Усиленный закон больших чисел для последовательностей зависимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Корчевский Валерий Михайлович

Усиленный закон больших чисел для последовательностей зависимых случайных величин

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

Санкт-Петербург 2013

005541920

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической

статистики математико-механического факультета

ФГВОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Научный руководитель:

Петров Валентин Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики математико-мехаиического факультета

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Официальные оппоненты:

Егоров Владимир Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики №2 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)»

Розовский Леонид Викторович

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики ГБОУ ВПО «Санкт-Петербургская государственная химико-фармацевтическая академия»

Ведущая организация:

ФГБУН Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится «1^2—»— 2013 года в "! ^ часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Автореферат разослан « '/9 » Д-р-I _2013 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Первые теоремы об усиленном законе больших чисел для последовательностей случайных величин были получены при условии независимости с классической нормировкой. К ним относятся классические теоремы А.Н.Колмогорова для последовательностей независимых случайных величин. Дальнейшие исследования были связаны с поиском новых достаточных условий применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям независимых случайных величин, а также обобщением классических результатов в различных направлениях. Одним из таких направлений является отказ от предположения о независимости и получение результатов о применимости усиленного закона больших чисел к различным классам зависимых случайных величин (мартингалов, ассоциированных случайных величин, последовательностей случайных величин с условиями перемешивания и т.д.). Другим направлением исследований является обобщение результатов об усиленном законе больших чисел на последовательности случайных элементов, принимающих значения в а также в более общих измеримых пространствах. Третьим направлением является обобщение результатов об усиленном законе больших чисел с заменой классической нормировки на произвольную нормирующую последовательность. Число публикаций на эту тему, вышедших за последние несколько десятилетий, огромно.

Особый интерес представляет получение теорем об усиленном законе больших чисел при условиях, налагаемых лишь на моменты рассматриваемых случайных величин и их сумм.

Одним из основных подходов к установлению усиленного закона больших чисел является метод подпоследовательностей, который заключается в следующем: на первом шаге требуемый результат доказывается для некоторой подпоследовательности исходной последовательности случайных величин. На втором (заключительном) шаге результат, полученный для подпоследовательности, обобщается на всю исходную последовательность. Обычно на втором шаге основным инструментом является максимальное неравенство, которому удовлетворяют случайные величины последовательности.

Отметим также эффективный метод доказательства усиленного закона больших чисел для зависимых случайных величин, разработанный Н.Эте-мади [14], [15]. Подход Этемади основан на методе подпоследовательностей, однако позволяет обойтись без использования максимальных неравенств.

Возможности метода Этемади, а также классического метода подпоследовательностей (предполагающего использование максимальных неравенств) в установлении усиленного закона больших чисел для зависимых случайных величин далеко не исчерпаны. Это демонстрируется в настоящей работе.

Цель работы. Диссертация посвящена нахождению новых достаточных условий применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям зависимых случайных величин. Ограничиваясь рассмотрением последовательностей случайных величин, принимающих значения в Е1, мы приводим ряд результатов, обобщающих известные теоремы об усиленном законе больших чисел на более общие классы зависимых случайных величин, а также результаты, обобщающие известные теоремы с классической нормировкой на случай произвольной нормирующей последовательности. Методы исследований. В диссертационной работе используются классические методы доказательства сильных предельных теорем с использованием максимальных неравенств, а также новые подходы, развитые в работах Н.Этемади [14], [15], В.В.Петрова [8], [9], Т.К.Чандры и др. [11]—[13]. Ключевую роль в доказательствах теорем настоящей работы играет максимальное неравенство Серфлинга [22], которое является обобщением классического неравенства Меньшова-Радемахера для ортогональных случайных величин.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены результаты, обобщающие известные теоремы о сходимости почти наверное рядов случайных величин, а также об усиленном законе больших чисел для последовательностей случайных величин с конечными моментами второго порядка, на широкий класс зависимых случайных величин, включающий в себя класс ортогональных случайных величин.

2. Получено обобщение классической теоремы Колмогорова об усиленном законе больших чисел для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин на случай зависимых неодинаково распределенных случайных величин с произвольной нормирующей последовательностью.

3. Получены результаты об усиленном законе больших чисел для последовательностей зависимых неодинаково распределенных случайных величин с конечными моментами порядка р, где 1 < р < 2 либо 0 < р < 1.

4. Исследована связь между некоторыми классическими условиями в теоремах об усиленном законе больших чисел для последовательностей как независимых, так и зависимых случайных величин.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Основная значимость работы состоит в распространении известных результатов об усиленном законе больших чисел на последовательности случайных величин с более общим типом зависимости, а также в обобщении известных результатов об усиленном законе больших чисел с классической нормировкой на случай произвольной нормирующей последовательности. Основные результаты диссертации применимы к последовательностям неодинаково распределенных случайных величин.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на Шестнадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Санкт-Петербург, 19-24 мая 2009 г.), на Шестом международном симпозиуме по статистическому моделированию (Санкт-Петербург, 28 июня - 4 июля 2009 г.), на Третьем Северном трехстороннем (финско-шведско-российском) семинаре (Санкт-Петербург, 11—13 апреля 2011 г.), на Двадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 12-18 мая 2013 г.) и на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И.А.Ибрагимова (в октябре 2013 г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [П1]-[П6]. Из них три работы [П1]-[ПЗ] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Каждая из работ [П1] и [П5] состоит из двух нумерованных частей; часть 1 принадлежит В.В.Петрову, часть 2 — диссертанту. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти параграфов и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем работы составляет 70 страниц.

Содержание работы

Во введении (параграф 1) излагаются сведения по истории вопроса, описывается содержание диссертации, вводятся необходимые определения, а также формулируются некоторые вспомогательные результаты.

В параграфе 2 рассматриваются последовательности случайных величин с конечными моментами второго порядка.

Классическая теорема теорема Меньшова-Радемахера (см., например, [1]) утверждает, что если — последовательность ортогональных случайных величин и

оо

ЕХп 1о22 п < °°> (!)

п=1

то

ряд Хп сходится п.н.; (2)

п=1

если {X,,}-, — последовательность ортогональных случайных величин, {а„}£°=1 — неубывающая неограниченная последовательность положительных чисел и

£^ЬЧоё2п<оо, (3)

п=1 а"

то

— -> О п. и. (4)

ап

п

(Здесь и далее 5„ = Хи п > 1).

¿=1

Отдельно отметим случай ап = п для всех п > 1: если {Хп}^! — последовательность ортогональных случайных величин и

¿^1оё2п<оо, (5)

П=1

то

^ -> 0 п.н. (6)

п

В параграфе 2 приведено обобщение теоремы Менынова-Радемахе-ра на широкий класс зависимых случайных величин, включающий в себя класс случайных величин, удовлетворяющих условию ЕХ^Х^ < 0 для всех г у¿3-

Теорема 1 (Теорема 2.1). Пусть — последовательность случай-

ных величин, удовлетворяющая условиям (1) и

а+п

ЕЯ^ ^ ЕХ"1 для п ^ 1 и всех достаточно больших а. (7)

г=а+1

Тогда имеет место соотношение (2). (Здесь и далее 50)П = ]С"=<Г+1 °> п ^ !)■

Теорема 2 (Теорема 2.4). Пусть {Хп}^=1 — последовательность случайных величин. Пусть {яГ1}^1 — неубывающая неограниченная последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию

1 < <7 ^ ^ С} для всех достаточно больших п,

ап

где q и Q — некоторые постоянные. Если выполнены условия (3) и (7), то имеет место соотношение (4).

Иные результаты, содержащие предположения о зависимости между случайными величинами рассматриваемой последовательности, отличные от (7), при которых условие (3) является достаточным для (4), приведены в работе П.А.Яськова [10].

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

04201 455745

Корчевский Валерий Михайлович

Усиленный закон больших чисел для последовательностей зависимых случайных

величин

01.01.05 Теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д-р физ.-мат. наук, проф. В. В. Петров

Санкт-Петербург — 2013

Оглавление

1 Введение 2

2 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин с конечными моментами второго порядка 17

3 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин с конечными моментами порядка/), где 1 < р < 2 43

4 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин с конечными моментами первого порядка 52

5 Усиленный закон больших чисел для последовательностей случайных величин без предположения о существовании моментов первого порядка 58

1. Введение

Рассмотрим последовательность случайных величин {^г}^!, заданных на вероятностном пространстве Р), принимающих значения в М1. Обозна-

чим Зп — п ^ 1. Будем говорить, что последовательность

удовлетворяет усиленному закону больших чисел, если существуют последовательность вещественных чисел {с^}^ и неубывающая неограниченная последовательность положительных чисел такие, что

ап

Первые теоремы об усиленном законе больших чисел для последовательностей случайных величин были получены при условии независимости с классической нормировкой (ап = п, п ^ 1). Дальнейшие исследования были связаны с поиском новых достаточных условий применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям независимых случайных величин, а также обобщением классических результатов в различных направлениях. Одним из таких направлений является отказ от предположения о независимости и получение результатов о применимости усиленного закона больших чисел к различным классам зависимых случайных величин (мартингалов, ассоциированных случайных величин, последовательностей случайных величин с условиями перемешивания и т.д.). Другим направлением исследований является обобщение результатов об усиленном законе больших чисел на последовательности случайных элементов, принимающих значения в а также в более общих измеримых пространствах. Третьим направлением является обобщение результатов об усиленном законе больших чисел с заменой классической нормировки на произвольную нормирующую последовательность.

Цель настоящей диссертации — получение новых результатов об усиленном законе больших чисел для последовательностей зависимых случайных величин.

Ограничиваясь рассмотрением последовательностей случайных величин, принимающих значения вМ1, мы приводим ряд результатов, обобщающих известные теоремы об усиленном законе больших чисел на более общие классы зависимых случайных величин, а также результаты, обобщающие известные теоремы с классической нормировкой на случай произвольной нормирующей последовательности. Кроме того, мы приводим новые достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям зависимых случайных величин, новые результаты о сходимости почти наверное рядов зависимых случайных величин, а также исследуем связь между некоторыми классическими условиями в теоремах об усиленном законе больших чисел для последовательностей как независимых, так и зависимых случайных величин.

Основные результаты диссертации применимы к последовательностям неодинаково распределенных случайных величин.

Известно множество результатов, связанных с усиленным законом больших чисел как для независимых, так и для различных классов зависимых случайных величин. Значительная часть таких результатов включена в монографии, посвященные предельным теоремам для различных классов случайных величин. В книгах Петрова [12], [16], [46] содержится обширный материал об усиленном законе больших чисел для последовательностей независимых случайных величин, в книге Холла и Хейде [33] — для мартингалов, в монографиях Булинского и Шашкина [1] и Оливейры [45] — для ассоциированных случайных величин, в монографии Лина и Лу [37] — для случайных величин с условиями перемешивания. Большое количество результатов об усиленном законе больших чисел для независимых, а также различных классов зависимых случайных величин приведено в монографиях Стаута [51], Дэвидсона [28], Чандры [24], а также в статье Фазекаша и Клесова [32]. Результаты об усиленном законе больших чисел для стационарных, квазистационарных, а также родственных им классов случайных величин содержатся в работах Гапошкина [2]—[4], Лионса [38], Морица [43], [44], Петрова [13], Серфлинга [50], Сунга [53], Ху, Розальского и Володина [34], Ху и Вебера [35], Левенталя, Салехи и Чобаняна [7], [26], Яськова [22]. Результаты об

усиленном законе больших чисел для последовательностей случайных величин без предположения о каком либо типе зависимости (в формулировках теорем используются только условия, налагаемые на моменты случайных величин и их сумм) содержатся в работах Петрова [17]—[21].

Одним из основных подходов к установлению усиленного закона больших чисел является метод подпоследовательностей, который заключается в следующем: на первом шаге требуемый результат доказывается для некоторой подпоследовательности исходной последовательности случайных величин. На втором (заключительном) шаге результат, полученный для подпоследовательности, обобщается на всю исходную последовательность. Обычно на втором шаге основным инструментом является максимальное неравенство, которому удовлетворяют случайные величины последовательности.

Отметим также эффективный метод доказательства усиленного закона больших чисел для зависимых случайных величин, разработанный Этемади [29]—[31]. Подход Этемади основан на методе подпоследовательностей, однако позволяет обойтись без использования максимальных неравенств.

Метод Этемади, а также классический метод подпоследовательностей (предполагающий использование максимальных неравенств) являются основными инструментами, используемыми в настоящей диссертации.

Классическими результатами об усиленном законе больших чисел являются следующие теоремы Колмогорова [6]:

Теорема А. Пусть — последовательность независимых случайных

величин с конечными дисперсиями ОХп, п ^ 1. Если выполнено условие

то имеет место соотношение

Теорема В. Пусть — последовательность независимых одинаково

распределенных случайных величин такая, что Е\Х\\ < оо. Тогда

(1.1)

П=1

п

—ЕХ\ п.н.

(1.3)

Известно [6], что условие (1.1) является оптимальным в том смысле, что если — последовательность положительных чисел такая, что ап/п2 —

оо, то существует последовательность независимых случайных величин такая, что ОХп = сг^, п ^ 1, но соотношение (1.2) выполнено не будет. Тем не менее, теорема А может быть обобщена на некоторые классы зависимых случайных величин без введения дополнительных предположений. В работе Фазекаша и Клесова [32] доказан следующий результат:

Лемма 1.1. Пусть — последовательность случайных величин, {ап}^=]

— неубывающая неограниченная последовательность положительных чисел; {Ъп}™=1 — последовательность неотрицательных чисел. Предположим, что для любого п ^ 1 и некоторого г > 0 выполнены условия

Из этой леммы следует, что если ~~ последовательность случайных

величин с конечными дисперсиями ИХп, п ^ 1, которая удовлетворяет неравенству

и

Тогда

п Г\

--0 п.н.

я«

(1.4)

где С — некоторая постоянная, то условие (1.1) является достаточным для того чтобы выполнялось (1.2). Таким образом, один из возможных подходов к установлению применимости усиленного закона больших чисел к последовательности случайных величин (с конечными дисперсиями), связанных определенным типом зависимости — это доказательство неравенства (1.5) для данного класса зависимых случайных величин.

В настоящее время установлено, что неравенства (1.5) имеет место для некоторых классов зависимых случайных величин, в частности, для мартингалов (см. [5]), а также, как установлено Матулой [40], для отрицательно ассоциированных случайных величин. Отметим, что в настоящее время максимальные неравенства являются одной из обширных и интенсивно развивающихся областей теории вероятностей.

В работе Черге, Тандори и Тотика [27] показано, что в теореме А нельзя заменить условие взаимной независимости случайных величин условием их попарной независимости без введения дополнительных предположений.

Одной из основных задач настоящей диссертации является получение результатов об усиленном законе больших чисел для различных классов зависимых случайных величин, включающих в себя класс попарно независимых случайных величин.

Результатом, который играет ключевую роль в доказательствах теорем настоящей диссертации является следующее максимальное неравенство Серфлин-га [49]:

Лемма 1.2. Пусть — последовательность случайных величин с ко-

нечными моментами второго порядка. Обозначим через Еа^п функцию распределения случайного вектора (Ха+1,... ,Ха+п), а ^ 0, п ^ 1. Пусть д(Еап) — некоторый функционал на {-Ра;П : а ^ 0. п ^ 1} такой, что

д(К,к) + д{К+к,т) < д(К,к+т) для всех а ^ 0, 1 ^ к < к + т. (1.6) Если выполнено условие

а+п

Е{ ^^ Хг)2 ^ g{Fa,n) для всех а ^ 0, п ^ 1

(1.7)

/=а+1

то

2

£ max XL

\ lsS^n '

г=а+1

для всех а ^ О, п ^ 1.

Это неравенство является обобщением классического неравенства Менынова-Радемахера (см., например, [5]). Применение неравенства Серфлинга позволяет получать результаты об усиленном законе больших чисел для достаточно широкого класса зависимых случайных величин.

Прежде чем переходить к описанию результатов работы, введем необходимые определения.

Следуя [12], будем использовать обозначение Фс для множества функций ф(х) таких, что каждая ф{х) положительна и не убывает в области х > xq при некотором xq и ряд £ ^ сходится. Значение х0 не предполагается одним и тем же для различных функций ф. Если в этом определении заменим слово "сходится" словом "расходится", то мы получим определение класса функций Ф^. Примерами функций класса Фс являются функции х6 и (logx)1+<5 при любом 5 > 0. Функции logx и log log а; принадлежат классу Ф^.

Результаты диссертации

Диссертация состоит, помимо Введения, из четырех параграфов и списка литературы.

В параграфе 2 рассматриваются последовательности случайных величин с конечными моментами второго порядка.

Классическая теорема теорема Меныпова-Радемахера (см., например, [5]) утверждает, что если — последовательность ортогональных случайных

величин и

оо

^£X2log2n<oo,

11=1

то

ряд сходится п.н.;

п=1

если последовательность ортогональных случайных величин,

{ап}-=1 — неубывающая неограниченная последовательность положительных чисел и

00 ЕХ2

п= 1 ™

то имеет место соотношение (1.4).

В параграфе 2 настоящей работы приведено обобщение теоремы Меныпова-Радемахера на широкий класс зависимых случайных величин, включающий в себя класс случайных величин, удовлетворяющих условию EXiXj ^ 0 для всех i Ф 3-

В.В.Петровым в работе [15] найдены другие достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям ортогональных случайных величин.

Теорема С (Петров). Пусть — последовательность ортогональных

случайных величин. Если

ES2 = о( ——^—2— ) для некоторой функции ф Е Фс, (1.8) \ф(п) log п J

то

> п

--> 0 п.н.

п

Мы обобщаем теорему С на случай произвольной нормирующей последовательности, а также на широкий класс зависимых случайных величин, включа-

ющий в себя класс случайных величин, удовлетворяющих условию ЕХгХ) ^ О для всех Кроме того, показана оптимальность полученного результата. Приведем следующий результат, полученный Петровым [11] (см. также [12]).

Теорема О (Петров). Пусть ~~ последовательность независимых

случайных величин, удовлетворяются условию

Тогда имеет место соотношение (1.2).

Условие (1.9) нельзя ослабить, потребовав вместо него выполнение, содержащегося в (1.9) равенства для некоторой функции ф £ Ф^. Как показано в [12], для любой функции ф £ Я/а такой, что п/ф(п) не убывает в области п > по при некотором по, существует последовательность независимых случайных величин с конечными дисперсиями, для которой ОБп = 0(п2/ф(п)) выполнено, но соотношение (1.2) не имеет места. В [17] показано, что при некоторых дополнительных предположениях условие (1.9) достаточно для применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям случайных величин без каких-либо предположений о независимости.

В параграфе 2 настоящей работы приведено обобщение теоремы Э на случай произвольной нормирующей последовательности. Также установлена связь между условиями (1.9) и (1.1) в случае независимых случайных величин.

Кроме того, в параграфе 2 приведены теоремы об усиленном законе больших чисел, а также о сильной устойчивости сумм случайных величин, обобщающие некоторые результаты Этемади [30], [31]. Также приведен новый результат, содержащий достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям зависимых случайных величин.

В параграфе 3 рассматриваются последовательности случайных величин с конечными моментами порядка р, где 1 < р < 2.

Классическим результатом является следующая теорема Марцинкевича-Зиг-мунда (см., например, [8]):

для некоторой функции ф Е Ф

с-

(1.9)

Теорема Е. Пусть ~ последовательность независимых одинаково

распределенных случайных величин. Предположим, что Е\Х\\Р < оо при некотором положительном р < 2. Тогда

Sn — nb

-—,--> 0 п.н.,

пУр

где b = 0 в случае 0<р<1и& = ЕХ\ в случае 1 ^ р < 2. Эта теорема обобщает теорему Колмогорова (теорема В), соответствующую случаюр — 1.

Существуют различные обобщения теоремы Е как на последовательности зависимых, так и на последовательности неодинаково распределенных случайных величин. Так, Сойером [48] было показано, что в случае 0 < р < 1 условие независимости в теореме Е можно опустить. Этемади [29] показал, что в случае р — 1 условие взаимной независимости в теореме Е можно ослабить до условия попарной независимости.

В настоящее время остается открытым вопрос, можно ли в теореме Марцинкевича-Зигмунда (теорема Е) условие взаимной независимости случайных величин ослабить до условия попарной независимости в случае 1 < р < 2. Тем не менее, в этом случае, при введении дополнительных предположений, можно получить результаты, применимые к последовательностям попарно независимых случайных величин. Результаты такого типа, а также некоторые смежные результаты приведены в работах Мартикайнена [9], [39], Сунга [52], Ву [55].

Заметим, что большинство результатов, содержащих различные обобщения теоремы Марцинкевича-Зигмунда (теорема Е) применимы только к последовательностям одинаково распределенных случайных величин.

В параграфе 3 настоящей работы приведены достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел в форме

S77

-)• 0 п.н.

nx/p log п

к последовательностям попарно независимых неодинаково распределенных случайных величин с конечными моментами порядка р, где 1 < р < 2.

В параграфе 3 также содержится результат, являющийся обобщением классической теоремы Марцинкевича-Зигмунда для независимых случайных величин на случай неодинаково распределенных случайных величин.

В доказательствах теорем использованы методы, развитые в работах Чанд-

В параграфе 4 рассматриваются последовательности случайных величин с конечными моментами первого порядка.

Следующий результат Этемади [29] является обобщением теоремы Колмогорова об усиленном законе больших чисел для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (теорема В) на случай последовательности попарно независимых случайных величин.

Теорема Е. Пусть ~ последовательность попарно независимых оди-

наково распределенных случайных величин такая, что Е\Х\\ < оо. Тогда имеет место соотношение (1.3).

Существуют различные обобщения теоремы Колмогорова-Этемади (теорема Р) как на последовательности случайных величин с более общим типом зависимости, чем попарная независимость, так и на последовательности неодинаково распределенных случайных величин. Так, Матула [41] обобщил теорему Колмогорова-Этемади на широкий класс зависимых случайных величин, включающий в себя класс попарно независимых случайных величин.

Возе и Чандра [23] (см. также [24]) обобщили теорему Колмогорова-Этемади на случай неодинаково распределенных случайных величин. Ими был получен следующий результат:

Теорема С (Возе, Чандра). Пусть {Х^}^ — последовательность попарно независимых случайных величин, удовлетворяющая условиям

ры и др. [23], [25], [24].

где С{х) — вир

и

оо

^р(рд>п)<оо.

Г 1=1

Тогда имеет место соотношение (1.2).

Основным результатом параграфа 4 является обобщение теоремы С на случай произвольной нормирующей последовательности. Кроме того, получен результат, содержащий достаточные условия для сильной устойчивости