Исследование свойств интегральных представлений голоморфных функций в Cn и решение многомерных краевых задач линейного сопряжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.55

Луковников Андрей Евгеньевич

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В С" И РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент A.B. Нелаев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.И. Баврин; кандидат физико-математических наук, доцеит A.B. Копаев

Ведущая организация: Московский государственный открытый

педагогический университет

Защита диссертации состоится " " длц^лКрл 2000 года в " 44 " часов на заседании Диссертационного Совета К 1Т3ТПО8 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ при Московском педагогическом университете по адресу: 107005,'г. Москва, ул. Радио, д.10-а, ауд.42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического университета.

Автореферат разослан "_3_" 2000 года.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 113.11.08

кандидат

физико-математических наук, у

rrnnrheccnn рЫ^ъ^У

профессор рьоы*^ Боганов В.И.

Ь16 /, Z 03 SiS f, Я* Z;03

ß/б/, S2 3 ¿>-3

Обиая характеристика работы

Актуальность темы. Теория интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных, представляющая собой совокупность методов и результатов, возникших при обобщении классической интегральной формулы Коши на многомерный случай, в настоящее время, благодаря эффективным приложениям, в частности, в теории краевых задач, является важной и быстро развивающейся ветвью многомерного комплексного анализа. Актуальность же развития теории многомерных краевых задач в значительной мере объясняется тем, что в последние годы описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием Фурье поиводятся к многомерным краевнм задачам линейного сопряжения ( пространственной задаче Римана ).

Одним из первых в нашей стране исследования по теории интегральных представлений начал в 1948 году А.А.Темляков. Он установил два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, голоморфных в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей. Эти формулы известны в математической литературе как интегральные представления Темлякова I и II родов.

Интегральные представления Темлякова и их обобщения на случай П-^Я- комплексных переменных, установленные З.Опиалем, Й.Сичаком ( для введенного ими класса кратнокруговых областей типа (Т) ), н.И.Бавриным ( с помощью созданного им метода ин-тегродифференциальных операторов голоморфных функций ), Н.И.Бавриным, Г.Н.Бакуниным ( для введенного ими широкого класса кратнокруговых областей типа ) и другими математиками, обладают рядом замечательных свойств, которые выгодно отличают их от других известных интегральных представлений, и, одновременно, тесно связаны с формулой Коши одного комплексного переменного. Последнее обстоятельство позволяет усилить методы исследований, специфические для теории функций многих комплексных переменных, хорошо разработанным аппаратом интеграла типа Коши и выходящими из него ветвями теории функций одного комплексного переменного. На этом пути отечественные и зарубежные исследователи получили серию результатов по различным проблемам голоморфных функций в кратнокруговых областях. Отметим, что успех применений интегральных представлений Тем-

лякова во многом был предопределен тем обстоятельством, что А.А.Тем-ляковым с самого начала были указаны дифференциальные соотношения, связывающие параметризующие его двоякокруговые области функции

Основы теории интегралов типа Темлякова были заложены в работах представителей созданной А.А.Темляковым научной школы по многомерному комплексному анализу: Л.А.Айзенберга - первым введшего понятие таких интегралов и изучавшего их поведение в пространстве (И1 ; Г.Л.Луканкина - положившего начало исследованиям по применению математического аппарата интегралов типа Темлякова к постановке и решению многомерных краевых задач; В.И.Боганова -включившегося в разработку совместно с Г.Л.Луканкиным теории задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных. Отметим, что определившаяся тенденция применения комплексного анализа к решению краевых задач в дальнейшем развивалась А.В.Латышевым, вскрывшим связь между решениями модельных кинетических уравнений и векторными краевыми задачами Римана, и А.В.Копаевым, решавшим в (С3- одностороннюю задачу Римана и задачу Гильберта.

Предложенный впервые А.Т.Хвостовым для исследования интегралов типа Темлякова метод однородных линейных дифференциальных операторов первого порядка был в дальнейшем в работах А.В.Нелаева дополнен рядом важных положений, уточнен и распространен на общий случай 1а. комплексных переменных. Развиваемый А.В.Нелаевым

метод, известный ныне как метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, позволил ему и его ученикам получить ряд серьезных результатов по' теории квазианалитических функций. Им, в частности, впервые было исследовано поведение в пространстве ( л >Х ) интегралов типа Темлякова и интегралов типа Темлякова-Баврина & -го порядка

Цель работы. Первое. Установление многомерных аналогов соотношений (1) для класса областей типа (ТТ*) . Второе. Изучение диффеоенциальных свойств вводимого в рассмотрение на основе одного из установленных И.И.Бавриным для поликруга интегральных представлений голоморфных функций обобщенного интеграла типа Коши -Баврина. Третье. Постановка и решение краевых задач линейного сопряжения ( однородной и неоднородной ) в пространствах СА и (Ск ( ю! ) и разработка необходимого для этого математического аппарата интегралов типа Темлякова-Баврина.

Методы исследования. Основным является упомянутый выше метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, а также аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов.

Научная новизна. Все основные, выносимые на защиту результаты работы автора являются новыми, опубликованы и состоят в следующем:

1. Установлены аналоги дифференциальных соотношений (1) для областей типа (ТТ1) и указаны некоторые их применения.

2. Изучены дифференциальные свойства класса функций h>2. комплексных переменных, определяемых обобщенным интегралом типа Коши-Баврина. В числе установленных свойств - обобщенная производная рассматриваемого интеграла, его разложение в обобщенный степенной ряд и, при известных дополнительных ограничениях на вид плотности, обобщенное уравнение Коши-Римана.

3. Произведена постановка и указано решение краевых задач линейного сопряжения а) в пространстве ( §§ 9-10 ) - в классе функций (Т8) ; б) в пространстве £п ( §§ 11-12 ) - в классе функций (TjJ) .

Теоретическая и практическая значимость работы.

Установленные результаты являются важными в теории интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных, теории квазианалитических функций, теории многомерных краевых задач. Следует также отметить, что результаты работы являются теоретической основой для новых исследований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-р.О}, список которых приложен в конце автореферата.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI и VII Международных конференциях "Математика.Компьютер.Образование" ( Пущино, 1999 [4], [5], [7]; Дубна, 2000 [8], [10] ), на IV Международной конференции серии "Нелинейный мир" ( Суздаль, 1999 г. ) , на VII Международной конференции "Математика.Экономика.Экология.Образование" ( Новороссийск, 1999 [б] ), на VIII Международной конференции "Математика.Образование.Экология.Тендерные проблемы" ( Воронеж , 2000 г. ) и на ежегодных научных конферен-

циях преподавателей и аспирантов МПУ ( 1997-2000 г.г.), а также на научном семинаре по теории функций физико-математического факультета МПУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, член-корреспондента РАО, профессора Г.Л.Луканкина.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 77 наименований. Общий объем работы 142 страницы.

Основное содержание работы

Во введении дается обзор полученных ранее результатов по рассматриваемым вопросам, обосновываются актуальность, цели, новизна, теоретическая и практическая значимость исследования.

В главе I ( §§ 1-4 ) устанавливаются дифференциальные соотношения, которыми связаны между собой параметризующие полные круговые области 2) типа (ТТ^} функции, и указываются некоторые их приложения.

Говорят, что область 2) из пространства 1 п^А ) точек принадлежит типу-^Г'Ц.) , если

она представима в виде

2Ь и {(^КМ^), ; -г},

0<8

С^)-^ Л ^ - 1 I ,

:'; \и ад п\й а-^иУ 1)'

ф-ЬНЭТР.ГУ

9*

А." «|>(- Ъ-ГТГ ) ,

В §2 установлено, что необходимым условием принадлежности £> типу (ТТ^) ( в предположении ^Ь^&СЧ^ЦеСЩ', ) является выполнимость системы равенств

^ -Шй -Л и , „

а достаточным - совокупность системы (2) и системы опре-

деленных неравенств.

В §3 для случая м-д. , п«=31 , найденные в §2 соотношения приводятся к более удобному для применений виду и на примерах нескольких областей из проиллюстриоована их выполнимость.

В §4 теоретически обосновано, что найденные в §2 дифференциальные соотношения помогают при решении задачи перехода к параметрическому заданию области. Здесь же на конкретных примерах области

где £4,...,С».,4*,..., Ац, - положительные числа, и области

где (/, 1^ Р>_ - положительные числа, разобрано решение

названной задачи, а затем на примере А> и решение обратной задачи.

Глава II диссертации ( §§ 5-8 ) посвяиена исследованию поведения вне поликруга

и* - {з^С*:

интеграла 1

где Т^ - остов поликруга, символ <■))> означает, что на месте 9-го сомножителя стоит т) - фиксированное

число из , константа >0 , - комплексное число с

условием |£?|<1 , оЬ^с^...^*. , плотность Ч'С'^Л) - определенная на топологическом произведении [О;!]*!111 непрерывная по со-

вокупности переменных функция, удовлетворяющая на Гельдера

Т* условию

л ^

причем константы А* ( А*>0 ) и показатели ( О < )

не зависят от Т .

Введено следующее обозначение областей из С :

Е^есЧ^ЬУ^К.к--!,...,";**/} , Л..

Теорема 5.2. Функции, определяемые интегралом (3), голоморфны в поликруге 11к , а также в областях Е] ,

Завершается §5 выводом для интеграла (3) формулы перехода от кратного интегрирования к повторному в области £у

где

Го =

I (

В §6 найдена обобщенная производная интеграла (3)

V» г-»2;(гу-25)+12;|4-1 Згу

Установлена следующая

Теорема 6.1. В области Е^ интеграл (3) можно любое число раз "дифференцировать обобщенной производной «С^ > ПРИ~ чем эта операция равносильна дифференцированию соответствующее число раз по £,) ядра интеграла.

§7 посвящен разложению интеграла (3) в обобщенный сте-

пенной ряд ( для простоты выкладок рассмотрен случай ). При

этом применяется другой развиваемый А.В.Нелаевым метод - метод мажорирующей плотности. ^

Теорема 7.1. Пусть плотность интеграла Р^ъ) при всех Т^Со;!.] как функция переменных % определена и голоморфна в

поликруге

и

i+e

где £ - произвольное сколь угодно малое положительное число. Тогда в области Е! интеграл Р^) разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся обобщенный степенной ряд к*.

где

Q%4r J

•Иа*

который моино любое число раз почленно "дифференцировать" обобщенной производной 2)2l аналогично правилу дифференцирования по Zi обычных степенных рядов:

ОО ^

В §8 рассмотрен важный частный случай интеграла (3) -интеграл типа Коши-Баврина , соответствующий ситуации, ког-

да плотность fft/t,) имеет вид ЧСггд) = t^ Hdt,) , _£>=const .

Теорема 8.1. В области Е„ функции, определяемые интегралом Fv(z) , связаны с соответствующим интегралом типа Коши

Т,

ЛАЖ

формулой

'"fzV-i- f

где оператор

На основе этой формулы и с учетом голоморфности интеграла типа Коши заключаем, что в области Еу для P¥(z) выполняется дифференциальное уравнение

= 0,

которое естественно назвать обобщенным уравнением Коши-Римана.

В главе III ( §§ 9-12 ), во-первых, продолжено начатое А.В.Нелаевым изучение интегралов типа Темлякова-Баврина в пространствах С* (§9) и (ЕЛ , 1т. >3. (§11), и, во-вторых, установлено их применение к постановке и решению многомерных краевых задач линейного сопряжения (§10 и §12).

В §9, в случае, когда определяющая область есть область типа й из пространства <Еа :

2) = { fo.,2,) е <Гl: С* I^U | <1, Ci>0, с4>о]

рассматривается интеграл типа Темлякова-Баврина I рода & -го порядка ( Я > 1 ):

0 С о ty*1 L

ГД6 ^

о

т.е. непрерывна по совокупности аргументов на топологическом произведении , АТГ" - периодична по "t и удовлетворяет по \ условию Гельдера И^ ( о ^ и i ).

Интеграл (4), представляющий собой голоморфную функцию

в областях

Ъ и

J щ

имеет нарушение непрерывности в точках окружности особенностей

по которой области 2) и Et сопрягаются. Изучен характер поведения предельных значений интеграла (4) в точках и установлен факт обращения в нуль этого интеграла на множестве бесконечно удаленных точек. Введено понятие класса функций (Т) , к которому, в частности, относятся и функции, определяемые интегралом (4).

В §10 рассмотрена следующая задача линейного сопряжения: Пусть в пространстве (L1 задана область 2) типа А . Требуется найти функцию $(ztlzï) класса . исчезающую на множестве бесконечно удаленных точек и удовлетворяющую в точках окружности особенностей EbL краевому условию

где | и 4 есть предельные значения функции | на Ь^ из областей 2) и Ej. соответственно, а заданньщ на Б^ функции GC^i) и Удовлетворяют условию Гельдера, причем GOjt) не обращается в нуль. Сначала рассмотрен случай однородной задачи ( gfy^sO ), затем - неоднородной. В обоих случаях решение находится в виде интеграла (4), плотность которого определяется указанным способом.

Отметим, что для случая А=1 аналогичная неоднородная задача была ранее рассмотрена Г.Л.Луканкиным, а однородная - его ученицей И.Н.Виноградовой.

В §11 в качестве области 2) рассматривается область типа А в пространстве С* ( Н>Я. ), т.е. область вида

Один из частных случаев введенных А.В.Нелаевым интегралов типа Темлякова-Баврина имеет в случае этой области вид

где ц= С^к:»^«"'^*....^ Ч _ непрерывная функция, удовлетворяющая по ^ условию Гельдера, независимому от б*,...,©*. . Интеграл (5) голоморфен в областях 2) и

Сопряжение областей 2) и Е^ происходит по расположенной в первой координатной плоскости окружности особенностей

в которой непрерывность интеграла (5) нарушается. Изучен характер поведения предельных значений интеграла (5) в точках ; установлено, что в бесконечно удаленных точках области Е^ интеграл (5) обращается в нуль. Введен в рассмотрение класс функций (ТУ) , к которому, в частности, относятся представимые интегралом (5) функции.

В §12 рассмотрена задача линейного сопряжения: Пусть в пространстве (Е^ задана область типа Я . Требуется найти функцию класса (Т^ » исчезающую в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним из области Е*. , удовлетворяющую в точках

окружности особенностей краевому условию .....

где

2625 2

Ч

а заданные на функции б(^) и gfyi) удовлетворяют условию Гельдера, причем не обращается в нуль.

Сначала рассмотрена однородная задача (! далее - неоднородная ( с подслучаями Зе*о и )- Во всех рас-

смотренных случаях решение находится в виде интеграла (5), плот-

ность которого определяется указанным способом.

В заключение указаны интегралы, на которые распространяются результаты §§ 9-12.

Автор выраяает глубокую благодарность научному руководителю доценту А.В.Нелаеву за постоянное внимание к работе и всестороннюю помощь.

Работы автора по теме диссертации

1. Луковников А.Е. О квазианалитических свойствах одного класса интегралов в С*"// Вестник МПУ. Серия "Математика-физика", № 3-4.-М.: изд-во МПУ "СигналЪ", 1998.-С.54-61.

2. Луковников А.Е., Нелаев A.B. Об одном классе параметрически задаваемых кратнокруговых областей голоморфности// Вестник МПУ.Серия "Математика-физика", № 3-4.-М.:изд-во МПУ "СигналЪ",

1998.-С.29-40.

3. Луковников А.Е., Нелаев A.B. Дифференциальные соотношения для функций, параметризующих один класс кратнокруговых областей// Меивуз.сб.научн.трудов "Математический анализ",МПГУ.-М. ^'Прометей".-1998.-С. 86-88.

4. Луковников А.Е. Об одном классе квазианалитических функций

в (Сп // Тезисы докладов VI Меядунар.конференции "Математика. Компьютер.Образование" ( Пущино/ 24-31 января 1999 г.).-М.-

1999.-С.174.

5. Луковников А.Е., Нелаев A.B. Об одном классе параметрически задаваемых кратнокруговых областей// Тезисы докладов VI Между-нар.конференции "Математика.Компьютер.Образование" ( Пущино, 24-31 января 1999г.).-М.-1999.-С.175.

6. Луковников А.Е. О решении некоторых многомерных краевых задач в (ЕЛ// Тезисы докладов VII Мендунар.конференции "Математика. Экономика.Экология.Образование" и Междунар.симпозиума "Ряды Фурье и их приложения" ( Новороссийск, 26 мая - 1 июня 1999г.).-Ростов-на-Дону.-1999.-С.62-63.

7. Луковников А.Е. Об одном классе квазианалитических функций в

(L* // Сб.научн.трудов "Математика.Компьютер.Образование".-М.:Прогресс-Традиция,1999.-Вып.6.-Ч.2.-С.242-248.

8. Луковников А.Е. О решении некоторых дифференциальных уравнений с формальными производными в классе квазианалитических функций в С" // Тезисы докладов VII Междунар.конференции "Математика. Компьютер.Образование" ( Дубна, 23-30 января 2000г.).-М.: Прогресс-Традиция,2000.-С.211.

9. Луковников А.Е., Нелаев A.B. Краевые задачи линейного сопряжения в (С^для функций, голоморфных в кратнокруговых областях// Моск. лед.ун-т.-М.,2000.-19с.-Деп. в ВИНИТИ 04.10.2000, №2542-В00.

10.Луковников А.Е., Нелаев A.B. Исследование свойств кратнокругот вых областей голоморфности // Сб.научн.трудов "Математика. Компьютер.Образование".-М.:Прогресс-Традиция,2000.-Вып.7.-4.2.-С.452-459.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССА КРАТНОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ

ТИПА ( ТТ}).

§ 1.Исходные сведения о кратнокруговых областях голоморфности и интегральных представлениях в них

§ 2.Вывод дифференциальных соотношений для функций, параметризующих ( ^ + п. - i ) - круговые области класса ( ТТ-^).

§ 3.Преобразование дифференциальных соотношений в случае rvisSL, Si

§ 4.Применение найденных соотношений к решению задачи перехода от явного задания области к параметрическому ( общий случай: W^yl ; ).

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ВНЕ ПОЛИКРУГА ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ .".

§ 5.Исходные сведения об объекте исследования и предварительный анализ его поведения. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами

§ 6.Обобщенная производная интеграла fjfe)

§ 7.Разложение интеграла R>vz) в обобщенный степенной ряд.

§ 8.Интеграл : Вывод формулы его дифференциальной связи в области с интегралом типа Коши и обобщенное уравнение Коши - Римана

- 3

ГЛАВА III. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ С* И (С* ( п. )

§ 9.0 поведении в пространстве (С интеграла типа Тем-лякова-Баврина t- -го порядка с определяющей областью типа

§10.Постановка и решение однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в классе функций двух комплексных переменных (Ч**).ЮЗ

§11.Интеграл типа Темлякова-Баврина первого порядка в случае области & типа $ из пространства

ПъЯ) и его свойства.

§12.Постановка и решение однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в классе функций ГЪ комплексных переменных (TL)

Начиная с середины XX века сильно возрос интерес к теории функций многих комплексных переменных. Эта теория, не имевшая до того времени приложений в естествознании, в работах научных школ академиков Н.Н.Боголюбова, В.С.Владимирова, Ю.В.Линника нашла серьезные применения в квантовой теории поля [1] и математической статистике [3] .

Теория интегральных представлений голоморфных функций, представляющая собой совокупность методов и результатов, возникших при обобщении классической интегральной формулы Коши на многомерный случай ([1],[5]), в настоящее время, благодаря эффективным приложениям, в частности, в теории краевых задач ([2], [19], [23]), является важной и быстро развивающейся ветвью многомерного комплексного анализа. Актуальность же развития теории многомерных краевых задач в значительной мере объясняется тем, что в последние годы описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием Фурье приводятся к многомерным краевым задачам линейного сопряжения ( пространственной задаче Римана ).

Одним из первых в нашей стране исследования по теории интегральных представлений начал А.А.Темляков* в своей докторской диссертации [51]. Он установил ( [52],[53], [54]) два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, голоморф - Темляков Алексей Александрович (1903-1968) - советский математик, доктор физико-математических наук, профессор, крупный специалист в области теории функций многих комплейсных переменных. В 1949-1968 г.г. возглавлял кафедру математического анализа МОПИ (ныне - Московский педагогический университет). Основатель известной научной школы по многомерному комплексному анализу. ных в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей. Эти формулы известны в математической литературе ( см., напр., [5],[6]) как интегральные представления Темлякова I и II родов.

Интегральные представления Темлякова и их обобщения на случай комплексных переменных, установленные З.Опиалем, Й.Сичаком [59], И.И.Бавриным ( см., напр., [9] , [10] , [11] ), И.И.Бав риным, Г.Н.Бакуниным ( [12], [13]) и другими математиками, обладают рядом замечательных свойств, которые отличают их от всех известных интегральных представлений, и, одновременно, тесно связаны с формулой Коши одного комплексного переменного. Последнее обстоятельство позволяет усилить методы исследований, специфические для теории функций многих комплексных переменных, хорошо разработанным аппаратом интеграла типа Коши и выходящими из него ветвями теории функций одного комплексного переменного. На этом пути отечественные и зарубежные исследователи получили серию результатов по различным проблемам голоморфных функций в кратнокруговых областях. Отметим, что успех применений интегральных представлений Темлякова во многом был предопределен тем обстоятельством, что А.А.Темляковым с самого начала были указаны дифференциальные соотношения, связывающие параметризующие его двоякокруговые области функции tiM и ; i-t ><ft)

У.ЛЛ

В настоящей диссертации устанавливаются, во-первых, многомерные аналоги указанных соотношений для широкого класса кратно-круговых областей 2) типа , введенного в рассмотрение

И.И.Бавриным и Г.Н.Бакуниным [13]. Найденные соотношения открывают перспективы для исследования и применения интегральных представлений функций, голоморфных в указанных областях.

Основы теории интегралов типа Темлякова были заложены в работах представителей созданной А.А.Темляковым научной школы по многомерному комплексному анализу: Л.А.Айзенберга - первым введшего понятие таких интегралов ([7],[8]) и изучавшего их поведение в пространстве С1; Г.Л.Луканкша - поломившего начало „сследова-ниям [26] по применению математического аппарата интегралов типа Темлякова к постановке и решению многомерных краевых задач; В.й.Боганова - включившегося ([14], [15]) в разработку совместно с Г.Л.Луканкиным теории задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных.

На пути распространения интегральных представлений Темлякова на случай Y\.>X комплексных переменных И.И.Бавриным ( см., напр., [9], [10], [11]), с помощью созданного им метода ин-тегро-дифференциальных операторов голоморфных функций, был установлен ряд интегральных представлений общей операторной природы, известных ныне как интегральные представления Темлякова-Баврина и Коши-Баврина.

Существенным вкладом в развитие теории интегралов типа Темлякова явилось установленное А.Т.Хвостовым ([55], [56]) с помощью предложенного им в пространстве С метода линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка явление квазианалитичности интегралов типа Темлякова вне области голоморфности.

Оказавшийся эффективным, указанный метод применялся в дальнейшем А.В.Гуляевым, В.А.Гусаковым, В.Т.Уляшевым, А.В.Латышевым, В.А.Лит-винюком, А.В.Нелаевым, С.Ю.Колягиным, В.В.Гагиевым и другими математиками - при исследовании различных модификаций интегралов типа Темлякова, а также интегралов типа Темлякова-Баврина и типа Коши-Баврина. В ряде работ А.В.Нелаева ( см., напр., [33],[35], [36], [38J , [40], [41J, [46] , [47] ) сам этот метод становится объектом детального исследования и получает дальнейшее развитие - дополняется рядом принципиально важных положений, уточняется и распространяется на общий случай ft- ( itl^I) комплексных переменных. Существенно развитый, ныне метод известен ( см., напр., [46]), как метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами. Разрабатываемая с помощью этого метода А.В.Нелаевым и его учениками теория квазианалитических функций находит применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и при постановке и решении пространственных краевых задач.

Вторым направлением исследований в данной диссертации явилось изучение квазианалитических свойств вводимого в рассмотрение на основе одного из установленных И.И.Бавриным [11] для поликруга интегральных представлений голоморфных функций обобщенного интеграла типа Коши-Баврина. В числе установленных свойств - аналоги известных свойств голоморфных функций: обобщенная производная рассматриваемого интеграла, его разложение в обобщенный степенной ряд и, при известных дополнительных условиях на вид плотности, обобщенное уравнение Коши-Римана.

Третье направление диссертационного исследования - постановка и решение краевых задач линейного сопряжения ( однородной и неоднородной ) в пространствах (С* и С ( п. >,0.).

В работах А.В.Нелаева ([33] , [37] ) был впервые введен в рассмотрение в пространстве (L и исследован интеграл типа Темлякова-Баврина I рода L -го порядка (ILc/У). На основе развиваемого математического аппарата этого интеграла с определяющей областью типа Я производится постановка указанных задач и находится их решение в определенном классе функций двух комплексных переменных. Существенным шагом в развитии интегралов типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина явилось проведенное А.В.Нелаевым [35] исследование таких интегралов в случае Yl -круговых ( in.^2,) областей класса (Т). В диссертации продолжена разработка математического аппарата интеграла типа Темлякова-Баврина I рода первого порядка с определяющей областью типа Л , затем с его помощью осуществлены постановка и решение однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в пространстве С*" ( п>Я. ).

Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена исследованию широкого класса кратнокруговых областей голоморфности из пространства С типа

§1 носит вводный характер и содержит сводку результатов, необходимых для чтения диссертации. Здесь же приводится определение введенного И.И.Бавриным и Г.Н.Бакуниным [13] класса (m+n.-l)-круговых (,п>Л) областей Z) типа (TTt) и указываются некоторые их свойства.

В §2 выводятся дифференциальные соотношения для ( предполагаемых непрерывно дифференцируемыми ) функций, параметризующих области типа (ТТ^ . Они представляют собой систему im+n.-iL равенств и ma+ri-l неравенств.

В §3 для случая , n-SL , найденные в §2 соотношения приводятся к более удобному для применений виду. В этом же параграфе проиллюстрирована их выполнимость на примере нескольких конкретных областей из пространства (С3 .

В §4 показано, что найденные в §2 дифференциальные соотношения помогают решать задачу перехода от явного задания области к ее параметрическому заданию. Здесь же на конкретных примерах области 2).: { (<*|ioi|V.+ Ail^i}, где - положительные числа, и области где - положительные числа, разобрано решение названной задачи, а затем, на примере JD© , и решение обратной задачи.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию поведения вне поликруга ( с упором на вскрытие квазианалитических свойств) класса функций Yl ( Yi>SL) комплексных переменных, определяемых интегралом 1 t 1 j W Г Tl -T^Tl^T ' фИ. / о где I - остов поликруга, Ц*^ (l-t , K=i,.,in.

В §5 вводится со всеми необходимыми пояснениями интегV рал Ffe) и его частный случай - интеграл F^fe) ( соответствующий ситуации, когда все ^ , кроме ^ » равны нулю, } - фиксировано ), устанавливаются теоремы 5.1 и 5.2 об областях голоморфности этих интегралов. Здесь же приводится сводка основных положений развиваемого А.В.Нелаевым метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, а также дан вывод формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для интеграла ад в области

В §6 названным методом устанавливаются обобщенная произ-—водная интеграла Pvfe) в области - найден конкретный дифференциальный оператор , действие которым на РД^) в Е^ равносильно дифференцированию по его ядра. \

§7 посвящен решению вопроса о разложении интеграла в обобщенный степенной ряд. При этом применяется другой предложенный А.В.Нелаевым ( см., напр., [48]) метод исследования комплексных интегралов - метод мажорирующей плотности. \

В §8 рассмотрен важный частный случай интеграла гу(%) -интеграл типа Коши-Баврина Ul^) » соответствующий ситуации, когда плотность ¥ имеет вид (^^-Л*) ~ ^ * .

Установлена формула (8.2) дифференциальной связи интеграла с соответствующим ( т.е. имеющим плотностью ) интегралом типа Коши для поликруга. На основе этой формулы заключаем, что в области для f^fa) выполняется обобщенное уравнение Коши-Римана (8.8): 0

-С

Третья глава диссертации посвящена, в основном, постановке и решению краевых задач линейного сопряжения в пространстве С* ( §§9-10 ) и в пространстве I* ( §§11-12 ).

В §9 продолжена разработка математического аппарата интегралов типа Темлякова-Баврина ft-то <Ы> порядка. В случае, когда определяющая область 2) есть область типа il , рассматривается интеграл

1 I or I \ e О о

Голоморфный в областях 2) и E.4={(2:i,2»')€C4:Cil21|-ct|'ra| > l} , этот интеграл имеет нарушение непрерывности в точках окружности особенностей &iz fet/Zj)€ , по которой области 2) и сопрягаются. Изучен характер поведения предельных значений интеграла в точках 64 и установлен факт обращения в нуль этого интеграла на множестве бесконечно удаленных точек. Введено понятие класса функций (Т*) , к которому, в частности, относятся и функции, определяемые интегралом .

В §10 рассмотрена следующая задача линейного сопряжения: Пусть в пространстве С3" задана область Х> типа Л . Требуется найти функцию ffci,^ класса (Т*) , исчезающую на множестве бесконечно удаленных точек и удовлетворяющую в точках окружности особенностей краевому условию (10.1): где | и | - есть предельные значения функции f на из областей D и Еч , а заданные на функции Gfyi) и ^(fy-) удовлетворяют условию Гельдера, причем . Сначала рассмотрен случай однородной задачи ( <j(4±)sO ), затем - неоднородной. В обоих случаях решение находится в виде интеграла F^t,^ , плотность которого определяется указанным способом.

Отметим, что для случая = i аналогичная неоднородная задача была ранее рассмотрена Г.Л.Луканкиным [30], а однородная -его ученицей И.Н.Виноградовой [18].

В §§ 11 и 12 в качестве области «Э рассматривается область типа в пространстве С^ ( )} т.е. область вида

Один из частных случаев введенных в работе А.В.Нелаева [35] интегралов типа Темлякова-Баврина - интеграл типа Темлякова -Баврина I рода первого порядка имеет в случае этой области вид if if ч

4 у о о о с где И-СА + с^б1. Ф - непрерывная функция, удовлетворяющая по ^ условию Гельдера, независимому от 0Д,.70К. Интеграл голоморфен [35] в областях 2) и

Z^heC1-. cifej-слЫ - . -Oj'z.lxL] .

Сопряжение областей X) и Е*. происходит по расположенной в первой координатной плоскости окружности особенностей в которой непрерывность интеграла Fu(^) нарушается. В §11 продолжена разработка математического аппарата интеграла , на основе которого введен класс функций (Tj , к которому, в частности, относятся и функции, определяемые интегралом , а в §12 рассмотрена следующая задача линейного сопряжения: Требуется найти функцию ftz) класса (Т±) , голоморфную в областях 2) и Е± , удовлетворяющую в точках краевому условию где { и | есть предельные значения ^fe) из областей 2) и Ei соответственно, a Gfyi) и J-C^i) - известные функции, заданные и удовлетворяющие условию Гельдера на Ь^ , причем GC^) Ф О.

Решение поставленной задачи найдено в классе функций, определяемых интегралом . Отдельно рассмотрены однородный gfyj =0 ) и неоднородный случаи.

В Заключении указаны интегралы, на которые допускают распространение результаты §§ 9-12.

В конце диссертации приводится список литературы, насчитывающий 77 наименований.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60] - [77].

По материалам диссертации были сделаны доклады и сообщения на VI и VII Международных конференциях "Математика.Компьютер. Образование" ( Пущино, 1999 [65] , [66] , [72]; Дубна, 2000 [74] , [76] ), на IV Международной конференции серии "Нелинейный мир" ( Суздаль, 1999 [70]), на VII Международной конференции "Математика.Экономика. Экология.Образование" ( Новороссийск, 1999 [68]), на VIII Международной конференции "Математика.Образование.Экология.Тендерные проблемы" ( Воронеж, 2000 [77]). Результаты диссертации неоднократно обсуждались на научных конференциях преподавателей и аспирантов МПУ ( 1997 - 2000 г.г.), а также на научно-исследовательском семинаре по теории функций при кафедре математического анализа МПУ ( руководитель семинара - заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент РАО, профессор Г.Л.Луканкин ).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту А.В.Нелаеву за всестороннюю помощь и постоянное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим, что результаты §§9 и 10 допускают распространение на близкий по структуре интегралу f^fo.,*2*) интеграл, в котором

Этот интеграл голоморфен в областях и {fe^V С ■ с*Ы - сЛ^Н! ? сопрягающихся по окружности особенностей

Ь* 4(2^) 6 С1: 2t-0 в точках которой нарушается его непрерывность. На этой окружности и задается краевое условие при постановке однородной и неоднородной задач линейного сопряжения.

Материалы §§ 11 и 12 можно перенести на интеграл Fli(z) , S) - фиксированное число из множества - • • , отличающийся от интеграла тем, что в нем

Этот интеграл голоморфен в определяемых по формулам (11.17 и (11.6) областях 2) и £v , в точках окружности особенностей й ~

В, = {2 6 СV Г, по которой как раз и происходит сопряжение областей 2) и Б^) На этой окружности и задается краевое условие при постановке однородной ( неоднородной ) задач линейного сопряжения.

1. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных.- М.:Наука.-1964.- 411с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.-М.:Наука,1977.- 640с.

3. Линник Ю.В. Статистические задачи с мешающими параметрами.-М.:Наука,1966.- 342с.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М. '.Наука. -1968.- 511с.

5. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных.-М.:Физматгиз.-1962.- 419с.6; История отечественной математики.-Т.4,кн.1.-Киев,"Наукова думка".-1970.-С.193-295.

6. Айзенберг Л.А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных// Докл. АН СССР.-1958.-Т.120,№5.-С.935-938.

7. Айзенберг Л.А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций многих комплексных переменных// Уч.зап. МОПИ.Труды кафедр математики.-М.,1959.-Т.77.-Вып.5.-С.13-35.

8. Баврин И.И. Интегральные представления голоморфных функций многих комплексных переменных// Докл. АН СССР.-1966.-ТД69,№3.1. С.495-498.

9. Баврин И.И. К интегральным представлениям голоморфных функций// Учен.зап.МОПИ.-М.,1967.-Т.188.-С.3-28.

10. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе.-М., "Прометей",МПГУ.-1991.- 200с.

11. Баврин И.й.,Бакунин Г.Н. Параметрическое задание областей типа (Т-^) и интегральная формула Темлякова// Докл. АН СССР.1975.-Т.223,Р2.-С.265-268.

12. Баврин И.И.,Бакунин Г.Н. Об одном обобщении метода интегро -дифференциальных инвариантов Темлякова// Изв. АН Каз.ССР.Серия физ.-матем., 1980,1РЗ.-С.5-8.

13. Боганов В.И. Интеграл типа Темлякова и некоторые краевые задачи// Учен.зап.МОПИ.-М.,1967.-Т. 188.-С.57-79.

14. Боганов В.И.,Луканкин Г.Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения// Докл. АН СССР,1967.-Т.176,№1.-0.16-19.

15. Виноградова И.Н. О поведении интеграла типа Темлякова-Баврина в точках окружности особенностей// Учен.зап.МОПИ.-М.,1970.-Т.269.-С.77-84.

16. Виноградова И.Н. О некоторых свойствах интеграла типа Темлякова-Баврина// Учен.зап.МОПИ.-М.,1970.-Т.269.-С.85-96.

17. Виноградова И.Н. О решении некоторых краевых задач// Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Сб.трудов.-М. :изд-во МОПИ.-Вып.15(2).-1972.-С.198-216.

18. Владимиров B.C. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих комплексных переменных// ИАН СССР, сер.матем.,1965.-Т.29.-С.807-834.

19. Гильмутдинов Р.З. О некоторых классах квазианалитических функций в (С*^ *u»i)// В Межвуз.сб.научн.трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ им. Н.К.Крупской.-1980.-С.75-78.

20. Гуляев А.В. Некоторые свойства интегралов типа Коши-Баврина// В Республ.сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ.-Вып.3.-1974.-С.51-62.

21. Гусаков В.А. О связи интегралов типа Темлякова-Баврина с интегралом типа Темлякова// Сб.трудов "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". МОПИ им Н.К.Крупской,вып.15 (1).-1973.-С.82-90.

22. Какичев В.А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных.-Тюмень,изд-во ТГУ.-1978.- 124с.

23. Копаев А.В. 0 решении некоторых краевых задач для функций, голоморфных в двоякокруговых областях// М.-1979.-26с.-Деп. в ВИНИТИ 13.06.79, №2173-В79.

24. Латышев А.В. Операторная связь некоторых интегралов// В Респ. сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-Вып.2.-М.:изд-во МОПИ.-1973.-С.42-48.

25. Луканкин Г.Л. 0 некоторых краевых задачах теории аналитических функций двух комплексных переменных// Учен.зап.МОПИ.-М.,1964.-Т.137.-С.83-88.

26. Луканкин Г.Л. Об однородной задаче линейного сопряжения// Учен, зап.МОПИ.-М.,1970.-Т.269.-С.15-22.

27. Луканкин Г.Л. О некоторых краевых задачах для функций двух комплексных переменных// Учен.зап.МОПИ.-М.,1970.-т.269.-С.23-48.

28. Луканкин Г.Л. 0 неоднородной задаче линейного сопряжения// Теория функций, функциональный анализ и их приложения: С б.трудов.-М. :изд-во МОПИ.-Вып.15(1).-1973.-С.45-52.

29. Луканкин Г.Л. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных// Математический анализ и теория функций: Респ.сб.трудов.-М.:изд-во МОПИ.-Вып.1.-1973.-С.10-24.

30. ЗХ.Луканкин Г.Л. Пространственная задача линейного сопряжения// Вестник МАН ВШ,№4(6).-1998.-С.82-90.

31. Милованов В.Ф. Свойства одного класса интегралов в пространстве (С1 // Кандид.диссертация.-Уссурийск,1984.- 117с.

32. Нелаев А.В. Дифференциальные свойства функций, определяемых интегралами типа Темлякова-Баврина// В Респ.сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-М. :изд-во МОПИ.-Вып.1.-1973.-С.154-163.

33. Нелаев А.В. Об аналитичности в пространстве функций, определяемых интегралами типа Темлякова-Баврина// Математический анализ и теория функций:Респ.сб.трудов.-М.:изд-во МОПИ.-Вып.1.-1973.-С.164-168.

34. Зб.Нелаев А.В. Операторная связь между некоторыми интегралами// В Респ.сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-М. :изд-во МОПИ.-Вып.1.-1973.-С.169-178.

35. Нелаев А.В. Об одном операторном методе// В Респ.сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ.-Вып.2.-1973.-С.99-106.

36. Нелаев А.В. О поведении интеграла типа Темлякова-Баврина произвольного порядка вне определяющей области// В Респ.сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ.-Вып.З.-1974.-С.68-84.

37. Нелаев А.В. Об одном классе квазианалитических функций// В Респ.сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ.-Вып.3.-1974.-С.117-124.

38. ЗЭ.Нелаев А.В. К теории квазианалитических функций// В Респ.сб. трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ.-Вып.4. -1974.-С.49-55.

39. Нелаев А.В. О применении метода линейных дифференциальных операторов в теории функций комплексных переменных// В Респ.сб. трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ.-Вып.4.-1974.-С.56-64.

40. Нелаев А.В. Об интегральных представлениях аналитических функций многих комплексных переменных, методе исследования и квазианалитических свойствах некоторых классов интегралов.-Кандид. диссертация.-М.,1974,- 133с.

41. Нелаев А.В. О параметризации кратнокруговых областей// В сб. научн.трудов "Избранные проблемы комплексного анализа".-М., 1985.-С.36-69.-Деп. в ВИНИТИ 28.06.1985, №4677-85 Деп.

42. Нелаев А.В. О параметризации неограниченных кратнокруговых областей// В сб.научн.трудов "Избранные задачи математического анализа".-М.,1986.-С.54-93.-Деп. в ВИНИТИ 14.07.1986,1. W- 5032-86 Деп.

43. Нелаев А.В. Об обобщенном аналоге двойного интеграла типа Коши и некоторых его квазианалитических свойствах вне бикруга// В сб.научн.трудов "Избранные проблемы многомерного комплексного анализа".-М.,1992.-С.55-73.-Деп. в ВИНИТИ 15.12.1992,Р3544-В92.

44. Нелаев А.В. Интегральные представления и порождаемые ими классы квазианалитических функций// Вестник МПУ.Серия "Математика-физика", №3-4.-М.:изд-во МПУ "СигналЪ",1998.-С.16-28.

45. Нелаев А.В. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами в исследовании комплексных интеграловв Г// Математика. Компьютер. Образование.: Сб. научн. трудов. -М.:Прогресс-Традиция,2000.-Вып.7. -Ч.2.-С.444-451.

46. Нелаев А.В. Метод мажорирующей плотности в разложении комплексных интегралов в обобщенные степенные ряды// Тезисы докладов VII Междунар.конференции "Математика.Компьютер.Образование" ( Дубна, 23-30 января 2000г.)-М.:Прогресс-Традиция.-2000.-С.244.

47. Попова Ю.Н. 0 квазианалитических свойствах операторного аналога интеграла типа Коши специального вида// В сб.научн.трудов "Современные проблемы комплексного анализа и его приложения

48. М.-1988.-С.110-123.-Деп. в ВИНИТИ 24.11Л988,Р8308-В88.

49. Сечкин Г.И. Предельные значения интегралов типа Темлякова-Баврина и краевые задачи линейного сопряжения// В Респ. сб.трудов "Математический анализ и теория функций".-М.:изд-во МОПИ.-Вып.1.-1973.-С.88-103.

50. Темляков А.А. О гармонических функциях двух комплексных переменных с аналитической определяющей областью.-Докторская диссертация, Матем. ин-т им. В.А.Стеклова,М.,1948.

51. Темляков А.А. Интегральное представление аналитических функций двух комплексных переменных// Уч.зап.Мопи.-М.,1954.-Т.21.-С.7-21.

52. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных// Докл. АН СССР.-1958.-Т.120,Р5.-С.976-979.

53. Темляков А.А. Интегральные представления// Уч.зап.МОПИ.-М., 1960.-Т.96.-С.3-14.

54. Хвостов А.Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова вне области аналитичности// Уч.зап.МОПИ.-М.,1967.-Т.188.-С.113-136.

55. Хвостов А.Т. Обобщенные условия Коши-Римана интегралов типа Темлякова// Уч.зап.МОПИ.-М.,1967.-Т.188.-С.137-172.

56. Jc^&l^ . -faeh.MM . Soc ./TbCLhS.j , Ш ,

57. A.M. Tie aldk-act ikeot-e^ o{ Cocky- VJeyA,

58. Pclcc£С J.Mai/L, ^ , 544-525.бО.Луковников A.E. О квазианалитических свойствах одного класса3.4.-М. :изд-во МПУ ЧЗигналЪ",1998.-С.54-61.

59. Нелаев А.В.,Луковников А.Е. Об одном классе параметрически задаваемых кратнокруговых областей голоморфности// Вестник МПУ.Серия "Математика-физика",№3-4.-М.:изд-во МПУ "СигналЪ", 1998.-С.29-40.

60. Луковников А.Е.,Нелаев А.В. Дифференциальные соотношения для функций, параметризующих один класс кратнокруговых областей// Межвуз.сб.научн.трудов "Математический анализ",МПГУ.-М. ^'Прометей" .-1998.-С.86-88.

61. Луковников А.Е. Исследование поведения некоторых интегралов вне области "аналитичности в CD**" // Сб. научн. трудов "Многомерный комплексный анализ".-М.,1999.-С.89-100.-Деп. в ВИНИТИ 27.12.1999, №3850-В99.

62. Луковников А.Е.,Нелаев А.В. Об одном классе параметрически задаваемых кратнокруговых областей// Тезисы докладов VI Междунар. конференции "Математика.Компьютер.Образование" ( Пущино, 24-31 января 1999г. ).-М.-1999.-С. 175.'

63. Луковников А.Е. К проблеме параметрического задания кратнокруговых областей// Сб.научн.трудов "Многомерный комплексный анализ".-М.,1999.-С.82-88.-Деп. в ВИНИТИ 27.12.1999,№3850-В99.

64. Луковников А.Е.,Нелаев А.В. О параметризации кратнокруговых областей голоморфности// Сб.научн.трудов "Многомерный комплексный анализ".-М.,1999.-С.74-81.-Деп. в ВИНИТИ 27.12.1999, Р3850-В99.

65. Луковников А.Е. О решении операторно-обобщенной задачи Дирихле с краевым условием на остове поликруга// Тезисы докладов IV Междунар.конференции серии "Нелинейный мир" ( Суздаль, 7-12 июня 1999г.).-М.-1999.-С.60.

66. Луковников А.Е. Обобщенные условия Коши-Римана для одного класса интегралов вне поликруга// Сб.научн.трудов "Многомерныйкомплексный анализ".-М.,1999.-С.148-154.-Деп. в ВИНИТИ 27.12.1999, Р3850-В99.

67. Луковников А.Е. Об одном классе квазианалитических функций в С // Сб.научн.трудов "Математика.Компьютер.Образование".

68. М.:Прогресс-Традиция,1999.-Вып.6.-Ч.2.-С.242-248.

69. Луковников А.Е.,Нелаев А.В. О задачах линейного сопряжения голоморфных функций двух комплексных переменных// Моск.пед.ун-т.-2000.-22с.-Деп. в ВИНИТИ 04.10.2000, №2543-В00.

70. Луковников А.Е.,Нелаев А.В. Краевые задачи линейного сопряжения в (Е^для функций, голоморфных в кратнокруговых областях// Моск. пед.ун-т.-М.,2000.-19с.-Деп. в ВИНИТИ 04.10.2000, №2542-В00.

71. Луковников А.Е.,Нелаев А.В. Исследование свойств кратнокруговых областей голоморфности// Сб.научн.трудов "Математика.Компьютер. Образование".-М.:Прогресс-Традиция,2000.-Вып.7.-Ч.2.-С.452-459.

72. Луковников А.Е. О квазиплюригармоничности одного класса функций в 1П// Тезисы докладов VIII Междунар.конференции "Математика. Образование.Экология.Тендерные проблемы" ( Воронеж, 22-27 мая 2000г.).-Воронеж.-2000.-ТЛ.-С.177.