Математическое описание нерегулярной динамики упругой пологой оболочки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИ ТЕМПЕРАТУР

Я*

т/

На правах рукописи

ЧУЫЮВ Игорь Дмитриевич

УЛК 517.958

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ УПРУГОЙ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г ршьешшш щагшг^а «Ш^&л ^

Работа выполнена в Харьковском ордена Трудового Красного Еиамени и ордена Дружбы Народов государственном университете им. А..Л.Горького.

Официальные оппоненты:

• доктор физико-математических наук, профессор М.И.ВШЖ

доктор физико-математических наук,

профессор H.i.iüPOSOB

доктор физико-математических наук,

профессор Е.Я.ХРУСЛОВ

Ведущая организация - Ростовский-на-Дону государственный

университет

Бацита диссертации состоится "_"_1990 года

в _ часов на заседании специализированного совета Д 016.27.0

при Физико-техническом институте низких температур ЛИ УССР (3I0I64,Харьков, пр.Ленина,47).

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке ФИШ АН УС

Автореферат разослан "_"_19_ года.

Ученый секретарь совета, доктор физико-математических наук, профессор

(У*

иСжжии^ В. А.Ткаченко

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При изучении динамических систем различной природы важную роль играет исследование вопросов, связанных с возникновением, развитием и эволюцией неустойчивостей, т.е. исследование сложного (нерегулярного) поведения траекторий системы. В настоящее время сформировалось два подхода к исследованию этих проблем. Один из них призван описывать процесс усложнения динамики движения. Его математической основой служат теория бифуркаций и язык аттракторов. Второй подход используется при изучении движений, обладающих высокой степенью хаотичности и опирается на статистические методы. Для начально-краевых задач механики сплошных сред, описываемых уравнениями в частных производных, указанные подходы, в основном, интенсивно развивались для системы Навье-Стокса.

В данной работе рассматривается задача о нелинейных колебаниях упругой пологой оболочки в сверхзвуковом потоке газа. Исследование нерегулярной динамики в такой системе имеет важное теоретическое и прикладное значение. Дело в том, что наиболее интересный и важный с точки зрения приложений вид неустойчивости, который может быть обнаружен в рассматриваемой системе -это флаттер, т.е. автоколебания оболочкй', возникавшие под действием аэродинамических нагрузок. Современный взгляд на флат-терную неустойчивость оболочки, основанный на локальном изучении закритического поведения состоит в том, что в системе происходит бифуркация Андронова-Хопфа, приводящая к возникновению устойчивого предельного цикла. Однако имеются экспериментальные и численные данные, позволяющие считать, что с ростом бифуркационного параметра (скорости набегающего потока) может происходить усложнение динамики и возникновение хаотических пульсаций. На оболочку могут воздействовать такяе случайные нагрузки различного происхождения. Таким образом, для исследования характера колебаний, возникающих при флаттере, необходимо, с одной стороны, изучить глобальное поведение траекторий системы в постбифуркационной стадии, а, с другой стороны, привлечь статистические методы. Отметим, что еще в 1962 году И.И.Ворович указывал на необходимость создания математически последовательной статистической теории флаттера. Кроме того, использование ста-

тистических методов позволяет проанализировать вопрос о наиболее реальной форме равновесия оболочки.

Цель работы состоит в развитии математического аппарата необходимого для глобального описания нерегулярной динамики упругой пологой оболочки в сверхзвуковом потоке газа. Рассматривается следующая система уравнений:

1(и,+Аги. -Ги+£,гг+0] + р|£ -ргоо, (I)

Ч^^!^ СЗ)

МП г , Ю

Здесь Л. - гладкая ограниченная область в $

Ь^и. = (¿л-£гА)1с1 - неотрицательные числа,

г и = ^ + _ о 2я-сг (5)

л ©а:/' ъсс*- ъос*'ъх*. •<■ 9тг">гл ' *

Функции р(ос), В-(СС), р(х\ К^сос), и{(Ос) предполагаются заданными. Величина имеет смысл поперечного прогиба оболоч ки, Ъг(х,¿) - функция напряжений. Величины , , рст) описывают соответственно исходную форму оболочки, продольные усилия приложенные к оболочке, поперечные нагрузки на оболочку. Аэродинамическое давление на оболочку сверхзвукового потока учитывается согласно "поршневой" теории А.А.Ильюшина. Параметр ^ определяется скоростью набегающего потока газа. Случай >О отвечает учету инерции вращения элементов оболочки,

Научная новизна и практическая ценность работы. Проведено исследование проблемы существования и гладкости решений системы уравнений (1)-СО, значительно продвигающее известные ранее результаты. Развит новый метод исследования нерегулярной динамики упругой пологой оболочки, опирающийся как на анализ индивидуальных траекторий, так и на изучение статистических характеристик системы Полученные результаты; в частност] позволяют утверждать, что флаттер оболочки - явление в существенном конечномерное, и дают возможность использовать глобальную форму принципа сведения при изучении постбифуркационной ди намики. Обоснована также применимость методов статистической гидромеханики и евклидовой квантовой теории поля для учета

ч

фпуктаций и вычисления усредненных характеристик соответствующей динамической системы. Дан ответ на ряд вопросов И.И.Ворови-ча о свойствах решений стохастически возмущенной системы (I)-(.4). Используемые подходы носят общий характер и могут найти применение при исследовании нерегулярного поведения широкого класса динамических систем с распределенными параметрами, возникающими в нелинейной теории колебаний.

Для защиты выдвигаются следующие основные результаты, полученные в диссертации:

1. Свойства гладкости эволюционного оператора задачи (I)-С*0 при сЛ >0 . Глобальная теорема существования сильных решений задачи (1)-С*0 при . Свойства соответствующего эволюционного оператора.

2. Исследование свойств диссипативности системы С^-СО как при (¿,£¿>0 , так и при <А**£Л=0, >О.

3. Методика доказательства конечномерности аттрактора масса диссипативнкх систем, включающего задачу (1)-СО при <к, >О . Доказательство конечномерности аттрактора при

. где £ - достаточно велико.

А. Исследование структуры аттрактора системы (1)-(4) при

р = о.

5. Использование разработанной методики для доказательст-за конечномерности аттрактора в задаче о нелинейных колебаниях 5есконечной панели.

6. Свойства решений, существование и конечномерность аттрактора в задаче о колебаниях оболочки в квазистатической по-;тановке.

7. Построение статистически решений детерминированной :истемы (1)-С0 как при >О , так и при оС--^ . Дска-¡ательство теоремы единственности решений задачи Коши для урав-¡ения Хопфа, отвечающего задаче (Г)-СО при <К >О . Существо-1ание и свойства стационарных статистических решений.

8. Методика построения равновесных решений для бесконечно-¡ерных гамильтонозых систем. Связь с некоторыми проблемами квантовой теории поля. Нестроение, равновесных статистических реле-щй.в задаче о колебаниях оболочки при = р ~ О , т.е. в :онсервативном случае.

9. Построение статистических решений и их свойстм в за-[аче о колебаниях упругой пологой оболочки, возбуядаечых "белым

шумок". Существование и свойства стационарных статистических решений стохастической системы в случае, когда оС^^О Ш11с£=ё1=0, >0 .

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались ка семинарах по математической физике в Харьковском университете, на республиканском семинаре "Эффективные методы решения задач математической пизини" Харьков, 1964,198с, 19Ь'<-'}, на к,1У,У1 Всесоюзных конференциях "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" чЧерноголовка,198а,1953,1967),на региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар,1968;, на Всесоюзной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической фиоики (Тернополь,196?',на семинарах и Московском.Ленинградском,Ростовском университетах,в Институте математики АН УССР. Отдельные результаты докладывались в ЛОМИ им.В.А. Стеклова АН СССР,на Всесоюзных ыколах "Упорядоченные структуры е математике и турбулентность","Динамические системы и турбулентност; (Кацивели, 196о,1568.', на еешнаре им.й.Г.Петровского в МГУ, на Всесоюзной конференции "Метод функций .кянунова в современной математике" , на Первой Северо-Кавказской региональной конференции но функционально-дифференциальны;..-! уравнения!.: и их приложениям, на совместных" заседаниях семинара им.И.Г.Петровского и Московского математического общества сессия,^.988;.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 19 работах.список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация изложена на 272 страница,! и состоит из .введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения и отек цитированной литературы ч149 наименований).

СОДЖАККЕ РАБОТа

3 идейном плане рассмотрения данной работы, в основном, сти-.лулировань; соответствующими исследованиями, выполненными для системы Навье-Стокса. Однако применяемая здесь »«тематическая техника отличается от техники, развитой для уравнений Навье-Стокса. Ее наиболее существенной особенностью, по-видимому, является систематическое использование некоторой пункции типа дяпуновской, заданной на фазовом пространстве системы. Кроме того, еле,дует отметить, что в отличие от системы Навье-Стокса и других кьаоилинейных уравнений параболического типа в задачах

Ь

теории колебаний с течением времени сглаживания траекторий не происходит. Это обстоятельство вносит дополнительные трудности. Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность рассматриваемой проблемы, изложена цель работы", дан краткий обзор полученных результатов.

Первые две главы диссертации посвящены исследованию свойств индивидуальных решений системы (1)-С0. В последующих главах обсуждаются различные аспекты статистического описания рассматриваемой системы.

Глава I носит предварительный характер. В ней доказан ряд необходимых для дальнейшего утверждений о свойствах решений системы (1)-С4).

Математически строгое исследование этой системы было начато в работе И.И.Воровича, выполненной в 1957 году, где фактически разобран случай, когда 6 = 0\ р = 0с(~01 £л = О и работах Н.Ф.Морозова", посвященных изучению ситуации р=0, (к У О «В этих работах, в частности, были рассмотрены га-леркинские приближения', установлены априорные оценки и,' на основе принципа компактности, дано построение слабых решений системы им*») в исследуемых ситуациях. Такая схема носит общий характер и может быть повторена для системы (1)-(Л). Однако, в указанных и последующих работах дифференциальные свойства слабых решений в зависимости от свойств гладкости исходных данных практически не исследовались, хотя необходимая для этого техника в случае линейных задач была уже создана. Одной из целей главы I является восполнение этого пробела. Тем более, что свойства гладкости решений играют значительную роль в последующих главах при изучении асимптотических свойств и анализе нерегулярного поведения системы Наши рассмотрения существенно опираются на ряд доказанных в § 1.1 вспомогательных утверждений", касающихся свойств скобки (5). В § 1.1, в частности, показано', что для и.*Но(-Л-) , гГеНТ-ЮПНдСД) справедливы неравенства

«гвд^ем^у^ц}падите(б)

где II. И5 - норма в соболевском пространстве • Эти не-

равенства являются более сильными, чем известные ранее. Их доказательство потребовало привлечения теорем вложения, связанных с пространствами Бесова.

Если функцию V с помощью соотношения (2) исключить из

системы СО-СО, то в случае о(>£? рассматриваемая задача может быть представлена как эволюционное уравнение вида

в оснащении Н+с И , где И = Н^Я.), Н^=Н0а£Л.) ,

а пространство Н_ является сопряженным к Н+ относительно двойственности, порождаемой скалярным произведением в Н=Нр6Я). Здесь - ограниченный оператор в Ц , А - самосопряженный в Н оператор, порождаемый билинейной формой (Ди^АИ)^^. Оценки (.6) позволяют при этом показать, что М^(-) является непрерывным отображением из Н+ вН . Это обстоятельство дает возможность, рассматривая галеркинские аппроксимации, отвечающие базису собственных функций спектральной краевой задачи

_ l^J fJ _ _/ л \и I

(Ха. ^л/ол

построить слабое решение задачи (1)-С*0 и доказать его единственность. С помощью стандартной техники доказывается, что для слабого решения выполняется энергетическое равенство, формально получаемое при скалярном умножении (I) ка функцию Ы, ) в пространстве \}(Л.) с последующим интегрированием по и использованием свойств симметрии скобки (5). Указанные факты позволяют в пространстве = Но(-!2) * Но Ш.) однозначно определить эволюционный оператор ^ системы (1)-СО» положив S¿(itoJ¿¿¿) . где ¿¿(¿) - слабое решение задачи с начальными условиями С ). Операторы образуют сильно непрерывную группу нелинейных отображений пространства ¿о . Предполагая, что начальные условия ( и0; ) лежат в пространстве

и анализируя галеркинские приближения системы, получаемой формальным дифференцированием задачи (1)-С0 по / удается доказать, что операторы отображают пространство ¿^ в себя и образуют сильно непрерывную группу в топологии этого пространства. Показано также, что в каждом из пространств , ¿"ОЛ, существует производная Фреше вектор-функции З^^о по начальному условию ^ = (¿¿о,'^) . Оператор при этом является эволюционным оператором уравнения в вариациях, отвечающего системе (1)-С0. т.е. для любого % справедливо равенство = , где \MC6j - решение задачи

Здесь Ц(±) - решение системы . (I)- (4) с начальными условиями у0 = (#<>;¿¿/У , М^ (Ш - производная полиномиального отображения и. IV Ц) . В каждом из пространств производная Фреше С № удовлетворяет условию Липшица по переменной .

В случае = , анализируя галеркинские аппроксима-

ции системы, построенные по базису собственных функций бигарио-нического оператора с условиями Дирихле ка "ЭЛ. и используя принцип компактности, можно доказать существование слабых решений задачи (1)-С0. Однако, в отличие от случая ск>0 , теорема единственности слабых решений при ск = 0 не установлена и, поэтому, не удается построить однозначного эволюционного оператора, отвечающего слабым решениям системы при В этой связи приобретает особое значение доказанная в § 1.3 главы I глобальная теорема существования сильных решений системы СI)-Спри = , усиливающая локальный результат Н.Ф.Морозова, полученный в 1966 году. Эта теорема позволяет, в частности, с помощью теоремы единственности, установленной И'.И.Воровичем, построить однозначный эволюционный оператор системы (1)-(при о( = £л = 0 , действующий в пространстве

1)) Доказательство глобальной теоремы

существования использует оценки (6), свойства симметрии скобки (5) и опирается на анализ галеркинских приближений задачи, получаемой формальным дифференцированиеи системы (1)-СО при

О по Ъ . Показано также, что операторы образуют сильно непрерывную группу нелинейных отображений пространства • Как и при ск >О , удается доказать существование производной Фреше вектор-функции по начально-

му условию

В главе I содержится также доказательство диссипативности каждой из указанных выше нелинейных групп ^ . Напомним, что непрерывная группа отображений, действующих в гильберто-

вом пространстве X называется диссипативной, если существует $ >0 такое, что для любого ограниченного в X множества Ь выполнено неравенство

для всех ^

Для доказательства диссипативности группы , дей-

ствующей в пространстве и построенной по слабым решениям

задачи (1)44) при оС, % >0 используется непрерывная на ^

функция , обладающая свойствами:

где у, » - положительные константы. Построение такой функции \/(.Ц) осуществляется методом, применявшимся ранее для конечномерных колебательных систем. Для галеркинских аппроксимаций системы СI)-СЮ при оС, >О, £-0=0 такое построение было выполнено Н.Ф.Морозовым. Доказательство диссипативнос-ти группы 5 в пространстве использует факт диссипатив-ности этой группы в пространстве и опирается на некото-

рые оценки для решений уравнения в вариациях, отвечающего системе С1)-С4) и вытекающие из неравенств Сб). В случае диссипативность группы Б, , действующей в пространстве и построенной по сильным решениям задачи (1)-СЮ удается доказать лишь для достаточно больших У О . Отметим, что свойство дис-сипативности играет важную роль при изучении асимптотического поведения системы (1)-(Ю в последующих главах.

Заключительный параграф главы I посвящен изучению задачи о нелинейных колебаниях оболочки в квазистатической постановке, т.е. в том случае, когда в (I) 1ц.и. =(4-<ЛД") Ц, , а в (4) условие для скорости опущено. При оС >0 , как и в динамическом случае задача в квазистатической постановке может быть записана как эволюционное уравнение вида

ьс+Аи + С9)

в оснащении

. Используя галеркинские приближения, отвечающие базису собственных функций краевой задачи (8) удается доказать теорему существования слабых решений. Проверяется", что слабое решение единственно. Это позволяет построить эволюционную сильно непрерывную полугруппу задачи (9);, действующую в пространстве Н = . Полугруппа оказывается диссипативной и обладает свойством сглаживания начальных данных. В случае оС =0 также можно доказать теорему существования слабых решений, однако их единственность установить не удается. Отметим, что вопрос о существовании слабых решений системы уравнений, близкой к задаче о квазистатических колебаниях оболочки при -О обсуждался Ю.А.Дубинским.

Отметим также', что многие результаты первой главы остаются в силе и в том случае, когда функции В и р зависят

эт {, . Этот случай интересен, например, тем, что он вклю-1ает в себя задачу о нелинейных колебаниях оболочки под дей-)твием периодических внешних нагрузок.

В главе 2 изучаются асимптотические свойства системы .1)44) при ■¿-•оо . Подобное исследование представляет инте->ес в связи с проблемой описания качественного поведения соот-¡етствувщей динамической системы. Важным при этом является юпрос о структуре и устойчивости возможных предельных режимов Усматриваемой системы. Изучение этих режимов, а также харак-'ера их перестройки при изменении внешних параметров дает воз-южность ответить на вопрос о путях стохастизации динамики, '.е. объяснить механизм возникновения нерегулярностей в исследуемой системе. Эти вопросы являются весьма трудными даже в юнечноыерном случае, хотя в последние годы достигнут опреде-енный прогресс, во многом связанный с широкими возможностями исленного моделирования. В случае бесконечномерных систем осно-ой теоретического изучения нерегулярного поведения является ринцип сведения, позволяющий свести исследование бесконечно-ерной системы к изучению свойств некоторой конечномерной, ля систем с малыми нелинейностями этот принцип опирается на еорис интегральных многообразий. Эта теория позволяет постро-ть устойчивое притягивающее инвариантное многообразие системы азмерность которого определяется спектром линеаризованной за-ачи. Во многих случаях это иногообразие оказывается конечно-ерным и, поэтому, асимптотическая динамика исходной бесконеч-омерной системы полностью определяется качественным поведени-м рассматриваемой системы на конечномерном многообразии. Од-ако, для систем, в которых нелинейности не являются малыми, рименение метода интегральных многообразий позволяет исследо-ать лишь локальное поведение траекторий в окрестности решения, твечающего стационарному режиму. Что касается глобальных ре-ультатов о возможности сведения динамики бесконечномерной истемы к конечномерной и. не использующих наличие малых пара-зтров, то они впервые, по-зидимому, были получены в работах .Фояша, И.Проди и О,А.Ладыженской для системы Навье-Стокса. настоящему времени установлен ряд важных и интересных резуль-1тов об асимптотической "конечномерности" динамики бесконечно-зрных систем, описываемых дифференциальными уравнениями в астных производных Сем. работы А.В.Бабина, Ы.И.Вишика, О.А.Ла-

дыженской, Ч.Фояша, Р.Темама и др.). В главе 2 некоторые идеи о методы," представленные в этих работах и результаты главы I используются для изучения асимптотической динамики системы (I)-(<0 в дисситативном случае, т.е. когда либо >О , либо

с{-б£ = 0/ £/>0 . Основным объектом исследования здесь является максимальный (глобальный) аттрактор каждой из эволюционных групп ^ , построенных в главе I. Под максимальным аттрактором мы понимаем строго инвариантное ограниченное множество в фазовом пространстве системы равномерно притягивающее все траектории системы, начинающиеся в ограниченных множествах. И хотя максимальный аттрактор может быть гораздо шире, чем множество реально наблюдаемых в системе установившихся режимов, изучение его свойств позволяет дать ответ на ряд вопросов о предельном поведении рассматриваемой системы.

В идейном плане одним из центральных результатов главы 2 является теорема о конечности фрактальной размерности максимального аттрактора диссипативной системы вида

в сепарабельном гильбертовом пространстве, где

- линейный

оператор, имеющий компактную резольвенту и порождающий квазиограниченную полугруппу Ч^е-^ » а -Ь ~ нелинейное отображение, определенным образом подчиненное . В случае", когда система (10) является параболической, вопрос о конечномерности аттрактора достаточно хорошо изучен. Предлагаемая в главе 2 схема рассуждений носит общий характер и позволяет охватить класс диссипативных систем, включающий, например, нелинейное волновое уравнение и задачу (1)-(*0 при >0 . Она. пред-

ставляет собой развитие некоторых идей О.А.Ладыженской, использованных при анализе системы Навье-Стокса. В рассуждениях используется следующее представление эволюционного оператора задачи (10):

сиз

При этом условия на $ и % позволяют, во-первых, доказать что отображение является компактным, а во-вторых, для

траекторий , , лежащих в поглощающем шаре =

I системы (Ю) установить оценку вида

где {гп^ - некоторое семейство конечномерных проекторов, сильно сходящееся к единичному оператору, О при И-усю, М, ' Зти свойства эволюционного оператора дают

возможность доказать существование компактного максимального аттрактора и установить его конечномерность (здесь используется фрактальный вариант теоремы 0.А Ладыженской о размерности инвариантных множеств). В рамках указанной схемы можно также доказать конечность числа существенных мод системы (10), т.е. существование конечномерного проектора Р в фазовом пространстве системы, обладающего тем свойством, что для любой пары решений С-Ь) , (Ь) задачи (10) из условия

вытекает, что ^ при -*<*> (в случае системы

Навье-Стокса подобное утверждение было установлено Ч.Фояшем и 1.Ироди). При этом оказывается, что для траекторий #1(4) и $ (£) » лежащих в максимальном аттракторе системы (10) из условия 2 = О при всех вытекает, что = ЧчО=) системы Навье-Стокса это йто доказано О.АЛады-женской).

Отметим, что представления, вида (II) использовались ранее различными авторами при доказательстве существования аттрактора ряда бесконечномерных систем.

Теоремы, доказанные для системы (10) применяются к задаче о нелинейных колебаниях оболочки (1)-(4) в случае, когда

ск,,Ех>0 • Для этого задача (1)-(4), представленная в форме (7), записывается как эволюционное уравнение в Эъ = //аг(Л)*

вида (10). Проверяется, что условия теорем, относящихся к абстрактной задаче (10) выполнены. Поэтому группа , построенная по слабым решениям задачи (1)-С0 и действующая в пространстве ^ , обладает компактным максимальным аттрактором (Ж конечной фрактальной размерности. Проектор Р , фи-гирирующий в утверждении о конечности числа существенных мод, в данном случае является оператором ортогонального проектирования в % на линейную оболочку элементов вида Сле,с)^

, где &к - собственные функции спектральной краевой задачи (8), N - достаточно велико. Отметим, что доказан-

ная теорема применима и в случае квазилинейного волнового уравнения. Она позволяет установить результат о конечномерности аттрактора, полученный Е.-М.Гидальей и Р.Темамом. Шше доказательство отличается от рассуждений, проведенных этими авторами.

В том случае, когда £,¿>0 абстрактная тео-

рема об аттракторе системы СЮ) непосредственно к задаче С1)-С*0 не применима. Однако методика, разработанная при доказательстве этой теоремы может быть использована и в данной ситуации. Результаты главы I позволяют для группы , построенной по сильный решениям задачи (1)-С4), при <4 =£, = ¿2 , доказать для достаточно больших Е1>0 существование аттрактора Сэто понятие было введено А.В.Бабиным и М.Й.Вишиком). Напомним, что в определении (Ж-ь^'/м) ~ аттрактора условие притяжения выполняется в слабой топологии пространства . Конечномерность аттрактора и конечность числа существенных мод доказываются по схеме, разработанной для задачи СЮ). При этом вместо представления СП) используется соотношение вида

= ¿УМ/,

где (/- эволюционный оператор некоторой нестационарной линейной задачи с коэффициентами, зависящими от • Разработанная схема применяется также при изучении свойств аттрактора в задаче о нелинейных колебаниях бесконечной панели в сверхзвуковом потоке газа, которую можно рассматривать как одномерный Спо пространственной переменной) аналог системы С1)-«0.

В рамках указанной выше методики можно указать и оценки сверху для фрактальной размерности аттрактора и числа существенных мод системы С1)-С*0» Однако вычисление этих оценок для наиболее интересных с точки зрения приложений значений параметров является довольно трудоемким делом, а сами оценки выглядят сильно завышенными. Поэтому на теоремы о конечномерности аттрактора в данной ситуации следует смотреть как на результаты качественного характера. Они, в частности, означают, что флаттер оболочки - явление в существенном конечномерное, и дают некоторый ответ на вопрос Е.Дауэлла о числе мод, необходимых для качественного описания постбифуркационной динамики. При этом изучение возникающих при флаттере нелинейных колебаний сводится к исследованию структуры максимального аттрактора сис-

¡мы. Такое исследование в настоящее время проведено лишь при У = 0 , т.е. в задаче о нелинейных колебаниях оболочки в не-здвижной среде. В этой ситуации полная механическая энергия (сР' » является функцией Ляпунова системы (1)-(4).

го означает, что функционал Есу; непрерывен на фазовом про-гранстве системы, а величина Б^Э^у) монотонно не возрас-1ет с ростом I: , причем из равенства ЕС5+ ^0) = Е(у0) лля ¡которого к >0 вытекает, что - неподвижная точка груп-* Б^. , т.е. для всех ^ . Наличие функции Ляпу-

эва позволяет воспользоваться теоремами общего характера, порченными А.В.Бабиным и М.И.Вишиком, чтобы на основе результа->в главы I доказать регулярность максимального аттрактора сис-змы (1)-00 при р=О в случае общего положения. Регуляр-эсть аттрактора, в частности, означает, что он представим в аде конечного объединения множества неподвижных точек системы их неустойчивых многообразий.

Во второй главе проанализирован также квазистатический пучай. Для доказательства конечномерности аттрактора здесь эжно воспользоваться как теоремой О.А.Ладыженской, так и мето-эм, применяемым А.В.Бэбиным и М.И.Вишиком для доказательства онечномерности аттрактора системы Навье-Стокса и развивающим деи Ю.С.Ильяшенко и АДуади, 1.2стерле.

Глава 3 посвящена обсуждению вопросов о существовании и войствах статистических решений детерминированной системы (I)-<0, т.е. решений соответствующего уравнения Хопфа. Дело в том, то при изучении нерегулярного поведения динамических систем е всегда целесообразно рассматривать лишь индивидуальные ре-ения. Во-первых, начальные условия на практике определяются

некоторой погрешностью, и, поэтому, иногда оправдано считать х случайными, а во-вторых, в задаче о нелинейных колебаниях болочки система может иметь несколько форм равновесия и судить ее реальном поведении можно лишь статистически. В связи с тим и возникает задача об эволюции начального распределения ероятностей, которую можно рассматривать как задачу Коши для юответствующего уравнения Хопфа.

Для системы вида СЮ) уравнение Хопфа можно ввести сле-(ующим образом. Пусть Г - фазовое пространство системы СЮ), .'огда под задачей Коши для уравнения Хопфа, отвечающего систе-¡е СЮ) понимают задачу об отыскании семейства вероятностных

борелевских мер {f^ на Г , удовлетворяющих соотношениям

£ К (М)+¿ jr Щ - Ц>. «г) ес 4)h Cty-o. CI2)

где %( У, f) =Jr Wp{Ll<f, ?)} У (¿y)

- характеристический

функционал меры V , - заданная мера. Одним из результатов главы 3 является установление связи между задачей (12) и некоторыми объектами неравновесной статистической физики. Дело в том, что с уравнением Хопфа (12) можно связать бесконечную цепочку для моментных функций Мк (-fc)*^ = » определя-

емых равенством

При этом задача об отыскании мер, удовлетворяющих (12) заменяется задачей о построении решений соответствующей цепочки для Мк . Такие цепочки интенсивно изучались различными авторами (см. работы А.С.Ыонина, А.М.Яглома, М.И.Вишика, А,В.Фурсикова и др.). С другой стороны, во многих задачах неравновесной статистической физики при описании эволюции состояния систем бесконечного числа частиц возникают зацепляющиеся цепочки уравнений более общего вида, чем отвечающие равенствам (12). В § 3.1 доказывается, что цепочки порождаемые уравнением Хопфа - это те и только те, для которых справедлива так называемая теорема о распространении хаоса. В статистической физике такие цепочки возникают, как правило, в пределе среднего поля. Поэтому, подход к описанию нерегулярного (турбулентного) поведения динамической системы, основанный на уравнении Хопфа в каком-то смысле эквивалентен приближению среднего поля в неравновесной статистической физике.

В зависимости от свойств индивидуальных решений системы (1)-(4) можно указать два подхода к построению статистических решений рассматриваемой задачи. Первый подход, применяемый в случае е<>С? опирается на факт существования и свойства эволюционного оператора , построенного по слабым решениям задачи (1)-(4). Статистическое решение при этом может быть определено формулой = » т-е- ~ такая веРояТностная на мера, что для любой ограниченной и непрерывной на $ функции ру) выполняется равенство

Если полная энергия системы (1)-СО является абсо-

[ютно интегрируемой по мере функцией, то легко проверить, 1то семейство мер удовлетворяет соотношениям (12).

1ри этом в ситуации, когда ¿¿-Л.6у при некоторых дополнительна предположениях на начальную меру До удается доказать, [то семейство ^ ~ является единственным решением

задачи Коши (12). Из теоремы единственности вытекает, в част-(ости, что при некоторых условиях любое стационарное решение равнения Хопфа является инвариантной относительно группы герой. В диссипативном случае { >О ) инвариантные меры юсредоточены в аттракторе системы. Если же при этом аттрактор ¡вляется регулярным, то носитель инвариантной меры лежит в ¡ноиестве неподвижных точек системы, т.е. любая инвариантная [ера оказывается выпуклой комбинацией ¿-мер, каждая из ко-'орых сосредоточена в некоторой неподвижной точке. В общем слу-ае множество инвариантных мер является выпуклым компактом, однако вопрос о структуре крайних точек этого компакта остается открытым.

Если начальное распределение рь сосредоточено на доста-1очно гладких функциях, то при = статистические

'ешения могут быть построены с помощью эволюционного оператора ^ , отвечающего сильным решениям задачи (1)-(4). Если же носитель меры до лежит в более широком пространстве, то для .оказательства существования статистических решений использу-тся подход, первоначально возникший в гидромеханике и опираю-,ийся на анализ галеркинских аппроксимаций рассматриваемой сис-■емы и принцип компактности (см. монографию М.И.Вишика и .В.2урсикова). В рамках указанного подхода предварительно осу-.ествляется построение так называемых пространственно-времен-:ых статистических решений, т.е. вероятностных мер, сосредото-енных на решениях рассматриваемой системы. Свойства скобки 5) и другие результаты главы I позволяют проделать подобное юстроение для системы (1)-(4) в случае оС-6г~0 . Важную юль при этом играет теорема Ю.А.Дубинского о компактности вло-;ения для пространств векторнозначных функций и теорема ¡.В.Прохорова о слабой компактности семейства мер. Доказано :акже существование стационарных решений уравнения Хопфа, от-

вечавдего задаче (1)-(4) при оС = = О, 8i >О . Соответствующе рассуждение, как и в случае >О , опирается на метод усреднения Крылова-Боголюбова.

В главе Ч на основе рассмотрений общего характера иссле дуются свойства некоторого класса стационарных решений уравне ния Хопфа, отвечающего системе (1)-(4) в консервативном случа р~0 . Вводится понятие равновесного статистическо го решения, являющегося аналогом меры Гиббса в статистической физике. Как отмечалось A.A.Самарским, вопрос о существовании свойствах статистических решений подобного типа представляете важным при изучении турбулентного (нерегулярного) поведения системы, описываемой эволюционными уравнениями в частных прои водных. Обсуждаемое в главе 4 понятие равновесного решения, с одной стороны, близко к статистическому варианту условия Кубе Мартина-Швингера (КМШ) в классической форме, а с другой сторс ны, тесно связано с введенной Д.Я.Петриной в теории квантова* ных полей так называемой системой уравнений резольвентного ти па для коэффициентных функций ^-матрицы. Последнее обстоятельство оказывается весьма полезным. Во-первых, имеется возможность воспользоваться идеями и методами квантовой теории поля, в во-вторых, благодаря технике, разработанной в квантовой физике, мы получаем мощных аппарат, позволяющий практичес ки вычислять средние по равновесным мерам. На важность таких вычислений указывал ряд исследователей.

Для динамической системы вида

Си Ш, аз;

где ~ некоторый симплектический оператор, равновесное

статистическое решение можно определить как вероятностную меру jUß на фазовом пространстве Г (или некотором его распи рении) системы (13), удовлетворяющую соотношению вида

для некоторого j3 >0 и любых .из некоторого плотно!

в Г множества (пространство Г предполагается гильбертовы: Легко проверить, что (М) превращается в стационарное уравнение Хопфа, отвечающее системе (13), если положить f > • Поэтому любое равновесное статистическое решение является стационарным. Отметим также, что вероятностная мера удовлетворяющая соотношению (14) является одновременно и ста'

ционарным решением прямого уравнения Колмогорова, отвечающего стохастической системе в Г вида

Ц, = -1_ (а) +\л/,

где - "белый шум" в Г с корреляционным оператором |1

Сесли положить ^ = рд. , то равенство (14) превратится в стационарное уравнение Колмогорова).

В случае линейных систем с 1_(и) = Н0Ц, , где Н0 - положительный оператор на Г , можно проверить, что равновесным решением является гауссовская мера с нулевым средним и корреляционным оператором ^Н^1 • С другой стороны, удается доказать, что при некоторых условиях на функцию \/(и.)/ Цб-Г , равновесные решения Рр системы (13) связаны с равновесными решениями задачи II-ЗЧЬско + У'би.)) соотношением

где - нормировочная константа. Это обстоятельство позволяет строить равновесные статистические решения для широкого класса систем (13) с I (и)= Н0и. + У (и,) . Доказывается, что при некоторых условиях на эволюционный оператор системы (13) построенное таким образом равновесное решение удовлетворяет ди- . намическоиу варианту КМШ-условия в классической форме. Отметим, что соотношения типа (14) использовались Ю.Зрёлихом при анализе уравнений Добрушина-Ланфорда-Рюэля и изучении предельного перехода в модели Ре^ квантовой теории поля.

Полученные в главе 4 результаты позволяют, в частности, прояснить трудности, возникающие при построении стационарных статистических решений для нелинейного волнового уравнения. В четырехмерном (по пространственным переменным) случае вопрос о существовании равновесных решений есть, по сути дела, известная проблема конструктивной квантовой теории поля о существовании нетривиальных бозонных теорий в конечном объеме.

Отметим, что на возможность использования методов квантовой теории поля при построении статистических решений было обращено внимание довольно давно. Однако связь с теорией квантованных полей, о которой здесь идет речь, представляется более глубокой. Благодаря этой связи, задача о построении равновесного статистического решения ганильтоновой системы оказывается эквивалентной вопросу о существовании некоторой бозоннсй квантово-полевой теории.

Развитый метод используется в задаче о нелинейных колебаниях СО-СО при условии, что 6^ = 6^=0, р = 0 • Например, в случае, когда -f(Г)=0, р№)= О , вопрос о построении равновесных решений может быть сведен к изучению свойств величины

VütHAS [U,L11 (Ч

П ,г ^ -iL

где (j(£,y) - функция Грина задачи Дирихле для бигармоническо-

го оператора, относительно гауссвской меры с нулевым средним и корреляционной функцией ~ Q- (ОС,у) • Отметим, что величина Vitt) имеет смысл энергии деформации срединной поверхности оболочки. Используя технику гауссовских случайных полей, развитую в рамках конструктивной квантовой теории поля, удается показать, что, подбирая 9(£) специальным образом (по сути дела, выполняя перенормировку), можно осуществить построение равновесного решения и в этом случае.

В заключительном параграфе главы идеи, развитые при исследовании равновесных статистических решений системы (13), используются для изучения структуры статистических решений, удовлетворяющих статическому .варианту КШ-условия в классической форме для гашльтоновых систем, связанных сс скобками Ли-Пуас-сона. К классу этих систем, в частности, принадлежит уравнение Власова и уравнение Зйлера идеальной несжимаемой жидкости. Полученные здесь результаты позволили прояснить роль стационарных статистических решений двумерного уравнения Бйлера, построенных ранее.

Глава 5 посвящена исследованию статистических свойств системы (1)-С0, возмущенно! "белым шумом". Для этого нагрузка р(sc) в (I) выбирается в виде

p(x) = p0ccc; + wca,!t), (15)

где V/ &,х) - обобщенная производная по i винеровского процесса со значениями в l?(JL) с ядерным корреляционным оператором Q . Система (1)-(4) при этом становится стохастической и для ее исследования применяется теория случайных процессов и стохастических дифференциальных уравнений. Привлечение теории случайных процессов к исследованию динамики оболочек позволяет, во-первых, выяснить реальность той или иной формы равновесия в случае, когда у оболочки их несколько (можно говорить о вероятности нахождения оболочки в данном состоянии и

ао

вероятностях перехода из одного состояния в другое). А во-вторых, статистический метод дает возможность продвинуть вперед решение ряда вопросов, связанных с определением допустимых нагрузок на оболочку с учетом условий ее работы и погрешностей в изготовлении. В прикладных исследованиях рассмотрения подобного характера проводились неоднократно. Однако во всех случаях рассматривались некоторые приближения типа галеркинских. В связи с этим И.И.Воровичем был поставлен вопрос о возможности предельного перехода в последовательности приближенных решений стохастической системы, т.е., фактически, вопрос о существовании и свойствах решений стохастической системы (1)-(4) с нагрузкой вида (15). Данная глава посвящена исследованию этого вопроса. Отметим, что теория бесконечномерных эволюционных стохастических систем и связанных с ними дифференциальных уравнений в вариационных производных интенсивно развивалась со средины 60-х годов. В настоящее время имеется обширная литература, посвященная развитию различных аспектов этой теории. Однако предположения, которые обычно делаются в рамках указанной теории не выполняются для бесконечномерной стохастической системы, порождаемой задачей (1)-(4) с нагрузкой вида (15).

В данной главе для исследования рассматриваемой стохастической системы привлекаются некоторые идеи и методы, развитые в рамках статистической гидромеханики и имеющие универсальный характер.

Как и в главе 3, сначала на интервале £0,Т] строится пространственно-временное статистическое решение галеркин-ской аппроксимации порядка 14 рассматриваемой стохастической задачи. Зта аппроксимация представляет собой некоторую конечномерную систему Ито. Можно показать, что полная энергия задачи (1)-(/+), рассматриваемая на фазовом пространстве этой системы Ито, обладает свойством

где - соответствующий инфинитезималъный оператор. Эта

оценка позволяет воспользоваться результатами Р.З.Хасьминского для того, чтобы доказать существование на некотором пространстве вектор-функций со значениями в распределения такого, что Рт(А) =

рг [".«(•) * А } , где - случай-

ный процесс, являющийся решением соответствующей галеркинской аппроксимации рассматриваемой стохастической системы,

При этом удается получить ряд не зависящих от т. оценок для некоторых интегралов по мере , причем в случае с*. >0 оценки оказываются более сильными. Далее, с помощью теорем Ю.А.Дубинского и Е.В.Прохорова доказывается слабая комлактност семейства { P^J . Установленные в главе I свойства скобки (5), позволяют показать, что каждая предельная точка Р семейства { Pyvi} является пространственно-временным решением исходной стохастической системы (в статистической гидромеханике аналогичный объект изучался А.Бенсуссаном, Р.Теыамоы, М.Вио, М.И.Ви шиком, А.И.Комечем и др.). При oi >0 мера Р оказывается еди ственной. Более того, в этом случае удается построить однознач но определенный случайный процесс являющийся решени

ем соответствующей стохастической системы. По статистическому решению Р модно построить решение прямого уравнения Кшшогс рова, т.е. семейство вероятностных мер { на соответству-

ющем фазовом пространстве, удовлетворяющих соотношению вида

¿ Z(w)*S(* м4 ¿R e¿íw' ^ кíckJ

где lf>= (fo¡fi)> W~(W0;Wi)t %(t*i,4>) - характеристический функционал, а ядро R(W,y>) определяется системой (1)-(4) как и в случае уравнения Хопфа.

В диссипативном случае ( с<,£л>0 либо = = S1 >0, подобно тому, как это сделано в главе I, можно указать функцш V » сужение которой на фазовое пространство галеркинской аппроксимации исходной системы, обладает свойством

cíe:

где Х}$)>0 L^ - инфинитезимальный оператор. Формул; Иго и неравенство (16) позволяет получить дополнительные оце: ки для некоторых моментов распределения Р^ . Зти оценки да ют возможность доказать существование стационарных пространст венно-временных статистических решений, обладающих всеми моментами. Как и для системы Навье-Стокса, соответствующее рассуждение использует метод усреднения Крылова-Боголюбова. С по мощью этого результата можно доказать существование стационар ных решений прямого уравнения Колмогорова, отвечающего возмущенной "белым шумом" системе (1)-(Ю>

Отметим, что основная трудность, с которой пришлось столкнуться в рассмотрениях главы 5 - это построение подходящих непрерывных и ограниченных аппроксимаций энергии скстемь

и нелинейных слагаемых в (I).

ПУБЛИКАЦИИ

С. Чуешов И.Д. Об уравнениях для £>-матрицы в евклидовой теории // Препринт ИТФ-76-68Р. . - Киев: ИТФ АН УССР, 1976.-40с.

I. Чуешов И.Д. Вероятностная структура некоторого класса уравнений для £>-матрицы в бозонной теории // ТИФ. - 1978.

- Т.37. - С.30-39.

5. Чуешов И.Д. О некотором классе стохастических уравнений, возникающем в конструктивной квантовой теории толя //Теория вероятн. и ее примен. - 1978. - Т.23, вып.2. - С.453. Чуешов И.Д. О статистических решениях стохастической системы уравнений Кармана //ДАН УССР, сер.А. - 1982. - £ 9.

- С.26-28.

>. Чуешов И.Д. Существование статистических решений стохастической системы уравнений Кармана // Ыатем.сб. - 1983. -Т.122, £3. - С.291-312.

и Чуешов И.Д. О статистических решениях в нелинейной механике упругих пологих оболочек //В кн.: Анализ и бесконечномерных пространствах и теория операторов. - Киев: Наук, думка, 1983. - С.139-146.

Чуешов И.Д. Уравнение Хопфа для динамической системы с бесконечномерным фазовым пространством и евклидова теория поля // Препринт ЙТФ-84-1В4Р. - Киев: ИТФ АН УССР, 1985. - 36 с.

¡. Чуешов И.Д. Замечание к теореме о распространении хаоса // ТМФ. - 1986. - Т.67, 2 2. - С.304-308.

К Чуешов И.Д. Аттракторы в некоторых задачах нелинейной механики // Тез.докл. Первой Северо-Кавказской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их прил." - Махачкала, 1986. - С.222-223.

'0. Чуешов И.Д. О флаттере упругой пологой оболочки //Тез.докл. Всесоюзной конференции "Метод функций Ляпунова в современной математике", Харьков, 1986. - СД42.

1. Чуешов И.Д. Максимальный аттрактор в задаче о нелинейных колебаниях упругой пологой оболочки //УМН. - 1986. -Т.41, вып.5. - С.217-218.

:г. Чуешов И.Д. Равновесные статистические решения для динамических систем с бесконечным числом степеней свободы // Ыа-тем. сб. - 1986. - Т.130, .5 3.- С.394-403.

13. Чуешов И.Д. Структура максимального аттрактора модифицированной системы уравнений Кармана // В кн.: Теория функций, функ. анал. и их прил. - Республ. междуведомственный сборник. - Изд-во Харьк. ун-та, 1987, вып.47. - С.99-104.

14. Чуешов И.Д. Аттрактор в задаче о вынужденных колебаниях пологой оболочки //ДАН УССР, Сер.А-1987. - £ 4. - С.26-28,

15. Чуешов И.Д. Конечномерность аттрактора в некоторых задача? нелинейной теории оболочек //Матем.сб. - 1987. - Т.133,

£ 4. - С.419-428.

16. Чуешов И.Д. О построении решений стохастической модифицированной системы уравнений Кармана //В кн.: Операторы в функциональных пространствах и вопросы теории функций.

- Киев: Наук, думка, 1987. - С.32-43.

17. Чуешов И.Д. О структуре равновесных состояний некоторого класса динамических систем, связанных со скобками Ли-Пуас-сона //ТИФ. - 1988. - Т.75, 4 3.- С.445-450.

18. Чуешов И.Д. Свойства аттрактора в задаче о нелинейных колебаниях бесконечной панели // В кн.: Теория функций, функ. анал. и их прил. - Республ. междуведомственный сборник. - Изд-во Харьк. ун-та, 1988, вып.50 - С.Ю8-115.

19. Чуешов ИД. Сильные решения и аттрактор системы уравнении Кармана //ДАН УССР, Сер.А-1988. - Л 5. - С.22-25.

Ответственный за выпуск - доктор физ.-мат. наук Дринфельд В.Г.

БД № 22011 . Подписано к печати 10.10.¿9 • Физ. п.л. 1,5 Учет.-изд.л. 1,5 «Заказ $ 233. Тираж 100. Бесплатно.

Ротапринт ФТЛПТ АН УССР,310164,Харьков,просп.Ленина,47