнеуклекзя по переключению значений оператора Ч-1 и пь использует олеквдз свыдуклекпя, введенную впервые A.-S йилнп-

новым для диа^еренцпальнЕХ уразнешй с разркьной правой частью.

Третья глава диссертации посзяиена усреднению кункцлока-тько-дк^ференцкгльных вклаченш). Задача усреднена дар-§еренциаиышх уравнена, поставлена и подрооно исследована в работах Н.И.Крылова и Н.Н .Боголюбова. Затем это J задали дщ да£ферен-цнальных уравнений занималась многие математик (P.Р.Ахкеров, Г.3.Белых, Е.А.Гребещ-шг.сг, И.й.КЕслан, Б.П.Демздовач, bi.A.Kpac-носельокгй, С.Г.Крекн, Ю.А.Шгроподьсяай, А.М.Самойденяо, Ю.А.Рябов, А.Н.уялатов, ЗШ.Оодчук и др.). Ддя зкдмче-щи; задача усреднения иссдодсвалзоь в работах А.Б.Ьиспдьсза, А.Н.Витака, О.С.Кяаьжико, В.АЛдотн5п-:ова, А.?./-роьсгс я др. Прп-водгкая hies обцая схема метода частичного уоуедаекая £уш:цшшь-но-д1-'44'еренц1:альн1ис ьклэчйаг!, охватывает щелочения как с ограяд-чешшм, ?ак п с неограалчешал; посдедеисисяма.

Пусть U - гаков непустое «saseevbo непрсрив:ш:: чункцга

x'.'fc^t-^ еелк п ЧсЪ^ШК^Ьрд "ttCo^l .

то ари гаЯга фжевроващои tvO (i.e» кксавотк; О тако-

ва, что фгкйфогакные значения ¿ушецпй rj U. . -ра^-лграегкай как постояннее функцкп, такме np:auC.:c:^av мкемеитву U ). Пусть

- маогеогвэ всех сугеши. ии отрезок Co.il ( t>0 ) уункцнй из "U; . tUCli - ьшеместзо вегх аостоснщх функций, содерзгвдс-ся в 13.

Рассмотрим задачи

¿«¿^Ф^х^^о U^feR^), сз)

¿Л& x.l0W*o , (14)

где Ъ>0 - ¡..ады:: параметр, до. жоого £»0 •ллмэзд'чш. vcppobi: отойреемц^

w ^ 1

Гу д £ 'л; гс^ср;:гз, ч:с иu IL.:•... ...о..сtlс. ит;-,-; (21)

или (14) определены на множестве \), . если существует 5>0 , что для любого EtjO,5] , каждого &>0 , любых'í.^fo.i'] (<t<í>) 'к каждого Х^НО^т найдется Ч^ЦДх^Ф") (при 1 =1 множество решений залата (13), при 1=2 множество решений задачи (14)), для которого справедливо равенство V.-У на í.0,^1 . Далее, будем говорить, что задача ¿ =13,14) обладает, с в о i; с т -в о к Б на множестве 0, если множество ресений семейства задачи ¿ определена ка множестве ХГ и существует число *5>0 , что для любого "t^O.S ^ и для любого L>0 найдется иар Е> №

СЧой

( 1=1, еслк'4 =13 и L -2, если ^ =14), удовлетворяющий условию • НД^оД^Х^ ^U. причем для этого capa существует

для которого справедливо включение Q Жш .

Для каждш: (t <.íi ) обозначил через отоб-

ражение, определяемое равенством

(tfW-h S^tovds,

если С =о, то вместо 60 будем писать Q.

Пусть 3*0. Обозначим ü(t) -tacwt {t-S, (Л. leopesa 12. Пусть наполнены следупцге условия:

1) существует К>0 » что для любых &>0 и любого

Быиолкяетея неравенство КЧй. н г o-i^^i A=It2;

l-oolOjbi

2) существует таксе число В?-ó и такие локально суммируемые"

функции 3*•10,4-Ь,00[ , ^'10^1-40,^что для габых

(-í < \> ) :: любых абсолютно непрерывных функций x/ifcUlb} справедливо неравенство

ПаПЧЗЛ

pT. . , . л. A tl

tm У ^toàs - 0/ i =Il2;

l-voa l w T-SA3

3) для любого Jt^ull»

Jim

4) задачи (13),(14) обладают свойством Б на множестве U . Тогда для лвбш: ^>оД>0 можн о указать такое число ^о>0 i чю при всех Ь^О,^выполняется неравенство

к Ш^о.Ъ; U^-Y^^U-1 V\ < w.

Четвертая глава диссертации посзяшеиа изучении краем» задач для диффорешиалыш:-: ветатегай с ::свыпуклой правей часть». Основной прием изучения краевой задачи состоит в уаяуадш задач;: к эквивалентному вклачвшш Гсйморсгейна. для та-йсго вкйэтяьея :жтоя теореш о розродамск; (вацракер, оснований на гсорске Каауханц о неасдваяагс;. точка многозначного отоб-рскоаьд). Пржкенямоогь atax «¡срок прыщодагает наличие саездадь-

щжершк оценок poaciaaJ. Такие, оценки удается иногда получить с пм:окьз шп'сгралы-шх неравенств. Эю Окло показано в работа;; Н.З.АзСелева, Р.К.Рагдссанова, А.Б.Сгкарсза,. Д.Н.Фэдеезоь, • рисоиатрлгатавс уравнение Гашерогбйна о разрнвккм оператором, сопшпи которого пошмались как решения некоторого включения. ЛгяОилее обоая теория такого шкенм с гапусякк оорагакс, сх-b'.Tiiu-jj'. ил гласс:поскую геор;ш сукествова^ия ре^ни.: урл;:-;;;;:.]

ГажлсрЕГСиНв, была получена в работах Опяля, Ласохы, Я Ль Ляпана;

Таким образом, для исследования краевых задач для дифференциальных включений с выпуклой правой частью на основе включений Гаммер:лте£ка с выпуклыми значениями был построен достаточно эффективны« аппарат. Дм краевых задач дифференциальных включений с незыпуклой правой частью, упомянутый аппарат не распространяется и такие задачи оставались вне поля зрения исследователей до работ А.Е.Ирксоаа, Е.Л.Тонксва, Б.С.Тонксвой, В этих работах вопросы существования ~л некоторые вопросы о структуре множества периодических решении дифферен-цвальных вклвченпй с невыпуклой правой частью были решены на основе исследования включения Гамкера-тепна специального вида, где использовался факт существования непрерывных ветвей Каогозначного оператора Кемнцкого. Упомянутые работы и развитие идеи, связанных с наличием непрерывных ветвей многозначных отображении, послужили основным аппаратом исследования включения Гашоритеина с невнпуклыш образами. Нике излагаются результаты этих исследовании, где центральную роль играют утверждения об интегральных неравенствах.

В ¿' 4.1 диссертации рассматривается интегральное включение в пространстве С*

где вполне непрерывный оператор

многозначны!) оператор Условию: для каждого ограниченного множества образ имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы. Линейны.;» непрерывны:: интегральный оператор "\Г: » 'определенны/! равенством

_ -

С^кЬ■ (К)

переводят каждое слабо коглпактное в 1<Х, множество в компактное в сЧаМ .

Под-решением включения (15) будем понимать такой элемент

для которого ■ справедливо включение (15). Таким образом, каждому решению к ■ включения (15) соответствует такой т^йЗДУ , что г^Фи)

Отмены, что многозначный оператор •

ср.

вообще говоря,

может и не быть водьтерровыы оператором. Кроме тсго, значения

в включении (15) не предполагаются валуклдаи множествами, поэтому образ

АГФоо

в (15), вообще говоря, не только не является выпуклым, но и замкнута множеством пространства Б связи с этим даже вопросы существования решений включения (15) нельзя исследовать с помощью методов неподвижной точки (теоремы Какутани, принципа сжимающих отображений' многозначных отображений). ' '

Будем говорить, что для непрерывного оператора

01 '< - сходятся последовательные приближения,

если для любой функции Чо^ С^СД.Ь^ , удовлетворяющей неравенству ^ Ч0. последовательные приближения . Ч 1=0,1,... сходятся в пространстве С к функции У, независящей от

■функции Ч0.

Будем говорить, что произведение ^Р и отображение ^ облгдсат свойство м {УГ^чР.^, если цаГ.дутся изотопные непрерывные операторы

удоьлетворялвде условием: для любого £<Х,Ь1 д нагого измеримого множества Ис\0,Ь1 для-отоспожен::л выполняется неравенство

для лвбого дая отображения Рг выполняется оценка

для непрерывного оператора (X С , ■ определенно-

го равенством

сходятся последовательные сркблиненля. Здесь [У&.ьМ - согласованная с пространство;* норма Их (г -матрицы "\Гс4,?Л э пред-: ставлении (16), оператор

определен соотношением (5).

Теорема 13. Пусть отображение СР непрерывно, произведение А/СР и отображение I- обладают свойством С\ГГ^ > р^) . Тогда для. любой функции

и любого £>0 существует решение Ч включения. (15) и существует Х^ФОО, удовлетворяющий равенству для которых для любого измеримого

множества ДА С1&,(э1 выполняется неравенство

то утверждение справедливо и при • Будем говорить, что произведение

ЛГФ и отображение 4

обладает с в о £ с г в о и р^ на многесгве'ЦсС ,

если найдутся изотопные непрерывнее операторы ^• С+1.0 IIе1

и удовлетворяющие условиям: для любых

11 любого пз:.'.ери'лого ьакжества для отображения

Г^ выполняется неравенство •

4 > (13)»

для лсскх ^Уб для отобрааенкя выполняется оценка

для непрерывного оператора

, определенного

равенством •

сходятся последовательнее приближения. Здесь определена

высе, X определено соотнесением (5). Если

\1-С Сй,^, со з этом случае судей говорить, что произведение

УФ

и отображение 4 обладают свойством Рассмотрим в пространстве С С&ДЛ уравнение

Зафиксируем элемент Л^цСй.Ь} . Определил функцию ХйДЛ равенством'

^тЛЫо+Ц) (20)

где Пусть, далее, функцкядля каждого

измеримого мксаества 1Дс\А удовлетворяет неравенству

^о-чОрКуй «Д МСйу!«,, (21)

и

а функция для любого определена соотношением

Т е о р е :л а 14. Пусть г.эопзвэдонле и отображение

^ обладает свойством на :.2-:о:::естьоЛ]сСп|1й,1з1,где

где ч-уккцкл ^Ь определена равекс;'вс:.: (С2), £»0 ¿^€17.

Тогда для каздого решения ДбФоо) включения

(15), удовлетворявшего при любом ¿измеримом множестве не-

равенству (17), в котором , при любом выполняет-

ся неравенство "^САг") и при почти всехЧ^Дд.^Л вы-

полняется оценка Ж-Ь 4- С^^Н^ ?

где - решение уравнения (19) при ^, функции С^, определены представлением (20), а ^ удовлетворяют нера-' венетам (18),(21), соответственно.

г лУ\

Будем говорить, что функция Ч С является квазпресе-

нием включения (15), если существует такая последовательность

"^Фсхь 1»=1,2..... что^-АЦДоО-**. Б СК1а,Ь1 пол

г аэ . Пусть ЗД - множество всех,квазирешений включения (15), Рассмотрим включение

Х^сЬСРо^ + . (23)

Пусть - множество всех решении включения (23). Теорема 15. Н^- ЗД-

Будем говорить, что произведение^/"^ и отображение обладают свойством 3, если для любого £.>0 существует £>0 , ЧТО ДЛЯ любого удовлетворяющего неравенству , для них выполняется свойство сУ^Л^О . - в ко-

СЧаДД •

тором для отображений , Рг справедливы равенства 'а(О) ~0> рг(_0^0, а решение уравнения (19) удовлетворяет'неравенству

Пусть Й - множество всех решений включения (15). Теорема 16. Пусть произведение

и отобрааение

обладают свойствами В и С\ГП Тогда Н^^ и справедли-

во равенство Ц^, где Я - зашкание шожества ^ в пространстве

Далее, рассмотрю! включение

(24)

где отображение

11 СйМ-^-ПУил \й,?^определяе гея равекс твом

(5).

Пусть И^ - множество всех решении щелочения (24). Г е о р е м а 1?. Цусть произведение"МСР и отображение

I- обладают свойствами В иСМГ^чР^У Далее, пусть ядро оператора"\Г состоит только из нулевого элемента. Тогда

^ех^^^^сд 11 где ~ загукание множества

И в пространстве .

Далее, для включения (15) в этом же параграфе диссертации рассматривается вопрос о непрерывной зависимости множества решений. Отметим, что основным аппаратом исследования этого вопроса служат теоремы 14,16.

Второй параграф четвертой главы диссертации посвящен непосредственному изучению краевых задач для дифференциальных включений. Рассмотренная в 5 4.1 теория оказывается удобной првмекигель-но к изучению'краевых задач при этом она позволяет уто-

чнить известные результаты и получить ряд новых. Ниже излагается ■постановка задачи и приводятся некоторые результаты. Рассмотрим краевую задачу

об* Ср^ , Ьс-^М. (255

Здесь М'■ - непрерывный вектор-сункцнэнал, непре-

рывные отображена п лшеаш.

Под ресением задачи (25) будем понимать такую функции

йа,^, для которой справедлашо виыочение (25) и равенство ^.ч-Ч'ОО.

Записем отображение об в виде

Ой + Ас-> хлад , (26)

где оператор (главная часть оператора ^

в представлении (26) определяется равенством ,гдеА~

оператор интегрирования, каждый столбец ^ и. -матрицы А (А:"} представляет собой (результат применения оператора к соответствующее столбцу единично! матрицы: Ьудем предполагать, что оператор О имеет обратный и обратный оператор 1£1&Д>) Ц^о .^непрерывен.

Далее, будем предполагать, что линейная однородная задача

имеет только нулевое решение. В этом случае существует непрерывный оператор Грина , определенный равенством

(СгХЬ . (27)

Зафиксируем элемент "и^^Сй.Ь} . Определил функцию равенством •

^^(а^о+Хсо^^е, (28)

где ХСЛ - фундаментальная матрица решений уравнения ,

удовлетворяющая условию Е ( Е. - единичная матрица), . Пусть, далее, функция^с.

для любого

определена соотношением ' р

\ а<, +1 ес-Ы, ъ » о , (29)

где - согласованная с пространством К*1 корма -

матрицы

гцы в представлении (27); функция ЭДб^ВД"} удо-

влетворяет неравенству (21) приС^-С^. , в котором С^ и"ио удовлетворяет представлению (28); функция Й^С^СйЛ"} удовлетворяет равенству (28).

Будем говорить, что произведение О-^-Р и функционал ^ обладают свойств'ом Г, если выполняются следующие условия: найдется неотрицательная функция , что для любых и любого измеримого множества ИсДд,^ выполняется

неравенство

к4 1 иу-ч»(30)

К №

найдется число У г, 0, . что для любых ^»Ч^СЧй,^ функционал Ц>

удовлетворяет неравенству

МСИЬЧСЧ'И О ик-ЧЧм... .

для функции

и числа О справедливо соотношение

^а* ^ ¡ХсЫ <1,

где , - согласованные с пространством К нормы

К* К -матриц СгС^.Ь^ (в представлении (27)) и-фундаментальной "ЬСсАг"), соответственно.

Рассмотрим в пространстве

уравнение

1 оЬ = (А(Ыъ^а$> -V (КсЦ^ Ц_■ + (31)

г> _ а 1> С |ДьЗ

где функция

функщхя ^Ь^О п число "¡Г >0

определены выше.

Теорема 18. Дусгь произведение и функционал

Ч1 обладают свойством Г. Тогда для любого £>0 существует решение V. задачи (25), для которого при любом "ЫСй&Л выполняется неравенство ¿»"^С^л и при почта всех справе-

usa оценка \С^n)fcb-"W0C-UUt+^dn jbObWл, ,

л/

te функции Ц,. "WQ определены представлением (28); -реете уравнения (31) при^-^ь, которая определена равенствоы !S); функция удовлетворяет неравенству (21) а

нкцля Jb удовлетворяет неравенству (29).

Если ср ■■ С нСй,&>1 -v-Q с nrLl ita .

го утверждение сираве^-

во и при £ = 0.

Рассмотрим вместе с задачей (25) задачи

^«ьсЬОРоо, h-^in), (32)

" (33)

е многозначный оператор

'^-»П^^Щопределеа выше. сть Н, Ц^, Н^ - множество всех решений задачи (25),(32)," 3), соответственно.

Теорема 19. Пусть произведение Q^P и функционал 1 обладают свойством Г. Тогда Н^С Ц1 С Ц^

Ц^,, где замыкание мнонесгва' М^ в простран- ■

зе СЧа^.

В этом ке параграфе рассматриваются дифференциальные вкличе-î с многозначным оператором Нежцкого. 3 этом случае, как пока-jo в диссертации, кокно получить майорантные неравенства, па-летры которых иногда представляют собой решения линейных ин-"ральшх уравнен;«.1.

В заключении § 4.2 рассматривается вопрос о структуре ьжоке-sa периодических решений дифференциальных акявчейкЕ. Здесь уто-£>тся утверждение А.Е.Ирисова, Е.ЛЛ'оккова.

В 4.3 изучается вопрос о непрерывкой зависимости множеств ;е:г::й краевых задач для дафференакаиьшх включение. Здесь дока-

зызается, что при определенных условиях множество решений краевых задач непрерывно зависит от многозначного отобраяения и от краевых условии.

Основные результата работы. Предложен единый подход к изучении функционально-дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Он объединяет '■ функдаонально-дифференциальнне включения с выпуклыми по переключении образами, у которых сохраняются основные свойства решений" обыкновенных да$ференциал£ных включений с невыпуклой правой часть».

Основные публикации автора по теме диссертации'.

1. Булгаков А.И. К вопросу о свойствах множества решений дифференциальных вюшчениЙ//Ди$ференц. уравнения.-1976 -Т.12, .46.-

С.971-977. '

2. Булгаков А.И.,Ляпин Л.Н. Некоторые свойства, мноаества решений интегрального включения Вольтерра-ГаммерштеЗна }/ Дидференц.

уравнения.-I978.-T.I4, Л 8.-С.1465-1472.

3. Булгаков А.И. О существовании обобщенного решения функционально-интегрального включения /У Дифференц. уравнекия.-1979.-Т.15,, Л 3.-С.514-520. .

4. Булгаков А.К,,Лялин Л.Н. Об интегральном включении с функциональным оператором ,/У Дифференц. уравненкя.-1979.-Т.15, Л 5.-С.876-884.

5. Булгаков А.И. Теорема Кнезера для одного класса интегральных включений }) Дий^еренц. уравнения.-1980.-Т.15, 5.-0.894-900.

6. Булгаков А.И..Максимов Б.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами /1 Дгй<£е-ренц. уравнения.-1381.-Т.I7, & 8.-С.1362-1374.

7. Булгаков А.И.,Лялин Л.Н. О связности множеств решении функциональных включении и Матем. сб.-1982.-Т.119, И 2.С.295-ЗС0.

8. Булгаков А.И. йунктаонально-дкф^.еренциадьнпе включения с невы-

пухлоьначным оператором ]/ В кн. "Краевые задач::''. 11;,

1986. С.23-27.

9. Булгаков А.И. Непрерывные вегви многозначных отображений с не-Еыпуклкми -образами и функционально-дифференциальные включения //Дифференц. уравнения.-I98S.-T.22, л 1С.-С.1659-1670.

10. Булгаков А.Л. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим невыпуклые образы // Дифференц. уравнения.-1987.-Т. 23, И 10.-С.1659-1666.

11. Булгаков А.К. К вопросу существования непрерывных вствеь у многозначных отображений с невыпуклыми' образами в пространства; суммируемых функций Ц Ыатем. сб. -1988.-Т.136, Л 2. ■ -С.292-300.

12. Булгаков АЛ. Частичное усреднение ¿ункаионально-дифферецци-альных включений с конечной памятью // Б кн. "Краевые задачи". Пермь: ЕПИ. 1969. С.65-89.

13. Булгаков А.И. Непрерывные вегви многозначных отображений с невыпуклыми образами и фун.'эдюналько-дифференцкальнке включе-шш /У Матем. сб.-1990.-Т. 181, К П.-С.1427-1442.

14. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью /У Дифференц. уравнения.-1990.-Т.26, & И.-С.1Б72-1878.

15. Булгаков А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений // Дифференц. уравнения.-1990.-Т.26, Л 10.-С.1678-1690.

16. Булгаков А.И. Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных включений с невыпуклой правой частью // В кн. "функционально-дифференциальные включения". Пермь:Ш1К, 1991.С.28-57.

17. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. 1,П,Ш II Дифференц. уравнения.-1992.-Т.28, Л 3.-С.371-379; Дифференц. уравненкя.-1992.~Т.28, Л 4.-С.566-571; Дифференц. уравнения. -I992.-T.28, Й 5.-С.739-746.

18. Булгаков А.К. Интегральные -включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений. 1] Матем. C6.-I992.-T.I83, А 10.-С.63-86. •

19. Булгаков А.И. Внг-Бэнг принцип в краевых задачах для функционально-дифференциальных включений. // В кн. "Функциональ-ко-дисференциальные уравнения". Перст:ППИ, 1992.С.93-99.