Л2-представления уравнений математической физики и их некоторые приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

Глава I А2- представление уравнений математической физики.

§1.1 Понятие А2 - представления, А2 - класса.

1.1.1 Определения.

1.1.2 Примеры А2 - представлений.

§1.2 Методы построения А2-представлений.

1.2.1 Метод выделения независимых переменных.

1.2.2 Решение системы структурных уравнений поверхности в Я3 как способ построения А2 - представлений.

1.2.3 Локальные преобразования координат. Получение общего вида метрики гауссовой кривизны К = -1.

Глава П Некоторые приложения А2 - представлений связанные с внутренней геометрией поверхности.

§2.1 Локальные преобразования Бэклунда для решений уравнения Лапласа и эллиптического уравнени Лиувилля 2.1.1 Преобразования Бэклунда для решений эллиптического уравнения Лиувилля.

2.1.2 Общее локальное решение обобщенного эллиптического уравнения Лиувилля.

§2.2 Представление нулевой кривизны.

§2.3 Построение представления нулевой кривизны по А2представленшо для произвольного уравнения из А2-класса.

§2.4 Кинематическая интегрируемость уравнений, принадлежащих

А2 - классу. Проблема введения спектрального параметра.

2.4.1 Наследование спектрального параметра Л из А2представления.

2.4.2 Введение спектрального параметра, использующее локальные симметрии уравнения.

2.4.3 Общая схема постановки спектрально-эволюционной задачи.

2.4.4 Реализация общей схемы постановки спектрально-эволюционной задачи для уравнения ^ш-Гордона.

§2.5 Постановка спектрально-эволюционной задачи по Л2-представлению, использующая обращение формул Сасаки.

2.5.1 Формулы Сасаки, связывающие 1-формы с операторами модифицированного вида задачи Захарова-Шабата.

2.5.2 Общее обращение формул Сасаки. Возможные классы уравнений.

2.5.3 Реализация общей схемы для уравнений Бюргерса,

МКс1У-тиш и ряда других.

2.5.4 Примеры эволюционных уравнений, допускающих обращение формул Сасаки.

§2.6 Дифференциально-геометрическая классификация кинематически интегрируемых уравнений.

Глава Ш А2 - представление уравнения ят-Гордона в задаче о погружении чебышевских метрик в Е3.

§3.1 Геометрическая интерпретация решений типа бегущих волн уравнения Бт-Гордона.

3.1.1 Решения типа бегущих волн уравнения Бш-Гордона.

3.1.2 Геометрическая интерпретация решений уравнения Бш-Гордона. Постановка задачи об изометрическом погружении определенных областей на А2 в Е3.

3.1.3 Интегрирование деривационных формул. Радиус-вектор поверхностей.

§3.2 Псевдосферические поверхности, отвечающие решениям типа бегущих волн уравнения эт-Гордона.

§3.3 Преобразования Бэклунда для псевдосферических поверхностей. Радиус-вектор двусолитонной поверхности.

3.3.1. Преобразования Бэклунда для псевдосферических поверхностей.

3.3.2. Построение поверхности, отвечающей двусолитонному решению уравнения эт-Гордона.

§3.4 Общие замечания и перспективы развития.

Современное развитие методов математической физики в значительной степени обусловлено интересом к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений. Формализация нелинейных эффектов, направленная на уточнение физической модели исследуемого процесса, приводит к появлению нелинейных дифференциальных уравнений, которые наиболее полно описывают природу физических явлений. Не умаляя достоинств широкого спектра методов линеаризаций, точные методы исследования нелинейностей, такие как метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1],[2],[21], преобразования Бэклунда (ПБ) [3], исследование локальных симметрии групповыми методами [4], общая теория солитонов [2],[5],[6] и другие, становятся не только аналитически более содержательными, но и, в ряде случаев, единственными инструментами анализа.

К сожалению, единой теории нелинейных дифференциальных уравнений построить не удается, что, в первую очередь, вызвано отсутствием каких-либо общих инвариантных свойств исследуемых уравнений. Указанный выше далеко не полный перечень применяемых методик носит, хотя и универсальный, все же неизбежно частный характер. Анализ модельных нелинейностей, помимо всего прочего, осложняется крайне неформализованными алгоритмами постановок соответствующих задач. Так, например, для реализации метода обратной задачи рассеяния требуется определить представление нулевой кривизны 17, V исследуемого уравнения, что является нетривиальной задачей, решение которой основано на удачном выборе одного из матричных операторов ГУ или V. В этой связи, наибольший интерес современных исследований вызывает вопрос о поиске различных тестов (типа теста Пенлеве) и классификаций нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих применение известных методик. Развитие метода обратной задачи рассеяния (в современной трактовке, использующей задачу Римана) поставляет Ли-алгебраическую классификацию кинематической интегрируемости нелинейных уравнений, связанную с наличием особой пуассоновой структуры [1] и, тем самым, определенным образом описывает возможные классы уравнений для которых применение МОЗР оказывается оправданным. Вместе с тем, подобная классификация носит достаточный характер и не гарантирует какого-либо ответа для уравнения, не связанного с гамильтоновым формализмом.

Настоящая работа, в частности, предлагает дифференциально-геометрическую классификацию кинематически интегрируемых уравнений, доказательство которой использует определенные аналогии между формализмом обратной задачи рассеяния и системой структурных уравнений поверхности в Е3. Полученные здесь результаты относятся к обобщению различных методик, относящихся к несвязанным, на первый взгляд, разделам математических теорий. Обсуждаемый синтез различных подходов в исследовании нелинейностей, использующий дифференциально-геометрическое рассмотрение, носит фундаментальный характер, базирующийся на А2 - представлении уравнений математической физики.

Понятие А2-класса было введено сравнительно недавно Э.Г.Позняком и А.Г.Поповым [7],[8] и явилось, по сути, отправной точкой нового понимания взаимосвязи нелинейных уравнений в частных производных с дифференциальной геометрией. Подобное соответствие устанавливается следующим ниже образом.

Будем рассматривать на гладком двумерном многообразии М2 произвольную метрику сЬ2 = Е(и,их,.;х^)сЬс2 + 2F(tt,мJc,.;x,r)í¿tc// + С(и,их,.;х,^Л2, коэффициенты которой зависят от некоторой (неизвестной) функции и(х^). Если при этом задать гауссову кривизну К(х,г) = -1, то уравнение Гаусса для рассматриваемой метрики, связывающее метрические коэффициенты с гауссовой кривизной:

Е Е. Е, К 1

Р Р, Р,

О С,. О, 1

2у[м> д(Е.-РЛ м> дх

Т7, - С.

•м? = ЕС - Т7 2, будет представлять собой некоторое, вообще говоря, нелинейное дифференциальное уравнение относительно и(х,1)\ /(и,их,.-,х,1) = О,

Л2 - представлением которого и будем называть соответствующий

Е /Л метрический тензор g .= , а уравнение /(и,и О = О У7 принадлежащим Л2 - классу. В случае произвольно фиксированной гауссовой кривизны говорят о С - представлении (С-классе). Здесь приняты обозначения ||^.|| = Л2{/[М] = 0} = = 0}).

Рассматриваемая работа представляет собой дальнейшее развитие формализма Л2-представлений уравнений математической физики и связанных с ним геометрических построений (в ряде публикаций можно также встретить символ Л , подчеркивающий связь с плоскостью Лобачевского). Заложенный принцип соответствия нелинейного дифференциального уравнения с уравнением Гаусса оказывается необычайно богатым, предоставляя целый спектр различных направлений исследований.

Заключение

Подводя итог проведенным выше исследованиям, сформулируем общие результаты и утверждения, которые и составляют основу рассмотренных

1. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фадеев Гамильтонов подход в теории солитонов.// М.: Наука, 1986

2. В.Е Захаров, С.В.Манаков, С.П. Новиков и др. Теория солитонов. Метод обратной задачи рассеяния.// М.: Наука, 1980

3. R.M. Miura Bäcklund transformation. The Inverse Scattering Method. Solitons and Their Applications// Lecture Notes in Math/ vol 515, Springer, New York, 1976

4. П.Олвер Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. // М.: Мир, 1989

5. М.Абловитц, Х.Сигур Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. М., Мир, 1987, 480с.

6. Дж.Л.Лэм Введение в теорию солитонов.// М.: Мир, 1983

7. Э.Г.Позняк, А.Г.Попов Геометрия Лобачевского и уравнения математической физики. // Доклады АН, 1993, Т.332, N4, с.418-421

8. Э.Г.Позняк, А.Г.Попов Неевклидова геометрия: формула Гаусса и интерпретация дифференциальных уравнений в частных производных.// Геометрия П. Тематические обзоры, итоги науки и техники (ВИНИТИ), 1994, с.5-24

9. И.Н.Векуа Замечания о свойствах решений уравнения Аи = ~2Ке". Н Сибирский математический журнал. -1960. Т. I. -N.3.-C.331-342.

10. А.В.Овчинников Системы Тоды, ассоциированные с алгебрами Ли, и W-алгебры в некоторых задачах математической физики. // Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. М., 1996.

11. А.Г.Попов Точные формулы построения решений уравнения Лиувилля по решениям уравнения Лапласа. // Доклады АН, 1993, Т.ЗЗЗ, N4, с.440-441

12. А.Г.Попов, Т.В.Борцова Дискретные чебышевские сети и численное интегрирование уравнений типа sin-Гордона. // Тез. Докл. Всероссийскойшколы-коллоквиума по стохастическим методам геометрии и анализа. (25 сент 2 окт., 1994, Абрау-Дюрсо), С. 17-18.

13. R. Sauer Parallelogrammgitter als modelle pseudospharicher Flachen. // Math. Zeitschrift, 1950, B.52, S.611-622

14. Э.Г.Позняк, А.Г.Попов Уравнение sin-Гордона: геометрия и физика.// Математика. Кибернетика, Вып.6, М.: Знание, 1991, 45с.

15. А.Г.Попов Фазовое пространство ненулевой кривизны и эволюция физических систем. // Вестник МГУ, Физика, 1993, Т.34, N6, с.7-13

16. А.В.Бадьин Изометрические погружения двумерных римановых метрик отрицательной кривизны в Е3 .// Вестник МГУ, сер.1 (Мат. Мех.), 1994, N2, с.47-56

17. В.В.Пелипенко Геометрические методы исследования физически важных свойств решений некоторых уравнений математической физики. // дисс. На соиск. уч. ст. к.ф.-м.н.

18. С.А.Зададаев Решения типа бегущих волн уравнения sin-Гордона и псевдосферические поверхности.// Вестник МГУ, сер.1 (Мат. Мех.), 1994, N2, с.41-47

19. Bianchi L. Lezioni di geometria differenziale. // Bolonia, 1927, V.I, Parte 2, P.660-664.

20. R.Sasaki Soliton equations and pseudospherical surfaces.// Nucl. Phys. В 154: 343-357, 1979

21. M.J.Ablowitz, D.J.Kaup, A.C.Newell and H.Segur The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems.// Stud. Appl. Math. 53: 249315,1974

22. S.S.Chern, K.Tenenblat Pseudospherical Surfaces and Evolution Equations.// Stud. Appl. Math. 74: 55-83, 1986

23. K.Tenenblat, J.A.Cavalcante Conservation lows for nonlinear evolution equations. Stud. Appl. Math. 74,1986

24. D.Levi, A.Sym Integrable system describing surfaces for non-constantcurvature.// Elsevier Scince Publishers B.V. V.149, N7,8

25. M.J.Ablowitz, D.J.Kaup, A.C.Newell and H.Segur Method for solving the sine-Gordon equation. //Phys. Rev. Lett. 1973, V30,N25, p. 1262-1264

26. A.G.Popov The Non-Euclidean geometry and differential equations.// Banach center Publications, 1995. V33, p.84-98

27. А.Г.Попов Методы геометрии Лобачевского в некоторых классах нелинейных задач математической физики. // Дисс. на соиск. уч. ст. д.ф-м.н., М., 1995,181с.

28. А.Картан Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. // М., Мир, 1971,392с.

29. В.С.Малаховский П часть Введение в теорию внешних форм.// Калининград, Изд. Калининградского у-та, 1980

30. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко Современная геометрия. Методы и приложения.//М.: Наука, 1986

31. П.Лаке Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны.//^сб. Мат.,1969, т.13, N15, с.128-150

32. В.Е.Захаров, Л.Д.Фадеев, Уравнение Кортевега-де Фриза вполне интегрируемая гамильтонова система.// Функц.анал. и его прил., 1971, т.5, N4, с. 18-127

33. D.Wojcik Simmetries of differential equations. // BULLETIN of Stud. Nonlinear Phys.Res.Group, N1,1995

34. P.B.Mucha Backlund Transformation. // BULLETIN of Stud. Nonlinear Phys.Res.Group, N1,1995

35. Л.А.Тахтаджян Точная теория распространения ультракоротких оптических импульсов в двухуровневых средах.// ЖЭТФ, 1974, т.66, N2, с.476-489

36. С.А.Зададаев А2-представления уравнений математической физики и постановка спектрально-эволюционной задачи. //Вестник МГУ, Физика. Астрономия. N5, 1998, с.29-32.

37. S.A.Zadadaev Constant curvature metrics and su(2), su(l,l) spectral problems.// BULLETIN of Stud. Nonlinear Phys.Res.Group, N2,1996.

38. К. Номидзу Группы Ли и дифференциальная геометрия.

39. А.С.Давыдов Солитоны в молекулярных системах. // Киев, 1984.

40. Э.Г.Позняк, Е.В.Шикин Дифференциальная геометрия.// Изд.МГУ, М., 1990.

41. А.Г.Попов Полная геометрическая интерпретация односолитонного решения произвольной амплитуды уравнения sin-Гордона. // Вестник МГУ. Математика. Механика.,1990, N5, с.3-8.

42. F. Minding Uber die Biegung krummer Flachen.// J. reine und angew. Math. -1838.-V.18.-P.365-368.

43. И.В.Грибков Построение некоторых регулярных решений уравнения "синус-Гордона" с помощью поверхностей постоянной отрицательной кривизны. // Вестник МГУ. Сер. Математика, механика.-1977.-К4.-С.70-83.

44. В.В.Пелипенко Геометрическая интерпретация решений типа стационарных волн уравнения синус-Гордона. // Укр. геометр, сборник-1987.-Вып. 30.-С.81-87.

45. Ф.Р.Гантмахер Теория матриц. // М., 1954

46. С.А.Зададаев Исследование некоторых приложений Л2-представлений уравнений математической физики. // Труды докладов международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", Москва, 23-27