Стохастическая динамика порождаемая линейными и нелинейными эволюционными уравнениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.946

Неклюдов Михаил Юрьевич

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

ПОРОЖДАЕМАЯ ЛИНЕЙНЫМИ И

НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭВОЛЮЦИОННЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2005

-Кил

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор О. Г. Смоляное

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Угланов

кандидат физико-математических наук С. В. Козырев

Ведущая организация: Московский государственный институт

электроники и математики (технический университет)

Защита диссертации состоится "_" _ 2005 г. в

16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан "_"_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

/МО-1

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием линейных и нелинейных эволюционных уравнений. В ней получено представление решения задачи Копш для бесконечномерного уравнения Шредингера в фазовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана по траекториям, описывается новый класс векторных полей, вдоль которых дифференцируема мера Винера на траекториях в евклидовом пространстве и развивается подход к исследованию системы уравнений Навье-Стокса, аналогичный лагранжеву подходу и исследованию гидродинамических уравнений Эйлера; при этом система уравнений Навье-Стокса заменяется некоторой (эквивалентной ей) системой стохастических дифференциальных уравнений. Следует отметить, что эта система стохастических дифференциальных уравнений эквивалентна детерминированной системе уравнений Навье-Стокса, так что этот подход принципиально отличается от подхода, основывающегося на введении в уравнение Навье-Стокса члена содержащего белый шум.

Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 20 лет находящемуся в центре внимания специалистов - анализу в пространстве функций на бесконечномерном пространстве с мерой. Этой области бесконечномерного анализа посвящена обширная и постоянно растущая литература; отметим в частности, монографии X. Го1, Д. Нуаларта 2, О. Г. Смолянова, Е. Т. Шав-гулидзе,3, В. И. Богачёва4, П. Маллявэна5, 6 и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Трумена, Альбеверио, Аккарди, Воловича, Хренникова, Леандра, Висмута, Бжезняка и многих других. Всё сказанное и

1 Го X. Гауссовские меры в банаховых пространствах. М.: Мир, 1979.

2 Nualart D. The Malli&vin calculus and related topics. Berlin/New York: Springer-Verlag,

3 Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы.

4 Богачёв В. И. Гауссовские меры. М.: Наука. Фгоматлит, 1997.

5 Malliavin P. Stochastic Analysis. Berlin/New York: Springer-Verlag, 1997.

eB зарубежной литературе применительно к этой области бесконечпомерпого анализа используется название "Исчисление Маллявэна" и "White noise analysis".

1995.

определяет актуальность диссертации.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Показано, что задача Коши для бесконечномерного уравнения Шрёдингера в фазовом пространстве имеет решение и это решение представимо в виде интеграла Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве(называемого также гамильтоновым ,или симплектическим интегралом Фейнмана). При этом гамильтонианом в уравнении Шрёдингера является (бесконечномерный) псевдодифференциальный оператор(ПДО).

2. Описан новый класс векторных полей, вдоль которых дифференцируема мера Винера на С([0,1],М" ).

3. Показана эквивалентность уравнения Навье-Стокса некоторой системе стохастических дифференциальных уравнений.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут найти применение при изучении течений вязкой несжимаемой жидкости.

Апробация диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых учёных и семинарах механико-математического факультета МГУ, на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского.

Публикации Основные результаты работы опубликованы в четырёх работах автора.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 93 страницы. Список литературы включает 38 названий.

Краткое содержание диссертации

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий исторический обзор работ по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе изучаются вопросы связанные с дифференци-руемостью меры Винера на траекториях в евклидовом пространстве и группах Ли. Описывается новый класс преобразований меры Винера на траекториях в евклидовом пространстве, таких, что образ меры Винера абсолютно непрерывен относительно меры Винера и находится соответствующая плотность. Этот класс преобразований интересен тем, что возникает при рассмотрении меры Винера на траекториях в компактных связных группах Ли, а именно любую компактную связную группу Ли можно вложить в соответствующее евклидово пространство (реализовывая её как подгруппу ортогональной группы) и при этом съужение потока преобразований на группу Ли остаётся потоком преобразований. Сложность рассмотрения этого класса преобразований связала с тем, что векторные поля им соответствующие не лежат в пространстве Камерона-Мартина ни в одной точке и, следовательно, теоремы из статей О.Г. Смолянова и X. Вайцзекера78 здесь неприменимы. Далее в главе доказывается дифференцируемость меры Винера на траекториях в группе Ли вдоль векторных полей соответствующих съужению на группу Ли рассматриваемого класса преобразований и находится логарифмическая производная. При этом используется результат статьи 9 позволяющий использовать свойства меры Винера на траекториях в объемлющем пространстве для доказательства свойств меры Винера на траекториях во вложенном пространстве. Другой подход к этим задачам можно найти в статье Драйвера 10.

Глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе вво-

7 Smolyanov О G., Weizsaerker H v. DifFerentiable families of measures. Journal of Functional Analysis. — 1993. — V.118. — p.454-476.

8 Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v. Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations Comptes Rendues Acad.Sci Paris. — 1995. — V.321. —

9 Sidorova N A., Smolyanov O. G , Weizsaecker H. v., Wittich O. The Surface Limit of Brownian Motion in Tubular Neighbourhoods of an embedded Riemannian Manifold.submitted to press. 2003

10 Driver В. K. A Cameron-Martin type quasi-invariance theorem for Brownian motion on a compact Riemannian manifold. J. Punct. Anal. — 1992. — V.110 , № 1. — p.272-376.

дится общая терминология и даётся описание класса векторных полей, не принимающих значения в пространстве Камерона-Мартина меры Винера на С([0,1],К" ) ни в одной точке, вдоль которых эта мера дифференцируема.

Пусть (З-компактная связная группа Ли реализованная как подгруппа группы ортогональных матриц, И^- мера Винера на пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1] со значениями в С принимающих значение г при £ = О (аналогично со значениями в К" ).

Касательным пространством к Сг([0,1], С?) в точке и е Сг([0,1], С?) будем называть множество Т^С^О, 1],£) непрерывных векторных полей Х(з) вдоль и>, таких что А"(0) = 0: ГшСг([0,1],С) = {X € Сг([0,1],ГС)|Х(5) 6 Ти(в)СМз € [0,1], Х(0) = 0} Объединение касательных пространств во всех точках и € Сг([0,1],<3) будем обозначать Т(Сг([0,1],<?)) = и ТиСг([0,1], (?). Векторным полем V на Сг([0,1], С?) назы-

ыбС,([0,1],0)

вается непрерывное отображение из топологического пространства Сг([0,1],<?) в пространство Т(Сг([0,1], С)), такое что Уш £ С,([0,1],С)«Н 6 ГыСг([0,1],С). Векторное поле на С,([0,1],»п ) определяется аналогично.

Определение 1.1.Будем называть меру ^дифференцируемой вдоль векторного поля V : Сг([0,1],С) Т(Сг([0,1],(?)), если выполнено равенство /с ([0 1]О)^«/(х) =:

-¡czф^],G)f(x)№(x)dtJXf € С?([0,1], С) при этом функцию

будем называть логарифмической производной меры ц вдоль векторного поля V.

Пространством Камерона-Мартина Н меры Радона ц определённой на локально выпуклом пространстве X называется множество направлений К € X вдоль которых эта мера дифференцируема. В статье 8 было доказана дифференцируемость мер вдоль некоторого класса векторных полей принимающих значение в пространстве Камерона-Мартина.

Пусть ит ■ С*,([0,1],И") Сг([0,1],К" ),М*)(0 =

етаЮх(г),а е С1 ([0,1], д), ог(0) = 0 - поток отображений Сх([0,1], И" )• Тогда у(х) = - векторное поле на

Сг([0,1], К." ), причём сужение этого поля на С.([0,1], (?) тоже является векторным полем. Заметим, что мы рассматриваем класс полей со значениями не принадлежащими пространству Камерона-Мартина так, как траектории винеровского процесса не дифференцируемы с вероятностью 1. И, следовательно, общие теоремы из статьи 8 в нашем случае не применимы.

Теорема 1.1. Если / € l],Rn ), и

/

е ° Wr„ (dx) < оо

С([0,1],®" )

для некоторого г > 0, то верно следующее равенство:

/ (<**) = С([0,1],Н" )

Tf{á(,)xWz(s))-\T*J(áís)x(s),á(»)z(s))d3

¡f(x)e о » W£n{dx)

v/eCf([0,i],Rn)

где xs - винеровский процесс на С([0,1], М" ) (относительно меры Следствие 1.1. Если выполнено условие

/

r}(á(e)z(s),dz(s))

е о (dx) < оо

С([0,1],«» )

для некоторого т > 0, то мера Винера дифференциру-

ема вдоль поля ь(х) и её логарифмическая производная равна 1

/(а(з)х(з)^х(з))п~ ■ о

С помощью доказанного результата во втором параграфе описан один класс векторных полей на траекториях в компактной связной группе (7, вдоль которых дифференцируема мера Винера У/д на С'([0,1], С), и найдена логарифмическая производная вдоль этих полей.

Теорема 1.2. Если / С <^([0,1],С), и

/

е ° WQ[dx) < оо

С([0Д],С)

для некоторого г > 0, то верно следующее равенство: С([0,1],С)

//(х)е • о И^(Аг)

где - винеровский процесс на С([0,1], С?) (относительно меры

Щ)-

Следствие 1.2. Мера Винера дифференцируема вдоль у(х) и её логарифмическая производная /3^в(х) равна:

№ =

хеО

Замечание. Аналог теоремы 1.2 справедлив для сферы и любого другого симметрического пространства е-окрестность которого инвариантна относительно действия ит.

Во второй главе диссертации рассматривается уравнение Навье-Стокса и некоторые другие параболические уравнения. В ней для уравнения Навье-Стокса строится некоторый аналог ла-гранжевого описания уравнения Эйлера, а именно вводятся аналоги траектории частицы и её скорости на траектории. Если положить вязкость равной нулю то эти аналоги становятся траекторией частицы и её скоростью. Исследуется трансформация законов сохранения для уравнения Эйлера при переходе к уравнению Навье-Стокса, доказывается с помощью предложенного метода отсутствие решения обратной задачи Коши для уравнения Навье-Стокса в определённом классе решений. Кроме того, показано что предложенный метод работает и для некоторой линеаризации уравнения Навье-Стокса.

В математической физике хорошо известна проблема поиска связи между уравнением Навье-Стокса(в дальнейшем мы будем пользоваться сокращением Н.-С.) и турбулентностью. При этом в силу того что турбулентность является стохастической системой естественным желанием было бы и описывать её стохастическим уравнением. В диссертации показана эквивалентность уравнения Н.-С. и некоторой системы стохастических дифференци-

альных уравнений первого порядка в частных производных. Будет доказано, что,при некоторых предположениях, решение детерминистического уравнения Навье-Стокса представимо в виде композиции двух случайных полей. В случае отсутствия вязкости наш результат соответствует классической Лагранжевой картине описания уравнения Эйлера, описанной, например, в книгах В.И. Арнольда, Б.А. Хезина11 и Д. Эбина, Д. Марсдена12, т.е. поля становятся классической траекторией и скоростью на траектории (естественно в этом случае стохастическая часть исчезает). Аналогичное разложение оказывается верным и для других эволюционные уравнений. Далее будет рассмотрена циркуляция решения уравнения Навье-Стокса вдоль некоторого потока случайных контуров и будет доказано, что эта величина является мартингалом с обращенным временем. Этот результат для уравнения Навье-Стокса является аналогом классической теоремы Кельвина о сохранении циркуляции решений вдоль потока траекторий для уравнения Эйлера. Исходя из этого факта будет доказано отсутствие нетривиального решения уравнения Н.-С. которое при t —> —оо стремится к нулю; тривиальным решением называется решение не зависящее от пространственной переменной. Помимо этого, будет показано, что для определённых систем линейных параболических уравнений справедлив аналогичный факт т.е. то, что циркуляция решения вдоль потока случайных контуров является мартингалом с обращенным временем. Этот факт позволяет с помощью явной формулы найти интеграл решения вдоль любого замкнутого контура, тем самым сводя задачу решения этой системы уравнений к более простой. Аналогичные подходы к уравнению Навье-Стокса рассматривались в статьях Д. Раппопорта 13,Ф. Фландоли,Б. Бус-нелло, М. Ромито14,С. Альбеверио, Я. Белопольской15. Отличие на-

11 Arnold V. I., Khesin В. A. Topological Methods in Hydrodynamics.Applied Mathematical Sciences,V.125. — New York:Springer-Verlag, 1998.

12 Ebin D., Marsden G. Groups of diffeomorphisms and the notion of an incompreseible fluid. Ann of Math. (2) — 1970. — V.92, — p.102-163.

13 Rapoport D Random diffeomorphisms and integration of the classical Navier-Stokes equations Reports on mathematical physics — 2002. —V.49, №1. — p.1-27.

14 Busnello В., Flandoli F., Romito M. A probabilistic representation for the vorticity of 3D viscous fluid and for general systems of parabolic equations, preprint, http://arxiv.org/abs/math/0306075

15 Albeverio S., Belopolskaya Y. Probabilistic approach to hydrodynamic equations Proc. Inter

шего подхода состоит в том, что мы не используем усреднение ни в каком виде.

Глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе второй главы излагаются некоторые предварительные сведения необходимые в дальнейшем, а именно введено определение мартингала, семимартингала и написана формула Ито-Вентцеля описывающая правило дифференцирования композиции случайных полей зависящих от времени.

Во втором параграфе доказывается эквивалентность системы уравнений Навье-Стокса и некоторой стохастической системы первого порядка. Эта система для уравнения Навье-Стокса является аналогом лагранжевого описания для уравнения Эйлера. Вводимые случайные поля становятся скоростью и траекторией частицы жидкости при устремлении вязкости к нулю.

Пусть (Q, Т, Р) -вероятностное пространство, u(t,x) - классическое решение системы уравнений Навье-Стокса:

div(u) = 0 и(0, х) = и0(х),х 6 V

где Т>- некоторая область в R" . Предполагается, что решение u(t,-),p(t,-) аналитически продолжается в некоторую комплексную окрестность Vе D D для каждого t £ [0,Т].

Теорема 2.4.Пусть случайные поля X,Y : [0,Т] х Vе х П —> Сn,(t,x,u) Xt(x,w), (t, x,uj) i-> Yt(x,u>) определены следующими уравнениями:

dXt(x) = ti(i, Xi)dt + %y/b)dWt + n(Xt)dlt,

Yt(x) = u(t,Xt(x)),X0(x) = *,У0(*) = Щ(х),х € Vе, t 6 [0,T]

где n(x),x 6 dVc -нормированный вектор ортогональный к границе дТ>с множества Vе в точке х направленный внутрь (тг(:к) = 0 по определению, если х dDc), lt- локальное время Леви поля Xt{-) на границе Vе. Тогда поля Xt(-), Yt(-) удовлетворяют следующим уравнениям:

dXt(x) = Yt(x)dt + lyfadWt + n(Xt)dh

Conf "Probabilistic Methods in Hydrodynamics", Ed. I. Davies et al., World Scient., Singapore, (2003).

dYt(x) = (f - Vp){t,Xt(x))dt + DYt{x)(DXt)-l(iV2¿dWt + ñ(Xt)dlt)

trace{DYt{DXiJ"1) = OVx G î>c,i G [0,T] с начальными условиями Xo(x) = x,Yq(x) = щ(х) Замечание Дополнительное слагаемое ñ(Xt)dlt введено для того чтобы процесс Xt(x) отражался от границы области Vе. Оно необходимо в уравнении для процесса Xt{x) потому что не существует теорем об аналитическом продолжении решения уравнения Навье-Стокса на всё С", но имеются теоремы о продолжении на некоторую окрестность действительной области16.

Теорема 2.5.Если X,Y : [0,Т] х С х ü C",(t,x,w) ^ Xt(x.'uj). (t,x,ui) н-> Yt(x, и) удовлетворяют системе уравнений: dXt(x) = Yt(x)dt + xs/bsdWt

dYt(x) = (f(LXt(x))-Vp(t,Xt(x)))dt + i\/2ÏDYt{x){DXt)-ldWi detDXt{x) = IV® € C",í 6 [0,оо)

с начальными условиями Хо(х) = x,Yq(x) = щ(х) и Xt(-)- диффеоморфизм С п.н. тогда u(t, х) = Y5(Xf ^ж)) решение уравнения Навье-Стокса (с областью V = R" и Т = оо).

В третьем параграфе строится аналогичное представление для уравнения Стокса и обобщенного уравнения теплопроводности.

В четвёртом параграфе устанавливается для уравнения Навье-Стокса аналог теоремы Кельвина и, с помощью полученного результата, доказывается отсутствие нетривиальных решений для обратной задачи Коши уравнения Навье-Стокса. Пусть

D[a,b] = {u G С°°([а, Ь] х R" , R" )|и-ограничена вместе с производными},

и G D(—оо,Т]- решение обратной задачи Коши для уравнения Навье-Стокса:

f= й+li(tj)i = i,... ,п

div(u) = 0 и{Т,х) = щ(х),х G R" , v > 0.

Сделаем замену переменных: u(t,x) = и(Т — Ь,х),щ = ïï0,p(t,x) = -p(T-t,x),f(t,x) = —f(T — t,x). Тогда щр G Z>[0,oo)

16 Grujic. Z.. Kukavica I. Space analyticity for the Navier-Stokes and related equations with initial data in U J. Funct. Anal , —1998. —V.152,n.2, — p.447-^66.

удовлетворяют эквивалентной системе уравнений:

ди, ^ дщ . др .. . . .

щ~ ¿i+ш"г = ^ • • • -n w

¿=1

div(u) = 0 (2)

ЦО, £) = ио(х), х е Rn , > 0. (3)

Далее мы будем рассматривать только эту систему, которую также будем называть обратной задачей Коши для уравнения Навье-Стокса. Переформулировка результатов полученных ниже в терминах первоначального уравнения осуществляется очевидным образом. Определим отображение X : [0, оо) xl" —>• R" :

dXt(x) = -u(t,Xt(x))dt -i- y/b)dWtXo{x) = i,iGR" .

Тогда Xt € C°°(R" ,R" ) и Xt- диффеоморфизм Rn n, 18, 19.

Теорема 2.7. Пусть Г -гладкий замкнутый контур в R" . Тогда верно следующее равенство:

/ £uk(t,x)dxk = J±uk0(x)dxk + J f tfk(s,x)dxkds+ Х,(Г) fc=l г к=1 0 Х,(Г) *=1

v^ £ / / (rotu)kmdxkdw? к,т= 1 о Х.(Г)

Следствие 4. Пусть выполнены условия теоремы 2.7, причём /(*,.) = V^(i,.)Vi € [0,ос),г/< € С°°([0,оо) х Rn ,R" ). Тогда, если следующие условия выполнены:

/ « f

sup^ | £ / / (rotu)kmdxkdw?\x

¿е® \ A,m=1 О Х,(Г)

n i \

log+1 Е f f {rotu)kmdxkdw?\\ <ос,

к,т=1 0 /

17 Благовещенский Ю Н , Фрейдлия М И. Некоторые свойства диффузионных процессов тависящих от параметра. ДАН — 1961. —V.138, — р.508-511.

18 Elworthy К D. Stochastic differential equations on manifolds London Mathematical Society Lecture Note Series, V.70 —Cambridge-New York: Cambridge University Press, 1982.

19 Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, V 24. —Cambridge: Cambridge University Press, 1990

оо

sup |u(i,з;)|(->ос 0, sup/ ||V?i||£oo(s, Xs(x))ds < оо для любого гбГ геГ о

гладкого замкнутого контура Г С К" то и не зависит от переменной х. В частности, если Vuq ^ 0, то не существует решения обратной задачи Коти для уравнения Навье-Стокса (1) в классе функций 1?[0, оо) удовлетворяющих описанным выше в следствии условиям.

В предыдущем параграфе было показано, что при рассмотрении уравнения Навье-Стокса (Бюргерса), можно доказать аналог теоремы Кельвина, а именно оказывается, что интеграл от скорости вдоль некоторых стохастических возмущений потока траекторий оказывается мартингалом с обращенным временем. Естественно, возникает вопрос, а для каких ещё уравнений интегралы от решения вдоль потока являются мартингалами? В пятом параграфе приведено общее выражение для интеграла

п

f Fk(t,x)dxk где F : Шп —> R" -произвольная (достаточно

Х,(Г) *=1

гладкая) функция, a Xt(-,to) : Rn M" поток гомеоморфизмов R" определяемый стохастическим дифференциальным уравнением, рассмотрен один класс параболических дифференциальных уравнений для которых этот интеграл является мартингалом и показано как это свойство позволяет решать уравнения из этого класса.

Пусть F : [0,Т] х R" Г ,F е С1([0,Т],С*(ип ,Rn )),Г-С*-гладкий замкнутый контур вК" , X = X(t, х, и>) : [О, Т] х R" х Q -> R" -отображение определяемое системой:

Хо(х) = х

dXt(x) = a{t,Xt{x))dt + a{t,Xt{x))dWua{t,-) <= C6*'a(R" ,Шп ), a{t, ■) € C*'a(Rn ,R" ® Rm)Vi € [0,T]

где Wt,t G [0,T]-m-мерное броуновское движение. Тогда yYt(-,w) : Rn M" -С*-диффеоморфизм п.н.19.

Теорема 2.8.В описанных выше предположениях верно равенство

/ ± Fk(t,x)dxk = l± Fk(0,x)dxk + f f £ (Ç +

Xfr) t=1 г ¿=1 О Х,(Г) *=1 4

£ - g) + * £ ££ £

j'=1 1 ij=l 1 m=l y

Hi I + f f

о Х,(Г) k=1 \ j,l m ) О Х.1Г)

t F'Mjgdztdvi + f f ± ( E fV)

*J=1 0 X.(T) *=1 \i,l= 1 )

Пусть F-определённая выше удовлетворяет системе:

4f + £ аЩ - §£) + è Е ,££( ± «im°im) =

ij=1 m=l

k = l,... ,n,t€{0,T]

и tr не зависит от я. Тогда верна следующая теорема.

Теорема 2.9. Предположим,что выполнено условие

sup E\Nt\log+\Nt\ < оогде Nt = / / £ ( £ fV] ¿M^j. ie[o,T) о *=i \i,i=i ' /

Тогда

/ Е = ff È 9к(s, x)dxkds+

Г *=1 О Х.(Х,-1(Г)) *=1

±Fk(T,x)dxk-j j ±gk(s,x)dxkdS\^A(Xrl(T)) \ХТ() k=\ 0 X,(.) k=1 У

При этом это равенство имеет смысл и при Т = оо. В этом слу-

п

чае существует предел Моо(Г) = (L\) — lim( / Е Fk(t,x)dxk —

Х,(Г) к=1

t п

f f Е 9k{s,x)dxkds) и равенство принимает вид: о ХДГ) *=1

/ Е Fk(t, x)dxk = f f E 9k(s, x)dxkds+

r *=i о х,(дг,-'(г)) *=1

-B (M-eo(r)l^i) (AT'CT)).

Эта теорема позволяет находить решение задачи Коши для системы:

t ££7(±3**3**) = p(t,x),

j=1 ' «J=l m=l

F*(0,z) = g- = *(*»), к = 1,... ,n,f € [0,T]

Действительно сделаем замену времени t = Т - i! и переобозначая переменные F(t,x) = F(T — t,x),a(t,x) = -â(T — t,x),g(t,x) = -g(T - t, x),ff(t, x) = â(T — i, x) получаем систему:

Зг + £ - g) + è t ££( t = 9k(t,x),

j=l J IJ=1 J m=l

Fk{T, x) = JFq (x), A: = 1,... ,n,i6[0,T]

n

и используя теорему 2.9 мы можем определить f Fk(t,x)dxk

г 4=1

для любого гладкого контура Г.Таким образом мы можем определить F с точностью до градиента некоторой функции ф: F(t, х) — F\(t,x) + Vip(t, х)-где ^-функция определённая по значениям ин-

п

теграла по контурам f Fk(t,x)dxk. Подставляя это представле-г *=1

ние в исходную систему мы получаем одно более лёгкое уравнение для ф уже не содержащее функцию а которое может быть решено другими методами.

В третьей главе рассмотрена циркуляция уравнения Навье-Стокса как функция контура и найдено уравнение которому она удовлетворяет. Это уравнение является аналогом бесконечномерного уравнения типа Бюргерса. Роль Лапласиана в этом уравнении играет лапласиан Леви. Кроме того, показанно, что линеаризация уравнения Навье-Стокса т.е. уравнение Стокса эквивалентно бесконечномерному уравнению теплопроводности, изучаемому в статье Л. Аккарди и О. Г. Смолянова20. Далее найден один класс "гармонических" функций по отношению к лапласиану Леви. Этот результат интересен в связи со статьей Л. Аккарди, П. Джибилиско, И. Воловича 21 где установлено соответствие между полями Янга-Миллса и "гармоническими" (по отношению к лапласиану Леви) функциями. Аналогичный подход к уравнению Навье-Стокса рассматривался в работе А.А. Мигдала 22.

Глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе доказана теорема об эквивалентности уравнения Навье-Стокса и беско-

20 Aceardi L., Smolyanov О G. Semigroups and Harmonie Functions Generated by L^vy Laplacians.Doklady Math., —2002. —V.384, —» 3, — p.295-301.

21 Accardi L., Gibilisco P., Volovich I. Yang-Mills Gauge Fields as Harmonie Functions for the Le'vy Laplacian Russian Journal of mathematical physica —1994. —V.2,n.2, — p.235-251.

21 Migdal A. A. Loop équation and area law in turbulence. Int.J.Mod.Phys. —1994. —A9: — p.1197-1238.

нечномерного уравнения типа Бюргерса и аналогичный результат для уравнения Стокса.

Пусть Y = {h : R" R" | he C^R" ,Rn ),div(h) = 0,|A(f,®)|^ 0}, D = {Г € К"|Г -

—замкнутый гладкий контур в R" }, Z = {5 : D —>

*!«(■) = fEVdxuh € F}, L : Y э h н* f ¿ h'dx¡ e

■ i=l ■ i=l

V : Y [D D],(Vf)(T) = /(Г), Xt{x) = * + } u(s,xa{x))ds-

0

траектория частицы жидкости движущейся со скоростью и

из начальной точки х .Тогда L-сюръективный и инъективный

линейный оператор (сюръективен по определению, а инъектив-

ность легко доказывается из определения пространства У) и,

следовательно, можно определить обратный оператор К : Z Y.

Определение 4. Пусть дана функция F : C(S1, Rn ) —>

1 п

R такая, что F"{j)(u,v) = / £ ds. То-

0 i,j,k= 1

гда определим оператор Лапласа Api равенством Ap¿F(j) =

¡ttr(Kk)(j(s))jk(s)ds. 0 к=\

Пусть и,р-решение уравнения Навье-Стокса и F(t,-) =

п

/ Yj uldxi € Z. Тогда верна следующая теорема: ¿=i

Теорема 3.12.Уравнение Навье-Стокса эквивалентно следующей системе уравнений на F:

Г) + F'(t, T){VKF(t, Г)) = vAPCF(t, Г) + G(t, Г) (4) F(0, Г) = У ¿ 4(x)dxk, F(t, •) 6 ZNt £ [0, Т]. (5)

P i—i

n

где G(t,T) = J /fc(¿,a:)<ixjt, т.е. если -решение уравнения г *=i

n

Навье-Стокса, то F(í, •) = [J2u*dxt решение написанного выше

уравнения и обратно если /"-решение уравнения то и = K.F удовлетворяет уравнению Навье-Стокса с соответствующим р. Аналогично для уравнения Стокса:

Теорема 3.13.Уравнение Стокса эквивалентно бесконечномерному уравнению теплопроводности т.е. если и.р-решение уравнения Стокса:

^ = + /,-(*,2)i = 1,... ,п (6)

div(u) = 0 (7)

и{О, х) = щ(х) 6 У, х € R" , t € [0,Т] (8)

и F(i, •) = / £ то

f(i,r)=WLF(i,r) + G(i,r)

^(0,Г) = / £ «§(*)<***, •) € 7Nt € [0,Т]

Г 4=1

п

где G(t,T) — f £ fk(t,x)dxk. Верно и обратное т.е. если F-г ¿=1

решение данной системы то и = KF-решение уравнения Стокса.

Во втором параграфе описан один класс функций гармонических по отношению к лапласиану Леви.

Теорема 3.14. Пусть #(•) = ,шя) е С°°(КП Д2^)-

набор из гармонических функций, первые "i"'1) - 1 из ко-

торых выбраны произвольно, а последняя определяется равенством div~3 = 0 с точностью до константы С (определяемой далее) и определим функцию и из условия rot и = at и условия

¡Auk(x)dxk = OVT G C([a,6],R" ),Г(а) = х,Г(Ь) = у (условие г

п

определяющее константу С). Тогда если F(-) = f uk(x)dxk, то

AplF{T) = OVT e C([a,b],M" ),Г(а) = аг.Г(Ь) = у.

В четвёртой главе рассмотрена задача Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера. Гамильтонианом в уравнении Шредингера служит псевдодифференциальный оператор с т-символом. Этот результат является усилением одного из результатов книги О. Г. Смолянова, Е. Т. Шавгулидзе3. Там рассматриваются pq— и qp- символы, а в диссертации произвольный r-символ. В частности, при г = | получаются символы Вейля. Доказано существование решения задачи Коши и найдено представление решения в виде интеграла Фейнмана. Интеграл Фейнмана

определяется с помощью равенства Парсеваля(это определение^ также другие определения интеграла Фейнмана и связи между ними можно найти в 3,23,24). Подобные вопросы рассматривались в книге Березина 25.

Глава состоит из трёх параграфов. В первом и во втором параграфах вводятся основные определения и терминология т.е. вводятся определения фазового пространства в котором расматри-вается наше уравнение, псевдодифференциального оператора и соответствующих банаховых пространств, определение интеграла Фейнмана. Интеграл Фейнмана вводится как линейный непрерывный функционал на определённом пространстве функций. Это определение совпадает с определением данным в книге 3 для частных случаев г = 0 и г = 1.

В третьем параграфе определяется задача Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера в фазовом пространстве и доказывается теорема о существовании решения и представлении его в виде интеграла Фейнмана.

Определение 6. Решением задачи Коши для уравнения Шредингера с псевдодифференциальным оператором,имеющим г-символ а — Л,называется функция u(t, q) удовлетворяющая уравнению:

= iau(t, q) - ihTu(t, q) (9)

и начальному условию

v(0,q)=u0(q)VqeQ, (10)

где щ € Afl.(Q),Vi > 0 w(i,) € Mla(Q).

Теорема 4.15. Пусть а : Р -> R, h : Р х Q R, щ : Q -» С-непрерывные функции и v, vq- счетно-аддитивные борелевские меры ограниченной вариации на пространствах Q х Р,Р соответ-

33Albeverio S , Hoegh-Krohn R. Mathematical theory of Feynman path integrals. Lecture notes in math. Berlin. Springer,1976.

24Маслов В. П. Комплексные цепи Маркова и интеграл Фейнмана для нелинейных систем. М.: Наука, 1976.

25 Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М Наука, 1965

ственно, такие, что выполнены соотношения:

Hpi +Р2)\ < C(\a(pi)\ + 1)(|а(ра)| + 1), J \a(p)\\uQ\(dp) < +ос,

/ [ \a(p)\W\(dq,dp)<+oo, \a{Tp)\\u0\(dp) < +00, JQJP JP

Функции h : P x Q —)• R,u0 : Q -> С представимы в виде:

Hp,q)= [ [ ¿^^¿«»Mdqudpx), (11)

Jq JP

«o(}) = 0), (12)

Тогда решение задачи Коши (9),(10) существует и представимо в виде:

u{t,q) = J ud{xQ(0) +

В заключении я хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смоляно-ву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] М. Ю. Неклюдов, Производная меры Винера на траекториях в компактной группы Ли, Труды XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, т. II, М.: МГУ, 2003, 139-142.

[2] М. Ю. Неклюдов, Производная меры Винера на траекториях в компактной группы Ли, Математические заметки, 75 (2004), вып. 5, 789-792.

[3] М. Y. Neklyudov, Controllable stochastic dynamical system equivalent to the Navier-Stokes Equation, Russian Journal of Math. Physics, 12 (2005), no. 2, 232-240.

[4] M. Ю. Неклюдов, О некоторых свойствах оператора Лапласа-Леви, Тезисы международной конференции 'Дифференциальные уравнения и смежные вопросы', посвященной 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2004, 149.

£ООб А ~1А0\

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /¿7 Од' Формагг 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,0

Тираж /«'¿'экз. Заказ 31

1 Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона-Мартина и дифференцирование мер на группах Ли.

1.1 Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона-Мартина

1.2 Дифференцируемость меры Винера на функциях со значениями в компактной группе Ли

2 Аналог лагранжевого описания для уравнения Навье-Стокса и интегрирование вдоль случайных контуров

2.1 Некоторые определения и предварительные сведения

2.2 Эквивалентность уравнения Навье-Стокса и стохастической системы уравнений в частных производных.

2.3 Эквивалентность параболических уравнений 2-ого порядка и стохастических уравнений в частных производных первого порядка.

2.4 Теорема о сохранении циркуляции поля скорости для уравнения Навье-Стокса.

2.5 Интегрирование вдоль случайных контуров и задача Коши для параболических уравнений.

2.6 Аналитическое продолжение уравнения Навье-Стокса и уравнение Эйлера.

3 Циркуляция и уравнения гидродинамики

3.1 Циркуляция решения уравнения Навье-Стокса и бесконечномерное уравнение типа Бюргерса

3.2 Гармонические функции для оператора Лапласа-Леви и уравнение Стокса.

4 Представление решения некоторых псевдодифференциальных уравнений Шрёдингера гамильтоно-выми интегралами Фейнмана.

4.1 Обозначения и терминология.

4.2 Определение интеграла Фейнмана.

4.3 Задача Коши для уравнения Шредингера в фазовом пространстве

В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием линейных и нелинейных эволюционных уравнений. В ней получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера в фазовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана по траекториям, описывается новый класс векторных полей, вдоль которых дифференцируема мера Винера на траекториях в евклидовом пространстве и развивается подход к исследованию системы уравнений Навье-Стокса, аналогичный лагранжеву подходу и исследованию гидродинамических уравнений Эйлера; при этом система уравнений Навье-Стокса заменяется некоторой (эквивалентной ей) системой стохастических дифференциальных уравнений. Следует отметить, что эта система стохастических дифференциальных уравнений эквивалентна детерминированной системе уравнений Навье-Стокса, так что этот подход принципиально отличается от подхода, основывающегося на введении в уравнение Навье-Стокса члена содержащего белый шум.

Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 20 лет находящемуся в центре внимания специалистов - анализу в пространстве функций на бесконечномерном пространстве с мерой. Этой области бесконечномерного анализа посвящена обширная и постоянно растущая литература; отметим в частности, монографии [29], [19], [33], [28], [15] 1 и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Трумена, Альбеверио, Аккарди, Воловича, Хренникова, Леандра, Висмута, Бжезняка и многих других. Таким образом, тему диссертации следует считать вполне актуальной.

Преобразованием меры Винера на траекториях в евклидовом пространстве, соответствующим рассмотренному классу векторных полей, является вращение траектории винеровского процесса зависящее от времени. Это преобразование интересно в связи с тем, что оно возникает при рассмотрении формулл интегрирования по частям для мер Винера на траекториях со

1В зарубежной литературе применительно к этой области бесконечномерного анализа используется название "Исчисление Маллявзна" и "White noise analysis". значениями в многообразиях. Стандартные теоремы о диффе-реицируемости меры Винера вдоль векторных полей со значениями в пространстве Камерона-Мартина (рассмотренные, например, в [22, ]) здесь неприменимы в силу того, что этим преобразованиям соответствуют векторные поля не принадлежащие пространству Камерона-Мартина ни в одной точке. В диссертации будет показана дифференцируемость меры Винера на С({0,1]К™ ) вдоль соответствующих векторных полей и найдена соответствующая логарифмическая производная. С помощью этого результата и результата статьи [21] доказана дифференцируемость меры Винера на траекториях в компактной связной группе Ли вдоль ограничения этих полей. Другой подход к этим задачам можно найти в статье [8].

В математической физике хорошо известна проблема поиска связи между уравнением Навье-Стокса(в дальнейшем мы будем пользоваться сокращением Н.-С.) и турбулентностью. При этом в силу того что турбулентность является стохастической системой естественным желанием было бы и описывать её стохастическим уравнением. В диссертации показана эквивалентность уравнения Н.-С. и некоторой системы стохастических дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Будет доказано, что,при некоторых предположениях, решение детерминистического уравнения Навье-Стокса предста-вимо в виде композиции двух случайных полей. В случае отсутствия вязкости наш результат соответствует классической Лагранжевой картине описания уравнения Эйлера, описанной, например, в книгах [5] и [9], т.е. поля становятся классической траекторией и скоростью на траектории (естественно в этом случае стохастическая часть исчезает). Аналогичное разложение оказывается верным и для других эволюционные уравнений. Далее будет рассмотрена циркуляция решения уравнения Навье-Стокса вдоль некоторого потока случайных контуров и будет доказано, что эта величина является мартингалом с обращенным временем. Этот результат для уравнения Навье-Стокса является аналогом классической теоремы Кельвина о сохранении циркуляции решений вдоль потока траекторий для уравнения Эйлера. Исходя из этого факта будет доказано отсутствие нетривиального решения уравнения Н.-С. которое при —> —оо стремится к нулю; тривиальным решением называется решение не зависящее от пространственной переменной. Помимо этого, будет показано, что для определённых систем линейных параболических уравнений справедлив аналогичный факт т.е. то, что циркуляция решения вдоль потока случайных контуров является мартингалом с обращенным временем. Этот факт позволяет с помощью явной формулы найти интеграл решения вдоль любого замкнутого контура, тем самым сводя задачу решения этой системы уравнений к более простой. Аналогичные подходы к уравнению Навье-Стокса рассматривались в статьях [20], [6],[3]. Отличие нашего подхода состоит в том, что мы не используем усреднение ни в каком виде.

В диссертации описывается уравнение которому удовлетворяет циркуляция решения уравнения Навье-Стокса как функция контура. Это уравнение оказывается бесконечномерным аналогом уравнения Бюргерса. При этом бесконечномерным аналогом лапласиана является лапласиан Леви. Линеаризованное уравнение Стокса оказывается эквивалентным бесконечномерному уравнению теплопроводности рассмотренному в статье [2]. Кроме того, описан один класс ''гармонических"(по отношению к Лапласиану Леви) функций. Этот результат интересен в связи с тем, что в статье ([1]) доказано, что гармонические функции генерируемые лапласианом Леви взаимнооднозначно соответствуют полям Янга-Миллса. Аналогичный подход к уравнению Навье-Стокса рассматривался в работе [18].

В работе рассматривается задача Коши для бесконечномерного уравнения Шрёдингера в фазовом пространстве. При этом гамильтонианом в уравнении Шрёдингера является (бесконечномерный) псевдодифференциальный оператор(ПДО). В диссертации показано, что задача Коши имеет решение и это решение представимо в виде интеграла Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве(называемого также гамильтоновым ,или симплектическим интегралом Фейнмана). Интеграл Фейнмана определяется с помощью равенства Парсеваля(это определение^ также другие определения интеграла Фейнмана и связи между ними можно найти в [33]-[31]). Полученный результат является усилением одного из центральных результатов в [33] (там рассматриваются ПДО с ^р и -pq символами , а в диссертации с произвольным т-символом).

Методы исследования

В Диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут найти применение при изучении течений вязкой несжимаемой жидкости.

Апробация диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых учёных и семинарах механико-математического факультета МГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 93 страницы. Список литературы включает 38 названий. Краткое содержание диссертации

1. Accardi L., Gibilisco P., Volovich 1. Yang-Mills Gauge Fields as Harmonic Functions for the Levy Laplacian. Russian Journal of mathematical physics. —1994. —V.2,n.2, — p.235-251.

2. Accardi L., Smolyanov O. G. Semigroups and Harmonic Functions Generated by Levy Laplacians.Doklady Math., —2002. — V.384, —№ 3, — p.295-301.

3. Albeverio S., Belopolskaya Y. Probabilistic approach to hydro-dynamic equations.Proc. Inter. Conf. "Probabilistic Methods in Hydrodynamics", Ed. I. Davies et al., World Scient., Singapore, (2003).

4. Albeverio S., Hoegh-Krohn R. Mathematical theory of Feynman path integrals. Lecture notes in math. Berlin. Springer,1976.

5. Arnold V. I., Khesin B. A. Topological Methods in Hydrodynamics. Applied Mathematical Sciences,V. 125. — New York:Springer-Verlag, 1998.

6. Busnello B., Flandoli F., Romito M. A probabilistic representation for the vorticity of 3D viscous fluid and for general systems of parabolic equations, preprint, http://arxiv.org/abs/math/0306075

7. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions.Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 44. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

8. Driver B. K. A Cameron-Martin type quasi-invariance theorem for Brownian motion on a compact Riemannian manifold. J. Funct. Anal. — 1992. — V.110 , № 2. — p.272-376.

9. Ebin D., Marsden G. Groups of diffeomorphisms and the notion of an incompressible fluid. Ann. of Math. (2) — 1970. — V.92, — p.102-163.

10. Elworthy K. D. Stochastic differential equations on manifolds.London Mathematical Society Lecture Note Series, V.70. —Cambridge-New York: Cambridge University Press, 1982.

11. Foias C., Temam R. Gevrey class regularity for the solutions of the Navier-Stokes equations. J. Funct. Anal. — 1989. —V.87, №2. — p.359-369.

12. Grujic. Z., Kukavica I. Space analyticity for the Navier-Stokes and related equations with initial data in LP. J. Funct. Anal.,—1998.—V.152,n.2, — p.447—466.

13. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, V.24. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

14. Kunita H. Stochastic differential equations and stochastic flows of diffeomorphisms. .École d'été de probabilités de Saint-Flour, XII—1982, p. 143-303, Lecture Notes in Math.,V.1097, Springer, Berlin, 1984.

15. Malliavin P. Stochastic Analysis. Berlin/New York: SpringerVerlag, 1997.

16. Masuda K.On the analyticity and the unique continuation theorem for solutions of the Navier-Stokes equation. Proc. Japan Acad. — 1967. —V.43, — p.827-832.

17. Meyer P. A.Probability and Potentials. Blaisdell Publ. Co., 1965.

18. Migdal A. A. Loop equation and area law in turbulence. Int.J.Mod.Phys. —1994. —A9: — p.1197-1238.

19. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. Berlin/New York: Springer-Verlag, 1995.

20. Rapoport D. Random diffeomorphisms and integration of the classical Navier-Stokes equations. Reports on mathematical physics — 2002. — V.49, № 1. — p. 1-27.

21. Sidorova N. A., Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v., Wittich 0. The Surface Limit of Brownian Motion in Tubular Neighbourhoods of an embedded Riemannian Manifold.submitted to press. 2003

22. Smolyanov 0. G., Weizsaecker H. v. Differentiable families of measures. Journal of Functional Analysis. — 1993. — V.118. — p.454-476.

23. Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v. Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations. Comptes Rendues Acad.Sci. Paris. — 1995. — V.321. — p.103-108.

24. Smolyanov 0. G., Weizsaecker H. v. Formulae with logarithmic derivatives of measures related to the quantization of ifinitedimensional Hamiltonian systems. Russian Mat. Surveys. — 1996. — V.51, —№ 2. — p.357-358.

25. Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v. Smooth probability measures and associated differential operators. Inf.Dim. Anal.Quant.Prob. — 1999. — V.2, —№ 1. — p.51-79.

26. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. M.: Наука, 1965.

27. Благовещенский Ю. Н., Фрейдлин М. И. Некоторые свойства диффузионных процессов зависящих от параметра. ДАН — 1961. —V.138, — р.508-511.

28. Богачёв В. И. Гауссовские меры. М.: Наука. Физматлит, 1997.

29. Го X. Гауссовские меры в банаховых пространствах. М.: Мир, 1979.

30. Икэда II., Ватанабэ С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.-М.:11аука, 1986.

31. Маслов В. П. Комплексные цепи Маркова и интеграл Фей-нмана для нелинейных систем. М.: Наука, 1976.

32. Смоляное О. Г. Гладкие меры на группах пе-тель.ДАН,1995,том 345,по.4,с.455-458

33. Смолянов О. Г'., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы.

34. Смолянов О.Г.,Вайцзеккер Х.ф.,Виттих О.,Сидорова H.A. Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузиями.ДАН —2001. — т.377, — с.441-446.

35. Neklyudov. М. Y. Controllable stochastic dynamical system equivalent to the Navier-Stokes Equation. Russian Journal of Mathematical Physics. — 2005. —V.12, № 2. — p.232-240

36. Неклюдов. M. Ю. Производная меры Винера на траекториях в компактной группы Ли. Мат. заметки, май 2004 г. т. 75, вып. 5, с. 789-792.

37. Неклюдов. М. Ю. О некоторых свойствах оператора Лапласа-Леви. Тезисы международной конференции \'Дифференциальные уравнения и смежные вопросы', посвященной 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2004, 149.

38. Неклюдов. М. Ю. Производная меры Винера на траекториях в компактной группы Ли. Труды XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, 2003 г, с.139-142.