Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для "почти" перемешанных случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.21

КАМАРА ИБРАЙМА

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ "ПОЧТИ" ПЕРЕМЕШАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

01.01.05 - теория вероятностей и

' математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Белорусского государственного университета.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент Н.М.Зуев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Б.А.Залесский, кандидат физико-математических наук Н.В.Лазакович.

Ведущая организация - Вильнюсский госуниверситет им.В.Капсукаса.

Защита состоится "24.06.1992 г. в 10 часов на заседании Специализированного совета К.056.03.17- Белорусского государственного университета по адресу: 220080, г.Минск, пр. Ф.Скорины 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан "¿ 7/

»

. Ученый секретарь Специализированного совета доцент

Ю.В. Меленец

• Актуальность теш. Вопрос о сходимости последовательности случайных величии в центральной предельной теореме в условиях слабой зависимости -■ одна из наиболее обширных и. интенсивно ...развивающихся областей современной теории вероятностей. Помимо многочисленных применений в математической статистике указанная область имеет приложения в других разделах математики, в физике, в технике, а также в различных приложениях.теории вероятностей. Последнее направление, инициированное работами А.А.Маркова, стимулировалось тем, что в моделях многих явлений предположения о независимости исследуемых, случайных величин не является адекватным. Важными вехами в исследованиях зависимых- величин являются результаты С.Н.Берштейна, М.Розенблатта, Ю.А.Розанова, И.А.Ибрагимова, В.А.Статулявичуса, Ч.Стейна, И.Г.Журбенко,' А.Н.Тихомирова, И.А.Сунклодаса, Н.М.Зуева и многих-других ученых. ' . •

Настоящая работа посвящена нахождению оценок скорости сходимости в. центральной предельной теореме для "почти" перемешанных случайных величин.

Цель работы состоит в следующем: получение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для случайных величин, удовлетворяющих одному из следующих условий перемешивания: 'а(т,с1), ф(т,а), ф(х,с!)" и т(<1)-зависимости.

Метода исследования. В работе использованы: метод "локального секционирования" и метод' С.Н.Бернштейна.

Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем: получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для последовательности случайных •величин, удовлетворяющих условиям а(т.й), <р(т;,с1), ф(т;,а.) перемешивания и т(еО-зависимости.

Практическая ценность. Получеешше в диссертационной работе оценки могут быть использованы в физике, в технике, в математической статистике и в различных приложениях теории вероятностей.

Реализация результатов. Диссертационная работа выполнялась в рамках научно-исследовательской работы "Вероятностный и статистический анализ случайных процессов и полей" (номер госрегистрации 0.1890079844), выполнявшейся на кафедре теории вероятностей и математической статистики Белгосуниверситета в 19861990 годах по плану Минвуза СССР (приказ Л 331 от 11.05.87 г.).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теории вероятностей'и математической статистики ' Белорусского государственного университета,, а также на семинаре Вильнюсского госуниверситета им. В.Капсукаса. '

Публикации. По теме диссертации имеется четыре работы, перечень которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем 83 страницы текста. Библиография содержит 120 наименований. «

КАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во. введении дается обзор полученных по теме диссертации результатов и приводятся основные результаты диссертации.

Будем рассматривать последовательность случайных величин {х^ -¿>1} с мх.= о, ;} > 1 .•

Обозначим

'S = EX., oz(nj = MSZ , Ф(х) = 1 / e z dt., ' n j = i 'J n -Г2Г" -oo

s .

x

- о-алгебра, порожденная случайными величинами xjt j£ta,b]. a(T,d)= sup|Р(AB) - P(A)P(B)| , cp(X,d)= вир|Р(В/А) -P(B)| , ,к/т Blml P (AB) - P(A)P (В),

ipCt.d)- вир I -p(A)P(B) .- I • •

где супренум берегся по всем событиям А£ » и t-

Последовательность {X., j>i} называется т(й)-зависимой,

если а-алгебры , независимы,nPH Т > m(d).

В первой главе с использованием метода "локального секционирования" доказаны :

Теореыа I.I.I. Пусть существуют такие постоянные

cQ>0, с>0, Rt>0, а >'1 + ? , b>0, 0< ö <1 , ЧТО

a<2t0>

o2(n)>c0n , sup M|Xk|z+ö< с , a(i:,d)< R^ ~3 (d+1 )b .

k<n

Тогда

_6r, (Z+Ö) < 1 + ZÖ) +2bo i+ö>i

Д < В n"zL <z+ÖMa+zö' J ,

n~ 1

где Bt - некоторая ограниченная величина, не зависящая от п.

Теорема I.I.2. Пусть существуют такие постоянные со>0, с>0, Rz>0, а>0, Ъ>0 , 0< Ö <1 , ЧТО

a (n)>cQn , вир M|Xk|ztu< с , a(T,d)< Rze~ai,(d+1 )D .

k<n

Тогда

S я '

4n< B2n?(lnn) ,

где B2 - некоторая ограшиенная величина, не зависящая от п.

Теорема I.1.3. Пусть существуют такие постоянные со>0, с>0, R3>0, а>0, Ъ>0, 0< б '<1 , ЧТО

. * п ¿4 -

о (n)>cnn , sup М|X. | < с , a(i;,d)< R_e е . ° k<n 3

Тогда fi

А < В n z(ln п) п з

где вз - ограниченная величина, не зависящая от п. Теорема 1.2..--Пусть существуют такие постоянные

с0>0, с>0, R4>0, а > ) > b20> 0< 0

Ог(п)>с0п ,- sup M|Xk|z+S< с ,. i|)(T,d)< R4t"a(d+1)b V<n

Тогда

Q г.. _ < i+S> ( zb+i + z5) -1 д<в "zL 0(a+zd+0)) J

n_ 4

что

где в4 - ограниченная величина, не зависящая от п.

Теорема 1.3.1. Пусть существуют такие постоянные р>0, с>1, Н5>0, а>2(2Ь+1), Ь>0 , ЧТО

М ехр р |Хк| < с , а(г^)< К5т"а(<1+1 )ь .

Тогда '

_ а-г(гЬ+1> 1

А < В п г,а*4' 1п*п ,

п 5

где в - ограниченная величина, независящая от п.

Теорема 1.3.2. • Пусть существуют такие постоянные Р>0, с)1) на>0' а>0> ь-° > что

М ехр Р |Хк| < с , а(т,с1)< 1уГа'и(с1+1 )ь . Тогда I

- VI

Д < В п 2 1пгп ,

по.

где Вб - ограниченная величина, не зависящая от п.

Во второй главе рассматриваются стационарные в узком ■ смысле последовательности случайных величин.

В §1 и §2 с помощью метода С.Н.Бернштейна, доказаны Теорема 2.1. Если существуют такие постоянные .

а>о, ь>о, с>о, к7>о, <е<1 , что

м |Х.|г+в < с , <р(т:,а)< и7т;"а(1 + 1пь(й+1)) ,

то для любого е>о существует величина в?< оо независящая от п, что лЛ '

+ е

Д < В п 4<1+с

П 7

при а <

д < В п га+за0+4°

ПГ 7

при а > 2+37Г ' Теорема 2.2. Если существуют такие Постоянные а>0, Ь>0, с>0, Н8>С, 0<0<1 , ЧТО

м |Х^г+5 < с , ф(г,й)< Н8т"а(1.+ 1пь(<1+1)),

то для любого б>о существует величина в< ® независящая о

8

что

• Г

- а5 4 £

Д < В n ¥n7ü)

п В

при а <

2+30

Д < В п га+заО+г+6 + 6

п- в .

при а > .

В §3, используя метод усечения, доказана

Теорема 2.3. Пусть Хп - т(с1)-зависимая последовательность

случайных величин с MXn=o, M|Xj2+s< со, о<б<1, R^o, к>о, что

„ „ т(0)+1 .

СГ = MX* + 2 2 ЫХХ. * О , m(d) < ш(0) + R 1п"(й+1 ) . j=2 J

Тогда

6 «кб 2кб Дп£ Врп~ 2(3-20) J"ln nj?7i^5Tj-ln(lnkn)j3<3-20)

где Bs - некоторая ограниченная величина, не зависящая от п.

Основные результаты отражены в следующих публикациях:

1. Зуев Н.М., Камара И. Оценка скорости сходимости в'центральной предельной теореме для случайных величин, удовлетворяющих ф(т,й) перемешиванию и имеющих конечное число моментов. // Ред. Ж. Вестн. Белорус, ун-та. Сер. I. - Минск, 1991." 12 с. Библиогр.': 5 назв.- Рус. Деп. В ВИНИТИ 22.11.91, Л 4387. - В 91.

2. Зуев Н.М., Камара И. Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для стационарной в узког, смысле последовательности случайных величин, удовлет-

воряющих условию фчС.й) перемешивания // Ред. Ж. ВестнI Белорус, ун-та. Сер. I. - Минск, 1992.-9 с. Библиогр.: 5 назв. - Рус. Сдана в печать.

3. Камара И. Оценки скорости сходимости в центральной

I

- предельной теорем!е для случайных величин, удовлет-

I

воряющих а(т,й) перемешиванию и имеющих конечное число моментов. // Ред. Ж. Вестн. Белорус, ун-та. Сер. I. -Минск, 1991.- 22 с. Библи- огр.: 7 назв. - Рус. Деп.. в ВИНИТИ 22.11.91, Л 4388. - В 91.

4. Камара И. Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для стационарной в узком смысле последовательности случайных величин, удовлетворяющих условию ф(т,4) перемешивания // Ред. Ж. Вестн. Белорус, ун-та. Сер. I. - Минск, 1992.- 9 с. Библиогр.: 5 назв. - Рус. Сдана в печать.