Скорость сходимости в предельных теоремах для слабо зависимых величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На пранах рукописи ТИХОМИРОВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН. (01.01.05 "теория вероятностей н математическая статистика'')

\ВТОР1'ФЕРАТ

диссертации ни соискание учений степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Сыктывкарском государственном университете на кафедре геометрии, математической статистики и теории управления математического факультета.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН И.А.Ибрагимов,

доктор физ.-мат. наук, профессор А.В.Булинский,

доктор физ.-мат. наук, профессор А.И.МартпкаКнен.

Ведущая организации Институт .математики Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится /3 ' ^июл^ри* 199_Л_г. в

часов на заседании диссертационного совета Д 003.57,29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН (г.Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, д.27)

С диссертацией молено ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета (Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9)

Автореферат разослан и " ок. »ии^/»^ 199.5* г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доцент С.М.Ананьевский

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Продельные теоремы представляют собой один из фундаментальных разделов теории вероятностей и служат основой многих статистических методов. На протяжении более чем двух столетий основным объектом исследования была схема суммирования независимых величин, и, естественно, что именно чта схема является на сегодняшний день наиболее полно и глубоко изученной. Первые обобщения на зависимые величины классических результатов (центральная предельная теорема, закон больших чисел и т.д.) берут своё начало, по-видимому, с работ А.А.Маркова (Ш!8), рассматривавшего принцип зависимости "будущее не зависит от прошлого при известном настоящем'. Дальнейший подход к понятию слабой зависимости, основан на принципе "далекие прошлое1 и будущее почти независимы" и связан с работой С.Н.Бернштейна (1927) и идеями А.Н.Колмогорова. Эти идеи были развиты в 501'"- 60Ь|Р годы в работах таких авторов как И.А.Ибрагимов, Ю.А.Розанов. В.А.Статулявичус. М.ПойепЫаи и другие. Несмотря на очень большое число публикаций, посвященных проблемам связанным с асимптотическим поведением распределений сумм случайных величин, удовлетворяющих различным условиям слабой зависимости, классические проблемы теории суммирования (необходимые и достаточные условия применимости центральной предельной теоремы, оценки скорости сходимости в предельных теоремах, локальные предельные теоремы, асимптотические разложения и т.п.) не нашли своего окончательного решения.

Диссертация посвящена проблеме точности в предельных теоремах для слабо зависимых величин. Эта проблема занимала внимание многих ученых, начиная с классических работ П.Л.Чебышева и А.М.Ляпунова. В случае независимых величин ей посвящено большое число журнальных статей и монографий. Аналогичная проблема для слабо зависимых величин во многом находится еще лишь в начальной стадии исследований.

Основные результаты диссертации относятся к проблеме точности о центральной предельной теореме для сумм случайных величин, удовлетворяющих условиям сильного перемешивания, абсолютной регулярности, равномерно сильного перемешивания, и принимающих значения в евклидовом или гильбертовом пространствах, а также к некоторым статистическим проблемам для слабо зависимых наблюдений.

Работа над диссертацией велась по планам НИР кафедры геометрии, математической статистики и теории управления Сыктыв-

карского государственного университета в рамках темы "Аналитические и геометрические вопросы теории динамических систем" Л'!ГР 01.940000331.

Цель работы. Разработать метод для исследования точности в предельных теоремах для слабо зависимых величин, позволяющий получать достаточно точные оценки при ограничениях близких к минимальным для широкого класса функционалов, с том числе нпл-нейных, от случайных величин, удовлетворяющих условиям слабой зависимости типа условий перемешивания и принимающих значения в различных пространствах, образующих случайную по< лгдовател: -пасть или случайное поле.

Научная новизна н практическая ценность.

— Получены новые оценки скорости сходимости в централь:-/, предельной теореме для стационарных последовательностей глуч.:.';-ных величин, удовлетворяющих условию сильного перемешивания : коэффициентом а(п), убывающим степенным и экспоненциальным образом, при минимальных ограничениях на моменты.

— Получены новые равномерные н неравномерные оценки ско1 -сти сходимости в центральной предельной теореме для векторнозк,\->-ных случайных полей, удовлетворяющих условию сильного перемешивания.

— Получены новые, близкие к оптимальным, опенки и центральной предельной теореме для широкого класса статистик от наблюдений, удовлетворяющих условию абсолютной регулярности, в частности, для и-статистнк, для функций от эмпирического среднего, для отношения Стыодента и других.

Получены новые оценки для близости распределения максимальной пз первых л сумм случайных величин, образующих последовательность с сильным перемешиванием, оптимальные по порядку в случае ограниченных величин.

— Для гильбертовозначных случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания получены новые, близкие к независимому случаю по порядку убывания п по зависимости от центра шара и числа собственных чисел ковариационного оператора, оценки точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар.

— Разработан новый метод исследования точности в предельных теоремах для зависимых величин, основанный на применении Стей-новской техники локального секционирования к исследованию поведе-

ния характеристических функций и свойств устойчивости дифферен-цпальных уравнений. характеризующих предельное распределение, к малым возмущениям правой части.

Все приведенные результаты в указанных условиях превосходят по точности известные d литературе на сегодняшний день результаты. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы в различных исследованиях асимптотики распределении функционалов от слабо зависимых величин, ведущихся в Московском, Санкт-Петербургском, Омском, Сыктывкарском университетах. Санкт-Петербургском отделении института математики им. В.А.Стеклова РАН, Институте математики СО РАН и других.

Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в ЛОМИ АН СССР (Ленинград, 1982, 1984, 1988, 1990, 1992, 1993), МГУ (Москва, 1986), МИ АН (Москва, 1988), на международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981, 1985, 1989, 1993), (Петрозаводск, 1989), (Зеллнн (ГДР), 198G), (Бплефельд, 1992), на семинарах по теории вероятностей университетов Германии: Дрездена (198G), Магдебурга (1994, 1995), Фрайберга (1986). Билефельда (1994, 1995), им. Гумбольдтов (Берлин, 1987), Йены (1987). а также на семинарах Вильнюсского университета (1989 г.) и Минского университета (1989 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ в жури. Теория вероятн. и ее примен., ДАН СССР. Трудах ЛОМИ АН СССР, Трудах Вильнюсской Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике, в тезисах международных конференций.

Основные результаты изложены в Г 15.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, насчитывающего 175 наименований и изложена на 231 странице текста, набранного в TfeX'e и распечатанного в размере машинописного шрифта с двумя машинописными интервалами.

Содержание диссертации. Во всех главах изучается скорость сходимости в различных предельных теоремах для слабо зависимых величин. В первой главе мы рассматриваем суммы случайных величин, образующих стационарную последовательность, удовлетворяющую условию сильного перемешивания. Во второй главе рассматриваются суммы случайных векторов со значениями н Rk. образующих

изотропное поле над целочисленной решикой ¿}1 . удовлетворяюще-условию сильного перемешивания. В третьей главе мы рассматриваем, максимальную сумму среди первых п последовательных сумм стацио нарной последовательности, удовлетворяющей условию сильного пере мешивания. В четвертой главе рассматриваются статистики с домини рующей линейно!! частью. Среди таких статистик мы рассматривав С-статистики, функции от выборочного среднего, стыодентово отно шение и т.п., построенные по стационарной последовательности, удо влетворяющей условию абсолютной регулярности. Наконец, в пят<л главе рассматривается задача оценки точности гауссовской аппрокси мации вероятности попадания в шар сумм случайных величин, прини мающих значения в гильбертовом пространстве У{ и удовлетворяклци; условию равномерно сильного перемешивания. Во всех главах исполь зуется метод локального секционирования для исследования характе ристических функций различных функционалов от последовательно стей со слабой зависимостью. В основе этого подхода лежит выво; дифференциального уравнения "мало отличающегося'" от уравненш описывающего предельное распределение. В линейном случае (главь 1-4) задача сводится к выводу уравнения вида

где £„(£) некоторая функция, допускающая требуемые оценки; в ква дратичном случае (глава 5) уравнение имеет вид

где <?„(I) определяется через спектр ковариационного оператора слу чайных величин и центр шара. Точный вид функции q(t) будет прп веден ниже.

Приведем теперь более детальное содержание глав.

Глава 1. "Скорость сходимости в центральной предельно! теореме для слабо зависимых величин."

Пусть Л'], Х'2: ■.. — стационарная в узком смысле последователь ность случайных величин. Будем предполагать, что величины Л" имеют нулевое среднее и конечную дисперсию. Положим а\ -

Ш =</»(')/(') + £„(/), /,<(0) = 1.

п

11 составим сумму

Пусть

ВД = Р {5„ < г}, Ф(г) = I с-М^у.

—оо

Положим

дп = 8ир|ад-Ф(.-)|.

г

В настоящей главе мы исследуем скорость, с которой Д„ стремится к нулю для последовательностей со слабой зависимостью.

Будем предполагать в дальнейшем, что последовательность {А^}^, удовлетворяет одному из следующих условий слабой зависимости:

а) условию сильного перемешивания (с.п.): при п —* оо

а{п) = Ячр |Р (АВ) - Р (Л)Р (В)| — 0.

где верхняя грань берется по всем А Е ЗЛ*^, В 6 (371' означает

сг-алгебру, порожденную случайными величинами А'у, когда ] £ [а, Ь});

б) условию тп-зависимости: любые два вектора вида (Хи-Р. Ха-р+\, ..., А'а_1, Ха) и (Хь,,... ^(,4.,) независимы при 6 — о > т.

Нас будет интересовать скорость убывания Д„ в зависимости от ограничений, налагаемых на коэффициент а(п) и моменты случайных величин X]. Скорость убывания Д„ к 0 изучалась многими авторами. Один из первых существенных результатов принадлежит Филиппу (1969). Им была получена оценка порядка (2(гг-1/М) для случайных величин, удовлетворяющих условию перемешивания по Ибрагимову с коэффициентом у'(т)> убывающим экспоненциально быстро. Затем существенный прогресс был достигнут в 1972 г. в работе Ч.Стейна. В случае, когда последовательность удовлетворяет условию перемешивания по Ибрагимову с коэффициентом <р{т), убывающим экспоненциально, и конечен восьмой момент у слагаемых, была получена оценка Д„ = п). Ч.Стейн предложил в своей работе новый

метод исследования скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин. Модифицировав этот метод, Тихомиров в (1980) получил оценки для Д„ в случае последовательностей с перемешиванием по Розенблатту. В частности, при конечном третьем моменте и экспоненциальном убывании коэффициента а(т) была получена оценка

Ап = 0(гГ^2^п), (1)

и при степенном убывании коэффициента сильного перемешивания.

а(т) ~ т

Д„ < Сп (2)

В работе [7] была доказана лемма 3, в которой приводились оценки для характеристической функции суммы случайных величин с перемешиванием. Применение этой леммы позволяет уточнить приведенные выше результаты —

и

(6 406-3(2+6) \

п 5 4^+36(2+6)

Из уточнений результатов, приведенных в работе [3] для стационарных последовательностей с перемешиванием по Розенблатту, можно отметить результат Гриня (1995), получившего оценку

Д^О^Ь^п), Е |Х!|4+е < оо

при условии, что

re{m) < Л'ехр{— ßm).

В многочисленных работах, посвященных исследованию скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин рассматриваются как правило, более жесткие ограничения на зависимость (абсолютная регулярность, полная регулярность, равномерно сильное перемешивание, m-зависимость и т.п.). Интересно отметить работу Зупарова (1992), получившего оценки скорости сходимости Д„ = 0(п~"12logп) для 0 < s < ^/1+20/(0 + 1) - 1 < 1, когда коэффициент равномерно сильного перемешивания убывает степенным образом, <р(т) < Сп~в.

Выдающийся результат в этой области получил в нынешнем году Rio (1995). Он доказал оценку скорости сходимости в центральной предельной теореме при степенном убывании коэффициента равномерно сильного перемешивания <р{т) для ограниченных случайных величин порядка 0(п~1/2), без логарифмического множителя! E.Rio

использовал метод Линдеберга. В случае последовательностей с сильным перемешиванием из результатов Rio 1993 г. следует лишь, что для ограниченных слагаемых при убывании <\{т) ~ 3 > 1, скорость сходимости будет Дп ~ если ß < и Д„ = ()(tr]//3), есЛи

ß > Из результатов, приводимых ниже, в случае .i>| следует

p-i/г

оценка Д„ = 0(п log п). Отсюда нетрудно видеть, что только при ß < у и ограниченных слагаемых результат Rio улучшает результат теоремы 1.3. В остальных случаях результаты, приведенные в теоремах 1.1-1.4 — наилучшие.

В конце главы приведены нижние оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для последовательностей, удовлетворяющих условию сильного перемешивания, из которых, в частности, следует, что при степенном убывании коэффициента сильного перемешивания и конечном третьем моменте у слагаемых не получить скорость сходимости 0(п~'/2). Более точно, при E|Ä'i|2+T < со и Е (Xil247 = оо для некоторых 0 < 7' < 7 < 1 и o(m) ii т~& < а{т) < сгт-^) нижняя оценка имеет вид

Д„ > СгГ*Р+з+7 log~K(/i + 1). Таким образом, отношение верхней н нижней оценки имеет порядок

т.е. при больших ß показатель убывает как 1 ¡'Л. Для экспоненциальной скорости убывания а(т) порядки верхней и нижней оценки совпадают.

В случае степенного убывания tv(?i) нами получен следующий результат.

Теорема 1.1 Пусть для последовательности A'i. А'2____и для некоторого 0 < 6 < 1 существуют такие постоянные К > 0, ß > ^, что для всех n > 1 выполняются неравенства

a(n) < Кп~Р

и

Е|Х,|2+{ <оо.

Тогда

ос

a'2 = Е X? + 2 £ Е XiXt <00, k=i

и если а2 > 0, то найдется такая постоянная Ль зависящая от К, /3 и 6, что

t 4SS-)(2+S)

An < Ain'tw+w+i).

В случае экспоненциального убывания а(п) оценка Д„ будет оптимальной с точностью до логарифмического множителя.

Теорема 1.2 Предположим, что существуют такие постоянные К > 0, в > 0. что для всех u > 1 выполнено неравенство

a(п) < Ке~')п

и для некоторого 6, 0 < b < 1,

E|Jfi|2+i < оо.

Тогда найдется такое Азависящее только от К, (3, <5, что Дп < Ajn-^lg^lri + l).

Теорема 1.3 Пусть для некоторого у > О

E|Xi|3+"7 < оо

и для всех га> 1 и некоторых К > 0, [3 > max (j^+^y 4+t?)

a(m) < Km~0.

Тогда,

CO

о2 = E X\ + 2 £ E A'i+J- < oo ;'=i

и, если a2 > 0, то

< Cn log(n + 1).

Теорема 1.4 Пусть выполнены условия теоремы 1.2 и, кроме того, для некоторого у > О

< ос. '

Тогда найдутся такие A4 и А&, зависящие только от К, ft и 7, что

|вд - *(,)| < ^

Для m-завпсимых величин удается избавиться от логарифма в щенке Д„ и получить следующий результат.

Теорема 1.5 Пусть Л'ьЛ'з,... — такая стационарная в узком смы-•ле последовательность rn-зависимых величин, что

Е|Х,|3 < оо.

Тогда существуют такие абсолютные постоянные С\ н C-i, что имеет место неравенство

. hi E'/W тЬтЕЩ\\\Чпп •^п 5: -Т~7=--("С-г-5-!

оЛу/п С 71

-де = maxi<p<m+i Е 1/31 Х„|3.

Метод доказательства теорем 1.1-1.5 излагается в п.1.2 настоящей заботы. Он основан на характеризации нормального закона уравне-шем для характеристической функции f(t) = е~! Î1 вида

/'(<) = -tf(t), /(0) = 1,

-очнее, на устойчивости решения этого уравнения относительно ма-гых возмущений правой части, т.е. переходу к уравнению

Л(>) = -'/..(') +МО, /»(0) = 1.

I последнем уравнении величина e„(f) стремится к 0 при и —* оо. 1ногда в литературе »тот метод называют методом локального секци-нирования (см. Булинский (1989), Сунклодас (1991) и др.).

Метод, описанный в п.1.2, использовался в работах многих авторов. ]дя случайных полей, удовлетворяющих условию с.п., метод локаль-юго секционирования использовался, например, в работах Richard-оп'а и Guyoii'a, Булинского, Бакирова, Сунклодаса, Yoshihara и др. В [.1.3 мы приводим подробное доказательство теоремы 1.5. В п.1.5 опи-аны примеры стационарных последовательностей, удовлетворяющих словшо с.п., для которых получены нижние оценки Д„. Из получен-[ых оценок видно, какую скорость убывания Д„ мы можем получить

при тех или иных соотношениях между скоростью убывания коэффициента с.п. а(п) и числом моментов у слагаемых Лj. В частности, оказывается, нельзя получить оценку для Л„ порядка если ко-

эффициент с.п. а(п) убывает лишь степенным образом, а моментов у Xj не более трех. Мы приведем формулировку теорем о нижних оценках в двух вариантах: в первом (именно такой она была опубликована в 1980 г.) приводятся условия необходимые для получения заданной скорости, а во втором — границы, которые можно достигнуть при заданных ограничениях на моменты и скорость убывания коэффициента сильного перемешивания.

Теорема 1.6. Для любого ё, 0 < 6 < 1 существует стационарная в узком смысле последовательность А-!, Х2,... случайных величин такая, что для любых 0 <"/'< у = 5 +

Е |-X"i|2+7' < оо, ElX.f^oo;

коэффициент сального перемешивания этой последовательности удовлетворяет условию

а(т) ж m-<2+i»P-1-i,

и для некоторого С > О

Д„ > Cn~6>2lg-^n + l).

Замечание. В условиях теоремы 7 может быть больше 1, т.е. у последовательности может быть и больше трех моментов.

Теорема 1.7. Существует стационарная в узком смысле последовательность случайных величин ATj, Х2,... такая, что для любых О < У < 7 < 1

Е |Аг]|2+г' < оо

и

Е |Xi|2+7 = 00

и коэффициент сильного перемешивания убывает с заданной споростью a(m) X ^/3 > такая, что для некоторой постоянной С> О

£-2±2

где к > 0, некоторая постоянная, зависящая от 7 и /?. Если 7 > 1, то при < [5 < найдется такая последовательность Л"), что

а (я) х

Е|А-!|2+у <оо

An > Cn'biafrig-^n + l)

Замечание. В случае 7 > 1 и /3 > ^ffi уже может достигаться скорость 0(п~1/'2). В частности для ограниченных величин при (3 > 2 чожно ожидать скорость порядка 0(»t""'/2) (возможно с логарифмом). Центральная предельная теорема имеет место при р > 1.

Глава 2. О точности нормальной аппроксимации для сумм зекторнозначных случайных полей при условии перемешивания

Определим строго стационарное векторнозначное случайное поле 6 Л', / Е Zp. Обозначим символом Wl(U) С 5" «т-алгебру событий юрожденную случайными величинами А/, когда I £ U, V С . Введем, далее, расстояние р{1',1") = max !<,-<,, |(Р')' — 1'J" € Zj}", и расстояние между U', U" С ZjJ" определим равенством

p(U',U") =imn{p(l',l") : Г € t'V" € I'"}-

Определим коэффициент сильного перемешивания Xi для г > ,т > 1 равенством

а(г,го)= sup sup |Р (АВ) — Р (Л)Р"(Б)|, (3)

и',и" Аещи'),веЩи")

•де первый супремум берется по всем подмножествам U', U", удовле-'воряющим условиям

p(U',U")>r

[

max(|£/'|,|f/"|) < m,

имвол |i/| означает число элементов множества U. Для заданного юдмножества /У, U С Z;|. определим

S(U) = 52x,.

Ш'

Всюду далее мы будем предполагать, что ЕХ/ = 0 € Я4 и ЕЦХ1Ц2 < оо. Кроме того, будем предполагать, что ковариационная матрица В(и) = соу Б(II) невырождена. В этом случае существует положительно определенная матрица такая, что О1 (и) = В(II). Положим г(и] = я-чодг).

Пусть /г — класс выпуклых подмножеств В4, и пусть } гауссов-ская случайная величина, принимающая значения в /?'', с Е1' = 0 и соу У = I (I — единичная матрица ц х д), А(ЬТ) = яир,,^ |Р £

Л}-Р{ГеЛ}|.

Теорема 2.1. Предположим, что коэффициент перемешивания случайного полл Л'; удовлетворяет неравенству

а(г. /и) < Кт" ехр{-/^ } (4)

для всех г > 1, тп > 1 и некоторых положительных постоянных К > 0, /3 > 0, а > 0.

Предположим далее, что

Е||Х,||3< оо. (5)

Если существует положительно определенная матрица В. удовлетворяющая соотношению

Шп ® = В, (6)

м-*> \и\

то существует постоянная С, зависящая от <], ]>, К, -0, ЕЦХ1Ц3 и собственных чисел оператора В такая, что

А(и) < с\и\~х/2 ((1п .

Этот результат был анонсирован в работе автора [5], а в работе [8] было изложено подробное доказательство. Здесь изложение доказательства существенно отличается от изложения работы [8]. В работе [8] рассматривалась система дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных для характеристической функции векторной суммы. В настоящей главе мы придерживаемся схемы доказательства, которая позволяет получить оценку близости многомерных характеристических функций через уже известные оценки для одномерного случая.

Обобщение метода, изложенного в работе автора [3], на случай одномерных случайных полей, было впервые, по-видимому, осуществлено в работе Guyoii и Richardson (1984). Наиболее полное исследование скорости сходимости для одномерных случайных полей с перемешиванием было проведено Булинским. В частности, им рассматривался случай неоднородных полей, удовлетворяющих условиям сильного перемешивания и без предположения равномерной ограниченности момента порядка s, s g (2,3).

Guyon и Richardson [116] получили для случайного поля над решеткой Хр, удовлетворяющего условию ш-зависимости, оценку вида

при условии, что Е |Aj|2+M1 < С < оо. Здесь п А Ь = min(a, b).

В работе Takahata (1983) при условии, что Е |А'_,|а < оо и экспоненциальном убывании коэффициента сильного перемешивания методом Стейна была получена оценка

Al/=0(|t/|-1/2(log|t/|)"),

и при условии, что Е |Xl|4 < оо,

A(t0=O(|C/|-,/4(log|C/|)"/2).

Для m-зависимых полей с Е |А^|8 < оо там же была получена оценка

A(U)=0(\U\~^).

Сунклодас в работе (1985) рассматривал одномерные случайные, поля с условием перемешивания, определяемым аналогично (1):

sup |Р (АВ) - Р (Л)Р (В)I < (|£"| + \U"\y'n(p(U', U")). леая(У).веяп(|'")

а(г) —> 0, когда г —» оо, и поля с условием равномерно сильного перемешивания

sup |Р (АВ) - Р (Л)Р (В)|/Р (А) < (|С"| + \U"\)\(p(U\ U")) леда(и'). вещи"),

Г(А)>0

и iр(г) —> 0, когда г —> оо и m-зависимые поля.

Для стационарных полей из результатов Сунклодаса следует соответственно

A(Í7) =0(|t/rV2(log|C/j)2P)

для случая Е |-Yi|3 < оо и « (г) < Л'охр рг\

A(U) < C\U\-lt\m + 1)-р

для m-эависимых полей.

Из результатов Булинского следует, что для стационарных полей с экспоненциально убывающим коэффициентом о (г) и конечном третьем моменте у слагаемых

b(U) = 0{\V\'ift(bs\V\n

Результат, приведенный в теореме 2.1, в случае q = 1 совпадает с результатом, полученным из оценок Булинского (1986).

В случае векторов, при р = l,(k > 1), первые результаты близкие к оптимальным были получены Хиппом (1979). Им были получены следующие результаты:

Д([/) = д„ = lg2/i).

при экспоненциальном убывании коэффициента а (г) и конечном третьем моменте. Для величин с экспоненциальными моментами

An = Oc(>fi+€)

для любого е > 0.

В работе Сунклодаса (1985) для ш-зависимых векторов была лолу-чена оценка

Д„ = 0(1Г 5 (Inn)1*1)

при условии, что Е |Xi|3 < оо.

Таким образом, результат теоремы 2 при р = 1 и q > 1 совпадает с результатом Сунклодаса для m-зависимых векторов.

В оценке, полученной в теореме 2.1, можно понизить степень логарифма. Дело в том, что степень логарифма р в приведенной оценке определяется слабой зависимостью и методом доказательства, а дополнительная степень ^ определяется только грубостью оценки A(U) через характеристические функции, используемой при доказательстве теоремы 2.1.

В многомерном случае более тонкие оценки Д(U) через характеристические функции требуют оценки близости не только самих характеристических функций, но и их производных. Оценки производных

старших порядков для слабо зависимых величин, естественно, очень сложны технически, поэтому мы выбираем такие неравенства сглаживания, которые требуют минимального числа производных. Такие оценки приведены, например, в работе Фомина (1982). Используя эти результаты, мы доказали следующую теорему:

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (2.1.2)-(2.1.4). Тогда найдется постоянная С, зависящая лишь от К, а, 0, спектра матрицы В иЕЦА^Ц3 такая, что

ь{и)<с\и\-1'2(1оВ\и\г.

Используя результаты работы Фомина (1982), можно получить также неравномерную оценку в /?''.

Обозначим т(В) -- мера Лебега множества В в П'1, 8{В) - площадь поверхности выпуклого множества В С Вч\ ¡ЦП) расстояние от О до множества В. Вс — е - окрестность множества В.

Ве = {:г е Я7 : /ЦВ - х) < 5}:'

Ш) = ,п(В") + 3(В2').

Теорема 2.3. Если выполнены условия (2.1.2)-(2.1.4), то найдется постоянная С такая, что для любого выпуклого множества

АСВ.Я

|Р{г(11) е Л} - Р{У е л}| < С|[/]-1/2(1оьЧ^|)"тт(1,Л(Л))(1 + [!){А)?)-\

где£ = С\и\-11\\о%\и\У.

Глава 3, О распределении максимальной суммы слабо зависимых величин

Пусть £ь{2,... — стационарная в узком смысле последовательность случайных величин, удовлетворяющих условию сильного перемешивания с коэффициентом а(т), Е£( = О, Е< оо. Введем обозначения: 5* = + •■• + <5„ — тах1<1.<„ а\ = Е Сп{х) = Р {5„ < х<г„}. Будем предполагать, что Нш,,.^ — а2 > 0. Положим Д„ — вирз. |С„(:г) — 6'(а:)|, где

Г+

С(х) = у/2/^ / ехр{-.1/72К'У, " = шах((),.г).

•Л>

Неравенство Беррц - Эссеена для максимальной суммы для независимых одинаково распределенных случайных величин было получено Нагаевым в 1970 г. Затем Невзоров (1973) обобщил »то неравенство на случай неодинаково распределенных величин. Т.Арак в 1973 г. получил неравномерные оценки.

В настоящей главе рассматривается задача оценки скорости сходимости в предельной теореме для максимума сумм случайных величин, образующих стационарную в узком смысле последовательность, удовлетворяющую условию сильного перемешивания. Результаты, приводимые ниже, были опубликованы в [7].

Для ограниченных величин нам удалось получить с точностью до логарифмического множителя оптимальный порядок оценки скорости сходимости. В случае, если конечен только момент порядка р, р > 3. то отклонение от оптимального порядка составляет В частно-

сти, при р = 3 порядок оценки 0(гГ1'^), а в независимом случае (результат С.В.Нагаева) 0(/1~|//2).

Следует заметить, что исследование асимптотики распределения максимума сумм даже в независимом случае весьма сложная аналитическая задача. Требуется точное знание асимптотики моментов максимальной суммы, ее отрицательной и положительной части, которые находятся с использованием факторизационных тождеств. Эта техника не переносится на случай слабо зависимых величин непосредственно.

Типичная схема получения аналогов результатов, известных для независимых величин, на случай слабо зависимых — это использование метода секционирования С.Н.Бернштейна. Однако, при таком секционировании максимум ведет себя весьма нерегулярно и трудно ожидать хороших результатов. Надо заметить, что мы в исследовании

скорости сходимости распределения максимальной суммы к предельному в случае последовательностей с перемешиванием используем достаточно грубый подход, однако приводящий к весьма простым оценкам. В основе этого подхода лежит тождество, которое использовал и С.В.Нагаев d своей работе для исследования х.ф. максимальной суммы. Однако, мы оцениваем не близость самого распределения максимальной суммы к распределению модуля стандартной гаус-совской величины, а близость симметризованного с помощью отражения (^(^(я) + 1 — ^(—х))) распределения нормированной максимальной суммы к нормальному закону. Поскольку максимальная сумма "почти наверное " положительна (вероятность того, что она отрицательна удается достаточно просто оценить), то из близости "отраженных" законов нетрудно получить оценку близости исходных распределений. За счет такого "отражения" удается избежать вычисления точной асимптотики моментов максимальной суммы, использовать только оценки на рост (убывание) этих моментов. К сожалению, результаты, приведенные в теореме 3.1 никем не были улучшены.

Основной результат главы 3.

Теорема 3.1. Пусть для всех m > 1 /шест место неравенство п(тп) < Мехр{—/Зт}, где М ч 0 — положительные постоянные. Тогда если:

1) E|£i|p = ap < оо для некоторого р > 3. то наИдется такое С1, зависящее только от М, ft, ap, что для всех n > 1 справедливы неравенства

2) lfi| 5- Н п.н., то наИдстся такое С\ — С>{.\[, 0. Н). что

Д„ < 0~|/2 In3 и.

Глава 4. "Скорость сходимости в центральной предельной теореме для статистик некоторого класса от слабо зависимых наблюдений."

Пусть X], Х<2,... стационарная в узком смысле последовательность случайных величин, принимающих значения в произвольном измеримом пространстве (Л', Л). Мы будем предполагать, что последовательность удовлетворяет условию абсолютной регулярности ft(m) —► 0, при т —> оо, где

/3(rn) = supE.sup{|P{A|imf}-P{A}|: Л € 0Л?+т},

где SOT' означает ст-алгебру, порожденную случайными величинами X/, когда I Е [а, Ь].

Мы докажем неравенство Берри-Эссеена для достаточно широкого класса статистик от слабо зависимых наблюдений. Пусть f = tn ве-щественнозначная функция п переменных. Мы будем рассматривать статистики Т = t(X 1,..., А„), которые представимы в виде

Т = 5 + Д, где 5 = -L Т <?№), (7)

V" ,

с некоторой функцией д : X —» R,такой что Е ^(A'i) = 0 и остаточным членом R = • • • > -Хп).

Пусть

п-1

' а\ = Е52 = + - jn~')Ea(X}) g(X]+j)

j=i

определяет дисперсию S и пусть ps = Е |y(A'i)|s.

В случае независимых одинаково распределенных случайных величин Х\, А*2,... линейная часть 5 статистики Т асимптотически нормальна, когда п —+ оо,

Р {S < апх) - Ф(*), где Ф(х) = -L= Г 1Щ>{-*1}<Ц,

V27T J-ъ i

если

стп > 0 (8)

и supn Р2+6 < 00 с некоторыми фиксированными ст2 > 0 и 6 > 0. В слабо зависимом случае дополнительное условие

ml < 00

m

для некоторого £ > 0 влечет тот же результат. В этом случае статистика Т будет асимптотически нормальна, если R —* 0 по вероятности.

Для доказательства оценок Берри-Эссеена необходимы более сильные ограничения. Известно, что (см. гл.1) условие

sup pz < р < 00 (9)

п

и

ß(m) < Л'ехр{—ßm}, для всех та > 1, (10)

с некоторыми К < со и ß > 0, влечет

sup P{S < апх} - Ф(х) < ^n_1/2logn

х

с постоянной А зависящей от К, ß, X) я р. Мы распространим этот результат на случай общих нелинейных статистик с некоторым ухудшением степени логарифма.

Пусть Ttj означает ст-алгебру порожденную случайными величинами А';, когда I £ [/',*•] и 1 < I < п. В случае к < j ОТ* = Щ.

Теорема 4.1. Предположим, что условия (S) - (10) выполнены. Пусть

Rj,t Rj.k ------1, Хк+1.... А „)

означает некоторые 9Л*-измеримые случайные величины такие, что Rj,i-\ = R для всех 1 < j < п и пусть

7 = шах{Е2/3|Ям - Л,,*_,|3/2: \j - k\ < log2 п и 1 < j < k < n}. Тогда

supjp {T < crnx} -Ф(х) < Л7Г|/21оцгг +,4E|/?| +-4-,vAIlog27i I I

с константой А зависящей только от К, ft, и р. Если функция g не зависит от п и

оо

<т2 = lim a2n = E5s(Xi) +2rEj(A',)j(.Y1+j) > О,

n—»oo *—'

J=I

то supr P {T < ax} — Ф(х) удовлетворяет той же оценке с константой А зависящей от К, ß, <т и />.

Для доказательства этой теоремы, мы используем модификацию метода локального секционирования, описанного в главе I настоящей диссертации.

Приведем некоторые приложения Теоремы 41. Рассмотрим функции от эмпирического среднего, функционалы от эмпирической функции распределения, Стыодентизированное среднее, [/-статистики.

На уровне исследования скорости сходимости в центральной предельной теореме для статистик от слабо зависимых наблюдений можно отметить лишь работу Yoshihara [172], в которой получена оценка скорости сходимости в ЦПТ для [/-статистик порядка

0{n~lt2 lg2 n) при более жестких ограничениях на моменты, чем в настоящей главе (у Yoshihara требовалось Е ||г',(хь < с"0- il У

нас Е г2)|2+6 < ос для сколь угодно малого 6 > 0. либо при Е|^(х1,х2)|2 < оо

A^Oin-'/'lgin)).

Символами А,А\,А->____мы будем обозначать общие постоянные,

которые могут зависеть от параметров задачи, подобно Л", ¡1. р. п. ... Через т sa A log п мы будем обозначать натуральное число с достаточно большой общей постоянной А, т,т\,т-2,... мы будем обозначать последовательность независимых равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных величин, и независимых от всех других случайных величин. Символом Ег мы будем обозначать условное математическое ожидание, когда фиксированы все случайные величины кроме г.

Для любой случайной величины £ символом £ мы будем обозначать ее копию f, независимую от всех других случайных величин.

Функции от выборочного среднего. В параграфе 4.2.1 мы предполагаем, что ХЬХ2,.. • принимают значения в вещественном сепара-бельном банаховом пространстве В. Рассмотрим статистику

Т = yfi (Н(Х) - Н(0))

где функция II : В —► R и выборочное среднее X = «_1(А'| + ... +А'„).

Мы будем использовать разложение Тейлора для достаточно гладкой функции / : В —♦ R,

f(x+h) =flQ)+f'(x)h + ..,+ n/(t> ¿Г® - i1 - т)1"/(4'+1) (л- + 7"/' )/ii+1 -

где fW(x)h-> означает j-ую производную но Фреше функции / и точке х по направлению h.

Предполагая, что И дифференцируема по Фреше и используя разложение Тейлора, мы можем записать

<1{х) Н'(0)х

и

R := у/п{И(Х) - Н{0) - Я'(О)Х) = Г{1 - т)Н"(тХ)Х\

Функция д не зависит от п и Обозначим

л

М.:=Х>р ||Я(;)(а:)||.

Теорема 4.2. Предположим, что выполнено условие абсолютной регулярности (10). Пусть

Е Х\ — 0, р:=Е||^1||3<ос,

Предположим, что о1 > 0. Если Мз < сх>, то существует постоянная Л зависящая только от В, К, /5, р, Мз и а такие, что

<5„ - sup

Р {Т < гта-} - Ф(а:) < С?Г|/2 log:! н.

Есля банахово пространство В типа 2, то условие гладкости Мз < оо может быть заменено на условие Mi < оо.

Определение. Банахово пространство Б пространство типа

п

2, если существует постоянная С = С(В) такая, что Е || <

i=i

Е pi||2 для любых независимых случайных величин У,. Конечномерные пространства, гильбертовы пространства и L,,. I,,, '2 < р < оо - пространства типа 2.

Функционалы от эмпирической функции распределения. Через Г]], 1)2,... мы обозначим стационарную в узком смысле последовательность случайных величин. Функцию распределения ?/1 мы обозначим F(t). Через Fn мы обозначим эмпирическую функцию распределения соответствующую выборке щ,..., ?/„. Определим случайный процесс Xi(t), t € R, 1 < i < n, Xi(t) := 1{щ < i} - F{t). Пусть

Ea := - F) = (X, + ,.. + X„)J\fn

означает эмпирический процесс.

Предположим, что функционал Я принимает вещественные значения и что H(F) и H(F„) оп[)еделены. Определим статистику

Т := MH(F„) - H(F)).

Мы можем записать Р„ - Г = Е„/</п_= X. Введем функционал вР{Н) := + /г), тогда Т = - Ст(0)). Определим про-

изводную Н через производную С/г как Н^(Г+х) :=С^{х). Чтобы определить производную введем банахово пространство В, которое может зависеть от .Р, и будем выбирать в зависимости от Н и частных проблем. Мы будем предполагать, что : В —» И дифференцируема по Фреше и мы будем считать, что В содержит выборочные функции Л'{(£) п.н. Далее, предположим, что X,, X случайные величины, принимающие значения в В.

Обозначим

Мл := Х>р ||Я<'>(*)||-;= 1

Мы можем переформулировать теорему 4.2.

Теорема 4.3. Предположим, что последовательность 'Уь'/'2----

удовлетворяет условию перемешивания (4.1.4). Пусть

ЕХ,=0, р:=Е||Х,||3 <со.

Определим д(х) := Н'(Р)х п предположим, что а2 > 0. Если М,\ < оо, то существует постоянная А, зависящая от В, К, /Л р, Мл л а, такая что

sup

Р {Т < ах} - Ф(а') < См"1/2 log

iSi.

Если банахово пространство типа 2, го условно Л/;) < оо можно заменить на М<2 < оо.

Стьюдентизированное выборочное среднее Предположим, что случайные величины Х\,Х2,--- принимают вещественные значения и удовлетворяют условию абсолютной регулярности (4.1.4). Предположим также, что EJft = 0 и EX4 < р4 < со. Обозначим

Är = n-1(X1 + ... + Xn), 5 \/п ■ X, <tZ = ES3, и предположим, что lim ст2 := а'2 > 0. Рассмотрим оценку а'2

,'= 1 l:]j-l\<m

Эта оценка состоятельна и асимптотически несмещенная при m — A log п и при достаточно большой константе А. Определим s := ч/*2.

если в2 > 0, и в = О, если з2 < 0. Введем стыодентизированную статистику

í := —, для я > 0, и I := 0, для л = 0.

я

Теорема 4.4. Существует постоянная .А = А(К, /3, а, такая, что

sup

Pr{i < .г} - Ф(аг) < An^'^log^in + 1).

[/-статистики. Для упрощения обозначений мы будем рассматривать только ^-статистики 2-го порядка,

1 "

L' = S + П, где J2<l(xj) и Л = /Г3/2 £ Л,-),

1 !<'<j<n

где функция ф : X2 —i- R] —- симметричная функция своих аргументов, ф{х,у) — гр(у,х), и БiJ<(x,Xj) = 0, для всех х G Л' (функции д и V' могут зависеть от п).

Теорема 4.5. Предположим, что (8)~(10) выполнены п что

sup sup Б f2 (Л'ь Xj) + sup Е i/>2(Xi, Хг) < L < оо.

Тогда

6„ := sup Р {U <х<гя}~ Ф(а:)| < An'1'2 log5/2n,

х

где константа А может зависеть только от К, ft, р, 11 L. Если цополнительно выполнено условие

sup sup Е\ti'{Xi, A'j)|2+i + supE |^(X|,A'2)|2+i < оо (У)

n 1 <l<j<n n

для некоторого 6 > 0, то

bn < An-1''2 log2 п.

Следствие 4.6. Пусть условия теоремы 4.5 выполнены и пусть д чс зависит от п. Предположим, что дисперсия гт2 > 0. Тогда

¿^ := supjР {U < ах} - Ф(дг)| < An~1'2 log5/2 п,

где константа А может зависеть лишь от К, [), р, ст и L. В случае условия (У)

Ьп < А/Г1'2 log2 п.

Замечание 1. Yoshihara d 1984 доказал оценку 6'п = 0(ri~1/l2 log2 п)

в предположении, что g и Ф не зависят от п и что supE |</'(А*|. A'j)|3 +

Kj

Е|^(АьА2)|3<оо.

Замечание 2. В теореме 4.1 мы стремились получить наиболее общий результат, позволяющий как показывает пример, получать без труда важные следствия для широкого класса статистик. Нетрудно убедиться в том, что используя специфику каждой конкретной статистики можно повторяя рассуждения доказательства теоремы 4.1 добиться уменьшения степени логарифма так, как это сделано в Главе 1 с использованием рекуррентных неравенств. Однако, это привело бы к неограниченному росту текста. Здесь продемонстрированы возможности метода и получены новые результаты в каждом конкретном следствии.

В главе 5 мы исследуем точность нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гильбертовозначных случайных величин.

Пусть A'i, X'i,... — стационарная в узком смысле последовательность случайных величин со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве "Н. Будем обозначать символами {•,•) и || • ||, соответственно, скалярное произведение и норму в Н. Предположим, что Е А'| = 0 и Е ||А'|||2 < ос, так что определен ковариационный оператор В случайной величины (с.в.) Х\.

п

Рассмотрим сумму S„ = (Sp Д,)-1/2 ^ Xj, где Вп ковариационный

j=i

к

оператор ^ АГ;> Sp(Bn) — след оператора В„, Y — гауссовский вектор, j=i

принимающий значения вН.сЕУ = 0и ковариационным оператором Bn/Sp Вп. Нас будет интересовать оценка величины

Д„(а) = sup |Р {||Sn + а|| < г} - Р {||У + а|| < г}|

г>0

для последовательности с.в. {A'j}^:,, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания (р.с.п.) с коэффициентом

¥>М = supsup{|P (АВ) — Р (А)Р (5)|/Р{А)-, В Е

л е от^.Р(Л) > о}.

со

где Wîf, означает гт-алгсбру. порожденную случайными величинами Х}. когда j 6 [н Л;].

В случае, когда слагаемые независимы {-р(ш) = 0), исследованию поведения Д„(а) посвящена обширная литература (см., например, обзорную статью Гетце, Бенткуса, Паулаускаса, Рачкаускаса). Этого нельзя сказать о слабо зависимых величинах. Можно отметить работу Rhee Wan Soo и Talagrand Michel (1981), из результатов которой следует, что для ограниченных, тЬ-зависимых величин Дп(0) < Си-1/8loga п и работу Зупарова (1991), в которой получен результат Ап(а) < С( 1 + ЦаЦ)3«-1/4 log" гг, для некоторого а > 0, при E||Ari|j3 < оо и экспоненциально быстром убывании коэффициента р.с.п. <р(гп).

Не вдаваясь в детали проблемы оценивания Д„(м) для независимых величин, приведем для сравнения следующие результаты:

а) если Е ||A'i||3 < сс, то Д„(я) < С(1 4-|М|):1»-]/2Е ||A',||7(SpВ)л>"2 (Юринслшй. 1982):

б) если ЕЦА^Н1 < оо и ковариационный оператор В имеет бесконечно много собственных чисел, отличных от 0, то для любого £ > 0 имеет место оценка Д„(0) < Ссп~1+€ (Залесский. 1982).

Различные уточнения оценок Д„(я) для независимых слагаемых можно найти в работах Гетце, Бенткуса. Нагаева, Сазонова. Ульянова. Залесского и других.

В связи со значительными техническими и идейными трудностями получения оценок Д„(«) для случая слабо зависимых величин, мы будем предполагать, что случайные'величнны удовлетворяют следующему ковариационному условию

где Ь > 0, Ь. € Н. Нетрудно видеть, что это условие выполнено, если случайная величина А') ограничена п.н., т.е. ¡А':| < Ь п.н. Оно также выполнено для гауссовских векторов.

Мы рассмотрим сначала случай некоррелированных с.в. и шары с центром в 0.

Теорема 5.1. Предположим, что существуют такие постоянные К > 0. (3 > 0, что для всех т > 1

Е\(ХиН)\Л<1т\Е\(Хик)\\

(25)

ç>(m) < К ехр{—/Зт},

(26)

постоянная M > 0, тикая что

Е 1|3 < М < оо (27)

и выполнено условие

Е(Х^г)(Х1,д) = 0 при Н,д € Н,1 ф (28)

Тогда найдется такая постоянная С, значение которой определяется величинами К, 0, Ь. М и распределением собственных чисел оператора В1, что

А,ДО) < Сп-1^\о&гп.

Ниже мы отказываемся от условия некоррелированности, заменяя его условием

9(1) <1 (29)

и рассматриваем шары с произвольным центром ч.

Теорема 5.2. Предположим, что последовательность удовлетворяет условиям (25), (26), (27) и (29). Тогда существует постоянная С > 0, зависящая от констант Л", ¡i и распределения с.в. Xj, такая, что

Д„(«) <C(l + |M|:V1/2loK:in.

Вывод оценки Дп(0) основан на исследовании характеристической функции (х.ф.) fn(t) с.в. ||S„|j2, fn(t) ~ Ее'1У. Наряду с тем, что при доказательстве теоремы используются идеи, предложенные Ф.Гетце в работе [93] и развитые в работах других авторов (см.. например, [17, 66, 68, 70, 145]), метод исследования х.ф. /„(t) в "малой" окрестности нуля отличается от методов, применяемых в упомянутых выше работах.

Пусть f(t) — х.ф. с.в. ||У||2, f(t) — Ес'(К. Тогда, как нетрудно видеть, имеет место равенство

оо

f'{t)^(J2i\k/(l-2itXk ))/(/), (30)

k= 1

где Л] > А2 > ...- собственные числа оператора Bi/SpB\. Х.ф. /(<) можно рассматривать как решение уравнения (30), удовлетворяющее начальному условию /(0) = 1. Это решение в следующем смысле

устойчиво: если мы рассмотрим задачу Кошн для уравнения

ОС)

fn(t) = - 2it\k))fn(t)+Sn(t) (31)

*=i

с начальным условием /„(0) = 1. то решение последней, представимое в виде

будет близко при больших п к решению уравнения (30) с темп же начальными условиями, если только £„(/) в некотором смысле близко к нулю. Таким образом, наша задача сводится к выводу уравнения (31) длтх.ф. fn(t) и оценке en(t). Вывод уравнения (31), по существу, означает представление £„(/) п виде, содержащем доступные для оценивания "локальные" характеристики последовательности {A'jljl,. Этому посвящен п.5.2. Вывод основан на применение техники локального секционирования, развитой для исследования х.ф. сумм слабо записи-' мых величин в работах автора [1-15] и восходящей к работе Ч.Стейна (1972).

Оценки величин, входящих в представление гn(t). основаны на оценках моментов сумм случайных величин с перемешиванием, а также на оценках расстояния по вариации между распределениями с.в., измеримых относительно "далеких" сг-алгебр. Необходимые неравенства мы приводим в п.5.2.2, в пп.5.2.3, 5.2.4 мы приводим оценки величин, входящих в представление £„(t). Поскольку большинство рассуждений однотипно, то мы даем подробное изложение лишь в п. 5.2.3. Завершение вывода оценок слагаемых, входящих в представление £„(<), приведено в пп. 5.2.4-5.2.7. В разделах пп. 5.2.8, 5.2.9 рассматривается оценка модуля х.ф. fn(t) в области 7in1/,a < < 72'ft1/2 log"™ n для некоторого a > 0. В п. 5.2.10 второй части приводятся итоговые оценки для Ап(0).

Доказательство теоремы 5.2 основано на исследовании характеристической функции с.в. ||Srl+a||2: f„(t,a) = Б ехр{г'<||5,, + а||2}. Чтобы получить оценки разности между характеристическими функциями fn{t,a) и g„{t,a) = Б ехр{г<||У„ + гауссовской с.п. мы используем

факт устойчивости решения дифференциального уравнения

( = 1 * " '

^ /А*

ДО, я) - 1,

где Л1 > Аг > ... собственные числа ковариационного оператора Л'„. а^ — проекция вектора а на собственный вектор (ц- соответствуговт собственному числу А*...

Нам удобнее переписать уравнение (32) в операторной форме, введ в рассмотрение оператор

Я,(Вп) = (1-2ИВпТ\

где I — единичный оператор в гильбертовом пространстве Н. Здес. и далее мы полагаем В Вп := В„/8рД,. В таких обозначения: уравнение (32) перепишется в виде

/'(*,«) = +Яр (£*«(£))/(*, «)-

- ((4(п,ВД,(В)а))/(*,«)-

- 4/«2<а,В2Д?(В)а)/(/,«) = (33 = /Эр (ВД,(В))/(/. а) +

+ ¡{а,(I + 2ИВП,(В))2,!)№,«).

В случае а = 0, очевидно уравнение (33) эквивалентно уравнению (30) Мы получим уравнение

¡пМ = Яр (ВЩВ))№,а) +

+ + 2ИВВ.1{В))2а)]{1,а)± (34

+ ип

аналогичное уравнению (31). Поскольку ¡/(г1, а)| < 0)| для все: а € Я, то все, что сказано о поведении решения уравнения (31), сира ведливо для уравнения (34). Вывод представления для £„(/) в случа уравнения (34) и соответствующие оценки величин, входящих в оста ток приведены в пп. 5.3.1 -5.3.8.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Тихомиров А.Н. Скорость сходимости в центральной предельной теореме для цепей Маркова. Теория вероятн. и ее прнмен., 1973. т.20, вып.З, C.689--G90.

[2] Тихомиров А.Н. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин. Вестник ЛГУ, 197G, т.2, №, С.158-159.

[3] Тихомиров А.Н. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин.— Теория вероятн. и ее примен., 1980, т.25, вып.4, С. 800-818.

[4] Тихомиров А.Н. О скорости сходимости функции распределения максимальной суммы слабо зависимых величин. Тезисы докладов 3-ей Международной Вильнюсской конференции по теории вероятн. и мат. стат., 1981, т.2, С.192-194.

[5] Тихомиров А.Н. О нормальной аппроксимации сумм случайных полей с перемешиванием. Докл. АН СССР, 1983, т. 271, №2, С. 312-314.

[6] Тихомиров А.Н. О нормальной апроксимации сумм слабо зависимых величин. Тезисы докладов 4-ей Международной Вильнюсской конференции по теории вероятн. и мат. стат., 1985, т.З, С.188-190.

[7] Тихомиров А.Н. О распределении максимальной суммы слабо зависимых величин. Теория вероятн. и ее примен., 198G, т. 31, вып. 4, С. 829 834.

[8] Tikhomirov A.N. Он the Gaussian approximation for sums of vector-valued random fields under mixing conditions. In: Limit theorems, Technische Universität, Dresden, 1987, pp. 8 25.

[9] Тихомиров А.Н. О нормальной аппроксимации в гильбертовом пространстве сумм слабо зависимых случайных величии. Тезисы докладов 5-ой Международной Вильнюсской конференции но теории вероятн. и мат. стат., 1989, т.4, С.279-280.

[10] Tikhomirov A.N. On the normal approximation of sums of weakly dependent Hilbert-valued random variables. Probab. Theory and Math. Statist. Proc. of the Fifth Vilnius C'onf.. 1989. Utrecht, YSP BV/Vilnius: Mosklas, 1990, vol. 2, pp.482 494.

[11] Тихомиров А.Н. О точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гильбертовознач-ных случайных величин. I. Теория вероятн. и ее примен.. 1991. т.36, вып.4, С. 699-710.

[12] Тихомиров А.Н. Об аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых величин удовлетворяющих условиям перемешивания. Записки научн. сем. ЛОМИ, 1992, т.194, С.174 175.

[13] Тихомиров А.Н. О точности нормальной аппроксимации вероятности попадания в шар сумм слабо зависимых гильбертовознач-ных случайных величин. II. Теория вероятн. и ее примем.. 1993, т.38, вып.4, С. 110 127.

[14] Tikhomirov A.N. The rate of the convergence in the central limit theorem for multi-indexed weakly dependent Hilbertvalued random variables. Sixth international Vilnius conference on probability theory and mathematicial statistics. Abstract, of conimHiiir;ition - 1903. vol. 2, 15Ур.

[15] Bentkus V., Gotze F., Tikhomirov A.N. Berry Esseeu Bounds for Statistics of Weakly Dependent Samples. Bielefeld, Preprint 95-004.