Методы геометрии Лобачевского в некоторых классах нелинейных задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

\ На правах рукописи УДК 514.8, 517.9, 530.1

ПОПОВ Андрей Геннадьевич

МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матеиатических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор <Эйзико-математических наук,

профессор, чл.- корр. РАН С.И.Похожаев

доктор физико-математических наук, профессор Е.И.Моисеев

доктор физико-математических наук, профессор Л.Е.Евтушик

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита состоится "30 " М&Л 1995 г. в И час. на заседании Диссертационного Совета Д 002.40.03 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4, ИПМ им. М.В.Келдыша.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

ИПМ им. М.В.Келдыша.

Автореферат разослан "-2.У" ОиьрМИ 1995 г.

Ученый секретарь ■ Диссертационного Совету,

кандидат физ.- мат. наук

М.П.Галанин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие проблемы современной математической физики естественным образом взаимосвязаны с изучением нелинейных дифференциальных уравнений и их приложений. Наряду с такими известными подходами к исследованию нелинейных задач как метод обратной задачи рассеяния, групповой анализ и др. в последнее время все большую роль и .значение приобретают геометрические методы, возможная реализация которых предполагает "подключение" к анализу нелинейных проблем достаточно сильно развитого геометрического аппарата. Сущность геометрического подхода заключается, как правило, в сопоставлении исследуемой задаче определенного геометрического образа (объекта), анализ которого может быть произведен в рамках сложившейся геометрической методологии. Определяющей при этом оказывается оптимальность выбора геометрической интерпретации, эффективность которого обусловлена потенциалом используемой геометрии. В этом отношении полнота геометрии Лобачевского представляется достаточной для унификации широкого круга задач математической физики.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию геометрических методов исследований в определенных классах нелинейных задач математической физики, основанных на методологии геометрии Лобачевского. В рамках введенного в работе нового геометрического (гауссова) формализма для дифференциальных уравнений в частных производных, связывавдего их со специальными координатными сетями на двумерных гладких многообразиях априорно заданной кривизны, выделяются следующие

три основные направления исследований:

- разработка "сетевых" методов исследования нелинейных уравнений математической физики;

- развитие концепции неевклидовых фазовых пространств (пространств с сингулярностями) для описания эволюции физических явлений, регулируемых изучаемыми уравнениями;

- разработка методологии дискретных координатных сетей на плоскости Лобачевского, с целью создания принципиально новых (геометрических) алгоритмов численного интегрирования дифференциальных уравнений и отвечающих им задач.

Геометрическая база реализуемого подхода тесно связана с проблемой изометрических погружений двумерных гладких многообразий, несущих метрики определенной гауссовой кривизны, в евклидово пространство Е3. Истоки рассматриваемой проблематики восходят к работам Н.И.Лобачевского, К.Гаусса, А.Пуанкаре, Ф.Миндинга, Е.Бельтрами и др. Последующие достижения по реализации метрик отрицательной кривизны в евклидовых пространствах принадлежат, в частности, Д.Гильберту, Н.В.Ефимову, Э.Г.Позняну и др. Наряду с этим, оказывается, что многие нелинейные уравнения современной математической физики (к примеру, уравнение' а(гг-Гордона, Кортевега - де Фриза, Бюргерса, Лиувилля и их модификации) обнаруживают внутреннюю связь с метрической природой двумерных многообразий именно отрицательной кривизны и, следовательно, допускают свое исследование методами геометрии Лобачевского.

Таким образом, актуальность рассматриваемой проблематики обусловлена установленной возможностью конструктивного применения аппарата ■ и методов геометрии Лобачевского и, в

общем, неевклидовой геометрии к исследованию определенного круга нелинейных, задач математической физики.

Цель работы заключается в разработке геометрических методов исследования определенных нелинейных задач математической физики. В работе на базе методологии геометрии Лобачевского рассматриваются задачи геометрической классификации физически важных уравнений и их решений; задачи аналитического и численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, принадлежащих выделенным в работе в- и Л2- классам, в том числе, построения преобразований их нелокальных решений; развивается концепция неевклидовых фазовых пространств, приводящая к выявлению ряда общих закономерностей эволюции изучаемых физических систем.

Методика исследования. Исследование рассматриваемых в диссертации задач проводится на основе системного применения методов геометрии Лобачевского, теории поверхностей, теории сетей, общих методов математической физики и теории разностных схем. При рассмотрении конкретных приложений развиваемого геометрического подхода автор обращается к отдельным разделам теоретической физики (теория фазовых пространств, метода анализа нелинейных волн).

Научная новизна. В работе получило развитие новое направление - исследование методами геометрии Лобачевского нелинейных задач математической физики. Новизну работы определяют следующие результаты, полученные автором:

- Введен новый геометрический (гауссов) формалин для дифференциальных уравнений в частных производных, связывающий их со специальными координатными сетями на двумерных гладких

многообразиях априорно заданной кривизны. Введены понятия (?-класса и Л2-класса дифференциальных уравнений, доказаны теоремы о локальной и возможной нелокальной эквивалентности решений О- и Л2- уравнений.

- Классифицированы координатные сети на плоскости Лобачевского Л2, отвечайте различным модельным уравнениям (в частности, уравнениям типа синус-Гордона, Кортевега - де Фриза, Бюргерса, Лиувшшя и др.). На основе введения "сетевой" интерпретации уравнений, предложены геометрические методы их аналитического и численного интегрирования. На базе сетевого подхода получены обобщения известных Л2-уравнений; выяснен их уточняющий характер для описания соответствующих физических процессов.

- Предложена концепция неевклидовых фазовых пространств (пространств ненулевой кривизны), на основе принципа тождественности метрики, порождающей модельное уравнение, и метрики фазового пространства. Сформулированы общие эволюционные принципы развития физических систем, описываемых в-и Л2- уравнениями. В частности, геометрически обнаружен эффект гмс-инваринтности в явлениях, описываемых уравнением з(п-Гордона; рассмотрены ' его проявления-' 'при динамики блоховских стенок в ферромагнетиках, дислокациях в кристаллах, распространении ультракоротких импульсов в резонансных средах и др. Предложены геометрические алгоритмы идентификации нелинейных бегущих волн по отвечающим им областям на плоскости Лобачевского.

- Введено понятие дискретных координатных сетей на плоскости Лобачевского Л2, на основе которых разработаны

геометрические алгоритмы численного интегрирования Л2-уравнений. Проведено моделирование дискретной ромбической чебышевской сети на плоскости Л2 и разработаны связанные с ним алгоритмы интегрирования уравнения з{п-Гордона.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Разработанные в работе методы и полученные результаты формируют основу для систематического их применения при исследованиях различных нелинейных задач математической физики, теории поверхностей, теории сетей; задач геометрической интерпретации физических явлений. Полученные результаты могут быть использованы в качестве опорных еж тестовых при рассмотрении обобщающих задач (в частности, на многомерный случай). Результаты работы могут быть использованы при создании специальных курсов по геометрическим методам исследования проблем математической физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах, научных семинарах:

на 1-ом Европейском математическом конгрессе (Париж, Франция, 1992 г.), Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992 г.), XXI конференции по прикладной математике (Закопане, Польша, 1992 г.), 2-ом Гаусс-Симпозиуме (Мюнхен, ФРГ, 1993 г.), Симпозиуме по сингулярностям и дифференциальным уравнениям (Варшава, Польша, 1993 г.), Всесоюзном совещании молодых ученых по дифференциальной геометрии (Абрау-Дюрсо, 1990 г.), Ломоносовских чтениях (МГУ, Москва, 1994 г.), Международном математическом конгрессе (Цюрих, Швейцария, 1994 г.), на Всерос-

сийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам геометрии и анализа (Абрау-Дюрсо, 1994 г.), Чебышевских чтениях (МГУ, Москва, 1994 г.); на Ученых Советах физического факультета ',ТУ (1992 г.) и математического факультета МПГУ (1992 г.); на научных семинарах в МГУ: по геометрии "в целом" (1989 - 1994 гг., руководитель проф.Э.Г.Позняк), кафедры математики физического факультета (1990 - 1994 гг., руководители проф.А.Г.Свешников, проф.В.Ф.Бутузов), кафедры общей математики ..факультета ВМ и К (1993 г., руководитель, акад. В.А.Ильин), кафедры теоретической физики физического факультета МГУ (1993 г..руководитель проф.Д.Д.Иваненко); на научных семинарах в ИПМ им. М.В.Келдыша (руководитель проф. Ю.П.Попов, 1994 г.; руководитель чл.-корр. С.П.Курдюмов, 1995 г.) и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 21].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Работа изложена на 181 стр., содержит 15 рисунков и I таблицу. Список цитированной литературы содержит 129 наименований.

СОДЕРХАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, содержится постановка задач исследования и отмечается их специфика. Дается обзор современного состояния изучаемых проблем. Обосновывается необходимость систематического развития геометрической базы для исследования поставленных задач.

В главе I "Некоторые вопросы геометрии Лобачевского и теории изометрических погружений и их приложения" в контексте обозначенной проблематики дается введение в отдельные разделы геометрии Лобачевского (гиперболической геометрии) и в связи с вопросом ее возможной реализации подчеркивается центральность проблемы регулярных изометрических погружений двумерных римановых многообразий У2 отрицательной кривизны в трехмерное евклидово пространство Е3. Указанная проблема непосредственно связана с анализом основных уравнений теории поверхностей, обнаруживающих родственность с рядом нелинейных уравнений современной математической физики. В целом, гл.1 носит вспомогательный характер для изложения основного материала диссертации.

В § I.I излагаются ключевые понятия двумерной геометрии Лобачевского и обсуждаются ее возможные модельные представления з интерпретациях Кели-Клейна и Пуанкаре. Указанные интерпретации плоскости Л2.имеющие общую методологическую значимость для реализации развиваемого в работе геометрического подхода, непосредственно используются в гл.З при изучении ряда физических явлений.

В 5 1.2 рассматривается задача изометрического погружения области B{x,t) с д2 с имеющейся в ней метрикой ds2 в

трехмерное евклидово пространство Е3:

taom „ D -- Иг ,

реализующейся в Е3 в качестве поверхности S с гауссовой кривизной К.

Задача нахождения соответствующего погружения связана с интегрированием основных уравнений теории поверхностей:

уравнений Петерсона-Кодацци и Гаусса, системы в римановых инвариантах (системы Рождественского - Позняка), структурных уравнений поверхностей в терминах внешних форм Картана, приводимых в настоящем параграфе в адаптированной для последующих исследований форме. В заключительной части параграфа указывается на возможное качественное совпадение структурных уравнений поверхности в Е3 с некоторыми основными соотношениями метода обратной задачи рассеяния.

В § 1.3 отмечаются характеристические геометрические свойства трех типов двумерных координатных сетей: полугеодезической, изотермической, чебшпевской. Во второй части параграфа получены внутригеометрические соотношения для символов Кристоффеля (величин, идентифицирующих координатные сети).

В главе 2 "Геометрия Лобачевского и уравнения математической физики. Гауссов формализм." предлагается геометрический подход к интерпретации дифференциальных уравнений в частных производных, позволявший их связать со специальными координатными сетями на двумерных гладких многообразиях априорно заданной кришзны. Вводятся понятия Л2-класса (класса Лобачевского) и б-класса (класса Гаусса) уравнений, допускающих предлагаемую интерпретацию. Значимость реализуемого подхода обусловлена, прежде всего, открывающейся возможностью приложения методов неевклидовой геометрии и, в первую очередь, геометрии Лобачевского к исследованию как нелинейных уравнений, так и описываемых ими физических систем. К центральным объектам исследования относятся, в частности, уравнения типа синус-Гордона, Кортевега - де Фриза, Бюргерса,

Лиувилля и др. и их модификации, порождаемые координатными сетями именно на плоскости Лобачевского А2.

В 5 2.1 предлагается геометрическая интерпретация нелинейных уравнений, составляющая ядро развиваемого в работе гауссова формализма. Общая схема реализуемой "сетевой" интерпретации состоит в следующем.

Рассмотрим на плоскости параметров 1?{хЛ) дифференциальную квадратичную форму:

йз2 = Е (Зх2 + 2 1? йхШ; + й си2, (I)

коэффициенты

Е = Е1и(х^)], Р= Р1и(х^)1, й = Ыи(х,г)], (2)

которой известным образом зависят от некоторой неизвестной функций и(х^) и ее производных. Обратимся к формуле Гаусса для вычисления кривизны К формы (I):

К =--Ц- бег

4П2

Т. Е Е.

X t

р к

х ъ

в в

, г , Е.- Е , Е - С. 1

2_ ) д t X д_ X t I

ш1/г I аг я1/г ах чиг У

(3)

Е+- ? _ р - б.

t X д_

I ах У1/г ах

где Я = Ж - Е2.

Правая часть соотношения (3) представляет собой известное выражение для кривизны К через коэффициенты Е, Т, й и их производные (до второго порядка включительно). Если считать кривизну априори заданной функцией параметров (х,?): К = К(хЛ), то соотношение (3) можно интерпретировать как дифференциальное уравнение для функции и(х,г)г

%1и(хЛ)1= О. (4)

Таким образом, дифференциальная форма (I) с заданной кривизной К(х^) порождает уравнение (4) для неизвестной функции и(х^). Отметим, что если и(х,1) - решение уравнения (4), то форма (I) определяет в плоскости параметров ) метрику

с линейным элементом (I) и заданной кривизной К(хЛ ) .

Поясним процедуру порождения уравнения двумерной метрикой (или соответственно координатной сетью на М2) на следующих примерах.

1) Рассмотрим

аз2 = ах2 + 2 сози(х^) бхаг + аг2 , (5)

здесь Е = 1, Е = сози(х^) , в = 1 . Вычисляя кривизну К(х^) формы (5), приходам к уравнению

и = - К(хЛ) з1п и(хЛ) , (6)

вяервые полученному П.Л.Чебшевым при исследовании специальных сетей линий (теперь называемых чебышевскими) на поверхностях в Е3 . Отметим, что если и(х^) - решение уравнения (6), то геометрически и(хЛ) - сетевой угол чебышевской сети (сети, в каждом координатном четырехугольнике которой противоположные стороны равны). При 1= - 1 (кривизна плоскости Лобачевского Л2 ) уравнение Чебышева (6) переходит в известное уравнение з(п-Гордона

и . = э1п и(х,г) (?)

XX

- уравнение, порождаемое чебышевской сетью на плоскости Л2.

2) Выберем метрику

йзг = + гц(щг/2 + т]3)(1хШ: +

[2

три^ + (щг/2 + г\3) V = ccnзí (8)

2

здесь: Е = г\2, ? - г\(1щ2/2 + г/3), & - т]2иг + (т?л2/2 + т/3) .

Считая К = - 1 (плоскость Л2), получаем ,в соответствие с формулой Гаусса (3), следующее уравнение

и. = 3/2 и2и + и (9)

х з ггг

Таким образом, модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза (МКдФ) (9) также определяется собственной координатной сетью на плоскости Лобачевского. Такую сеть естественно назвать МКдФ-сетью.

3) Для метрики

и

йз2 = (От2 + сЛ2) , (10)

2

еи

где Е = , Я = о, С = , получаем при К = - 1 2 2

уравнение

- эллиптическое уравнение Лиувилля. Если и(х^) - р-ешение уравнения (II), то на плоскости Лобачевского А2 возникает сеть Т(х^) (сеть Лиувилля) с линейным элементом (10).

Уравнения, порождаемые указанным выше образом координатными сетями на плоскости Лобачевского,будем называть уравнениями.. Уравнения, порождаемые метриками произвольной гауссовой кривизны К(х^) , будем называть (7- уравнениями..

Принадлежность уравнений Л2-классу предполагает их общую внутригеометрическую природу, проявляющуюся в локальной эквивалентности решений Л2-уравнений. В § 2.2 доказываются теоремы о преобразовании локальных, реиений Л2-уразнений. В

частности:-

Теорема I. Пусть два различны? аналитических дифференциальных уравнения принадлежат А2-классу. Тогда по локалънолу аналитическолу решению одного из них всегда ложно построить локальное аналитическое решение другого, и наоборот.

В случае, когда одно из Л2-уравнений в теореме I является уравнением э1п-Гордона, содержание этой теоремы конкретизируется в теореме 2.

Теорема 2. Пусть некоторое аналитическое уравнение типа (4) принадлежит Л2-классу. Тогда по люболу локальнолу аналитическолу решению и(х,Х) этого уравнения всегда ложно

«V «V

построить локальное аналитическое решение уравнения

з1п-Тордона

= з1п г(х,1)

xt

, 2 = г(х,г)

по форлуле

созг =

дАд1±

дХ дИ

Е1и(х,гЛ +

д/, дГ2 | д/1 д/2

. дХ дХ д? дХ

+ —2 —£ дХ д1

Е1и(х,г)1 +

(12)

гае Е, С - коэффициенты, псевдосферической летрики,

(летрики кривизны. К = - 1 ], порождающей уравнение (4). При этол функции /2 иг (12) удовлетворят систеле

д2/1 , г1 д1& = о ,

дХдХ

дХ 3?

+ = 0 • «*■ Р = 1 ' 2> '

дха1 ах <5?

гс1е Га|3' Га£ ~ силе,олы Кристоффеля псевдосферической летрики, порохдосяцей Л2-уравнение (4) и записанной в переленчых

В заключении параграфа обсуждается возможность использования рассматриваемого геометрического подхода для нахождения преобразований нелокальных решений Л^-уравнений и приводятся геометрические критерии корректности реализации соответствующих численных алгоритмов.

В § 2.3 получено общее уравнение Гаусса ((7-уравнение)

типа (4) третьего порядка, порождаемое метрикой первого порядка:

- 4 ^Я = V а, и, , + Та и и , (13)

Ы к,I тп,рс} т ,п

а*

(где и. , = -г—г- ), сопровождаемое таблицами коэффициентов а. ,[£,?,(?], а [Е,Р,03 как функций порождающей

л I ТПТХ у р С}

метрики. Уравнение (13) включает в себя такие известные уравнения как уравнения типа синус-Гордона, Кортёвега - де Фриза, Бюргерса, Лиувилля и др.

Во второй части параграфа изложена общая методика получения рассматриваемой геометрической (сетевой) интерпретации для уравнений в частных производных, которая подробно иллюстрируется на примере уравнения Бюргерса.

В § 2.4 получено описание семейства С-уравнений, порождаемых ортогональными координатными сетями (метрика: сЗз2 =

- Е бх2 + в (И2). В частности, выделены следующие типичные (7-уравнения:

(14)

"Л

А и = - Е 1 | ^ е2^ - 4 е~2г^ | . их= - = ~ К [ С1Сг 003 ^ и) -

- (С^ - с|) а1тг щ соз тти

(15)

Указаны значения входящих в уравнения (14), (15) параметров, при которых они редуцируются к известным модельным уравнениям математической физики. (Т-уравнения иного вида, связанные с ортогональными сетями, будут приведены в общем перечне уравнений в § 2.6.

Использование ортогональных координатных сетей как порождающих оказывается в ряде случаев эффективным для нахождения сетевыми методами преобразований нелокальных решений Л2-ураЕнений. В 5 2.5 такие возможности продемонстрированы на конкретных примерах, когда в качестве опорной координатной сети выбирается полугеодезическая сеть, ассоциированная с псевдосферической метрикой

= у2(.т)ах2 + ат2 , К(х,г) ® -1, (16) порождающей обыкновенное дифференциальное уравнение

у%% - у = о , у = у(1). (17)

Предложенная общая интегральная замена

г 6.1

го(х,Ц = х, v(x,t) = - , (18)

-I У(1)

отвечающая трансформации полугеодезической сети, переводит

последнюю в изотермическую сеть (см. (10), (И)) при условии, что V и ш являются гармоническими. Это позволяет построить решения и(д:Д) уравнений типа Лиувилля:

и(х^) = 2 у2(\(х,г)) (VI + V?)

(19)

В частности, уточнение формулы (19) для случая уравнения (II) приводит к формулам:

и(:г, и = 1п

2 (и2 + V2)

X I

и(х,г) = 1п

2(ь2 + V2)

зЬ2и

и(х^) = 1п

^ + Ф

зin2v

(20)

В параграфе также строятся решения уравнения Аги = е , уравнения з(п-Гордона и приводятся семейства точных решений многомерного уравнения Дпи = еи . Обсуждаются следствия полученных результатов для интерпретации задач теории горения и проблемы выявления центрально-симметричных метрик постоянной кривизны.

§ 2.6 содержит итоговый перечень порождающих метрик для ряда известных нелинейных уравнений математической физики, полученный в соответствии с предлагаемой методикой.

I. Уравнение Чебышева (обобщенное уравнение з(п-Гордона):

и = — К(х,г) з1т(хЛ) ,

XX

порождающая метрика:

бз2 = <±г + 2сози(хЛ)ахйг + д.12 . (чебышевская сеть).

II. Уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ):

и. = и +6 и и + и

XX X XXX

порождающая метрика:

да2 = £(ч-и)2 + т^аг2 + 2^(1 -и) (— и__т г)и„- г)2и-2и2+г)2+2и)+

+ Г)(Т]'+ 2Т)и - ги^йпзг + + - Т\2и -2и2 + Т?2 +2и)2+

+ Ср3 + гщ - ги^)2^2 , Г) = согсзг. (йэф - сеть)

III. Модифицированное уравнение Нсртевега - де Фриза: и. = ( 1 + К(х^) + 6 и2 )и + и

X . . — Х37Х

порождающая метрика:

йа2 = г\20з? + .2т)Сщ2/2 + г]3)агхИ +

2

+ ^т)2и2 + (~ци2/2 + Г}3) 7) = сопзГ. (ЖЭФ - сеть)

II. Уравнение Бюргерса

и4 = ( 1 + К(х^) + и )и_ + и .

порождающая метрика:

Оэ2 = (и2/4 + т)2)(1г2 + 2 [сп2и)/2 + (и/4)(.иг/2 + иг)]<±ий +

+ |\и2/4 + их /2)2 +(Г12/4)и2]а:2 . (Сеть Бюргерса) У. Обобщенное уравнение Лиувилля:

a) эллиптическое: А2и = - К(х,Х) еи

<3е2 = —- («Зг2 + йг2) . (эллиптическая сеть Лиувилля)

b) гиперболическое: и = -К(аеи

йз2 = (и2 + т)2)«!!2 + Рг} е^йхсИ + е2"^2 .

{гиперболическая сеть Лиувилля)

П. Сообщенное уравнение sft-Гордона:

a) эллиптическое: A.u = - K(x,t) зШ

сÎ32 = chz(v/2)&i? + shz(v/2)dtz .

b) гиперболическое: uxt = - K(x,t) shu .

ds2 = (u2 + 7f)dj? + 2r\ chu, dxdt + сh2u ât2.

YII. Обобщенное уравнение, порождаемое полугесдезической метрикой:

УХЯ + K(x,t) у(х) = 0 , у = у(х) .

В главе 3 "Неевклидовы фазовые пространства. Геометрические методы идентификации нелинейных бегущгх вслн." рассматриваются приложения в физике введенного в гл.2 геометрического подхода (гауссова формализма). В первой части главы предлагается концепция неевклидовых фазовых пространств - нелинейных аналогов фазовых пространств в классической механике, статистической физике и т.д. В основу концепции положен принцип тождественности метрики фазового пространства и метрики, порождающей модельные G- или Л2-уравнения, описываздие исследуемый физический процесс. Нетризиальность кривизны неевклидовых фазовых пространств пргводит к возникновению в них сингулярностей, детерминирующих поведение регулярных фазовых траекторий, что позволяет сформулировать общие принципы эеолюции физических систем, описываемых С— и Лг-ураЕнениями. Рассматриваются конкретные проявления сформулированных эволюционных принципов на примере ряда физических явлений. Во второй части главы предлагается геометрический метод идентификации нелинейных бегущих вс_~ -

решений Л2-уравнений, основанный на построении на плоскости Лобачевского специальных областей, отвечающих физически различным типам бегущих волн.

В § 3.1 обсуждается общая концепция фазовых пространств и формулируются ключевые положения для рассматриваемого неевклидового случая:

1) принцип тождественности метрики (йзфазового пространства Ф(йз2) и метрики, порождающей уравнение, описывающее исследуемый физический процесс П ,

2) принцип регулярности фазовой траектории.

Если физический процесс П описывается некоторым в-уравнением типа (4):

П: д[и] = о , (21)

порождаемым метрикой

(йз\) -► | Э|[и] = О } , (22)

то для описания системы (21), (22) выбирается фазовое пространство Ф с метрикой №2; :

П: Ф = §(йа\) . (23)

Возникающие в пространстве Ф = Ф(йз2) сингулярности, определяемые условием Я = ЕС - I2 = о .детерминируют поведение в нем регулярных фазовых траекторий, что регламентирует характер протекания соответствующих физических процессов. Полученная в гл.2 сетевая интерпретация модельных уравнений математической физики позволяет выявить соответствующие сингулярности пространств Ф(йз\).

В 5 3.2 формулируется общий эволюционный принцип для физических систем, регулируемых ^-уравнениями. Обсуждаются

свойства "наблюдаемых" величин и и их отличие от собственно аналитических решений u(x,t) модельных (/-уравнений. Устанавливаются инвариантные состояний физической системы, характеризуемые минимальными потерями энергии; приведен перечень таких состояний для ряда известных нелинейных уравнений.

Принцип I Пусть некоторый физический процесс П описывается G-уравнениел типа (4), порождаема летрикой (I). Тогда процесс П будет протекать по однолу из следущих двух возлохных направлений:

1. Если в начальный лолент врелени t=tQ выполняется условие

(EG - F2)] =0, 1*=*о

то оно будет выполняться и во все последующие лолент врелени: П: EG - F2 = О, í € [tQ, со).

2. Если же в начальный лолент врелени t=tQ:

(EG -F2)I ф О,

Mo

то с течениел врелени физическая систела стабилизируется к состоянью

П: (EG - F2) -> О , при t - оо .

Состояние системы, отвечающее п.1 принципа I, будем называть инвариантным состоянием системы, такое состояние отвечает сингулярностям фазового пространства:

inv | П, 2f[u]=o | ~ erg | Ф(dal), g[u]=О | ~ В таблице I приведены инвариантные состояния физических

сгстем, описываемых известными нелинейными уравнениями. Таблица I.

С—уравнения и инвариантные состояния физических систем.

Г ! Уравнение Инвариантное состояние физической системы

I. Уравнение sín-Гордона

и ¡ = sin и XI и*=п% ,-.п -целое

2. Уравнение Кортевега-де Фриза

и. + 6и и + и = О i X III * и = 0 X

3. Модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза

и. + 6и2 и + и = 0 o i« 2 7 уС U* = 0 X

4. Уравнение Бюргерса

и. + и и + и =0 t X ¡rx U* = 0 X

5. Гиперболическое уравнение

Лиувилля u = еи и* = 0

st X

6. Эллиптическое уравнение

Лиувилля Дц = еи * U - - оо

7. Гиперболическое уравнение

ah-Гордона u„t = ah и * U =0 X

8. Эллиптическое уравнение

ah-Гордона Аи = ah и * U =0

В § 3.3 содержат^ принципа I конкретизируется для случая уравнения э(п-Гордона, имеющего содержательные приложе-

ния в физике.

Пришил 2. Пусть величина и , задащая некоторый физический процесс, удовлетворяет уравнению з1п-Гордона. Тогда:

1. Значения и* = пх (п-целое) являются инвариантали этого физического процесса.

2. Если в некоторый лолент врелени и* ф ши (п-целое), то с течениел врелени наблюдаелая величина и* асилптотически лонотонно стрелится к значению, крашолу х, так, что ее изленение д течение всего процесса будет ленъшил х.

В реальном физическом процессе, согласно п.1 принципа I, величина и* может принимать значение пх только в том случае, когда и* тождественно равна пи; в течение всего процесса (состояние га-инвариантности).

В известных явлениях состояние тис-инвариантности выражается в следующих закономерностях: I) Эффект- самоиндуцированной прозрачности, проявляющийся при распространении ультракоротких импульсов в двухуровневых резонансных средах (прохождение сквозь среду без потерь энергии импульсов, площадь которых кратна тс); 2) Равновесные положения атомов в кристаллических,решетках; 3) Вакуумные состояния мезонов;

4) Топологически инвариантные состояния элементарных частиц;

5) Устойчивые состояния ориентации вектора намагниченности по внешнему магнитному полю в ферромагнетиках. В целом, состояние шс-инвариангности реализует собой устойчивое равновесное состояние физической системы.

Проявление принципа 2 детально анализируется в этом параграфе Е2 примерах динамики блоховских стенок в ферромагве-

тиках, дислокаций в кристаллах, распространения ультракоротких импульсов в двухуровневой резонансной среде.

В 5 3.4 геометрически исследованы решения типа бегущих волн идг = и (ах +Ы) уравнения з(п-Гордона, для случая которых рассматривается задача об изометрическом отображении

Го о 1зот . 0 0

рСгД), -. С4зот(Л2,из?) с л2

плоскости параметров Е2^,?) (области определения решений и с имеющейся на ней метрикой (5) на характерные

для каждого и^ области плоскости Лобачевского Л2, которые будем обозначать В1зот(Аг ,из1;). Получаемые при этом на Л2 области, вообще говоря, могут быть многократное число раз накрываемыми (многолистными). Последующее погружение таких областей в пространство Е3 будет реализовывать их в качестве универсальных накрывающих и псевдосферических поверхностей.

Дана классификация областей В1зот(Аг,и для трех возможных типов решений ц ^ уравнения з(гс-Гордона: солитонного, магнитного, электрического. Солитонному решению отвечает на Л2 область, ограниченная эквидистантой и геодезической, предельно переходящая в орикруг. Решениям магнитного и электрического типов соответственно отвечают эквидистантная полоса и область, заключенная между двумя окружностями на Л2. Полученный перечень областей может быть, к примеру, эффективно использован для выявления солитонных решений, т.к. при этом не требуется наличия композиционного решения рассматриваемого уравнения, асимптотику^ которого необходимо исследовать.

В главе 4 "Дискретные координатные сети на плоскости Лобачевского. Геометрические методы интегрирования уравнений

типа з(п-Гордона." на основе разработки методологии дискретных координатных сетей на плоскости Лобачевского предложен новый (геометрический) подход к числейному интегрированию Л2-уравненн2. Реализация такого подхода связана исключительно с планиметрическим анализом (в гиперболической геометрии) рассматриваемых на плоскости Л2 кусочно-геодезических дискретных сетей, предельно переходящих в гладкую координатную сеть, порождающую изучаемое Л2-уравнение. Искомое решение рассматриваемой задачи вычисляется., как соответствующая характеристика предельной сети. Реализация метода проводится на примере уравнения з(п-Гордона, при разработки алгоритма численного интегрирования которого исследуется дискретная ромбическая чебышевская сеть на плоскости Л2.

В § 4.1 излагается общая схема реализации методики численного интегрирования Л2-уравнений посредством моделирования дискретных сетей на плоскости Л2. Одним из основных шагов является осуществление перехода от порождающей Л2-уравнение гладкой сети Т(.г,О к ее дискретному аналогу 2** , сохраняющему ключевые сетевые характеристики. Последующее построение приближенного решения опирается исключительно на внутригеометричесжие соотношения на гиперболической плоскости.

В § 4.2 моделируется дискретная ромбическая чебышевская сеть Та(а) на плоскости Л2 - сеть, состоящая из ромбов Дт-пГа; со стороной а (стороны ромбов представляют собой отрезки геодезических на Л2). Поставленная задача Дарбу для уравнения з{гс-Гордона переформулируется в терминах дискретной сети:

"т., О

"0,п

= ф(Ш) , = ф(па) ,

"о,о

= <р(0) = ф(0) .

Расчет дискретной ромбической чебышевской сети ^(а), проводимый в § 4.3 , приводит к основному рекуррентному

соотношению для сетевого угла (т+1,п+1)—ом узле:

т+1 , п+1

сети

^(а)

ТО.+ 1 , п+1

2% - (г + 2 0 , + 2 П

т, п т+ 1 ,тг т, п+1

(24)

где П = -ш + (-1) агсз1п

771, П

СОЗ(2 /2) тп., п

(1 + э?гга з£гс2(г/2))1 /г

В § 4.4 устанавливается 2-ой порядок аппроксимации разностной задачи (24) и доказывается ее устойчивость, что означает сходимость геометрически моделируемой последовательности пГа;| к решению исследуемой задачи Дарбу при а —» о. Геометрически сходимость отвечает сглаживанию дискретной сети.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

I. Введен новый геометрический (гауссов) формализм для дифференциальных уравнений в частных производных, связывающий их со специальными координатньам сетями на двумерных гладких многообразиях Мг априорно заданной кривизны. Введены понятия С-класса и Л2-класса^ дифференциальных уравнений, доказаны теоремы о локальной и возможной нелокальной эквивалентности

решений С- и А2- уравнений.

2. Классифицированы координатные сети на плоскости Лобачевского л2, отвечающие различным уравнениям (в частности, уравнениям синус-Гордона, Кортевега - де Фриза, Бюргерса, Лиувилля и др.). Исследованы задачи о взаимотрансформации "в целом" определенных порождающих сетей (чебышевских, изотермических, полугеодезических) , что позволило предложить геометрические методы построения точных нелокальных решений для' ряда физически важных уравнений (в частности, уравнений типа Лиувилля, синус-Гордона).

3. Предложена концепция неевклидовых фазовых пространств (пространств ненулевой кривизны), на основе которой сформулированы общие эволюционные принципы развития физических систем, описываемых й- и Л2- уравнениями. Геометрически обнаружен эффект шс-инваринтности в явлениях, описываемых уравнениями типа а(п-Гордона; рассмотрено его проявление при динамике блоховских стенок в ферромагнетиках, дислокациях в кристаллах, распространении ультракоротких импульсов в резонансных средах и др.

4. Предложена общая методология пч. приложению гауссова формализма к исследованию уравнений математической физики (в том числе, для специальных типов эволюционных, гиперболических и эллиптических уравнений). На осноЕе "сетевого" подхода получены обобщения известных Л2-уравнений; выяснен их уточняющий характер для описания физических процессов.

5. Введено понятие дискретных координатных сетей на плоскости Лобачевского А2 с целью разработки новых

(геометрических) алгоритмов численного интегрирования Л2-уравнений и их модифиакций. Детально разработан алгоритм интегрирования уравнений типа з(п-Гордона на основе проведенного моделирования дискретной ромбической чебышевской сети на плоскости Лобачевского.

6. Предложены геометрические алгоритмы идентификации нелинейных бегущих волн в соответствии с полученным перечнем отвечающих им характерных областей на плоскости Лобачевского.

Автор считает своим долгом почтить светлую память учителя профессора Эдуарда Генриховича Позняка.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Попов А.Г. Геометрический подход к интерпретации решений уравнения эт-Гордона // Доклады АН СССР. - 1990. - Т.312 N.5.- С.1109-1111.

2. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачевского и уравне ния математической физики // Доклады АН - 1993. - Т.332, N.4 - С.418-421.

3. Попов А.Г. Точные формулы построения решений уравнения Лиувилля Ли = ехр(и) по решения},1 уравнения Лапласа Ду=0 // Доклады АН. - 1993 - Т.333, N.4. - С.440-441.

4. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия уравнения з1п-Гордона/ Итоги науки и техники (ВИНИТИ). Проблемы геометрии. -1991. - Т.23. - С.99-130.

5. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Неевклидова геометрия: формула Гаусса и интерпретация дифференциальных уравнений в частных производных // Итоги науки и техники (ВИНИТИ). Тематически обзоры. Геометрия-2. - 1994. - С.5-24.

6. Попов А.Г. О преобразовании локальных решений уравнений, связанных с геометрией поверхностей // Изв.высш.учебн.завед.

Математика. - 1994. - Т I. - C.I-IO.

7. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачевского и физика// Изв.высш.учебн.завед. Математика. - 1994. - Т 3.- С.7-13.

8. Позняк Э.Г., Попов А.Г. Уравнение синус-Гордона: геометрия и физика. - М., Знание, 1991, 48 е..

9. Попов А.Г. Полная геометрическая интерпретация односолитонного решения произвольной амплитуды уравнения sin-Гордона // Вестник Моск. ун-та. Математика, механика. - 1990. - Т 5.- С.3-8.

Ю.Попов А. Г. Построение некоторых автомодельных решений

основных уравнений теории поверхностей постоянной

отрицательной кривизны // Вестник Моск.ун-та. Математика,

механика. - 1986. - N 5. - С.74-78.

11.Попов А.Г. Аналог фазового пространства для уравнения sin-Гордона // Вестник Моск.ун-та. Физика, астрономия.- 1959.-Г.ЗО, N.4. - 0.19-22.

12.Попов А.Г. Фазовые пространства ненулевой кривизны и эволюция физических систем // Вестник Моск.ун-та. Физика, астрономия. 1993. - Т.34, N.6. - С.7-13.

13.Popov A.G. The Non-Euclidean geometry and differential equations // Banach Center Publication. Symposium on Singularities and Differential Equation. - 1995. V.33- P.84-93.

14.Позняк Э.Г., Попов А.Г. О методах геометрии Лобачевского в некоторых нелинейных задачах // В сб.: Неевклидовы пространства и новые проблемы физики. - М.,"Белка", 1993. - С.16-18.

15.Позняк Э.Г., Попов А.Г. Геометрия Лобачевского и физика // Тез.докл., часть II. Международная конф. "Лобачевский и современная геометрия" (18-22 августа, 1992, Казань). С.48.

16.Попов А.Г. Чебышевская сеть как геометрический инвариант для эволюционных уравнений // Тез. докл. Всесоюзн. совещ.по дифференциальной геометрии, посвящ. 80-летию Н.В.Ефимова

[23 сент.- 5 скт., 1990, Абрау-Дюрсо), С.85.

17.Popov A.G. On the transformation of evolution equations solutions // The First European Congress of Mathematics. (¿-1С

Juillet 1992, Paris, France). Abstracts. P.72.

'8.Popov A.G. Gauss equation f:r the surface curvature as t generalised, differential equation // 2-nd Gauss Symposiu (2-"August, 1993, Munchen, Germany). Abstract Book. P.24.

19.Pop:v A.G. The Gaussian formalism for the partial ¿life rer.:ial equations // Proceedings of the International Congress of Mathematicians (1994, Zurich, Switzerland). P.17

20.Борцова Т.В., Попов А.Г. Дискретные чебышевские сети численное интегрирование уравнений типа sin-Гордона // Тез Док.-.. Всероссийской школы-коллоквиума по стохастическим методам геометрии й анализа. (25 сент. - 2 окт., 1994, АСрзу-Дюрсо) , С.17-18.

21.Попсз А.Г. Геометрический метод точного интегрирования эллиптического уравнения Лиувилля // Вестник Моск.ун-та. Математика, механика. - 1995. - N 3. - С.82-84.

\